41特征函数42大数定律43随机变量序列的两种收敛性
随机变量序列的两种收敛
概率论与数理统计
2）、设 n ,n 是两个随机变量序列， a，b为常数，
若 n P a,n Pb 且在g(x,y)在点（a,b）处连续， 则 g(n ,n ) P g(a,b), (n ). 证明略，方法类似于1） 3）、若 n P ,n P,
则n n P , (n )
nn P , (n )
1）、若 n P ,n P, 则P ( ) 1
证： n n
0
，由
则 n
2
与
n
2
中至
少有一个成立，即
n
2
n
2
于是
P(
) P(n
2
)
P(
n
) 0(n )
2
即 0,有P（ ） 1，从而P（ ） 1
这表明，若将两个以概率为1相等的随机变量看作 相等时，依概率收敛的极限是唯一的。
概率论与数理统计
定理5.6 随机变量序列 n P c(c为常数）
的充要条件为 Fn (x) W F (x)
这里 F(x)是 c 的分布函数，也就是退化分布
1, x c F(x) 0, x c
即
n P c
Fn (x) W F (x)
在F(x)的连续点．
当n P, (n ) 时，它们的分布函数之间就有
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x)
成立．
1.定义
定义5.3
概率论与数理统计
设 Fx, F1(x), F2 (x), 是一列分布函数，如果对
F(x)的每一个连续点x，
都有
lim
n
Fn (x)
F ( x)
成立，
则称分布函数列 Fn (x) 弱收敛于分布函数F（x），
概率论与数理统计教程(茆诗松)
2004年7月第1版2008年4月第10次印刷第一章随机事件与概率1.1 随机事件及其运算1.1.1 随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.1.1.2 样本空间随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.1.1.3 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.1.1.4 随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.1.1.7 事件域定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：(1)；(2)若，则对立事件；(3)若，则可列并.则称为一个事件域，又称为代数.在概率论中，又称为可测空间.1.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：(1)非负性公理若，则；(2)正则性公理；(3)可列可加性公理若互不相容，有则称为事件的概率，称三元素为概率空间.第二章随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布2.1.1 随机变量的概念定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.2.1.2 随机变量的分布函数定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称为随机变量的分布函数.且称服从，记为.2.1.4 连续随机变量的概率密度函数定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.密度函数的基本性质(1)非负性；(2)正则性.第三章多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及其联合分布3.1.1 多维随机变量定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称为维(或元)随机变量或随机向量.3.1.2 联合分布函数定义3.1.2 对任意的个实数，则个事件同时发生的概率称为维随机变量的联合分布函数.3.4 多维随机变量的特征数3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵定义3.4.3 记维随机向量为，若其每个分量的数学期望都存在，则称为维随机向量的数学期望向量，简称为的数学期望，而称为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为.例3.4.12(元正态分布) 设维随机变量的协方差阵为，数学期望向量为.又记，则由密度函数定义的分布称为元正态分布，记为.第四章大数定律与中心极限定理4.1 特征函数4.1.1 特征函数的定义定义4.1.1 设是一个随机变量，称为的特征函数.设是随机变量的密度函数，则4.2 大数定律4.2.1伯努利大数定律定理 4.2.1(伯努利大数定律) 设为重伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中出现的概率，则对任意的，有4.2.2 常用的几个大数定律4.3 随机变量序列的两种收敛性4.3.1 依概率收敛定义4.3.1(依概率收敛) 设为一随机变量序列，为一随机变量，如果对任意的，有则称依概率收敛于，记作.4.4 中心极限定理4.4.2 独立同分布下的中心极限定理定理 4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设是独立同分布的随机变量序列，且.记则对任意实数有第五章统计量及其分布第六章参数估计第七章假设检验第八章方差分析与回归分析。
随机变量序列的两种收敛性
