初三数学：应用型问题专题

初三数学：应用型问题专题
题型1方程（组）型应用题
方程是描述丰富多彩的现实世界数量关系的最重要的语言，也是中考命题所要考察的重点热点之一．我们必须广泛了解现代社会中日常生活、生产实践、经济活动的有关常识．并学会用数学中方程的思想去分析和解决一些实际问题．解此类问题的方法是：（1）审题，明确未知量和已知量；（2）设未知数，务必写明意义和单位；（3）依题意，找出等量关系，列出等量方程；（4）解方程，必要时验根．
题型2不等式（组）型应用题
现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值．但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围（趋势），从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识．本节中，我们所要讨论的问题大多是要求出某个量的取值范围或极端可能性，它们涉及我们日常生活中的方方面面．列不等式时要从题意出发，设好未知量之后，用心体会题目所规定的实际情境，从中找出不等关系．
题型3函数型应用问题
函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带．它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的应用性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题．因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要．解这类题的方法是对问题的审读和理解，掌握用一个变量的代数式表示另一个变量，建立两个变量间的等量关系，同时从题中确定自变量的取值范围．
题型4统计型应用问题
统计的内容有着非常丰富的实际背景，其实际应用性特别强．中考试题的热点之一，就是考查统计思想方法，同时考查学生应用数学的意识和处理数据解决实际问题的能力．
题型5几何型应用问题
几何应用题常常以现实生活情景为背景，考查学生识别图形的能力、动手操作图形的能力、运用几何知识解决实际问题的能力以及探索、发现问题的能力和观察、想像、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比、分类讨论、数形结合等数学思想方法．
知识运用举例：
（一）方程（组）型应用题
1．某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨．受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此，该厂设计了两种可行方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售牛奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为哪种方案获利最多，为什么？
解：方案一，总利润为4×2000＋（9－4）×500＝10500（元）
方案二，设加工奶片x吨，则
解得，x＝1．5
总利润为（元）
10500＜12000
所以方案二获利较多．
2．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．
甲乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时．问二人每小时各走几千米？
（1）设乙每小时走x千米，根据题意，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．
（要求：填上适当的代数式，完成表格）
（2）列出方程（组），并求出问题的解．
解：（1）
（2）根据题意，列方程得
整理得
解这个方程得
经检验，都是原方程的根．但速度为负数不合题意
所以只取，此时
答：甲每小时走6千米，乙每小时走5千米．
（二）、不等式（组）型应用题
3．某乒乓球训练馆准备购买n副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k(k≥3)个乒乓球. 已知A、B两家超
市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元 . 现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折(按原价的90%付费)销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球 . 若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市买更合算？
（2）当k＝12时，请设计最省钱的购买方案．
解：（1）由题意，去A超市购买n副球拍和kn个乒乓球的费用为0.9(20n＋kn)元，
去B超市购买n副球拍和kn个乒乓球的费用为[20n＋n(k－3)]元，
由0.9(20n＋kn)＜ 20n＋ n (k－3)，解得k＞10；
由0.9(20n＋kn)＝ 20n＋n (k－3)，解得k＝10；
由0.9(20n＋kn)＞ 20n＋n (k－3)，解得k＜10．
∴当k＞10时，去A超市购买更合算；当k＝10时，去A、B两家超市购买都一样；
当3≤k＜10时，去B超市购买更合算．
（2）当k＝12时，购买n副球拍应配12n个乒乓球．
若只在A超市购买，则费用为0.9(20n＋12n)＝28.8n(元)；
若只在B超市购买，则费用为20n＋(12n－3n)＝29n(元)；
若在B超市购买n副球拍，然后再在A超市购买不足的乒乓球，
则费用为20n＋0.9×(12－3)n＝28.1n(元)．
显然，28.1n＜28.8n＜29n．
∴最省钱的购买方案为：在B超市购买n副球拍同时获得送的3n个乒乓球，
然后在A超市按九折购买9n个乒乓球．
（三）、函数型应用题
4．元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的纸环数（个） 1
彩纸链长度（cm）19
（1）把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的
函数关系，并求出函数关系式；
（2）教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？
解：（1）在所给的坐标系中准确描点．
由图象猜想到与之间满足一次函数关系．
设经过，两点的直线为，则可得
解得，．即．
当时，；当时，．
即点都在一次函数的图象上．
所以彩纸链的长度（cm）与纸环数（个）之间满足一次函数关系．（2），根据题意，得．
解得．
答：每根彩纸链至少要用59个纸环．
（四）、统计型应用题
5．根据北京市水务局公布的2004年、2005年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制如下统计图表：2005年北京市水资源分布图（单位：亿） 2004年北京市用水量统计图
用水量
（单位：亿）
（1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清河水系提供．请你根据以上信息补全2005年北京市水资源统计图，并计算2005年全市的水资源总量（单位：亿）；
（2）在2005年北京市用水情况统计表中，若工业用水量比环境用水量的6倍多0.2亿，请你先计算环境用水量（单位：亿），再计算2005年北京市用水总量（单位：亿）；
（3）根据以上数据，请你计算2005年北京市的缺水量（单位：亿）；
（4）结合2004年及2005年北京市的用水情况，谈谈你的看法．
解：（1）初全2005年北京市水资源统计图见下图；
水资源总量为亿．
（2）设2005年环境用水量为亿．
依题意得．
解得．
所以2005年环境用水量为亿．
因为，
所以2005年北京市用水总量为亿．
（3）因为，所以2005年北京市缺水量为亿．
（4）说明：通过对比2004年及2005年北京市的用水情况，能提出积极看法的给分．
（五）、几何型应用题
6．台球是一项高雅的体育运动．其中包含了许多物理学、几何学知识．图①是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡
（1）击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边．经过一次反弹后再撞击F球．他应将E球打到AB边上的哪一点?请在图①中用尺规作出这一点H．并作出E球的运行路线；(不写画法．保留作图痕迹) （2）如图②以D为原点，建立直角坐标系，记A(O，4)．C(8，0)．E(4，3)，F(7，1)，求E球接刚才方式运行到F球的路线长度．(忽略球的大小)
图①
解：（1）画出正确的图形（可作点E关于直线AB的对称点E1，连结E1F，E1F与AB交于点H，球E的运动路线就是EH→HF）有正确的尺规作图痕迹
过点F作AB的平行线，交E1E的延长线于点N
由题意可知，E1N＝4，FN＝3
在Rt△AFNE1中，E1F＝
∵点E1是点E关于直线AB的对称点
∴EH＝E1H．∴EH＋HF＝E1F＝5
∴E球运行到F球的路线长度为5．。