1.1.2[弧度制]课件(新人教a版必修4)
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数学人教A版必修四 1.1.2 弧度制 上课课件
知识点1 弧度制 1．度量角的两种制度 度 作为单位来度量角的单位制 定义 角 用_____ 度 1 制 1度的角 周角的_____ 360 为1度的角，记作1° 弧 度 制
定义
1弧度 的角
以_______ 弧度 为单位来度量角的单位制 长度等于________ 半径长 的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.1弧度记作1 _______ rad
度量单位类别
扇形的弧长 扇形的面积
α为角度制
απR 180 l＝_______ απR2 S＝_______ 360
α为弧度制
α· R l＝_______
1 2 1 R R ＝_______ S＝_______ 2α· 2l·
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 圆 的 半 径 是 6 cm ， 则 圆 心 角 为 15° 的 扇 形 面 积 是
课前预习
课堂互动
课堂反馈
3．角度制与弧度制的换算
7 角度化弧度 弧度化角度
2π rad 360° ＝________ π rad 180° ＝________
π 180 rad ≈0.017 45 rad 1° ＝________
360° 2π rad＝_______
180° π rad＝_______
________．
解析 π 1 2 1 π 3 因为 15° ＝ 12 ，所以面积 S ＝ 2 αR ＝ 2 × 12 ×36 ＝ 2
π(cm2)．
3 答案 2π(cm2)
课前预习
课堂互动课堂反馈ຫໍສະໝຸດ 题型一 角度与弧度的互化及应用
【例 1】 将下列角度与弧度进行互化： 7π 4 (1)20° ；(2)－800° ；(3)12；(4)－5π． π π 解 (1)20° ＝20×180＝9；
定义
1弧度 的角
以_______ 弧度 为单位来度量角的单位制 长度等于________ 半径长 的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.1弧度记作1 _______ rad
度量单位类别
扇形的弧长 扇形的面积
α为角度制
απR 180 l＝_______ απR2 S＝_______ 360
α为弧度制
α· R l＝_______
1 2 1 R R ＝_______ S＝_______ 2α· 2l·
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 圆 的 半 径 是 6 cm ， 则 圆 心 角 为 15° 的 扇 形 面 积 是
课前预习
课堂互动
课堂反馈
3．角度制与弧度制的换算
7 角度化弧度 弧度化角度
2π rad 360° ＝________ π rad 180° ＝________
π 180 rad ≈0.017 45 rad 1° ＝________
360° 2π rad＝_______
180° π rad＝_______
________．
解析 π 1 2 1 π 3 因为 15° ＝ 12 ，所以面积 S ＝ 2 αR ＝ 2 × 12 ×36 ＝ 2
π(cm2)．
3 答案 2π(cm2)
课前预习
课堂互动课堂反馈ຫໍສະໝຸດ 题型一 角度与弧度的互化及应用
【例 1】 将下列角度与弧度进行互化： 7π 4 (1)20° ；(2)－800° ；(3)12；(4)－5π． π π 解 (1)20° ＝20×180＝9；
高中数学人教A版必修4课件：1.1.2弧度制
180
答案: 5 r ad
8
r5 a d.
8
(2)因为1rad=( 1 8 0 °),
所以- 5 rad=-( 5 ×
12
12
答案:-75°
)°1=8 0-75°.
2.(1) 1 π9 =6π+ .
3
3
(2)-315°=- 7 = -2π+ .
4
4
【方法技巧】进行角度制与弧度制的互化的原则和
{|2n， nZ} {| （ 2n1） ， nZ}
4
4
{|k， kZ}. 4
2.(1)以OA为终边的角为 +2kπ(k∈Z);以OB为终边
6
的角为- 2 +2kπ(k∈Z).所以阴影部分(不包括边界)
3
内的角的集合为 { |－ 2 ＋ 2 k ＋ 2 k ， k Z } .
