九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.3 实践与探索 22.3.1 实践与探索导学案 (新版)华东师大版
九年级数学上第22章一元二次方程22.3实践与探索3用一元二次方程解一般应用问题课华东师大
条，即 A 同学的说法不正确．
8．【中考·德州】为积极响应新旧动能转换，提高公司经 济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备， 每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售 价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元 时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位： 台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
解：设年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝kx＋ b(k≠0)，由题意得4405kk＋＋bb＝＝650500，，解得kb＝＝－1 01000，. ∴年销售 量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝－10x＋1 000.
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元， 如果该公司想获得10 000万元的年利润，则该设备的 销售单价应是多少万元？
安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 解：设应邀请 x 支球队参加比赛， 根据题意，可列出方程x（x－ 2 1）＝28.解这个方程， 得 x1＝8，x2＝－7(舍去)． 答：应邀请 8 支球队参加比赛．
5．一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若把 这两个数字调换位置，所得的两位数与原两位数的 乘积等于765，求原两位数． 解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为x ＋4，根据题意得(10x＋x＋4)[10(x＋4)＋x]＝765， 整理得x2＋4x－5＝0，解得x1＝1，x2＝－5(舍去)， 则x＋4＝5，故原两位数为15.
22.3 实践与探索 华东师大版数学九年级上册素养提升练(含解析)
第22章 一元二次方程22.3 实践与探索基础过关全练知识点1 实际应用问题探索1.(2023河南郑州枫杨外国语学校月考)某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数为73,则每个支干长出小分支的个数为( )A.7B.8C.9D.102.【跨学科·化学】在某种环境下,气体的体积V(m3)随气压p(kPa)的变化而变化,但二者的乘积等于定值k,即pV=k,V与p之间的变化满足一次函数关系式V=3p-12,求当k=96时气体的气压p的值.3.【数学文化】(2023海南海口中学月考)直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系,在中国称为“商高定理”,在国外又称为“毕达哥拉斯定理”.由此发现三个连续正整数3,4,5,满足32+42=52,即前两个数的平方和等于第三个数的平方.则是否存在五个连续正整数,满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和?若存在,请求出这五个正整数;若不存在,请说明理由.知识点2 列一元二次方程解应用题的常见类型4.【新素材·实时热点】(2023山西省实验中学月考)某市积极响应国家的号召“房子是用来住的,不是用来炒的”,在宏观调控下,商品房成交价由今年1月份的每平方米10000元下降到3月份的每平方米8 100元,且今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率保持一致,则今年4月份的房价为每平方米( )A.7 300元B.7 290元C.7 280元D.7 270元5.【教材变式·P42练习T2】(2023山西晋中介休期中)某超市购进一批商品,单价为40元.经市场调查,销售单价为52元时,可售出180个,销售单价每增加1元,销售量就减少10个,因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180,若超市将准备获利2 000元,则销售单价为( )A.50元B.60元C.50或60元D.100元6.(2023湖南衡阳第十五中学期中)如图,社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场,其布局如图所示,已知停车场的长为26米,宽为14米,阴影部分设计为停车位,要铺花砖,其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为160平方米,则通道的宽是 米.7.【新独家原创】美丽的海滨城市山东威海的海产品非常丰富,某商场经营的一种海产品,进价是30元/kg,根据市场调查发现,每日的销售量y(kg)与售价x(元/kg)满足一次函数关系,下表记录的是某两日的有关数据:x(元/kg)3540y(kg)850800(1)y与x的函数关系式为 (不写自变量的取值范围);(2)在销售过程中销售单价不低于成本价,且不高于80元.某日该商场出售这种海产品获得了14 000元的利润,则该海产品的售价为 元/kg.8.【一题多变】(2023河南周口商水希望初级中学月考)如图,为建设美丽校园,学校准备利用一面围墙和旁边的空地,建一个面积为160平方米的长方形花坛,另三边用木质围栏围成,围栏总长36米,若墙足够长,则花坛垂直于墙的一边长应安排多少米?[变式1](2023湖南衡阳船山实验中学期中)如图,利用一面墙(墙EF最长可利用28 m)围成一个矩形花园ABCD,与墙平行的一边BC上要预留2 m宽的入口(如图中MN所示,不用砌墙),现有砌60 m长的墙的材料.(1)当矩形的边BC长为多少米时,矩形花园的面积为300 m2?