章末复习
《章末复习课》匀变速直线运动
05
匀变速直线运动的综合练习
匀变速直线运动的合成运动练习
总结词
掌握匀变速直线运动的合成运动规律，了解速度、加速度、位移等物理量的合成方法。
详细描述
匀变速直线运动是物理学中的重要概念，它涉及到速度、加速度、位移等物理量的合成和 分解。在合成过程中，需要遵循平行四边形定则，通过已知的两个分运动，求得合运动。
公式总结
v=v1+at，x=x1+vt，Δx=x2-x1=at²
匀变速直线运动与牛顿第二定律的综合运用练习
01
总结词
理解牛顿第二定律与匀变速直线运动的关系，掌握运用牛顿第二定律解
决匀变速直线运动问题的方法。
02 03
详细描述
牛顿第二定律指出，物体的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比 。在匀变速直线运动中，物体的加速度恒定不变，因此可以通过牛顿第 二定律求得作用力的大小。
公式总结
E=mc²，E₁+E₂=E₃+E₄
THANK YOU
• 匀减速直线运动：当加速度a恒定且小于零时，物体做 匀减速直线运动，速度和位移随时间减小。
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匀变速直线运动的实践应用
汽车刹车问题
01
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刹车距离
汽车在行驶过程中，如果 以恒定速度刹车，其刹车 距离与车辆的重量、摩擦 系数、初速度等有关。
刹车时间
汽车刹车所需时间取决于 刹车距离、初速度、摩擦 系数等因素。
如何求解多个匀变速直线运动的合成加速度
总结词
利用等效思想，将多个匀变速直线运动等效为一个匀 变速直线运动，再利用公式求解。
详细描述
首先，将多个匀变速直线运动的时间和位移分别等效 为单个匀变速直线运动的时间和位移；其次，根据等 效思想，将多个匀变速直线运动的初速度和末速度等 效为单个匀变速直线运动的初速度和末速度；最后， 利用匀变速直线运动的加速度公式求解等效后的单个 匀变速直线运动的加速度，即为多个匀变速直线运动 的合成加速度。
高中物理《气体》章末复习
第八章气体课前预习一、气体定律1．玻意耳定律：一定质量的某种气体，在不变的情况下，与成反比。
公式为或P1V1= 。
2．查理定律：一定质量的某种气体，在不变的情况下，与成正比。
公式为P= 或P1/P2= 。
2．盖—吕萨克定律：一定质量的某种气体，在不变的情况下，与成正比。
公式为V= 或V1/V2= 。
二、理想气体状态方程1．理想气体：在和下都能遵从气体实验定律的气体。
理想气体是一种的模型；其分子间作用力，分子势能为。
2．理想气体状态方程一定质量的某种理想气体在从一个状态变化到另一个状态，尽管压强、温度、体积都可能改变，但是跟的乘积与的比值保持不变。
公式为：三、气体定律的微观解释1．玻意耳定律的微观解释：一定的气体，温度保持不变时，分子的是一定的。
在这种情况下，体积减小时，分子的增大，气体的就增大。
2．查理定律的微观解释：一定质量的气体，保持不变时，分子的密集程度保持不变。
在这种情况下，温度升高时，分子的增大，增大，气体的压强就增大。
3．盖—吕萨克定律的微观解释：一定质量的气体，温度升高，分子的平均动能增大。
只有气体的同时增大，使分子的密集程度，才能保持压强不变。
例1、如图，粗细均匀、两端开口的U形管竖直放置，两管的竖直部分高度为20cm，内径很小，水平部分BC长14cm。
一空气柱将管内水银分隔成左右两段。
大气压强P0＝76cmHg。
当空气柱温度为T0＝273K、长为L0＝8cm时，BC管内左边水银柱长2cm，AB管内水银柱长也为2cm。
求：（1）右边水银柱总长是多少？（2）当空气柱温度升高到多少时，左边的水银恰好全部进入竖直管AB内？（3）为使左、右侧竖直管内的水银柱上表面高度差最大，空气柱温度至少要升高到多少？例2.水平放置，粗细均匀，两侧都封闭的细长玻璃管中，有一段水银柱将管中气体分为两部分如图所示，将玻璃管温度均匀升高的过程中，水银柱将（）A、向右移动B、向左移动C．始终不动 D、以上三种情况都有可能例3、如图所示，活塞质量为M，横截面积为S，上表面水平，下表面与水平成α角，摩擦不计，外界大气压为po，被封闭气体的压强为（）A、po—Mgcosα/S B、p o cosα—Mg/SC、po —Mg/S D、po—Mgcos2α/S图8—14练习1:一定质量的理想气体经历一等温膨胀过程，这一过程可以用p－V图上的曲线来表示，如图所示．由此可知，当气体的体积V1＝5 L时，气体的压强p1＝________Pa；当气体的体积V2＝10L时，气体的压强p2＝________Pa；当气体的体积V3＝15 L时，气体的压强p3＝________Pa.2：为了将空气装入气瓶内，现将一定质量的空气等温压缩，空气可视为理想气体．下列图象能正确表示该过程中空气的压强p和体积V关系的是．3.下面图中描述一定质量的气体做等容变化的过程的图线是（）4、如图8—19所示，是一定质量的气体从状态A经B到状态C的V—T图象，由图象可知（）A、PA＞PBB、PC＜PBC、PA＞PCD、PC＞PB5、如图8—20所示，是一定质量的气体从状态A经B到状态C的P—T图象，由图象可知（）A、VA＝VBB、VB＝VCC、VB＜VCD、VA＞VCPTOPTOPTOPOt/0C-273A B C DVOTABCTABC6.如图为竖直放置的上细下粗的密闭细管，水银柱将气体分隔成A、B两部分，初始温度相同。
人教版数学九年级上册第二十三章《章末复习》名师教案
第23章 章末复习〔曹瑶〕一、本章思维导图二、典型例题讲解例1、随着我国经济快速开展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出以下四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是〔 〕A ．B ．C ．D ．【知识点】中心对称图形；轴对称图形质【解题过程】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形；定义性质定义性质1、平面内、一个图形定义2、绕旋转中心、某个方向3、转动一定角度〔旋转角〕性质1、图形的形状、大小不变2、对应线段、对应角相等3、对应点到旋转中心距离相等4、对应点与旋转中心连线夹角相等性质3、转动180°1、图形的形状、大小不变2、对应线段、对应角相等3、对应线段平行〔或者在同一直线上〕且相等4、对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分中心对称定义1、平面内、一个图形2、绕旋转中心 图案设计成中心对称中心对称图形 关于原点对称的点的坐标旋转平移轴对称B 、是轴对称图形，不是中心对称图形；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形． 应选C ．【思路点拨】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【答案】C例2、如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，假设OB =23，∠C =120°，那么点B′的坐标为 〔 〕C'B'A'ACBOx yA.(3,3)B. (3,3)-C. (6,6)D. (6,6)-【知识点】坐标与图形的旋转变化，菱形的性质，垂直的定义，旋转的性质 【数学思想】数形结合【解题过程】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB 的度数，又由将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA 的度数，然后在Rt △B′OF 中，利用三角函数即可求得OF 与B′F 的长，那么可得点B′的坐标：过点B 作BE ⊥OA 于E ，过点B′作B′F ⊥OA 于F ，∴∠BEO =B′FO =90°. ∵四边形OABC 是菱形，∴OA ∥BC ，∠AOB =12∠AOC .∵∠AOC +∠C =180°，∠C =120°，∴∠AOC =60°，∠AOB =30°. ∵菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置， ∴∠BOB′=75°，O B′=OB=.∴∠B′OF =45°. 在等腰Rt △B′OF 中，OF =OB ′÷2=×=∴B′F=∵点B′在第四象限，∴点B′的坐标为：.应选D.【思路点拨】利用旋转的性质，找到特殊的直角三角形即可解题. 【答案】D例3、在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =AB =4， D 、E 分别是AB 、AC 的中点．假设等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α〔0<α≤180°〕，记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ，线段CE 1的长等于 ；〔直接填写结果〕（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1= CE 1，且BD 1⊥CE 1．E 1BCE D （D 1）APE 1BCEDD 1A图1 图2【知识点】旋转变换 【数学思想】数形结合 【解题过程】解：〔1〕∵∠A =90°，AC =AB =4，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，∴AE =AD =2，∵等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α〔0＜α≤180°〕， ∴当α=90°时，AE 1=2，∠E 1AE =90°，1BD ==∴1E C ==故答案为25，25；（2）证明：当α=135°时，如图2，∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，在△D1AB和△E1AC中∵1111AD AED ABE ACAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△D1AB≌△E1AC〔SAS〕，∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，记直线BD1与AC交于点F，∴∠BF A=∠CFP，∴∠CPF=∠F AB=90°，∴BD1⊥CE1 .【思路点拨】〔1〕利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；〔2〕根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC〔SAS〕，即可得出答案.【答案】详见解题过程第23章章末检测题〔曹瑶〕一、选择题〔每题4分，共48分〕1、以下图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是〔〕A．B．C．D．【知识点】轴对称图形与中心对称图形的概念【解题过程】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．