【解析】所求角的集合为
{ |2 k 2 k ＋ 或 2 k ＋ 2 2 k ＋ ， k Z } ． 33
2.若将本例2中变成如图所示的图形,写出终边落在阴 影部分(不包括边界)内的角的集合.
【解析】30°= ,150°= . 5
【解析】(1)330°和60°的终边分别对应 － 和 ，
63
所表示的区域位于 － 与之间且跨越x轴的正半轴,
63
所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为
{ |2 k － 2 k ＋ ， k Z } ．
6
3
(2)210°和135°的终边分别对应 － 5 所和 表3，示的
弧长为l,半径为r,
l＋ 2 r＝10， ①
答案: 5 r ad
8
r5 a d.
8
(2)因为1rad=( 1 8 0 °),
所以- 5 rad=-( 5 ×
12
12
答案:-75°
)°1=8 0-75°.
2.(1) 1 π9 =6π+ .
3
3
(2)-315°=- 7 = -2π+ .
4
4
【方法技巧】进行角度制与弧度制的互化的原则和
{|2n， nZ} {| （ 2n1） ， nZ}
4
4
{|k， kZ}. 4
2.(1)以OA为终边的角为 +2kπ(k∈Z);以OB为终边
6
的角为- 2 +2kπ(k∈Z).所以阴影部分(不包括边界)
3
内的角的集合为 { |－ 2 ＋ 2 k ＋ 2 k ， k Z } .
【解析】所求角的集合为
{ |2 k 2 k ＋ 或 2 k ＋ 2 2 k ＋ ， k Z } ． 33
2.若将本例2中变成如图所示的图形,写出终边落在阴 影部分(不包括边界)内的角的集合.
【解析】30°= ,150°= . 5
【解析】(1)330°和60°的终边分别对应 － 和 ，
63
所表示的区域位于 － 与之间且跨越x轴的正半轴,
63
所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为
{ |2 k － 2 k ＋ ， k Z } ．
6
3
(2)210°和135°的终边分别对应 － 5 所和 表3，示的
弧长为l,半径为r,
l＋ 2 r＝10， ①
【数学】1.1.2《弧度制》课件(新人教A版必修4)
o
（2）弧度制与角度数是不可以混合写
如： k 360
o
3
×
或2k 60
o
例1. 把112º30′化成弧度（用π 表示）。
解：
5 112º30′=112.5× = . 180 8
8 例2. 把 化成度。 5
解：1rad= (
180
)
8 8 180 ( ) 5 5
1.1.2
弧度制
学习目标
1、弧度制的概念 2、弧长公式 3、扇形面积公式 4、角度与弧度的互化
弧度的概念
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来
度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
弧度制与角度制的换算 ① 正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数，
n 1 2 S R R 360 2
2
1 又 αR=l，所以 S lR 2
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
中心角等于
，面积为2R2的扇形的
弧度。
4 解：（1）240º = ，根据l=αR，得 3
1 2 1 （2）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
288
例3. 填写下表：
角度 弧度 角度 0° 30°
6
5 6
45°
4
60°
3
90°
2
0
120° 2
3
135° 150° 180°
3 4
270° 360°
3 2
弧度
1.1.2弧度制 课件(人教A版必修4)
的 形 式.
例 10 不能写成
3
而应写成 2 4
3
3
3
的 形 式,
1、（1）把 1480 写成 2k（k Z）的形式， 其中0
(2)若 4，0，且与（1）中的终边
相同，求 .
2、如图,已知角的终边区域, 求出角的范围.
y
450
0 (1)
x
| 2
4
2
2
y
450
0
x
( )
(2)
度量角的制度——弧度制。
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是 否有关？为什么？
r
A
B
1rad r
O
约定： 正角的弧度数为正数， 负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为0.
