2021届河南省开封市高三上学期一模考试数学(理)试卷及答案

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河南省开封市2023届高三一模考试理科数学试题(后附参考答案)

理科数学第页 (共4页)开封市2023届高三年级第一次模拟考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A =x 12<2x<8,B =-1,0,1,2 ,则A ɘB =A .2B .-1,0C .0,1,2D .-1,0,1,22.设命题p :∀x ɪR ,e xȡx +1,则¬p 是A .∀x ɪR ,e xɤx +1B .∀x ɪR ,e x<x +1C .∃x ɪR ,e x ɤx +1D .∃x ɪR ,e x<x +13.若3+4iz 是纯虚数,则复数z 可以是A .-3+4iB .3-4iC .4+3i D.4-3i4.已知әA B C 中,D 为B C 边上一点,且B D =13B C ,则A D ң=A .13A C ң+23AB ңB .23AC ң+13A B ңC .14A C ң+34A B ңD .34A C ң+14A B ң5.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为A .3π6B .3π3C .3πD .π36.如图为甲㊁乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图,已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为A .4B .2C .3 D.27.已知x +y -3ɤ0,x -y +1ȡ0,x ȡ0,y ȡ0,则x +2y 的最大值为A .2B .3C .5 D.68.设f (x )是定义域为R 的偶函数,且在[0,+ɕ)上单调递减,则满足f (x )<f (x -2)的x 的取值范围是A .(-ɕ,-2)B .(-2,+ɕ)C .(-ɕ,1)D .(1,+ɕ)1理科数学第页 (共4页)9.已知数列a n 的前n 项和S n =2n +1-2,若p +q =5(p ,q ɪN *),则a p a q =A .8B .16C .32D .6410.已知点P (x ,y )到点F 1(-3,0)和点F 2(3,0)的距离之和为4,则x yA.有最大值1B .有最大值4C .有最小值1 D.有最小值-411.如图,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,点M ,N 分别是A 1D ,D 1B 的中点,则下述结论中正确的个数为①MN ʊ平面A B C D ;②平面A 1N D ʅ平面D 1M B ;③直线MN 与B 1D 1所成的角为45ʎ;④直线D 1B 与平面A 1N D 所成的角为45ʎ.A .1B .2C .3D .412.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x ),存在点x 0,使得f (x 0)=x 0,那么我们称该函数为不动点函数.若函数f (x )=x (a e x-l n x )为不动点函数,则实数a 的取值范围是A .(-ɕ,0]B .-ɕ,1eC .(-ɕ,1]D .(-ɕ,e ]二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数f (x )=A s i n x -c o s x 的一个零点为π6,则f 5π12=.14.已知点A (1,0),B(2,2),C 为y 轴上一点,若øB A C =π4,则A B ң㊃A C ң=.15.3D 打印是快速成型技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6c m ,下底直径为9c m ,高为9c m ,则喉部(最细处)的直径为c m.16.在数列a n 中,a 1=1,a n +2+(-1)n a n =2(n ɪN *).记S n 是数列a n的前n 项和,则S 4n =.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a c o s B +C2=b s i n A ,2a =3b .(1)求c o s B 的值;(2)若a =3,求c .2理科数学第页 (共4页)18.(12分)甲㊁乙两人组成星队参加猜成语活动,每轮活动由甲㊁乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为23,乙每轮猜对的概率为p .在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.已知星队在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12.(1)求p 的值;(2)记星队在两轮活动中猜对成语的总数为X ,求X 的分布列与期望.19.(12分)如图,әA B C 是正三角形,在等腰梯形A B E F 中,A B ʊE F ,A F =E F =B E =12A B .平面A B C ʅ平面A B E F ,M ,N 分别是A F ,C E 的中点,C E =4.(1)证明:MN ʊ平面A B C ;(2)求二面角M -A B -N 的余弦值.20.(12分)已知函数f (x )=2s i n x -a x ,a ɪR .(1)若f (x )是R 上的单调递增函数,求实数a 的取值范围;(2)当a =1时,求g (x )=f (x )-l n (x +1)在0,π6上的最小值;(3)证明:s i n12+s i n 13+s i n 14+ +s i n 1n >l n n +12.3理科数学第页 (共4页)21.(12分)如图1所示是一种作图工具,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ,N ,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN |=3,D 为旋杆上的一点且在M ,N 两点之间,且|N D |=λ|DM |.当滑标M 在滑槽E F 内做往复运动,滑标N 在滑槽G H 内随之运动时,将笔尖放置于D 处进行作图,当λ=1和λ=2时分别得到曲线C 1和C 2.如图2所示,设E F 与G H 交于点O ,以E F 所在的直线为x 轴,以G H 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 1和C 2的方程;(2)已知直线l 与曲线C 1相切,且与曲线C 2交于A ,B 两点,记әO A B 的面积为S ,证明:S ɤ378.(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程为x =2pt y =2pt 2(t 为参数),(2,4)为曲线C 上一点的坐标.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程;(2)过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ,B ,以直线O A 的斜率k 为参数,求线段A B 的中点M 的轨迹的参数方程,并化为普通方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +a |+2|x -1|.(1)当a =1时,求f (x )的最小值;(2)若a >0,b >0时,对任意x ɪ[1,2]使得不等式f (x )>x 2-b +1恒成立,证明:a +122+b +122>2.4开封市2023届高三年级第一次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案C D D A B BCDCACB二、填空题（每小题5分，共20分）13.14.515.16.24+2n n三、解答题（共70分）17.（1）因为A B C π++=，所以222B C A π+=-，得cos sin 22B C A+=，……1分由正弦定理，可得sin sin sin sin 2A A B A ⋅=⋅，sin 0A ≠，所以sin sin 2AB =，……2分又因为,A B 均为三角形内角，所以2AB =，即2A B =，……3分又因为23a b =，即2sin 3sin A B =，即4sin cos 3sin B B B =，……4分sin 0B ≠，得3cos 4B =；……5分（2）若3a =，则2b =，由（1）知3cos 4B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得29502c c -+=，……7分即()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以2c =或52，……9分当2c =时，b c =，则22A B C ==，即ABC ∆为等腰直角三角形，又因为a ≠，此时不满足题意，……11分所以52c =.……12分18.（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12，所以()2211+1=332p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得1=2p .……4分（2）设i A 表示事件“甲在两轮中猜对i 个成语”，i B 表示事件“乙在两轮中猜对i 个成语”()0,1,2i =，根据独立性假定，得()()()012111124224===2===339339339P A P A P A ⨯⨯⨯⨯，()()()012111===424P B P B P B ，，，……6分X 的可能取值为0,1,2,3,4，所以()()001110===9436P X P A B =⨯()()()0110114131=+=+=929418P X P A B P A B =⨯⨯()()()()021120114141132=++=++=94929436P X P A B P A B P A B =⨯⨯⨯，()()()1221414133=+=+=94929P X P A B P A B =⨯⨯，()()224114===949P X P A B =⨯X 的分布列如下表所示：X 01234P13631813363919……10分()1313311=0+1+2+3+4=2.361836993E X ⨯⨯⨯⨯⨯……12分19.（1）取CF 的中点D ，连接DM DN ，，M N ，分别是AF CE ，的中点，DM AC DN EF ∴∥，∥，又DM ABC AC ABC ⊄⊂ 平面，平面，.DM ABC ∴∥平面……2分又EF AB ∥，DN AB ∴∥，同理可得，DN ABC ∥平面.……3分=DM MND DN MND DM DN D ⊂⊂ 平面，平面，，.MND ABC ∴平面∥平面……5分.MN MND MN ABC ⊂∴ 平面，∥平面……6分（2）取AB 的中点O ，连接OC OE ，.由已知得=OA EF ∥，OAFE ∴是平行四边形，=OE AF ∴∥.ABC ∆ 是正三角形，OC AB ∴⊥，ABC ABEF ⊥ 平面平面，=ABC ABEF AB 平面平面，OC ABEF∴⊥平面，又OE ABEF ⊂平面，OC OE ∴⊥.……7分设1====2AF EF EB AB a ，OC ，在Rt COE ∆中，由222+=OC OE CE ，解得=2a ，即1====22AF EF EB AB (8)分取EF 的中点P ，连接OP，则OP AB ⊥，以O 为原点，OP OB OC ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立直角坐标系如图所示.则()()310,2,022A C E N -⎝，，，，()1=0,2,0=,22OA ON -⎝ ，，由已知易得，平面ABM 的一个法向量为(=OC，……9分设平面ABN 的法向量为()=,,x y z n ,则2=0=01=022y OA x y ON -⎧⎧⋅⎪⎨+⋅⎪⎪⎩⎩ ，，即，，n n 取2x =，则平面ABN 的一个法向量为()=2,0,1-n .……10分cos ,O OC OC C ⋅〈〉==∴n n n 分二面角--M AB N 为锐角，∴二面角--M AB N ……12分20.（1）由已知可得：0cos 2)(≥-='a x x f ，……1分即x a cos 2≤恒成立，则有]2,(--∞∈a .……3分（2）由已知可得：111cos 2)(+--='x x x g，令()=()h x g x '，21()2sin (1)h'x x x =-++在[0,6π上单调递减，……4分又因为，(0)h'0>，(6h'π0<，所以存在6,0(0π∈x 使得()0h'x =，……5分则有又有115(0)=0(1101631162g g ππ''=-->--->++，，所以在(0,6π上)(x g '0>，……7分则)(x g 在]6,0[π∈x 上单调递增，所以最小值为0)0(=g .……8分（3）由（2）可得x x x ++>)1ln(sin 2在(0,)6π上恒成立，令()()=ln +1x x x ϕ-，在(0,)6π上()=0+1x 'x x ϕ>，所以()x ϕ单调递增且(0)0ϕ=，所以ln(1)x x >+，)1ln(2sin 2+>x x ，从而当(0,)6x π∈时)1ln(sin +>x x ，……10分令n x 1,,41,31,21 =，得到23ln 21sin >，34ln 31sin >，45ln 41sin >，⋯，nn n 1ln 1sin +>，相加得：11111sin sin sin sin ln2342n n +++++> .……12分21.（1）由题意，=ND DM λ，设()()()00,,00,，，，D x y M x N y 所以()()00,=,=---，，ND x y y DM x x y ()()00,=,---，x y y x x y λ……1分由()()00==-⎧⎪⎨--⎪⎩，，x x x y y y λλ解得()()001+==1+⎧⎪⎨⎪⎩，，x x y y λλλ又因为2200+=9，x y 所以()()222221++1+=9，x y λλλ……3分将=1=2λλ和分别代入，得2219+=4：C x y ……4分222+=1.4x C y ：……5分（2）①直线l 斜率不存在时，3=2l x ±：，带入2C方程得ABS 分②直线l 斜率存在时，设=+l y kx m ：，l 与曲线1C()229+13=24k m ，即，……7分联立22+=14=+x y y kx m ⎧⎪⎨⎪⎩，，可得()2221+4+8+44=0k x kmx m -，x),0(0x )6,(0πx ()h'x 正负)(x g '递增递减()()222225=641614107k m k m k ∆-+->>由得，()2121222418==1414m km x x x x k k--+，，……8分1222=1+41+4AB x k k-，……10分()4224247+25=16+8+1k k AB k k -，因为()()422424247+2572487=016+8+14416+8+1k k k k k k k ----<，所以2AB <，8S <.……11分综合①②可证，S ……12分22.（1）消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4带入可得12p =，……2分所以曲线C 的普通方程为：y x =2.……4分（2）由已知得：OB OA ,的斜率存在且不为0，设OA 的斜率为k ，方程为kx y =，则OB 的方程为：x ky 1-=，联立方程2y kx x y =⎧⎨=⎩，，可得：()2,k k A ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，……6分设()y x M ,，所以22112112x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，，……8分所以=24x 222122-=-+y kk ，所以=22x 1-y 即为点M 轨迹的普通方程.……10分23.（1）当1a =时，()121-++=x x x f ，当()()()min 1,31,14;x f x x f x f ≤-=-+=-=当()()()11,3,2,4;x f x x f x -<<=-+∈当()()()min 1,31,12;x f x x f x f ≥=-==……2分∴当1a =时，()f x 的最小值为2.……4分（2）00a b >>，，当12x ≤≤时，221+1x a x x b ++-->可化为233a b x x +>-+……6分令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()max 11h x h ==，∴1a b +>，……8分∴()222221111222222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=+++++++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥.……10分。

