自主招生资料-2009年清华大学自主招生数学试题(文科)
清华大学自主招生数学试题解析
清华大学自主招生数学试题解析一、引言近年来,自主招生考试逐渐成为高等教育选拔的重要方式之一。
作为中国顶尖的学府之一,清华大学在自主招生中具有极高的影响力和标准制定地位。
数学作为基础学科,是清华大学自主招生考试的重要科目。
本文将对清华大学自主招生数学试题进行解析,探讨其考察内容、特点及应对策略。
二、考察内容1、基础知识:清华大学自主招生数学试题中,基础知识考察占据较大比例。
包括但不限于高中数学中的函数、数列、三角函数、概率与统计等。
2、知识运用:除了基础知识外,试题还注重考察考生对数学知识的运用能力。
例如,通过实际应用题或几何题的形式,要求考生运用数学知识解决实际问题。
3、思维能力:清华大学自主招生数学试题注重考察考生的思维能力,包括逻辑推理、归纳分类、化归等能力。
这类题目通常需要考生灵活运用数学知识,通过猜想、归纳、推理等方式寻找解题思路。
4、创新精神:自主招生数学试题还注重考察考生的创新精神和实践能力。
这类题目通常以开放式问题的形式出现,要求考生从不同角度思考问题,寻找独特的解题方法。
三、特点分析1、覆盖面广:清华大学自主招生数学试题涉及的知识面较广,要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识储备。
2、难度适中:试题难度适中,既考察了考生的基础知识,又对其思维能力、创新能力进行了充分挑战。
3、突出重点:试题突出对重点知识的考察,如函数与方程、数列与不等式、平面几何等,要求考生对重点知识有深入理解和掌握。
4、强调应用:试题强调对数学知识的应用能力,通过设置实际应用题等方式,引导考生数学在实际生活中的应用价值。
四、应对策略1、巩固基础知识:针对清华大学自主招生数学试题中基础知识的考察,考生应注重巩固高中阶段的基础知识,尤其是函数、数列、三角函数等重点内容。
2、提高运用能力:在掌握基础知识的前提下,考生应注重提高对数学知识的运用能力。
通过练习实际应用题、几何题等类型,提高解决实际问题的能力。
3、培养思维能力:考生应在平时的学习中注重培养逻辑推理、归纳分类、化归等思维能力。
2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅱ)(含解析版)(附详细答案)
2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷Ⅱ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)函数y=(x≤0)的反函数是()A.y=x2(x≥0)B.y=﹣x2(x≥0)C.y=x2(x≤0)D.y=﹣x2(x≤0)2.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},N={5,6,7},则?U(M∪N)=()A.{5,7}B.{2,4}C.{2,4,8}D.{1,3,5,6,7}3.(5分)函数y=log2的图象()A.关于直线y=﹣x对称B.关于原点对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称4.(5分)已知△ABC中,cotA=﹣,则cosA=()A.B.C.D.5.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为()A.B.C.D.6.(5分)已知向量=(2,1),=10,|+|=,则||=()A.B.C.5D.257.(5分)设a=lge,b=(lge)2,c=lg,则()A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 8.(5分)双曲线﹣=1的渐近线与圆(x﹣3)2+y2=r2(r>0)相切,则r=()A.B.2C.3D.69.(5分)若将函数y=tan(ωx+)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=tan(ωx+)的图象重合,则ω的最小值为()A.B.C.D.10.(5分)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A.6种B.12种C.24种D.30种11.(5分)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=()A.B.C.D.12.(5分)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位()A.南B.北C.西D.下二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若a1=1,S6=4S3,则a4= .14.(5分)(x﹣y)4的展开式中x3y3的系数为.15.(5分)已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积= .16.(5分)设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于,则球O的表面积等于.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)已知等差数列{a n}中,a3a7=﹣16,a4+a6=0,求{a n}前n项和s n.18.(12分)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A﹣C)+cosB=,b2=ac,求B.19.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C 的中点,DE⊥平面BCC1.(Ⅰ)证明:AB=AC;(Ⅱ)设二面角A﹣BD﹣C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小.20.(12分)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有10名工人,其中有6名女工人.现采用分层抽样(层内采用不放回简单随即抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核.(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.21.(12分)设函数f(x)=x3﹣(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1,(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.22.(12分)已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为,(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)函数y=(x≤0)的反函数是()A.y=x2(x≥0)B.y=﹣x2(x≥0)C.y=x2(x≤0)D.y=﹣x2(x≤0)【考点】4R:反函数.【专题】11:计算题.【分析】直接利用反函数的定义,求出函数的反函数,注意函数的定义域和函数的值域.【解答】解:由原函数定义域x≤0可知A、C错,原函数的值域y≥0可知D错,故选:B.【点评】本题考查反函数的求法,反函数概念,考查逻辑推理能力,是基础题.2.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},N={5,6,7},则?U(M∪N)=()A.{5,7}B.{2,4}C.{2,4,8}D.{1,3,5,6,7}【考点】1H:交、并、补集的混合运算.【专题】11:计算题.【分析】先求集合M∪N,后求它的补集即可,注意全集的范围.【解答】解:∵M={1,3,5,7},N={5,6,7},∴M∪N={1,3,5,6,7},∵U={1,2,3,4,5,6,7,8},∴?U(M∪N)={2,4,8}故选:C.【点评】本题考查集合运算能力,本题是比较常规的集合题,属于基础题.3.(5分)函数y=log2的图象()A.关于直线y=﹣x对称B.关于原点对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断;3M:奇偶函数图象的对称性.【专题】31:数形结合.【分析】先看函数的定义域,再看f(﹣x)与f(x)的关系,判断出此函数是个奇函数,所以,图象关于原点对称.【解答】解:由于定义域为(﹣2,2)关于原点对称,又f(﹣x)==﹣=﹣f(x),故函数为奇函数,图象关于原点对称,故选:B.【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性.4.(5分)已知△ABC中,cotA=﹣,则cosA=()A.B.C.D.【考点】GG:同角三角函数间的基本关系.【专题】11:计算题.【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦,求得sinA和cosA 的关系式,进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值.【解答】解:∵cotA=∴A为钝角,cosA<0排除A和B,再由cotA==,和sin2A+cos2A=1求得cosA=,故选:D.【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用.主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系.5.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为()A.B.C.D.【考点】LM:异面直线及其所成的角.【专题】11:计算题;31:数形结合;44:数形结合法;5G:空间角.【分析】由BA1∥CD1,知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角,由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值.【解答】解:∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,∴BA1∥CD1,∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角,设AA1=2AB=2,则A1E=1,BE==,A1B==,∴cos∠A1BE===.∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为.故选:C.【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.6.(5分)已知向量=(2,1),=10,|+|=,则||=()A.B.C.5D.25【考点】91:向量的概念与向量的模;9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】5A:平面向量及应用.【分析】根据所给的向量的数量积和模长,对|a+b|=两边平方,变化为有模长和数量积的形式,代入所给的条件,等式变为关于要求向量的模长的方程,解方程即可.【解答】解:∵|+|=,||=∴(+)2=2+2+2=50,得||=5故选:C.【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质,根据所给的向量表示出要求模的向量,用求模长的公式写出关于变量的方程,解方程即可,解题过程中注意对于变量的应用.7.