万州分水中学人教数学必修四教案 弧度制
人教A版高中数学必修四教案弧度制(1)
1.1.2弧度制（一） 教学目标知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．教学重点弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．二、新课： 1．引 入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？2．定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略．3．思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质：①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=r r③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=.r l4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒．②将弧度化为角度：2360p =?；180p =?；1801()57.305718rad p¢=盎??；180()nn p =?．5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．l l r ra a=??弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度．例2．把rad53π化成度．例3．计算：4sin)1(π；5.1tan )2(．例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(．例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-．解: (1),672319πππ+=而67π是第三象限的角,193p\是第三象限角. ORl(2)315316,666p p pp -=-+\-是第二象限角..,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R,∴扇形的圆心角大小为R l rad, ∴扇形面积lRR R l S 21212=⋅=． 证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180R n l π=，∴Rl R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π．可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．22121:R lR S α==扇形面积公式7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．8．课后作业：①阅读教材P6 –P8；②教材P9练习第1、2、3、6题； ③教材P10面7、8题及B2、3题．。
弧度制教案人教版
弧度制教案人教版一、教学目标1、知识与技能目标理解弧度制的概念，能熟练地进行角度与弧度的换算。
掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并能运用这些公式解决相关问题。
2、过程与方法目标通过类比角度制，引导学生自主探究弧度制的定义和相关公式，培养学生的观察、分析和归纳能力。
通过弧度制与角度制的换算练习，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学知识的内在联系，体会数学的简洁美和统一美。
激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、创新的精神。
二、教学重难点1、教学重点弧度制的概念及与角度制的换算。
弧度制下弧长公式和扇形面积公式的应用。
2、教学难点理解弧度制的定义，体会弧度制引入的必要性。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课回顾角度制：我们在初中已经学习了角度制，知道一个周角等于360°，平角等于 180°，直角等于 90°。
提出问题：在实际应用中，角度制是否存在一些不便之处？比如在计算圆的弧长和扇形面积时。
2、讲授新课弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。
引导学生思考：为什么要用这样的定义来引入弧度制？以半径为 r 的圆为例，若圆心角α所对的弧长为 l，则α的弧度数为α ＝ l ／ r 。
特别地，当弧长等于半径时，圆心角的弧度数为 1 rad 。
角度与弧度的换算：因为一个周角所对的弧长为2πr，而圆的半径为 r，所以一个周角的弧度数为2π rad 。
又因为一个周角等于 360°，所以 360°＝2π rad ，180°＝π ra d 。
由此可得，1°＝π ／ 180 rad ，1 rad ＝（180 ／π)° 。
进行角度与弧度的换算练习，如 60°＝ 60 ×（π ／ 180) rad ＝π ／3 rad ；π ／ 6 rad ＝（π ／ 6) ×（180 ／π)° ＝ 30°。
高中数学必修四《弧度制》优秀教学设计
1.1.2 弧度制教案一：知识准备长度的度量：长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量.重量的度量：物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.（不同的单位制能给解决问题带来方便。
）角度的度量2、思考：同学们以前学过哪些度量角度的方法？（角度制）●用度作为单位来度量角的单位制，称为角度制。
（单位：度，记作“0”）●在平面几何当中：周角（3600） 10的角等于周角的。
为了研究学习的需要，我们除了角度制外，还要学习新的度量角的单位制.弧度制二：学习目标◆理解并掌握弧度制的定义；◆理解1弧度的定义；◆熟练的进行弧度与角度的互化。
三：自主学习请同学们自主学习课本P6、P7、P8，并回答以下问题：1、什么是弧度制？2、弧度制的单位是什么？3、弧度数有无正负之分?4、1弧度的角是多少？5、弧度和角度如何进行互化？四：新知学习•1、什么是弧度制？用弧度做单位来度量角的单位制，称为弧度制。
•2、弧度制的单位是，记作，读作 .（单位可以省略不写）•3、弧度数有无正负之分?☐正角的弧度数是一个正数，☐负角的弧度数是一个负数，☐零角的弧度数为0.☐4、1弧度的角是多少？把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
如右图所示：圆O的半径为r，弧AB =r，那么，就是1弧度的角。
如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是：（注意： α 的正负由角α 的终边旋转方向决定。
）（α 代表圆心角的弧度，l 代表圆心角所对的弧长，r 代表半径。
）3、弧度和角度如何进行互化？• 周角的度数是3600，• 周角所对的弧长是：• 周角的弧度是所以3600 =角度和弧度的换算：练一练：• 猜一猜2 rad=（ ）0 - rad=（ ）01 rad=（ ）0 -2 rad=（ ）001180rad π=01801rad π⎛⎫= ⎪⎝⎭五：例题练习•课本P7 例1把67°30′化成弧度六：随堂练习1、把下列角度化成弧度（课本P9）① 22°30′② -210°③ 1200°2、已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数。
弧度制教案(第一课时)-数学高一必修4第一章1.1.2人教A版