应选C．【思路点拨】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.【答案】C2、将叶片图案旋转180°后，得到的图形是()【知识点】图案旋转【解题过程】A是叶片图案经过翻转、旋转得到；B与叶片图案成轴对称；C是叶片图案经过平移得到；D是叶片图案旋转180°后得到.所以应选D.【思路点拨】以旋转图形的定义为依据进展判断，观察图形可知【答案】D.3、如图，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，那么∠BAC'等于〔〕A.60°B.105°C.120°D.135°【知识点】旋转角【数学思想】数形结合【解题过程】∵△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，∴∠CAC′=60°，又∵等腰直角△ABC中，∠B=90°，∴∠BAC=45°，∴∠BAC′=∠BAC+∠CAC′=45°+60°=105°．故答案为105°【思路点拨】抓准旋转的性质，旋转角相等即可解题.【答案】B.4、在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OB，那么点B的坐标是()A.(-4，3)B.(-3，4)C.(3，-4)D.(4，-3)【知识点】坐标系中点的旋转【数学思想】数形结合【解题过程】解：如图：∴点B的坐标为〔-4，3〕．应选A．【思路点拨】画出坐标系，利用全等三角形解题.【答案】A.5、如图是一个中心对称图形，A为对称中心，假设∠C=90°，∠B=30°，AC=1，那么BB'的长为〔〕A．4 B．2 C．1 D．3【知识点】中心对称【数学思想】数形结合【解题过程】∵此图是中心对称图形，A为对称中心，∴△BAC≌△B′AC′，∴∠B =∠B′，∠C =∠C′，AC =AC′，AB=AB'， ∵∠C =90°，∠B =30°，AC =1， ∴AB′=2AC′=2，∴BB'=2AB'=4． 应选A ．【思路点拨】利用中心对称图形关于A 为对称中心，得出两图形全等，即可解决. 【答案】A .6、如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF 、MN 相交于中心点O ，对△ABC 分别作以下变换： ①先以点A 为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O 为中心作中心对称图形，再以点A 的对应点为中心逆时针方向旋转90°； ③先以直线MN 为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A 的对应点为中心顺时针方向旋转90°.其中，能将△ABC 变换成△PQR 的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【知识点】平移、旋转、轴对称 【数学思想】数形结合【解题过程】根据题意分析可得：①②③都可以使△ABC 变换成△PQR ． 应选D ．【思路点拨】利用平移、旋转、轴对称的定义. 【答案】D7、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，图中阴影局部的面积为( ) A.21 B.33 C. 33-1 D.43-1【知识点】旋转的性质 【数学思想】数形结合【解题过程】如图，设B′C′与CD 的交点为E ，连接AE ，在Rt △AB′E 和Rt △ADE 中， AE =AE ，AB′=AD ，∴Rt △AB′E ≌Rt △ADE 〔HL 〕， ∴∠DAE =∠B′AE ， ∵旋转角为30°， ∴∠DAB′=60°， ∴∠DAE =0.5×60°=30°， ∴DE =33∴阴影局部的面积=1—33 应选C ．【思路点拨】找准旋转角，利用30°的直角三角形解题. 【答案】C8、如图，直线434+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺针旋转90°后得到△AOB′，那么点B′的坐标是〔 〕A.〔3，4〕B.〔4，5〕C.〔7，4〕D.〔7，3〕【知识点】坐标系中点的旋转 【数学思想】数形结合【解题过程】直线434+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于A 〔3，0〕，B 〔0，4〕两点．旋转前后三角形全等．由图易知点B′的纵坐标为OA 长，即为3， ∴横坐标为OA +OB =OA +O′B′=3+4=7． 应选D ．【思路点拨】找对应线段，利用三角形全等. 【答案】D9、将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标中，OB 在x 轴上，假设OA =2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，那么点A 的对应点A′的坐标为〔 〕A.3(，)1B.1(，)3-C.2(，)2-D.2(-，)2 【知识点】坐标与图形变化-旋转． 【数学思想】数形结合 【解题过程】解：如图，∵三角板绕原点O 顺时针旋转75°， ∴旋转后OA 与y 轴夹角为45°， ∵OA =2， ∴OA′=2，∴点A′的横坐标为2222=⨯，纵坐标为2222-=⨯-，所以A′点的坐标为)2,2(-，应选C. 【思路点拨】利用旋转性质得出OA′线段长度和各夹角大小，然后求出A′的坐标. 【答案】C.10、坐标平面上的机器人承受指令“[a ，A ]〞(a ≥0，0°<A <180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向面对方向沿直线行走a . 假设机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，那么它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为( )A. (-1，-3)B. (-1，3)C.(3，-1)D.(-3，-1)【知识点】图形旋转【数学思想】数形结合【解题过程】由得到：OA=2，∠COA=60°，过A作AB⊥x轴于B，∴∠BOA=90°-60°=30°，∴AB=1，由勾股定理得：OB=3，∴A的坐标是〔-3，-1〕．应选C．【思路点拨】旋转过程中对应线段相等【答案】D.11、如图，等边三角形的顶点A〔1，1〕、B〔3，1〕，规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位〞为一次変换，如果这样连续经过2021次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为〔〕．A.），132014(+-B.），132014(--C.），132014(-D.），132014(+ 【知识点】翻折变换〔折叠问题〕；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移.【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵△ABC 是等边三角形AB =3﹣1=2，∴点C 到x 轴的距离为1+2×23=3+1， 横坐标为2，∴A 〔2，3+1〕，第2021次变换后的三角形在x 轴上方，点A 的纵坐标为3+1，横坐标为2-2021×1=-2021， 所以，点A 的对应点A′的坐标是(-2021，3+1)故答案为：A (-2021，3+1)．【思路点拨】据轴对称判断出点A 变换后在x 轴上方，然后求出点A 纵坐标，再根据平移的距离求出点A 变换后的横坐标，最后写出即可.【答案】A .12、如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM 、PN 分别与OA 、OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ〔0°＜θ＜90°〕，PM 、PN 分别交AB 、BC 于E 、F 两点，连接EF 交OB 于点G ，那么以下结论中正确的个数是〔 〕．〔1〕EF =2OE ；〔2〕S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；〔3〕BE +BF =2OA ；〔4〕在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE =43．【知识点】四边形的旋转【数学思想】数形结合【解题过程】解：〔1〕∵四边形ABCD 是正方形，∴OB=OC ，∠OBE =∠OCF =45°，∠BOC =90°，∴∠BOF +∠COF =90°，∵∠EOF =90°，∴∠BOF +∠COE =90°，∴∠BOE =∠COF ，在△BOE 和△COF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠OCF OBE OCOB COF BOE ， ∴△BOE ≌△COF 〔ASA 〕，∴OE =OF ，BE =CF ，∴EF =2OE ；故正确； 〔2〕∵S 四边形OEBF =S △BOE +S △BOF =S △BOF +S △COF =S △BOC =41S 正方形ABCD ， ∴S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；故正确；〔3〕∴BE +BF =BF +CF =BC =2OA ；故正确；〔4〕过点O 作OH ⊥BC ， ∵BC =1，∴OH =21BC =21， 设AE =x ，那么BE =CF =1﹣x ，BF =x ，∴S △BEF +S △COF =21BE •BF +21CF •OH =21x 〔1﹣x 〕+21〔1﹣x 〕×21 =﹣21〔x ﹣41〕2+329， ∵a =﹣21＜0， ∴当x =41时，S △BEF +S △COF 最大；即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE =41；故错误. 【思路点拨】〔1〕由四边形ABCD 是正方形，直角∠MPN ，易证得△BOE ≌△COF 〔ASA 〕，那么可证得结论；〔2〕由〔1〕易证得S 四边形OEBF =S △BOC =41S 正方形ABCD ，那么可证得结论； 〔3〕由BE =CF ，可得BE +BF =BC ，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE +BF =2OA ； 〔4〕首先设AE =x ，那么BE =CF =1﹣x ，BF =x ，继而表示出△BEF 与△COF 的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案.【答案】C二、填空题〔每题4分，共24分〕13、下面图形：①四边形，②等边三角形，③正方形，④等腰梯形，⑤平行四边形，⑥圆，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ．〔填序号〕【知识点】轴对称、中心对称【解题过程】①是轴对称图形，也是中心对称图形；②是轴对称图形，不是中心对称图形；③不是轴对称图形，是中心对称图形；④是轴对称图形，不是中心对称图形；⑤不是轴对称图形，是中心对称图形；⑥是轴对称图形，也是中心对称图形．