(5分)设a=lge,b=(lge)2,c=lg,则()A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a【考点】4M:对数值大小的比较;4O:对数函数的单调性与特殊点.【分析】因为10>1,所以y=lgx单调递增,又因为1<e<10,所以0<lge<1,即可得到答案.【解答】解:∵1<e<3<,∴0<lge<1,∴lge>lge>(lge)2.∴a>c>b.故选:C.【点评】本题主要考查对数的单调性.即底数大于1时单调递增,底数大于0小于1时单调递减.8.(5分)双曲线﹣=1的渐近线与圆(x﹣3)2+y2=r2(r>0)相切,则r=()A.B.2C.3D.6【考点】IT:点到直线的距离公式;KC:双曲线的性质.【专题】11:计算题.【分析】求出渐近线方程,再求出圆心到渐近线的距离,根据此距离和圆的半径相等,求出r.【解答】解:双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,圆心(3,0)到直线的距离d==,∴r=.故选:A.【点评】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式.9.(5分)若将函数y=tan(ωx+)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=tan(ωx+)的图象重合,则ω的最小值为()A.B.C.D.【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】11:计算题.【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式,与函数y=tan(ωx+)的图象重合,比较系数,求出ω=6k+(k∈Z),然后求出ω的最小值.【解答】解:y=tan(ωx+),向右平移个单位可得:y=tan[ω(x﹣)+]=tan (ωx+)∴﹣ω+kπ=∴ω=k+(k∈Z),又∵ω>0∴ωmin=.故选:D.【点评】本题是基础题,考查三角函数的图象的平移,待定系数法的应用,考查计算能力,是常考题.10.(5分)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A.6种B.12种C.24种D.30种【考点】D5:组合及组合数公式.【专题】11:计算题.【分析】根据题意,分两步,①先求所有两人各选修2门的种数,②再求两人所选两门都相同与都不同的种数,进而由事件间的相互关系,分析可得答案.【解答】解:根据题意,分两步,①由题意可得,所有两人各选修2门的种数C42C42=36,②两人所选两门都相同的有为C42=6种,都不同的种数为C42=6,故选:C.【点评】本题考查组合公式的运用,解题时注意事件之间的关系,选用直接法或间接法.11.(5分)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=()A.B.C.D.【考点】K8:抛物线的性质.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】根据直线方程可知直线恒过定点,如图过A、B分别作AM⊥l于M,BN ⊥l于N,根据|FA|=2|FB|,推断出|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,进而可知,进而推断出|OB|=|BF|,进而求得点B的横坐标,则点B的坐标可得,最后利用直线上的两点求得直线的斜率.【解答】解:设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=﹣2直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(﹣2,0)如图过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,则,∴|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,故点B的坐标为,故选:D.【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了对抛物线的基础知识的灵活运用.12.(5分)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位()A.南B.北C.西D.下【考点】LC:空间几何体的直观图.【专题】16:压轴题.【分析】本题考查多面体展开图;正方体的展开图有多种形式,结合题目,首先满足上和东所在正方体的方位,“△”的面就好确定.【解答】解:如图所示.故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原,属于基本知识基本能力的考查.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若a1=1,S6=4S3,则a4= 3 .【考点】87:等比数列的性质;89:等比数列的前n项和.【专题】11:计算题.【分析】根据S6=4S3可求得q3,进而根据等比数列的通项公式,得到答案.【解答】解:设等比数列的公比为q,则由S6=4S3知q≠1,∴S6==.∴q3=3.∴a1q3=3.故答案为:3【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题.属基础题.14.(5分)(x﹣y)4的展开式中x3y3的系数为 6 .【考点】DA:二项式定理.【分析】先化简代数式,再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x,y 的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解:,只需求展开式中的含xy项的系数.∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6.【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.15.(5分)已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积= .【考点】J7:圆的切线方程.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】判断点A在圆上,用点斜式写出切线方程,求出切线在坐标轴上的截距,从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积.【解答】解:由题意知,点A在圆上,切线斜率为==﹣,用点斜式可直接求出切线方程为:y﹣2=(x﹣1),即x+2y﹣5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和,所以,所求面积为.【点评】本题考查求圆的切线方程的方法,以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积.16.(5分)设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于,则球O的表面积等于8π.【考点】LG:球的体积和表面积.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】本题可以设出球和圆的半径,利用题目的关系,求解出具体的值,即可得到答案.【解答】解:设球半径为R,圆C的半径为r,.因为.由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为:8π,【点评】本题考查学生对空间想象能力,以及球的面积体积公式的利用,是基础题.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)已知等差数列{a n}中,a3a7=﹣16,a4+a6=0,求{a n}前n项和s n.【考点】84:等差数列的通项公式;85:等差数列的前n项和.【专题】34:方程思想.【分析】利用等差数列的通项公式,结合已知条件列出关于a1,d的方程组,求出a1、d,进而代入等差数列的前n项和公式求解即可.【解答】解:设{a n}的公差为d,则,即,解得,因此S n=﹣8n+n(n﹣1)=n(n﹣9),或S n=8n﹣n(n﹣1)=﹣n(n﹣9).【点评】本题考查等差数列的通项公式及求和公式运用能力,利用方程的思想可求解.18.(12分)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A﹣C)+cosB=,b2=ac,求B.【考点】GG:同角三角函数间的基本关系;HP:正弦定理.【专题】11:计算题.【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约,并利用正弦定理得到sinB=(负值舍掉),从而求出答案.【解答】解:由cos(A﹣C)+cosB=及B=π﹣(A+C)得cos(A﹣C)﹣cos(A+C)=,∴cosAcosC+sinAsinC﹣(cosAcosC﹣sinAsinC)=,∴sinAsinC=.又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC,故,∴或(舍去),于是B=或B=.又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=.【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系,然后通过角的关系,选择恰当的公式,即:如果角与角相等,则使用同角三角函数关系;如果角与角之间的和或差是直角的整数倍,则使用诱导公式;如果角与角之间存在和差关系,则我们用和差角公式;如果角与角存在倍数关系,则使用倍角公式.19.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C 的中点,DE⊥平面BCC1.(Ⅰ)证明:AB=AC;(Ⅱ)设二面角A﹣BD﹣C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小.【考点】LQ:平面与平面之间的位置关系.【专题】11:计算题;14:证明题.【分析】(1)连接BE,可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC,再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC;(2)求B1C与平面BCD所成的线面角,只需求点B1到面BDC的距离即可,作AG⊥BD于G,连GC,∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角,在三角形AGC 中求出GC即可.【解答】解:如图(I)连接BE,∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,∴∠B1BC=90°,∵E为B1C的中点,∴BE=EC.又DE⊥平面BCC1,∴BD=DC(射影相等的两条斜线段相等)而DA⊥平面ABC,∴AB=AC(相等的斜线段的射影相等).(II)求B1C与平面BCD所成的线面角,只需求点B1到面BDC的距离即可.作AG⊥BD于G,连GC,∵AB⊥AC,∴GC⊥BD,∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角,∠AGC=60°不妨设,则AG=2,GC=4在RT△ABD中,由AD?AB=BD?AG,易得设点B1到面BDC的距离为h,B1C与平面BCD所成的角为α.