第四章 微分中值定理 导数应用
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是导数与函数之间的关系的重要推论。
本文将介绍微分中值定理的概念以及其在实际问题中的应用。
一、微分中值定理的概念微分中值定理是数学分析中的一个重要定理，它是由罗尔定理和拉格朗日中值定理推导出的。
该定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且在区间端点a和b的函数值相等（f(a) = f(b)），那么在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
这一定理的直观解释是：如果一个连续函数在两个点的函数值相等，并且在两点之间的某个地方斜率为零，那么在该点一定存在切线与横轴平行。
二、导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
通过导数的概念和性质，我们可以在实际问题中进行一些有用的应用。
1. 最值问题导数可以用来求解函数的最值问题。
在闭区间上的连续函数中，如果在某一点的导数为零或不存在，那么这一点可能是函数的极值点。
通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值。
2. 凹凸性和拐点问题导数可以用来研究函数的凹凸性和拐点问题。
通过分析函数的二阶导数（导数的导数），可以确定函数的凹凸性以及拐点的位置。
3. 曲线的切线和法线问题导数可以用来求解曲线的切线和法线问题。
切线的斜率等于函数在该点的导数，而法线的斜率是切线斜率的负倒数。
三、微分中值定理的应用微分中值定理是导数与函数之间的重要关系推论，它在实际问题中有着广泛的应用。
1. 速度与加速度微分中值定理可以用来解决速度与加速度的问题。
对于一个运动的实体，在某一时间段内，他的速度可能为零，这意味着他的加速度为零。
这可以通过微分中值定理得到证明。
2. 经济学中的应用微分中值定理在经济学中也有广泛的应用。
例如，在某个时间段内，一个消费品的价格可能保持不变，这意味着该消费品的边际效用或边际收益为零。
这可以用微分中值定理来解释。
3. 物理学中的应用微分中值定理在物理学中也有重要的应用。
微分中值定理与导数的应用总结
微分中值定理与导数的应用总结一、微分中值定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它表述为：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)，其中c属于(a,b)。
拉格朗日中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个点a和b上的斜率相等，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线在c点和a、b两点之间的切线斜率相等。
2.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的推广形式，它给出了两个函数的导数的关系。
设f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且g'(x)≠0，则存在一个数c，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=[f'(c)]/[g'(c)]。
柯西中值定理的几何意义是：如果曲线f(x)和g(x)在两个点a和b上的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线f(x)和g(x)在c点的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比。
3.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊形式，它给出了导数为零的充分条件。
设函数f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个端点上的函数值相等，则在这两个端点之间必然存在一个点c，使得曲线在c点的切线斜率为零。
微分中值定理的应用非常广泛，例如在证明极限存在或连续性、研究函数增减性和函数极值、解方程和不等式等问题中都有重要的作用。
在实际生活中，微分中值定理可以应用于求解速度、加速度、距离等问题，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、导数的应用导数作为微积分的重要概念，具有很多实际应用。
高等数学教案第四章
第四章 微分中值定理和导数的应用本章知识◆ 微分中值定理 ◆ 洛必达法则◆ 函数单调性的判定 ◆ 函数的极值及其求法 ◆ 函数的最值及其应用 ◆ 曲线的凹凸性和拐点 ◆ 曲线的渐近线◆ 导数在经济分析中的应用本章重点：拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定，函数极值、最值的求法和实际应用本章难点：函数最值的应用，弹性函数 4.1微分中值定理 4.1.1罗尔定理定理（罗尔（Rolle ）中值定理）：若 f (x)满足： （1）在[a, b]上连续， （2）在(a, b)内可导， （3）f (a) = f (b)，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0.f ξ'=罗尔中值定理的几何意义两端高度相同的一段连续曲线上，若除端点外它在每一点都有不垂直于x 轴的切线，则在其中必至少有一条切线平行于x 轴.4.1.2拉格朗日(Lagrange)中值定理定理：拉格朗日(Lagrange)中值定理若 f (x)满足： （1）在[a, b]上连续，（2）在(a, b)内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()().f b f a f b a ξ-'=-拉格朗日(Lagrange)中值定理的几何意义在曲线弧AB 上，至少存在一点C ，该点的切线平行于AB 。
拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.'(,),()0,()()x a b f x f x c c ∈==推论：如果对于任意有则为常数()()(,)()()()x a b f x g x f x g x c c ''∈=+/推论：如果对于任意，有=则为常数4.2洛必达法则洛必达法则型型及基本不定式:001.2.4∞∞()(),()(),()0lim .()0x a x x a x f x g x f x g x →→∞→→∞∞∞如果当或时两个函数与都趋于零或都趋于无穷大那么极限称为或型未定式 定理 (洛必达法则)：(),()(1),()();(2)(),()()()0;()(3)lim ();()()()lim lim .()(),.()().x a x a x a f x g x x a f x g x a a f x g x g x f x g x f x f x g x g x x f x g x →→→→'''≠'''='→∞设满足：当时函数及都趋于零在点的某领域内点本身可以除外及都存在且存在或为无穷大那么当时该法则仍然成立当及都趋于无穷大时，该法则仍注1：注2然成立：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，与其它求极限方法结合使用，效果更好.()()()()()()()()()()()()x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x x x x x x x x x x ''''=''=''∞∞''∞∞→→→→→00000lim lim lim 00lim 200lim1续使用洛必达法则，即仍满足定理，则可以继，”型不定式，且函数”或“还是“）若”型不定式”或“必须是“）注意使用洛必达法则是必须4.2.2其他不定式000,,0,1,∞⋅∞∞-∞∞型未定式解法关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型。
中值定理与导数应用
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例7 证明当x [ 1 ，1]时，不等式 2
arctan x ln(1 x2 ) ln 2
4 成立.
例8 证明：若函数f (x)在(， )内 满足关系式 f (x) f (x)，且f (0)＝1，
则 f (x) ex.
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f '() 0
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y 几何解释:
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C y f (x)
o a 1
2 b x
在两端点高度相同的连续曲线弧AB上，
若除端点外处处均有不垂直于x轴的切
线存在，则此曲线弧上至少有一点C,
在该点处的切线平行于x轴.
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f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x1)
f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x1) f (0)
f (2 ) x1 f (1) x1 (x2 2 x1 x2 , 0 1 x1)
x1 f ( )(2 1) 0 (1 2 )
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
并求满足定理的值. 例4 证明 arcsin x arccos x
2 (1 x 1).
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——证明恒等式旳一般措施
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例5 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
例6 设 Lim f (x) K , 求 x＋
Lim [ f (x a) f (x)].(a 0)
x＋
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f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
1 1 x 1 x ．
2
例 2 证明方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内有 且只有一个实根．
证明 设 f (x) x3 x2 2x 1，显然 f (x) 在[0,1] 上连续，且 f (0) 1, f (1) 3 ，则有 f (0) f (1) 0 ， 故由连续函数根的存在定理知，在 (0,1) 内至少有
第四章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数单调性 第四节 函数的极值与最值 第五节 曲线的凹凸性与拐点 第六节 函数图形的描绘
第一节 微分中值定理
一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
一、罗尔中值定理
罗尔定理 设函数 f(x) 满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义：·
如果 A¼ B 是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不
垂直于 x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么