应选答案为：①⑥．【思路点拨】把握住轴对称和中心对称的定义即可.【答案】①⑥14、小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距 公里.【知识点】中心对称图形的性质【解题过程】解：∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，∴小明、小辉两家到学校距离相等，∵小明家距学校2公里，∴他们两家相距：4公里． 故答案为4.【思路点拨】根据中心对称图形的性质，得出小明、小辉两家到学校距离相等，即可得出答案.【答案】4.15、将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，假设∠AOD =110°，那么∠BOC =_____. D C B A O【知识点】旋转角【数学思想】数形结合【解题过程】由题意可得∠AOB +∠COD =180°，又∠AOB +∠COD =∠AOC +2∠COB +∠BOD =∠AOD +∠COB ，∵∠AOD =110°，∴∠COB =70°．故答案为70°．【思路点拨】旋转角相等【答案】70°16、如图，在正方形ABCD 内作∠EAF =45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，过点A 作AH ⊥EF ，垂足为H ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，假设BE =2，DF =3，那么AH 的长为 ．【知识点】旋转的性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：由旋转的性质可知：AF=AG ，∠DAF =∠BAG ．∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD =90°．又∵∠EAF =45°，∴∠BAE+∠DAF =45°．∴∠BAG +∠BAE =45°．∴∠GAE =∠F AE ．在△GAE 和△F AE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE GAE AF AG∴△GAE ≌△F AE ．∵AB ⊥GE ，AH ⊥EF ，∴AB=AH ，GE=EF =5．设正方形的边长为x ，那么EC=x-2，FC=x-3．在Rt △EFC 中，由勾股定理得：EF 2=FC 2+EC 2，即〔x -2〕2+〔x -3〕2=25．解得：x =6．∴AB =6．∴AH =6．故答案为：6．【思路点拨】由旋转的性质可知：AF =AG ，∠DAF =∠BAG ，接下来再证明∠GAE =∠F AE ，由全等三角形的性质可知：AB=AH ，GE=EF =5．设正方形的边长为x ，接下来，在Rt △EFC 中，依据勾股定理列方程求解即可．【答案】6.17、如图，等边△ABC 绕点B 逆时针旋转30°时，点C 转到C′的位置，且BC′与AC 交于点D ，那么CD D C '的值为 ． 【知识点】旋转的性质，等边三角形的性质【数学思想】数形结合【解题过程】设等边△ABC 的边长是a ，那么BD ＝23BC 3， C′D ＝331a a ⎛= ⎝⎭，CD = 12a .∴31'2312a C D CD a ⎛ ⎝⎭==【思路点拨】等边△ABC 绕点B 逆时针旋转30°时，那么△BCD 是直角三角形，即可求解.【答案】23.18、如图，边长为1的正方形ABCD 中绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，那么图中阴影局部的面积为 ．【知识点】旋转的性质；正方形的性质．【数学思想】数形结合【解题过程】如图，连接AO ，根据旋转的性质，得∠BAB′=30°，那么∠DAB′=60°．在Rt △ADO 和Rt △AB′O 中，AD=AB′，AO=AO ，∴Rt △ADO ≌Rt △AB′O ．∴∠OAD =∠OAB′=30°．又∵AD =1，∴OD =AD •tan ∠OAD =33 ∴阴影局部的面积33133212=⨯⨯⨯=，故答案为33 【思路点拨】此题只需把公共局部分割成两个三角形，根据旋转的旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积．【答案】33 三、解答题〔共78分〕19、〔6分〕如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为〔﹣1，3〕、〔﹣4，1〕〔﹣2，1〕，先将△ABC 沿一确定方向平移得到△A 1B 1C 1，点B 的对应点B 1的坐标是〔1，2〕，再将△A 1B 1C 1绕原点O 顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 2，点A 1的对应点为点A 2．〔1〕画出△A 1B 1C 1；〔2〕画出△A 2B 2C 2；〔3〕求出在这两次变换过程中，点A 经过点A 1到达A 2的路径总长．【知识点】作图-旋转变换；作图-平移变换【数学思想】数形结合【解题过程】解：〔1〕如图，△A 1B 1C 1为所作；〔2〕如图，△A 2B 2C 2为所作；〔3〕OA =244422=+.点A 经过点A 1到达A 2的路径总长=18024901522••++π=π2226+． 【思路点拨】〔1〕由B 点坐标和B 1的坐标得到△ABC 向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到△A 1B 1C 1，那么根据点平移的规律写出A 1和C 1的坐标，然后描点即可得到△A 1B 1C 1；〔2〕利用网格特点和旋转的性质画出点A1的对应点为点A2，点B1的对应点为点B2，点C1的对应点为点C2，从而得到△A2B2C2；〔3〕先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以OA1为半径，圆心角为90°的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长.【答案】〔1〕见上图〔2〕见上图〔3〕π226+220、〔8分〕四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得△ABE,如下图，如果AF=4，AB=7.〔1〕指出旋转中心和旋转角度；〔2〕求DE的长度.【知识点】旋转的性质【数学思想】数形结合【解题过程】〔1〕根据正方形的性质可知：△AFD≌△AEB，即AE=AF=4，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA；可得旋转中心为点A；〔2〕DE=AD-AE=7-4=3.【思路点拨】利用旋转的性质找到旋转角和对应线段即可.【答案】〔1〕点A；旋转角度为90°或270°〔2〕321、〔8分〕如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1．〔1〕线段A1C1的长度是，∠CBA1的度数是．〔2〕连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形．【知识点】旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定【解题过程】解：〔1〕10；135°.〔2〕证明：∵∠A 1C 1B =∠C 1BC =90°，∴A 1C 1∥BC ．又∵A 1C 1=AC =BC ，∴四边形CBA 1C 1是平行四边形.【思路点拨】〔1〕由于将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1，根据旋转的性质可以得到A 1C 1=AC =10，∠CBC 1=90°，而△ABC 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出∠CBA 1=∠CBC 1＋∠A 1BC 1=90°＋45°=135°.〔2〕由∠A 1C 1B =∠C 1BC =90°可以得到A 1C 1∥BC ，又A 1C 1=AC =BC ，利用评选四边形的判定即可证明.【答案】〔1〕10；135° 〔2〕略22、〔10分〕两个长为2cm ，宽为1cm 的长方形，摆放在直线l 上〔如图①〕，CE =2cm ，将长方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转α角，将长方形EFGH 绕着点E 逆时针旋转一样的角度．〔1〕当旋转到顶点D 、H 重合时，连接AE 、CG ，求证：△AED ≌△GCD 〔如图②〕． 〔2〕当α=45°时〔如图③〕，求证：四边形MHND 为正方形．【知识点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质与判定；正方形的判定【数学思想】数形结合【解题过程】证明：〔1〕如图②，∵由题意知，AD=GD ，ED=CD ，∠ADC=∠GDE=90°，∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE ，即∠ADE=∠GDC ，在△AED 与△GCD 中，AD GD ADE GDC ED CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△GCD 〔SAS 〕；〔2〕如图③，∵α=45°，BC∥EH，∴∠NCE=∠NEC=45°，CN=NE，∴∠CNE=90°，∴∠DNH=90°，∵∠D=∠H=90°，∴四边形MHND是矩形，∵CN=NE，∴DN=NH，∴矩形MHND是正方形．【思路点拨】〔1〕根旋转的性质得AD=GD，CD=ED，由于∠CDE=∠EDC,那么可根据全等三角形的判定方法SAS得到△AED≌△GCD〔SAS〕；〔2〕由于α=45°，结合旋转的性质，∠CNE=90°，再根据矩形的性质∠GHN=∠AND=90°，可以判定四边形MHND是矩形，最后根据DN=NH，所以可判断矩形MHND是正方形.【答案】见解题过程23、〔10分〕如图，△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α〔α＜60°〕，D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．〔1〕求证：BE=CD；〔2〕假设AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质.