河南省开封市数学高三上学期理数第一次统一考试(1月)试卷

河南省开封市数学高三上学期理数第一次统一考试（1月)试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合A={x∈R |x2=x }，B={x∈R||x|=x }，则集合M={0，1}=（）A . BB . A∩BC . A∪BD . A∩CRP2. （2分）(2017·泉州模拟) 若复数z满足z（2﹣i）=i，则|z|=（）A .B .C .D .3. （2分）在的二项展开式中任取2项，表示取出的2项中有i项系数为奇数的概率. 若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数i，则随机变量的数学期望（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二上·邯郸期末) 在等差数列{an}中，a2=3，a5+a7=10，则a1+a10=（）A . 9B . 9.5C . 10D . 115. （2分） (2019高一上·沈阳月考) 甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一下·哈尔滨月考) 设a，b，c，d均为大于零的实数，且abcd＝1，令m＝a（b+c+d）+b（c+d）+cd，则a2+b2+m的最小值为（）A . 8B . 4+2C . 5+2D . 47. （2分） (2018高二下·惠东月考) 函数的图象是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高一上·西安期末) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A . 20πB . 24πC . 28πD . 32π9. （2分）若点O和点F(-2,0)分别为双曲线（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A . [3- ，）B . [3+ ，）C . [，）D . [，）10. （2分）(2016·连江模拟) 已知集合A= ，则A∩B=（）A . [﹣3，1]B . （0，1]C . [﹣3，2]D . （﹣∞，2]11. （2分） (2018高一下·宜宾期末) 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A .B . ，则C .D .12. （2分） (2019高三上·汕头期末) 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，，，若，则（）A . 64B . 65C . 71D . 72二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·广东模拟) 已知均为单位向量，它们的夹角为，则 ________14. （1分）(2016·新课标Ⅲ卷文) 设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为________．15. （1分） (2020高二上·那曲期末) 设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程是________。

河南省开封市2021届高三第一次模拟考试

河南省开封市2021届高三第一次模拟考试一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

唐宋时期是中国正统诗文发展的高峰，从唐至今，诗文选本有一两千种，现存的这一两千种唐宋诗文选本可分为唐诗选本、唐文选本、唐诗文选本、宋诗选本、宋文选本、宋诗文选本、唐宋诗选本、唐宋文选本八类，这八类选本具有很高的学术价值和文化价值，但当代的整理研究工作却相对滞后。

从文化价值来看，选本作为传播中华优秀传统文化的重要载体，在当下的境遇还不尽如人意。

要改变这一现状，应从两方面入手：学术层面上，应加大对古代优秀选本整理的力度。

现在唐人选唐诗已有较完善的整理本，但宋代至清代的选本，有许多沉埋在图书馆或博物馆中。

普及层面上，与广大受众对唐宋诗文的喜爱形成强烈对比的是，目前流行的选本尤其是新选新注本数量太少，影响不大。

唐诗选本最流行的是中国社科院文学所编的《唐诗选》，有较高的学术水平，但毕竟是40年前的作品，且选诗数量较少。

2013年出版的刘学锴先生《唐诗选注评鉴》是一部非常优秀的唐诗选本，该书集逸、注、评、鉴为体，学术性很强通俗性稍有不足。

钱锺书先生的《宋诗选注》久负盛名，但选诗与注释过分展现学者的学术个性，选诗数量少。

除此之外，还有一两种宋诗选本行世，但影响面有限。

建议将人民文学出版社的《唐诗选》《宋诗选注》《唐文选》《宋文选》等选本列入大中学生的参考书目，并推出导读系列丛书。

（摘编自丁放《唐宋诗文选本的现代价值》）1．下列关于原文内容的理解和分析，不正确的一项是（3分）A．尽管现存的唐宋诗文选本价值很高，但当代学者的挖掘、整理、研究仍有很大的空间。

B．一些家族性、地域性选本中的材料更丰富，不少异文对研究古代诗歌有重要意义。

C．南宋吕祖谦的《古文关键》开古文评点之先河，引导了明清两代文学发展的走向。

D．《唐诗选注评鉴》《宋诗选注》等选本体现了选者极高的学术水平，但通俗性不足。

河南省开封市2021届高三第三次模拟考试理科数学试题(含答案)

12
又 n=1时满足上式.…………11 分
所以，当 n N* 时， Sn =2n+1 4n+2 .…………12 分 18.（1）证明:由已知 BAP=CDP=90 ，得： AB AP，CD PD ，由 AB∥CD ，故： CD AP ，又因为 AP PD=P ，所 CD 平面PAD ，…………3 分
B.甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分
C.甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理、化学、历史
D.对甲而言 ,物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果
5.已知ssiinn2αα= 22,则cos2α=
20.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,P 是抛物线C 上一点,且满足 FP→=(0,-2). (1)求抛物线 C 的方程; (2)已知直线l 与抛物线C 交于 A,B 两点,且|AB|= 15,线段 AB 的中点 M 在直线
x=1 上 . (i)求直线l 的方程; (ii)证明 :|FA→|,|FP→|,|FB→|成等差数列 ,并求该数列的公差 .
D.1,+ ∞
2.设复数z 满足|z|=|z-i|=1,且z 的实部大于虚部,则z=
31 A.2 -2i
31 B.2 +2i
13 C.2- 2i
13 D.2+ 2i
3.“方程mx-21-my+22=1 表示双曲线 ”的一个必要不充分条件为
A.m ∈ -∞,-1 ∪ 1,+∞
2 D.π
8.某几何体的三视图如右图所示 ,关于该几何体有下述四个结论 :

河南省开封市2021届高三第一次模拟考试理科数学答案

从马拉松比赛的频率分布直方图可知成绩好于 210 分钟的累积频率为
0.0008 50+0.0024 210 200 =0.064，有 6.4% 的跑者成绩超过该跑者，……10 分
则该跑者在本次比赛获得的名次大约是 0.064 3000=192名. ……12 分
20.
解：（1）因为
P 1，22
在椭圆 C
又 E，F 分别为棱 A1B1，CD 的中点，所以 A1E =DF ，
所以 A1EFD 是平行四边形，所以 EF∥A1D .……2 分因为 AB EF ，所以 AB A1D ，又 AB AA1 ， A1D AA1 =A1 ，所以 AB 平面ADD1A1 ， AD 平面ADD1A1 ，所以 AB AD .……5 分
（理科） ·1·
B
a,
0,
0，E
a 2
,
0,
a
，F
a 2
,
a,
0
，BE =
a 2
,
0,
a
，BF=
a 2
,
a,0
，
设平面
BEF
的法向量为
n
x,
y,
z
，则
n n
BE=0， BF =0，
a 2 a 2
x+az=0， x+ay=0，
令 z=1，∴ n
cos AD1, n
2,1,1 ，……9 分
AD1 n AD1 n
3 3 ，……11
分
∴二面角 B EF D 的余弦值为 3 .……12 分 3
19.解：（1）由散点图中数据和参考数据得 x = 4.5+5+6+7+7.5 =6，y =135，……2 分 5

2021届开封市高考数学模拟试卷及答案

A. x0 R, x0 ln x0 ≤ 0
B. x0 R, x0 ln x0 0
C. x R, x ln x ≤ 0
D. x R, x ln x 0
因为全称命题的否定是特称命题, 所以p : x0 R, x0 ln x0 ≤ 0,故选A
4. 等比数列{an }的前n项和为Sn , 若a2 S3 0, 则公比q
单位以后得到的图象与函数y k sin x cos x (k 0)的
图象关于
3
,
0
对称,
则k
m的最小正值是(
)
A. 2 4
3
B. 2 4
5
C. 2 12
7
D. 2 12
将y sin2 x cos2 x cos 2x向左平移m个单位, 得y
cos[2( x m)]
cos(2x
对于选项D, log3 e 3log e ln 3ln 3 33,
故D正确
10.已知空间四边形ABCD, BAC 2 , AB AC 2 3,
3 BD CD 6, 且平面ABC 平面BCD, 则空间四边形
ABCD的外接球的表面积为( A )
A. 60
B. 36
C. 24
(A )
A. 1
B. 1
C. 2
D. 2
因为a2 S3 0,所以a1 2a1q a1q2 0, 因为a1 0,所以1 2q q2 0, 解得q 1
5. 某商场经营的某种包装的大米质量 (单位：kg)服从
正态分布N (10, 2 ), 根据检测结果可知P(9.9 ≤ ≤10.1)
2. 若z 1 2i , 则 z ( B ) 1 2i
A. 3
B. 1

开封市2021届高三上学期第一次模拟考试理科数学试题(含答案)

上，所以
1 a2
+
1 2b2
=1 ，……1
分
又 e c = 2 ，a 2 =b2 +c 2，……2 分 a2
由上述方程联立可得 a2 =2，b2 =1 ，所以椭圆的标准方程为 x2 y2 1.……4 分 2
（2）设直线 PA 的方程为 y
2 2
k1( x 1)，……5
分
设 A（x1, y1），B（x2 , y2），
%$&!QÌªW@!ÉExH<XYZ[g# í$ +\1!.# í$ +xH<X~.
%"&{IMO]^\OïR!(BCñ 2 $(# _ ¦ I ` G !a b Z I ` G c d +
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-
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（理科） ·2·
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河南省开封市2021届高三上学期定位考试(10月) 数学 (理) Word版含答案