在曲线弧 A¼ B 上至少存在一点C ，在该点处曲线的切线
平行于 x 轴.
二、拉格朗日中值定理
定理 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
一个 ，使得 f ( ) 0 ．
又 f (x) 3x2 2x 2 0 ， x (0,1) ，
故 f (x) 在[0,1] 上单调增加，因而函数 f (x)
的图形和 x 轴至多只有一个交点，即方程只有一
个实根． 综合可得，方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内
第四章 微分中值定理与导数的应用 §4.1 中值
第四章
微分中值定理与导数的应用
§4.1 中值定理
§4.2 洛必达法则
§4.3 函数的单调性
§4.4
§4.5
函数的极值与最值
曲线的凹凸性与拐点
§4.6
§4.8
渐近线与函数作图
泰勒公式
§4.1 中值定理 4.1.1 罗尔定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x )满足： （1）在闭区间 [a , b]上连续； （2）在开区间 (a , b ) 内可导； （3）在区间端点的函数值相等，即 f (a ) f (b ),那 末在 ( a , b ) 内至少有一点 (a b ) ,使得函数 f ( x ) 在 该点的导数等于零，即
例5
若方程 a0 x 4 a1 x 3 a2 x 2 a3 x 0 有一个
正根 x =x0，证明方程 4a0 x 3 3a1 x 2 2a2 x a3 0 必有一个小于 x0 的正根 f ( x ) a0 x 4 a1 x 3 a2 x 2 a3 x 解 设 则 f (x) 在 (-,+ ) 内连续且可导, 而且
即
x ln(1 x ) x 1 x
例4 不用求函数f (x)=x (x1)(x2)(x3）的导数 ， 说明 f '( x ) 0 有几个实根，并指出它们所在的区 间 解 函数在(-,+ )内连续且可导, 而且 f (0) = f (1) = f(2) = f (3) = 0 所以 f (x) 在 [0,1], [1,2], [2,3]上都满足罗尔定理条件, 因此存在 1 0 ,1 , 2 1, 2 , 3 2 ,3 满足 f '(1 ) f '( 2 ) f '(3 ) 0 由于f (x)是4次多项式, f '( x ) 0 是 3次多项式, 因 此至多有 3 个实根 f ' ( x ) 0 有三个实根, 分别在区间 (0,1) , (1,2) , (2,3) 内
微分中值定理及导数的应用
积分因子法
通过引入一个积分因子，将微分方程转化为可解的一 阶线性方程组。
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微分中值定理及导数的应用
目录
• 微分中值定理 • 导数的定义与性质 • 导数在函数中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步研究
01
微分中值定理
微分中值定理的定义
微分中值定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可 导，则存在$c in (a, b)$，使得$f'(c) = frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
导数与积分的关系
牛顿-莱布尼兹公式
用导数和积分相互转化的方式，将定积分转化为求和的 形式，从而简化计算。
微积分基本定理
定积分可以表示为被积函数的一个原函数在积分上下限 的函数值的差，即牛顿-莱布尼兹公式的特殊形式。
导数与微分方程
微分方程
描述一个变量关于另一个变量的导数等于某个给定函 数的方程。
初值问题
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数在数值分析中有着广泛的应用，例如在求解微分方程、 积分方程和线性代数方程时，导数可以帮助我们找到近似 解。
图像处理
在图像处理中，导数可以帮助我们进行边缘检测、图像滤 波和图像增强等操作，从而提高图像的清晰度和质量。
信号处理
在信号处理中，导数可以用来分析信号的变化趋势和频率 特征，例如在音频处理和图像处理中，导数可以帮助我们 提取信号中的重要信息。
详细描述
如果一个函数在某区间的导数大于0， 则该函数在此区间单调递增；如果导 数小于0，则函数单调递减。
第四章 微分中值定理与导数的应用
1 1, 所以arctan x 2 arctan x1 x 2 x1 . 2 1
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x 例5 证明不等式 ＜ln(1+x)＜x 对一切x＞0成立. 1 x
证 由于f(x)=ln(1+x)在［０，＋∞）上连续、可导， 对任何x＞0，在［0, x］上运用微分中值公式,得 f(x)-f(0)=f′( x)x, (0< <1 ), x 即 ln(1+x)= (0< <1)． 1 x x x 由于 ＜x, ＜
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 )
因为 f(x)≡0,所以 从而 f(x2)=f(x1) .
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( x1 x2 )
f()=0 .
例4 试证 arcsin x arccos x 证
2 令f ( x ) arcsin x arccos x , 则
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三、 柯西中值定理
定理3 (柯西中值定理) 若函数f(x)和g(x)满足以下条件: (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导,且g(x)≠0, 那么在(a,b)内至少存在一点,使得
f (b) f (a ) f ( ) g(b) g(a ) g( )
( x 1).