【数学思想】数形结合【解题过程】证明：〔1〕∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α〔α＜60°〕，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，∴AB =AC ， ∴∠BAE =∠CAD ， 在△ACD 和△ABE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE CAD BAE AC AB ， ∴△ACD ≌△ABE 〔SAS 〕， ∴BE =CD ； 〔2〕∵AD ⊥BC ， ∴BD =CD ，∴BE =BD =CD ，∠BAD =∠CAD ， ∴∠BAE =∠BAD ， 在△ABD 和△ABE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE BAD BAE AB AB ， ∴△ABD ≌△ABE 〔SAS 〕， ∴∠EBF =∠DBF ， ∵EF ∥BC ， ∴∠DBF =∠EFB ， ∴∠EBF =∠EFB ， ∴EB =EF ， ∴BD =BE =EF =FD ， ∴四边形BDFE 为菱形 【思路点拨】〔1〕根据旋转可得∠BAE =∠CAD ，从而SAS 证明△ACD ≌△ABE ，得出答案BE =CD ； （2）由AD ⊥BC ，SAS 可得△ACD ≌△ABE ≌△ABD ，得出BE =BD =CD ，∠EBF =∠DBF ，再由EF ∥BC ，∠DBF =∠EFB ，从而得出∠EBF =∠EFB ，那么EB =EF ，证明得出四边形BDFE 为菱形【答案】 详见解题过程24、〔12分〕数学问题：计算m 1+21m +31m +...+n m1〔其中m 、n 都是正整数，且m ≥2，n ≥1〕． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进展探究． 探究一：计算21+221+321+...+n 21． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影局部的面积为21； 第2次分割，把上次分割图中空白局部的面积继续二等分，阴影局部的面积之和为21+221； 第3次分割，把上次分割图中空白局部的面积继续二等分，…； …第n 次分割，把上次分割图中空白局部的面积最后二等分，所有阴影局部的面积之和为21+221+321+...+n 21，最后空白局部的面积是n 21． 根据第n 次分割图可得等式：21+221+321+...+n 21．=1﹣n 21．探究二：计算31+231+331+...+n 31．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影局部的面积为32； 第2次分割，把上次分割图中空白局部的面积继续三等分，阴影局部的面积之和为32+232； 第3次分割，把上次分割图中空白局部的面积继续三等分，…； …第n 次分割，把上次分割图中空白局部的面积最后三等分，所有阴影局部的面积之和为32+232+332+...+n 32，最后空白局部的面积是n 31． 根据第n 次分割图可得等式：32+232+332+...+n 32=1﹣n 31，两边同除以2，得31+231+331+...+n 31=21-n321⨯．探究三：计算n 41...41414132++++．〔仿照上述方法，只画出第n 次分割图，在图上标注阴影局部面积，并写出探究过程〕解决问题：计算m 1+21m +31m +...+n m1． 〔只需画出第n 次分割图，在图上标注阴影局部面积，并完成以下填空〕 根据第n 次分割图可得等式： ， 所以，m 1+21m +31m +...+n m1= ． 拓广应用：计算n n 51-5...51-551-551-53322++++． 【知识点】作图—应用与设计作图；规律型：图形的变化类 【数学思想】数形结合【解题过程】解：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影局部的面积为43； 第2次分割，把上次分割图中空白局部的面积继续四等分， 阴影局部的面积之和为24343+； 第3次分割，把上次分割图中空白局部的面积继续四等分， …，第n 次分割，把上次分割图中空白局部的面积最后四等分，所有阴影局部的面积之和为：n 43...43434332++++，最后的空白局部的面积是n 41，根据第n 次分割图可得等式：n n 41-143...43434332=++++，两边同除以3，得nn 431-3141...41414132⨯=++++； 解决问题：n n mm m m m m m m m 1-11-...1-1-1-32=++++， m 1+21m +31m +...+n m 1=nm m m ⨯---）（1111；故答案为：n n 41-143...43434332=++++，nmm m ⨯---）（1111.拓广应用：n n 51-5...51-551-551-53322++++ =1﹣51+1﹣251+1﹣351+…+1﹣n 51，=n ﹣〔51+251+351+…+n 51〕，=n ﹣〔41﹣n 541⨯〕，=nn 54141⨯+-．【思路点拨】探究三：根据探究二的分割方法依次进展分割，然后表示出阴影局部的面积，再除以3即可；解决问题：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影局部的面积及，再除以〔m ﹣1〕即可得解；拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进展计算即可得解.【答案】n n 41-143...43434332=++++，nm m m ⨯---）（1111，n n 51-5...51-551-551-53322++++=n n 54141⨯+- 25、〔12分〕在校园文化建立活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，a 〔a ＞1〕的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a 的值. 【知识点】作图—应用与设计作图 【数学思想】数形结合【解题过程】解：①如图，a =4，②如图，a =25，③如图，a =34，④如图，a =35，【思路点拨】平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，a 〔a ＞1〕，剪三次后余下的四边形是菱形的4种情况画出示意图. 【答案】a =4、a =25、a =34、a =35. 26、〔12分〕：点P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点〔点P 不与点A 、C 重合〕，分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ，点O 为AC 的中点． 〔1〕当点P 与点O 重合时如图1，易证OE =OF 〔不需证明〕〔2〕直线BP 绕点B 逆时针方向旋转，当∠OFE =30°时，如图2、图3的位置，猜测线段CF 、AE 、OE 之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜测，并选择一种情况给予证明．【知识点】四边形中的旋转 【数学思想】数形结合【解题过程】解：〔1〕∵AE ⊥PB ，CF ⊥BP ， ∴∠AEO =∠CFO =90°， 在△AEO 和△CFO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠COF AOE OCAO CFOAEO ， ∴△AOE ≌△COF ， ∴OE =OF ．〔2〕图2中的结论为：CF =OE +AE ． 图3中的结论为：CF =OE ﹣AE ． 选图2中的结论证明如下： 延长EO 交CF 于点G ， ∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ， ∴AE ∥CF ， ∴∠EAO =∠GCO ，在△EOA 和△GOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠COG AOE OCAO GCO EAO ， ∴△EOA ≌△GOC ， ∴EO =GO ，AE =CG ， 在RT △EFG 中，∵EO =OG ， ∴OE =OF =GO ， ∵∠OFE =30°，∴∠OFG =90°﹣30°=60°， ∴△OFG 是等边三角形， ∴OF =GF ， ∵OE =OF ， ∴OE =FG ， ∵CF =FG +CG ， ∴CF =OE +AE ．选图3的结论证明如下： 延长EO 交FC 的延长线于点G ， ∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ， ∴AE ∥CF ， ∴∠AEO =∠G ， 在△AOE 和△COG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OC AO GOC AOE G AEO∴△AOE ≌△COG ， ∴OE =OG ，AE =CG ， 在RT △EFG 中，∵OE =OG ， ∴OE =OF =OG ， ∵∠OFE =30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．【思路点拨】〔1〕由△AOE≌△COF即可得出结论．〔2〕图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG 是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似.【答案】略。
教学设计1：章末复习
章末复习一、教学目标：知识与技能：回顾本章基本概念及公式：任意角的概念、弧度制、任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系及诱导公式，三角函数的图像与性质及其应用，三角函数图像变换等.掌握常见问题的解法.过程与方法：通过对基本知识的梳理回顾，帮助学生形成知识网络.由基本问题的解决，促使学生形成解题技能.情感、态度与价值观通过章节复习培养学生总结归纳能力.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理、乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．二．重点难点重点：基本知识的回顾及基本问题的解法难点：知识的综合运用能力.三、教材与学情分析通过章节复习引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程一、构建知识网络，完善认知体系二、归纳基本题型，形成解题技能专题一 三角函数的概念三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． 例1 (1)设角α属于第二象限，⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，试判定α2角属于第几象限． (2)求函数y ＝3tan x ＋3的定义域．解：(1)依题意得2k π＋π2<α<2k π＋π(k ∈Z )，所以k π＋π4<α2<k π＋π2(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，α2为第一象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α2为第三象限角．又⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2≥0，所以cos α2≤0. 所以α2应为第二、三象限角或终边落在x 非正半轴上或y 轴上．综上所述，α2是第三象限角．(2)3tan x ＋3≥0，即tan x ≥－33. 