2021届高三数学练习（理科）一、选择题1. 已知集合{1,0,1,2}M =-，{|21,}N y y x x M ==+∈，则M N = AA. {1,1}-B. }2,1{C. {1,1,3,5}-D. {1,0,1,2}-2. 复数z 满足（1-i ）z=m+i （m ∈R, i 为虚数单位），在复平面上z 对应的点不行能在 DA. 第一象限B. 其次象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 已知命题p ：0x ，总有11x x e ，则p 为 BA.x ，使得11x x e B.x ，使得11x x eC. 0x，总有11xx eD. 0x，总有11xx e4. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 B A. 4 B. 5 C. 6 D.75. 有5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为（）ＣA 31B 32C 107D 1036. 函数y=4cosx-e |x|（e 为自然对数的底数）的图象可能是 AA B C D7. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 BA ．73B ．83π-C ．83D ．73π-8.已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则2y z x =的最大值是 B A ．13 B ．9 C ．2 D ．119. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上单调，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为 DA ．2πB ．2πC ．4πD ．π10. 如图,已知一个八面体的各条棱长均为1, 四边形ABCD 为正方形，则下列命题中的真命题是 CA.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o 或90o；B. 四边形AECF 是正方形；C. 点A 到平面BCE 的距离为64;D. 该八面体的顶点不会在同一个球面上.11．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||F Q QN =，则双曲线C 的离心率为 D A ．2 B ．3C ．5D ．612．已知变量a,b 满足b=－12a 2+3lna (a>0),若点Q(m,n)在直线y=2x+12上, 则(a-m)2+(b-n)2的最小值为 CA. 9B.C.D.3二、填空题13. 已知向量a =（1，3），b =（3, m ），且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 夹角为 30014. 设函数2log ,0()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩，且f （x ）为奇函数，则g （14-）= 2 15. 在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，则c = ．516．过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率是5三、解答题17. (本小题满分12分)已知数列{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1，b 2=13，a n b n+1+b n+1=nb n ．（Ⅰ）分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）令c n = a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n ．当n=1时，a 1b 2+b 2=b 1． ∵b 1=1，b 2=13， ∴a 1=2，又∵{a n }是公差为3的等差数列， ∴a n =3n-1，…………………………3分 ∴（3n-1）b n+1+b n+1=nb n ．即3b n+1=b n ．即数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列， ∴b n =113n -，…………………………6分（Ⅱ）c n = a n b n =（3n-1）113n -∴T n =2×013+5×13+8×213+……+（3n-1）113n - ① 13T n = 2×13+5×213+8×313+……+（3n-1）13n ② …………………………9分 ① - ②：23T n =2 +3×13+3×213+……+3×113n - -（3n-1）13n=2 + 3×1133113n---（3n-1）13n ∴T n = 214- 14（6n+7）31-n …………………………12分18. (本小题满分12分)随机询问某高校40名不同性别的高校生在购买食物时是否读养分说明，得到如下列联表：性别与读养分说明列联表（Ⅰ）依据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读养分说明之间有关系？（Ⅱ）从被询问的16名不读养分说明的高校生中，随机抽取2名同学，求抽到男生人数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．（注：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=为样本容量．）（Ⅰ）由表中数据，得635.667.620201624)481216(402>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ……4分（列式2分，计算1分，比较1分），因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读养分说明有关……5分（Ⅱ）ξ的取值为0，1，2……6分2011)0(216212===C C P ξ，52)1(21614112=⨯==C CC P ξ，201)2(21624===C C P ξ ξ的分布列为……10分ξ的均值为21201252120110=⨯+⨯+⨯=ξE ……12分．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，面11ABB A 为矩形，11,2,AB BC AA D ===为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点1,O BC AB ⊥. （Ⅰ）证明：1CD AB ⊥；（Ⅱ）若33OC =，求BC 与平面ACD 所成角的正弦值.（Ⅰ）证明：由已知得，12AB BB AD AB==, ∴Rt △BAD ∽Rt △ABB 1 ∴∠BDA=∠B 1AB, ∴∠ABD+∠B 1AB=∠ABD+∠BDA=90º∴在△AOB 中，∠AOB=180º -(∠ABO+∠OAB ) =90º,即BD ⊥AB 1 …………………………4分另BC ⊥AB 1，BD ∩BC=B ，∴AB 1⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD, ∴CD ⊥AB 1 …………………………6分 (Ⅱ) 在Rt △ABD 中，AB=1，AD=22 ∴AO=33在Rt △AOB 中, 得BO=63, 222BO CO BC ∴+= 即BO CO ⊥ CO AOB ∴⊥平面 ----8分建立如图坐标系，设BC 与平面ACD 所成的角为θ3633(,0,0),(0,,0),(0,0,),(0,,0),3333A B C D - 设平面ADC 的法向量为n.解得n=()1,1,1. 63210,,,sin .333n BC BC n BC θ⎛⎫⋅+=∴== ⎪⎝⎭即BC 与平面ACD 所成角的正弦值为2+1.3 12分20. （本题满分12分）如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线C 1：22(0)x py p =>的焦点，且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：221x y +=相切于点Q ．（Ⅰ）当直线PQ 的方程为20x y --=时，求抛物线C 1的方程；（Ⅱ）当正数P 变化时，记S 1 ，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求12S S 的最小值．解：（Ⅰ）设点P （x 0，202x p ），由x 2=2py （p ＞0）得，y=22x p ，求导y′=x p ，由于直线PQ 的斜率为1，所以0x p =1且x 0 -202x p -√2=0，解得p=22所以抛物线C 1 的方程为x 2=42．…………………………4分（Ⅱ）由于点P 处的切线方程为：y-202x p =0x p （x-x 0），即2x 0x-2py-x 02=0，∴ OQ 的方程为y=-p x x依据切线与圆切，得d=r ，即20220144x p=+，化简得x 04=4x 02+4p 2，由方程组2000220x x py x p y x x ⎧--=⎪⎨=-⎪⎩，解得Q （02x ，2042x p -），…………………………7分所以|PQ|=√1+k 2|x P -x Q |=222200020221||||o p x x x x p x p x +-+-=点F （0，2p ）到切线PQ 的距离是d=22220220||1244o p x x p x p --=++，所以S 1=222000112||||22p x x PQ d p x +-=2212o x p +=2220002||4x p x p x +-，S 2=01||||22||Q p OF x x =， …………………………9分而由x 04=4x 02+4p 2知，4p 2=x 04-4x 02＞0，得|x 0|＞2，所以22222210000022022||()(2)||42S x p x x x p x S p x p p +-+-== =242222000000422000(44)(2)(2)2(4)2(4)x x x x x x x x x +---=-- =20204424x x -+-+3≥22+3，当且仅当20204424x x -=-时取“=”号，即x 02=4+22，此时，p=222+．所以12S S 的最小值为22+3．…………………………12分21. (本小题满分12分)设函数f （x ）=（x ﹣a ）2lnx ，a ∈R ．（I ）若x=e 是y=f （x ）的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数y=f （x ）﹣4e 2只有一个零点，求实数a 的取值范围解：（Ⅰ）函数f （x ）=（x ﹣a ）2 lnx ，a ∈R ．∴ f′（x ）=2（x ﹣a ）lnx+2()x a x -=（x ﹣a ）（2lnx+1﹣a x ），…………………………2分由x=e 是f （x ）的极值点，所以f′（e ）=0 解得a=e 或a=3e ．经检验，a=e 或a=3e 符合题意，所以a=e 或a=3e ；…………………………4分（Ⅱ）由已知得方程f （x ）=4e 2只有一个根，即曲线f （x ）与直线y=4e 2只有一个公共点．易知f （x ）∈（﹣∞，+∞），设()2ln 1ah x x x =+-，①当a≤0时，易知函数f （x ）在（0，+∞）上是单调递增的，满足题意；…………………6分 ②当0＜a≤1时，易知h （x ）是单调递增的，又h （a ）=2lna ＜0，h （1）=1﹣a≥0， ∴∃x 0∈（a ，1），h （x 0）=0，当0＜x ＜a 时，f′（x ）=（x ﹣a ）（2lnx+1﹣ax ）>o∴f （x ）在（0，a ）上是单调递增，同理f （x ）在（a ，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增，又极大值f （a ）=0，所以曲线f （x ）满足题意；…………………………8分 ③当a ＞1时，h （1）=1﹣a ＜0，h （a ）=2lna ＞0， ∴∃x 0∈（1，a ），h （x 0）=0，即，得a ﹣x 0=2x 0lnx 0，可得f （x ）在（0，x 0）上单调增，在（x 0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增…………10分又f （a ）=0，若要函数f （x ）满足题意，只需f （x 0）<4e 2，即（x 0-a ）2lnx 0<4e 2 ∴x 02ln 3x 0<e 2, 由x 0>1，知g （x ）=x 2ln 3x>0,且在[1, ＋∞）上单调递增，由g （e ）=e 2，得1＜x 0＜e ，由于a=x 0+2x 0lnx 0在[1，+∞）上单调递增，所以1＜a ＜3e ；综上知，a∈（－∞，3e ）…………………………12分选考题22．（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲如图，EF 是⊙O 的直径，AB ∥EF ，点M 在EF 上，AM 、BM 分别交⊙O 于点C 、D 。