利用,可求得h=,又可求得,∴α=30°.即B1C与平面BCD所成的角为30°.【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.20.(12分)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有10名工人,其中有6名女工人.现采用分层抽样(层内采用不放回简单随即抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核.(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.【考点】B3:分层抽样方法;C6:等可能事件和等可能事件的概率.【专题】11:计算题.【分析】(1)根据分层抽样原理,要从甲、乙两组各10人中共抽取4名工人,则从每组各抽取2名工人.(2)从甲组抽取2人的结果有C102种,恰有1名女工人的结果有C41C61种,代入等可能事件的概率公式即可(3)从甲乙各10人虫各抽2人的结果有C102C102种,而4名工人中恰有2名男工人的情况分①两名男工都来自甲,有C62C62②甲乙各抽1名男工C61C41C41C61③两名男工都来自乙有C42C42种结果【解答】解:(1)由于甲、乙两组各有10名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核,则从每组各抽取2名工人.(2)记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则(3)A i表示事件:从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人,i=0,1,2Bj表示事件:从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人,j=0,1,2B表示事件:抽取的4名工人中恰有2名男工人.A i与B j独立,i,j=0,1,2,且B=A0?B2+A1?B1+A2?B0故P(B)=P(A0?B2+A1?B1+A2?B0)=P(A0)?P(B2)+P(A1)?P(B1)+P(A2)?P(B0)==【点评】本题考查概率统计知识,要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力,第一问直接利用分层统计原理即可得人数,第二问注意要用组合公式得出概率,第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义,从而正确分类求概率.21.(12分)设函数f(x)=x3﹣(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1,(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.【考点】3R:函数恒成立问题;6B:利用导数研究函数的单调性.【专题】15:综合题;16:压轴题.【分析】(1)先对函数进行求导,根据导函数大于0时原函数单调递增,导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性.(2)先将问题转化为求函数在x≥0时的最小值问题,再结合(1)中的单调性可确定f(x)在x=2a或x=0处取得最小值,求出最小值,即可得到a的范围.【解答】解:(1)f'(x)=x2﹣2(1+a)x+4a=(x﹣2)(x﹣2a)由a>1知,当x<2时,f'(x)>0,故f(x)在区间(﹣∞,2)是增函数;当2<x<2a时,f'(x)<0,故f(x)在区间(2,2a)是减函数;当x>2a时,f'(x)>0,故f(x)在区间(2a,+∞)是增函数.综上,当a>1时,f(x)在区间(﹣∞,2)和(2a,+∞)是增函数,在区间(2,2a)是减函数.(2)由(1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值.=,f(0)=24a由假设知即解得1<a<6故a的取值范围是(1,6)【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性.22.(12分)已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为,(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.【考点】K4:椭圆的性质.【专题】15:综合题;16:压轴题.【分析】(I)设F(c,0),则直线l的方程为x﹣y﹣c=0,由坐标原点O到l的距离求得c,进而根据离心率求得a和b.(II)由(I)可得椭圆的方程,设A(x1,y1)、B(x2,y2),l:x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△>0.由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式,假设存在点P,使成立,则其充要条件为:点P的坐标为(x1+x2,y1+y2),代入椭圆方程;把A,B两点代入椭圆方程,最后联立方程求得c,进而求得P点坐标,求出m的值得出直线l的方程.【解答】解:(I)设F(c,0),直线l:x﹣y﹣c=0,由坐标原点O到l的距离为则,解得c=1又,∴(II)由(I)知椭圆的方程为设A(x1,y1)、B(x2,y2)由题意知l的斜率为一定不为0,故不妨设l:x=my+1代入椭圆的方程中整理得(2m2+3)y2+4my﹣4=0,显然△>0.由韦达定理有:,,①假设存在点P,使成立,则其充要条件为:点P的坐标为(x1+x2,y1+y2),点P在椭圆上,即.整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.又A、B在椭圆上,即2x12+3y12=6,2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1及①代入②解得∴,x1+x2=,即当;当【点评】本题主要考查了椭圆的性质.处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够.所谓“算”,主要讲的是算理和算法.算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质.有时候算理和算法并不是截然区分的.例如:三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半,还是分割成几部分来算?在具体处理的时候,要根据具体问题及题意边做边调整,寻找合适的突破口和切入点.。
清华大学自主招生考试精彩试题(语文+数学+化学+物理)
2010清华大学自主招生考试试题(语文+数学+化学+物理)分两天1月1日上午9:00-12:00 中英文综合 200分下午2:00-3:30 数学 100分下午4:00-5:30 物理 100分1月2日上午9:00-12:00 理科综合 300分,数学物理化学各100分中英文综合题型分值第一部分英语基础(40分)单选词汇(1分×10)单元语法与词汇(1分×10)完形填空(1分×20)第二部分英语阅读(2分×20=40分)共8篇左右,每篇后2至3个单选题。
内容基本为美国文化政治第三部分中文(94分)4篇文章,后面分5大题:每篇的阅读理解题,第五大题为新词解释与作文第四部分中英文综合应用(26分)给一段文言文,翻译成中文(6分),用英文概括大意并评论(20分)第一部分英语基础(略)第二部分英语阅读(略)第三部分中文(全)白居易的粉丝李国文中国文学,一直有大众化和小众化的分野。
唐代的白居易,则是最能代表中国文学大众化的典型诗人。
白居易,生于公元772年(唐代宗大历七年),终于公元846年(唐武宗会昌六年),活了74岁。
经历顺宗、宪宗、穆宗、敬宗、文宗、武宗六朝。
无论当时,无论后世,谈及这位诗人,离不开以下三点:一,他在诗坛领袖群伦,推动潮流的地位;二,他在朝野引起轰动,遐迩知名的程度;三,作为诗人,他在当时中国人之大多数心目中的无与伦比的尊崇,非同凡响的声望,他的粉丝,可以说是举国上下,遍地皆是,大江南北,无处不在,这也许是最值得大书而特书的中国文学的“白居易现象”。
他的朋友元稹为他的诗集《白氏长庆集》序中,这样写道:“二十年间,禁省、观寺、邮候、墙壁之上无不书,王公、妾妇、马走之口无不道。
缮写模勒,炫卖于市井中,或持之以交酒茗者,处处皆是。
”明人胡震享的《唐音癸签》一书中引《丰年录》:“开成中,物价至贱,村路卖鱼肉者,俗人买以胡绡半尺,士大夫买以乐天诗。
”白居易的一首诗,竟可以换来一条胖头鱼,一方五花肉,我估计当代诗人的作品,怕难以卖出这样的高价来。
2009年全国统一高考真题数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)(含答案解析版)
2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)sin585°的值为()A.B.C.D.2.(5分)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A.3个B.4个C.5个D.6个3.(5分)不等式<1的解集为()A.{x|0<x<1}∪{x|x>1}B.{x|0<x<1}C.{x|﹣1<x<0}D.{x|x<0}4.(5分)已知tana=4,cotβ=,则tan(a+β)=()A.B.﹣C.D.﹣5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率为()A.B.2C.D.6.(5分)已知函数f(x)的反函数为g(x)=1+2lgx(x>0),则f(1)+g(1)=()A.0B.1C.2D.47.(5分)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A.150种B.180种C.300种D.345种8.(5分)设非零向量、、满足,则=()A.150°B.120°C.60°D.30°9.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.B.C.D.10.(5分)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|φ|的最小值为()A.B.C.D.11.(5分)已知二面角α﹣l﹣β为60°,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为()A.1B.2C.D.412.(5分)已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF 交C于点B,若=3,则||=()A.B.2C.D.3二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(x﹣y)10的展开式中,x7y3的系数与x3y7的系数之和等于.14.(5分)设等差数列{a n}的前n的和为S n,若S9=72,则a2+a4+a9=.15.(5分)已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于.16.(5分)若直线m被两平行线l1:x﹣y+1=0与l2:x﹣y+3=0所截得的线段的长为,则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是(写出所有正确答案的序号)三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3﹣S3=12,求{a n},{b n}的通项公式.18.