(2)能否围成面积为480 m2的矩形花园,为什么?[变式2](2023吉林长春东北师大附中月考)如图,利用22米长的墙为一边,用篱笆围成一个长方形仓库ABCD,中间用篱笆分割出两个小长方形,在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门,总共用去篱笆34米,为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米,求AB 和BC的长.能力提升全练9.(2022江苏南通中考,6,★☆☆)李师傅家的超市今年1月盈利3 000元,3月盈利3 630元.若从1月到3月,每月盈利的平均增长率都相同,则这个平均增长率是( )A.10.5%B.10%C.20%D.21%10.(2022河南周口郸城模拟,8,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=7 cm.点P从点B开始沿边BA向点A以2 cm/s的速度移动,同时点Q从点C开始沿边CB向点B以1 cm/s的速度移动,当其中一点到达终点时,另一点随即停止.当四边形APQC 的面积为11 cm2时,点P的运动时间为( )A.1 sB.1 s或2.5 sC.2 sD.2 s或5 s11.(2022山西百校联盟模拟,14,★☆☆)如图,在一块长为40米,宽为30米的矩形荒地,小明设计出如图所示上,要建造一个花园(阴影部分),使得花园的面积为荒地面积的34的方案,则图中x的值为 .12.【新定义试题】(2022山西长治模拟,7,★★☆)对于任意一个四位数,若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍,则称这个四位数为“共生数”.例如:四位数2 156,因为2×6=2×(1+5),所以2 156是“共生数”.有一个四位数为“共生数”,它的千位上的数字与个位上的数字相等,百位上的数字比千位上的数字多3,十位上的数字比个位上数字的一半少1,则这个“共生数”的个位上的数字为 .13.(2022山东德州中考,22,★☆☆)如图,某小区矩形绿地的长,宽分别为35 m,15 m.现计划对其进行扩充,将绿地的长、宽增加相同的长度后,得到一个新的矩形绿地.(1)若扩充后的矩形绿地面积为800 m2,求新的矩形绿地的长与宽;(2)扩充后,实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5∶3.求新的矩形绿地的面积.14.(2022贵州毕节中考,25,★★☆)2022北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A、B 两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售价如下表:(注:利润=销售价-进货价)A款钥匙扣B款钥匙扣 类别价格 进货价(元/件)3025销售价(元/件)4537(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件,求两款钥匙扣分别购进的件数;(2)第一次购进的钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A、B两款钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2 200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润?最大销售利润是多少?(3)冬奥会临近结束时,网店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元,平均每天可多售2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天的销售利润为90元?素养探究全练15.【推理能力】(2023山西大同新荣期中)如图为2022年10月的月历表,在其中用一个方框圈出4个数(如图中虚框所示),设这4个数从小到大依次为a,b,c,d.(1)若用含有a的式子分别表示出b,c,d,其结果应为b= ,c= ,d= ;(2)按这种方法所圈出的四个数中,ab的最大值为 ;(3)嘉嘉说:“按这种方法可以圈出四个数,使得bc的值为135.”淇淇说:“按这种方法可以圈出四个数,使最小数a与最大数d的乘积ad为84.”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确.答案全解全析基础过关全练1.B 设每个支干长出x个小分支,由题意得1+x+x2=73,即x2+x-72=0,∴(x+9)(x-8)=0,解得x1=8,x2=-9(舍去),故每个支干长出8个小分支.2.解析 ∵k=96,V=3p-12,∴p(3p-12)=96,∴3p2-12p-96=0,即p2-4p-32=0,分解因式得(p+4)·(p-8)=0,解得p1=-4(舍去),p2=8,即当k=96时气体的气压p的值为8.3.解析 存在,这五个连续正整数为10,11,12,13,14.理由如下:设这五个连续正整数分别为n,n+1,n+2,n+3,n+4,由题意得:n2+(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2+(n+4)2,整理得n2-8n-20=0,解得n1=10,n2=-2(不符合题意,舍去),故这五个连续正整数为10,11,12,13,14.4.B 设今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率为x,根据题意得10 000(1-x)2=8 100,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意,舍去),∴8 100(1-x)=8 100×(1-10%)=7 290,∴今年4月份的房价为每平方米7 290元.5.B 设销售单价为x元,根据题意得(x-40)[180-10(x-52)]=2 000,整理得x2-110x+3 000=0,解得x1=50,x2=60.当x=50时,700-10x=700-10×50=200>180,不符合题意,舍去;当x=60时,700-10x=700-10×60=100<180,符合题意,∴销售单价为60元.6.3解析 设通道的宽是x米,根据题意得(26-2x)(14-2x)=160,整理得x2-20x+51=0,解得x1=3,x2=17(不符合题意,舍去),∴通道的宽是3米.7.