利用空间向量证明线面平行
用空间向量证(解)立体几何题之——证明线面平行ppt 人教课标版
( 1 , 1 , 1 ) 同理可得平面 CB1D 1的法向量为m
例4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、 G、H分别是A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的 中点. 求证： 平面AEH∥平面BDGF
例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证： A 1 平面A1BD∥平面CB1D1
平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C 平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD
D1
B1
C1
D A B
C
于是平面A1BD∥平面CB1D1
证明：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz 设正方形边长为1， A1 ( 1 ,0 , 1 ) 则向量 DA 1
C N B
再见
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46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤
专题08 利用空间向量证明平行、垂直(解析版)
2020年高考数学立体几何突破性讲练08利用空间向量证明平行、垂直一、考点传真：能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系二、知识点梳理：证明平行、垂直问题的思路(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．3其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.三、例题：例1. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【解析】证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .例2.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面，，，，，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)∵面PAD面ABCD AD =，面PAD ⊥面ABCD ，∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ，P ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AMAP∵PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，∴PD ⊥面PAB ， (2)取AD 中点为O ，连结CO ，PO ，∵CD AC == ∴CO ⊥AD ， ∵PA PD =， ∴PO ⊥AD ，以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，则(111)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，．011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有，sin cos ,1n PB n PB n PBθ⋅=<>== (3)假设存在M 点使得BM ∥面PCD ， 设AMAPλ=，()0,','M y z ， 由(2)知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒- ∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量， ∴0BM n ⋅=，即102λλ-++=，∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求． 例3.（2011安徽）如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==OAB ∆，OAC ∆，ODE ∆，ODF ∆都是正三角形． （Ⅰ）证明直线BC ∥EF ； （Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积．【解析】（Ⅰ）（综合法）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点． 由于OAB ∆与ODE∆都是正三角形，所以OB ∥DE 21，OG=OD=2， 同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合．在GED ∆和GFD 中，由OB ∥DE 21和OC ∥DF 21，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是GEF ∆的中位线，故BC ∥EF ．（向量法）过点F 作AD FQ ⊥，交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ，以Q 为坐标原点，QE 为x 轴正向，QD 为y 轴正向，QF 为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系． 由条件知).23,23,0(),0,23,23(),3,0,0(),0,0,3(--C B F E则有33(,0,),(3,0,BC EF =-=- 所以,2=即得BC ∥EF ．（Ⅱ）由OB=1，OE=2，23,60=︒=∠EOB S EOB 知，而O E D ∆是边长为2的正三角形，故.3=OED S 所以.233=+=OED EOB OBED S S S过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F —OBED 的高，且FQ=3，所以.2331=⋅=-OBED OBED F S FQ V 例4.（2011江苏）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，BAD ∠=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点． 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面PCD ；（Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD ．【证明】（Ⅰ）在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD ．又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF//平面PCD ．（Ⅱ）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以ABD ∆为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ．又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ．例5.(2010广东)如图，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB FD ==，EF =．（Ⅰ）证明：EB FD ⊥；（Ⅱ）已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，23FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．【证明】：（Ⅰ）连结CF ，因为¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，所以EB AC ⊥．在RT BCE ∆中，EC ===．在BDF ∆中，BF DF ==，BDF ∆为等腰三角形， 且点C 是底边BD 的中点，故CF BD ⊥．在CEF ∆中，222222)(2)6CE CF a a EF +=+==，所以CEF ∆为Rt ∆，且CF EC ⊥．因为CF BD ⊥，CF EC ⊥，且CE BD C =I ，所以CF ⊥平面BED ， 而EB ⊂平面BED ，CF EB ∴⊥．因为EB AC ⊥，EB CF ⊥，且AC CF C =I ，所以EB ⊥平面BDF ， 而FD ⊂平面BDF ，EB FD ∴⊥．（Ⅱ）设平面BED 与平面RQD 的交线为DG ．由23FQ FE =，23FR FB =，知//QR EB ． 而EB ⊂平面BDE ，∴//QR 平面BDE ， 而平面BDE I 平面RQD = DG ， ∴////QR DG EB ．由（Ⅰ）知，BE ⊥平面BDF ，∴DG ⊥平面BDF ， 而,DR DB ⊂平面BDF ，∴DG DR ⊥，DG DQ ⊥， ∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角． 在Rt BCF ∆中，2CF a ===，sin FC RBD BF ∠===cos RBD ∠==． 在BDR ∆中，由23FR FB =知，133BR FB ==，由余弦定理得，RD== 由正弦定理得，sin sin BR RD RDB RBD=∠∠，即332sin RDB =∠，sin RDB ∠=故平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值为29．为GC 的中点，FO ＝3，且FO ⊥平面ABCD .(1)求证：AE ∥平面BCF ； (2)求证：CF ⊥平面AEF .【解析】证明 取BC 中点H ，连接OH ，则OH ∥BD ，又四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD ，∴OH ⊥AC ，故以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A (3，0，0)，C (－1，0，0)，D (1，－2，0)，F (0，0，3)，B (1，2，0).BC →＝(－2，－2，0)，CF →＝(1，0，3)，BF →＝(－1，－2，3). (1)设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2x －2y ＝0，x ＋3z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－3，3，1). 又四边形BDEF 为平行四边形， ∴DE →＝BF →＝(－1，－2，3)， ∴AE →＝AD →＋DE →＝BC →＋BF →＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，3)＝(－3，－4，3)， ∴AE →·n ＝33－43＋3＝0，∴AE →⊥n ， 又AE ⊄平面BCF ，∴AE ∥平面BCF .(2)AF →＝(－3，0，3)，∴CF →·AF →＝－3＋3＝0，CF →·AE →＝－3＋3＝0， ∴CF →⊥AF →，CF →⊥AE →， 即CF ⊥AF ，CF ⊥AE ， 又AE ∩AF ＝A ， AE ，AF ⊂平面AEF ， ∴CF ⊥平面AEF .2.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直，M 为AA 1的中点，N 为BC 1的中点．求证：(1)MN ∥平面A 1B 1C 1； (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .【解析】证明 由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设正方形AA 1C 1C 的边长为2，则A (0,0,0)，A 1(2,0,0)，B (0,2,0)，B 1(2,2,0)，C (0,0,2)，C 1(2,0,2)，M (1,0,0)，N (1,1,1)．(1)因为几何体是直三棱柱，所以侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1.因为AA 1→＝(2,0,0)，MN →＝(0,1,1)，所以MN →·AA 1→＝0，即MN →⊥AA 1→.MN ⊄平面A 1B 1C 1，故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 因为MB →＝(－1,2,0)，MC 1→＝(1,0,2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·MB →＝0，n 1·MC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1＝0，x 1＋2z 1＝0，，令x 1＝2，则平面MBC 1的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)．同理可得平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n 1⊥n 2，所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C . 3.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE ＝2，M 为线段BF 的中点．(1)求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M －CDE 的体积； (2)求证：DM ⊥平面ACE .【解析】(1)设AC ∩BD ＝O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0，3，0)，D (－1,0,0)，E (－1,0,2)，M (1,0,1)， DE →＝(0,0,2)，DC →＝(1，3，0)，DM →＝(2,0,1)， ∵DE →·DC →＝0， ∴DE ⊥DC ，∴S △DEC ＝12×DE ×DC ＝12×2×2＝2，设平面DEC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝2z ＝0，n ·DC →＝x ＋3y ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，－1,0)，∴M 到平面DEC 的距离h ＝|DM →·n ||n |＝233＋1＝3，∴三棱锥M －CDE 的体积V ＝13×S △CDE ×h ＝13×2×3＝233.(2)证明：A (0，－3，0)，AC →＝(0,23，0)，AE →＝(－1，3，2)， AC →·DM →＝0，AE →·DM →＝－2＋2＝0， ∴AC ⊥DM ，AE ⊥DM ，∵AC ∩AE ＝A ，∴DM ⊥平面ACE .4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面PDC .【解析】证明 (1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点， 所以OF ∥AB .又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD . 因为P A ＝PD ＝22AD ， 所以P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝a2.以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a2，0，0， P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a4. 易知平面P AD 的一个法向量为OF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0， 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4，且OF →·EF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a4，0，－a 4＝0， 又因为EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD →＝(0，－a,0)， 所以P A →·CD →＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2·(0，－a,0)＝0， 所以P A →⊥CD →，所以P A ⊥CD . 又P A ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， PD ，CD ⊂平面PDC ， 所以P A ⊥平面PDC . 又P A ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面PDC .5．