所以k π－π6≤x <k π＋π2，所以函数y ＝3tan x ＋3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z . 归纳升华1．由α所在象限，判断α2角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集合的几何意义，用数形结合的方法确定α2的所属象限；另一种方法就是将k 进行分类讨论．2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图像解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．变式训练1 (1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号； (2)已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求α的正切值． 解：(1)因为θ为第四象限角，所以0<cos θ<1<π2，－π2<－1<sin θ<0，所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0， 所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0.(2)因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos θ<0， 所以r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ， 故sin α＝y r ＝－45， cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝－43.专题二 同角三角函数的基本关系与诱导公式在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取． 例2 已知2＋tan （θ－π）1＋tan （2π－θ）＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．解：法一：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2，所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2，即sin θcos θ＝2，所以sin θ＝2cos θ，所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝ (2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos 2θ＝cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝15.归纳升华三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1＝sin 2α＋cos 2α(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan π4等；(3)若式子中有角k π2，k ∈Z ，则先利用诱导公式化简． 变式训练2. 若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512【解析】法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213， 所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.【答案】D专题三 三角函数的图像及变换三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．例3 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图像．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？解：(1)由图像知A ＝－12－⎝⎛⎭⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝⎛⎭⎫－322＝－1，T ＝2×⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2πT ＝2.所以y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，所以φ＝π6.所以所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 最后把函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1的图像． 归纳升华1．求解析式的方法：A ＝y max －y min 2，k ＝y max ＋y min 2，ω＝2πT ，由“五点作图法”中方法令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π或2π求φ.2．图像变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．变式训练3. 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4解析：由题意得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以φ＝k π＋π4.令k ＝0，得φ＝π4.答案：B专题四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．例4 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．解：(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． (2)因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 所以f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，所以a ＝1，(3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π，所以2x ＝π3＋2k π，所以x ＝π6＋k π，k ∈Z .所以当f (x )取最大值时，x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z 归纳升华1．形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 单调区间求法策略：可把“ωx ＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的值域和最值时，先求复合角“ωx ＋φ”的范围，再利用y ＝sin x 的性质来求解．变式训练4 设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12【解析】因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π， 又因为当0≤x <π时，f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，所以f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 【答案】A专题五 转化与化归思想化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图像与性质时，常把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法． 例5 求函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调区间． 解：将原函数化为y ＝－12sin ⎝⎛⎭⎫23x －π4.由2k π－π2≤23x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得3k π－38π≤x ≤3k π＋98π(k ∈Z )，此时函数单调递减．由2k π＋π2≤23x －π4≤2k π＋32π(k ∈Z)，得3k π＋98π≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z )，此时函数单调递增．故原函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3k π－38π，3k π＋98π(k ∈Z )， 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3k π＋98π，3k π＋218π(k ∈Z )． 归纳升华1．求形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，(ω<0)的单调区间时：先把此函数化为y ＝－A sin(－ωx －φ)的形式后，再利用函数y ＝sin x 的单调区间来求解是常用策略，其目的是使x 的系数为正数是关键．2．在求形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 的值域或最值时，常令t ＝sin x 转化为一元二次函数来求解．变式训练5 已知|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．解：y ＝f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1.令t ＝sin x ，因为|x |≤π4，所以－22≤t ≤22.则y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54⎝⎛⎭⎫－22≤t ≤22， 所以当t ＝－22时，即x ＝－π4时，f (x )有最小值，且最小值为－⎝⎛⎭⎫－22－122＋54＝1－22.六、课堂小结1.回顾本章基本概念及公式：任意角的概念、弧度制、任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系及诱导公式，三角函数的图像与性质及其应用，三角函数图像变换等.掌握常见问题的解法.2.构建知识网络，形成解题技能，发展综合能力. 七、课后作业 课时练与测 八、教学反思。
高中数学同步教学课件 第六章 章末复习课
反思感悟
解决排列、组合综合问题要注意以下几点 (1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题. (2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，再考 虑是分类还是分步，分类时要不重不漏，分步时要步步相接. (3)对于含有“至多”“至少”的问题，常采用间接法，此时要考虑全面， 排除干净.