(1)y=-10x+1 200 (2)50解析 (1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,由表格可知,当x=35时,y=850;当x=40时,y=800,∴35k+b=850,40k+b=800,解得k=―10,b=1 200,∴y与x的函数关系式为y=-10x+1 200.(2)依题意可得(x-30)(-10x+1 200)=14 000,整理得x2-150x+5 000=0,解得x1=50,x2=100,∵30≤x≤80,∴x2=100不符合题意,舍去,∴该海产品的售价是50元/kg.8.解析 设花坛垂直于墙的一边长应安排x 米,根据题意得x (36-2x )=160,解得x 1=8,x 2=10,故花坛垂直于墙的一边长应安排8米或10米.[变式1] 解析 (1)设BC =x m,则AB =60―x +22 m,依题意得x ·60―x +22=300,整理得x 2-62x +600=0,解得x 1=12,x 2=50.∵墙EF 最长可利用28 m,∴x =12,故当矩形的边BC 长为12 m 时,矩形花园的面积为300 m 2.(2)不能围成面积为480 m 2的矩形花园,理由如下:设BC =y m,则AB =60―y +22 m,依题意得y ·60―y +22=480,整理得y 2-62y +960=0,解得y 1=30,y 2=32.∵墙EF 最长可利用28 m,∴y 1=30,y 2=32均不符合题意,舍去,∴不能围成面积为480 m 2的矩形花园.[变式2] 解析 设AB =x 米,则BC =(36-3x )米,依题意得x (36-3x )=96,解得x 1=4,x 2=8,当x =4时,36-3x =24>22(不合题意,舍去);当x =8时,36-3x =12,故AB 的长为8米,BC 的长为12米.能力提升全练9.B 设从1月到3月,每月盈利的平均增长率为x ,由题意可得3 000(1+x )2=3 630,解得x 1=0.1=10%,x 2=-2.1(舍去),故每月盈利的平均增长率为10%.10.C 设当四边形APQC 的面积为11 cm 2时,点P 的运动时间为x s,由题意得PB =2x cm,CQ =x cm,则BQ =BC -CQ =(7-x )cm,由题意得12×6×7-12·2x (7-x )=11,整理得x 2-7x +10=0,解得x 1=2,x 2=5(不符合题意,舍去),∴x =2,即当四边形APQC 的面积为11 cm 2时,点P 的运动时间为2 s,11.10解析 依题意得(40-x )(30-2x )=40×30×1―整理得x 2-55x +450=0,解得x 1=10,x 2=45(不合题意,舍去).12.4解析 设这个“共生数”的个位上的数字为x ,根据题意可得千位上的数字为x ,百位上的数字为x +3,十位上的数字为12x -1,由题意得x 2=2x +3+12x ―1,解得x 1=4,x 2=-1(不符合题意,舍去),即这个“共生数”的个位上的数字为4.13.解析 (1)设将绿地的长,宽都增加x m,则新的矩形绿地的长为(35+x )m,宽为(15+x )m,根据题意得(35+x )(15+x )=800,整理得x 2+50x -275=0,解得x 1=5,x 2=-55(不符合题意,舍去),∴35+x =35+5=40,15+x =15+5=20,故新的矩形绿地的长为40 m,宽为20 m .(2)设将绿地的长,宽都增加y m,则新的矩形绿地的长为(35+y )m,宽为(15+y )m,根据题意得(35+y )∶(15+y )=5∶3,即3(35+y )=5(15+y ),解得y =15,∴(35+y )(15+y )=(35+15)×(15+15)=1 500,故新的矩形绿地的面积为1 500 m 2.14.解析 (1)设购进A 款钥匙扣x 件,B 款钥匙扣y 件,依题意得x +y =30,30x +25y =850,解得x =20,y =10.答:购进A 款钥匙扣20件,B 款钥匙扣10件.(2)设购进m 件A 款钥匙扣,则购进(80-m )件B 款钥匙扣,依题意得30m +25(80-m )≤2 200,解得m ≤40.设再次购进的A 、B 两款钥匙扣全部售出后获得的总利润为w 元,则w =(45-30)m +(37-25)·(80-m )=3m +960.∵3>0,∴w 随m 的增大而增大,∴当m =40时,w 取得最大值,最大值=3×40+960=1 080,此时80-m =80-40=40.答:当购进40件A 款钥匙扣,40件B 款钥匙扣时,才能获得最大销售利润,最大销售利润是1 080元.(3)设B 款钥匙扣的销售价定为a 元/件,则B 款钥匙扣每件的销售利润为(a -25)元,平均每天可售出4+2(37-a )=(78-2a )件,依题意得(a -25)(78-2a )=90,整理得a 2-64a +1 020=0,解得a 1=30,a 2=34.答:将销售价定为每件30元或34元时,才能使B 款钥匙扣平均每天的销售利润为90元.素养探究全练15.解析 (1)a +1;a +7;a +8.(2)观察题图可知a的最大值为23,∴ab的最大值为23×(23+1)=552.(3)嘉嘉的说法错误,理由如下:根据题意得(a+1)(a+7)=135,整理得a2+8a-128=0,解得a1=8,a2=-16(不符合题意,舍去),∵2022年10月8日为星期六,由题图可知不符合题意,∴嘉嘉的说法错误.淇淇的说法正确,理由如下:根据题意得a(a+8)=84,整理得a2+8a-84=0,解得a1=6,a2=-14(不符合题意,舍去),∵2022年10月6日为星期四,由题图可知符合题意,∴淇淇的说法正确.。
22.3 实践与探索 课件 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册
例如：如图，将一块正方形的铁皮四角各剪去一个边长
为4 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的
容积是400 cm3，求原铁皮的边长.若设原铁皮的边长为 x
cm，则可得方程为 （ x －8）2×4＝400 .