§4.2随机变量序列的两种收敛性在上一节中，我们从频率的稳定性出发，引入了n η=∑=n i i n 11ξ−→−p a （n ∞→） 即随机变量序列{}n η依概率收敛于常数a 这么一个概念。
我们自然可以把所讨论的问题推广到a 不是一个常数，而是一个随机变量这样的情形，于是需要引入下面的定义。
定义4.2 设有一列随机变量1η，2η，3η，…，n η，如果对任意的ε>0,都有 lim ∞→n P ()εηη<-n （4.6）则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，并记作lim ∞→n r η−→−p η 或n η−→−p η （n ∞→） 由此可知，前一节中讨论过的大数定律只是上述依概率收敛的一种特殊情况。
我们已经知道分布函数全面地描述了随机变量的统计规律，如果已知n η−→−p η（n ∞→），那么它们相应的分布函数n F （x ）与F （x ）之间的关系会有什么样的关系呢?一个猜测是,对所有的x ，都有n F （x ）→ F （x ）（n ∞→）成立，这个猜测对不对呢?让我们看一个很简单的例子。
例4.2 设η，n η都是服从退化分布的随机变量，且P （η=0）=1,P （n η=-n 1）=1，n=1,2,… 于是对任给的ε>0，当n>ε1时有 P （ηη-n ≥ε）=P （n η≥ε）=0所以n η−→−p η （n ∞→） 成立。
又设η，n η的分布函数分别为F （x ），n F （x ），则F （x ）=⎩⎨⎧≤>0,20,1x xF （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧-≤->n x n x 1,21,1 显然,当x ≠0时，lim ∞→n n F （x ）= F （x ）成立，当x=0时，lim ∞→n n F （0）=lim ∞→n 1=1≠0= F （0） 这个简单的例子表明，一个随机变量序列依概率收敛于某一个随机变量，相应的分布函数列不一定是在每一点上都收敛于这个随机变量的分布函数的。
大数定律与中心极限定理41特征函数
一、教材说明 本章内容包括特征函数及其性质，常用的几个大数定律，随机变量序列的两种收敛性 的定义及其有关性质，中心极限定理。大数定律涉及的是一种依概率收敛，中心极限定理 涉及按分布收敛。这些极限定理不仅是概率论研究的中心议题，而且在数理统计中有广泛 的应用。 1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是： （1）使学生掌握特征函数的定义和常用分布的特征函数； （ 2） 使学生深刻理解和掌握大数定律及与之相关的两种收敛性概念， 会熟练运用几个 大数定律证明题目； （3）使学生理解并熟练掌握独立同分布下的中心极限定理。 本章的教学要求是： （1）理解并会求常用分布的特征函数； （2）深刻理解并掌握大数定律，能熟练应用大数定律证明题目； （3）理解并掌握依概率收敛和按分布收敛的定义，并会用其性质证明相应的题目； （4）深刻理解与掌握中心极限定理，并要对之熟练应用。 2、重点与难点 本章的重点是大数定律与中心极限定理，难点是用特征函数的性质证明题目，大数定 律和中心极限定理的应用。 二、 教学内容
n 1 Var ( X i ) 0 成立，则 { X n } 服从大数定律，即对任意的 0 ，式(4.2.5)成立。 n2 i 1
证明 利用切比雪夫不等式就可证得。 例 4.2.3 设 { X n } 为一同分布、方差存在的随机变量序列，且 X n 仅与 X n 1 和 X n 1 相 关，而与其他的 X i 不相关，试问该随机变量序列 { X n } 是否服从大数定律？ 解 可证对 { X n } ，马尔可夫条件成立，故由马尔可夫大数定律可得 { X n } 服从大数定 律。 四、辛钦大数定律 定理 4.2.4 （辛钦大数定律）设 { X n } 为一独立同分布的随机变量序列，若 X n 的数学 期望存在，则 { X n } 服从大数定律，即对任意的 0 ，式(4.2.5)成立。
概率论与数理统计教程(茆诗松)第4章
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.
由此得：
P{Y
85}
ห้องสมุดไป่ตู้
1
85
0.5 9
90
0.966.
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第四章 大数定律与中心极限定理
第10页
二、给定 n 和概率，求 y
例4.4.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
第6页
4.4.3 二项分布的正态近似
定理4.4.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n
充分大时，有
lim
n
P
n
np npq
y
( y)
是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.
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第四章 大数定律与中心极限定理
第7页
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第四章 大数定律与中心极限定理
第5页
例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
X 10 9 8 7
6
P 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03
求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.