(2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0，求(a0＋a2＋a4＋ a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.
令x＝1，得a0＋a1＋…＋a10＝25； 令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝65. 两式相乘，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝25× 65＝125.
跟踪训练2 6个女生(其中有1个领唱)和2个男生分成两排表演. (1)若每排4人，共有多少种不同的排法？
要完成这件事分三步. 第一步，从 8 人中选 4 人站在前排，另 4 人站在后排，共有 C48C44种不 同的排法； 第二步，前排 4 人进行全排列，有 A44种不同的排法； 第三步，后排 4 人进行全排列，有 A44种不同的排法. 由分步乘法计数原理知，有 C48C44A44A44＝40 320(种)不同的排法.
反思感悟
(4)确定二项展开式中的系数最大或最小项：求展开式中系数最大项与 求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况， 一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解.
跟踪训练 4 已知( x－3 x)n 的展开式中所有项的二项式系数之和为 1 024. (1)求展开式中的所有有理项；
跟踪训练1 (1)用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区
八年级数学上册教学课件《第十四章 章末复习》
1.下列各式可以表示为完全平方式的是( C )
A.x2+2xy+4y2
B.x2-2xy-y2
C.x2+8x+16
D.9x2+12xy+y2
3.因式分解： x2-25 =(x+5)(x-5)
8a3b3+12a4b2+16a5b =4a3b(2b2+3ab+4a2)
(x2+y2)2-4x2y2 =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2
例3 分解因式： （1）16a4-8a2b2+b4； （2）(x2+3x)2-(x-1)2.
解析 综合运用完全平方公式和平方差公式.注意分 解要完全.
解：16a4-8a2b2+b4 =(4a2-b2)2 =(2a+b)2(2a-b)2
解：(x2+3x)2-(x-1)2 =(x2+3x+x-1)(x2+3x-x+1) =(x2+4x-1)(x+1)2
2.计算：
24×26 =2×3×100+4×6 =624
44×46 =4×5×100+4×6 =2024
33×37 =3×4×100+3×7
=1221 92×98 =9×10×100+2×8=9016Fra bibliotek课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
解析 a2·a3=a2+3=a5，A选项错误；(a4)3=a4×3=a12，B
选项正确；(-2ab)3=(-2)3a3b3=-8a3b3，C选项错误；a4
《内能》章末复习教案
《内能》章末复习教案一、教学目标1. 理解内能的概念，掌握影响内能的因素。
2. 掌握改变内能的两种方式：做功和热传递。
3. 能运用内能的知识解释生活中的现象。
二、教学重点1. 内能的概念及影响因素。
2. 改变内能的两种方式。
3. 内能在生活中的应用。
三、教学难点1. 内能与机械能的转化。
2. 内能与热量的关系。
四、教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等多种教学方法，激发学生的学习兴趣，提高学生的分析问题和解决问题的能力。
五、教学内容1. 内能的概念：物体内部所有分子无规则运动的动能和分子势能的总和。
2. 影响内能的因素：温度、质量、状态等。
3. 改变内能的方式：做功和热传递。
4. 内能与机械能的转化：如摩擦生热现象。
5. 内能与热量的关系：热量是内能传递的量度。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 复习内能的概念，引导学生回顾影响内能的因素。
2. 提问：如何改变物体的内能？二、课堂讲解（20分钟）1. 讲解内能与机械能的转化，通过摩擦生热现象进行举例说明。
2. 讲解内能与热量的关系，引导学生理解热量是内能传递的量度。
三、案例分析（15分钟）1. 分析生活中的内能现象，如烧水、做饭等。
2. 让学生举例说明内能的应用。
四、小组讨论（10分钟）1. 学生分组讨论内能的相关问题。
2. 各组汇报讨论成果。
五、课堂小结（5分钟）2. 强调内能在日常生活中的重要性。
六、课后作业（课后自主完成）1. 复习内能的概念及影响因素。
2. 思考如何改变物体的内能。
3. 举例说明内能在生活中的应用。
七、教学反思（课后）2. 针对学生的掌握情况，调整教学策略。
八、课堂评价1. 学生课堂参与度。
2. 学生作业完成情况。
3. 学生对内能知识的理解和应用能力。
九、教学拓展1. 深入研究内能与其他能量形式的关系。
2. 探索内能在高科技领域的应用。
十、教学修改根据学生的反馈和教学实际情况，对教案进行不断的修改和完善。
六、教学活动设计1. 内能的概念测试：通过简短的问题和练习，检查学生对内能定义的理解。
新人教版高中数学必修第一册第一章章末复习课
因为a<1，所以2a<a＋1，所以B≠∅.
画数轴如图所示.
由B⊆A知，a＋1<－1或2a≥1.
即a<－2或a≥
1 2
.
由已知a<1，所以a<－2或
1 2
≤a<1，
即所求a的取值范围是a<－2或12≤a<1.
反思感悟
处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为 元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需 要合理利用数轴、Venn图帮助分析.同时还要注意“空集”这一 “陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时 要不重不漏.
跟踪训练3 已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元
素个数为
A.0
B.1 √C.2
D.3
联立yy＝＝35xx2，， 解得xy＝ ＝00， 或xy＝ ＝5323，5， 因此M∩N中的元素个数为2.
四
充分条件与必要条件
1.若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充 分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件. 2.掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养.
反思感悟
解决集合的概念问题应关注两点 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的 限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义 是什么. (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是 否满足互异性.