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3. 列一元二次方程解决平均增长率问题，可以运用公式
几个人？
解：（2）根据题意，得1＋ x ＋ x （1＋ x ）＝144，
整理，得 x2＋2 x －143＝0，
解得 x1＝11， x2＝－13（不合题意，舍去）.
答：在每轮传染中，平均一个人传染了11个人.
典例导思
（3）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，一
共有多少人感染德尔塔病毒？
解：（3）144＋11×144＝1 728（人）.
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
典例导思
[知识总结]增长（降低）率的问题利用公式 a （1± x ）2
＝ b [其中 a 为初始数量， b 为增（或减）后的数量].
典例导思
4. 两年前生产某种药品的成本是65 400元，现在生产该
种药品的成本是55 300元.设该种药品成本的年平均下降
率为 x ，则可列方程为（ D ）
答：每件衬衫应降价20元.
典例导思
题型二 列一元二次方程解决其他问题
在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比
赛一场，共比赛36场.设有 x 个队参赛，根据题意，可列
方程为（ A ）
A. x （ x －1）＝36
C. x （ x －1）＝36
B. x （ x ＋1）＝36
D. x （ x ＋1）＝36
华师大九上教案第22章22.3 .1 实践与探索(1,2,3-
22.3 .1实践与探索(一)教学目标1、学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。
3、学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。
重点难点1、重点：利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题。
2、难点：学生分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案。
教学过程一、巩固旧知识1、解方程2708250x x -+=，并叙述解一元二次方程的解法。
2、说说你对实践问题的解决时，有何经验，有何体会？二、创设问题情境小明把一张边长为10cm 的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。
（1）如果要求长方体的底面面积为81cm 2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？三、尝试解决问题1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？（长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？（长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。
解：设剪去的正方形边长为xcm ，依题意得：2(10)81x -=109x -=±11x =，29x =因为正方形硬纸板的边长为10cm ，所以剪去的正方形边长为1cm 。
4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。
（长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为381181cm ⨯=）5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。
2022秋九年级数学上册 第22章 一元二次方程22.3 实践与探索 3用一元二次方程解营销及其他问
3．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品出售，若 每件售价为a元，则可售出(320－10a)件，但物价部门 限定每件商品加价不能超过进价的25%，若商店要想获 得400元利润，则每件商品的售价应定为多少元？需要 售出这种商品多少件？
解：由题意得(a－18)(320－10a)＝400，整理得a2－50a ＋616＝0，∴a1＝22，a2＝28. ∵18×(1＋25%)＝22.5，而28＞22.5， ∴a＝22. 故售出商品的件数为320－10×22＝100(件)． 答：每件商品的售价应定为22元，需要售出这种商品 100件．
8．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不 去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教 他沿着门的两个对角斜着拿竹竿，这个笨汉一试，不多 不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x尺，则根 据题意，可列方程为( B )
A．(x＋4)2＋(x＋2)2＝x2 B．(x－4)2＋(x－2)2＝x2 C．(x－4)2＋(x＋2)2＝x2 D．(x＋4)2＋(x－2)2＝x2
11．【2021·长春德惠市期末】某校九年级二班的一个数学综 合实践小组去沃尔玛超市调查某种商品国庆节期间的销售 情况，下面是调查后小阳与其他两名同学交流的情况：
小阳：据调查，该商品的进价为12元/件． 小佳：该商品定价为20元时，每天可售出240件． 小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售出20件；
根据题意，得[240＋40(20－y)]×(y－12)＝1 920， 整理，得y2－38y＋360＝0， 解得y1＝20(舍去)，y2＝18. 综 上 所 述 ， 比 较 两 种 方 案 后 ， 定 价 为 18 元 既 能 获 得 1 920元的利润，又增加了销量，所以更合理．
2022九年级数学上册第22章一元二次方程22.3实践与探索第2课时平均变化率与销售问题作业课件新版
三、解答题(共36分) 11．(16分)(教材P22习题T7变式)(社会热点)某养殖场为了响应党中央的扶贫政策， 开始采用“场内＋农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不 断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产 蛋量的月增长率相同． (1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率； (2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销 售量最多为0.32万kg.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已 有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
3．(10分)某网店于今年二月份销售某优质农产品192袋，三、四月该商品十分畅 销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．
(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率； (2)若增长率保持不变，预计该网店五月能销售多少袋？
解：(1)设三、四这两个月的月平均增长率为x.由题意得192(1＋x)2＝300，解得x1＝
答：至少再增加3个销售点
【素养提升】 12．(20分)李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段 时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会 多售出3件，设该商品的售价为x元/件(20≤x≤40). (1)请用含x的代数式表示每天能售出该工艺品的件数； (2)已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元． ①求该商品的售价； ②李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元， 求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．
解：(1)∵该商品的售价为x元/件(20≤x≤40)，且当售价是40元/件时，每天可售出 该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为 60＋3(40－x)＝(180－3x)件
华师版九年级数学上册作业课件第22章一元二次方程 实践与探索 第1课时 列一元二次方程解应用题(一)