(12分)在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2﹣c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b.19.(12分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD,AD=,DC=SD=2,点M在侧棱SC上,∠ABM=60°(I)证明:M是侧棱SC的中点;(Ⅱ)求二面角S﹣AM﹣B的大小.20.(12分)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.(Ⅰ)求再赛2局结束这次比赛的概率;(Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率.21.(12分)已知函数f(x)=x4﹣3x2+6.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点,求l的方程.22.(12分)如图,已知抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点.(Ⅰ)求r的取值范围;(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标.2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)sin585°的值为()A.B.C.D.【考点】GE:诱导公式.【分析】由sin(α+2kπ)=sinα、sin(α+π)=﹣sinα及特殊角三角函数值解之.【解答】解:sin585°=sin(585°﹣360°)=sin225°=sin(45°+180°)=﹣sin45°=﹣,故选:A.【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值.2.(5分)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A.3个B.4个C.5个D.6个【考点】1H:交、并、补集的混合运算.【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B,再根据补集的含义求解.【解答】解:A∪B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,9}∴∁U(A∩B)={3,5,8}故选A.也可用摩根律:∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B)故选:A.【点评】本题考查集合的基本运算,较简单.3.(5分)不等式<1的解集为()A.{x|0<x<1}∪{x|x>1}B.{x|0<x<1}C.{x|﹣1<x<0}D.{x|x<0}【考点】7E:其他不等式的解法.【分析】本题为绝对值不等式,去绝对值是关键,可利用绝对值意义去绝对值,也可两边平方去绝对值.【解答】解:∵<1,∴|x+1|<|x﹣1|,∴x2+2x+1<x2﹣2x+1.∴x<0.∴不等式的解集为{x|x<0}.故选:D.【点评】本题主要考查解绝对值不等式,属基本题.解绝对值不等式的关键是去绝对值,去绝对值的方法主要有:利用绝对值的意义、讨论和平方.4.(5分)已知tana=4,cotβ=,则tan(a+β)=()A.B.﹣C.D.﹣【考点】GP:两角和与差的三角函数.【专题】11:计算题.【分析】由已知中cotβ=,由同角三角函数的基本关系公式,我们求出β角的正切值,然后代入两角和的正切公式,即可得到答案.【解答】解:∵tana=4,cotβ=,∴tanβ=3∴tan(a+β)===﹣故选:B.【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数,其中根据已知中β角的余切值,根据同角三角函数的基本关系公式,求出β角的正切值是解答本题的关键.5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率为()A.B.2C.D.【考点】KC:双曲线的性质;KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】11:计算题.【分析】先求出渐近线方程,代入抛物线方程,根据判别式等于0,找到a和b 的关系,从而推断出a和c的关系,答案可得.【解答】解:由题双曲线的一条渐近线方程为,代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0,因渐近线与抛物线相切,所以b2﹣4a2=0,即,故选:C.【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率,基础题.6.(5分)已知函数f(x)的反函数为g(x)=1+2lgx(x>0),则f(1)+g(1)=()A.0B.1C.2D.4【考点】4R:反函数.【专题】11:计算题.【分析】将x=1代入即可求得g(1),欲求f(1),只须求当g(x)=1时x的值即可.从而解决问题.【解答】解:由题令1+2lgx=1得x=1,即f(1)=1,又g(1)=1,所以f(1)+g(1)=2,故选:C.【点评】本小题考查反函数,题目虽然简单,却考查了对基础知识的灵活掌握情况,也考查了运用知识的能力.7.(5分)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A.150种B.180种C.300种D.345种【考点】D1:分类加法计数原理;D2:分步乘法计数原理.【专题】5O:排列组合.【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法,1名女同学来自甲组和乙组两类型.【解答】解:分两类(1)甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法;(2)乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法.故共有345种选法.故选:D.【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理,最关键做到不重不漏,先分类,后分步!8.(5分)设非零向量、、满足,则=()A.150°B.120°C.60°D.30°【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.【分析】根据向量加法的平行四边形法则,两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边,三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长,这样得到一个含有特殊角的菱形.【解答】解:由向量加法的平行四边形法则,∵两个向量的模长相等∴、可构成菱形的两条相邻边,∵∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长,∴两个向量的夹角是120°,故选:B.【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题.向量知识,向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用,而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体.9.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.B.C.D.【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角(如∠A1AB);而欲求其余弦值可考虑余弦定理,则只要表示出A1B的长度即可;不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1,利用勾股定理即可求之.【解答】解:设BC的中点为D,连接A1D、AD、A1B,易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角;并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1,则|AD|=,|A1D|=,|A1B|=,由余弦定理,得cosθ==.故选:D.【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理.10.(5分)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|φ|的最小值为()A.B.C.D.【考点】HB:余弦函数的对称性.【专题】11:计算题.【分析】先根据函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,令x=代入函数使其等于0,求出φ的值,进而可得|φ|的最小值.【解答】解:∵函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称.∴∴由此易得.故选:A.【点评】本题主要考查余弦函数的对称性.属基础题.11.(5分)已知二面角α﹣l﹣β为60°,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为()A.1B.2C.D.4【考点】LQ:平面与平面之间的位置关系.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】分别作QA⊥α于A,AC⊥l于C,PB⊥β于B,PD⊥l于D,连CQ,BD 则∠ACQ=∠PBD=60°,在三角形APQ中将PQ表示出来,再研究其最值即可.【解答】解:如图分别作QA⊥α于A,AC⊥l于C,PB⊥β于B,PD⊥l于D,连CQ,BD则∠ACQ=∠PDB=60°,,又∵当且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值.故选:C.【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,以及空间中直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.12.(5分)已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF 交C于点B,若=3,则||=()A.B.2C.D.3【考点】K4:椭圆的性质.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】过点B作BM⊥x轴于M,设右准线l与x轴的交点为N,根据椭圆的性质可知FN=1,进而根据,求出BM,AN,进而可得|AF|.【解答】解:过点B作BM⊥x轴于M,并设右准线l与x轴的交点为N,易知FN=1.由题意,故FM=,故B点的横坐标为,纵坐标为±即BM=,故AN=1,∴.故选:A.【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义,属基础题.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(x﹣y)10的展开式中,x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240.