随机变量函数的分布、卷积公式ppt课件
合集下载
§2.1 随机变量及分布函数.ppt
函数在理论和应用中都是很重要的,为此,我们有以 下定义：
定义2.1.2 设定义在样本空间 上的随
机变量 ，对于任意实数 x，称函数
F（x） P（ x），x （-，+）是随机变量 的概率分布函数，简称为分布函数或分布.
注意 分布函数实质上就是事件 ( x) 的
概率.也就是随机变量落在区间 (, x)内的概率.
分别规定 为1和0，即：
1, 0,
当出现H时 当出现T时
一旦实验的结果确定了， 的取值也就随之确定了.
从上述例子可以看出：无论随机试验的 结果，本身与数量有无联系，我们都能把试验 的结果与实数对应起来，即可把试验的结果数 量化.由于这样的数量依赖试验的结果,而对随
机试验来说，在每次试验之前无法断言 会出 现 何种结果，因而也就无法确定它会取什么 值，即它的取值具有随机性，我们称这样的 变量 为随机变量 . 事实上，随机变量就是
Un1(xn () xn1
P(xn () xn1) n1
F(xn1) F(xn ) n1
lim n
F(xn1) F(x1)
lim
n
F
(
xn1
)
F
(
x1
)
由此可得
F
(x)
lim
n
F ( xn1)
F(x
0)
3）、4）、5）是分布函数的三个基本性质， 反过来还可以证明任一个满足这三个 性质的函数 一定可以作为某个随机变量的分布函数.知道了随机
由性质2)得
3）单调性：若 x1 x2 ,则 F（x1） F（x2） ；
4）极限性：
lim F（x） F（ ） 0，lim F (x) F () 1
x
x
定义2.1.2 设定义在样本空间 上的随
机变量 ，对于任意实数 x，称函数
F（x） P（ x），x （-，+）是随机变量 的概率分布函数，简称为分布函数或分布.
注意 分布函数实质上就是事件 ( x) 的
概率.也就是随机变量落在区间 (, x)内的概率.
分别规定 为1和0，即：
1, 0,
当出现H时 当出现T时
一旦实验的结果确定了， 的取值也就随之确定了.
从上述例子可以看出：无论随机试验的 结果，本身与数量有无联系，我们都能把试验 的结果与实数对应起来，即可把试验的结果数 量化.由于这样的数量依赖试验的结果,而对随
机试验来说，在每次试验之前无法断言 会出 现 何种结果，因而也就无法确定它会取什么 值，即它的取值具有随机性，我们称这样的 变量 为随机变量 . 事实上，随机变量就是
Un1(xn () xn1
P(xn () xn1) n1
F(xn1) F(xn ) n1
lim n
F(xn1) F(x1)
lim
n
F
(
xn1
)
F
(
x1
)
由此可得
F
(x)
lim
n
F ( xn1)
F(x
0)
3）、4）、5）是分布函数的三个基本性质， 反过来还可以证明任一个满足这三个 性质的函数 一定可以作为某个随机变量的分布函数.知道了随机
由性质2)得
3）单调性：若 x1 x2 ,则 F（x1） F（x2） ；
4）极限性：
lim F（x） F（ ） 0，lim F (x) F () 1
x
x
概率论随机变量的分布函数ppt课件
因此， A 是不可能事件
P{A} 0.
ppt课件
12
例1: 设随机变量X具有概率密度
ke 3 x
x0
f (x)
0 x0
(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。
解: (1)由于
f (x)dx
ke3xdx k 1
，解得k=3.
0
3
于是X的概率密度为
f
(
x)
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x)
ppt课件
1
2
e dt x
(t )2 2 2
28
标准正态分布
当=0, =1时,称X服从标准正态分布,记作X～N(0,1).
例3 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在800欧～1000
欧，求R的概率密度及R落在850欧～950欧的概率.