第22章 一元二次方程
22．3 实践与探索
第1课时 列一元二次方程解应用题(一)
1．(4分)某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可 列方程为（ B ）
A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900 C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900
解：设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长度为(69＋1－2x)m， 根据题意，得
x(69＋1－2x)＝ 600， 整理，得x2－35x＋300＝0， 解得x1＝15，x2＝20. 当x＝15时，70－2x＝40>35，不符合题意，舍去； 当x＝20时，70－2x＝30，符合题意． 答：这个茶园的长和宽分别为30 m，20 m
13．(12分)在我市进行“三改一拆”治理违建的过程中，某小区拆除了自 建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长是8 m的正方形ABCD，改建的绿 地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG＝2BE，如 果设BE的长为x(单位：m).
(1)用含有x的代数式表示绿地AEFG的面积； (2)当x取何值时，绿地AEFG的面积为70 m2? 解：(1)S矩形AEFG＝AE·AG＝(8－x)(8＋2x)＝－2x2＋8x＋64(0<x<8) (2)由题意得－2x2＋8x＋64＝70，解得x＝1或x＝3，所以当x取1 m或3 m时， 绿地AEFG的面积为70 m2
(2)设甜甜在2020年六一收到微信红包为y元，依题意得2y＋34＋y＝484， 解得y＝150，所以484－150＝334(元).答：甜甜在2020年六一收到微信红包为 150元，她妹妹收到微信红包为334元
华师版数学九年级上册 22.3实践与探索
问题3：一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b， 则这个两位数是 10a + b .
问题4：一个三位数，百位 x，十位 y，个位 z，表 示为 100x + 10y + z .
华师版数学九年级上册
第22章 一元二次方程
22.3 实践与探索
第 1 课时 利用一元二次方程解决图形、数字问题
观察与思考
问题1 解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 问题2 解方程：
(80－2x)(60－2x)＝1500
(80－2x)(60－2x)＝1500 解：(1) 先把方程化为一元二次方程的一般形式
2.地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一 方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同， 求捐款的增长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位 能收到多少捐款？
解：(1)设捐款增长率为 x，则依题意列方程 10 000(1＋x)2＝12 100，解方程，得 x1＝－2.1(不合题意，舍去)，x2＝0.1＝10％． 答：捐款的增长率为 10％； (2)12 100×(1＋10％)＝13 310(元)． 答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收 到捐款 13 310元．
典例精析
例 两个连续奇数的积为 63，求这两个数.
解：设两个奇数为 x 和 x + 2， x(x + 2) = 63
22.3.1实践与探索
22.3 实践与探究第1课时一元二次方程的应用（图形与数字）典案一：教学设计课题第1课时一元二次方程的应用（图形与数字）授课人教学目标知识技能1.能根据面积问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．数学思考经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．问题解决通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．教学重点列一元二次方程解有关面积问题的应用题．教学难点发现面积问题中的等量关系.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾提出问题：1.一元二次方程有哪些解法？2.回忆一元二次方程的根的情况.3.在列方程解应用题时，一般步骤有哪些？4.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上的数字与个位上的数字的和是这个两位数的0.2倍．求这个两位数.解：设个位上的数字是x，十位上的数字是y.根据题意列出方程组为学生创设一种回忆、思考的情景，为本课的导入及探究活动做好铺垫.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1，x ＋y ＝（10y ＋x ）×0.2， 解得x ＝________，y ＝________． 检验后知，这个两位数是________.教师板书课题：一元二次方程的应用(图形与数字)．活动 一： 创设 情境 导入 新课【课堂引入】要设计一本书的封面，封面长27 cm 、宽21 cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm )？图22－3－8问题：(1)本题中有哪些数量关系？(2)如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ (4)解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？ 利用生活中常见的问题，激发学生的探究欲望，有利于学生主动参与，感受数学来源于生活，并服务于生活.活动 二： 实践 探究 交流新知解答课题：教师提出问题(1)，学生分析，请一位同学回答，教师在题目中指出数量关系；教师提出问题(2)，学生思考，请一位同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长宽比是9∶7.教师提出问题(3)，学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法．其中，设左右边衬和上下边衬为7x 和9x 的方法，教师要配合图形的平移加以电脑演示.教师提出问题(4)，学生分组，分别按问题(3)中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意的问题.1.重视培养学生读题和审题的能力；2.把实际问题符号化，为应用数学知识解决问题创造条件.3.培养学生树立方程意识，渗透方程思想.在活动中，教师应注意：(1)学生对几何图形的分析能力；(2)学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；(3)在讨论中能否互相合作；(4)解答一元二次方程的能力；(5)学生回答问题时的语言表达是否准确．活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1有一块矩形的铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的长方体盒子，如果要制作的无盖长方体盒子的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？师生活动：教师引导学生进行审题，确定好问题类型，然后指导学生按照图形面积公式进行解答.学生自主解设并列方程，进行解答，教师做好点评和纠错.例2两个连续奇数的积等于195，求两个奇数.师生讨论作答，设这两个连续奇数为x，x＋2，根据已知，得x(x＋2)＝195，整理，得x2＋2x－195＝0，解得x1＝13，x2＝－15，所以这两个奇数是13，15或－15，－13.应用举例使学生深刻体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识.【拓展提升】例3如图22－3－9，某中学为方便师生活动，准备在长30 m、宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？图22－3－9拓展提升环节，学生通过探究与讨论，感受了对题目中的数量关系进行师生活动：教师提出问题：(1)本题中有哪些数量关系？(2)由这些数量关系还能得出什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？(3)有什么方法使本题易于解决？