第一章三角函数1．1 任意角与弧度制弧度制一、学习目标1.知识与技能(1)理解弧度的意义.(2)了解角的集合与实数集R之间可建立起一一对应的关系.(3)熟记特殊角的弧度数.2.过程与方法能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题.二、重点、难点重点：弧度的概念.弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明.难点：“角度制”与“弧度制”的区别与联系.三、教学方法自学练习，点拨法四、专家建议通过对新的度量角的单位制(弧度制)的引进学习，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美.五、教学过程●新知探究知识1 度量角的两种单位制(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制，规定周角的1360为1度的角.(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.注：一般地，正角的弧度数是一个正角，负角的弧度数是一个负角，零角的弧度数是0.知识2 角度制与弧度制的换算(1)角度制与弧度制的换算(2)特殊角的弧度数角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0π12π6π4π3512ππ223π34π5π6角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度π76π5π44π332π5π374π11π62π知识探究一 1.我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)． 解：半径为r ，圆心角为n °的扇形弧长公式为l ＝n πr180， 扇形面积公式为S 扇＝n πr 2360. ∵l 2πr ＝|α|2π，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π，∴S 扇＝12|α|r 2. ∴S 扇＝12|α|r 2＝12lr .2.角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α (0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧度数公式：α＝lr ；(2)弧长公式：l ＝αr ；(3)扇形面积公式：S ＝12lr ＝12αr 2. 探究点二用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z)，其中α的单位必须是弧度． 问题1 利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.问题2类型1 角度制与弧度制的互化【例1】将下列各角度与弧度互化. (1)67.5°；(2)112°30′；(3)－7π12；(4)3.【分析】 依据换算关系π rad ＝180°，逐个角进行转化. 【解析】 (1)67.5°＝π180rad ×＝3π8rad. (2)112°30′＝112.5°＝π180rad ×＝5π8rad.(3)－7π12＝－7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－105°.(4)3 rad ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝57.30°×3＝171.90°.【方法探究】角度制与弧度制换算时应注意的三个问题(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写；如果以度(°)为单位表示角的大小时，度(°)不能省略.(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度.(3)有些角的弧度数是π的整数倍时，如无特别要求，不必把π化成小数.跟踪训练1：将下列角按要求转化：(1)300°＝________rad；(2)－22°30′＝________rad；(3)8π5＝________度．答案：(1)5π3(2)－π8(3)288类型2 用弧度表示终边相同的角【例2】已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.【分析】(1)可将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，根据β与α终边相同判断.(2)关键在于由－5π≤β＋2kπ＜0求出k的取值.【解析】(1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π＜7π6＜3π2，所以α与7π6终边相同，是第三象限的角.(2)与α终边相同的角可以写为γ＝7π6＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ＜0，∴当k＝－3时，γ＝－296π；当k＝－2时，γ＝－176π；当k＝－1时，γ＝－5 6π.【方法探究】用弧度来表示终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，这里α应为弧度数.跟踪训练2：(1)(2014·某某高一检测)把－1 125°化为2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式是()A.－6π－π4B.－6π＋7π4C.－8π－π4D.－8π＋7π4【解析】－1 125°＝－254π＝－8π＋7π4.【答案】D(2)已知α＝1 690°.①把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；②求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π).【解】(2)①1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋25 18π.②∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z ). 又θ∈(－4π，4π)， ∴－4π＜2k π＋2518π＜4π， ∴－9736＜k ＜4736(k ∈Z ). ∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π. 类型3 扇形的弧长、面积公式的应用【例3】已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【分析】先用半径r 表示弧长，再建立扇形面积S 与半径r 之间的函数关系，进而求出最大值.【解析】 设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S . 则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10). ∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2. 此时α＝l r ＝20－2×55＝2(rad).∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为25 cm 2.【方法探究】灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．跟踪训练3：(1)(2014·某某高一检测)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________.