解: 由题意，R的概率密度为
1 f (r) 1000 800
， 800 r 1000
0
, 其它
950 1
而 P{850 X 950}
dr 0.5
200 ppt课件
850
18
2. 指数分布
注 (4)式及连续性随机变量分布函数的定义表示 了分布函数与概率密度间的两个关系．利用这些 关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推 出另一个．
ppt课件
10
连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：
1. F(x)等于曲线f(x)在(-∞,x]上的曲边梯形的面积。
《概率论》课程PPT ：随机变量函数的分布
的分布。
一般地，设y=g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取 值在函数y=g(x)的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。
密度函数
fX (x)
随机变量
X
分布函数
F X (x)
fY ( y)
Y g(X)
随机变量的函数
FY ( y)
离散随机变量的函数的分布
若X为离散型 随机变量, 其分布律为
-2
-1
-15/4
-11/4
5
7
1/12 1/12
3/12
2/12
1/12
2/12
2/12
两个独立随机变量的和的分布
如果X与Y相互独立
X Y
~ ~
PP((21))
X
Y
~
P(1
2 )
X ~ B(m, p)
Y
~ B(n,
p)
X
Y
~
B(m
n,
p)
例 证明：如果X与Y相互独立，且X~B（n,p），
解 由（X，Y）的联合分布列可得如下表格
(X ,Y ) (1, 2) (1, 1) (1,0) (1 , 2) (1 , 1) (3, 2)
2
2
概率
1/12
1/12
3/12
2/12
1/12
2/12
(3, 0)
2/12
X Y
-3
-2
-1
-3/2
-1/2
1
3
X Y
1
0
-1
5/2
3/2
X
9.5 10
10.5 11 求周长及面积的分布律．
随机变量函数分布 PPT资料共16页
x2y2 z
zd
0
2 e222d
0
(
0
x cos y sin z,0
2
)
z 0
e
2 2 2
d
2 2 2
1e2z22雅可比(z式：0J)
fZ
(z)
z
2
z2
e 22 , z 0
的分布 设 z g(x, y)是一个二元函数 怎样求 r.vZg(X,Y)的分布？
FZ(z)P{Zz}
P{g(X,Y)z}
f(x,y)dxdy
g(x,y)z
zfZ(u)du
Z~ fZ(z)
第三章 多维随机变量及其分布
§5 两个随机变量的函数的分布 4/15
Fmax(z)F2(z)
fm a x (z ) 2 f(z )F (z )
2f(z)zf(t)dt
F m in(z) 1 [1F (z)]2
fm a x ( z ) 2 f( z ) [ 1 F ( z ) ]
2f(z)[1zf(t)dt]
第三章 多维随机变量及其分布
0 , x 0
z 0
1ex/
1e(zx)/I dx,z0
0,
I I z 0
z
2
ez
/
,
z
0
0 , z 0
设 X1,X2,,Xn相互独立且都服从参数为 的指数分布 求 X1X2Xn的分布密度.
设法导出递记推公X 1 式X ，2然后用Xn归~纳第fn三(法z章),证则多明维f随2(机z变) 量及z 其f1分(z布)
《概率论》课程PPT ： 随机变量的分布函数
4
(1, 5)
0 其它
求 X 的分布函数
y
解 当x1时
x
F (x) f (x)dx
0 1 2345 x x
当1 < x 5 时F (x)
x
f (x)dx
1
f (x)dx
x
f (x)dx
1
0 x 1 dx 1 (x 1)
14
（2)X 的密度函数
(1) P(0.3 X 0.7) F(0.7) F(0.3) 0.72 0.32 0.4
（2）密度函数为
f
(x)
F(x)
2x 0
0 x 1 otherwise
例：已知密度函数求分布函数
已知连续型随机变量X的概率密度为
1
f
(
x)
随机变量的分布函数
Distribution Function 分布函数的定义
设X为一随机变量,则对任意实数x，(X<x) 是一个随机事件，称
F(x) P(X x)
为随机变量X的分布函数
F(x)是一个
普通的函数！
定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。
分布函数表示事件的概率
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用 F(x)的函数值来表示。
解
X的概率密度
3 e3x x 0 f (x)
0 x 0
P(x1 X x2)
x2 f (x)dx
x1
P(X 1)
f (x)dx
3e3xdx e3
1
1
随机变量及分布PPT课件
P( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
fY
(
y
)
dFY ( dy
y
)
1
2
y
0,
fX
(
y ) fX(
y ) , y 0 y0
y 1
fX (
y
)
2
0
y 1
0
y 1
fX (
y
)
2
1 y 0
其它
0
其它
则 Y=X2 的概率密度为：
1
fY
(
y)
2
( y
0
y 1 2
U 的概率密度
P{ X
u 1} 3
FX
{
u
3
1)
fU (u)
dFU (u) du
f
X
(
u
3
1
)
(
u
3
1
)u
fU
(u)
2.