教师引导学生进行交流、讨论，确定出解决问题的方法，并适时点拨、提示，指导学生进行解答．适当的转变对解题的影响，活跃了解题思路.活动四：课堂总结反思【达标测评】1.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能是()A.20B．40C．100D．1202.如图22－3－10，在宽为20米、长为30米的矩形地面四周修建同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为()A.0.5米B．1米C．1.5米D．2米图22－3－10图22－3－113.如图22－3－11是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙(墙长18 m)，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35 m，所围的面积为150 m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少？4.一块长28 cm、宽20 cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180 cm2，求截去的小正方形的边长.5.已知一个数和它的一半的平方和等于5，求这个数.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.1.课堂总结：(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)说一说本节课你还有哪些疑惑.教师总结：面积应用题的解答主要是利用面积公式列方程.2.布置作业：课本第40页练习第1题．指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知环节中，由于问题设置较为复杂，所以教师做好必要的引导是关键，帮助学生分析图形之间的比例关系，使学生清晰认识问题．在课堂训练环节中，学生能够顺利地解答，实现了高效课堂.②[讲授效果反思]引导学生注意以下几点：(1)面积问题考虑面积公式；(2)复杂图形的面积要进行分割或填充；(3)考虑结果的正确性.③[师生互动反思]师生交流过程中，学生对于面积问题有较深的理解，基础好，列方程解答较为简便，教师对于过程中的个别问题可交给学生讨论、解答.④[习题反思]好题题号______________________________________错题题号______________________________________反思，更进一步提升.典案二：导学设计学习目标：1.使学生掌握列方程解应用题中写“关系式”及找相等关系列方程方法；2.使学生理解列方程实质在于会用含未知数的代数式表示题目里的关系式；3.采用对面积的割补、移动的方法，培养学生灵活运用的能力．重点和难点：认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，列方程是重点也是难点.学习过程：一、创设情境1.写出本节课的课题：一元二次方程的应用．2.请同学们回忆并回答解一元一次方程应用题的一般步骤：3.解一元二次方程的应用题的步骤与解一元一次方程应用题的步骤一样．我们先来解决§22.1的问题1，然后总结一些规律或应注意事项．二、探究归纳例1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？分析我们已经知道可以运用方程解决实际问题．现设长方形绿地宽为x米，不难列出方程：三、实践应用例2如图1，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540米2，道路的宽应为多少？分析此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2．解法1如图2，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为______．纵向的路面面积为______．所列的方程是不是32×20-(32x＋20x)＝540？启发学生思考，务必把这一点弄明白！解法2 利用“图形平行移动”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些，（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）如图3，设路宽为x米，耕地矩形的长(横向)为______．耕地矩形的宽(纵向)为______．例3 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米．求截去正方形的边长．分析 设截去正方形的边长为x 厘米后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式．结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式．解 设截去正方形的边长为x 厘米，根据题意，得练习：1.学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的三分之二时较美观，求镶上彩纸条的宽（精确到0.1厘米）.2.竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式2021gt t v h -=,其中重力加速度g 以10米/秒2计算．爆竹点燃后以初速度v 0＝20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米?四、归纳小结 1.列方程解应用题的步骤是：2.面积问题常要用到割、补、运动等技法．例2中，纵、横两条路有一块重叠的面积最容易忽略，解法2采用了运动的办法，是一种灵活解题的能力．总之：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答．五、作业1.学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽（精确到0.1米）.2.学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚．一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏．请你设计，如何搭建较适合?3.要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分面积为100平方米，求原正方形广场的边长（精确到0.1米）．4.村里要修一条灌溉渠，其横截面是面积为1.6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0.4米，求灌溉渠横截面的上下底长和灌溉渠的深度．。
2022九年级数学上册第22章一元二次方程22.3实践与探索第1课时图形面积问题作业课件新版华东师大
【素养提升】 11．(16分)已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从 点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒． (1)求几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2? (2)求几秒后，PQ的长度等于5 cm? (3)运动过程中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由．
×5×4×200＝850(元)，其余部分造价(1－1870 )×4×5×100＝1 575(元)
∴总造价为850＋1 575＝2 425(元)，答：地毯的总造价是2 425元
10．(14分)(郑州金水区月考)如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可 用长度为14米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆 花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米， 则此时花圃的AB段长为多少？
8．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD 方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离 AA′等于( ) B
A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm
二、解答题(共44分)
9．(14分)(教材P38问题1变式)如图，一块长5米宽4米的地毯，设计了两横，两纵的 配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1870 .