(2)(2014·某某高一月考)经过一刻钟，长为10 cm 的分针旋转过程中所扫过的面积是________.【解析】 (1)设扇形的半径为r cm ，圆心角为α rad ，弧长为l cm ， 由题意⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12l ·r ＝4，解得⎩⎨⎧l ＝4，r ＝2，又由l ＝α·r ，所以α＝l r ＝42＝2(rad).(2)设分针旋转过程中所扫过的圆心角为α，弧长为l ，则所扫过的面积是S ＝12lR ＝12|α|R 2＝12×π2×102＝25π(cm 2).【答案】(1)2(2)25π cm 2六、课堂总结1.明确1弧度的含义是掌握本节问题的关键.2.弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可. 3.弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆.4.引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧长和面积公式变得更加简洁，也建立了角与实数间的一一对应关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础.七、板书设计弧度制八、当堂检测1.下列叙述中正确的是() 弧度是1度的圆心角所对的弧 弧度是长度为半径的弧 弧度是1度的弧与1度的角之和弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 【解析】根据弧度制的定义知D 项正确. 【答案】 D2.(2014·某某高一月考)2弧度的角所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【解析】 ∵π2＜2＜π，∴2弧度的角是第二象限角，故选B. 【答案】 B3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是() A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4【解析】设扇形半径为r ，中心角弧度数为α， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝612αr 2＝2，∴⎩⎨⎧ r ＝1α＝4或⎩⎨⎧r ＝2α＝1.【答案】 C4. 把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________． 【解析】－114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π＝2×(－1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π.∴θ＝－34π.【答案】 θ＝－34π.九．课后延伸(1)时钟问题在解决时钟中的时针与分针有关的角度问题时，要注意它们在单位时间内各转了多少圈. 例如：2小时40分钟后，则分针所转的弧度数为______. 【解析】 首先注意到分针转的方向为顺时针，即为负角.word11 / 11 又2小时40分钟＝83小时，而1小时分针转过的弧度数为2π.故分钟转了－2π×83＝－163π.【答案】 －163π(2)角的“周期现象”一个角每旋转一周(顺时针或逆时针)，终边就又回到了原来的位置，终边相同的角周而复始地出现，这正是三角函数具有周期性的本质原因，也是解决某些问题的关键，而且这种周期现象在现实生活中有广泛的应用.例如：今天是星期一，则100天后是星期几？【解】 由于星期几也具有周期性，因而可类似于角的问题来解决，即100＝7×14＋2,100天后是星期三.。
高中数学必修四《弧度制》名师教学设计
课题：1.1.2 弧度制教学设计一、教学目标知识与技能1.理解1弧度的角，弧度制的定义，熟记特殊角的弧度数；2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的换算；3.了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系；4.掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式.过程与方法1.经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想.2.通过设置问题启发，发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力.情感态度与价值观1.使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美.2.使学生体会弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣.二、教学重点、难点1.教学重点：理解弧度制意义,能进行角度制与弧度制的互化.2.教学难点：弧度制的概念及弧度与角度的换算.三、教学方法与教学手段1.教学方法：问题教学法、合作学习法.2.教学手段：多媒图片、几何画板、PPT课件.四、教学过程（一）创设情境1.师提出问题：2019年10月1日中华人民共和国成立70周年，同学们有没有看阅兵式?【设计意图】以时政热点为话题导入新课，极大地调动了学生的学习热情，而且能提高学生的参与度，对培养学生的综合能力和提升课堂效率都很有帮助.2.问题情境1：中国国土面积960万平方千米，故宫面积约1080亩；中国领海宽度12海里；中国高铁运营里程达到3万公里，位居世界第一；中国黄金储备6245盎司；中国钢铁产量超过10亿吨，连续16年位居世界第一.【设计意图】以祖国的成就设为问题情境，调动学生的学习积极性，同学们都能够感受到祖国的强大，激起同学们浓烈的爱国思想；类比研究面积、长度、质量可以选择不同的单位，不同的单位制能为我们解决问题带来方便，引出度量角的另一种单位制.3.问题情境2：回忆初中学习的锐角三角函数定义，教师引出其他版本教材有不一样的定义.提出问题：为什么有的教材将锐角的正弦、余弦、正切定义成三角比呢？请你结合高中函数的定义进行分析.【设计意图】通过引出其他版本教材有不一样的定义，利用新旧知识所蕴含的矛盾引发认知冲突一方面引出本节课的主题，另一方面学生发现问题、提出问题的能力在潜移默化中得到培养，这个问题是本节知识的切入点是引发学生思考，培养学生素养的关键.（二）探究新知，得到概念1.教师提出问题：在半径为r 的圆O 中，当B 点在圆周上运动时，你发现了什么？（教师几何画板演示）学生活动1：学生讨论后总结，弧长变大，圆心角变大，因为我们要用实数度量圆心角，所以由180r n l π=，变形得r l n ⋅π=180. 师继续追问：当半径发生变化时，你发现了什么？能不能仅用弧长或者半径来度量圆心角？（教师几何画板演示）学生活动2：学生讨论后总结，不能仅用弧长或者半径来度量圆心角的大小. 教师再总结：仅用半径和弧长中的一个量不能度量圆心角的大小，但它又与半径r 和弧长l 相关.AA 教师继续追问：同学们觉得圆心角可能会由谁的值控制？ 学生得出与rl 有关后，继续追问这个猜想合理吗？教师几何画板演示. 学生活动3：从理论上证明猜想的正确性,由弧长公式180r n l π=，稍作变形得r l n ⋅π=180，这说明当圆心角确定时，rl 就确定；r l 是随着圆心角的确定而唯一角确定.【设计意图】通过设置问题启发，发展发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力.在探索的过程中,让学生总结归纳出当角确定时，r l 是随着圆心角的确定而唯一角确定.学生体会用r l 度量角的合理性，从而比较顺利的引出1弧度角的概念.2.教师总结：rl 来度量圆心角的大小就是今天要学习的度量角的另一种单位制——弧度制.3.