10组合变形

第八章 组合变形
§8-1 组合变形的概念 §8-2 斜弯曲 拉伸(压缩 压缩)与弯曲的组合变形 §8-3 拉伸 压缩 与弯曲的组合变形 §8-4 扭转与弯曲的组合变形
§8-1 组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（ ）、扭转、平面弯曲。 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。 扭转 由两种或两种以上基本变形组合的情 况称为组合变形。 况称为组合变形。 所有由基本变形组合产生的杆件内力 称为复合抗力。 称为复合抗力。
100 × 10 5000 σt = + = 20MPa 2 −6 . 100 × 200 × 10 0.2 × 01 6
3
例9
直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受 的圆截面水平直角折杆， 直径为 的圆截面水平直角折杆
垂直力P=0.2kN，已知［σ］=170MPa。试用 ，已知［ ］ 垂直力 。 第三强度理论确定ａ的许可值。 第三强度理论确定ａ的许可值。
425×10−3 F ×0.125 F = − 5.31×10−5 15×10−3 = 934F(Pa)
F
350
σt.max = 667F σc.max = 934F
M
（4）求压力F
FN
σt.max = 667F ≤ [σt ]
[σt ] = 30×106 = 45000N F≤
667 667
σc.max =934F ≤ [σc ]
1
z0
z1
150
50 150
（2）立柱横截面的内力 50 FN = F M = F (350 + 75)× 10 −3
= 425 F × 10 −3 (N.m )
A = 15000 mm 2 z0 = 75mm z1 = 125mm
（2）立柱横截面的内力 FN = F M = 425 × 10 −3 F (N.m )
M +T W
2 2
2
≤[σ]
2
M + 0.75T W
3
≤[σ]
πd
32
图示悬臂梁的横截面为等边三角形， 例3 图示悬臂梁的横截面为等边三角形， C为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方 为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方 为形心 ｑ， 向及位置如图所示，该梁变形有四种答案： 向及位置如图所示，该梁变形有四种答案： A）平面弯曲； （√ ）平面弯曲； （C）纯弯曲； ）纯弯曲； （B）斜弯曲； ）斜弯曲； （D）弯扭结合。 ）弯扭结合。
Mz y My σ′=− sin ϕ =− Iz Iz
σ ′′ = −
My z Iy
Mz =− cos ϕ Iy
Py
Mz
Pz
My
y z σ = σ ′ + σ ′′ = − M sin ϕ + cos ϕ I Iy z
下面确定中性轴的位置： 下面确定中性轴的位置： 设中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0，则
σt.max
σc.max
[σc ] = 120×106 =128500N F≤
934 934
F 许可压力为 ≤ 45000N = 45kN
一折杆由两根圆杆焊接而成， 例2 一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆 杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σt和 ，试求圆杆的最大拉应力 杆直径 最大压应力 σc 。
σ c FN M y M z P Pa Pb = m m =− m 2 m 2 σt cd A W y Wz cd d c
6 6
下面求截面核心：
FN M y M z P Pa Pb σt = + + =− + 2 + 2 =0 cd A W y Wz cd d c 6 6
a b 1 + = c d 6
压弯组合变形
拉弯组合变形
压弯组合变形
在复合抗力的计算中， 在复合抗力的计算中，通常都是由力作用 的独立性原理出发的。在线弹性范围内，可以 独立性原理出发的。在线弹性范围内， 出发的 假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起 的变形对其它载荷作用的影响可忽略不计。 实验表明，在小变形情况下， 实验表明，在小变形情况下，这个原理 是足够精确的。因此， 是足够精确的。因此，可先分别计算每一种基 本变形情况下的应力和变形，然后采用叠加原 本变形情况下的应力和变形，然后采用叠加原 理计算所有载荷对弹性体系所引起的总应力和 总变形。 总变形。
