武邑2018届高三下学期第四次模拟考试数学(文)试题含答案

河北武邑中学2017-2018学年下学期高三第四次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2230A x x x =--≤，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-2．已知集合{}02A x x =<<，{}210B x x =-<，则A B =U （ ）A ．()1,1-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()0,1 3．若1122aii i+=++，则a =（ ） A ．5i -- B ．5i -+ C ．5i - D ．5i +4．设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14-B ．12-C ．14D ．125．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+C ．4012π+D ．4016π+ 6．下列说法正确的是（ ）A ．x ∀，y R ∈若0x y +≠，则1x ≠且1y ≠-B ．a R ∈，“11a>”是“1a >”的必要不充分条件 C ．命题“x R ∃∈使得2230x x ++<”的否定是“x R ∀∈都有2230x x ++>” D ．“若22am bm <则a b <”的逆命题为真命题 7．某一算法框图如图所示，则输出的S 值为（ ）A ．2 B ．2- C ．0 8．《算术法》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h =，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似为3，那么近似公式27264V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为（ ） A ．227 B ．258 C ．237 D ．157509．已知某椎体的正视图和侧视图如图，则该椎体的俯视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()2cos 2f x x x =-的图象在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和42,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则正数a 的取值范围是（ ）A ．5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知ln x x =，5log 2y =，0.5z e -=，则（ ）A ．x y z <<B ．x z y <<C ．z y x <<D ．y z x << 12．对任意的0x >，总有()lg 0f x a x x =--≤，则a 的取值范围是（ ） A ．()(,lg lg lg e e -∞-⎤⎦ B ．(],1-∞ C ．()1,lg lg lg e e -⎡⎤⎣⎦ D ．()lg lg lg ,e e -+∞⎡⎤⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知m 、n 为正实数，向量(),1a m =r ，()1,1b n =-r ，若a b ⋅r r ，则12m n+的最小值为 ． 14．已知函数()f x =()2log 2017,02,0x x f x x +>⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，则()2016f -= ．15．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=.若直线()1y k x =+上存在点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ． 16．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -的体积最大时，其外接球的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足4n n S a =-（*n N ∈）.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设212log n nb a =-（*n N ∈），数列{}2n n b b +⋅的前n 项和为n T ，求证：34n T <18．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间实验.选取两大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙.（1）假设2n =，求第一大块地都种植品种甲的概率；（2）试验时每大块地分成8小块，即8n =，试验结束后得到的品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：2/kg hm ）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据实验结果，你认为应该种植哪一品种？19．如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C .（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高.20．已知直线l ：x =C ：221mx ny +=（0n m >>）有且只有一个公共点()2M . （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，动点Q 满足QB AB ⊥，连接AQ 交椭圆于点P ，求OQ OP ⋅uuu r uu u r的值.21．设函数()1x e f x x-=，（1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）证明：对任意0a >，当()0ln 1x a <<+时，()1f x a -<.22．在极坐标系下，知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线l：sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（0ρ≥，02θπ≤≤）.（1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标.文科数学参考答案一、选择题1-5:CBDCC 6-10:BDADB 11、12：DA二、填空题13．3+．2018- 15．⎡-⎣ 16．43π三、解答题17．解：（1）由4n n S a =-，得114S a =-，解得12a =而11n n n a S S ++=-=()()144n n a a +---1n n a a +=-，即12n n a a +=，112n n a a +∴=可见数列{}n a 是首项为2，公比为12的等比数列.1211222n n n a --⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）212log n n b a ==-Q ()1122n n=--，()212n n b b n n +∴=+11122n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭故数列{}2n n b b +的前n 项和111112324n T ⎡⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣11113546⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 1111112n n n n ⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎥-++⎝⎭⎝⎭⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭13112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭ 3142=-113124n n ⎛⎫+< ⎪++⎝⎭ 18．解：（1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A =“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4. 而事件A 包含1个基本事件：()1,2.所以()16P A =； （2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：(14033973908x =++甲404388400+++)412406400++=， ()()(222133108S =+-+-+甲()2224120+-++)2212657.25+=，品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：(14194034128x =+++乙418408423+++)400413412+=， ()(222217908S =+-++乙()2226411+-++())2212156-+=，由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.19．解：（1）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥.又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，故1B C ⊥平面ABO .由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥.（2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD .作OH AD ⊥，垂足为H .由于BC AO ⊥，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥，又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC ， 因为160CBB ∠=︒，所以1CBB V 为等边三角形，又1BC =，可得4OD =.由于1AC AB ⊥，所以11122OA B C ==.由OH AD OD OA ⋅=⋅，且AD ==，得14OH =. 又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC的距离为7故三棱柱111ABC A B C -的距离. 20．解：（1）椭圆C 的方程为221168x y +=. （2）设()04,Q y ，()11,P x y ，又()4,0A -，()4,0B ，()11,OP x y ∴=uu u r ，()04,OQ y =uuu r.直线AQ 的方程为()048y y x =+. ()220116848x y y y x ⎧+=⎪⎪∴⇒⎨⎪=+⎪⎩()22200328y x y x ++⋅201632160y +-⨯=. ()201208432y x y ∴-+=-+20128432y x y ⇒=-+.1014OQ OP x y y ⋅=+uuu r uu u r ()010448y x y x =+⋅+=202084432y y ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭22002088832y y y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ 2020321632y y =-++420021632y y y -=+. 21．解：（1）()()21x x e x e f x x --'=，()11f '=，()11f e =-，()f x ∴在1x =处的切线方程为11y e x -+=-，即20x y e -+-=（2）证明：()11x e xf x x---=1x e x x --=设()1xx e x ϕ=--，()1xx e ϕ'=-，()0x ϕ'>⇔0x >，故()x ϕ'在(),0-∞内递减，在()0,+∞内递增()()00x ϕϕ∴≥=即10x e x --≥，当()0ln 1x a <<+时，()1f x a -<⇔()1xe x a x --<，即当()0ln 1x a <<+时，()110xe a x --+<，（Ⅰ）当()ln 10a x -+<<时，()110xe a x ---<，（Ⅱ）令函数()()11xg x e a x =--+，()()11xh x e a x =---注意到()()000g h ==，故要证（Ⅰ）（Ⅱ），只需要证()g x 在()()0,ln 1a +内递减，()h x 在()()ln 1,0a -+递增 当()0ln 1x a <<+时，()()1x g x e a '=-+<()()ln 110a ea +-+=当()ln 10a x -+<<时，()()()ln 11a xh x e a e-+=-->()2101a a a--=>+综上，对任意0a >，当()0ln 1x a <<+时，()1f x a -<22．解：（1）圆O ：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，直线l ：sin 4πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即sin cos 1ρθρθ-=，则直线的直角坐标方程为：10x y -+=.（2）由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩解得1x y =⎧⎨=⎩. 即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为()0,1，转化为极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭.。