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，单位也可以省略不写.用弧度作为角的单位制来度量角的单位制称为弧度制.（三）深入探究，理解概念1.度量角的弧度数通过度量使学生进一步感受到r l 2=时，2=α；r l 3-=时，3-=α； rl π=时，π=α；r l π=2时，π=α2；动点从点A 逆时针经过的弧长为l 则这段弧所对的圆心角为多少弧度？学生活动：得出 r l =α 教师追问：这个等式能否推广为求解任意角弧度数的一般公式呢？【设计意图】通过不断追问，引导学生得出任意角弧度数的一般公式，rl =α,并加以强调l 为动点经过的弧长.2.引入弧度制数学史，向学生介绍角度制到弧度制的跨越有千年，我们就是引用数学家的思想方法进行探究的.【设计意图】数学史的引入，将弧度制的由来置于丰富的数学文化内涵之中，进一步表明引入弧度制解决了进位制统一的问题，让学生真正感受到现实世界需要这种文化内涵以及引入弧度制的可能性.让学生感知数学家探求知识的艰难，培养学生探索科学的精神.3.推导出任意角的弧度数公式后，再去度量一个角，既可以用原有的角度制，也可以用弧度制，教师抛出问题：构建起角度与弧度互化的等式是什么呢？ 学生活动：rad 2360π=︒，rad 180π=︒师追问：用类似的方法，你能够求出特殊角的弧度数吗？rad 290π=︒，rad 360π=︒，rad 445π=︒，rad 630π=︒， rad 00=︒ 从而很顺利得出角度与弧度互化的关系式.d ra 1801π=︒rad 017450.≈； rad 1︒≈︒π=30.57)180( 用弧度制表示角时，“弧度”可略去不写.如2=α表示2弧度的角，3π就表示3π弧度的角；角度表示角时，单位“度”不能省略.【设计意图】抛出问题让学生尝试不同方法求出相应的弧度数，实现角度与弧度的换算，让学生经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想.（四）巩固新知，应用概念1.练习1：把下列角从角度化为弧度：（1）︒-210 （2）0367'︒练习2：把下列角从弧度化为角度： (1) 54π （2）5.3- 结论：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.这样就在任意角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.这也是引入弧度制的意义.【设计意图】使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系，相互统一的，更容易看清楚与实数的一一对应关系.2.教师追问：在弧度制下，你能推导出弧长公式和扇形面积公式吗？（用r 表示半径，l 表示弧长，S 表示扇形面积，α表示圆心角的弧度数）（π≤α2）（师生共同回忆初中扇形的弧长与面积公式，学生尝试推导弧度制下的公式过程） 解：弧长公式：由公式rl =||α可得：r l α=. 扇形面积公式：22212r r S α=π⋅πα=（用弧长表示扇形面积） 又因为r l α=，所以有lr S 21=（用圆心角的弧度数表示扇形面积） 【设计意图】通过对比让学生发现：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式简单了，这也是引入弧度制的好处.3.师生总结：回过头来再去看问题情境2：通过弧度制的学习，可以将角转化成实数，它不再是三角比，它就是真正意义上的三角函数.追问学生：我们后面将要研究什么？【设计意图】前后呼应，再一次让学生体会到引入弧度制的必要性，为我们今后学习三角函数奠定了基础.五、课堂小结：(1)1弧度的角，弧度制定义，任意角的弧度数公式rl =||α； (2)弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系；(3)角度制与弧度制是度量角的两种单位制，它们之间可以进行换算；(4)掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式.六、课后作业：课本第9页练习1到6题七、板书设计：八、教学设计说明通过通过时政话题创设教学情境，极大地调动了学生的关注度，积极性，拉近与学生的距离，运用几何画板课件动态演示作图过程，实施信息技术与学科课程整合教学设计，引发学生学习兴趣，从而较好地完成教学任务.几何画板动态效果的展示形成对视觉的强刺激，把通常惯用的语言描述生动形象地刻画出来，促进学生对重点难点知识的理解掌握．建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授获得的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的．本课教学设计重点是学习环境的设计，强调学生自主学习．关注学生的学习兴趣和经验，引导学生主动参与、乐于探究、培养学生处理信息的能力．本节课的设计思想中体现着由特殊到一般，由具体到抽象的化归思想．本节本人遵循由浅入深，循序渐进的原则，从学生熟悉的基本单位入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便引导学生去思考，寻找另一种度量角的单位制. 经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想.通过设置问题启发，发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力 . 使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美.使学生体会弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣.同时，本课的教材也是培养学生逻辑思维能力、观察、分析、归纳等数学能力的重要素材．。
高中必修四数学弧度制教案
高中必修四数学弧度制教案教学内容：弧度制的概念和应用
教学目标：
1. 理解弧度制的概念，掌握弧度和角度的相互转换关系；
2. 能够应用弧度制解决与圆相关的问题；
3. 能够灵活运用弧度制解决实际问题。
教学重点：
1. 弧度和角度的互相转换；
2. 弧度制在三角函数中的应用；
3. 弧度和圆角之间的关系。
教学难点：
1. 弧度和角度的互相转换；
2. 如何应用弧度制解决实际问题。
教学准备：
1. 一块黑板或白板；
2. 教室中心的圆；
3. 教学PPT或相关教学资源。
教学步骤：
第一步：导入（5分钟）
1. 引入圆的概念，介绍角度的度量单位；
2. 引导学生思考：是否有其他方法来度量圆的角度？
第二步：讲解弧度制的概念（15分钟）
1. 介绍弧度的概念，解释为何需要引入弧度制；
2. 讲解弧度与角度的转换公式；
3. 通过示例讲解弧度制在三角函数中的应用。
第三步：练习与讨论（20分钟）
1. 给学生几个练习题让他们转换弧度和角度；
2. 学生相互讨论解题思路，老师进行点评和指导。
第四步：实际应用（15分钟）
1. 老师设计一个实际问题，并引导学生用弧度制解决；
2. 学生展示解题思路和方法，老师进行指导和讨论。
第五步：总结与作业布置（5分钟）
1. 总结本节课的内容，强调弧度制的重要性；
2. 布置作业：完成课后习题，并思考如何应用弧度制解决更多问题。
教学反思：
1. 教师要注意引导学生理解弧度制的概念和方法，帮助他们建立相关知识的联系；
2. 鼓励学生在实际问题中灵活运用弧度制，提高解决问题的能力。
高中数学人教版必修4任意角和弧度制教学设计
第二课时 ：1.1.2 弧度制（一）
教学目标 ：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进
而建立角的集合与实数集 R一一对应关系的概念 .