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .【解析】证明 如图所示，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)．(1)∵AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，∴AP →·BC →＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)由(1)知|AP |＝5，又|AM |＝3，且点M 在线段AP 上， ∴AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125. 又AC →＝(－4,5,0)，BA →＝(－4，－5,0)， ∴BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125， 则A P →·BM →＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0， ∴AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，BM ∩BC ＝B ， ∴AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BCM .6. 如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .【解析】证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，△PBC 为等边三角形，即PO ⊥BC ， ∵平面PBC ⊥底面ABCD ，BC 为交线，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD →， ∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝⎛⎭⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ⊂平面P AB ， ∴DM ⊥平面P AB . ∵DM ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面P AB .7.如图所示，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱A 1A ＝2.(1)证明：AC ⊥A 1B ；(2)是否在棱A 1A 上存在一点P ，使得AP →＝λP A 1→且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1.【解析】 如图所示，以DA ，DC ，DA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0，3)，B (1,1,0)，D 1(－1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(－1,1，3)．(1)证明：AC →＝(－1,1,0)，A 1B →＝(1,1，－3)， ∴AC →·A 1B →＝0，∴AC ⊥A 1B . (2)假设存在， ∵AP →＝λP A 1→， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫11＋λ，0，3λ1＋λ. 设平面AB 1C 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AB 1→＝(－1,1，3)，AC 1→＝(－2,1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝－x 1＋y 1＋3z 1＝0，n 1·AC 1→＝－2x 1＋y 1＋3z 1＝0.令z 1＝3，则y 1＝－3，x 1＝0.∴n 1＝(0，－3，3)．同理可求面PB 1C 1的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3λ＋1，－1， ∴n 1·n 2＝0.∴－331＋λ－3＝0，即λ＝－4.∵P 在棱A 1A 上，∴λ>0，矛盾． ∴这样的点P 不存在．8.如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21， ∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3).由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1.(2)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3).从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设平面DA 1C 1的法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1， 则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .。
空间几何中的平行与垂直关系及证明方法
空间几何中的平行与垂直关系及证明方法在空间几何中，平行与垂直是两个重要的关系概念。
平行指的是两条直线或两个平面永远不相交，而垂直则表示两条直线或两个平面相互垂直相交。
这两个概念在几何学中有广泛的应用，并且可以通过一些证明方法来确定两条直线或两个平面是否平行或垂直。
首先，我们来讨论平行关系。
在空间几何中，两条直线平行的条件是它们的方向向量平行。
方向向量是指直线上的两个不同点连线所得到的矢量。
如果两条直线的方向向量平行，那么它们就是平行的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b。
如果a与b平行，即a与b的夹角为0度或180度，那么L1和L2就是平行的。
除了方向向量平行外，两条直线还可以通过斜率来确定是否平行。
斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。
如果两条直线的斜率相等，那么它们也是平行的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的斜率分别为m1和m2。
如果m1等于m2，那么L1和L2就是平行的。
在空间几何中，垂直关系的确定方法与平行关系类似。
两条直线垂直的条件是它们的方向向量垂直。
如果两条直线的方向向量垂直，那么它们就是垂直的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b。
如果a与b垂直，即a与b的内积为0，那么L1和L2就是垂直的。
除了方向向量垂直外，两条直线还可以通过斜率的乘积来确定是否垂直。
如果两条直线的斜率之积为-1，那么它们也是垂直的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的斜率分别为m1和m2。
如果m1乘以m2等于-1，那么L1和L2就是垂直的。
对于平面的平行与垂直关系，我们可以将其扩展到三维空间中。
两个平面平行的条件是它们的法向量平行。
法向量是指垂直于平面的矢量。
如果两个平面的法向量平行，那么它们就是平行的。
同样地，两个平面垂直的条件是它们的法向量垂直。
如果两个平面的法向量垂直，那么它们就是垂直的。
在证明平行与垂直关系时，我们可以利用向量的性质和运算法则。
专题08 利用空间向量证明平行、垂直(解析版)
2020年高考数学立体几何突破性讲练08利用空间向量证明平行、垂直一、考点传真：能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系二、知识点梳理：证明平行、垂直问题的思路(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．?3?其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.三、例题：例1. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【解析】证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .例2.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)∵面PAD面ABCD AD =，面PAD ⊥面ABCD ，∵AB⊥AD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ，∵PD ⊂面PAD ， ∴AB⊥PD ，又PD⊥PA ，∴PD ⊥面PAB ，(2)取AD 中点为O ，连结CO ，PO ，∵CD AC ==∴CO ⊥AD ，∵PA PD =， ∴PO ⊥AD ，以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，Oxyz PABC D则(111)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，．011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有，sin cos ,1n PB n PB n PBθ⋅=<>==(3)假设存在M 点使得BM ∥面PCD ， 设AMAPλ=，()0,','M y z ， 由(2)知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒- ∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量， ∴0BM n ⋅=，即102λλ-++=，∴1=4λ ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求． 例3.（2011安徽）如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==OAB ∆，OAC ∆，ODE ∆，ODF ∆都是正三角形． （Ⅰ）证明直线BC ∥EF ；（Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积．【解析】（Ⅰ）（综合法）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点． 由于OAB ∆与ODE∆都是正三角形，所以OB ∥DE 21，OG=OD=2， 同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合．在GED ∆和GFD 中，由OB ∥DE 21和OC ∥DF 21，可知B 和C 分别是GE 和GF的中点，所以BC 是GEF ∆的中位线，故BC ∥EF ．（向量法）过点F 作AD FQ ⊥，交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ，以Q 为坐标原点，QE 为x 轴正向，QD 为y 轴正向，QF 为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系． 由条件知).23,23,0(),0,23,23(),3,0,0(),0,0,3(--C B F E则有33(,0,),(3,0,BC EF =-=- 所以,2BC EF =即得BC ∥EF ．（Ⅱ）由OB=1，OE=2，23,60=︒=∠EOB S EOB 知，而OED ∆是边长为2的正三角形，故.3=OED S 所以.233=+=OED EOB OBED S S S过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F —OBED 的高，且FQ=3，所以.2331=⋅=-OBED OBED F S FQ V 例4.（2011江苏）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD⊥平面ABCD ，AB AD =，BAD ∠=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面PCD ；（Ⅱ）平面BEF⊥平面PAD ．【证明】（Ⅰ）在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD ．又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF//平面PCD ．（Ⅱ）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以ABD ∆为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ．又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ． 例5.(2010广东)如图，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FBFD ==，EF =．（Ⅰ）证明：EB FD ⊥；（Ⅱ）已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，23FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．【证明】：（Ⅰ）连结CF ，因为¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，所以EB AC ⊥．在RT BCE ∆中，EC ===．在BDF ∆中，BF DF ==，BDF ∆为等腰三角形， 且点C 是底边BD 的中点，故CF BD ⊥．在CEF ∆中，222222)(2)6CE CF a a EF +=+==， 所以CEF ∆为Rt ∆，且CF EC ⊥． 因为CF BD ⊥，CF EC ⊥，且CE BD C =I ，所以CF ⊥平面BED ，而EB ⊂平面BED ，CF EB ∴⊥． 因为EB AC ⊥，EB CF ⊥，且AC CF C =I，所以EB ⊥平面BDF，而FD ⊂平面BDF ，EB FD ∴⊥．（Ⅱ）设平面BED 与平面RQD 的交线为DG ．由23FQ FE =，23FR FB =，知//QR EB ．而EB ⊂平面BDE ，∴//QR 平面BDE ， 而平面BDE I 平面RQD = DG ， ∴////QR DG EB ． 由（Ⅰ）知，BE⊥平面BDF，∴DG ⊥平面BDF ，而,DR DB ⊂平面BDF ，∴DG DR ⊥，DG DQ ⊥， ∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角． 在Rt BCF ∆中，2CF a ===，sin FC RBD BF ∠===cos RBD ∠== 在BDR ∆中，由23FR FB =知，13BR FB ==，由余弦定理得，RD =3a == 由正弦定理得，sin sin BR RD RDB RBD =∠∠，即332sin RDB=∠，sin RDB ∠=．故平面BED 与平面RQD为GC 的中点，FO ＝3，且FO ⊥平面ABCD .(1)求证：AE ∥平面BCF ； (2)求证：CF ⊥平面AEF .【解析】证明 取BC 中点H ，连接OH ，则OH ∥BD ，又四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD ，∴OH ⊥AC ，故以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A (3，0，0)，C (－1，0，0)，D (1，－2，0)，F (0，0，3)，B (1，2，0).BC →＝(－2，－2，0)，CF →＝(1，0，3)，BF →＝(－1，－2，3). (1)设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2x －2y ＝0，x ＋3z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－3，3，1). 又四边形BDEF 为平行四边形， ∴DE →＝BF →＝(－1，－2，3)， ∴AE →＝AD →＋DE →＝BC →＋BF →＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，3)＝(－3，－4，3)， ∴AE →·n ＝33－43＋3＝0，∴AE →⊥n ， 又AE ⊄平面BCF ，∴AE ∥平面BCF .(2)AF →＝(－3，0，3)，∴CF →·AF →＝－3＋3＝0，CF →·AE →＝－3＋3＝0， ∴CF →⊥AF →，CF →⊥AE →， 即CF ⊥AF ，CF ⊥AE ， 又AE ∩AF ＝A ， AE ，AF ⊂平面AEF ， ∴CF ⊥平面AEF .2.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直，M 为AA 1的中点，N 为BC 1的中点．