【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题.【分析】首先要了解二项式定理:(a+b)n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n,各项的通项公式为:T r=C n r a n﹣r b r.然后根据题目已知求解即可.+1【解答】解:因为(x﹣y)10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3(﹣1)3=﹣C103x7y3,含x3y7的项为C107x10﹣7y7(﹣1)7=﹣C107x3y7.由C103=C107=120知,x7y3与x3y7的系数之和为﹣240.故答案为﹣240.【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题,对于公式:(a+b)n=C n0a n b0+C n1a n ﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n,属于重点考点,同学们需要理解记忆.14.(5分)设等差数列{a n}的前n的和为S n,若S9=72,则a2+a4+a9=24.【考点】83:等差数列的性质.【分析】先由S9=72用性质求得a5,而3(a1+4d)=3a5,从而求得答案.【解答】解:∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3(a1+4d)=3a5=24故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系.15.(5分)已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于16π.【考点】LG:球的体积和表面积.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】由题意求出圆M的半径,设出球的半径,二者与OM构成直角三角形,求出球的半径,然后可求球的表面积.【解答】解:∵圆M的面积为3π,∴圆M的半径r=,设球的半径为R,由图可知,R2=R2+3,∴R2=3,∴R2=4.∴S=4πR2=16π.球故答案为:16π【点评】本题是基础题,考查球的体积、表面积的计算,理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系,是本题的突破口,解题重点所在,仔细体会.16.(5分)若直线m被两平行线l1:x﹣y+1=0与l2:x﹣y+3=0所截得的线段的长为,则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是①或⑤(写出所有正确答案的序号)【考点】I2:直线的倾斜角;N1:平行截割定理.【专题】11:计算题;15:综合题;16:压轴题.【分析】先求两平行线间的距离,结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为,求出直线m与l1的夹角为30°,推出结果.【解答】解:两平行线间的距离为,由图知直线m与l1的夹角为30°,l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°.故填写①或⑤故答案为:①或⑤【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角,两条平行线间的距离,考查数形结合的思想.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3﹣S3=12,求{a n},{b n}的通项公式.【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】11:计算题.【分析】设{a n}的公差为d,数列{b n}的公比为q>0,由题得,由此能得到{a n},{b n}的通项公式.【解答】解:设{a n}的公差为d,数列{b n}的公比为q>0,由题得,解得q=2,d=2∴a n=1+2(n﹣1)=2n﹣1,bn=3•2n﹣1.【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和,基础题.18.(12分)在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2﹣c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b.【考点】HR:余弦定理.【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系,再根据a2﹣c2=2b即可得到答案.【解答】解:法一:在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有:,化简并整理得:2(a2﹣c2)=b2.又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2.解得b=4或b=0(舍);法二:由余弦定理得:a2﹣c2=b2﹣2bccosA.又a2﹣c2=2b,b≠0.所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC,∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin(A+C)=4cosAsinC,即sinB=4cosAsinC由正弦定理得,故b=4ccosA②由①,②解得b=4.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用.属基础题.19.(12分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD,AD=,DC=SD=2,点M在侧棱SC上,∠ABM=60°(I)证明:M是侧棱SC的中点;(Ⅱ)求二面角S﹣AM﹣B的大小.【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系;MJ:二面角的平面角及求法.【专题】11:计算题;14:证明题.【分析】(Ⅰ)法一:要证明M是侧棱SC的中点,作MN∥SD交CD于N,作NE⊥AB交AB于E,连ME、NB,则MN⊥面ABCD,ME⊥AB,设MN=x,则NC=EB=x,解RT△MNE即可得x的值,进而得到M为侧棱SC的中点;法二:分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz,并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标,然后根据中点公式进行判断;法三:分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz,构造空间向量,然后数乘向量的方法来证明.(Ⅱ)我们可以以D为坐标原点,分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz,我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小.【解答】证明:(Ⅰ)作MN∥SD交CD于N,作NE⊥AB交AB于E,连ME、NB,则MN⊥面ABCD,ME⊥AB,设MN=x,则NC=EB=x,在RT△MEB中,∵∠MBE=60°∴.在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1,从而∴M为侧棱SC的中点M.(Ⅰ)证法二:分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz,则.设M(0,a,b)(a>0,b>0),则,,由题得,即解之个方程组得a=1,b=1即M(0,1,1)所以M是侧棱SC的中点.(I)证法三:设,则又故,即,解得λ=1,所以M是侧棱SC的中点.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,,设分别是平面SAM、MAB的法向量,则且,即且分别令得z1=1,y1=1,y2=0,z2=2,即,∴二面角S﹣AM﹣B的大小.【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值;空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值;空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值;20.(12分)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.(Ⅰ)求再赛2局结束这次比赛的概率;(Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率.【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.【专题】12:应用题.【分析】根据题意,记“第i局甲获胜”为事件A i(i=3,4,5),“第j局甲获胜”为事件B i(j=3,4,5),(1)“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件,而每局比赛之间是相互独立的,进而计算可得答案,(2)若“甲获得这次比赛胜利”,即甲在后3局中,甲胜2局,包括3种情况,根据概率的计算方法,计算可得答案.【解答】解:记“第i局甲获胜”为事件A i(i=3,4,5),“第j局甲获胜”为事件B i(j=3,4,5).(Ⅰ)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A,则A=A3•A4+B3•B4,由于各局比赛结果相互独立,故P(A)=P(A3•A4+B3•B4)=P(A3•A4)+P(B3•B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P (B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.(Ⅱ)记“甲获得这次比赛胜利”为事件H,因前两局中,甲、乙各胜1局,故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5,由于各局比赛结果相互独立,故P(H)=P(A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5)=P(A3•A4)+P(B3•A4•A5)+P(A3•B4•A5)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率,解题之前,要分析明确事件间的关系,一般先按互斥事件分情况,再由相互独立事件的概率公式,进行计算.21.(12分)已知函数f(x)=x4﹣3x2+6.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点,求l的方程.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】16:压轴题.【分析】(1)利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解.(2)根据已知,只需求出f(x)在点P处的导数,即斜率,就可以求出切线方程.【解答】解:(Ⅰ)令f′(x)>0得或;令f′(x)<0得或因此,f(x)在区间和为增函数;在区间和为减函数.