u
3
1
.
1 3
0
即
fU
(u)
2 9
(u
1)
0
0 u1 1 3
其它
1 u 2 其它
例4(P62-例3) 设随机变量X的概率密度为fX(x)(x R),求:
z0
0
z0
（3）备用方式： 系统L的寿命 Z=X+Y
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
积分区域
z
x
x
0
0
即0 x z
fZ (z)
z e x e (zx)dx e z
0
z e( ) xdx
随机变量函数及其分布.pptx
0,
FY
(
y)
y,
1,
y0 0 y1
其他
因此
fY
( y)
FY'
(
y)
1 ,
2y
y0
0, 其他
第9页/共57页
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机 变量函数Y=|X|的密度函数
解 X的密度函数为
f x 1 ex2 /2
Px
(
x)
x3e x2 0, x
,x 0
0
求随机变量 Y X 2和Y 2x 3 的概率密度
解：先求随机变量 Y X 2 的分布函数
FY (y) PY y P x2 y P y x y F x( y) F x( y)
p p y
y
(x)dx (x)dx
- x
- x
Φ (10 11) Φ (1) 1Φ (1) 1 0.84 0.16
1
P(Y=20)= P(10≤X≤12
Φ (1211) Φ (1011)
1
1
Φ (1) Φ (1) 0.68
综合得Y的分布律为 Y -5 -1 20
p 0.16 0.16 0.68
第18页/共57页
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例 设随机变量x的概率密度为 求随机变量Y=2X+8的概率密度
P
x
(
x)
x / 8,0 x 4 0, 其他情况
解：第一先求Y=2X+8的分布函数 FY (y)
F p (y) Y
pY y
p2x 8 y
随机变量函数的分布卷积公式.正式版PPT文档
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分
上述积分的被积函数不等于零.
( 12) r
e r! FN(z)=P(N≤z)
i r-i
例6 设系统 L 由两个相互独立的子系统
二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, (ii1i) 2
概率论
随机变量函数的分布卷积公式
概率论
在第二章中，我们讨论了一维
随机变量函数的分布，现在我们进一 步讨论:
当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何 求出它们的函数
的分布?
Z = g ( X, Y )
一、Z X Y 的分布
概率论
例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 ,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求 Z=X+Y 的概率函数.
概率论
例4 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度
f(x)1,0,0其x它 1
求 Z=X+Y 的概率密度 .
解 由卷积公式
fZ(z)fX(x)fY(zx)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域
0 x 1 0 z x 1
也即
0 x 1 z 1 x z
概率论
fZ(z)fX(x)fY(zx)dx
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分
解 Z=X+Y的分布函数是: 由于当系统
中有一个损坏时, 系统 L 就停止工作,
若X和Y 独立,
需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称
y
当 x 0 时,
即
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
fZ (z)
f X (x) fY (z x)dx
卷积公式
下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.
概率论
例4 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度
f
(
x)
1,
0,
0
x 其它
1
求 Z=X+Y 的概率密度 .