求证：(1)MN ∥平面A 1B 1C 1； (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .【解析】证明 由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设正方形AA 1C 1C 的边长为2，则A (0,0,0)，A 1(2,0,0)，B (0,2,0)，B 1(2,2,0)，C (0,0,2)，C 1(2,0,2)，M (1,0,0)，N (1,1,1)．(1)因为几何体是直三棱柱，所以侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1.因为AA 1→＝(2,0,0)，MN →＝(0,1,1)，所以MN →·AA 1→＝0，即MN →⊥AA 1→.MN ⊄平面A 1B 1C 1，故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 因为MB →＝(－1,2,0)，MC 1→＝(1,0,2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·MB →＝0，n 1·MC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1＝0，x 1＋2z 1＝0，，令x 1＝2，则平面MBC 1的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)．同理可得平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n 1⊥n 2，所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C . 3.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE ＝2，M 为线段BF 的中点．(1)求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M －CDE 的体积； (2)求证：DM ⊥平面ACE .【解析】(1)设AC ∩BD ＝O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0，3，0)，D (－1,0,0)，E (－1,0,2)，M (1,0,1)， DE →＝(0,0,2)，DC →＝(1，3，0)，DM →＝(2,0,1)，∵DE →·DC →＝0， ∴DE ⊥DC ，∴S △DEC ＝12×DE ×DC ＝12×2×2＝2，设平面DEC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝2z ＝0，n ·DC →＝x ＋3y ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，－1,0)，∴M 到平面DEC 的距离h ＝|DM →·n ||n |＝233＋1＝3，∴三棱锥M －CDE 的体积V ＝13×S △CDE ×h ＝13×2×3＝233.(2)证明：A (0，－3，0)，AC →＝(0,23，0)，AE →＝(－1，3，2)， AC →·DM →＝0，AE →·DM →＝－2＋2＝0， ∴AC ⊥DM ，AE ⊥DM ，∵AC ∩AE ＝A ，∴DM ⊥平面ACE .4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面PDC .【解析】证明 (1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点， 所以OF ∥AB .又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD . 因为P A ＝PD ＝22AD ， 所以P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝a2.以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a2，0，0， P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a4. 易知平面P AD 的一个法向量为OF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0， 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4， 且OF →·EF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a4，0，－a 4＝0， 又因为EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD →＝(0，－a,0)， 所以P A →·CD →＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2·(0，－a,0)＝0， 所以P A →⊥CD →，所以P A ⊥CD . 又P A ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， PD ，CD ⊂平面PDC ， 所以P A ⊥平面PDC . 又P A ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面PDC .5．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .【解析】证明 如图所示，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)．(1)∵AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，∴AP →·BC →＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)由(1)知|AP |＝5，又|AM |＝3，且点M 在线段AP 上， ∴AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125. 又AC →＝(－4,5,0)，BA →＝(－4，－5,0)， ∴BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125， 则A P →·BM →＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0， ∴AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，BM ∩BC ＝B ， ∴AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC .又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BCM .6. 如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .【解析】证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，△PBC 为等边三角形，即PO ⊥BC ， ∵平面PBC ⊥底面ABCD ，BC 为交线，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD →， ∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝⎛⎭⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ⊂平面P AB ， ∴DM ⊥平面P AB . ∵DM ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面P AB .7.如图所示，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱A 1A ＝2.(1)证明：AC ⊥A 1B ；(2)是否在棱A 1A 上存在一点P ，使得AP →＝λP A 1→且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1.【解析】 如图所示，以DA ，DC ，DA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0，3)，B (1,1,0)，D 1(－1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(－1,1，3)．(1)证明：AC →＝(－1,1,0)，A 1B →＝(1,1，－3)， ∴AC →·A 1B →＝0，∴AC ⊥A 1B . (2)假设存在， ∵AP →＝λP A 1→， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫11＋λ，0，3λ1＋λ.设平面AB 1C 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AB 1→＝(－1,1，3)，AC 1→＝(－2,1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝－x 1＋y 1＋3z 1＝0，n 1·AC 1→＝－2x 1＋y 1＋3z 1＝0.令z 1＝3，则y 1＝－3，x 1＝0. ∴n 1＝(0，－3，3)．同理可求面PB 1C 1的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3λ＋1，－1， ∴n 1·n 2＝0.∴－331＋λ－3＝0，即λ＝－4.∵P 在棱A 1A 上，∴λ>0，矛盾． ∴这样的点P 不存在．8.如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21， ∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3).由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1.(2)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3). 从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设平面DA 1C 1的法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1， 则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .。
谈谈证明线面平行问题常用的几种方法
证明线面平行的问题侧重于考查同学们的空间想象能力与数学运算能力.根据直线与平面平行的定义可知，要判断直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点.但由于直线是无限延伸的，平面是无限延展的，因此利用定义法不易快速证明线面平行，需运用转化思想，把线面平行问题转化为线线平行问题、面面平行问题、空间向量之间的位置关系问题，利用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理，通过空间向量运算来求解.下面谈一谈证明线面平行的三种方法.一、利用线面平行的判定定理进行证明线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与该平面平行.利用线面平行的判定定理，可由线线平行推出线面平行.在证明线面平行时，可根据题意和几何图形的特点，添加合适的辅助线，利用中位线的性质、平行四边形的性质寻找或作出平行线，以利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点，证明：PB//平面ACM.证明：如图1，连接MO，BD.在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，∴O为BD的中点，∵M为PD的中点，∴MO为ΔPBD的中位线，∴PB//MO，又PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，∴PB//平面ACM.想要证明PB//平面ACM，需在平面ACM内找到一条与直线PB平行的直线，于是添加辅助线，作出ΔPBD的中位线MO.由三角形中位线的性质可知MO//PB，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD=2BC.若点E为棱PD的中点.求证：CE//平面ABP.证明：如图2所示，取PA的中点F，连接BF，EF，在ΔPAD中，点F，E分别是PA，PD的中点，∴EF为ΔPAD的中位线，∴EF//AD，EF=12AD，∵ AD=2 BC，∴AD//BC，BC=12AD，∴EF//BC，EF=BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴CE//BF，∵CE⊄平面ABP，BF⊂平面ABP，∴CE//平面ABP.通过作辅助线构造出平行四边形EFBC，再利用中位线的性质和平四边形的性质即可证明EF//AD、CE//BF.而CE在平面ABP外，BF在平面ABP内，利用线面平行的判定定理，就能证明CE//平面ABP.例3.如图3，S是平行四边形ABCD外一点，M，N分别是SA、BD上的点，且AMSM=BN ND，求证：MN//平面SDC.证明：连接AN，并延长AN延长线交CD于点P，连接SP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//PD，∴ΔABN∽ΔPDN，∴BNND=AN NP，又AMMS=AN NP，∴AMAS=AN AP，∴MN//SP，∵MN⊄平面SDC，SP⊂平面SDC，∴MN//平面SDC.通过作辅助线，构造出两个相似三角形ΔABN与ΔPDN，再根据相似三角形的性质可证明MN//SP.而图1图2图346方法集锦图4三、利用空间向量进行证明若几何图形中有两两垂直的三条线，为坐标轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量的方向向量与平面的法向量垂直，平面平行.。
线面平行知识点
线面平行知识点线面平行是几何学中的一个重要概念，指的是两个平面在三维空间中没有交点，且两个平面的法线向量相互平行。
线面平行的性质与应用在现实生活和工程领域中都有着广泛的应用。
下面将介绍线面平行的概念、性质以及其在几何学和工程领域中的应用。
一、线面平行的概念线面平行是指两个平面在三维空间中没有交点，且两个平面的法线向量相互平行。
具体来说，如果两个平面P1和P2的法线向量分别为n1和n2，那么线面平行的条件可以表示为n1∥n2。
二、线面平行的性质1.平行平面的法线向量相互平行：对于线面平行的两个平面P1和P2，它们的法线向量n1和n2相互平行，即n1∥n2。
这是线面平行的基本性质。
2.平行平面之间的距离相等：对于线面平行的两个平面P1和P2，它们之间的距离是恒定的。
这是因为两个平面之间的距离可以通过一个垂直于这两个平面的向量来定义，而这个向量的大小是恒定的。
3.平行平面的投影关系：对于线面平行的两个平面P1和P2，它们在一个垂直于它们的共同法线上的投影长度是相等的。
这意味着如果我们从一个平面上垂直投影到另一个平面上，投影的长度是保持不变的。
三、线面平行的应用1.几何学中的应用：线面平行的概念和性质在几何学中有广泛的应用。
例如，在计算两个平面之间的距离时，可以利用线面平行的性质来简化计算。
此外，在计算两个平面的夹角时，线面平行的概念也可以起到辅助的作用。
2.工程领域中的应用：线面平行的概念和性质在工程领域中也有重要的应用。
例如，在建筑设计中，如果希望两个墙面之间保持平行，可以利用线面平行的性质来进行构造。
此外，在机械设计中，线面平行的概念可以应用于零件的安装和对位，保证机械零件之间的平行关系。
四、总结线面平行是几何学中一个重要的概念，指的是两个平面在三维空间中没有交点，且两个平面的法线向量相互平行。
线面平行的性质包括平行平面的法线向量相互平行、平行平面之间的距离相等以及平行平面的投影关系。
线面平行的概念和性质在几何学和工程领域中都有广泛的应用，可以用于简化计算、辅助设计和保证零件之间的平行关系。
高二数学--用空间向量研究直线,平面的位置关系
(3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的
方程组
n
a
0
n b 0
(讲课 4)解方程组，取其中一个坐标的值，即得法向量。
人
：
邢
启 强
21
复习引入 平行关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面
, 的法向量分别为 u, v ，则
已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线，
且 l m,l n. 求证：l .