5．(4分)(新野期中改编)如图，某小区有一长为18米，宽为6米的矩形空地，计划 在其中修建两块相同的矩形垃圾周转区，它们面积之和为60平方米，两块周转区之间 及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为( A )
22.3.1一元二次方程--实践与探索
列一元二次方程解应用题 问题1：学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理 方便，准备沿平行于两边的方向纵横各开辟一条等宽的小道，要使种植 面积为540m2，小道的宽应是多少？
解:设道路的宽为x米，根据题意得：
列一元二次方程解应用题
如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条 道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等 的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
本节课你的收获是什么？
列一元二次方程解应用题
问题2：如图,在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周镶上一条 宽度相同黑色边框,制成一幅挂画.如果要求风景画的面积是整 个面积的72%,那么黑边框的宽应是多少?
列一元二次方程解应用题
问题3：如图；是厂房鸡场平面示意图，一边靠墙（墙长16 米），另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围 的面积为150m2，则此长方形鸡场的长，宽分别是多少？
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.
第22章 一元二次方程
22.3.1
一元二次方程
--实践与探索
列方程解应用题
归纳：列方程解应用题的一般步骤;
第一步：审题，分析题意 （弄清题目中的已知数、未知数， 用字母表示题目中的未知数；） 第二步：寻找并明确题目中的等量关系； 第三步：根据等量关系列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：检验（检查求得的答数是否符合应用题的实际意义）； 第六图，有长为12米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.3 实践与探索 面积问题》公开课教案_2
新授课课时教案模版（初中）课题22.3.2实践与探索图形面积问题教师学科数学课时2课时课型新授课学生9.1 时间课节第3节内容选择第22章一元二次方程实践与探索第二课时图形面积问题课标要求能根据具体问题中的数量关系列出方程，感受和经历在实际问题中抽象出数学模型学情分析学生们已经学习了用一元一次方程，二元一次方程（组）、分式方程解决实际问题，对列方程解决实际问题是有学习基础的，但实践与探索是本章的难点，教学中要引导学生审题、分析题意，抓住等量关系，列出方程、求得方程的根、检验解的合理性及准确作答。
教学目标知识与技能：掌握应用面积法建立一元二次方程的模型并能运用它解决实际问题.过程与方法：经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程进行描述．情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．重点运用图形的平移建立一元二次方程数学模型并解决实际问题难点根据面积之间的等量关系建立一元二次方程数学模型教学过程复习导入由学生设计的培元学校空地修路导入如图1，培元学校要在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540米2，道路的宽应为多少？分析:解法1 此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2．如图2，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为______．纵向的路面面积为_____．解法2 利用“图形平行移动”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些，（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）如图3，设路宽为x米，耕地矩形的长(横向)为______．耕地矩形的宽(纵向)为______．学生活动：学生分小组动手操作、讨论、探索、交流和汇报解决实际问题的思路与方法，经历知识的形成过程.培养学生观察、分析、合情推理的能力.激发学生自主探究的兴趣.教学过程新知呈现如图1，培元学校要在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修建同样宽的一横两纵（如图2）所示的道路，余下部分作为绿化区，要使绿化面积为 504米2，道路的宽应为多少？分析：这类问题的特点是修建小路所占的面积只与小路的条数、宽度有关，而与位置无关．为了研究问题方便，可分别把纵横修建的小路移到一起（最好靠一边）．解：设道路的宽为x米，则草坪长（32－2x）米，宽（20－x）米（32－2x）（20－x）=504解这个方程，得x1=2，x2=34∵30－2 x >0 20－x >0∴x =34不合题意，舍去x =2答：道路的宽为2米．变式训练：上题中改变方式修小路，设小路的宽为x，请用含x的代数式表示草坪面积，并指出x的取值范围．变式一变式二变式一：长为（40－2x)米宽为(26－2x)米变式二：长为（40－x)米宽为(26－x)米面积：（40－2 x) (26－2 x)平方米面积：（40－x) (26－x)平方米x的取值范围0＜x＜13 x的取值范围0＜x＜26 归纳：解答这类问题，并没有用到什么复杂的数学知识，只是运用化归思想，把几条小路归在一起，草坪归在一起，这种做法给综合分析问题、解决问题带来很大方便．学生探究学生通过类比、平移操作、小组互助去构建知识体系，体验获取知识的过程，突破重难点.感受获得知识的喜悦.教学新知小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，准备在该空地上建造一个花园（阴影部分），使花园面积为原矩形空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案，帮小明求出图中的各个x值．