解 由卷积公式
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域
0 x 1 0 z x 1
也即
0 x 1 z 1 x z
概率论
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
故 当 z 0 或 z 2 时 , fZ z 0.
当0 z 1时 ,
暂时固定
fZ z
z
dx z
0
z x1
当 1 z 2时 ,
z
fZ z
解 P(Z r) P(X Y r)
r
P(X i,Y r i)
i0 r
P( X i)P(Y r i)
i0
由独立性 =a0br+a1br-1+…+arb0 r=0,1,2, …
概率论
例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为λ1, λ2 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 λ1 λ2 的泊松分布.
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ (z) FZ' (z)
f (x, z x)dx
以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
概率论
特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边 缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
fZ (z) fX (z y) fY ( y)dy
1
dx 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ z
z1
于是
z , 0 z 1,
f
Z
z
2
z
,1
z
2,
0 , 其它.
2
z 1 z O zz 11
zx x
概率论
例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具 有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.
解 由卷积公式
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
1
z2
2
e 2 2
2π 2
概率论
可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).
概率论
若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y
服从正态分布 N(0,2).
若X和Y 独立,
X
~
N
(1,
2 1
),Y
~
N
(2
,
2 2
),
结论又如何呢?
用类似的方法可以证明:
Z
X
Y
~
N (1
2 , 12
解 依题意
P(X
i)
e 1 i 1
i=0,1,2,…
i!
P (Y
j)
e 2 j 2
j=0,1,2,…
j!
于是
r
P(Z r) P(X i,Y r i)
i0
概率论
r
P(Z r) P(X i,Y r i)
i0
r e-1 1i e-2
r-i 2
i0
i!
(r - i)!
e (12 ) r!
概率论
4.5 随机向量函数的分布
概率论
在第二章中，我们讨论了一维
随机变量函数的分布，现在我们进一 步讨论:
当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何 求出它们的函数
的分布?
Z = g ( X, Y )
概率论
一、Z X Y 的分布
例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 ,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求 Z=X+Y 的概率函数.
1
x2
z x2
e 2 e 2 dx
2π
1
z2
e2
e( x2 zx)dx
2π
1 z2 ( x z )2
e 4 e 2 dx
2π
1 z2 ( x z )2
e 4 e 2 dx
2π
令 t x z, 得 2
fZ
z
1
z2
e4
et2 dt
1
z2
e 4
2π
2π
π
FXi z (i = 1, …, n)
2 2
)
此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形, 请自行写出结论.
概率论
更一般地, 可以证明: 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态
分布.
概率论
休息片刻再继续
概率论
二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分
布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数.
1. M = max(X,Y) 的分布函数 FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z)
M
z
X Y
z z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布
函数为: FM(z) =P(X≤z)P(Y≤z)
即有
FM(z)= FX(z)FY(z)
2. N = min(X,Y) 的分布函数
概率论
FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
=1-P(X>z,Y>z)
N
z
X Y
z z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布 函数为:
FN(z) =1- P(X>z)P(Y>z)
即有
FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
概率论
设 X1,…,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的 分布函数分别为
r i0
i!
r! (r -
i)!
i r-i 12
e (12 ) r!
(1
2 )r ,
r=0,1,…
即Z服从参数为 λ1 λ2 的泊松分布.
概率论
例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.
解 Z=X+Y的分布函数是:
y
FZ z P Z z
PX Y z
0
f (x, y)dxdy
D
这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z}
它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.
x x yz
概率论
y
FZ (z) f (x, y)dxdy
x yz
y
化成累次积分,得
zy
0
FZ (z)
[
f (x, y)dx]dy
x x yz
固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,
得
z
FZ (z)
[ f (u y, y)du]dy
z
变量代换
[ f (u y, y)dy]du
交换积分次序
概率论
z
FZ (z)
[ f (u y, y)dy]du
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率 密度为:
fZ (z) FZ' (z)
f (z y, y)dy