教学重点 ：掌握换算 .
教学难点 ：理解弧度意义 .
教学过程：
一、复习准备：
1. 写出终边在 x 轴上角的集合
.
2. 写出终边在 y 轴上角的集合
.
3. 写出终边在第三象限角的集合
1、习题 1.1 A 组第 1,2,3 题. 2. 多举出一些日常生活中的“大于的角和负角”的例子，熟练掌握 他们的表示，进一步理解具有相同终边的角的特点 .
2
2
分析：先求 1 弧度扇形的面积（ 1 πR2 ）→再求弧长为 L、半径
2
为 R的扇形面积？
方法二：根据扇形弧长公式、面积公式，结合换算公式转换 .
② 练习：扇形半径为 45，圆心角为 120°，用弧度制求弧长、
面积 .
③ 出示例：计算 sin 、tan1.5 、cos
3
4
（口答方法→共练→小结：换算为角度；计算器求）
（概念：角的顶点与原点重合， 角的始边与 x 轴的非负半轴重 合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第
几象限角 . ） ⑤ 练习：试在坐标系中表示 300°、 390°、－ 330°角，并判
别在第几象限？ ⑥ 讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？ 结论：如果角的终边在坐标轴上 , 就认为这个角不属于任何一
(1) 推广角的概念、 引入大于角和负角 ;(2) 理解并掌握正角、 负角、
零角的定义 ;(3) 理解任意角以及象限角的概念 ;(4) 掌握所有与 角终
边相同的角 ( 包括 角) 的表示方法 ;(5) 树立运动变化观点，深刻理解
人教版高中数学必修四教案1.1 任意角和弧度制 弧度制(2)
一、教学目标重点：角度制与弧度制的互化；弧度制的运用. 难点：:弧度的概念及其与角度的关系.知识点：角度制与弧度制的互化公式；弧长公式；扇形面积公式. 能力点：建立角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.教育点：使学生通过弧度制的学习，理解并认识角度制与弧度制是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.自主探究点：利用对应成比例关系得出结论.训练（应用）点：角度制与弧度制的互化换算，弧度制的运用. 考试点：掌握角度制与弧度制的换算，并熟练的进行换算操作. 易错点：角度与弧度的单位写法易错. 易混点：角度和弧度的转换易混 二、引入新课：【师生活动】：教师：我们学习了角的概念的推广知道角可以分为哪几类？学生回答 “正角”与“负角”“0角”教师：要描述一个角的大小，通常用什么表示呢？ 学生回答：是用度来表示的。
教师引出角度制的概念，那么1︒的角是如何定义的？学生：1︒的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1︒.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.有了它，可以计算弧长，公式为180n rl π=. 【设计意图】：温故而知新，引导学生切身感受角的弧度制引入的必要性. 三、探究新知: （一）弧度制的概念【师生活动】：教师：角除了以度为单位，还有分和秒，他们是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也能用不同的单位制？学生分组讨论.教师引导：我们能用等于半径的弧所对的圆心角作为角的度量单位吗?这个弧度数是否与圆半径的大小有关?教师引导学生画出图形.在圆内作出AOB COD α∠=∠=当半径为1r 时,弧长1180n r AB π=(n α=︒) ,弧长与半径的比值为111180180n r AB n r r ππ==. 当半径为2r 时,弧长2180n r CD π=, 弧长与半径的比值为222180180n r CD n r r ππ==. 两比值相等.讨论结果:能.当圆心角一定时,它所对弧长与半径的比值是一定的,与半径大小无关.【设计意图】：学生亲手作图，感受角的弧度制与角度制是角的度量单位，都可以刻画角的大小，与角所在的圆半径无关。
高中数学必修4教案 弧度制
问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?
问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?
三质疑探究
问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么5. m.
六 作业布置①课本习题1.1 A组6、8、10.
②课后探究训练:课本习题1.1 B组题.
板
书
设
计
一弧度制定义
二例题1
教学反思
问题②:填写下列的表格,找出某种规律.
的长
OB旋转的方向
∠AOB的弧度数
∠AOB的度数
r
逆时针方向
2πr
逆时针方向
R
1
2r
-2
-π
0
180°
360°
活动:教师先给学生说明教科书上为什么设置这个“探究”?其意图是先根据所给图象对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结.
课题
1.1.2弧度制
授课时间
4.10
课型
新授
二次修改意见
课时
1
授课人
张景民
科目
数学
主备
张景民
教学目标
知识与技能
1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.