Me=300N.m。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合力 =300N.m。两轴承中间的齿轮半径R=200mm R=200mm， F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ〕=100 。试按第三强 =1400N，轴的材料许用应力〔 =100MPa。 度理论设计轴的直径d。
解：（1）受力分析，作 受力分析， 计算简图
σ t FN M y M z = ± ± σ c A W y Wz
Ph Pb 7P + P 2 ± 2 bh = ± 2 2 = bh bh hb 5P − 6 6 bh
求图示杆在P=100kN作用下的 t数值， 作用下的σ 例8 求图示杆在 作用下的 数值， 并指明所在位置。 并指明所在位置。
解：(1) 最大拉应力发生在后背面上各点处
例10 圆截面水平直角折杆，直径d=60mm， 圆截面水平直角折杆，直径 ， 垂直分布载荷q=0.8kN/m;［σ］=80MPa。试 ［ ］ 垂直分布载荷 。 用第三强度理论校核其强度。 用第三强度理论校核其强度。
传动轴左端的轮子由电机带动， 例11 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
图示Z形截面杆 形截面杆， 例4 图示 形截面杆，在自由端作用一集中 力P，该杆的变形设有四种答案： ，该杆的变形设有四种答案： （A）平面弯曲变形； （B）斜弯曲变形； ）平面弯曲变形； √ ）斜弯曲变形； （C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。 ）弯扭组合变形； ）压弯组合变形。
具有切槽的正方形木杆， 例5 具有切槽的正方形木杆， 受力如图。 受力如图。求： （1）m-m截面上的最大拉 ） 截面上的最大拉 应力σ 和最大压应力σ 应力 t 和最大压应力 c； 是截面削弱前的σ 2） （2）此σt是截面削弱前的σt 值的几倍？ 值的几倍？
解：(1)
Pa σt N M P 4 = 2 + = ± a A W a σc a 2 2 6 8P 2 a = 4P − 2 a
2
图示偏心受压杆。 例6 图示偏心受压杆。试求该 杆中不出现拉应力时的最大偏心 距。 解：
FN − P,M = Pe
FN M P Pe σt = + =− + 2 =0 A W bh hb 6 b e= 6
k1
τ σ
σ σ τ
σ1
M σ= W T τ= Wt
2
k2
σ3
σ σ = ± + τ2 2 2
σ2 = 0
σ r 3 = σ 1 − σ 3 = σ 2 + 4τ 2
T M = + 4 W Wt
2
2
=
M +T W
2
2
W=
M T σ= , τ= W3 Wt 3
偏心拉伸杆， 例7 偏心拉伸杆， 弹性模量为E，尺寸、 弹性模量为 ，尺寸、 受力如图所示。 受力如图所示。 求：最大拉应力和最 大压应力的位置和数 值.
解：(1)
Ph Pb FN = P,M y = ,M z = 2 2
最大拉应力发生在AB线上各点 最大拉应力发生在 线上各点 最大压应力发生在CD线上各点 最大压应力发生在 线上各点
=
Iy Iz
tg ϕ
tg β = tgα
α
β =α
ϕ
中性轴 总挠度f与中 总挠度 与中 性轴垂直
β
挠曲线平面 载荷平面
ϕ
β
梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面 不重合， 不重合，这种弯曲称为 对于正方形或正多边形有：
Iy = Iz
β =ϕ
拉伸(压缩 压缩)与弯曲的组合变形 §8-3 拉伸 压缩 与弯曲的组合变形
F2R = Me
Me 300 F2 = = =1500N R 0.2
128.6N.m
（2）作内力图 危险截面E 左处
T = 300N.m
2 2 M = My + Mz =176N.m
120N.m
M σ= W T τ= Wp
M 2 +T 2 σ r3 = ≤ [σ ] W
M 2 + 0.75T 2 σ r4 = ≤ [σ ] W
σt
N A
M W
M W
偏心拉伸或压缩： 偏心拉伸或压缩：
y y z z
N P =− A cd
My Wy
=
Pa d c2 6
Mz Pb = Wz cd2 6
任意横截面上的内力： FN = − P,M y = Pa ,M z = Pb
FN M y z M z y P Pa z Pb y σ= + + = −( + 3 + 3 ) cd A Iy Iz cd d c 12 12
d 若a = 0，则b = 6 c 若b = 0，则a = 6
圆截面杆的截面核心
N = −P ，
M = Pa
Pa N M P σt = + =− + =0 2 3 A W πd πd 4 32 d a= 8
§8-4 扭转与弯曲的组合变形
A截面为危险截面： 截面为危险截面： 截面为危险截面
M = − Pl T = − Pa
§8-2 斜弯曲
一、应力计算 中性轴的位置
平面弯曲
斜弯曲
Py = P sin ϕ Pz = P cosϕ