1,2绪论、插值、拟合

5
例如： 例如： 函数 f ( x )用泰勒多项式
1 1 ( n) 2 Pn ( x ) = f (0) + f ′(0) x + f ′′(0) x + ⋯ + f (0) x n 2! n!
近似代替时， 近似代替时，有误差
1 Rn ( x ) = f ( x ) − Pn ( x ) = f ( n+1) (ξ ) x n+1 ( n + 1)!
证明 已知
1 −n+1 ×10 er ( x ) ≤ 2(a1 + 1)
∗
x ∗ − x = x ∗ ⋅ er ( x ∗ )
≤ (a1 + 1) ×10
m−1
至少有n 位有效数字。 故 x 至少有 位有效数字。
16
∗
1 − = ×10m−n 2
1 × ×10−n+1 2(a1 + 1)
例 要使 20 的近似值的相对误差限小于 的近似值的相对误差限小于0.1% , 要取几位有效数字。 要取几位有效数字。 4 < 20 < 5 , 所以 a1 = 4 , 解 由于 1 − n+1 × 10 ≤ 0 .1 % , 由定理1有 由定理 有 2 a1 1 n−4 即 10 ≥ , 得 n ≥ 4 8 的近似数取4 位有效数字,其相对误差 故只要对 20 的近似数取 位有效数字 其相对误差 就可小于0.1%, 因此 可取 20 ≈ 4 .472 因此,可取 就可小于
9
∗
∗
的平方项级, 较小时, 是 e r ( x ) 的平方项级 故当 e r ( x ∗ ) 较小时 常取
∗
e( x ) x − x er ( x ) ≈ = ∗ ∗ x x
∗
∗
∗
相对误差是无量纲的, 也可正可负, 它的绝对值的上 相对误差是无量纲的, 也可正可负, 界称为该近似值的相对误差限, 界称为该近似值的相对误差限, 记作 εr ( x∗ ) 相对误差限 简记为 ε ∗ r
11
例 π = 3.1415926535⋯, 取 x* = 3.14 时， ⋯
x * −x < 0.002 ≤ 0.005
作为π的近似值 的近似值,有 位有效数字 位有效数字； 所以 x* = 3.14 作为 的近似值 有3位有效数字； 而取x*=3.1416 时, 而取
所以 x* = 3.1416 作为 π 的近似值,有5位有效数字。 的近似值 有 位有效数字。 位有效数字
计算方法
主讲 张学莹
zhangxy@
1
教材 (Text Book)
黄健元等，计算方法,河海大学出版社, 黄健元等，计算方法,河海大学出版社,2004
参考书目 (Reference)
李庆扬、王能超、易大义，数值分析（ 李庆扬、王能超、易大义，数值分析（4 版）, 北京：清华大学出版社,2001。 北京：清华大学出版社 。
写成: 如将 Pn (x) 写成
P ( x) = ⋯( ( an x + an−1 ) x + an−2 ) x +⋯+ a1 x + a0 n
18
(
)
P ( x) = ⋯( ( an x + an−1 ) x + an−2 ) x +⋯+ a1 x + a0 n
(
)
用递推算法: 用递推算法
u0 = an , uk = uk−1 x + an−k , k = 1,2,⋯, n.
y
(
x + x ×10−7 × 0.5×10−3 x ×10
2 −14
)
1 = × 5×1011 x
很小的数作除数有时还会造成计算机的溢出而停机。 很小的数作除数有时还会造成计算机的溢出而停机。
24
五、使用数值稳定的算法
在运算过程中,舍入误差能控制在某个范围内的算法 在运算过程中 舍入误差能控制在某个范围内的算法 称为数值稳定的算法 否则就称为不稳定的算法 数值稳定的算法,否则就称为不稳定的算法. 称为数值稳定的算法 否则就称为不稳定的算法 例5
3
计算方法是计算数学的一个分支, 计算方法是计算数学的一个分支 又称数值分析 或数值计算方法, 或数值计算方法 它是研究用计算机求解各种数学 问题的数值方法及其理论的一门学科, 问题的数值方法及其理论的一门学科 是程序设计 和对数值结果进行分析的依据和基础。 和对数值结果进行分析的依据和基础。 应用计算机解决科学技术和工程问题的步骤： 应用计算机解决科学技术和工程问题的步骤： (1) 提出实际问题 (3) 选用数值计算方法 (4) 编程上机计算得出数据结果。 编程上机计算得出数据结果。
10
三、有效数字
如果近似值x 的误差限是其某一位的半个单位, 如果近似值 * 的误差限是其某一位的半个单位 定义： 定义： 该位到x 的第一位非零数字共有n 我们称x 该位到 *的第一位非零数字共有 位, 我们称 * 有n 位有效数字。 有效数字。
n位 x* = ∗ ∗ ∗ ∗ ⋯ ∗