解：设直线l, m, n的方向向量分别为a,b, c.
l m,l n,a b, a b 0. 同理a c 0.
m, n ,且m, n相交，
内任一向量 p可以表示为如下形式：
p xb yc, x, y R.
讲
课
人
：
邢
启 强
16
巩固练习
如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD 上是否存在点F,使得AE//CF?
讲
课
人
：
邢
启 强
17
巩固练习 如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点， 设Q是棱CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ//平 面PAO?
讲
课
人
：
也就是说用直线的方向向量和平面的法 向量来证明位置关系.
1.用向量方法证明两直线平行
讲
课
人
：
邢
启 强
5
例题讲评
例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F 分别是面ABB1A1,面A1B1C1D1的中心，求证： EF//平面ACD1.
讲
新教材高中数学第一章第1课时用空间向量研究直线平面的平行关系ppt课件新人教A版选择性必修第一册
因为
1
-1,4,- 2
.
1
n· =(3,1,2)· -1,4,- 2
所以 n⊥.所以点 P 为
答案:B
=0,
3
1,3, 2
,在平面 α 内.
D.
3
-1,3,- 2
三、空间中直线、平面的平行
【问题思考】
1.设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,两个平面α,β的法向量分别
β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得 n1=λn2
图示
3.做一做:(1)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),a与b分别是直线l1,l2的方向向
量,若l1∥l2,则(
)
A.x=6,y=15
15
B.x=3,y=
2
C.x=3,y=15
15
D.x=6,y=
2
(2)已知直线l的方向向量为v=(1,-1,2),平面α的法向量为n=(2,4,1),且l⊄α,
提示:存在唯一的有序实数对(x,y),使得=xa+yb.
2.填空:
(1)空间平面的向量表示:如图,取定空间任意一点 O,空间一点 P 位于平面
ABC 内的充要条件是存在实数 x,y,使 = +x +y ,这个式子称为空
间平面 ABC 的向量表示式.
(2)平面的法向量:如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平
【例1】 已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面
1
ABCD,SA=AB=BC=1,AD= 2 ,试建立适当的坐标系.求:
(1)平面ABCD的一个法向量;
(2)平面SAB的一个法向量;
(3)平面SCD的一个法向量.
向量法证明平行与垂直-人教版高中数学
知识图谱-利用向量证明空间中的平行关系-利用向量证明空间中的垂直关系直线的方向向量与直线的向量方程利用向量方法证明线面平行关系利用向量方法证明线线与面面的平行关系利用向量方法证明线线垂直平面的法向量利用向量方法证明线面垂直利用向量方法证明面面垂直第02讲_向量法证明平行与垂直错题回顾利用向量证明空间中的平行关系知识精讲一．直线的方向向量与直线的向量方程1．点的位置向量在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量．2．直线的方向向量空间中任一直线的位置可以由上的一个定点以及一个定方向确定，如图，点是直线上的一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上任一点，有，这样点和向量，不仅可以确定直线的位置，还可具体表示出上的任意点；直线上的向量以及与共线的向量叫做的方向向量．3．直线的向量方程直线上任意一点，一定存在实数，使得①，①式可以看做直线的参数方程，直线的参数方程还可以作如下表示：对空间中任意一确定点，点在直线上的充要条件是存在唯一的实数满足等式②，如果在上取，则上式可以化为③；①②③都叫做空间直线的向量参数方程．二．平面的法向量1．平面法向量的定义已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则向量叫作平面的法向量或者说向量与平面正交．2．平面法向量的性质（1）平面上的一个法向量垂直于平面共面的所有向量；（2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．三．用向量方法证明空间中的平行关系1．线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明或与重合，只需要证明，即．2．线面平行（1）设直线的方向向量是，平面的法向量是，要证明，只需要证明；（2）根据线面平行的判定定理：如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；所以，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；（3）根据共面向量定理可知：如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共面向量确定的平面一定平行．已知两个不共线向量与平面共面，一条直线的一个方向向量为，则由共面向量定理，可得或在内存在两个实数，使．3．面面平行（1）若能求出平面的法向量，要证明，只需要证明即可．（2）由面面平行的判定定理：要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可，已知两个不共线的向量与平面共面，则由两平面平行的判定与性质，得．三点剖析一．方法点拨1．在平面内，直线的向量方程可类比点斜式方程，直线的方向向量、斜率都是刻画直线方向的量，只是从不同角度引入，它们有一定的关系：斜率为的直线，其方向向量为，反之，方向向量为的直线不一定存在斜率；在空间中，用方向向量刻画直线较为方便．2．空间中建系描述选取三条两两相交的直线的交点作为原点，以哪三条直线为轴，建立空间直角坐标系．例如：正方体中，建系的描述为：以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系．3．用空间向量证明平行关系需要注意的问题（1）用空间向量的方法证明立体几何中的平行问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行的定理．（2）用向量方法证明平行问题的步骤①建立空间图形与空间向量的关系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；②通过向量运算研究平行问题；③根据运算结果解释相关问题．4．平面法向量的求法（1）建立适当的坐标系；（2）设出平面法向量为；（3）找出（求出）平面内的两个共线的向量的坐标；（4）根据法向量的定义建立关于的方程组；（5）解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．有时候，题目中的线面垂直条件比较明显，可以将垂线的方向向量作为平面的法向量来解决问题．题模精讲题模一直线的方向向量与直线的向量方程例1.1、已知向量=（2，4，5），=（3，x，y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A、x=6，y=15B、x=3，y=C、x=3，y=15D、x=6，y=例1.2、从点沿向量的方向取线段长，则B点的坐标为( )A、B、C、D、题模二平面的法向量例2.1、在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，为平面内任意一点，求满足的关系式．例2.2、（1）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则__________；则__________．（2）若的方向向量为，平面的法向量为，若，则__________；若，则__________．题模三利用向量方法证明线面平行关系例3.1、已知正方形和正方形相交于分别在上，且，求证平面．例3.2、在正方体中，的中点，求证：．题模四利用向量方法证明线线与面面的平行关系例4.1、在正方体中，分别是的中点．证明:．例4.2、如右图所示，在平行六面体中，分别是的中点．求证:平面∥平面．．随堂练习随练1.1、已知，，则直线的模为的方向向量是________________．随练1.2、已知点若点为直线上任意一点，则直线的向量参数方程为______________，当时，点的坐标为______________．随练1.3、已知，且均与平面平行，直线的方向向量，则（）随练1.4、若两个不同平面的法向量分别为，则( )A、B、C、相交但不垂直D、以上均不正确随练1.5、已知平面经过三点，试求平面的一个法向量．随练1.6、在正方体中，分别是的中点，求证:．随练1.7、已知正方体的棱长为2，分别是的中点，求证：(1)；(2)．利用向量证明空间中的垂直关系知识精讲一．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用设空间两条直线的方向向量分别是，两个平面的法向量分别是，则有下表与与与二．用向量方法证明空间中的垂直关系1．线线垂直设直线的方向向量分别是，则要证明，只需要证明，即．2．线面垂直（1）设直线的方向向量是，平面的法向量是，要证明，只需要证明．（2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．3．面面垂直（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直，线线垂直；（2）证明两个平面的法向量互相垂直．一、方法点拨1．平面法向量可以不唯一，只要是垂直于平面的直线，其方向向量都可以当作法向量进行运算．2．平面中的平行、垂直关系的向量论证，注意复习线面、面面平行与垂直的判定定理，将这种位置关系的判断转化为向量间的代数运算，体现了向量的工具性功能．题模精讲题模一利用向量方法证明线线垂直例1.1、设的方向向量，的方向向量，若，则( )A、1B、2C、D、3例1.2、在正三棱柱中，．求证：．题模二利用向量方法证明线面垂直若直线的方向向量为，平面的法向量为，则( )A、B、C、D、斜交例2.2、在正方体中，分别是棱的中点，试在棱上找一点，使得．题模三利用向量方法证明面面垂直例3.1、若两个不同平面的法向量分别为，则( )A、B、C、相交但不垂直D、以上均不正确例3.2、在长方体中，，分别是棱的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．随堂练习随练2.1、如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点分别是的中点．求证：随练2.2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C-PB-D的大小．随练2.3、在正棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，的重心，分别为上的点，且（1）求证：平面；（2）求证：的公垂线段．自我总结课后作业作业1、已知，把按向量平移后所得的向量是( )A、B、C、D、作业2、正四面体的高的中点为，则平面的一个法向量可以是________，平面的一个法向量可以是________．作业3、若直线是两条异面直线，它们的方向向量分别是，则直线的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．作业4、是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点，求证:．作业5、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求二面角C1-AB-C的余弦值．作业6、已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）求：（1）求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）若向量分别与向量，垂直，且||=，求向量的坐标．作业7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．作业8、在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，的中点，在线段，使？若存在，求出；若不存在，请说明理由．作业9、如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BA D=∠FAB=90°，BC AD，BE AF，G，H分别为FA，FD的中点（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；（Ⅱ）C，D，F，E四点是否共面？为什么？（Ⅲ）设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE．。
用空间向量研究空间中直线、平面的平行(第2课时)(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)
n
应用新知
例 1： 如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, E, F 分别为 DD1 和 BB1 的中点.
求证:四边形 AEC1 F 是平行四边形.
分析：要证明四边形 AEC1F 是平行四边形，只需证明对边
平行要证明四边形 AEC1F 的对边平行，只需证明其
对边的方向向量共线即可.
【详解】如下图，以点 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
(2)在建立空间直角坐标系后,主要问题是求出空间两直线的方向向量的
坐标.
应用新知
规律小结
利用空间向量证明线线平行的方法步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标.
(2)求出直线的方向向量.
(3)证明两向量共线.
(4)证明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,
即表示方向向量的有向线段不共线,从而得证.
1
1
不妨设正方体的棱长为 1，则 A 1, 0, 0 , E 0, 0, , C1 0,1,1 , F 1,1, ,
2
2
1
1
1
1