f '( x)
1 1 x2
1 1 x2
0, x ( 1,1)
得f ( x ) C , x ( 1,1) 又因f (0)
2
, 且f ( 1)
2
,
故 f ( x ) arcsin x arccos x
高数(1)第四章微分中值定理和导数的应用
第四章微分中值定理和导数的应用【字体：大中小】【打印】4.1 微分中值定理费马引理：设函数y=f(x)在点的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或）则一、罗尔(Rolle)定理1.罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。
例1.判断函数，在[-1，3]上是否满足罗尔定理条件，若满足，求出它的驻点。
【答疑编号11040101：针对该题提问】解满足在[-1，3]上连续，在（-1，3）上可导，且f(-1)=f(3)=0，∵，取例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断有几个实根，并指出这些根所在的区间。
【答疑编号11040102：针对该题提问】二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点，使等式成立。
注意：与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b)结论亦可写成。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。
拉格朗日中值定理又称微分中值定理例3（教材162页习题4.1，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上是否满足拉格朗日中值定理。
【答疑编号11040103：针对该题提问】推论1 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。
例4（教材162页习题4.1，4题）、证明【答疑编号11040104：针对该题提问】证设又，即，推论2 假设在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数处处相等，则f(x)与g(x)至多相差一个常数。
4.2 洛必达法则一、型及型未定式解法：洛必达法则1、定义如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限称为或型未定式。
第四章 微分中值定理与导数的应用
第四章 微分中值定理与导数的应用数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有数学，它们无法达到这样的可靠程度。
——爱因斯坦本章首先介绍微分中值定理，然后，运用微分中值定理，我们介绍一种求极限的方法——洛必达法则。
最后，运用微分中值定理，通过导数来研究函数及其曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。
第一节 微分中值定理一、 罗尔定理定理4.1 (罗尔(Rolle )定理)如果函数()f x 满足： (1) 在[,]a b 上连续， (2) 在(,)a b 内可导， (3) ()()f a f b =，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=．证明 由闭区间上连续函数性质，)(x f 在] ,[b a 上必能取到最小值m 和最大值M 。
如果m = M ，那么C x f ≡)(，于是] ,[b a x ∈∀有，0)(='x f 。
否则，m M >，于是，)(a f M ≠或)(a f m ≠至少有一个成立。
根据罗尔中值定理的条件（3），在) ,(b a 内至少存在一个最值点ξ，不妨设M f =)(ξ，因为)(x f 在ξ可导，那么，由费马定理，0)(='ξf 。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条连续曲线)(x f y =，除曲线端点之外每一点都存在切线，并且曲线的两个端 点在同一水平线上，那么在该曲线上至少存在一点，使得过该点的切线为水平切线.如图4.1.1所示，由定理假设知，函数y =f (x )(a ≤x ≤b )的图形是一条连续曲线段 ACB ，且直线段AB 平行于x 轴。
定理的结论表明，在曲线上至少存在一点C ，在该点曲线具有水平切线．图4.1.1例4.1.1 验证罗尔定理对函数2()23f x x x =-+在区间[1,3]-上的正确性． 解 显然函数2()23f x x x =-+在[1,3]-上满足罗尔定理的三个条件，由 ()222(1)f x x x '=-=-,可知(1)0f '=,因此存在1(1,3)ξ=∈-,使(1)0f '=． 注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立．但也不能认为这些条件是必要的．例如，f (x )=sin x （0≤x ≤3π2）在区间［0, 3π2］上连续，在(0, 3π2)内可导，但f (0)≠f (3π2)=-1,而此时仍存在3(0,)22ππξ=∈，使()f ξ'=cos π2=0(图4.1.2 )．图4.1.2若不满足罗尔定理中的三个条件，则罗尔定理的结论就不一定成立。
第四章 微分中值定理和导数的应用
f ( x ) A ( A 为有限数，也可为 或 )，则 g ( x )
x x0
lim
f ( x) f ( x ) lim A . x x 0 g ( x) g ( x)
x3 3x 2 例 1 求 lim 3 ． x 1 x x 2 x 1
4.2.1 基本不定式
定理2 (洛必达法则)若
(1) lim f ( x ) 0 ， lim g ( x ) 0 ；
x x0 x x0
(2) f ( x ) 与 g ( x ) 在 x0 的某邻域内（点 x0 可除外）可导， 且 g ' ( x) 0 ；
(3) lim
x x0
解