误差限不超过该位的半个单位 自左向右看, 自左向右看 第一位非零数字
之间。这种误差就是截断误差。 其中 ξ 在 0 与 x 之间。这种误差就是截断误差。
6
4. 舍入误差 计算机的字长是有限的 每一步运算 舍入误差: 计算机的字长是有限的, 均需四舍五入, 由此产出的误差。 均需四舍五入 由此产出的误差。 例如：用3.14159近似代替 π , 产生的误差 例如： 近似代替
定理1 定理1
设近似值
x = ±0.a1a2 ⋯ n ×10 a
∗
m
位有效数字， 有n 位有效数字， a1 ≠ 0 。则其相对误差限为 1 ∗ −n+1 ×10 εr ( x ) ≤ 2a1 m ∗ a 证明 x = ±0.a1a2 ⋯ n ×10 故
a1 ×10
m−1
≤| x |≤ (a1 + 1) ×10
i=1 =
21
52492 + ∑0.1
如改为
1000 i=1 = i=1 =
1000
∑0.1+ 52492 = 100 + 52492
= 0.01×10 + 0.52492×10
5 5
= 0.52502 ×10 = 52505
5
0.1 就没有被吃掉。 就没有被吃掉。 这也是构造算法时要注意的问题, 这也是构造算法时要注意的问题 避免重要的参数 被吃掉。 被吃掉。
最终 Pn (x)=un
共需n 次乘法和n 次加法运算。 共需 次乘法和 次加法运算。
19
二、 注意避免两个相近数的相减
两个相近的数相减, 有效数字会大大损失。 两个相近的数相减 有效数字会大大损失。 例2
170 − 13 = 0.0384048⋯ 170 −13 ≈ 13.04 −13 = 0.04
其他（ 其他（略）
2
课程简介
自第一台电子计算机问世以来，经过半个世纪的发展， 自第一台电子计算机问世以来，经过半个世纪的发展， 使得科学与工程计算已经成为本世纪最重要的科学进步之 一 。 在许多科学与工程领域如果没有计算就不可能有第一 流的研究成果。 流的研究成果。 可以毫不夸张地讲， 可以毫不夸张地讲，大部分科学与工程问题最终都要归 结为一个矩阵计算问题，其中具有挑战性的问题是大规模 结为一个矩阵计算问题 ， 其中具有挑战性的问题是 大规模 矩阵计算问题。 矩阵计算问题。 科学计算已与理论研究及科学试验并列成为当今世界科 已与理论研究 科学计算已与理论研究及科学试验并列成为当今世界科 学活动的三种主要方式。 学活动的三种主要方式。
12
下面给出有效数字的另一等价定义 定义： 定义：用 x 表示 的近似值，并将 x 表示成 表示x 的近似值，
x∗ = ±0. a1a2 ⋯an ⋯ak ×10m
∗ ∗
自左向右看, 自左向右看 第一位非零数字
1 x − x ≤ ×10m−n ,则称 x ∗具有 n 位有效 若其误差限 则称 2
∗
数字, 是整数, 中的一个数字, 数字, 这里 m 是整数 a1, a2 ,⋯, ak 为 0~9 中的一个数字 ⋯ 且a1 ≠ 0.
20
吃掉” 三、防止大数 “吃掉” 小数
例3 计算 52492 + ∑0.1
i=1 = 1000
用五位十进制计算机进行计算: 解 用五位十进制计算机进行计算
52492 + 0.1 = 0.52492×10 + 0.000001×10
5 5
5
= 0.52492×10

0.1被大数“吃掉”了,从而 被大数“吃掉” 从而 被大数 有 1000 52492 + ∑0.1 = 52492
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第三节 设计算法时应注意的原则
一、简化计算步骤, 减少运算次数 简化计算步骤 计算多项式的值: P ( x) = ∑ak xk 例1 计算多项式的值 n
k=0 n
每项 ak xk 有k 次乘法运算 因此计算 Pn (x) 共需 次乘法运算,
1 + 2 +⋯+ n = n( n + 1) 2
次乘法和n 次加法运算。 次乘法和 次加法运算。
如用四位有效数字计算: 如用四位有效数字计算 结果只有一位有效数字； 结果只有一位有效数字； 1 1 ≈ = 0.03840 如改为： 如改为： 170 − 13 = 170 + 13 13.04 + 13 有四位有效数字, 新算法避免了两个相近数的相减。 有四位有效数字 新算法避免了两个相近数的相减。
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四、避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值
因为
∗
x ε( ∗ ) = y
x ε ( y∗ ) + y ε ( x ∗ ) y