所以 AE 1, 0, , FC1 1, 0, , EC1 0,1, , AF 0,1, ,
个法向量平行.
(2)转化的思路:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面平行转化
为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明.
应用新知
变式训练：
2. 如 图 , 在 直 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1 中 , 底 面 ABCD为 等 腰 梯 形 , AB / /CD ，
8.7空间向量在立体几何中的应用——证明平行与垂直
1.用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP →＝t a ，则此向量方程叫做直线l 以t 为参数的参数方程.向量a 称为该直线的方向向量.(2)对空间任一确定的点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t ，满足等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →，叫做空间直线的向量参数方程. 2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2. 3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( √ ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行.( × )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行.( × )1.平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( ) A.2 B.－4 C.4 D.－2 答案 C解析 ∵α∥β，∴两平面法向量平行， ∴－21＝－42＝k－2，∴k ＝4. 2.已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A.(－1,1,1) B.(1，－1,1) C.(－33，－33，－33) D.(33，33，－33) 答案 C解析 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，∴x ＝y ＝z .故选C.3.已知直线l 的方向向量为v ＝(1,2,3)，平面α的法向量为u ＝(5,2，－3)，则l 与α的位置关系是____________. 答案 l ∥α或l ⊂α解析 ∵v ·u ＝0，∴v ⊥u ，∴l ∥α或l ⊂α.4.(教材改编)设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________. 答案 α⊥β α∥β解析 当v ＝(3，－2,2)时，u ·v ＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0⇒α⊥β. 当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2u ⇒α∥β.5.(教材改编)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________. 答案 垂直解析 以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (0,0,0)，M (0,1，12)，O (12，12，0)，N (12，0,1)，AM →·ON →＝(0,1，12)·(0，－12，1)＝0， ∴ON 与AM 垂直.题型一 利用空间向量证明平行问题例1 如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：PB ∥平面EFG . 证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2，0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0，0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，G (1，2,0). ∴PB →＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)，FG →＝(1,1，－1)， 设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面. ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . 引申探究本例中条件不变，证明平面EFG ∥平面PBC . 证明 ∵EF →＝(0,1,0)，BC →＝(0,2,0)， ∴BC →＝2EF →，∴BC ∥EF .又∵EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC . 又EF ∩GF ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面PBC .思维升华 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .证明 方法一 如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD 、OP 所在射线分别为y 、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知，A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0). 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0). 因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1). 又P 为BM 的中点，故P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)，故PQ →·a ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .方法二 在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同方法一建立空间直角坐标系，写出点A 、B 、C 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0,0). ∵CF →＝14CD →，设点F 坐标为(x ，y,0)，则(x －x 0，y －y 0,0)＝14(－x 0，2－y 0,0)，∴⎩⎨⎧x ＝34x 0y ＝24＋34y∴OF →＝(34x 0，24＋34y 0,0)又由方法一知PQ →＝(34x 0，24＋34y 0,0)，∴OF →＝PQ →，∴PQ ∥OF .又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ， ∴PQ ∥平面BCD .题型二 利用空间向量证明垂直问题 命题点1 证线面垂直例2 如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明 方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝⎛⎭⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证. 方法二 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形， 所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB →，OO 1→，OA →所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)， A (0,0，3)，B 1(1,2,0).设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1,2，3)，BD →＝(－2,1,0). 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，⇒⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1,2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1,2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ， 故AB 1⊥平面A 1BD . 命题点2 证面面垂直例3 如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上.已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2. (1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC . 证明 (1)如图所示，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)， B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4).于是AP →＝(0,3,4)， BC →＝(－8,0,0)，∴AP →·BC →＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0， 所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)由(1)知|AP |＝5，又|AM |＝3，且点M 在线段AP 上， ∴AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125， 又BC →＝(－8,0,0)，AC →＝(－4,5,0)，BA →＝(－4，－5,0)， ∴BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125， 则AP →·BM →＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0， ∴AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，且BM ∩BC ＝C ， ∴AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BCM . 思维升华 证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.(1)如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点.求证： ①DE ∥平面ABC ； ②B 1F ⊥平面AEF .证明 ①如图建立空间直角坐标系Axyz ， 令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4). 取AB 中点为N ，连接CN ， 则N (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,0,2)， ∴DE →＝(－2,4,0)，NC →＝(－2,4,0)，∴DE →＝NC →，∴DE ∥NC ，又∵NC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC . 故DE ∥平面ABC .②B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2,2,0). B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ， 又∵AF ∩EF ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .(2)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角.①求证：CM ∥平面P AD ； ②求证：平面P AB ⊥平面P AD .证明 ①以C 为坐标原点，分别以CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ， ∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4.∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)， M (32，0，32)， ∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝(32，0，32)，令n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1).∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →，又CM ⊄平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD .②取AP 的中点E ，则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1). ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →，∴BE ⊥DA ，又P A ∩DA ＝A ，∴BE ⊥平面P AD ， 又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .题型三 利用空间向量解决探索性问题例4 如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD . (1)求证：BD ⊥AA 1；(2)求二面角D －A 1A －C 的余弦值；(3)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由. (1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21， ∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,2，3). 由于BD →＝(－23，0,0)，AA 1→＝(0,1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1. (2)解 由于OB ⊥平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(1,0,0). 