x 3 3x 2 lim 3 = x 1 x x 2 x 1 3x 2 3 lim x 1 3 x 2 2 x 1 6x 6 3 = lim = = ． x 1 6 x 2 4 2
例 2
求 lim
1 cos x ． x π tan x
解
lim
1 cos x sin x = lim = 0． xπ x π 1 tan x cos 2 x
的
极限，因此通常可用对数求导法或利用复合函数观点
u ( x)
v( x)
e
ln u ( x )v ( x )
e
v ( x ) ln u ( x )
ln 0 0 ln 0 0 ln 0 0 ln 0 0 ln1 ln 0 0
1、微分中值定理及几何意义； 2、会用洛必达法则求极限； 3、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的 拐点；
4、求闭区间上连续函数的最值；
高等教育自学考试高等数学(一)第 四 章 微分中值定理和导数的应用
第四章微分中值定理和导数的应用一、考核要求Ⅰ 知道罗尔定理成立的条件和结论，知道拉格朗日中值定理成立的条件和结论。
Ⅱ 能识别各种类型的未定式，并会用洛必达法则求它们的极限。
Ⅲ 会判别函数的单调性，会用单调性求函数的单调区间，并会利用函数的单调性证明简单的不等式。
Ⅳ 会求函数的极值。
Ⅴ 会求出数在闭区间上的最值，并会求简单应用问题的最值。
Ⅵ 会判断曲线的凹凸性，会求曲线的凹凸区间和拐点。
Ⅶ 会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。
二、基本概念、主要定理和公式、典型例题Ⅰ 微分中值定理今后，如果函数f(x)在某一点x0处的导数值=0，就说这一点是驻点，因此罗尔中值定理的结论也可以说f(x)在（a，b）内至少有一个驻点。
从y=f(x)的几何图形（见下图）可以看出，若y=f(x)满足罗尔中值的条件，则它在（a，b）内至少有一点，其切线是水平的，根据导数的几何意义知道，该点的斜率=k=0。
从函数y= f(x)的图形看（见下图），连接y= f(x)在[a，b]上的图形的端点A与B，则线段AB的斜率为：将AB平行移动至某处，当AB的平行线与曲线y=f(x)相切时，若切点为x=c，则根据导数的几何意义知：或写作故从几何图形看，拉格朗日定理是成立的。
典型例题例一：（单选）下列函数在相应区间上满足罗尔中值定理的条件的函数是（）① ，[-1，1]；② ，[-1，1]；③ ，[1， 2]；④ ，[-1，1]。
解：①在[-1，1]上处处有意义，没有无意义的点，因为他没有分母，所以在b区间[-1，1]上处处连续满足第一个条件。
又f(-1)=1，f(1)=1，所以在端点上函数值相等，满足第三个条件因此这函数在开间内不是处处可导，只少在0这一点不可导的，因此不满足第二个条件。
② 在x=o处不可导，∴也不满足第二个条件。
③ f(1)=1，f(2)=4，∴在[1，2]上满足第三个条件。
④ ，处处可导且处处连续，f(-1)=1， f(1)=1。
赵树嫄微积分第四版第四章-中值定理与导数的应用
练习 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (t) ln(1 t),
f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ( )(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x ,
(2) 若 M m. f (a) f (b),
所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。
设 M f (a), 则 M f (b),
(a,b)，使 f ( ) M. 由费马引理, 条件有一个不满足，则定理的结 论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
f ( x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2) 及 (2, 3) 内。
思考： f ( x) 的零点呢？
11
例4 证明：可导函数 f ( x) 的两个零点之间必有 f ( x) f ( x) 的零点. 证 对 g( x) ex f ( x) 使用罗尔定理,
g( x) ex[ f ( x) f ( x)]，
C2
该点处的切线平
A
行 于 弦 AB.
O a
hbx
证明 作辅助函数 F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)， ba
F(x) 在 [a, b]上连续，在 (a, b)内可导，
F(a) F(b) 0， 由罗尔定理， (a, b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
17
例7 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件,
第4微分中值定理与导数的应用
f(x) 1 ( 1 )0.
1x2
1x2
f ( x ) C ,x [ 1 , 1 ]
又 f( 0 ) ar 0 a cs r 0 ic 0 n c o , s 22
即C . 2
arcxsa in rcxc o.s 2
பைடு நூலகம்
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x) 及F(x)
内可导，且 f(0)f()0,
而在
(0, )内确存在一点
4
使
f2(2cos2x)x4 0.
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例2 不 求 导 数 ， 判 断 函 数 f(x ) (x 2 3 x 2 )(x 3 )
的 导 数 有 几 个 零 点 及 这 此 零 点 所 在 的 范 围 .
解 因 为 f(1 ) f(2 ) f(3 ) 0 ,
c
c
c
对 f(0 ) 0 ， 在 fc (0 )， 0 应 用 拉 氏 定 理 同 理 可 证 .