(Ⅱ)设点P(x0,f(x0)),由l过原点知,l的方程为y=f′(x0)x,因此f(x0)=f′(x0)x0,即x04﹣3x02+6﹣x0(4x03﹣6x0)=0,整理得(x02+1)(x02﹣2)=0,解得或.所以的方程为y=2x或y=﹣2x【点评】本题比较简单,是一道综合题,主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识,应熟练掌握.22.(12分)如图,已知抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点.(Ⅰ)求r的取值范围;(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标.【考点】IR:两点间的距离公式;JF:圆方程的综合应用;K8:抛物线的性质.【专题】15:综合题;16:压轴题.【分析】(1)先联立抛物线与圆的方程消去y,得到x的二次方程,根据抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根,可求出r的范围.(2)先设出四点A,B,C,D的坐标再由(1)中的x二次方程得到两根之和、两根之积,表示出面积并求出其的平方值,最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标.【解答】解:(Ⅰ)将抛物线E:y2=x代入圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)的方程,消去y2,整理得x2﹣7x+16﹣r2=0(1)抛物线E:y2=x与圆M:(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是:方程(1)有两个不相等的正根∴即.解这个方程组得,.(II)设四个交点的坐标分别为、、、.则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•(x﹣x1),y+=(x﹣x1),解得点P的坐标为(,0),则由(I)根据韦达定理有x1+x2=7,x1x2=16﹣r2,则∴令,则S2=(7+2t)2(7﹣2t)下面求S2的最大值.由三次均值有:当且仅当7+2t=14﹣4t,即时取最大值.经检验此时满足题意.故所求的点P的坐标为.【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题.圆锥曲线是高考必考题,要强化复习.。
近十年清华北大自主招生试题汇总
1.(2007清华)对于集合2M R ⊆(表示二维点集),称M 为开集,当且仅当0,0P M r ∀∈∃>,使得{}2P R PP r M ∈<⊆⎰。
判断集合{}(,)4250x y x y +->⎰与集合{}(,)0,0x y x y ≥>⎰是否为开集,并证明你的结论。
2,(2009北大)已知,cos cos 21x R a x b x ∀∈+≥-恒成立,求max ()a b +3,(2009清华)已知,,0x y z >,a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。
求证:3a b c x y z ++≥。
4,(2006清华)已知a ,b 为非负数,44M a b =+,a+b=1,求M 的最值。
5,(2008北大)实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++,122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++,123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。
求证:12312m a x (,,)m a x (,,)a a a b b b ≤。
6,(2009清华)试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…,使得()0f x =有一根为7,(2009清华)x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数,求证:222112n n n xy -+≥8,(2007北大) 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+,求f(1)+f(2)+…+f(50)。
9,(2006清华)设正三角形1T 的边长为a ,1n T +是n T 的中点三角形,n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和,求1lim n k n k A →∞=∑。
10,(2008北大)数列{}1n n a ∞=定义如下:1234561,2,3,a a a a a a ======……(1) 给定自然数n ,求使l a n =的L 的范围;(2) 令221m m l l b a ==∑,求3limm m b m →∞。
2009年清华大学自主招生与保送考试试题(各科齐全)
2009年1月1-2日清华大学自主招生考试试题分两天1月1日上午9:00-12:00 中英文综合200分下午2:00-3:30 数学100分下午4:00-5:30 物理100分1月2日上午9:00-12:00 理科综合300分,数学物理化学各100分中英文综合题型分值第一部分英语基础(40分)单选词汇(1分×10)单元语法与词汇(1分×10)完形填空(1分×20)第二部分英语阅读(2分×20=40分)共8篇左右,每篇后2至3个单选题。
内容基本为美国文化政治第三部分中文(94分)4篇文章,后面分5大题:每篇的阅读理解题,第五大题为新词解释与作文第四部分中英文综合应用(26分)给一段文言文,翻译成中文(6分),用英文概括大意并评论(20分)第一部分英语基础(略)第二部分英语阅读(略)第三部分中文(全)白居易的粉丝李国文中国文学,一直有大众化和小众化的分野。
唐代的白居易,则是最能代表中国文学大众化的典型诗人。
白居易,生于公元772年(唐代宗大历七年),终于公元846年(唐武宗会昌六年),活了74岁。
经历顺宗、宪宗、穆宗、敬宗、文宗、武宗六朝。
无论当时,无论后世,谈及这位诗人,离不开以下三点:一,他在诗坛领袖群伦,推动潮流的地位;二,他在朝野引起轰动,遐迩知名的程度;三,作为诗人,他在当时中国人之大多数心目中的无与伦比的尊崇,非同凡响的声望,他的粉丝,可以说是举国上下,遍地皆是,大江南北,无处不在,这也许是最值得大书而特书的中国文学的‚白居易现象‛。
他的朋友元稹为他的诗集《白氏长庆集》序中,这样写道:‚二十年间,禁省、观寺、邮候、墙壁之上无不书,王公、妾妇、马走之口无不道。
缮写模勒,炫卖于市井中,或持之以交酒茗者,处处皆是。
‛明人胡震享的《唐音癸签》一书中引《丰年录》:‚开成中,物价至贱,村路卖鱼肉者,俗人买以胡绡半尺,士大夫买以乐天诗。
‛白居易的一首诗,竟可以换来一条胖头鱼,一方五花肉,我估计当代诗人的作品,怕难以卖出这样的高价来。
2009年全国高考文科数学试题及答案-新课标卷
的各个数的和等于(Fra bibliotek)10EF
1 2
(D)既无最小值,也无最大值
,则下列结论中
对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,通系电1,力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配,机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2,下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷,32调需3各控要类试在管验最路;大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷,下安要与全加过,强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中;中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整,理核或高对者中定对资值某料,些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒,卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置,接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资,,料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气,敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术,技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方;资式对料,整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资,课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试,且技合进术理行,利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。:对对在于于分调差线试动盒过保处程护,中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技,,术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板,变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生;握内同图部一纸故线资障槽料时内、,设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷,试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高,技中要术资进资料行料试检,卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。
一道2009年清华大学自主招生数学试题的背景
质 数 问题 非 常古 老 , 中 的猜 想 很 多 也 很 有 之
名, 比如哥 德 巴赫 ( lb c ,6 0~ 1 6 )猜 想 God ah 1 9 74 等 . 裔 数学 家 陶哲 轩 ( rn eT o 1 7 ]华 Tee c a ,9 5~)
81 ,4的素数 等 差数 列分 别 只有 一 个 , 们 分别 是 它 3 5 7 3 7 1 ; ,l 1 ; ,7 3 , 存 在 公 差 为 , , ; , , 1 3 1 , 9 3 1 ,1 不
P∑n n+3 c + ∑ a b
2( 一 a) ~ 6) P — f 户 ( ( )
由推论 易得 文 [ ]的结论 , 3 还可 得 : 差 为 2 公 , 4 8 1 ,o 2 ,4 3 ,o 5 , ,4 2 。8 3 , 8 4 ,O的 素 数 等 差 数 列 分
别 只有一 个 ( 首 项 与项 数均 是 3 ; 存 在 公 差 且 )不
为 1 , 2 2 ,2 4 ,6的素 数 等差数 列. 6 2 , 6 3 ,4 4
~
2 p。+ p( p2— 8 2 Rr一 2 。 r )+ 1 Rr 2 p
2 rP
一
1 6的 素数 等差 数列 .
笔 者在 文[ ]中证 得 了 4 定 理 1 首项 不 是 3的素 数等 差数 列 的公 差
一
堡 一1
.
是 6的倍 数 .