河南省开封市2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学含解析

开封市2024届高三年级第一次模拟考试数学（答案在最后）注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复平面内，复数(12)(2)i i -+的对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量(),1a m =- ，()1,2b m =+ ，若//a b ，则m =（）A.1- B.1C.1--D.1-+3.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若1231a a a ++=，2342a a a ++=，则6S =（）A.6B.8C.9D.124.若22log log 3a b +=，则a b +的最小值为（）A. B. C. D.5.现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的4100m ⨯接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（）A.84B.108C.132D.1446.a ，b 为实数，则“1a b >>”是“ln ln a b b a +>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知O 为坐标原点，过抛物线2:8C y x =焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，若||||AF AO =，则||AB =（）A.5B.9C.10D.188.记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数.若存在0x ∈R ，满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.若函数2()1f x ax =-与()ln()g x ax =存在“S 点”，则=a （）A.eB.2eC.1eD.2e二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要.求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设集合{}240A x x =-=，{}24B y y x ==-，则（）A.A B ⋂=∅B.A B A= C.A B B⋃= D.{}2,2A B =- 10.气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃，现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据的部分信息（记录数据都是正整数）.依据以下信息，能确定进入夏季地区的选项有（）A.甲地5个数据的中位数为24，众数为22B.乙地5个数据的中位数为25，平均数为24C.丙地5个数据的平均数为22，众数为22D.丁地5个数据中有一个数据是28，平均数为24，方差为4.811.已知圆22:(1)(2)2Mx y -++=，直线:330l x y -+=，P 是直线l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，切点为A ，则切线长||PA 取最小值时，下列结论正确的是（）A.||PA =B.||PA =C.PA 的方程可以是1y x =-+D.PA 的方程可以是71y x =+12.函数π()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π2个单位长度后与原图象关于x 轴对称，则下列结论一定正确的是（）A.π22f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.()f x 的一个周期是πC.π12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D.()f x 在π0,3ω⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2()1ax bf x x +=+是奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(2)f =______．14.已知双曲线221(0)x my m -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，垂直于x 轴的直线l 经过2F 且与双曲线交于A 、B 两点，若2AB =，则1cos AF B ∠=__________.15.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 3C =，3a b =，则cos A =__________.16.已知点S ，A ，B ，C 均在半径为2的球面上，ABC 是等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则四面体SABC 体积的最大值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π3A =，且2sin sin b c B C+=+.（1）求a ；（2）若ABC 的面积为2，求ABC 的周长.18.已知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，3136a a -=，且26a =.（1）求n a ；（2）记n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n S .19.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1DD 的中点.（1）求四面体1AB CE 的体积；（2）求平面1AB E 与平面1AB C 夹角的余弦值.20.已知直线:2(0)l y kx k =+≠与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>在第一象限交于A ，B 两点，E 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线AB ，OE 的斜率之积为12-.（1）求椭圆C 的离心率；（2）若直线l 与x 轴，y 轴分别相交于M ，N 两点，且||||MA NB =，||AB =C 的方程.21.已知函数()ln 1f x a x x =-+且()0f x ≤.（1）求a 的值；（2）证明：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin ()xx x f x ->.22.某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有23的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率.（1）从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望；（2）2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为45，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为14，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为13，如此往复.（i ）求甲第二天选择“单车自由行”的概率；（ii ）求甲第n （1n =，2，L ，16）天选择“单车自由行”的概率n P ，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数.开封市2024届高三年级第一次模拟考试数学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复平面内，复数(12)(2)i i -+的对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案.【详解】由题得(12)(2)43i i i -+=-，所以在复平面内该复数对应的点的坐标为(4,3)-，该点在第四象限.故选：D【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.已知向量(),1a m =- ，()1,2b m =+ ，若//a b ，则m =（）A.1-B.1C.1--D.1-+【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量共线的充要条件及向量坐标运算即得.【详解】由//a b可得(2)1m m +=-，解得1m =-.故选：A.3.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若1231a a a ++=，2342a a a ++=，则6S =（）A.6B.8C.9D.12【答案】C 【解析】【分析】由1231a a a ++=，2342a a a ++=，求得11,27a q ==，代入等比数列前n 项和公式求解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1231a a a ++=，2342a a a ++=，所以()2111a q q ++=，()2112a q q q++=，解得11,27a q ==，所以()()6616112179112q S a q --===--，故选：C4.若22log log 3a b +=，则a b +的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据对数运算法则可得8ab =，继而利用基本不等式即可求得最小值.【详解】因为222log log log 3a b ab +==，所以8ab =且0,0a b >>，所以a b +≥=当且仅当a b ==时，等号成立，故a b +的最小值为，故选：B.5.现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的4100m ⨯接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（）A.84B.108C.132D.144【答案】B 【解析】【分析】特殊位置优先排，分类求解可得.【详解】当甲跑第1棒时，则有35A 60=种选择方法；当甲跑第4棒时，乙参加比赛则有1224A A 24=种选择方法，乙不参加比赛则有34A 24=种选择方法．故合适的选择方法种数为602424108++=种．故选：B6.a ，b 为实数，则“1a b >>”是“ln ln a b b a +>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】令()ln f x x x =-，()0,x ∈+∞，利用导数说明函数的单调性，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】令()ln f x x x =-，()0,x ∈+∞，则()111x f x x x-'=-=，所以当01x <<时()0f x '<，当1x >时()0f x ¢>，即()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以当1a b >>时可以得到()()f a f b >，即ln ln a a b b ->-成立，即ln ln a b b a +>+成立，故充分性成立，当01a b <<<时()()f a f b >，即ln ln a a b b ->-成立，即ln ln a b b a +>+成立，所以由ln ln a b b a +>+推不出1a b >>，故必要性不成立，所以“1a b >>”是“ln ln a b b a +>+”的充分不必要条件.故选：A7.已知O 为坐标原点，过抛物线2:8C y x =焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，若||||AF AO =，则||AB =（）A.5B.9C.10D.18【答案】B 【解析】【分析】由||||AF AO =及抛物线方程可求出A 点坐标，从而得直线AB 的方程，联立抛物线和直线方程，结合韦达定理求出12x x +，由抛物线定义可得结果.【详解】如图：由抛物线2:8C y x =可知焦点坐标()2,0F ，取线段OF 中点D ，即()1,0D ，又||||AF AO =，所以AD OF ⊥,故设()01,A y ，因点A在抛物线上，得0y =±，根据对称性取0y =，又因直线AB 过焦点F ，所以直线AB的方程为：)2y x =--，联立)282y x y x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩，得2540x x -+=①，设()()1122,,,A x y B x y ，则12,x x 为①式两根，所以125x x +=，由抛物线定义可知12549x x AB p ++=+==，故选：B.8.记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数.若存在0x ∈R ，满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.若函数2()1f x ax =-与()ln()g x ax =存在“S 点”，则=a （）A.eB.2eC.1eD.2e【答案】D 【解析】【分析】设0x 为()f x 与()g x 的“S 点”，根据题中定义可得出关于0x 的方程组，即可求得实数a 的值.【详解】函数()21f x ax =-，()ln g x ax =，其中0ax >，则()2f x ax '=，()1g x x'=，设0x 为()f x 与()g x 的“S 点”，由()()()()0000f x g x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得200001ln 12ax ax ax x⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得0e22e x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，2ea =.故选：D.【点睛】本题考查函数中的新定义问题，解题的关键在于根据题中“S 点”的定义得出方程进行求解.对于新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要.求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设集合{}240A x x =-=，{}24B y y x ==-，则（）A.A B ⋂=∅B.A B A= C.A B B⋃= D.{}2,2A B =- 【答案】BC 【解析】【分析】根据题意得到集合A ，B ，然后求交集和并集即可.【详解】由题意得{}2,2A =-，{}4B y y =≥-，所以{}2,2A B A =-=I ，{}4A B y y B ⋃=≥-=.故选：BC.10.气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃，现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据的部分信息（记录数据都是正整数）.依据以下信息，能确定进入夏季地区的选项有（）A.甲地5个数据的中位数为24，众数为22B.乙地5个数据的中位数为25，平均数为24C.丙地5个数据的平均数为22，众数为22D.丁地5个数据中有一个数据是28，平均数为24，方差为4.8【答案】AD【解析】【分析】利用众数、中位数、方差、平均数的性质求解．【详解】对于A ：因为众数为22、中位数为24，所以22出现了两次，若有一天低于22，则中位数不可能为24，所以另两个数据均大于24（且不相等），故甲地一定进入夏季，故A 正确；对于B ：若乙地区的数据从小到大依次为18、23、25、26、28，满足中位数为25，平均数为24，但是乙地不一定进入夏季，故B 错误；对于C ：若丙地区的数据从小到大依次为18、22、22、22、26，满足平均数为22，众数为22，但是丙地不一定进入夏季，故C 错误；对于D ：设其余4个数据分别为a 、b 、c 、d （正整数），则()()()()()222221242424242824 4.85a b c d ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，所以()()()()2222242424248a b c d -+-+-+-=，若a 、b 、c 、d （正整数）中有一个数据小于22，则()()()()2222242424249a b c d -+-+-+-≥，不符合题意，故a 、b 、c 、d （正整数）均不小于22，故丁地区进入夏季，故D 正确；故选：AD 11.已知圆22:(1)(2)2Mx y -++=，直线:330l x y -+=，P 是直线l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，切点为A ，则切线长||PA 取最小值时，下列结论正确的是（）A.||PA =B.||PA =C.PA 的方程可以是1y x =-+D.PA 的方程可以是71y x =+【答案】ACD 【解析】【分析】首先得到圆心坐标与半径，求出圆心M 到直线l 的距离d ，即可求出min PA ，再求出过点()1,2M -与直线l 垂直的直线方程，联立两直线方程求出交点坐标，即为P 点坐标，再设切线方程为1y kx =+，利用圆心到直线的距离等于半径，求出k ，即可得解.【详解】圆22:(1)(2)2Mx y -++=圆心为()1,2M -，半径r =则圆心M 到直线l 的距离d ==，因为P 是直线l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，切点为A，则切线长||PA的最小值为min PA ==，故A 正确，B 错误；设过点()1,2M -与直线l 垂直的直线方程为30x y n ++=，则320n -+=，解得1n =-，所以310x y +-=，由330310x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以()0,1P ，显然过点()0,1P 的切线的斜率存在，设切线PA 的方程为1y kx=+=，解得1k =-或7k =，所以切线PA 的方程为1y x=-+或71y x =+.故选：ACD12.函数π()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π2个单位长度后与原图象关于x 轴对称，则下列结论一定正确的是（）A.π22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()f x 的一个周期是πC.π12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数 D.()f x 在π0,3ω⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减【答案】ABD【解析】【分析】根据三角函数图象平移变换结合平移后图象性质可得24,N k k ω=+∈，即可得π()cos[(24)],N 6f x k x k =++∈，由此将π2x =代入可判断A ；根据周期性定义可判断B ；求出π12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的表达式结合偶函数定义判断C ；结合x 的范围，确定πππ,662x ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，结合余弦函数单调性，判断D.【详解】函数π()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π2个单位长度后得到cos[(26ππy x ω=++的图象，由题意可得cos[()]cos 266πππx x ωω⎛⎫++=-+⎪⎝⎭，即cos()cos 266πππx x ωωω⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭，故2,2ππkπk Z ω=+∈，故24,k k Z ω=+∈，由于0ω>，故24,N k k ω=+∈,故π()cos[(24)N 6f x k x k =++∈，对于A ，ππππcos[(24)]cos(π22662f k ⎛⎫=+⋅+=+=- ⎪⎝⎭，A 正确；对于B ，ππ(π)cos[(24)(π)cos[(24)]()66f x k x k x f x +=+++=++=，即()f x 的一个周期是π，B 正确；对于C ，πππ12ππcos[(24)()]cos[(24)πcos[(24)]12126663k k f x k x k x k x +⎛⎫-=+-+=+-+=+- ⎪⎝⎭，不妨取1k =，此时ππcos(6)123f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，此时函数不是偶函数，即π12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭不是偶函数，C 错误；对于D ，当π0,3x ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π0,3x ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,662x ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由于cos y x =在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 在π0,3ω⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确，故选：ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2()1ax b f x x +=+是奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(2)f =______．