用弧度做单位来度量角的制度叫做 弧度制
如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心
| 2 ( )
3、 终边与X轴重合；
| ( )
4、 终边与Y轴正半轴重合；
|
2
2
( )
5、 终边与Y轴负半轴重合；
|
2
3
2
( )
6、 终边与Y轴重合；
|
2
( )
7、第一象限内的角；
|
2
2
2
( )
8、第二象限内的角；
|
2
2
2
( )
9、第三象限内的角；
| 2
满足的表达式
。
若角 和 的终边关于 x 轴对称, 则 与 满足
的表达式
。
若角 和 的终边关于原点对称, 则 与 满足的表
高中数学人教A版必修4课件：1.1.2弧度制
(2)将下列各弧度角化为角度：①－51π2 rad；②139π.
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
高中数学必修四1.1.2弧度制课件人教A版
-6-
1.1.2
1 2AOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(4)角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起 一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度 数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等 于这个实数的角)与它对应.
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
3.弧度制与角度制的换算 π (1)角度转化为弧度:360° =2π rad,180° =π rad,1° = rad ≈0.017 180 45 rad. (2)弧度转化为角度:2π rad=360° ,π rad=180° ,1 rad=
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1.用弧度制表示象限角与终边在坐标轴上的角 剖析:(1)象限角的表示:
角 α 终边所在象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 集合 ������ x 2k������ < α < 2k������ + ,������∈Z 2 π ������ 2������π + < ������ < 2������π + π,������∈Z 2 3π ������ 2������π + π < ������ < 2������π + ,������∈Z 2 3π ������ 2������π + < ������ < 2������π + 2π,������∈Z 2
1.1.2
1 2AOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(4)角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起 一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度 数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等 于这个实数的角)与它对应.
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
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D典例透析
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3.弧度制与角度制的换算 π (1)角度转化为弧度:360° =2π rad,180° =π rad,1° = rad ≈0.017 180 45 rad. (2)弧度转化为角度:2π rad=360° ,π rad=180° ,1 rad=
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Z 重难聚焦
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D典例透析
IANLI TOUXI
1.用弧度制表示象限角与终边在坐标轴上的角 剖析:(1)象限角的表示:
角 α 终边所在象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 集合 ������ x 2k������ < α < 2k������ + ,������∈Z 2 π ������ 2������π + < ������ < 2������π + π,������∈Z 2 3π ������ 2������π + π < ������ < 2������π + ,������∈Z 2 3π ������ 2������π + < ������ < 2������π + 2π,������∈Z 2
人教A版高中数学必修四《1.1.2弧度制》ppt课件.ppt
• 20、No man is happy who does not think himself so.——Publilius Syrus认为自己不幸福的人就不会幸福。2020年8月5日星期三11时1分19秒11:01:195 August 2020
• 21、The emperor treats talent as tools, using their strongpoint to his advantage. 君子用人如器，各取所长。上午11时1分19秒上午11时1分11:01:1920.8.5
3
．
1．什么叫1弧度角? 2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别； 3．弧长公式与扇形面积公式．
把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，二十 次中有十九次都会失望。
——大仲马
• 1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist) 天才只意味着终身不懈的努力。20.8.58.5.202011:0311:03:10Aug-2011:03
• •
THE END 8、For man is man and master of his fate.----Tennyson人就是人，是自己命运的主人11:0311:03:108.5.2020Wednesday, August 5, 2020
9、When success comes in the door, it seems, love often goes out the window.-----Joyce Brothers成功来到门前时，爱情往往就走出了窗外。 11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020
新课标高中数学人教A版必修四全册课件1.1.2弧度制(一)
弧 度
0
6
4
3
2
23
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
第三十五页，编辑于星期日：十三点 十八分。
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
0
6
4
3
2
23
角 度
135o
150o
180o
弧 3
度4
270o
360o
第三十六页，编辑于星期日：十三点 十八分。
特殊角的弧度
r ③正角的弧度数是一个正数．
④负角的弧度数是一个负数．
⑤零角的弧度数是零．
⑥角的弧度数的绝对值||=
l. r
第十七页，编辑于星期日：十三点 十八分。
角度与弧度之间的转换
①将角度化为弧度：
第十八页，编辑于星期日：十三点 十八分。
角度与弧度之间的转换
①将角度化为弧度：
第十九页，编辑于星期日：十三点 十八分。
270o
360o
第三十八页，编辑于星期日：十三点 十八分。
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
0
6
4
3
2
23
角 度
135o
150o
180o
弧 3 5
度4 6
270o
3
2
360o
第三十九页，编辑于星期日：十三点 十八分。
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
高中数学人教A版必修四.2弧度制 精品课件
| | l
r
l r
怎样推导弧度制中的扇形面积公式呢？
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
例 3 已知扇形的周长为 8cm，圆心角为 2rad，求该扇形的面积.