过程与方法
2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,
情感态度价值观
四精讲点拨
高中数学必修4弧度值教案
高中数学必修4弧度值教案
课题：弧度值
目标：学生能够掌握弧度值的概念，能够转换角度和弧度的关系
教学重点：弧度的定义，角度和弧度的转换
教学难点：角度和弧度的转换
教学准备：教材、黑板、粉笔、教学PPT
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师通过引导学生回顾之前学过的角度的概念，让学生思考什么是角度，并与圆相关联。
二、讲解（15分钟）
1. 弧度的定义：引导学生思考圆周角的度量方式，并介绍弧度的定义为圆周的长度等于半径的角。
2. 角度和弧度的关系：通过示意图和实际问题，让学生理解角度与弧度的转换关系。
三、练习（25分钟）
1. 让学生完成几道简单的练习题，巩固弧度的概念及与角度的转换。
2. 让学生通过实际问题应用角度和弧度的计算方法。
四、总结（5分钟）
老师带领学生总结本节课学到的知识点，并强调弧度值在数学中的重要性。
五、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对弧度值的理解和运用。
板书设计：
1. 弧度的定义：圆周的长度等于半径的角
2. 角度和弧度的关系：1弧度=180°
3. 角度和弧度的转换公式：θ(弧度)=θ(角度) × π/180
反思：
通过本节课的教学，学生对弧度值的概念有了更深入的认识，能够灵活运用角度和弧度的转换公式进行计算。
同时，本节课难度适中，但为了更好地巩固和理解弧度值的知识，可以设计更多场景化的问题，提高学生的实际运用能力。
(完整版)_弧度制教案及教学设计
1.1.2 弧度制一、教材分析1、本节内容在教材中的地位和作用：教材地位与作用：本节课是普通高中实验教科书人教A版必修4第一章第一单元第二节。
本节课起着承上启下的作用：在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着启下的作用。
通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。
2、教学目标3、教学中的重点和难点教学重点：理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制的换算。
教学难点：弧度制的概念与角度的换算。
二、教学设计思想教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生熟悉的基本单位转换入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便，引导学习去思考寻找另一种的单位制度量角。
通过类比引出弧度制，关键弄清1弧度的定义，然后通过探索得到弧度数绝对值公式并得出角度和弧度的换算方法。
在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性。
这样可以尽量自然的引入弧度制，并让学生在探索的过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础。
三、教法分析本节课我采用引导发现式的教学方法。
通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和接受。
四、教学过程五、教学流程六、教学反思本节课，学生能够在老师的引导下主动学习，基本掌握了弧度制与角度制之间的转换，完成了课堂教学。
课堂气氛比较活跃。
必修4第一章弧度制教案
总结：角度制与弧度制的互化，关健是抓住核心公式 ，注意角的正负
学习目标：弧长及面积公式的应用
例3、一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数
总结：注意公式中弧度与角度的变化
高效训练பைடு நூலகம்
不练不讲
1、（1） =弧度，是第____象限的角；在 上的角是_______。
教学内容
第3课
（单元）
主题
第2课弧度制
1课时
教学目标
知识
与技能
理解1弧度的角、弧度制的定义，掌握角度与弧度的换算公式，掌握弧长公式和面积公式
过程
与方法
由初中学过的角度制导入弧度制的概念，进而了解引入弧度制的必要性以及用弧度制表示角的优点,在学习的过程要抓住 来进行角度与弧度的转化。
情感态度与价值观
在角度与弧度转化的学习过程中，享受转化思想带来的乐趣
2、角度制与弧度制的换算：
3、完成 内，角度与弧度转化
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
弧度
2100
2250
2400
2700
3000
3150
3300
3600
弧度
4、扇形的弧长及面积公式
度量单位
类别
为角度制
( )
为弧度制
( )
扇形的弧长
扇形的面积
合作探究
不议不讲
学习目标：对弧度角和角度角的概念的理解
例1、下列命题中，假命题是（）
（A）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
（B） 的角是周角的 ， 的角是圆周的
高中数学 1.1.2 弧度制教案 新人教A版必修4
1.1.2弧度制一、教学目标： 1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.2.弧度制的定义[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，yxAαOB或1弧度，或1(单位可以省略不写).3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是,那么a 的弧度数是多少?角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 5.根据探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=,1___rad =度显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度: (1) 精确值；(2) 精确到0.001的近似值.例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.8.例题讲评例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =. 其中R 是半径,是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85︒的大小.注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.9.练习 教材10P .9.学习小结(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?五、评价设计1．作业：习题1.1 A 组第7,8,9题． 2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．。
人教版高中必修四《弧度制》教学设计
人教版高中必修四《弧度制》教学设计《人教版高中必修四《弧度制》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教材地位：本节课是人教新课标A版必修四第一章第一节第二课时的内容。
在教材的结构上，本节课为后面内容学习做好了铺垫，之前的学习已经让学生了解了任意角和角度制，然而在后面研究三角函数的时候大多都用弧度制，因此本节内容起着承上启下的重要作用。
只有学生学好这一节才能更好的学习后面的三角函数，解三角形等知识。
在教学内容上弧度制是一个全新的研究角的单位，利用类比的思想方法让学生理解数学研究的互通性。
教学目标：1.知识与技能目标(1)理解1弧度角、弧度制的定义(2)掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的互化。
2.过程与方法目标通过创设情境感知，设置问题启发、培养学生观察分析、类比发现、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观使学生领悟角度制、弧度制都是度量角的单位制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的。
进一步加强学生对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美，从而激发学生的学习兴趣。
重点：(1)弧度制的概念，1弧度角的概念。
(2)弧长，半径，圆心角的联系(3)角度制与弧度制互化难点：弧度制定义的理解和探索弧长，半径，圆心角的联系策略(1)通过学生亲自进行数学实验，发现弧长与半径的比值为同一常数.(2)通过例题分析、进行小组挑战赛游戏、当堂练习，让学生真正掌握两种单位制的互化。
学情分析：1.学生已经学过角度制的有关知识2.学生基础一般3.尊重个体差异，循序渐进，因材施教学法指导：1.观察—归纳—检验—应用2.小组讨论3.学生发言4.当堂训练教学方法：引导发现法：举出实例，由多个标量的不同度量方法来引导学生思考，可能角也有其他的度量方法。
探索发现法：介绍弧度制后，学生分组讨论，共同思考,探讨出弧度制与角度制的互化。
教学过程：创设情景，引入新课说法一说法二身高()m 身高（）尺体重（）kg 体重（）斤鞋子（）cm 鞋子（)码我校占地（）平方米我校占地（）亩(启发式类比探究)通过这四组简单的问题，学生可以很容易的发现实际生活中对于同一个量，我们可以用不同的方法来度量它，请同学再举出一些我们身边的实例。