【答案】25##0.4【解析】【分析】根据奇函数的性质可求出0b =，根据1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭可求出1a =，从而可求出答案.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且为奇函数，所以() 00f =，即0b =，又因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得21225112a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =，此时，2()1x f x x =+，满足()2()1x f x f x x --==-+，所以2()1x f x x =+，所以222(2)215f ==+.故答案为：25.14.已知双曲线221(0)x my m -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，垂直于x 轴的直线l 经过2F 且与双曲线交于A 、B 两点，若2AB =，则1cos AF B ∠=__________.【答案】79【解析】【分析】将双曲线方程化为标准式，求出a 、b 、c，令x =求出y ，即可求出A 、B 坐标，由AB 求出m ，再利用余弦定理计算可得.【详解】双曲线221(0)x my m -=>即2211y x m -=，所以1a =，b =c =令x =，解得1y m =±，如图不妨令1A m ⎫⎪⎪⎭，1B m ⎫-⎪⎪⎭，所以22AB m ==，解得1m =，则)A，)1B -，()1F ，所以113AF BF ==，所以222111117cos 92A AF BF AB AF F F B B +-∠==⋅.故答案为：7915.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 3C =，3a b =，则cos A =__________.【答案】66-##166【解析】【分析】利用余弦定理得到6c b =，再由余弦定理计算可得.【详解】因为2cos 3C =，3a b =，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，所以22229233c b b b b =+-⨯⨯⨯，所以6c b =，所以22222226cos 2626c b a A bc b+-==-.故答案为：66-16.已知点S ，A ，B ，C 均在半径为2的球面上，ABC 是等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则四面体SABC 体积的最大值为__________.【答案】83【解析】【分析】设ABC 的边长为a ()0a >，SA b =()0b >，求出ABC 外接圆的半径r ，则四面体SABC 外接球的半径2R ==，从而得到2211434a b +=，表示出ABC S ，再由13ABC SABC V S SA =⋅ 得到33312124SABC V b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再令()33124f x x x =-，()04x <<，利用导数求出函数的最大值，即可得解.【详解】设ABC 的边长为a ()0a >，SA b =()0b >，设ABC外接圆的半径sin 603a r a ==︒，又SA ⊥平面ABC ，所以四面体SABC外接球的半径2R ==，即2211434a b +=，则223124a b =-，则2016b <<，则04b <<，又221sin 6024ABC S a =︒= ，所以2231331212312124124SABC B V S SA b b b b ⎛⎫⎫=⋅==-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()33124f x x x =-，()04x <<，则()29124f x x '=-，当4303x <<时()0f x ¢>，当4343x <<时()0f x '<，所以()f x 在430,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在43,43⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 33f x f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，即3max 31243b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当且仅当3b =时取等号，所以()max81233SABC V =⨯=.故答案为：83【点睛】关键点睛：由外接球的半径得到2211434a b +=，从而得到33312124SABC V b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用导数求出函数的最大值.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π3A =，且2sin sin b c B C +=+.（1）求a ；（2）若ABC 的面积为32，求ABC 的周长.【答案】（13（2）33【解析】【分析】（1）已知条件由正弦定理得2sin a A =，可求a ；（2）由ABC 的面积得bc ，余弦定理求b c +，可得ABC 的周长.【小问1详解】由正弦定理得2sin sin sin b c a B C A +==+，则32sin 232a A ==⨯【小问2详解】133sin 242ABC bc S bc A === ，得2bc =，由余弦定理()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()236b c =+-，则3b c +=，所以3a b c ++=+，ABC的周长为318.已知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，3136a a -=，且26a =.（1）求n a ；（2）记n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n S .【答案】（1）()1n a n n =+;（2）1n n S n =+.【解析】【分析】（1）结合题意以及数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，利用等差数列相关知识，建立方程组，求解出首项和公差，表示出n a n的通项公式，再转化为n a 即可;（2）结合（1）问，表示出1n a 以及n S ，利用裂项相消法即可计算.【小问1详解】因为数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以其前三项分别是312,,123a a a ，并设公差为d ，因为3136a a -=，且26a =，所以31223132a a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即111221131a a d a d ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为：()()1121111n a a n d n n n =+-=+-⨯=+，即1n a n n=+，所以()1n a n n =+，【小问2详解】由（1）问可得：()1n a n n =+，所以()111111n a n n n n ==-++，所以1231111n nS a a a a =++++ ，即()11111223341n n S n =++++⨯⨯⨯⨯+ ，11111111223341n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得：()1111n n n S n =-=++,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为：1n n S n =+.19.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1DD 的中点.（1）求四面体1AB CE 的体积；（2）求平面1AB E 与平面1AB C 夹角的余弦值.【答案】（1）14（2）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点E 到平面1AB C 的距离h ，再由锥体的体积公式计算可得；（2）利用空间向量法计算可得.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()11,0,1B ，()1,1,0C ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，所以()11,0,1AB = ，()1,1,0AC = ，10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面1AB C 的一个法向量为(),,n x y z = ，则100AB n x z AC n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取()1,1,1n =-- ，所以点E 到平面1AB C的距离322n AE h n ⋅=== ，又11AB AC B C ===，所以121sin 6022AB C S =⨯⨯︒= ，所以四面体1AB CE的体积111133224AB C V S h =⋅=⨯⨯= .【小问2详解】设平面1AB E 的法向量为(),,m a b c = ，则10102AB m a c AE m b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()2,1,2m =- ，所以cos ,3m n m n m n ⋅===⋅ ，所以平面1AB E 与平面1AB C 夹角的余弦值为33.20.已知直线:2(0)l y kx k =+≠与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>在第一象限交于A ，B 两点，E 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线AB ，OE 的斜率之积为12-.（1）求椭圆C 的离心率；（2）若直线l 与x 轴，y 轴分别相交于M ，N 两点，且||||MA NB =，||AB =C 的方程.【答案】（1）2（2）22163x y +=【解析】【分析】（1）利用点差法得到2212b a -=-，再由离心率公式计算可得；（2）依题意可得E 为线段MN 的中点，求出直线l 与坐标轴的交点，即可得到E 点坐标，从而求出OE k ，由12AB OE k k ⋅=-求出k ，即可得到直线l 方程，由（1）可得椭圆C 2222:1(0)2x y b b b+=>，联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，利用弦长公式求出2b ，即可得到椭圆方程.【小问1详解】依题意可得0k <，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴222212122211()()0x x y y a b-+-=，∴2212122121y y y y b a x x x x +--=⋅+-，2121AB y y k x x -=-，2121OE y y k x x +=+，又直线AB 与直线OE 的斜率乘积为12-．2212b a ∴-=-，则离心率2c e a ===．【小问2详解】因为直线l 与x 轴，y 轴分别相交于M ，N 两点，且||||MA NB =，E 为线段AB 的中点，所以E 为线段MN 的中点，直线:2(0)l y kx k =+≠与x 轴，y 轴的交点为2,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2N ，所以1,1E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以11OE k k k==--，又12AB OE k k ⋅=-，即212k -=-，所以22k =或22k =（舍去），所以直线2:22l y x =-+，又椭圆C 2222:1(0)2x y b b b+=>，由222222212y x x y b b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得222240x b -+-=，由()2Δ420b =->，可得22b >，又1222x x +=，2124x x b =-，所以()22126184462AB k x b =+-=--=，所以23b =，则26a =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=.21.已知函数()ln 1f x a x x =-+且()0f x ≤.（1）求a 的值；（2）证明：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin ()x x x f x ->.【答案】（1）1a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论，利用导数判断单调性，求出()f x 的最大值，只需最大值等于零，即符合()0f x ≤，进而求出a 的值；（2）由（1）知()f x 最大值为()10f =，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin ()x x x f x ->转化为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin 0xx x ->，利用导数判断e sin x y x x =-在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时的单调性即可得证.【小问1详解】由题知，()f x 的定义域为()0,∞+，若0a ≤，11(10e ef a =--+>，不满足题意；若0a >，由()1a a x f x x x'-=-=知，当()0,x a ∈时，()0f x ¢>，当(),x a ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞单调递减，故x a =是()f x 在()0,∞+的唯一最大值点，因为()10f =，所以当且仅当1a =时，()0f x ≤，综上所述，1a =.【小问2详解】由（1）知，()ln 1f x x x =-+，()f x 最大值为()10f =，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，e sin ()x x x f x ->恒成立，故π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin 0x x x ->恒成立，令e sin x y x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则e sin e cos 1x x y x x '=+-()πe sin cos 1sin 14x x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，πsin 4x ⎛⎫⎤+∈ ⎪⎥⎝⎭⎦，π2e 1,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin 14x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭πsin 104x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，所以e sin x y x x =-在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且0x =时，0e sin 000y =-=，所以当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin 0x x x ->，即当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin ()x x x f x ->.22.某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有23的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率.（1）从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望；（2）2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为45，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为14，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为13，如此往复.（i ）求甲第二天选择“单车自由行”的概率；（ii ）求甲第n （1n =，2，L ，16）天选择“单车自由行”的概率n P ，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数.【答案】（1）4（2）（i ）13；（ii ）158********n n P -⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭＝()1,2,,16n = ；2天【解析】【分析】（1）由合计得分可能的取值，计算相应的概率，再由公式计算数学期望即可；（2）（i ）利用互斥事件的加法公式和相互独立事件概率乘法公式求概率．；（ii ）由题意，求n P 与-1n P 的关系，通过构造等比数列，求出n P ，再由12n P >求出对应的n .【小问1详解】由题意，每位游客得1分的概率为23，得2分的概率为13，随机抽取三人，用随机变量X 表示三人合计得分，则X 可能的取值为3，4，5，6，()3283327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2132144C 339P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()2231225C 339P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3116327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()842134564279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以三人合计得分的数学期望为4.【小问2详解】第一天选择“单车自由行”的概率为45，则第一天选择“观光电车行”的概率为15，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为14，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为13，则后一天选择“单车自由行”的概率为23，（i ）甲第二天选择“单车自由行”的概率4112154533P =⨯+⨯=；（ii ）甲第n ()1,2,,16n = 天选择“单车自由行”的概率n P ，有145P =，则()1115121221433n n n n P P P P -----==++，()2,3,,16n = ，∴1858171217n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又∵182801785P -=≠，∴1512817817n n P P --=--()2,3,,16n = ，∴数列817n P ⎧⎫-⎨⎩⎭是以2885为首项，以为512-公比的等比数列，∴158********n n P -⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭＝()1,2,,16n = ．由题意知，需1n n P P >-，即12n P >，125128281>1785n -⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭，即1855>342856512n -⎛⎫-= ⎪⨯⎝⎭()1,2,,16n = ，显然n 必为奇数，偶数不成立，当1,3,5,,15n = 时，有1855>342856512n -⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭即可，1n =时，5156>成立；3n =时，2525255=>=1214428056⎛⎫ ⎪⎝⎭成立；5n =时，456256256255==<=1214414420736700056⎛⎫ ⎪⨯⎝⎭，则5n =时16525>51n -⎛⎫ ⎪⎝⎭不成立，又因为1512n -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以5n >时，16525>51n -⎛⎫ ⎪⎝⎭不成立．综上，16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数只有2天．【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用全概率公式得到152312n n P P --+=，从而利用数列的相关知识求得n P ，从而得解.。