解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
P
900
100 i 1
Xi
930
930 100 9.62 100 0.82
900 100 9.62 100 0.82
随机变量序列的收敛特性
概率空间•几乎必然收敛(almost sure convergence)–随机变量序列收敛到，同时}{n X X {li – a.s. 1}{lim ==∞→X X P n n X X =lim XX −→−.s .a 表示为或者n n ∞→n →)}()(lim :{ςςςX X n n =∞→•依概率收敛(convergence in probability)–随机变量序列以及满足对任意}{n X X li ε–p. 0}||{lim=>-∞→εX X P n n X X =lim XX −→−.p 表示为p 或者n n ∞→n →也有可能的数值极大|X X n -|•均方收敛(mean square convergence)–随机变量序列以及满足,同时}{n X X li ∞<}{2nX E –m.s. 0}){(lim2=-∞→X X E n n X X =lim XX −→−m.s.表示为或者n n ∞→n →•均方收敛(mean square convergence)–随机变量序列以及满足,同时}{n X X li ∞<}{2nX E –m.s. 0}){(lim2=-∞→X X E n n X X =lim XX −→−m.s.表示为或者则n n ∞→n →m s •若，则X X n −→−m.s.∞<}{2X E 几乎必然收敛或依概率收敛都不能确保均方收敛•以概率分布收敛(convergence in distribution)–随机变量序列以及满足在任意连续的x}{n X X li )()(limx F x F X X n n =∞→–表示为 d. 或者X X n n =∞→lim XX n −→−d.•依据特征函数判断收敛–XX n −→−d.––)}({)}({X f E X f E n →)t ()t (XX nΦ→Φ.s .a ⇒XX −→−.p(Cauthy criteria)在不知道极限的情况下，判定随机变量序列收敛随机变量序列的收敛特性。
《概率论与数理统计课件》随机变量序列的收敛性
t 2n1
sin
t 2n
2
sin
t 2n
cos
t 2
cos
t 22
c
os
t 2n
2
22
sin
t 2n
t sin 2n2
cos t sin t 22
2n1
sin
t 2n
sin t
2n
sin
t 2n
36
t
2n sin t sin t t，
sin
t 2n
t
t
n ．
是一个随机变量序列x是一个随机变量如果对于任意的431则称随机变量序列依概率收敛于随机变量x记作是一个随机变量序列x是一个随机变量如果对于任意的我们知道任何一个随机变量都有分布函数而且分布函数全面地描述了随机变量的统计规律
第二节 随机变量序列的收敛性
1
定义 4.3.1 设X n是一个随机变量序列，X 是一个随机
（因为 x x 0）．所以有
再令 x x ，得
Fx lim Fn x． n
Fx 0 lim Fn x n
15
同理可证，当 x x 时，有
lnimFn x Fx． 再令 x x ，得 lnimFn x Fx 0 ．
写出随机变量 Yn
n k 1
Xk 2k
的特征函数n t ；⑶
证
明：当 n 时，随机变量序列Yn依分布收敛于随机变量Y ．
33
解：
⑴ 由于随机变量Y 服从区间 1, 1 上的均匀分布，因
此 Y 的特征函数为
t eit eit cost i sin t cost i sin t sin t ．
大数定律随机变量序列的收敛定义中心极限定理
>
0.387
?1
F (0.387) = 0.348
16
中心极限定理
例：计算机在进行加法时，对每个加数进行四舍五入取整，设 每个加数相互独立，并均匀分布。若将1500个数相加，误差 总和的绝对值超过15的概率是多少？
D
骣Sn 桫n
?1
C ne2
所以
lim
n
P
禳 镲 镲 睚 镲 镲 铪Sn
-
E(Sn) < e n
=1
7
强大数定律
柯尔莫哥洛夫大数定理：设 X1, X 2 ,... 相互独立，满足
å¥ k=1
D(Xk ) k2
<
?
则
å P
禳 镲 睚 镲 镲 铪nlim
1 n
n(
k=1
X
k
-
E( X k )) = 0
有
lim
n
P
禳 镲 镲 睚 镲 镲 铪fnA
-
p<e
=1
注：伯努利大数定理揭示了随着试验次数增加，频率稳定中心极限定理：设随机变量 X1, X 2 ,... 独立同分
布，且 E( X k ) = m, D( X k ) = s 2, k = 1, 2,...