所 以 有
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公差 为 8的等差数 列 , 并证 明你 的结论 .
解 设 这个 等差 数 列为 a a 8 a+ 1 . ,+ , 6
若 0— 3 ( n n∈ N , ) 因为 a为质 数 , 以 a一 所 3 得 这个 等 差数 列为 3 l ,9 符 合题 意 , ,l 1 ,
真题 2009年清华大学自主招生数学试题
2009年清华大学自主招生数学试题(转)2009-04-20 16:131.(根号5+1)/(根号5-1)的整数部分为A,小数部分为B.(1) 求A、B ;(2)求A^2+B^2+AB/2 ;(3)求(B+B^2+B^3……+B^n)的极限(n趋向于正无穷时).2. 证明以下不等式:(1) x+y=1,求证对于任意正整数n,有x^2n+y^2n>2^(1-2n) ;(2)有正实数a,b,c,他们的另一种排列是x,y,z,求证a/x+b/y+c/z>=3 .3. 请写出所有三个数都是质数,且公差为8的等差数列,并证明之.4. 过椭圆左顶点做直线,交椭圆于Q,交y轴于R,再过原点做其平行线,交椭圆于P,证AR、根号2*AP、AQ成等比.5. sint+cost=1, s=cost+isint,求f(t)=1+s+s^1+s^2+s^3+....+s^n.6. 一个四面体,对边两两相等.证明四个侧面都是锐角三角形.(第二小题每做出,结果回来路上把题目忘了。
)7)证明一个数列a1,a2,a3...,a(2n+1)中各数相等的充分必要条件是满足条件P,即其中任意2n个元素中n个元素之和=另外n个元素之和。
8) 证当p,q都为奇数时,y=x^2-2px+2q与x轴交点的横座标为无理数理科综合数学1)求值:绝对值(2*e^(iπ*2/5)+e^(iπ*6/5)+2)2)问,能不能由有限个抛物线以及其内部覆盖整个平面并证明。
(抛物线将平面分成两部分,其中有焦点的一部分称为它的内部)3)请写出一个整系数方程,使它有一个根是(更号2+三次更号3)4)有一百个集装箱,里面有200个货物。
在取出来的过程中货物的顺序被打乱了。
现在要将他们按一定的规则重新装入集装箱中。
将货物依次取出,依次放入集装箱中,集装箱体积都是1,且每个集装箱最多放两个货物,若装了一个货物后装不下第二个,那么就将这个集装箱密封,把这个货物装到下个集装箱中。
2009年清华大学北大自主招生试题
清华大学考试科目笔试1月1日-2日理科:语文、数学、英语、物理和化学。
文科:语文、数学、英语、历史和政治。
面试:2009年1月中旬。
笔试成绩占70%,面试成绩占30%。
●“中英文综合题”——《汉书艺文志》》:“小说家者流,盖出于稗官,街谈巷语,道听途说者之所造也。
”要求考生先用现代汉语把这段古文翻译出来,再用英语概括其大义,并评论其观点。
●从“酷”“粉丝”“小众化”“媒体”等十个流行名词中选择5个,来解释其含义。
●名词解释:社会主义核心体系、恒生指数、独孤求败、文曲星、欧佩克、路透社等40个。
●将杜甫的《旅夜书怀》翻译成英文:细草微风岸,危樯独夜舟。
星垂平野阔,月涌大江流。
名岂文章著?官应老病休!飘飘何所似?天地一沙鸥!●作文:给出四段文章,内容分别为“历史与现实”、“传统油画是否过时”、“四年前一次与奥巴马在机场的相遇”等,彼此关系不大,但要求考生如果用这四篇文章组成报纸的一个副刊版面,给版面取一个名字,并阐述理由,要求不少于800字。
【文综】名词解释涵盖文史政经文科综合考试的第一部分是对40个名词进行解释,涵盖面非常广,包括历史、政治、经济、文学等各个方面,需要很大的阅读面和知识面。
第二部分是诗歌翻译,先把一首英文诗歌翻译成汉语;再把杜甫的《旅夜书怀》翻译成外语。
第三部分是评论题目,给出了选自《论语》、《孟子》和《荀子》中的多段语录,要求考生以“权威与个人”为题,不限文体和篇幅,分析这些论点,并写一篇文章阐述观点。
这个题目是国外某重点大学聘用终身国学大师所考的题目。
孟芊说,根据协议,参与命题的这所大学的教师将参与最终阅卷。
【理综】题目涉诺奖得主研究领域在理科综合试题中,理科卷分为数、理、化三部分。
其中化学题还涉及2002年诺贝尔化学奖获得者研究领域,在物理题中有道题问考生“如何在太空站这种失重环境下测量宇航员的质量”。
一方面考题重视考查学生的研究探索能力、解决实际问题的能力;另一方面也重视考生对理、化学科本身的理解。
2009年清华大学自主招生试题及其解答
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。打乱顺序后,最坏的顺序为:
交流知识
共享智慧
文 武 光 华
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显然,除了最后的
两件货物装在同一个集装箱中,其它每件货物都独装一个
集装箱。 综上所述,至少需要 199 个集装箱,才能保证能将所有货物装箱。 5、甲、乙两人轮流向黑板上写正整数,规则是:若a 、a 、a 、 … … 、a 出现在黑板 上,则形如∑ a x 的数都不能写,其中x 为任意非负整数。不得不写 1 的人算输。初始状 态黑板上写着 5、6,如果甲先写,问甲、乙两人谁有必胜策略? 解答:我们将所有正整数数按模 5 的余数分类: (1)5k型的正整数,均不可写; (2)5k + 1型的正整数均不可写:当k = 0时,1 不可写;当k ≥ 1时,5k + 1 = 5(k − 1) + 6不可写; (3)5k + 2型的正整数只可写2、7:当k ≥ 2时,5k + 2 = 5(k − 2) + 6 × 2不可写; (4)5k + 3型的正整数只可写3、8、13:当k ≥ 3时,5k + 3 = 5(k − 3) + 6 × 3,不 可写; (5)5k + 4型的正整数只可写4、9、14、19 :当k ≥ 4时,5k + 4 = 5(k − 4) + 6 × 4, 不可写。 于是知,初始时,黑板上只可写2、3、4、7、8、9、13、14、19这九个数。 甲先取 19。将剩下的八个数两两配对: ① 2,3 、② 4,7 、③ 8,9 、④ 13,14 。 易见,(1)这四组数中,排在前面的一组数取到,则后面的数都不可取了;(2)这四组数 中,每组中的一个数可取,则另一个数一定可取。于是,无论乙取那一个数,甲都取同组中 另一个数。最终乙将无数可取,所以甲有必胜策略。 6、问 64 匹马能否通过 50 场比赛,比出任意两匹马之间的优劣?(每场比赛至多 8 匹 马参赛) 解答:能比出。我们如下安排比赛: (1)将 64 匹马,分成八组,每组 8 匹马。每组马比赛一场,即可在本组内排出优劣。 如此,经过 8 场比赛,则八组马在组内都可排出优劣顺序。 (2)将八组马两两合并成四队,每队两组共 16 匹马。注意到每队 16 匹马中最好的 4 匹,必然在原先两组的前四名中,因此取原先两组的前四名共 8 匹马比赛,其前四名必然 为本队的前四名。将这 4 匹马从原来的组中除去,再取两组的前 4 匹马,共 8 匹马进行比 赛,其前四名必然为本队的五至八名。最后将本队剩下的 8 匹马比赛一次,则可以将本队 的 16 匹马排出优劣顺序。四个队,共进行 3×4=12 次比赛,则四队马在队内都可排出优劣 顺序。 (3)将四队马两两合并成两班,每班两队共 32 匹马。注意到每班 32 匹马中最好的 4 匹,必然在原先两对的前四名中,因此取原先两队的前四名共 8 匹马比赛,其前四名必然 为本班的前四名。将这 4 匹马从原来的队中除去,再取两队的前 4 匹马,共 8 匹马进行比 赛,其前四名必然为本班的五至八名。依次类推,六场比赛后,还剩下 8 匹马,最后将这 8 匹马比赛一次,则可以将本班的 32 匹马排出优劣顺序。两个班,共进行 7×2=14 次比赛, 则两班马在班内都可排出优劣顺序。 (4)最后将两个班合并为一个群,本群即为全部的 64 匹马。注意到群内 64 匹马中最 好的 4 匹,必然在原先两班的前四名中,因此取原先两班的前四名共 8 匹马比赛,其前四 名必然为本群的前四名。将这 4 匹马从原来的班中除去,再取两班的前 4 匹马,共 8 匹马 进行比赛,其前四名必然为本群的五至八名。依次类推,比赛 14 场后,还剩下 8 匹马,最 后将这 8 匹马比赛一次,则可以将本群的 64 匹马排出优劣顺序。 依照上面的比赛安排,共进行 8+12+14+15=49 场比赛,即可以将 64 匹马排出优劣顺序。