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
课堂小结
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一
用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制.
180 rad
1 rad 0.01745rad
180
1
rad
180
57.30 5718'
探究2:如何进行弧度与角度的换算？
探究2:如何进行弧度与角度的换算？ 特殊角的度数与弧度数
度 数 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 360º 弧 度 数
对应的关系：
正角 零角 负角
正实数 0
负实数
角的集合
实数集R
我们的研究思路是怎样的？
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
课后任务：
1. 完成必修四课时作业《三》。 2. 每日一题。
注：第4节晚自习前交科代表处。
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
探究2:如何进行弧度与角度的换算？
【1】把下列角度化成弧度.
（1）22°30′0°
【2】把下列弧度化成角度.
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
探究3:如何给出弧度制下扇形的弧长及面积公式？
在半径为 r 的圆中，圆心角的弧度数为 ，弧长为 l .
人教A版必修四1.1.2弧度制课件 (共17张PPT)
C
l=2r
2rad
A O
4.角的弧度数的绝对值： l
r
5.
正角 零角 负角 角的弧度数
对应角的
正实数 弧度数 零
负实数 实数集R
二、角度制与弧度制换算:
(1)将角度化为弧度：
360 2 rad 180 rad
1 rad
180
n
n0 _1_8_0__ rad
二、角度制与弧度制换算:
(2)将弧度化为角度：
2 360
180
1rad (180) 57.30 5718'
180n
n _____ 0
特殊角的弧度:
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
0
6
4
2
323
角 度
135o
150o
180o270o源自360o弧 3 度4
5
6
3 2
2
常规写法:
① 用弧度数表示角时，常常把弧度数
(1)理解弧度制的概念; (2)熟练进行角度制与弧度制的 换算; (3)能应用弧长公式与扇形面积 公式解决有关问题.
角度制:
1.定义：是用“度”作单位来度量角 的单位制叫做角度制.
2.角度制的单位：度、分 规定:周角的 1 为10 ,即周角为3600
360
一、弧度制:
1.定义：是用“弧度”作单位来度量角的 单位制叫做弧度制.
例2:在半径为R的圆中，240º的圆心角
所对的弧长为
，面积为2R2的
扇形的圆心角等于
弧度。
解:(1)240º= 4 ，根据l=αR，得 l 4 R
3
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（l为弧长，r为半径）
⑤ ∵ 360=2 rad ，∴180= rad
∴ 1 =
180
rad 0.01745rad
180 1 rad 57.30 57 18'
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
l 由公式： l r r
1
180
0.0175
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad. (2) 112º30′=112.5×
180
=
5 . 8
8 例2. 把 化成度。 5
解：1rad= (
180
)
8 8 180 ( ) 5 5
288
例3. 填写下表：
角度 弧度 角度 0° 30°
弧所对的圆心角是α rad。
5. 弧度制与角度制的换算 ① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0º 角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和 弧度数是不同的. ② 平角、周角的弧度数：
平角= rad、周角=2 rad.
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
l ④角的弧度数的绝对值: r
3×50≈52.5 .