图1 图2巩固分析：等量关系（1）花园面积=矩形面积的一半（2）空白地方=矩形面积的一半解：（1）x1=2，x2=12（舍）（2）x1=1，x2=6（舍）（3）x1=2，x2=12（舍）（4）x1=2，x2=12（舍）小结：1．解面积问题的应用题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，再根据几何图形的面积以及它们之间的数量关系来列方程，因此画出符合题意的图形，有助于解题．2．要仔细审题，理解题意中的已知条件，并结合实际，正确决定一元二次方程两个根的取舍问题．．课堂小结(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)说一说本节课你还有哪些疑惑.当堂检测如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面四周修建同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为A.0.5米B．1米C．1.5米D．2米学生作业基础作业选择题1．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m2.设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是() A．x(x－60)＝1600 B．x(x＋60)＝1600C．60(x＋60)＝1600 D．60(x－60)＝16002．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是() A．100 m2B．64 m2C．121 m2D．144填空题3．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为4.一块长28 cm、宽20 cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180 cm2，求截去的小正方形的边长.解答题5.矩形ABCD是由三个矩形拼接而成的．如果AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为过程教学准备教师准备多媒体、三角板学生准备教材练习本笔板书设计22.3.2一元二次方程的应用——面积问题学生板书教后反思本节课的教学设计立足于学生：提出问题，请同学们设计出培元学校矩形空地的绿化与小路方案。
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22.3.1 实践与探索
【学习目标】
1、使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.
2、通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活,通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力,经历观察，归纳列一元二次方程的一般步骤
3、通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。
【学习重难点】
建立数学模型，找等量关系，列方程.
【学习过程】
一、课前准备
1、列方程解应用题的步骤是什么？
2、解方程的方法有几种？通常如何进行选择？
3、请同学们总结列一元二次方程解应用题的步骤。
二、学习新知
自主学习：
问题1、学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为540m2，问道路的宽为多少m？
分析1：
问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图22.3.1，不难发现小道的占地面积与位置无关，设小道宽为x m，则两条小道的面积分别为32xm2和20 xm2，其中重叠部分小正方形的面积为x2 m2，根据题意，得32×20-32x-20x+x2=540
分析2：
如果设想把小道平移到两边，如图22.3.2所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，所列方程是否符合题目要求？处理问题是否方便些？
在应用一元二次方程解决实际问题时，与应用一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住等量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决，求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答。
探究课本39页问题2
分析：
若每次降价的百分率为x，则第一次降价后的零售价为原来的（1-x）倍，即56（1-x）元，第二次降价后的零售价为56（1-x）的（1-x）倍。
根据题意，得方程56（1-x）2=31.5 归纳：
通过解决以上问题，列一元二次方程解实际问题的基本步骤是什么？与以前学过的列方程解实际问题的步骤有何异同？
归纳：
以上这几道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．
实例分析：
例1、学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为540m2，问道路的宽为多少m？
解：
例2、某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.
解：
【随堂练习】
1、一个长方体的长与宽的比为5：2，高为5厘米，表面积为40平方厘米。
画出这个长方体的展开图，及其过程（设未知数）
2、现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒？
3、某企业2007年利润为50万元，如果以后每年的利润都比上年的利润增长x%。
那么2009年的年利润将达到多少万元？
【中考连线】
某厂经过两年体制改革和技术革新，生产效率翻了一番，求平均每年的增长率（精确到0.1%）
【参考答案】
随堂练习
1
1、解：设宽为2x，长为5x，2×(2x×5x+2x×5+5x×5)=40解得：x=
2答：宽为1厘米，长为2.5厘米
2、解：设边长x,则(19-2x)(15-2x)=77，解得：x=13，或x=4
当x=13时19-2x<0不合题意,舍去,故x=4
3、解：50×(1+x%)2
中考连线
解：设平均每年的增长率x
(x+1)2=2，解得:x=0.414
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