2021年河南省开封市高考数学一模试卷理科及答案

2021年河南省开封市高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的．1．〔5分〕设U=R，集合A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且〔∁U A〕∪B=R，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，1〕B．〔﹣∞，1]C．〔1，+∞〕D．[1，+∞〕2．〔5分〕假设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=1﹣2i，那么复数在复平面内对应的点在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．〔5分〕向量=〔m﹣1，1〕，=〔m，﹣2〕，那么“m=2〞是“⊥〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．〔5分〕假设，那么sin2α的值为〔〕A．B．C．D．5．〔5分〕等比数列{a n}的前n项和为S n，且9S3=S6，a2=1，那么a1=〔〕A．B．C．D．26．〔5分〕曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，那么该双曲线的方程为〔〕A．B．x2﹣y2=1C．D．x2﹣y2=27．〔5分〕我国古代名著?庄子•天下篇?中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭〞，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如下图的轨范框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度〔单位：尺〕，那么①②③处可分别填入的是〔〕A．B．C．D．8．〔5分〕如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，那么两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是〔〕A．B．C．D．9．〔5分〕如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，那么其比来的行走路线中不连续向上攀登的概率为〔〕A．B．C．D．10．〔5分〕函数y=的图象大致是〔〕A．B．C．D．11．〔5分〕抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，假设抛物线M上一点P满足PA⊥PF，那么以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为〔参考数据：≈2.24〕〔〕A．B．C．D．12．〔5分〕函数，假设函数F〔x〕=f〔x〕﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，那么x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=〔〕A．B．445πC．455πD．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．〔5分〕〔x﹣y〕10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．〔5分〕设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，那么z=3x+5y的最大值为．15．〔5分〕设f〔x〕=，且f〔f〔a〕〕=2，那么满足条件的a的值有个．16．〔5分〕一个棱长为5的正四面体〔棱长都相等的三棱锥〕纸盒内放一个小正四面体，假设小正四面体在纸盒内可以任意转动，那么小正四面体的棱长的最大值为．三、解答题：共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB〔acosC+ccosA〕+b=0．〔Ⅰ〕求角B的大小；〔Ⅰ〕假设a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=，求c．18．〔12分〕如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．〔Ⅰ〕求证：平面PBC⊥平面PEC；〔Ⅰ〕求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．19．〔12分〕近年来我国电子商务行业迎来蓬勃开展的新机遇，2021年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关办理部门推出了针对电商的商品和办事的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进展统计，对商品的好评率为0.6，对办事的好评率为0.75，其中对商品和办事都做出好评的交易为80次．〔Ⅰ〕完成下面的2×2列联表，并答复是否有99%的把握，认为商品好评与办事好评有关？对效劳好评对效劳不满意合计对商品好评对商品不满意合计200〔Ⅰ〕假设将频率视为概率，或人在该购物平台上进展的3次购物中，设对商品和办事全好评的次数为随机变量X：〔1〕求对商品和办事全好评的次数X的分布列；〔2〕求X的数学期望和方差．附：P〔K2≥k〕0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.0722.7063.841 5.0246.6357.87910.828〔，其中n=a+b+c+d〕20．〔12分〕给定椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆〞．椭圆C的离心率，其“准圆〞的方程为x2+y2=4．〔I〕求椭圆C的方程；〔II〕点P是椭圆C的“准圆〞上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆〞于点M，N．〔1〕当点P为“准圆〞与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；〔2〕求证：线段MN的长为定值．21．〔12分〕函数f〔x〕=〔t﹣1〕xe x，g〔x〕=tx+1﹣e x．〔Ⅰ〕当t≠1时，讨论f〔x〕的单调性；〔Ⅰ〕f〔x〕≤g〔x〕在[0，+∞〕上恒成立，求t的取值范围．选修4-4：极坐标与参数方程22．〔10分〕直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．〔Ⅰ〕将直线l写成参数方程〔t为参数，α∈[0，π〕，〕的形式，并求曲线C的直角坐标方程；〔Ⅰ〕过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．选修4-5：不等式选讲23．关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．〔I〕求实数m、n的值；〔II〕设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．2021年河南省开封市高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的．1．〔5分〕设U=R，集合A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且〔∁U A〕∪B=R，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，1〕B．〔﹣∞，1]C．〔1，+∞〕D．[1，+∞〕【解答】解：∵U=R，集合A={x|x≥1}=[1，+∞〕，B={x|x＞a}=〔a，+∞〕，∴∁U A=〔﹣∞，1〕，又〔∁U A〕∪B=R，∴实数a的取值范围是〔﹣∞，1〕．应选：A．2．〔5分〕假设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=1﹣2i，那么复数在复平面内对应的点在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z1=1﹣2i，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，∴z2=﹣1﹣2i，那么=，∴复数在复平面内对应的点的坐标为〔〕，在第四象限．应选：D．3．〔5分〕向量=〔m﹣1，1〕，=〔m，﹣2〕，那么“m=2〞是“⊥〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵=〔m﹣1，1〕，=〔m，﹣2〕，∴⇔m〔m﹣1〕﹣2=0．由m〔m﹣1〕﹣2=0，解得m=﹣1或m=2．∴“m=2〞是“⊥〞的充分不必要条件．应选：A．4．〔5分〕假设，那么sin2α的值为〔〕A．B．C．D．【解答】解：假设，即2〔cos2α﹣sin2α〕=cosα﹣sinα，那么2〔cosα+sinα〕=，即cosα+sinα=，∴1+2sinαcosα=，即sin2α=2sinαcosα=﹣，应选：C．5．〔5分〕等比数列{a n}的前n项和为S n，且9S3=S6，a2=1，那么a1=〔〕A．B．C．D．2【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵9S3=S6，a2=1，∴=，a1q=1．那么q=2，a1=．应选：A．6．〔5分〕曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，那么该双曲线的方程为〔〕A．B．x2﹣y2=1C．D．x2﹣y2=2【解答】解：按照题意，假设曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕为等轴双曲线，那么a2=b2，c==a，即焦点的坐标为〔±a，0〕；其渐近线方程为x±y=0，假设焦点到渐近线的距离为，那么有=a=，那么双曲线的标准方程为﹣=1，即x2﹣y2=2；应选：D．7．〔5分〕我国古代名著?庄子•天下篇?中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭〞，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如下图的轨范框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度〔单位：尺〕，那么①②③处可分别填入的是〔〕A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第7次剩下，可得①为i≤7？②s=③i=i+1应选：D．8．〔5分〕如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，那么两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是〔〕A．B．C．D．【解答】解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，那么另一个球被盖住一局部，由于两球不等，所以排除A；B正确；应选B9．〔5分〕如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，那么其比来的行走路线中不连续向上攀登的概率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：按照题意，比来路线，那就是不能走回头路，不能走反复的路，∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次，∴比来的行走路线共有：n=A=5040，∵不能连续向上，∴先把不向上的次数分列起来，也就是2次向右和2次向前全分列，接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空傍边，5个位置排三个元素，也就是A53，那么比来的行走路线中不连续向上攀登的共有m==1440种，∴其比来的行走路线中不连续向上攀登的概率p===．应选：C．10．〔5分〕函数y=的图象大致是〔〕A．B．C．D．【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，应选：D11．〔5分〕抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，假设抛物线M上一点P满足PA⊥PF，那么以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为〔参考数据：≈2.24〕〔〕A．B．C．D．【解答】解：由题意，A〔﹣1，0〕，F〔1，0〕，点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上．设点P的横坐标为m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x﹣1=0，∵m＞0，∴m=﹣2+，∴点P的横坐标为﹣2+，∴|PF|=m+1=﹣1+，∴圆F的方程为〔x﹣1〕2+y2=〔﹣1〕2，令x=0，可得y=±，∴|EF|=2=2=，应选：D．12．〔5分〕函数，假设函数F〔x〕=f〔x〕﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，那么x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=〔〕A．B．445πC．455πD．【解答】解：函数，令2x﹣=+kπ得x=+，k∈Z，即f〔x〕的对称轴方程为x=+，k∈Z．∵f〔x〕的最小正周期为T=π，0≤x≤，当k=30时，可得x=，∴f〔x〕在[0，]上有30条对称轴，按照正弦函数的性质可知：函数与y=3的交点x1，x2关于对称，x2，x3关于对称，…，即x1+x2=×2，x2+x3=×2，…，x n﹣1+x n=2×〔〕将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+...+2x28+x29=2〔++...+〕=〔2+5+8+ (89)×=455π那么x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=〔x1+x2〕+〔x2+x3〕+x3+…+x n﹣1+〔x n﹣1+x n〕=2〔〕=455π，应选：C二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．〔5分〕〔x﹣y〕10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【解答】解：因为〔x﹣y〕10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3〔﹣1〕3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7〔﹣1〕7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．14．〔5分〕设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，那么z=3x+5y的最大值为13．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，作出直线3x+5y=0，∵x，y∈Z，∴平移直线3x+5y=0至〔1，2〕时，方针函数z=3x+5y的最大值为13．故答案为：13．15．〔5分〕设f〔x〕=，且f〔f〔a〕〕=2，那么满足条件的a的值有4个．【解答】解：f〔x〕=，且f〔f〔a〕〕=2∴当a＜2时，f〔a〕=2e a﹣1，假设2e a﹣1＜2，那么f〔f〔a〕〕=﹣1=2，解得a=1﹣ln2；假设2e a﹣1≥2，那么f〔f〔a〕〕==2，解得a=ln+1，成立；当a≥2时，f〔a〕=log3〔a2﹣1〕，假设log3〔a2﹣1〕＜2，那么f〔f〔a〕〕=﹣1=2，解得a=2，或a=﹣2，与a≥2不符，假设log3〔a2﹣1〕≥2，那么f〔f〔a〕〕=log3[〔log3〔a2﹣1〕]=2，解得a2=310+1，∴a=或a=﹣与a≥2不符．由此获得满足条件的a的值有1﹣ln2和ln+1和2和，共4个．故答案为：4．16．〔5分〕一个棱长为5的正四面体〔棱长都相等的三棱锥〕纸盒内放一个小正四面体，假设小正四面体在纸盒内可以任意转动，那么小正四面体的棱长的最大值为．【解答】解：∵在此纸盒内放一个小正四面体，假设小正四面体在纸盒内可以任意转动，∴小正四面体的外接球是纸盒的内切球，设正四面体的棱长为a，那么内切球的半径为a，外接球的半径是a，∴纸盒的内切球半径是=，设小正四面体的棱长是x，那么=x，解得x=，∴小正四面体的棱长的最大值为，故答案为：．三、解答题：共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB〔acosC+ccosA〕+b=0．〔Ⅰ〕求角B的大小；〔Ⅰ〕假设a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=，求c．【解答】解：〔Ⅰ〕在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB〔acosC+ccosA〕+b=0．那么：2cosB〔sinAcosC+sinCcosA〕+sinB=0，整理得：2cosBsin〔A+C〕=﹣sinB，由于：0＜B＜π，那么：sinB≠0，解得：，所以：B=．〔Ⅰ〕点D在AC边上且BD⊥AC，在直角△BCD中，假设a=3，BD=，解得：，解得：，那么：，，所以：cos∠ABD===，那么：在Rt△ABD中，，=．故：c=5．18．〔12分〕如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．〔Ⅰ〕求证：平面PBC⊥平面PEC；〔Ⅰ〕求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．【解答】〔Ⅰ〕证明：∵AD=2AB，E为线段AD的中点，∴AB=AE，取BE中点O，连接PO，那么PO⊥BE，又平面PEB⊥平面BCDE，平面PEB∩平面BCDE=BE，∴PO⊥平面BCDE，那么PO⊥EC，在矩形ABCD中，∴AD=2AB，E为AD的中点，∴BE⊥EC，那么EC⊥平面PBE，∴EC⊥PB，又PB⊥PE，且PE∩EC=E，∴PB⊥平面PEC，而PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEC；〔Ⅰ〕解：以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∵PB=PE=2，那么B〔，0，0〕，E〔﹣，0，0〕，P〔0，0，〕，D〔﹣2，，0〕，∴，，=〔，，﹣〕．设平面PED的一个法向量为，由，令z=﹣1，那么，又平面PBE的一个法向量为，那么cos＜＞==．∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为．19．〔12分〕近年来我国电子商务行业迎来蓬勃开展的新机遇，2021年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关办理部门推出了针对电商的商品和办事的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进展统计，对商品的好评率为0.6，对办事的好评率为0.75，其中对商品和办事都做出好评的交易为80次．〔Ⅰ〕完成下面的2×2列联表，并答复是否有99%的把握，认为商品好评与办事好评有关？对效劳好评对效劳不满意合计对商品好评对商品不满意合计200〔Ⅰ〕假设将频率视为概率，或人在该购物平台上进展的3次购物中，设对商品和办事全好评的次数为随机变量X：〔1〕求对商品和办事全好评的次数X的分布列；〔2〕求X的数学期望和方差．附：P〔K2≥k〕0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.0722.7063.841 5.0246.6357.87910.828〔，其中n=a+b+c+d〕【解答】解：〔Ⅰ〕由题意可得关于商品和办事评价的2×2列联表如下：对效劳好评对效劳不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200K2=≈11.111＞6.635，故有99%的把握，认为商品好评与办事好评有关．〔Ⅰ〕〔1〕每次购物时，对商品和办事全为好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．其中P〔X=0〕=〔〕3=，P〔X=1〕==，P〔X=2〕=，P〔X=3〕==，X的分布列为：X0123P〔2〕∵X～B〔3，〕，∴E〔X〕=，D〔X〕=3×=．20．〔12分〕给定椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆〞．椭圆C的离心率，其“准圆〞的方程为x2+y2=4．〔I〕求椭圆C的方程；〔II〕点P是椭圆C的“准圆〞上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆〞于点M，N．〔1〕当点P为“准圆〞与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；〔2〕求证：线段MN的长为定值．【解答】解：〔I〕由准圆方程为x2+y2=4，那么a2+b2=4，椭圆的离心率e===，解得：a=，b=1，∴椭圆的标准方程：；〔Ⅰ〕证明：〔1〕∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P〔0，2〕，设过点P〔0，2〕且与椭圆相切的直线为y=kx+2，联立，整理得〔1+3k2〕x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9〔1+3k2〕=0，解得k=±1，∴l 1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵=1，=﹣1，∴•=﹣1，那么l 1⊥l2．〔2〕①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，那么l1：x=±，当l1：x=时，l1与准圆交于点〔，1〕〔，﹣1〕，此时l2为y=1〔或y=﹣1〕，显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x=时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P〔x0，y0〕，其中x02+y02=4．设经过点P〔x0，y0〕与椭圆相切的直线为y=t〔x﹣x0〕+y0，∴由得〔1+3t2〕x2+6t〔y0﹣tx0〕x+3〔y0﹣tx0〕2﹣3=0．由△=0化简整理得〔3﹣x02〕t2+2x0y0t+1﹣y02=0，∵x02+y02=4．，∴有〔3﹣x02〕t2+2x0y0t+〔x02﹣3〕=0．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程〔3﹣x02〕t2+2x0y0t+〔x02﹣3〕=0，∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P〔x0，y0〕，又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，∴线段MN的长为定值．21．〔12分〕函数f〔x〕=〔t﹣1〕xe x，g〔x〕=tx+1﹣e x．〔Ⅰ〕当t≠1时，讨论f〔x〕的单调性；〔Ⅰ〕f〔x〕≤g〔x〕在[0，+∞〕上恒成立，求t的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕由f〔x〕=〔t﹣1〕xe x，得f′〔x〕=〔t﹣1〕〔x+1〕e x，假设t＞1，那么x＜﹣1时，f′〔x〕＜0，f〔x〕递减，x＞﹣1时，f′〔x〕＞0，f 〔x〕递增，假设t＜1，那么x＜﹣1时，f′〔x〕＞0，f〔x〕递增，x＞﹣1时，f′〔x〕＜0，f 〔x〕递减，故t＞1时，f〔x〕在〔﹣∞，﹣1〕递减，在〔﹣1，+∞〕递增，t＜1时，f〔x〕在〔﹣∞，﹣1〕递增，在〔﹣1，+∞〕递减；〔2〕f〔x〕≤g〔x〕在[0，+∞〕上恒成立，即〔t﹣1〕xe x﹣tx﹣1+e x≤0对∀x≥0成立，设h〔x〕=〔t﹣1〕xe x﹣tx﹣1+e x，h〔0〕=0，h′〔x〕=〔t﹣1〕〔x+1〕e x﹣t+e x，h′〔0〕=0，h″〔x〕=e x[〔t﹣1〕x+2t﹣1]，t=1时，h″〔x〕=e x≥0，h′〔x〕在[0，+∞〕递增，∴h′〔x〕≥h′〔0〕=0，故h〔x〕在[0，+∞〕递增，故h〔x〕≥h〔0〕=0，显然不成立，∴t≠1，那么h″〔x〕=e x〔x+〕〔t﹣1〕，令h″〔x〕=0，那么x=﹣，①当﹣≤0即t＜或t＞1时，假设t≤，那么h″〔x〕在[0，+∞〕为负，h′〔x〕递减，故有h′〔x〕≤h′〔0〕=0，h〔x〕在[0，+∞〕递减，∴h〔x〕≤h〔0〕=0成立，假设t≥1，那么h″〔x〕在[0，+∞〕上为正，h′〔x〕递增，故有h′〔x〕≥h′〔0〕=0，故h〔x〕在[0，+∞〕递增，故h〔x〕≥h〔0〕=0，不成立，②﹣≥0即≤t≤1时，h″〔x〕在[0，﹣〕内有h′〔x〕≥h′〔0〕=0，h〔x〕递增，故h〔x〕在[0，﹣〕内有h〔x〕≥h〔0〕=0不成立，综上，t的范围是〔﹣∞，]．选修4-4：极坐标与参数方程22．〔10分〕直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．〔Ⅰ〕将直线l写成参数方程〔t为参数，α∈[0，π〕，〕的形式，并求曲线C的直角坐标方程；〔Ⅰ〕过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．【解答】解：〔Ⅰ〕直线l：3x﹣y﹣6=0，转化为直角坐标方程为：〔t 为参数〕，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0．〔Ⅰ〕首先把x2+y2﹣4y=0的方程转化为：x2+〔y﹣2〕2=4，所以经过圆心，且倾斜角为30°的直线方程为：，那么：，解得：，那么：=，那么：|AP|的最大值为：，|AP|的最小值为：．选修4-5：不等式选讲23．关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．〔I〕求实数m、n的值；〔II〕设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵|x+1|+|2x﹣1|≤3，∴或或，解得：﹣1≤x≤1，故m=﹣1，n=1；〔Ⅰ〕由〔Ⅰ〕a+b+c=2，那么++=〔++〕〔a+b+c〕=[1+1+1+〔+〕+〔+〕+〔+〕]≥+〔2+2+2〕=+3=，当且仅当a=b=c=时“=〞成立．。