布，则对于任意 x ，有
lim
n
P 禳 镲 镲 睚 镲 镲 铪
hn - np np(1- p)
?
x
F (x)
15
中心极限定理
例：一加法器同时收到20个噪声电压 Vk (k = 1,..., 20) ，假设 它们相互独立，且都在 (0,10) 上均匀分布，记
求 P{V > 105}
å V =
概率论课件 第4章第2讲随机变量序列的两种收敛性
0,当( x a)2 ( y b)2 2时有
| f ( x, y) f (a, b) |
于是 {| f (k ,k ) f (a, b) | } {( a)2 ( b)2 2 }
辛钦k 1n Nhomakorabeak
a | } 1
证明: {n } 同分布, 它们有相同的特征函数, 这个相同的特征函数记为 (t )
1 n 记 n k n k 1
a E ( k )
(0)
i
(t ) (0) (0)t o(t ) 1 iat o(t )
的分布函数Fn ( x) F ( x).
显然有 lim Fn ( x) F ( x)
n
L Xn Y
但对任意的0<ε<2,恒有
P{| n | } P{2 | | } 1
即不可能有{n }依概率收敛于
所以:依分布收敛依概率收敛不真
定理:随机变量序列依概率收敛于常数C 的充要条件是依分布收敛于常数C 证明:必要性已证,下面只证充分性
§4.2 随机变量序列的两种收敛性 上一节我们由大数定理可得,在贝努里试验中, 事件发生的频率稳定于概率,即
lim P{
n
n
n
P } 1
自然想到的是, 随机变量序列是否依 这种方式能稳定于一个随机变量呢 ?
这就是我们要讲的依概率收敛问题.
1
依概率收敛 定义：设{ n }是随机变量序列,若存在随机 变量 (或常数),对于任意ε>0,有
x x
令y x, z x,由x为F ( x)的连续点, 有
随机变量序列的几种收敛性和关系毕业论文
由上面四种收敛性间的关系可得：
几乎处处收敛 依概率收敛 依分布收敛.
阶收敛 依概率收敛 依分布收敛.
3.
因为随机变量取值的统计规律可由它的分布函数完全确定，所以自然会考虑利用分布函数的收敛性来定义随机变量的收敛性，又分布函数和特征函数一一对应，而判断一个分布函数的序列的收敛是否弱收敛有时是很麻烦的，但判断相应的特征函数序列的收敛性却往往比较容易，下面给出弱收敛的充要条件，首先做一些准备：
后来我们引入了伯努利概型来刻画独立重复试验.将一成功（即A发生）概率为p的试验独立重复n次，其中成功 次，则 是二项分布随机变量.
因此成功的频率 也是随机变量.其期望为p与n无关，且方差 当 时趋于0.熟知，方差为0的随机变量恒等于它的期望，所以当 时频率 应以概率p为极限.另一方面，可以写 ，其中 相互独立，具有一样的伯努利分布，至此，问题转化为研究 时 的平均值序列 的极限行为.鉴于已在上面讨论过随机变量列的各种收敛性，因此我们可以给出大数定律的严格定义.
注：由于 连续，如 广义均匀收敛到 ，则 必定是连续函数.
系1设分布函数列 对应的特征函数列为 ，则下列四条件等价：
（1） 弱收敛于某分布函数 ，
（2） 收敛到某函数 ， 在点0连续，
（3） 收敛到某连续函数 ，
（4） 广义均匀收敛到某函数 .
当任一条件满足时， 是 的特征函数.
下面说明系1中等价条件（2）中“ 在 的连续性”是不可缺少的条件.
则对任意的 ，有 成立.