跟踪训练1 (多选)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的取 值不可以为
例5 命题：“∀x∈R，x2≠x”的否定是
初中生物章末复习教案
初中生物章末复习教案
教学内容：植物生长的影响因素
教学目标：了解植物生长受光照、温度、水分和土壤等因素的影响，掌握植物生长的适宜
条件。
教学重点：植物生长的影响因素及其适宜条件。
教学难点：理解植物生长受各种因素的综合影响。
教学准备：教科书、课件、实验器材等。
教学步骤：
1.复习植物生长的基本过程，引出植物生长的影响因素。
2.介绍植物受光照、温度、水分和土壤等因素的影响，让学生了解不同因素对植物的影响。
3.以实例让学生分析不同因素对植物生长的影响，引导学生归纳总结各种因素的适宜条件。
4.组织学生进行小组讨论，让他们就植物生长的影响因素展开讨论，分享彼此的见解。
5.布置作业，要求学生复习本节课内容，并结合实例分析植物生长的影响因素。
教学反思：
通过本节课的学习，学生能够了解植物生长受光照、温度、水分和土壤等因素的综合影响，掌握植物生长的适宜条件。
同时，通过小组讨论和作业的方式，能够促进学生之间的交流
和合作，提高他们的综合分析和解决问题的能力。
在未来的教学中，可以通过更多的实例
引导学生深入理解植物生长的影响因素，提高他们的学习效果。
新教材2025版高中地理第三章区域合作章末专题复习学生用书湘教版选择性必修2
章末专题复习专题一如何进行区域产业转移的分析1.区域产业结构调整和转移的一般规律（1）区域产业结构调整的一般规律某一地区工业的发展和产业结构的调整，一般有以下的规律：（2）区域产业转移的一般规律：先转移劳动密集型、资源密集型产业和轻工业，进而转移资金密集型产业和重工业，最终是技术密集型产业，一般方向是由发达国家（地区）转移到发展中国家（地区）。
2.影响产业转移的区位因素分析产业转移的目的是找寻最佳区位，降低生产成本。
因此在分析影响因素时，需从转移的产业部门的主导因素入手，对比分析转入地和转出地的区位条件，详细思路是：首先，分析影响产业部门的区位因素，确定出主导因素；其次，对比分析产业部门转入地和转出地的区位条件；最终，综合分析，确定出影响产业转移的区位因素。
例如：（1）发达国家到发展中国家投资建厂，首先是利用发展中国家廉价劳动力资源，其次是占据当地市场，再次是利用其地价便宜的优势。
（2）发展中国家到发达国家投资建厂，则主要考虑发达国家的技术优势、信息优势，以及避开关税壁垒等因素。
3.产业转移对区域发展的影响产业转移对区域发展影响的分析一般要从转出地和转入地两个地区的有利和不利两个方面进行全面分析。
[应用体验]随着我国经济快速发展，近年来，我国芯片市场成为全球最大、增长最快的市场。
芯片产业分芯片设计、芯片制造和芯片封装、测试。
目前，政府对芯片产业进行大力扶持，我国封装测试产业实现了技术上的国产替代，但芯片制造产业相对落后，芯片仍旧须要大量进口。
近几年来，全球主要半导体厂商纷纷将封装测试厂转移到我国。
据此完成1～2题。
1.近几年，全球主要半导体厂商将封装测试厂转移到我国主要是为了（）A．稳固和扩大市场份额B．享受政府政策红利C．利用优质的技术人才D．提高研发芯片水平2.近年来我国加大对芯片制造业的投入主要缘由是（）A．自主研发实力提升B．国际市场需求增大C．芯片的价格过高D．对外依靠程度过高产业梯度是指一个区域内不同地区之间存在肯定梯度。
初中物理章末复习教案
章末复习教案一、教学目标1. 知识与技能：通过复习，使学生掌握本章所学的基本概念、基本规律，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
2. 过程与方法：采用自主学习、合作学习、探究学习等方式，引导学生积极参与复习过程，提高学习效率。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习物理的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到物理学习的乐趣。
二、教学内容1. 复习本章所学的基本概念、基本规律，包括光的直线传播、光的反射、光的折射、电压、电流、电阻等。
2. 分析本章重点实验，引导学生掌握实验原理、操作步骤和实验现象。
3. 结合生活实例，探讨本章所学知识在生活中的应用。
三、教学过程1. 课堂导入（5分钟）引导学生回顾本章所学内容，为新课复习做好铺垫。
2. 自主学习（15分钟）学生自主复习本章基本概念、基本规律，巩固所学知识。
3. 合作学习（20分钟）学生分组讨论，分析本章重点实验，总结实验原理、操作步骤和实验现象。
4. 探究学习（20分钟）结合生活实例，引导学生探讨本章所学知识在生活中的应用，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
5. 课堂小结（5分钟）对本章复习内容进行总结，强调重点知识，解答学生疑问。
6. 课后作业（课后自主完成）布置适量作业，巩固复习成果，提高学生运用所学知识解决问题的能力。
四、教学策略1. 采用问题驱动法，引导学生主动参与复习过程，提高学习兴趣。
2. 利用实验现象，激发学生的好奇心，增强学生对物理学习的热情。
3. 结合生活实例，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
4. 注重个体差异，给予学生个性化的指导和关爱，提高学生的自信心。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对复习内容的掌握程度。
3. 课后访谈：与学生进行课后交流，了解学生的学习感受，收集教学反馈。
六、教学资源1. 教材：九年级物理教材。
人教版高中数学必修第一册第一章 集 合 章末复习课
3.设集合 A＝{x|x≤ 13}，a＝ 11，那么( D )
A.a A
B.a∉A
C.{a}∈A
D.{a} A
12345
答案
12345
4.设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，
那么(∁IM)∩(∁IN)等于( A ) A.∅
B.{d}
C.{b，e}
D.{a，c}
反思与感悟 解析答案
跟踪训练2 设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4x＋a＝0，a为
常数}，若B A，求实数a的取值范围.
解 由已知得A＝{1,2}.若B⊆A，则集合B有两种情况，B＝∅或B≠∅.
当B＝∅时，方程x2－4x＋a＝0无实根，∴Δ＝16－4a<0，∴a>4.
当B≠∅时，若Δ＝0，则有a＝4，B＝{2}⊆A满足条件；
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 1 设 a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则 b－a＝__2__. 解析 因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0， 所以 a＋b＝0，得ba＝－1， 所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
解析答案
类型二 集合间的基本关系 例2 若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的 可能取值组成的集合. 解 由题意得，P＝{－3,2}. 当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P； 当 a≠0 时，方程 ax＋1＝0 的解为 x＝－1a， 为满足 S⊆P，可使－1a＝－3，或－1a＝2，即 a＝13，或 a＝－12. 故所求集合为0，13，－12.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练4 学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来 又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学， 两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？ 解 设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}， 则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}. 画出Venn图(如图)， 可知没有参加过比赛的同学有： 45－(12＋20－6)＝19(名). 答 这个班共有19名同学没有参加过比赛.
人教版七年级上册数学教学课件 第一章 章末复习与小结
章末复习与小结
知识网络 要点回顾
重难突破 课后习题
知识网络
有理数
有理数的运算
点与数的对应
数轴
比较大小
加法
减法
交换律 结合律
乘法
除法
乘方
分配律
要点回顾
一、正数和负数 1.小学学过的除0以外的数都是正数. 在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数.
2.用正、负数表示具有相反意义的量
二、有理数 1.有理数的概念 整数和分数统称有理数
，表示的数的绝对值为它本身的点是点__C____； （2）点A到点C的距离是__4____；
（3）把点A，B，C对应的数的绝对值按大小顺序排列，并用“>”连接
:_____|_-3_|_>_|-_1_._5_|>_1____； （4）点A对应的数的倒数与点C对应的数的2019次方的和是__2_3___.
重难突破 2 有理数的运算
例2 （5分）计算：-12× 1 -(- 1 )3÷(- 1 ).