高2021届开封市一模理科数学(含答案)

上，所以
1 a2
+
1 2b2
=1 ，……1
分
又 e c = 2 ，a 2 =b2 +c 2，……2 分 a2
由上述方程联立可得 a2 =2，b2 =1 ，所以椭圆的标准方程为 x2 y2 1.……4 分 2
（2）设直线 PA 的方程为 y
2 2
k1( x 1)，……5
分
设 A（x1, y1），B（x2 , y2），
由于 f x xex 对任意的 x 1 都成立，又 xa 1, e x 1 ，再结合 gx 的单调性知道：
xa
e x 对于任意的
x
1 都成立，即
a
x ln x
对于任意的
x
1 都成立.……8
（理科） ·1·
B
a,
0,
0，E
a 2
,
0,
a
，F
a 2
,
a,
0
，BE =
a 2
,
0,
a
，BF=
a 2
,
a,0
，
设平面
BEF
的法向量为
n
x,
y,
z
，则
n n
BE=0， BF =0，
a 2 a 2
x+az=0， x+ay=0，
令 z=1，∴ n
cos AD1, n
2,1,1 ，……9 分
(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程; (2)该跑者如果
参加本次比赛，将心率控制在160左右跑完全程，估计他跑完全程花费的时间，并估计他能获
得的名次.
n
(xi x)( yi y)

河南省开封市2021-2022学年高三第一次模拟考试理科综合试题及答案

化学参考答案7.C8.B9.C10.D 11.A 12.B13.B26.(14分)(1)球形冷凝管(1分)(2)冷水浴(1分)缓慢滴加H2O2溶液(1分)磁力搅拌(1分)(3)2N a2C O3+3H2O2 2N a2C O3㊃3H2O2(2分)(4)洗去水分,减少N a2C O3溶解,利于干燥(2分)(5)C O2-3+H2O H C O-3+O H-(2分)(6)①B a2++C O2-3 B a C O3ˌ(2分或其他正确答案,但必须与②答案匹配㊂)②314(m1-106m2/197)102m1(2分)27.(14分)(1)加热(或将黄铜矿粉碎等合理答案,1分)(2)C u F e S2+3F e C l3 C u C l+4F e C l2+2S(2分)(3)F e2O3(1分)(4)C u C l+C l [C u C l2] (2分)(5)H C l C u C l2(2分)0.5m o l(2分)(6)①滴入最后一滴标准液,溶液由蓝色变为无色并且半分钟内不恢复蓝色(2分)②c V2V1(2分)28.(15分)(1)-225(2分)小于(1分)(2)0.25P0(2分)1409P0(2分)k P2016(2分) B C(2分)(3)曲线①代表的是二甲醚的选择性,随温度升高,反应I㊁I I平衡逆向移动,反应I I I平衡正向移动,使二甲醚的选择性下降(2分)3M P a为高压能提高反应速率,同时使反应I平衡右移,增大了二甲醚的选择性㊂(2分) 35.(15分)(1)3d2(1分) -1㊁-2(2分)(2)s p(1分)N>O>S(2分)(3)分子晶体(1分)(4)10(2分) N2(2分)(5)F e4N(2分)56ˑ4+14(0.3813ˑ10-7)3㊃N A(2分)36.(15分)(1)丁烯二酸(2分)(2)①③④(3分)(3)酯基㊁羧基(2分)C8H8O8(2分)生物试题参考答案一、选择题:本题共6个小题，每小题6分，共36分。

河南省开封市高三数学第一次模拟考试试题理新人教A版

数学（理）试题本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）—（24）题为选考题．其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后。

将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前。

考生务必先将自己的姓名。

准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号。

并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写。

字体工整。

笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答。

超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卷面清洁，不折叠。

不破损。

5．做选考题时。

考生按照题目要求作答。

并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差；x x x x x x x ns n 其中],)()()[(122221-+-+-=为样本平均数；柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V ,=、h 为高；锥体体积公式：h S Sh V ,,31为底面面积其中=为高；球的表面积、体积公式：,34,432R V R S ππ==其中R 为球的半径。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．复数311iz -=对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 c ．第三象限 D ．第四象限2．若集合M={0，1}，N=={（x ，y ）|x 一2y+1≥0，x ∈M ，y ∈M}，则集合N 的元素个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．把标号为l ，2，3，4，5的同色球全部放人编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为 A ．36 B ．20 C ．12 D ．104．阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间[21,41]内，那么输入实数z 的取值范围是 A ．（一∞,一2] B ．[一2，一1]C ．[一l ，2]D ．[2，+∞）5．由直线1,0,3,3===-=y y x x ππ与曲线y=cosx 所围成的封闭图形，随机向图形内掷一豆子，则落人阴影内的概率是A ．3321π-B ．332πC ．π233 D ．1—π233 6．函数)(),(1cos 2cos sin 32)(2x f R x x x x x f 则∈-+=在区间]2,0[π上的最大值和最小值是A ．2，一1B ．1，一1C ．1，—2D ．2，—27．已知数列}{n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和，若,2132a a a =⋅且742a a 与的等差中项为45，则S 5=A ．35B ．33C ．31D ．298．已知A ，B 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两个焦点，点C 在双曲线上，△ABC 中，∠ACB 一90°，sinA:sinB=2：1，则双曲线的离心率为A ．5B ．553 C ．25D ．332 9．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体积为A ．1538+πB ．332916+π C ．33238+π D ．3316+π10．已知)(x f 是奇函数，且 =∈-=∈=-)(]2,1[),1(log )(,)3,2()()2(2x f x x x f x x f x f 时则当时，当A ．)4(log 2x --B ．)4(log 2x -C ．)3(log 2x --D ． )3(log 2x -11．已知三棱锥P —ABC ，∠BPC=90°，PA ⊥平面BPC ，其中AB=10，BC=5,13=AC ，P 、A 、B 、C 四点均在球O 的表面上，则球O 的表面积A ．12πB ．14πC ．27π D ．28π12．已知xx x f x 2sin sin 21)(),2,0(2+=∈且函数π的最小值为b ，若函数1)(,)40(468)44(1)(2≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-<<-=x g x bx x x x g 则不等式πππ的解集为A ．)2,4(ππ B ．]23,4(πC ． ]23,43[D ．]2,43[π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。

2021年河南省开封市阳固第三中学高三数学理模拟试卷含解析

2021年河南省开封市阳固第三中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b参考答案：C【考点】正切函数的单调性．【专题】三角函数的求值．【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得．【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a故选：C【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．2. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d参考答案：A【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．3. 已知函数则的值为A.－12B.20C.－56D.56参考答案：A略4. 已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣3 B．C．5 D．6参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=﹣1时，z取得最大值5．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（2，﹣1）=5故选：C【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x﹣y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．5.等比数列中，R+，，则的值为（）A．10 B．20 C．36D．128参考答案：答案：B6. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A． B． C． D．参考答案：C7. 已知集合，集合，则( )A．B．C．D．参考答案：C略8. 已知函数，则的值为参考答案：B略9. 设α、β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“α∥β”是“m∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A10. 已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知定义域为（﹣∞，+∞）的偶函数f（x）的一个单调递增区间是（2，6），关于函数y=f（2﹣x）①一个递减区间是（4，8）②一个递增区间是（4，8）③其图象对称轴方程为x=2④其图象对称轴方程为x=﹣2其中正确的序号是．参考答案：②③【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件即可判断出f（x）在（﹣6，﹣2）上递减，并且其图象关于x=0对称，这样分别解﹣6＜2﹣x＜﹣2和2﹣x=0即可求出函数y=f（2﹣x）的一个递增区间和图象的对称轴方程．【解答】解：解2＜2﹣x＜6得，﹣4＜x＜0；解﹣6＜2﹣x＜﹣2得，4＜x＜8；∵f（x）是偶函数，在（2，6）上递增；∴f（x）在（﹣6，﹣2）上递减；∴y=f（2﹣x）在（4，8）上递增；f（x）关于y轴对称，即关于x=0对称；解2﹣x=0得，x=2；∴y=f（2﹣x）关于x=2对称；即函数y=f（2﹣x）的对称轴为x=2；∴②③正确．故答案为：②③．12. 若实数、满足，则的最小值为______________.参考答案：413. 若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数为．（用数字作答）参考答案：914. 若展开式的第项为，则__________．参考答案：15. 在平面直角坐标系中，点集，，则①点集所表示的区域的面积为________；②点集所表示的区域的面积为．参考答案：16. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间[2,3]上单调递减；④函数的值域是；⑤．其中判断正确的序号是__________．参考答案：①②⑤当，的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，当时，的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，当时，的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①，根据图象的对称性可知函数是偶函数，故①正确；②，由图象即分析可知函数的周期是4．即，即，故②正确；③，函数在区间上单调递增，故③错误；④，由图象可得的值域为，故④错误；⑤，根据积分的几何意义可知，故⑤正确．故答案为①②⑤．17. 函数，实数互不相同，若，则的范围为．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