设n 2＝(x ，y ，z )为平面DAA 1D 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AA 1→＝0，n 2·AD →＝0， 即⎩⎨⎧y ＋3z ＝0，－3x ＋y ＝0，取n 2＝(1，3，－1)，则〈n 1，n 2〉即为二面角D －A 1A －C 的平面角，∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝55，所以，二面角D －A 1A －C 的余弦值为55. (3)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，设CP →＝λCC 1，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0,1，3). 从而有P (0,1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设n 3＝(x 3，y 3，z 3)⊥平面DA 1C 1，则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0,2,0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1,0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1，则n 3⊥BP →， 即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点. (1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论. (1)证明 如图，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)， A (a,0,0)，B (a ，a,0)， C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0， P (0,0，a )，F ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a,0). ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解 设G (x,0，z )，则FG →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(a,0,0) ＝a ⎝⎛⎭⎫x －a 2＝0，得x ＝a2；由FG →·CP →＝⎝⎛⎭⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝⎛⎭⎫z －a 2＝0，得z ＝0. ∴G 点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，即G 点为AD 的中点.17.利用向量法解决立体几何问题典例 (12分)(2014·湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2).(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 规范解答解 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .[1分]由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0，0，λ)，M (2,1,2)，N (1,0,2)，BC 1→＝(－2,0,2)，FP →＝(－1,0，λ)，FE →＝(1,1,0)，MN →＝(－1，－1,0)，NP →＝(－1,0，λ－2).[3分] (1)证明 当λ＝1时，FP →＝(－1,0,1)， 因为BC 1→＝(－2,0,2)， 所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .[7分](2)解 设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0. 于是可取n ＝(λ，－λ，1).[9分]同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1).若存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m ·n ＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.[11分] 故存在λ＝1±22，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.[12分] 温馨提醒 (1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量；(2)建立空间直角坐标系时，要根据题中条件找出三条互相垂直的直线；(3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直，线面、面面平行、垂直外，还可以利用向量求夹角、距离，从而解决线段长度问题、体积问题等.[方法与技巧]1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.2.两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.(2)建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题.[失误与防范]用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a ＝λb (λ∈R )即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1.若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A.l ∥αB.l ⊥αC.l ⊂αD.l 与α相交答案 B解析 ∵n ＝－2a ，∴a 与α的法向量平行，∴l ⊥α.2.已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内A.P (2,3,3)B.P (－2,0,1)C.P (－4,4,0)D.P (3，－3,4)答案 A解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1,4,1)，∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.3.若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内答案 D解析 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →、CD →、CE →共面，∴AB 与平面CDE 平行或在平面CDE 内.4.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A.(1,1,1)B.(23，23，1) C.(22，22，1) D.(24，24，1) 答案 C解析 设M 点的坐标为(x ，y,1)，AC ∩BD ＝O ，则O (22，22，0)， 又E (0,0,1)，A (2，2，0)，∴OE →＝(－22，－22，1)，AM →＝(x －2，y －2，1)， ∵AM ∥平面BDE ，∴OE →∥AM →，∴⎩⎨⎧ x －2＝－22，y －2＝－22，⇒⎩⎨⎧ x ＝22，y ＝22.5.已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是___________________________________.解析 设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ·AB →＝0，得x ·0＋y －z ＝0⇒y ＝z ，由m ·AC →＝0，得x －z ＝0⇒x ＝z ，取x ＝1，∴m ＝(1,1,1)，m ＝－n ，∴m ∥n ，∴α∥β.6.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________.答案 ①②③解析 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确.又AB →与AD →不平行，∴AP →是平面ABCD 的法向量，则③正确.∵BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)，∴BD →与AP →不平行，故④错误.7.如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD＝2，E ，F ，H 分别是线段P A ，PD ，AB 的中点.求证：(1)PB ∥平面EFH ；(2)PD ⊥平面AHF .证明 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，H (1,0,0).(1)∵PB →＝(2,0，－2)，EH →＝(1,0，－1)，∴PB →＝2EH →，∴PB ∥EH .∵PB ⊄平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，∴PB ∥平面EFH .(2)PD →＝(0,2，－2)，AH →＝(1,0,0)，AF →＝(0,1,1)，∴PD →·AF →＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD →·AH →＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，∴PD ⊥AF ，PD ⊥AH ，又∵AF ∩AH ＝A ，∴PD ⊥平面AHF .8.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .证明 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 、DP 、DC 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0).∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0.即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，又DQ ∩DC ＝D ，∴PQ ⊥平面DCQ ，又PQ ⊂平面PQC ，∴平面PQC ⊥平面DCQ .9.如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面P AB ；(2)求证：平面P AD ⊥平面PDC .证明 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，∴E (12，1，12)，F (0,1，12)，EF →＝(－12，0,0)，PB →＝(1,0，－1)，PD →＝(0,2，－1)，AP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC →＝(1,0,0)，AB →＝(1,0,0).(1)∵EF →＝－12AB →，∴EF →∥AB →，即EF ∥AB ， 又AB ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ，∴EF ∥平面P AB .(2)∵AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴AP →⊥DC →，AD →⊥DC →，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又AP ∩AD ＝A ，∴DC ⊥平面P AD .∵DC ⊂平面PDC ，∴平面P AD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升(时间：25分钟)10.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________.答案 1解析 以D 1A 1，D 1C 1，D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于B 1E ⊥平面ABF ，∴FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1，0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.11.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个.答案 2解析 建立如图的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则P (x ，y,2)，O (1，1,0)，∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，y ＋12，1， 又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)，而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3，∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1.∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.12.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点.(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由.(1)证明 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0. ∵B 1E →·AD 1→＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B 1E ⊥AD 1.(2)解 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0).使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0).又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z ).∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0. 取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0， 解得z 0＝12. 又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12. 13.如图所示，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点.(1)求证：AC ⊥SD .(2)若SD ⊥平面P AC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由.(1)证明 连接BD ，设AC ∩BD ＝O ，则AC ⊥BD .由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图.设底面边长为a ，则高SO ＝62a ， 于是S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0， B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0， SD →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ，则OC →·SD →＝0. 故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD .(2)解 棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面P AC .理由如下：由已知条件知DS →是平面P AC 的一个法向量，且DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0. 设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS → ＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at ， 而BE →·DS →＝0⇔t ＝13. 即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →.而BE 不在平面P AC 内，故BE ∥平面P AC .∴存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ，此时SE ∶EC ＝2.。
证明线面平行的三种措施
探索探索与与研研究究线面平行指的是直线与平面平行，是一种较为常见的空间位置关系.证明线面平行问题侧重于考查线线平行、面面平行、线面平行的定义以及定理.下面主要介绍三种证明线面平行的思路.一、利用线面平行的判定定理线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.利用线面平行的判定定理证明线面平行，关键在于找到一组平行线，使其分别位于平面内外.可从下面两个角度寻找：1.利用中位线的性质三角形的中位线有一个重要的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.在证明线面平行时，可根据几何图形的特点，寻找或选取中点，并添加辅助线，构造出三角形的中位线，以根据中位线的性质找到一组平行线，使两条直线分别在平面内外，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1所示，在直三棱柱ABC -AB C 1中，D ,E 分别是AB ,BB 1的中点，AA 1=AC =CB =AB ，证明：BC 1∥平面A 1CD .图1证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为A 1C 的中点，因为D 是AB 的中点，连接DF ，则在△ABC 1中，DF 是△ABC 1的中位线，所以BC 1∥DF ，又因为DF ⊂平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .观察图形，可以发现BC 1∥DF .而D ,E 分别是线段AB ,BB 1的中点，于是依次连接AC 1和DF .此时线段DF 为△ABC 1的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边的性质可得出BC 1∥DF ，即可根据线面平行的判定定理证明BC 1∥平面A 1CD .2.利用平行四边形的性质我们知道，平行四边形的两组对边平行且相等.在证明线面平行时，可以将平面内的一条直线平移到平面外的某一点，使两条直线成为平行四边形的一组对边，即可根据平行四边形的性质：一组对边平行且相等，构造出一组平行线，就可以直接根据线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB =2CD ，点M 为AB 的中点，求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1.图2证明：连接AD 1，因为底面ABCD 为等腰梯形，所以AB ∥CD ，因为点M 为AB 的中点，所以CD 平行且等于MA ，因为在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CD 平行且等于C 1D 1，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，所以C 1M ∥D 1A ，又D 1A ⊂平面A 1ADD 1，C 1M ⊄平面A 1ADD 1，51所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.连接AD 1，构造出平行四边形AMC 1D 1，即可得到一组平行线C 1M 、D 1A .此时AD 1为平面A 1ADD 1内的一条直线，C 1M 为平面A 1ADD 1外的一条直线，根据线面平行的判定定理，即可证明C 1M ∥平面A 1ADD 1.二、利用面面平行的性质当无法直接根据线面平行的判定理证明线面平行时，可以先根据面面平行的判定定理找到或证明两个平面平行；然后利用面面平行的性质：如果两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，来证明线面平行.例3.如图3，线段AC 、DF 分别为正方形ABCD 和正方形CDEF 的对角线，M ,N 分别是线段AC 、DF 上的点，且AM =12MC ，DN =12NF ，证明：MN ∥平面BCF .证明：如图3，在DC 上取G 点，使DG =12GC ，连接NG 、MG ，则G 点是DC 上的一个三等分点，所以GC DG =MCAM，所以MG ∥AD ，而AD ∥BC ，可得MG ∥BC ，所以MG ∥平面BCF ，同理可得DG GC =DNNF，所以NG ∥FC ，所以NG ∥平面BCF ，所以平面MNG ∥平面BCF ，又因为MN ⊂平面MNG ，所以MN ∥平面BCF .我们根据题意，在平面BCF 内很难找到一条直线与MN 平行.于是根据AM =12MC ，DN =12NF ，添加辅助线，构造出一个与平面BCF 平行的平面NMG .根据线面平行的判定定理证明平面MNG ∥平面BCF 后，即可根据面面平行的性质定理证明MN ∥平面BCF .三、构造空间向量在证明线面平行受阻时，可以根据几何体的结构特征，构造出空间向量，通过空间向量运算，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明直线与平面平行.在解题时，要根据几何体的特征，寻找或构造垂直关系，使三条垂线相交于一点，并将其视为三条坐标轴，即可构造出空间直角坐标系.例4.如图4所示，已知四边形ABEF 是矩形，△ABC 是等腰三角形，平面ABEF ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，AB =12AF =4，CN =3NA ，M ,P ,Q 分别是AF ,EF ,BC 的中点，求证：直线PQ ∥平面BMN .图4图5证明：以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，可得A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (-2,23,0)，F (0,0,8)，E (4,0,8)，P (2,0,8)，Q (1,3,0)，M (0,0,4)，N (-12)，则 BN =()-920， BM =()-4,0,4，设平面BMN 的法向量n=(x,y,z )，则ìíîn ⋅ BN =0,n ⋅BM =0,得ìíîïï-92x +y =0,-4x +4z =0,令x =1，则ìíîy =33,z =1,所以n =(1,33,1)，因为PQ =(-1,3,-8)，所以n ⋅ PQ =-1+9-8=0，所以n ⊥ PQ ，因为PQ ⊄平面BMN ，所以PQ ∥平面BMN .我们根据平面ABEF ⊥平面ABC ，以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴、垂直于AB 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，求得PQ 以及平面MNB 的法向量，证明二者垂直，即可证明PQ ∥平面BMN .总之，在证明线面平行时，要注意：（1）根据题意寻找平行关系，如中位线、平行四边形的对边；（2）灵活运用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理；（3）合理添加辅助线，构造空间直角坐标系.（作者单位：宁夏回族自治区银川市灵武市第一中学）探索探索与与研研究究图352。
证线面平行的常见方法
证线面平行的常见方法1. 用对称性证明线面平行如果两条线段或两个平面之间具有对称性，那么这两者之间的关系就是平行的。
如果两个平面对于某个轴对称，那么它们就是平行的。
如果两条线段相对称，那么就可以通过平移来证明它们平行。
举个例子，如果我们有两个互相垂直的平面，那么它们对于它们的交线具有对称性。
我们可以通过将一个平面上的点对称到另一个平面上来证明这两个平面平行，其中每个点都延伸至它们与交线的距离相等。
另一种证明线面平行的方法是使用投影。
这种方法将两个物体的轮廓投射到同一个平面上，以确定它们是否平行。
如果我们有两条相交的线段，我们可以将它们沿着它们的交点投影到一个新的平面上，然后判断它们是否平行。
如果它们在新平面上的投影是平行的，那么它们本身应该是平行的。
相似三角形定理是在几何学中非常有用的，它可以帮助我们证明三角形之间的相似性以及线面之间的平行性。
当两个三角形中每个角度的大小相等时，它们就是相似的。
根据相似三角形定理，相似的三角形具有相同的比例。
假设我们有两个平行的直线和一条横跨它们的任意直线，如果我们从这条横跨的线上任意选择两个点来与两个平行直线相交，那么与它们相交的各个线段所代表的三角形就是相似的。
因为这些三角形都有相同的角度大小和形状，它们之间的相似性可以用相同的比例来表示。
垂直线性质是在证明线面平行时经常用到的一种方法。
如果一条线段与另外两条直线的夹角均为直角，则这两条直线是平行的。
这个性质也适用于平面上两个直角相交的线。
举个例子，如果我们有两条相交的直线和一条平行于其中一条直线的第三条直线，那么与平行线相交的其他直线的夹角应该是直角，否则平行线将无法保持平行。
这证明了平行线的存在。
向量是另一种证明线面平行的有用工具。
向量的方向和大小定义了一条直线或一个平面的性质。
如果给定两个向量，我们可以通过它们的点积和叉积来计算它们之间的夹角和平行性。
总结：证明线面平行是建立几何学定理的基础之一，在几何学中有重要的应用。
利用空间向量证明线面平行垂直
利用空间向量证明线面平行垂直1.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=√5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．求证：MN//平面ABCD2.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，且CD=2,AB=1，BC=2√2，PA=1，AB⊥BC，N为PD的中点．求证：AN//平面PBC3.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．(1)求证：DE//平面ABC；(2)求证：B1F⊥平面AEF．4.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．求证：B1D⊥平面ABD5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证明：(1)C1M//平面ADE6.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，CC1，AD中点．棱CD上是否存在点T，使得AT//平面B1EF？请证明你的结论．7.如图所示，在长方体AC1中，AB=BC=2，CC1=2√2，点E，F分别为棱CC1，AA1的中点．证明：直线AC//平面BED18.如图所示，在三棱台ABC−A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，侧面ACC1A1⊥平面ABC，AB⊥AC，CC1⊥AC，AB=2，A1C1=CC1=1．证明：CA1⊥平面ABB1A1答案和解析1.证明：如图，以A 为坐标原点，以AC 、AB 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ， 则A(0,0，0)，B(0,1，0)，C(2,0，0)，D(1,−2,0)， A 1(0,0，2)，B 1(0,1，2)，C 1(2,0，2)，D 1(1,−2,2)，又∵M 、N 分别为B 1C 、D 1D 的中点，∴M(1,12,1)，N(1,−2,1)．由题可知：n 0⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)是平面ABCD 的一个法向量，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−52,0)， ∵n 0⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又∵MN ⊄平面ABCD ，∴MN//平面ABCD ；2.