例4 证x 明 0 时 , 当 x ln 1 x () x . 1 x
证 设 f(x )ln 1x (),
f(x)在[0,x]上满足拉氏定理的, 条件
f ( x ) f ( 0 ) f ( ) x 0 ( ) ( 0 , x )
第4微分中值定理与导数的应用
§4.1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数f(x)(1在 ) 闭区间[a,b] 上连续(,2 )在开区间(a,b)内可导,(3且 ) 在区间端点的函数 值相等，即f(a) f(b),那末在(a,b)内至少有一点 (a b),使得函数f (x)在该点的导数等于零，
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小结：利用格朗日中值定理证明不等式，首先要设一个恰当的函数，然后将恰当地放大和缩小，从而得到所要证明的不等式。
柯西中值定理：若函数在上连续，在内可导，且则有使。
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
举例：例5
几个中值定理之间的关系；
［小结］中值定理刻划函数在区间上的增量与函数在区间内的某一点的导数的关系，要了解三个中值定理意义，知道这些定理之间的关系。
----麦克劳林公式
一、 几个初等函数的麦克劳林公式
举例：例1~例4
其中
其中
［小结］用泰勒公式来表示任一个函数，在实际应用中具有重要价值，而且具有很高的理论的意义。
［练习］P145~1
［作业］P145~3
§3．6 曲率（自学）
本章总结：本章讨论了罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，利用柯西定理给出了很多未定式求极限的方法。在这些未定式中，最基本的形式是型和型，对型，常将其化为分式而成为型或型去考虑；对于，，等又经常通过将其变成指数函数或取对数化为型；至于型，一般通过将其通分或有理化后根据情况处理。作为微分中值定理的重要应用，是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值；研究曲线的凹凸性、求曲线的拐点，再根据渐近线的情况描绘函数的图形；并讨论了最大值和最小值的问题；最后给出了任意函数的泰勒展开式。
（1）若，则曲线凹
（2）若，则曲线凸
举例：P150~例7~例8
定义（拐点）：（P151）
定理2（拐点存在的充分必要条件）：设函数在内连续且二阶可导，若在点的左、右邻域内，的符号相反，则曲线上的点是曲线的拐点。
确定曲线的凹凸与拐点的一般步骤：
（1）确定函数的连续区间；
（2）在区间内求出使和不存在的点；
（2）函数不可导点也可能是极值点。
定理2（第一充分条件）：设函数在内连续且可导（可以不存在）；
求函数极值的一般步骤：（P156）
（1）确定函数的连续区间；
（2）求出函数的可能极值点（驻点和不可导点）；
（3）判别可能取极值的点是否为极值点；
（4）若是极值点，求出函数的极值。
举例：例1
拉格朗日定理是罗尔定理的推广。
从拉格朗日中值定理的几何意义，理解拉格朗日中值定理的意义。
推论1：若函数在区间内可导，且，则函数在区间内恒等于一个常数。
推论2：若函数和在区间内的导数处处相等，即，则函数和在区间内仅相差一个常数。
举例：求拉格朗日中值定理结论中的。P134~2
拉格朗日中值定理的应用：证明不等式
［授课内容］
一、泰勒公式
用一个多项式来表示任一个函数，不仅在计算上具有价值，而且具有重要的理论的意义。
泰勒中值定理：若函数在含有的开区间内具有直到阶的导数，则对中的任一点，有
----- 泰勒公式
其中 ---- 拉格朗日余项
----泰勒多项式
函数的泰勒公式在=0时为
（3）由上述求出的点将区间分成若干个部分区间，在各个部分区间讨论的符号，便可确定曲线在相应部分区间内的凹凸，同时确定曲线是否存在拐点，并求出拐点。
上述过程可列表表示。
举例：P152~例1~例2
［小结］本节研究了曲线的凹凸性以及曲线凹凸性判别方法，求曲线拐点的方法。
［练习］P153~9、（1）
举例：例10
注意：洛必达法则失效的情形。
举例：P139~2；3
［练习］P139~1、（1）~（4）
［作业］P139~1、（9）；（13）；（14）
§3。3 函数的单调性与极值
［教学目标］熟练掌握函数单调性的判别方法；熟练掌握求函数极值与最值的方法。了解函数极值与最值的关系与区别。
假设函数在上连续，则求最大值和最小值的一般程序：
首先求出函数在开区间内所有可能的极值点（即驻点和导数不存在的点）的函数值，再求出区间端点的函数值和，比较这些值，其中最大者就是在上的最大值，最小者就是在上的最小值。
举例：例3~例7