人教版高中数学弧度制教案
人教版高中数学弧度制教案
教学内容：弧度制
教学目标：
1. 理解弧度制的概念及与角度制的转换关系；
2. 掌握弧度制的计算方法；
3. 能够运用弧度制解决相关问题。
教学重点：
1. 弧度制的概念及运用；
2. 弧度制和角度制的转换。
教学难点：
1. 弧度制与角度制的转换；
2. 弧度制的计算方法。
教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师引导学生回顾角度制的概念及计算方法，并提出弧度制的定义。
二、讲解弧度制的概念及计算方法（15分钟）
1. 教师讲解弧度制的定义及计算方法，强调弧度制的优势和应用范围；
2. 带领学生进行弧度制与角度制的转换练习，并解释计算过程。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生自主练习弧度制计算方法，并相互讨论解题思路；
2. 教师布置相关练习题，让学生在课后进行巩固练习。
四、检测与总结（10分钟）
1. 教师让学生进行弧度制的应用题练习，并及时纠正；
2. 学生合作讨论，总结本节课的知识点，提出问题并解决。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，要求学生巩固掌握弧度制的概念和计算方法。
教学反思：
本节课主要围绕弧度制展开教学，通过讲解、练习和讨论，让学生充分理解弧度制的概念和计算方法，提高学生的数学运算能力和分析问题的能力。
在课后作业中，学生可以继续巩固弧度制的知识，提高解题的能力和速度。
高中数学必修四 弧度制教案
1.1.1 弧度制【课题】：弧度制【学情分析】：教学对象是高一的学生，在前面已经系统学习了任意角的概念，学生对用角度来表示角已经相当熟练，在此基础上引进角的另一种度量方式——弧度制。
由于这种度量方式的定义较抽象，是以比值来定义角的大小，不像角度制那样可以看得见，能体会得到，而高一学生的抽象思维水平发展有限，因此应多结合具体实例来说明弧度制的合理性和必要性，从具体实例出发，慢慢抽象概括，最后得角的弧度制定义，这符合学生的认知规律。
【教学三维目标】：一、知识与技能1、1弧度的角的定义；2、弧度制的定义；3、角度与弧度的换算；4、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式；5、角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；二、过程与方法1、理解1弧度的角、弧度制的定义；2、掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算；3、熟记特殊角的弧度数；4、理解角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；5、掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会运用弧长公式、扇形面积公式解决一类问题；三、情感态度与价值观使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质.【教学重点】：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.【教学难点】：理解弧度制定义，弧度制的运用.【课前准备】：计算器、投影机、三角板积公式分别是：180n Rl π=，2360n R S π=，将0n 转换为弧度，得 180n πα=，于是 212S R α=.将l R α=代入上式，即得12S lR =.教师出示例题：例7．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m解： ∵ 360π=ο∴ )(471514.3453m R l ≈⨯≈⨯=⋅=πα教师出示例题：例8．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+22162l r r l l r ∴ 扇形的面积2)(221cm rl S ==教师出示例题：例9. 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵ ο165解： cm r 10= ⑴ )(3401034cm r l ππα=⨯=⋅=(2)rad rad 1211)(165180165ππ=⨯=ο∴)(655101211cm l ππ=⨯=教师出示例题：例10. 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数． 解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l ，半径为r ， 由题意：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+621102r l r l ⇒0652=+-r r ∴ ⎩⎨⎧==62l r 或⎩⎨⎧==43l r ∴ r l =α=3 或34 教师出示例题：例11.一扇形周长为20cm ，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？ 分析：最值问题途径有二：一是利用几何意义，从图中直接找到（本例不好找）；二是利用函数求解，即设出未知量，建立函数关系式，然后用函熟悉弧长公式加深弧长公式的使用。
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【示范教案】1.1.2弧度制教学分析在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的3601,记作1°. 通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点. 三维目标1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣. 重点难点教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算. 教学难点:弧度的概念及其与角度的关系. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含义,并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后,可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数.随着角的概念的推广,圆心角和弧的概念也随之推广:从“形”上说,圆心角有正角、零角、负角,相应的,弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲,圆心角与弧的度数有正数、０、负数.圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应,并且不同的圆心角对应着不同的弧,反之亦然.推进新课新知探究提出问题问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?图1活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半径r,AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角,即rl =1. 讨论结果:①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关. ②能,用弧度制. 提出问题问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连结圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系?问题②:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1°的角是周角的3601;第三,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角. ②α=r 1;将角度化为弧度:360°=2π rad,1°=180πrad≈0.017 45 rad,将弧度化为角度:2π rad=360°,1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为αrad=(πa180)°,n°=n180π(rad). 提出问题问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示? 问题②:填写下列的表格,找出某种规律.的长OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr逆时针方向2πr 逆时针方向R 1 2r -2 -π 0 180°360°活动:教师先给学生说明教科书上为什么设置这个“探究”?其意图是先根据所给图象对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结.由上表可知,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是a1这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+3或者2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k ∈Z )的形式.如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.