22
4
解：原式=-1× 1 -(- 1 )÷(- 1 ) （2分）
28
4
=-1× 1 -(- 1 )×(-4) （2.5分） 28
=- 1 - 1 （4.5分） 22
=-1. （5分）
重难突破 3 有理数的实际应用
1.1≤a＜10 2.n为原数的整数位减去1
五、近似数 1．按照要求取近似数
四舍五入到某一位，就说这个数近似数精确到那一位． 2．由近似数判断精确度
重难突破 1 有理数的相关概念
例1 点A，B，C在数轴上的位置如图所示.
（1）表示整数的点是___点___A_，__C___，表示负数的点是___点__A__，__B___
新人教版高中数学必修第一册第二章章末复习课
D.(a－b)x<(a－b)y
当a≠0时，|a|>0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向 不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y， 故|a|x≥|a|y.
反思感悟
不等式及其性质的两个关注点 (1)作差法是比较两个实数大小的基本方法. (2)应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条 件；当判断不等式是否成立时，常常选择特殊值法.
例2 (1)若0<x<2，则x(2－x)的最大值是
√ 3
1
A.2 B.2 C.1 D.2
因为0<x<2， 所以 2－x>0，x(2－x)≤x＋22－x2＝1， 当且仅当x＝2－x，即x＝1时，等号成立.
所以x(2－x)的最大值为1.
(2)若 x>0，则 x＋2x＋2 1－32的最小值是__0___.
跟踪训练4 已知x>0，y>0，且 x＋2 1＋1y＝2，若x＋2y>m2－3m－1恒成立，则实
数m的取值范围是 A.m≤－1或m≥4
√C.－1<m<4
B.m≤－4或m≥1 D.－4<m<1
由x＋2 1＋1y＝2 得 2y＋x＋1＝2(x＋1)y，所以 x＋1＝2xy，所以 2y＝1＋1x， 所以 x＋2y＝x＋1x＋1≥2 x·1x＋1＝3，当且仅当 x＝1，y＝1 时，等号成立， 所以(x＋2y)min＝3， 所以x＋2y>m2－3m－1恒成立，可化为3>m2－3m－1，即m2－3m－ 4<0， 解得－1<m<4.
跟踪训练3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1；
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随堂演练
基础巩固
1.已知二次函数y=-x2+4x+5，则当x= 2 时，其最大值 为 9 .
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(-1，-3.2) 及部分图象(如图),由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0 的两个根分别是x1=1.3和x2= -3.3 .
3.设A(-2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+a上的 三点，则y1，y2，y3的大小关系为( A ) A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
（黑龙江牡丹江中考）已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点
的横坐标为x1,x2(x1<x2)，则对于下列结论： ①当x=-2时，y=1；
②方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1，x2； 其中正确的结论有 ①②
2 1 4 k ③x2 x1 . k
（只需填写序号即可）.
现价 涨价 进价/元 30 售价/元 40 数量/件 600 600-10x
30
40+x
解：(1) y=(40+x-30)(600-10x) =-10x2+500x+6000. (0≤x≤60)
(2) 设某月的利润为 10000 元， 10000 元的利润是否为该 月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求 出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元？ y=-10x2+500x+6000. (2)10000元不是最大利润， y (0≤x≤60) y =-10x2+500x+6000 =-10(x-25)2+12250. 当x=25时有最大利润， 即售价为65元时，有最大 O 60 利润12250元. -10
8 9a 3b c， 则 0 a b c， 5 c.
a 1， 解得 b 4， c 5.
∴该二次函数关系式为y=-x2+4x+5
(2)顶点M的坐标为(2，9)，
对称轴为直线x=2,则B点坐标为(5，0)，
过M作MN⊥AB于N，则
与x轴的交点：
(3 14，， 0) (3 14， 0). 与y轴的交点： (0， 5 ). 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6 4 2
O
-2 -4 -6
2
4
6
8
10
x
(4)根据图象说出：x为何值时，y随x的增大而增大？ x为何值时,y随x的增大而减小？ y y 1 x2 3 x 5 .
2 2
当x>3时，y随x的增大而增大. 当x<3时，y随x的增大而减小.
S四边形ABMD =S△AOD+S梯形DONM +S△MNB
1 1 1 1 5 5 9 2 9 3 2 2 2
y=-x2+4x+5
=30. 故四边形ABMD的面积为30.
(0,5) (5,0) (-1,0)
拓展延伸
6.某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月 能售出 600 个，调查表明：这种书包的售价每上涨 1 元， 其销售量就减少10个. (1) 请写出每月售出书包的利润 y( 元 ) 与每个书包涨价 x(元)间的函数关系式； 分析：
(2) 0 1 ( x 3)2 7. 2
解得x 3 14
与x轴的交点：
(3 14，， 0) (3 14， 0). 与y轴的交点：(0， 5 ). 2
1 2 5 (3)画出函数图象(草图)；y 2 x 3 x 2 . y
开口:向上， 对称轴:x=3, 顶点坐标:(3，-7).
8
专题训练二 平移规律问题
将抛物线y=x2+2x-3向左平移4个单位长度，再向下平移3 个单位长度，求平移后所得抛物线的解析式.
y=x2+2x-3
转化成
顶点式y=(x+1) 2-4
y=(x+5) 2-7
向下平移3
y=(x+5) 2-4
专题训练三 字母系数及相关代数式正负的判断
（辽宁盘锦）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部
分，对称轴是直线x=-2.关于下列结论：①ab<0;②b2-4ac>0; ③9a-3b+c<0 ; ④b-4a=0 ; ⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0, y x2=-4. 其中正确的结论有（ B ） A.①③④ B.②④⑤ C.①②⑤ D.②③⑤ -4 -2 O
x
专题训练四 二次函数与一元二次方程的关系
x
课后作业 1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
教学反思
本课时是对本章知识点的全面总结，教学时，教师 注重引导学生回忆知识点并构建知识结构框图，同时辅 以典型例题，复习和巩固所学知识点，最后教师详细讲 解解题思路和分析过程.
章末复习
R· 九年级上册
旧知回顾
这节课我们对本章所学知识作一回顾和小结.
(1)进一步加深对二次函数的概念、图象以及它的性质的理解. (2)能感受函数思想、建模思想和转化思想.
重点：二次函数的图象和性质. 难点：应用二次函数解决实际问题.
知识结构
专题训练一 二次函数的图象与性质
已知：抛物线y=2x2-4x-6. (1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； y (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标； 1 O (3)当x为何值时，y随x的增大而增大？ 将抛物线解析式转化成顶点式： y=2x2-4x-6=2(x-1)2-8
4.已知抛物线y 1 x 2 3 x 5 . 2 2
(1)求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
解:(1) y 1 x 2 3 x 5 . 2 2 1 ( x 3)2 7. 2 开口:向上， 对称轴:x=3, 顶点坐标:(3，-7).
8
x
解:(1)开口向上，对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，-8). (2)令y=0,得2x2-4x-6=0,解得x1=-1,x2=3. 令x=0,得y=-6.所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)，(3,0)， y 与y轴的交点坐标为(0，-6). 1 x (3)当x≥1时，y随x的增大而增大. O
6 4 2
O
-2 -4 -6
2
4
6
8
10
x
综合应用 5. 如图 , 已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C(3,8), 与 x 轴交于 A(-1,0) ， B两点,与y轴交于点D(0,5)． (1)求该二次函数的关系式； (2)求该抛物线的顶点M的坐标,并求四边形ABMD的面积．
解:(1)∵抛物线过点(3,8)，(-1,0)，(0,5)，