课时提能演练(八) 课后巩固作业(八) 2.1.2

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课时提能演练(八)/课后巩固作业(八)
（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.下列说法正确的个数是( )
(1)某平面内的一条直线和这个平面外的直线是异面直线.
(2)空间中没有公共点的两条直线是异面直线.
(3)若两条直线和第三条直线所成的角相等则这两条直线必平行.
(4)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直.
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
2.(2012·泉州高一检测)在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线CD1和MN所成的角为( )
(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°
3.(易错题)下列说法：
①若直线a,b异面，b,c异面，则a,c异面；
②若直线a,b相交，b,c相交，则a,c相交；
③若a∥b，则a,b与c所成的角相等；
④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.
其中正确的个数是( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
4.(2012·福州高一检测)如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB 与CD的位置关系为( )
(A)相交(B)平行
(C)异面而且垂直(D)异面但不垂直
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下结论：
①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为___________(注：把你认为正确的结论的序号都填上).
6.G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH,MN 是异面直线的图形有___________.(填上所有正确答案的序号
)
三、解答题(每小题8分，共16分)
7.如图所示，不共面的三条直线a,b,c 交于点O ，在点O 的同侧a,b,c 上分别取点A 和A 1、B 和B 1、C 和C 1，使得
111
OA OB OC
OA OB OC ==，
求证：△ABC ∽△A 1B 1C 1
.
8.在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形且
AB=BC=ABC=120°，若异面直线A 1B 和AD 1所成的角为90°，试求AA 1
.
【挑战能力】
(10分)如图,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°,
BC∥AD,BC=1
2AD,BE∥FA,BE=1
2
FA，G，H分别为FA，FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?
答案解析
1.【解析】选A.(1)错误.某平面内的一条直线和这个平面外的直线可以是异面直线，也可以是相交直线或平行直线.
(2)错误.空间中没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线.
(3)错误.除平行外,还可以相交或异面.
(4)正确.根据异面直线所成角的定义可知：若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直.
2.【解析】选C.连接BC1、AD1.
∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，
∴MN∥BC1.又正方体AC1中AD1∥BC1，
∴MN∥AD1,∴∠AD1C(或其补角)是异面直线CD1和MN所成的角.
∵AD1=CD1=AC,∴△ACD1是等边三角形.
∴∠AD1C=60°,∴异面直线CD1和MN所成的角为60°.
【变式训练】E，F，G分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1C1，B1C，CD1的对角线的交点，则AE与FG所成的角为( )
(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°
【解析】选A.如图，设AC交BD于点O.
∵EC 1AO，故AE∥OC1.
在△C1DB中，O是BD的中点，C1D=C1B，
∴OC1⊥BD.
又FG∥BD，
∴OC1⊥FG，
∴AE⊥FG，则AE与FG所成的角为90°.
3.【解析】选D.①错误.若直线a,b异面，b,c异面，则a,c可以异面，也可以相交或平行.
②错误.若直线a,b相交，b,c相交，则a,c异面、平行、相交都有可能；
③正确.根据平面内两条直线的夹角和异面直线所成的角的定义知③正确；
④错误.若a⊥b，b⊥c，则a,c异面、平行、相交都有可能.
只有③正确，故选D.
【误区警示】解答本题容易误认为④正确，这是由于认为平面中成立的结论在空间中也成立的原因.实际上，在平面中成立的结论拓展到空间后是否成立，其正确性是需要证明的.
4.【解题指南】先将展开图还原为正方体，判断AB与CD是否共面，若是异面直线则再作出AB与CD所成的角，判断其是否为直角.
【解析】选D.将展开图还原为正方体，如图所示
.
AB 与CD 所成的角为60°，故选D.
5.【解析】直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与MB 1是异面直线，直线AM 与DD 1是异面直线，故①②错误，③④正确. 答案：③④
6.【解析】对于(1)，连接GM ，显然四边形GMNH 是平行四边形；对于(3)，连接GM ，易知GM ∥HN ，故(1),(3)中GH 与MN 共面；(2),(4)中GH 与MN 是异面的. 答案:(2)(4)
7.【证明】∵11
OA OB
,OA OB = ∴A 1B 1∥AB. ∵
11
OB OC
OB OC =
,∴B 1C 1∥BC, 结合图形，由等角定理可得∠ABC=∠A 1B 1C 1， 同理可证∠BAC=∠B 1A 1C 1， ∴△ABC ∽△A 1B 1C 1. 8.【解析】连接CD 1,AC ，
由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1=BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.
∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
∴∠AD1C=90°.
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=
∴△ACD1是等腰直角三角形，
AC.
∴AD1=
2
∵底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=ABC=120°，
，
∴AC=sin60°×2=6，∴AD1=
2
∴
AA===
1
【挑战能力】
【解题指南】(1)只需证BC∥GH，BC=GH
(2)先证四边形BEFG为平行四边形,再证明EF∥CH即得. 【解析】(1)由已知FG=GA,FH=HD,可得
GH∥AD，GH=1
2AD.又BC∥AD,BC=1
2
AD,
∴GH∥BC,GH=BC,
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)C，D，F，E四点共面.证明如下: 由BE∥FA,BE=1
2
FA,G为FA中点知, BE∥FG,BE=FG,
∴四边形BEFG为平行四边形,
∴EF∥BG，EF=BG.
由(1)知BG∥CH,BG=CH，
∴EF∥CH,EF=CH，
∴四边形EFHC是平行四边形，
∴CE与HF共面，又D∈FH,
∴C,D,F,E四点共面.。