的长 ABl（精确到0.1
l=α· r=
答： AB 的长约为52.5米.
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
中心角等于
，面积为2R2的扇形的
弧度。
4 解：（1）240º = ，根据l=αR，得 3
1 2 1 （2）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
6
5 6
45°
4
60°
3
90°
2
0
120° 2
3
135° 150° 180° 210° 225° 240°
3 4
弧度
角度
π
弧度
270° 300° 315° 330° 360° 3
2
2π
例4. 扇形AOB中， AB 所对的圆心角是60º ，
半径是50米，求 米）。
解：因为60º = 3 ,所以
不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
AB AB =定值， r r
设α =nº， AB 弧长为l，半径OA为r，
2 r l 2 , n 则 l n ， 360 r 360 可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
大小有关。
1.1.2
弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，
1度的角是怎样定义的呢？
1 周角的 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其
他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，
nr 比公式 l 简单. 180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
1 ② 扇形面积公式 S lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº (αrad)，则
n 1 2 S R R 360 2
2
又 αR=l，所以
1 S lR 2
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单
位制，角度制是以“度”为单位来度量角的
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 2 R 2 2
l 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
1 所以它的面积是 S lR 2
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π 表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合(
360( 1)
)º
2
扇形面积是 ( 1) R
4 l R 3
所以 α=4.
例6.与角－1825º 的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 解：－1825º =－5×360º －25º ， 所以与角－1825º 的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º .
5 合 36
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于
单位制；1弧度≠1º； （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆
1 心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心 360
角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实
数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
l 4.公式： ， r
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的
⑤ ∵ 360=2 rad ，∴180= rad
∴ 1 =
180
rad 0.01745rad
180 1 rad 57.30 57 18'
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
l 由公式： l r r
1
180
0.0175
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad. (2) 112º30′=112.5×
180
=
5 . 8
8 例2. 把 化成度。 5
解：1rad= (
180
)
8 8 180 ( ) 5 5
288
例3. 填写下表：
角度 弧度 角度 0° 30°
弧所对的圆心角是α rad。
5. 弧度制与角度制的换算 ① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0º 角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和 弧度数是不同的. ② 平角、周角的弧度数：
平角= rad、周角=2 rad.
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
l ④角的弧度数的绝对值: r
3×50≈52.5 .
的长 ABl（精确到0.1
l=α· r=
答： AB 的长约为52.5米.
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
中心角等于
，面积为2R2的扇形的
弧度。
4 解：（1）240º = ，根据l=αR，得 3
1 2 1 （2）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
6
5 6
45°
4
60°
3
90°
2
0
120° 2
3
135° 150° 180° 210° 225° 240°
3 4
弧度
角度
π
弧度
270° 300° 315° 330° 360° 3
2
2π
例4. 扇形AOB中， AB 所对的圆心角是60º ，
半径是50米，求 米）。
解：因为60º = 3 ,所以
不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
AB AB =定值， r r
设α =nº， AB 弧长为l，半径OA为r，
2 r l 2 , n 则 l n ， 360 r 360 可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
大小有关。
1.1.2
弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，
1度的角是怎样定义的呢？
1 周角的 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其
他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，
nr 比公式 l 简单. 180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
1 ② 扇形面积公式 S lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº (αrad)，则
n 1 2 S R R 360 2
2
又 αR=l，所以
1 S lR 2
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单
位制，角度制是以“度”为单位来度量角的
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 2 R 2 2
l 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
1 所以它的面积是 S lR 2
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π 表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合(
360( 1)
)º
2
扇形面积是 ( 1) R
4 l R 3
所以 α=4.
例6.与角－1825º 的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 解：－1825º =－5×360º －25º ， 所以与角－1825º 的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º .
5 合 36
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于
单位制；1弧度≠1º； （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆
1 心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心 360
角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实
数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
l 4.公式： ， r
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的