2009年高考新课标全国卷-文科数学(含标准答案)
2009年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)一、选择题:本大题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中 ,中有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则A B =A.{3,5} B .{3,6} C.{3,7} D.{3,9}2.复数3223i i+=- A.1 B.1- C .i (D)i -3.对变量,x y 有观测数据(i x ,i y )(1,2,,10i =⋅⋅⋅),得散点图1;对变量,u v 有观测数据(i u ,i v )(i=1,2,…,10),得散点图2. 由这两个散点图可以判断A.变量x与y 正相关,u 与v 正相关 B .变量x 与y正相关,u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关,u 与v正相关 D.变量x 与y负相关,u 与v 负相关4.有四个关于三角函数的命题:1p :∃x∈R , 2sin 2x +2cos 2x =12 2p : ,x y R ∃∈, sin()sin sin x y x y -=- 3p : ∀x ∈[]0,π1cos 2sin 2x x -= 4p : sin cos 2x y x y π=⇒+= 其中假命题的是 A.1p ,4p B.2p ,4p C .1p ,3p D.2p ,3p5.已知圆1C :2(1)x ++2(1)y -=1,圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称,则圆2C 的方程为 A.2(2)x ++2(2)y -=1 B.2(2)x -+2(2)y +=1C .2(2)x ++2(2)y +=1D .2(2)x -+2(2)y -=1 6.设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+A .有最小值2,最大值3B .有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值7.已知()()3,2,1,0=-=-a b ,向量λ+a b 与2-a b 垂直,则实数λ的值为A.17-B.17 C .16- D .168.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2110m m m a a a -++-=,2138m S -=,则m =A .38B .20 C.10 D.99.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1,线段11B D 上有两个动点E ,F,且12EF =,则下列结论中错误的是 A .AC BE ⊥ B.E F∥平面ABC DC.三棱锥A BEF -的体积为定值 D .△AEF 的面积与△BE F的面积相等10.执行如图所示的程序框图,输入2,0.5x h =-=,那么输出的各个数的和等于A.3B. 3.5C. 4 D.4.511.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:2cm )为 A .48122+ B.48242+ C .36122+ D .36242+12.用min{a,b ,c}表示a ,b ,c 三个数中的最小值.设()min{2,2,10}xf x x x =+-(x≥0),则()f x 的最大值为A .4 B.5 C.6 D .7 第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.曲线21x y xe x =++在点(0,1)处的切线方程为________________.14.已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x 轴上,直线y=x 与抛物线C 交于A,B 两点,若(2,2)P 为AB 的中点,则抛物线C的方程为________________.15.等比数列{}n a 的公比0q >, 已知2a =1,216n n n a a a +++=,则{n a }的前4项和4S =________________.。
2009年清华大学自主招生数学试题(无答案)
2009年清华大学自主招生数学试题
1、(5^0.5+1)/(5^0.5-1)整数部分为A,小数部分为B。
求:(1)A、
B(2)B+B^2+B^3+……+B^n
2、求证:(1)当x+y=1,x^2n+y^2n≥0.5^(2n-1) (2)a,b,c>0,任意将其排序为x,y,z。
求证:a/x+b/y+c/z>=3
3、问x^2+2px+2q=0,p、q是奇数时是否有有理数根,证明之。
4、椭圆x^2/(a^2)+y^2/(b^2)=1,过A(-a,0)做l交椭圆与P交y轴于R,过O做l’平行于l交椭圆于Q。
求证:AP、根二倍OQ、AR成等比数列
5、写出所有公差是8的三项等差质数列。
6、sin t+cos t=1,z=cos t+i sin t(i是虚数单位),求z^0+z^1+z^2+z^3+……+z^n
7、求证:a1,a2,a3,a4……a2n+1各项相等的充要条件是数列‘an’满足条件:从中任取2n项,均可分成各含n项的两组使两组各项之和相等
8、四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC,求证:(1)其四个面都是锐角三角形(2)若同一面上三个二面角是a,b,c,cosa+cosb+cosc=1
9、三位数中任取一数,求:它是5的倍数的概率;它恰有两位数字相等的概率
1。
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2009年清华大学自主招生数学试题(文科)
1.已知数列{}n a ,且()1n S na n n =+-
()1求证:{}n a 是等差数列;()2求,n
n S a n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
所在的直线方程
2.12名职员(其中3名为男性)被平均分配到3个部门
()1求此3名男性被分别分到不同部门的概率;
()2求此3名男性被分到同一部门的概率;
()3若有一男性被分到指定部门,求其他2人被分到其他不同部门的概率
3.一元三次函数()f x 的三次项数为3
a ,()90f x x +<的解集为()1,2 ()1若()70f x a +=,求()f x 的解析式;()2若()f x 在
上单调增,求a 的范围
4.已知PM PN -=()2,0M -,()2,0N ,
求点P 的轨迹W ;直线()2y k x =-与W 交于点A 、B ,求S OAB (O 为原点)
5.设()12n x x x a n n
++=∈ ()()()()()()12231n n n S x a x a x a x a x a x a -=--+--++-- ()1求证:30S ≤
()2求4S 的最值,并给出此时1x ,2x ,3x ,4x 满足的条件 ()3若50S <,求1x ,2x ,3x ,4x ,5x 不符合时的条件。