解：过A 作，垂足为E ，则DE =1，以A 为坐标原点，分别以AE,AB,AP 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,1,0),E(2√2,0,0),D(2√2,−1,0),C(2√2,1,0),P (0,0,1)， ∴N(√2,−12,12) ，)AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−12,12)， 设平面PBC 的一个法向量为n⃗ 1=(x,y,z)， BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,0,0)，{−y +z =02√2x =0， n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =−12+12=0，，AN ⊄平面PBC ， ∴AN//平面PBC3.证明：如图建立空间直角坐标系O −xyz ，令AB =AA 1=4，则A(0,0，0)，E(0,4，2)，F(2,2，0)，B(4,0，0)， B 1(4,0，4)，D(2,0，2)(1)DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4，0)，面ABC 的法向量为OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，4)， ∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，DE ⊄平面ABC ， ∴DE//平面ABC ；(2)B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,−4)，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2) B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2)×2+(−2)+(−4)×(−2)=0 B 1F ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2)×2+2×2+(−4)=0 ∴B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴B 1F ⊥AF ∵AF ∩FE =F ，∴B 1F ⊥平面AEF ． 4.证明：如图所示建立空间直角坐标系，设AB =a ，则A 1(a,0，0)，B 1(0,0，0)，C 1(0,2，0)，F(0,1，0)，E(0,0，1)，A(a,0，4)，B(0,0，4)，D(0,2，2)，G (a2,1,0)．所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,0，0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)．所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+0=0，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+4−4=0．所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以B 1D ⊥AB ，B 1D ⊥BD ．又AB ∩BD =B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， 所以B 1D ⊥平面ABD ．5.解：(1)以D 为原点，向量DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1．则D(0,0，0)，A(1,0，0)，E (1,1,12)，C 1(0,1，1)，M (1,0,12)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,12)，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−12)． 设平面ADE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，则{DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =0⇒{a =0,a +b +12c =0. 令c =2，得m⃗⃗⃗ =(0,−1,2)，∵m ⃗⃗⃗ ·C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)·(1,−1,−12)=0+1−1=0， ∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ ．又C 1M ⊄平面ADE ，∴C 1M //平面ADE ．6.解：以D 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体棱长为2a ，则B (2a,2a,0)，B 1(2a,2a,2a )，E (2a,a,0)，G (a,0,0)，C (0,2a,0)，D (0,0,0)，F (0,2a,a )，A (2a,0,0)， 假设在棱CD 上存在点T (0,t,0)，t ∈[0,2a ]，使得AT//平面B 1EF ， 则B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a,−2a ),EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2a,a,a ),AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2a,t,0)， 设平面B 1EF 的法向量n⃗ =(x,y,z)，∴{B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =−ay −2az =0EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =−2ax +ay +az =0,令z =1，则y =−2，x =−12 ，∴n⃗ =(−12,−2,1)， ∴AT ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =a −2t =0，解得：t =a2 ，∴DT =14DC ， ∴棱CD 上存在点T ，满足DT =14DC ，使得AT//平面B 1EF ．7.解：如图，以D 为原点，DA,DC,DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),D 1(0,0,2√2),A(2,0,0),C(0,2,0)，B(2,2,0),E(0,2,√2),F(2,0,√2)，依题意得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,√2),ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,√2),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，设平面BED 1的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{−2x +√2z =0−2y +√2z =0所以{z =√2x y =x,取x =1得y =1,z =√2，故n ⃗ =(1,1,√2)，n ⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+2+0=0，所以n ⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又直线AC ⊄平面BED 1，所以直线AC//平面BED 1．8.解：由知平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，CC 1⊥AC ，又平面ACC 1A 1∩平面ABC =AC ，CC 1⊂平面ACC 1A 1所以CC 1⊥平面ABC ．在平面ABC 内过C 作AB 的平行线CM ，则CM ⊥AC ， 以C 为原点，CA ，CM ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知棱台的上底面也是等腰直角三角形，腰长为1，则C(0,0,0),C 1(0,0,1),A(2,0,0), B(2,2,0),A 1(1,0,1),B 1(1,1,1)，∴CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1), ∵CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+0=0,CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+0+1=0，，又∵AB ∩AA 1=A,AB,AA 1⊂平面ABB 1A 1，∴CA 1⊥平面ABB 1A 1.。
向量法证明平行与垂直-人教版高中数学
第02讲一向量法证明平行与垂直知识图谱-利用向量证明空间中的平行关系-利用向星证明空间中的垂直关系宜线的方向向量与直线的向量方程利用向量方法证明线面平行关系利用向星方法证明线线与面面的平行关系利用向星方法证明线线垂直平面的法向星利用向星方法证明线面垂直利用向量方法证明面面垂直第02讲-向量法证明平行与垂直错题回顾利用向量证明空间中的平行关系知识Si井一・直线的方向向量与直线的向量方程1.点的位置向量在空间中，我们取一定点0作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量成来表示，我们把向量质称为点P的位置向量.2.直线的方向向量空间中任一直线I的位置可以由I上的一个定点A以及一个定方向确定，如图，点村是直线，上的一点，向量或表示直线［的方向向量，则对于直线［上任一点户，有步弟，这样点工和向量成,不仅可以确定直线，的位置，还可具体表示出/上的任意点;直线I上的向量S以及与3共线的向量叫做i的方向向量・3.直线I的向量方程直线上任意一点P定存在实数，，使得衣=龙①，①式可以看做直线［的参数方程，直线f的参数方程还可以作如下表示：对空间中任意一确定点。
，点户在直线［上的充要条件是存在唯一的实数，满足等式灵=鬲*②，如果在，上取后=株，则上式可以化为灸=扇以刀=函硕赤-&)=(1-!)宓H房①；①②③都叫做空间直线的向量参数方程.二•平面的法向量1.平面法向量的定义已知平面a，如果向量成的基线与平面a垂直，则向量成叫作平面”的法向量或者说向量成与平面a正交.2.平面法向量的性质(1)平面“上的一个法向量垂直于平面“共面的所有向量；(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行.三.用向量方法证明空间中的平行关系1.牺平行设直线4房的方向向量分别是'，5，则要证明4"《或4与"重合，只需要证明加,即M疗.2.线面平行(1)设直线，的方向向量是a,平面。
的法向量是元，要证明〃r/,只需要证明Sz；=o;(2)根据线面平行的判定定理：如果直线(平面夕卜)与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；所以，要证明2直线和一个平面平行，也可以在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；(3)根据共面向量定理可知：如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共面向量确定的平面一定平行.已知两个不共线向量名逡与平面“共面，一条直线］的一个方向向量为亍，则由共面向量定理，可得E或［在位内9存在两个实数W,使土戒+>£.3平行(1借能求出平面s月的法向量元足，要证明耻，只需要证明河即可.(2)由面面平行的判定定理：要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可，已知两个不共线的向量相与与平面“共面，则由两平面平行的判定与性质，得。
(整理版)空间向量在平行中的应用
空间向量在平行中的应用向量是研究图形性质的有力工具，任何一个空间向量都可用三个不在同一平面内的向量来表示，从而使得对空间图形性质的研究代数化，以棱柱、棱锥为依托，与空间角、距离等有关的问题，可采用空间向量的知识求解。
我们可以以空间不共面的〔特别是过一顶点的互相垂直的〕三个向量为基底，证共线、共面问题，线面平行问题。
例1、正方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 、G 、H 、K 、M 分别为所有棱的中点，如图，求证：EF 、GH 、KM 共面。
分析：证EF 、GH 、KM 共面，等价于证0=++KM GH EF . 证明：设c BB b BF a BE 2,,1===， 那么a b EF c GC -==,1，.,c b KM a c GH --=+=所以.0)(=--+++-=++c b a c a b KM GH EF所以MK HG EF +=，因为GH 与KM 不共线，所以KM GH EF ,,是共面向量 故EF 、GH 、KM 共面。
例2、如图，四边形ABCD ，ABEF 为两个正方形，M 、N 分别在其对角线BF 和AC 上，且FM ＝AN ，求证：MN//平面EBC.证明：在正方形ABCD ，ABEF 中，因为BE ＝AB ，FM ＝AN ，FB ＝AC ，所以存在实数λ，使.,AC AN BF MF λλ==所以EB AD AB BA BE AC EB BF AN FA MF MN ++++=++=++=)(λλλ .)1()()(BC BE BE BC BE EB AD BE λλλλ+-=-+=++=所以BC BE MN ,,共面，因为M 、N 不在平面EBC 内，所以MN//平面EBC.点评：向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x ，y 使p ＝xa ＋yb ，利用共面向量定理可以证明线面平行问题。
例3、正方体1111D C B A ABCD -中，求证：//1BD A 平面.11D CB证明：如图，分别以D D C D A D 11111,,三边所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，那么)1,0,0(),1,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D C B A ，那么)1,0,1(),1,0,1(11--C B D A ，所以C B D A 11//，即直线C B D A 11//，所以//1D A 平面.11D CB同理可证//1B A 平面.11D CB 又 D A 111A B A ，所以//1BD A 平面.11D CB点评：由于三种平行关系可以相互转化，所以此题可用逻辑推理来证明，用向量法将逻辑论证转化为代数问题的计算，在应用向量法时需要合理地建立空间直角坐标系。