证明：因为 有一样分布，所以也有一样的特征函数，记这个特征函数为 ，又因为 存在，从而特征函数 有展开式：
=
再由独立性知 的特征函数为
对任意取定的t,有
而 是退化分布的特征函数，相应的分布函数为
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(大数定律与中心极限定理)【圣才出品
设{Xn}是独立同分布的随机变量序列，且 E（Xi）＝μ，Var（Xi）＝σ2＞0 存在，若记
Y n
X1 X2 X n n n
，则对任意实数 y，有
lim
n
P(Yn
y)
(
y)
1 2
y t2 e 2dt
2．棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 设 n 重伯努利试验中，事件 A 在每次试验中出现的概率为 p（0＜p＜1），记 Sn 为 n
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Var（Xi）≤c，i＝1，2，…，则{Xn}服从大数定律，即对任意的ε＞0，，nlim P(
Sn n
p
)
1
成立。
（2）马尔可夫大数定律
对随机变量序列{Xn}，若
1 n2
Var (
n i1
Xi)
0
，成立，则{Xn}服从大数定律，即对任意
即 X n Yn P X Y 成立。
（2）先证
X
2 n
P
X
2
，∀ε＞0，δ＞0，取
M
足够大（譬如ε/M≤1），使有
P{|X|
＞（M-1）/2}＜δ成立，对于选择的 M，∃N，当 n＞N 时，有
P{|Xn-X|≥1}≤P{|Xn-X|≥ε/M}＜δ
此时
P{| X n X | M } P{| X n X | | 2X | M } P({| X n X | | 2X | M } I {| X n X | 1}) P({| X n X | | 2X | M }I | X n X | 1) P{| 2X | M 1} P{| X n X | 1} 2
U P( X
Y)
§4.1特征函数§4.2大数定律§4.3随机变量序列的两种收敛性
第10页
特征函数的定理
定理4.1.1 一致连续性.
定理4.1.2 非负定性.
定理4.1.3 逆转公式.
定理4.1.4 定理4.1.5
分布函数的唯一性.
连续场合，求p(密x)度函21数. eitx(t)dt
第11页
定理4.1.5 设X为连续型随机变量，密度函数
为p(x),若 | (t) | dt ,则 p(x) 1 eitx(t)dt 2
二、给定 n 和概率，求 y
例4 P237 15 设一家有500间客房的大旅馆的每间 客房装有一台2kw的空调机.若开房率为80%， 问需要多少kw的电力才能有99%的可能性保证 有足够的电力使用空调机？
第53页
三、给定 y 和概率，求 n
例5 用调查对象中的收看比例 作为某电
视节目的收视率 p 的估计 pˆ . 要有 90％ 的把握，使调查所得收视率 pˆ与实际收
第44页
练习 P238 6 某汽车销售点每天出售的汽车数服 从参数为λ＝2的泊松分布，若一年365天都经 营汽车销售，且每天出售的汽车数相互独立， 求一年中售出700辆以上汽车的概率.
第45页
例2 P238 4 掷一颗骰子100次，记第i次掷出的点
数为Xi , i=1,2,…,100,试求概率
å P{3 ＃ 1
性质4.1.1 |(t)| (0)=1
性质4.1.2 (t) (t)
性质4.1.3 aX b(t) eibtX (at)
第7页
性质4.1.4 若 X 与 Y 独立，则
X Y (t) X (t)Y (t)
性质4.1.5 若 E(X l )存在，则对0≤k≤l有
(k)(0) ik E(X k )
§4.1随机变量序列的两种收敛性§4.2特征函数§4.3大数定律
第8页
方法一：利用大数定律 例1 P215 18. 设随机变量序列{Xn }独立同分布， 2 期望、方差均存在，且 E( X n ) = 0,Var( X n ) = s
1 n P 2 2 X 揪 ? s 求证： å i n i= 1
思考题：P215 19
第9页
方法二：利用切比雪夫不等式 例2 P215 17. 设随机变量序列{Xn }独立同分布， 期望、方差均存在，且 E( X n ) = m.
注意：i 1 是虚数单位.
第20页
注 意 点(1)
(t ) e (1) 当X为离散随机变量时，
k 1
itxk
pk
itx ( t ) e (2) 当X为连续随机变量时， p( x)dx
这是 p(x) 的傅里叶变 换
第21页
注 意 点(2)
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意： (1) 欧拉公式： eitx cos(tx) i sin(tx) (2) 复数的共轭： a bi a bi (3) 复数的模： a bi a2 b2
P
c 其中c为常数，并求c的值.