［小结］作为导数与微分的重要应用是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值，这在解决实际问题中是非常重要的。
第四章 微分中值定理 导数应用
本章内容引入：中值定理是微分学中的最重要的定理，这是连续可导函数所具有的一些重要性质，它在用导数研究函数以及实际应用中是重要的理论基础。
§4。1 微分中值定理
［教学目标］了解罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，理解这些定理之间的关系，会利用这些定理证明一些简单的证明题（如证明不等式）。
［重点和难点］函数单调性的判别方法和求极值的方法
［授课内容］
一、函数单调性的判别法
定理1（判别单调性的充分条件）：在函数可导的区间内：
（1）若，则函数单调增加；
（2）若，则函数单调减少；
讨论函数单调性的一般程序：
（1）确定函数的定义域
（2）确定函数增减区间的可能分界点（驻点或导数不存在的点）
综合起来作函数图形的一般步骤为：
（1）确定函数的定义域、间断点，以明确图形的范围；
（2）讨论函数的奇偶性、周期性，以判别图形的对称性、周性；
（3）考察曲线的渐近线，以把握曲线伸向无穷远的趋势；
（4）确定函数的单调区间、极值；确定曲线的凹凸区间及拐点，以掌握图形的大致形状；
（5）选择曲线的若干关键点，特别是曲线与坐标轴的交点等，方便描点定位；
定理3（第二充分条件）：设函数在点二阶可导且,,则是函数的极值点：
举例：例2
注意：定理2和定理3都是判别极值点的充分条件，定理2对驻点和导数不存在的点均适用，定理3用起来比较方便，但对于下述两种情况不适用：（1）导数不存在的点；（2）当，时点可能是极值点，也可能不是极值点。
四、最大值最小值问题
［练习］P152~3、（4）；5、（1）；P162~1、（4）；4、（1）
［作业］P152~3、（5）；5、（2）
§3。4 曲线的凹凸点与拐点
［教学目标］熟练掌握曲线凹凸性判别方法。
［重点和难点］曲线凹凸性判别方法和求曲线拐点与渐近线的方法。
［授课内容］
定义（凹凸）：P134
定理1（判别凹凸性的定理）：在函数二阶可导的区间内：
［重点和难点］中值定理和中值定理之间的关系
［授课内容］
罗尔定理：若函数满足在上连续，在内可导，则有使。
从几何意义理解罗尔中值定理的意义。
注意：（1）定理中的条件是充分的，但非必要的。
（2）导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）
举例：求罗尔定理结论中的。P134~1
拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在内可导，则有使。
（3）判别函数的增减区间
举例：例1~例5
二、用函数的增减性与极值证明不等式
要证明在区间上有，只要利用函数单调性与极值判别定理证明即可。
举例：例6
三、函数的极值
1、极值的定义（P154）
2、极值的求法
定理1（极值存在的必要条件）：若函数在点处可导，且取得极值，则
注意：（1）驻点不一定是极值点。
［作业］P153~9、（3）；（4）
§3。5 函数作图
［教学目标］掌握函数作图的基本步骤和方法；会作某些简单函数的图形。
［重点和难点］函数作图的基本步骤和方法。
［授课内容］
利用函数或曲线的各种性态如单调性、极值、凹凸性、拐点，再根据渐近线情况，然后描点作图就能作出较为准确的函数图形。
对于型常将其化为分式而变成或，对于，，等又经常通过将其变成指数函数或取对数化为型；至于型，一般通过将其通分或有理化后根据情况处理。，，，等各种未定式的定值方法，在计算时要注意洛必达法则的适用条件。并且洛必达法则时能同时与其他求极限的方法结合使用，将使计算简捷。
（6）综合以上分析，描点作出函数的图形。
举例：例1~例2
［小结］利用微分学的知识了解了函数或曲线的各种性态后，再描点作图就能作出较为准确的函数图形。
［练习］P169~1
［作业］P169~2
§3．6 泰勒公式
［教学目标］掌握泰勒公式和麦克劳林公式
［重点和难点］泰勒公式
［练习］P134~4；11、（1）
［作业］P134~10
§4.2 洛必达法则
［教学目标］熟练掌握洛必达法则和各种未定式的定值方法
［重点和难点］洛必达法则和各种未定式的定值方法
［授课内容］
两种基本的未定式：
洛必达法则：若函数和满足：
只证明型未定式的洛必达法则，型未定式不作要求。
注意洛必达法则的适用条件。
举例：例1~例3
注意：（1）洛必达法则中的条件（1）改为则
为型未定式，则法则仍成立。
（2）法则中的，改为，，，，只要将法则中的条件（2）作相应的修改，法则仍适用。
（3）若还是型或型未定式，可对再用一次洛必达法则，依次类推。
举例：例4~例6
注意只有型或型未定式才能用洛必达法则。