图2讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k ∈Z )的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=21αR 2,S=21lR. ②的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr 逆时针方向 Π 180° 2πr 逆时针方向 2π 360° R 逆时针方向 1 57.3° 2r 顺时针方向 -2 -114.6° πr 顺时针方向 -π -180° 0 未旋转 0 0° πr 逆时针方向 Π 180° 2πr逆时针方向2π360°应用示例例1 下列诸命题中,真命题是( ) A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧 C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练掌握定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,可知D 为真命题. 答案:D点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念. 变式训练下列四个命题中,不正确的一个是( ) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小是2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案:D例 2 将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限:①-415π;②332π;③-20;④-32. 活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是:{β｜β=kπ,k ∈Z },{β｜β2π=kπ,k ∈Z }.第一、二、三、四象限角的集合分别为: {β｜2kπ<β<2kπ+2π,k ∈Z }, {β｜2kπ+2π<β<2kπ+π,k ∈Z }, {β｜2kπ+π<β<2kπ+23π,k ∈Z },{β｜2kπ+23π<β<2kπ+2π,k ∈Z }.解:①415π-=-4π+4π,是第一象限角.②432π=10π+32π,是第二象限角.③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角. ④-23≈-3.464,是第二象限角.点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2k π+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k ∈Z ,｜α｜∈［0,6.28)的形式,通过α与2π,π,23π比较大小,估计出角所在的象限.变式训练(1)把-1 480°写成2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式; (2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β.解:(1)∵-1 480°=-974π=-10π+916π,0≤916π<2π, ∴-1 480°=2(-5)π+916π.(2)∵β与α终边相同,∴β=2kπ+916π,k ∈Z .又∵β∈［-4π,0),∴β1=92π-,β2=920π-.例3 已知0<θ<2π,且θ与7θ相同,求θ.活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角,并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问题要很容易却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这方面的题来练基本功.可先让学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出错的地方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k ∈Z ,即6θ=2kπ.∴θ=3k π. 又∵0<θ<2π,∴0<3kπ<2π. ∵k ∈Z ,当k=1、2、3、4、5时,θ=3π、32π、π、34π、35π.点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,然后在约束条件下确定k 的值,进而求适合条件的角. 例4 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值. 活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充,函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选取自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求最值的方法,并确保在定义域内能取到最值. 解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S. 由已知,2r+l=a,即l=a-2r.∴S=21l·r=21(a-2r)·r=-r 2+2a r=-(r-4a)2+162a .∵r>0,l=a-2r>0,∴0<r<2a. ∴当r=4a时, S max =162a .此时,l=a-2·4a =2a,∴α=r 1=2.故当扇形的圆心角为2 rad 时,扇形的面积取最大值162a .点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S 表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角. 变式训练已知一个扇形的周长为98π+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积. 解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×180π=94π, ∴扇形的弧长为94πr,由已知,94πr+2r=98π+4,∴r=2.∴S=21·94πr 2=98π.故扇形的面积为98π.点评:求扇形的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反,也可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用. 知能训练 课本本节练习. 解答:1.(1)8π;(2)67m -;(3)320m.点评:能进行角度与弧度的换算. 2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.点评:能进行弧度与角度的换算. 3.(1){α|α=kπ,k ∈Z };(2){α|α=2π+kπ,k ∈Z }. 点评:用弧度制表示终边分别在x 轴和y 轴上的角的集合. 4.(1)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2°<tan1.2.点评:体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同,并进一步认识两种单位制.注意在用计算器求三角函数值之前,要先对计算器中角的模式进行设置.如求cos0.75°之前,要将角模式设置为DEG(角度制);求cos0.75之前,要将角模式设置为RAD(弧度制). 5.3πm. 点评:通过分别运用角度制和弧度制下的弧长公式,体会引入弧度制的必要性. 6.弧度数为1.2.点评:进一步认识弧度数的绝对值公式. 课堂小结由学生总结弧度制的定义,角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制,它们是互相联系的,辩证统一的;角度与弧度的换算,关键要理解并牢记180°=π rad这一关系式,由此可以很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的问题,同学们要切记;特殊角的弧度数,同学们要熟记.重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系,对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运用,表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的网络,特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚持下去,你会发现数学王国的许多宝藏,以服务于社会,造福于人类.作业①课本习题1.1 A组6、8、10.②课后探究训练:课本习题1.1 B组题.设计感想本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更宽的广度.本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律;让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础.根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们变式思维的训练,培养他们求同思维、求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.。