作业：习题4.1第12、15题
第13页
引例 设随机变量序列{ Xn } 服从以下的退化分布 1 P ( X n = ) = 1, n = 1, 2, L n 求{Xn }的分布函数，并求其极限函数. 它还是一个分布函数吗？
第14页
4.1.2
按分布收敛、弱Leabharlann 敛 lim P X X 若对任意的 >0，有 n n 0
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X, 记为
Xn
P X
第4页
第四章 大数定律与中心极限定理要点
第四章 大数定律与中心极限定理一、教学要求1. 深刻理解并掌握大数定律，能熟练应用大数定律证明题目；2.理解随机变量序列的两种收敛性，了解特征函数的连续性定理；3. 深刻理解与掌握中心极限定理，并要对之熟练应用。
二、重点与难点本章的重点是讲清大数定律与中心极限定理的条件、结论，难点是随机变量序列的两种收敛及大数定律和中心极限定理的应用。
§4.1 大数定律一、大数定律的意义 1.引入在第一章中引入事件与概率的概念时曾经指出，尽管随机事件A 在一次试验可能出现也可能不出现，但在大量的试验中则呈现出明显的统计规律性——频率的稳定性。
频率是概率的反映，随着观测次数n 的增加，频率将会逐渐稳定到概率。
这里说的“频率逐渐稳定于概率”实质上是频率依某种收敛意义趋于概率，这个稳定性就是“大数定律”研究的客观背景。
详细地说：设在一次观测中事件A 发生的概率()p A P =，如果观测了n 次（也就是一个n 重贝努利试验），A 发生了n μ次，则A 在n 次观测中发生的频率为nnμ，当n 充分大时，频率nnμ逐渐稳定到概率p 。
若用随机变量的语言表述，就是：设i X 表示第i 次观测中事件A 发生次数，即1,0,i i A X i A ⎧=⎨⎩第次试验中发生第次试验中不发生n i ,,2,1 =则12,,,n X X X 是n 个相互独立的随机变量，显然1nn i i X μ==∑,从而有11nni i X n n μ==∑.因此“nnμ稳定于p ”，又可表述为n 次观测结果的平均值稳定于p 。
现在的问题是：“稳定”的确切含义是什么？nnμ稳定于p 是否能写成p nnn =∞→μlim（1）亦即，是否对0>∀ε，εμ<->∃p nN n N n有时当,, ? （2）对n 重贝努里试验的所有样本点都成立？实际上，我们发现事实并非如此，比如在n 次观测中事件A 发生n 次还是有可能的，此时1,==nn nn μμ，从而对p -<<10ε，不论N 多么大，也不可能得到εμ<->p nN n n有时当,成立。
随机变量的几种收敛及其相互关系
论文摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。
概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。
主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。
给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。
本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。
关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。
AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is a sequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship.This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows:1. Convergence of random variables the concept of theory;2. the convergence of several random variables between;From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目录引言： (4)1 几种收敛性定义 (4)2 依概率收敛与依分布收敛的关系 (5)3 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 (11)4 依概率收敛与r阶收敛的关系 (13)5 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 (17)总结 (19)四种收敛性 (19)四种收敛蕴涵关系 (19)致谢 (21)参考文献 (22)引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
第三节 两种收敛性ppt
L
这两个定义的实质一样，要求F(x)的连续点收敛。对分布函数 列称弱收敛；对随机变量序列称按分布收敛。
下面对依概率收敛和按分布收敛进行比较：
定 理 4 .3 .2
n Fn ( x ) F ( x )
n
则称
Yn依 概 率 收 敛 于 Y .
记为
Yn Y
p
例 如 ： Y 1 t (1)
则有
Y 2 t ( 2 ) ...........Y n t ( n ) ...... ， Y N ( 0 , 1)
Yn Y
p
提 问 ： Y 1， F1 ( x ) ,
Y 2， . . . . Y F 2 ( x )......... F ( x )
P
3、 若 X
若 X
n
a
P
,则 X
2 n
a
P P
2
n
a
P 2
X n a 0，
n 2
( X n a ) 0 ， 2 a( X ( X n a ) 2 a( X n a )= X
2 2 n
P（ 由 １ ）
a) 0 0
n n
而
0 Fn ( x ) 1
n
x x
1 n 1 n 0 F (x) 1 x 0 x 0
当
x 0 时 ， lim F n ( x ) F ( x )
F (0 ) 1
n
当 x 0 时 ， lim F n ( 0 ) 0
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10 0.8
9 0.1
8 0.05
7 0.02
6 0.03
( 3.53) (6.85) = 0.99979
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第四章 大数定律与中心极限定理
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4.4.3
二项分布的正态近似
定理4.4.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有
第4页
注 意 点(1)
(1)
itx ( t ) e 当X为离散随机变量时， k 1
k
pk
(t) eitx p( x)dx (2) 当X为连续随机变量时，
这是 p(x) 的傅里叶变换
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第四章 大数定律与中心极限定理
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注 意 点(2)
P k1 n k2 P k1 0.5 n k2 0.5
k2 0.5 np k1 0.5 np npq npq
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第四章 大数定律与中心极限定理
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意： (1) 欧拉公式：
eitx cos(tx) i sin(tx)
(2) 复数的共轭： a bi a bi (3) 复数的模：
a bi a 2 b2
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4.1.2 特征函数的性质
Yn
P
Y
大数定律讨论的就是依概率收敛.