河南省开封市2024届高三第一次模拟考试数学试卷

一、单选题二、多选题1.已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为，则的最小值为（）A．B．C．D．2. 已知四棱锥的底面是正方形，平面平面ABCD ，，点E 为PB的中点，且，则四棱锥体积的最大值为（）A．B．C．D．3. “省协作校期中考试数学试卷”的第7、8两道单选题难度系数较小，甲同学答对第7道题的概率为，连续答对两道题的概率为．用事件表示“甲同学答对第7道题”，事件表示“甲同学答对第8道题”，则（）A．B．C．D．4. 已知函数，，若成立，则的最小值为A．B．C．D．5.若曲线在点处的切线与直线平行，且对任意的，不等式恒成立，则实数m 的最大值为（）A．B．C．D．6. 已知一袋中有标有号码、、的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取次卡片时停止的概率为（）A．B．C．D．7.已知函数,实数满足,,,则的值( ）A ．一定大于30B ．一定小于30C ．等于30D ．大于30、小于30都有可能8. 已知复数满足（为虚数单位），则的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．49.已知点为抛物线的焦点，直线过点交抛物线于，两点，.设为坐标原点，，直线与轴分别交于两点，则以下选项正确的是（）A．B．若，则C ．若，则面积的最小值为D ．四点共圆10. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（）A．在区间内单调递减B ．在区间内单调递增河南省开封市2024届高三第一次模拟考试数学试卷河南省开封市2024届高三第一次模拟考试数学试卷三、填空题四、解答题C．是极小值点D ．是极大值点11.如图，正方形的边长为为的中点，将沿向上翻折到，连结，在翻折过程中（）A ．四棱锥的体积最大值为B．中点的轨迹长度为C ．与平面所成角的正弦值之比为D ．三棱锥的外接球半径有最小值，没有最大值12. 数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线D 在平面直角坐标系中的方程为．当时，以下四个结论正确的是（）A ．曲线D 经过第三象限B ．曲线D 关于直线轴对称C ．对任意，曲线D 与直线一定有公共点D ．对任意，曲线D 与直线一定有公共点13. 已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为________.14. 已知集合，，则________.15. 若球的体积为，则它的半径等于__________.16. 已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，若，边，求边的长及的值.17. 某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在天里的销售记录，绘制了以下频数分布表：日销售量单位：个频数将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续天里，有连续天的日销量都不低于个且另一天的日销售量低于个的概率；(2)用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的概率分布、均值和方差．18. 2022年11月15日9时38分,长征四号丙运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞,随后将遥感三十四号03星送入预定轨道发射,大量观众通过某网络直播平台观看了发射全过程.为了解大家是否关注航空航天技术,该平台随机抽取了100名用户进行调查,相关数据如下表.关注不关注合计男性用户35女性用户3050合计100附：，0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.828(1)补充表格数据并根据表中数据分别估计男、女性用户关注航空航天技术的概率;(2)能否有99.9%的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关?19. 如图，三棱柱中，侧面BB 1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，AB⊥B1C．(1)求证：AO⊥平面BB1C1C；(2)设∠B1BC=60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角的余弦值．20. 已知函数，函数．（Ⅰ）判断函数的单调性；（Ⅱ）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值．21. 如图，已知与分别是边长为1与2的正三角形，，四边形为直角梯形，且，，点为的重心，为中点，平面，为线段上靠近点的三等分点．（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，试求异面直线与所成角的余弦值．。

2021年12月河南省开封市一模数学(理)试题

2021年12月河南省开封市一模数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于直线的左上方，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
19．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：， .
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，过点作直线的垂线与曲线相交于，两点，求的最大值.
20．某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，列需要检验次；②混合检验，将其（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 .
3．已知 , 为非零向量，则“ ”是“ 与夹角为锐角”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（）
A． B． C． D．
5．已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（）
A．-15B．-7C．3D．15
【详解】

河南省开封市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析

河南省开封市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()()1,3,2a m b ==-v v ，，且()a b b +⊥vv v ，则m=( )A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D 【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +rr 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-r r r r ，又()a b b +⊥rr r ，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝1．故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．2．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（） A ．121B ．221C ．115D ．215【答案】B 【解析】【分析】先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求. 【详解】解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有2721C =，其和等于16的结果(3,13)，(5,11)共2种等可能的结果，故概率221P =. 故选：B. 【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.3．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864 C ．－4864 D ．1280【答案】A 【解析】【分析】根据二项式展开式的公式得到具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简求值即可.【详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简得到-1280 x 2 故得到答案为：A. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.4．已知平面向量,a b r r 满足||||a b =r r，且)b b -⊥r r ，则,a b r r 所夹的锐角为（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．0【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得)0b b -⋅=r r，利用向量的数量积即可求解夹角. 【详解】因为))0b b b b -⊥⇒-⋅=r r r r2||b b ⋅=r r而22cos ,2||||||a ba b a b a b b ⋅⋅===⋅r r r r r r r r r所以,a b rr 夹角为4π故选：B 【点睛】本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题. 5．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度【答案】A 【解析】【分析】根据函数图像平移原则，即可容易求得结果. 【详解】因为sin cos 122f x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故要得到()g x ，只需将()f x 向左平移12π个单位长度.故选：A. 【点睛】本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题. 6．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（）A ．12B ．1C ．104D 5【答案】D 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离. 【详解】将抛物线放入坐标系，如图所示，∵2PO =，1OE =，2OC OD ==∴(2C -，设抛物线22y px =，代入C 点，可得22y x =- ∴焦点为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭，即焦点为OE 中点，设焦点为F ，12EF =，1PE =，∴5PF =. 故选：D 【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.7．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（） A ．,,a b c 依次成等差数列 B ,,a b c C ．222,,a b c 依次成等差数列 D ．333,,a b c 依次成等差数列【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得2sin 2cos sin sin BB A C=，由正弦定理可得22cos a B b =，再由余弦定理可得2222a c b +=，从而可得结果. 【详解】111,,tan tan tan A B CQ依次成等差数列，()sin +112cos sin sin cos sin 2cos ,==tan tan tan sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C B BA CB AC A C A C B +∴+==， 2sin 2cos sin sin BB A C=正弦定理得22cos a B b =，由余弦定理得2222a c b b +-= ，2222a c b +=，即222,,a b c 依次成等差数列，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．8．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-，当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f x x x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x xx =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题 9．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元【答案】D 【解析】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确；结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D 项错误．综上，故选D ．10．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（）A ．12ω=B ．8f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x ，在()0,π上是单调函数，确定 01ω<≤，然后一一验证， A.若12ω=，则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，由02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得34πϕ=，但13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫= ⎪⎭⎪⎝⎭⎝f .B.由8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，确定()222sin 33π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ，再求解8f π⎛⎫-⎪⎝⎭验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算54f π⎛⎫⎪⎝⎭是否为0. 【详解】因为函数()f x ，在()0,π上是单调函数，所以2T ≥π ，即22ππω≥，所以 01ω<≤ ，若12ω=，则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，又因为02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1sin 0222ππϕ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪⎝=⎪⎝⎭⎭f ，解得34πϕ=，而13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫=⎪⎭⎪⎝⎭⎝f ，故A 错误. 由2sin 022πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，不妨令2ωπϕπ+= ，得2πωϕπ=-由sin 882ππωϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，得 2+84ππωϕπ⨯+=k 或32+84ππωϕπ⨯+=k当2+84ππωϕπ⨯+=k 时，2=23k πω+，不合题意. 当32+84ππωϕπ⨯+=k 时，22=33k πω+，此时()222sin 33π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x所以222272sin 2sin 2sin 838338312ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=⨯-+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f B 正确. 因为22,,0,2333ππππ⎡⎤⎡⎤∈--+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x ，函数()f x ，在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增，故C 错误. 525232sin 2sin 043432f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.11．二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A 【解析】【分析】求出二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式52x ⎫-⎪⎭展开式的通式为()()55225215512rrr rrr rrr T C x C x---+-+=-=-，令5202rr --+=，解得1r =，则常数项为()11451280C -=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题. 12．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B 【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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2021届河南省开封市高三上学期一模考试
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
(含答案)
注意事项：
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合{2,1,0,1,2},{|||1,}
A B y y x x A
=--==+∈,则A B=
A.∅
B.{ -1,0,1}
C.{1,2}
D.{-2, -1,0,1,2,3}
2.设复数z满足(1+i)z=1,则z的虚部为
A.1
2
B. -1
C. -
1
2
D. -
1
2
i
3.已知向量a=(m,1) , b=(-1, -m), 满足a•b= |a|,则m=
A. -
3
2
B. -1
C.
1
2
D.
3
2
4.已知函数f(x)=sinα+cos x,α∈[0,2π),若f ´(α)=1,则α=
A.0或3π
2
B.
π
2
或π C.
π
2
D.
3π
2
5.已知双曲线
2
21(0)
x
y m
m
-=>的焦距为4,则该双曲线的渐近线方程为
A. 3
y x
=± B.
3
3
y x
=± C.
5
5
y x
=± D.
15
15
y x
=±
6.使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是
A. 11
b a
> B.e a>e b C.a b >b a D.1n a>1n b>0
7.某盏吊灯上并联着4个灯泡,如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8,那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的
概率是
A.0.8192
B.0.9728
C.0.9744
D.0.9984
8.右面程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中“辗转相除法”, 执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数),若输入的m,n
分别为272,153,则输出的m=
A.15
B.17
C.27
D.34
9.某函数的部分图象如右图所示,则该函数的解析式可能是
A.f(x)=(e x-e-x)cos x
B.f(x)=(e x-e-x)|cos x|
C.f(x)=(e x+e-x)cos x
D.f(x)=(e x+e-x)si nx
10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,A,B
为抛物线C上两点,|AO| =|AF|,且| AF| +| BF |=9p
4
,则AB的
斜率不可能是
A.
22
3
- B. 22
- C. 22 D.
2
11.在△ABC 中,M是边BC的中点,N是线段BM的中点.若∠A=π
6
,△ABC 的面积为3,则AM AN
⋅取最小值时,BC=
A.2
B.4
C. 8312
- D.
163
4
-
12.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁(如图1),扇面形状较为美观.从半径
为R的圆面中剪下扇形OAB,使扇形OAB的面积与圆面中剩余部分的面积比值为
51
-
,再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作扇面,使扇环形 ABDC的面积与扇形OAB的面积比值为
51
-
.。