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依概率收敛的性质 定理4.3.1
若 Xn
P
a, Yn
P
b
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
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注 意 点 (2)
中心极限定理的应用有三大类： i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
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一、给定 n 和 y，求概率
例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
性质4.1.1 |(t)| (0)=1
性质4.1.2
性质4.1.3 性质4.1.4 性质4.1.5
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(t ) (t )
aX b(t ) eibt X (at )
X Y (t ) X (t )Y (t ) (0) ik E( X k )
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第23页
4.4.2
独立同分布下的中心极限定理
定理4.4.1 林德贝格—勒维中心极限定理 设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期 望为, 方差为 2>0，则当 n 充分大时，有
X lim P n
n i 1
i
n n
y ( y )
200 20500 200 100 P X i 20500 1 200 100 i 1
1 (3.54) = 0.0002
故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小)
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4.3.3 判断弱收敛的方法
定理4.3.4
L X X n
Xn
(t )
X
(t )
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辛钦大数定律的证明思路
欲证:
n 1 Yn X i n i 1
P
a
只须证：
Yn (t ) a (t )
ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.
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4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
lim P Y Y 若对任意的 >0，有 n n 1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
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依概率收敛与按分布收敛的关系
P X X L X X n n P a X L a X n n
定理4.3.2
定理4.3.3
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应用之例: 正态随机数的产生； 误差分析
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例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一 箱味精的净重大于20500克的概率? 解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布， 且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100， 由中心极限定理得，所求概率为：
y /15 0.5 140 P{15Y y} 0.95 42 中解得 y 2252.
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三、给定 y 和概率，求 n
例4.4.5
用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？ Yn 服从 b(n, p) 分布，k 为Yn的实际取值。根据题意
则 {Xn}服从大数定律.
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辛钦大数定律 定理4.2.4
若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的 数学期望存在。则 {Xn}服从大数定律.
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§4.4
4.4.1
中心极限定理
独立随机变量和
Yn X i
i 1 n
设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为
讨论独立随机变量和的极限分布,
本指出极限分布为正态分布.
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注意点
(1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例.
(2) 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.
(3) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.
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§4.3 随机变量序列的两种收敛性
两种收敛性：
i) 依概率收敛：用于大数定律；
若随机变量序列{Xn}满足：
1 n lim P Xi n n i 1 1 n E( X i ) n i 1 1
则称{Xn} 服从大数定律.20 OcΒιβλιοθήκη ober 2018华东师范大学
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切比雪夫大数定律 定理4.2.2
(k )
若 X 与 Y 独立，则
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特征函数的定理
定理4.1.1 一致连续性. 非负定性. 逆转公式. 连续场合， p( x) 唯一性.
定理4.1.2
定理4.1.3 定理4.1.4
定理4.1.5
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1 itx e (t )dt 2
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二、给定 n 和概率，求 y
例4.4.4
有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证正常生产?
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42. 设供电量为y, 则从
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
设 n 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，
每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 > 0，有
lim P n
n p 1
n
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4.2.2 常用的几个大数定律 大数定律一般形式：
{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共
同的上界，则 {Xn}服从大数定律.
证明用到切比雪夫不等式.
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马尔可夫大数定律 定理4.2.3
若随机变量序列{Xn}满足：
n 1 Var X i 0 (马尔可夫条件) 2 i 1 n
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