高中数学知识点：不等式的证明及应用
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结一、基本概念不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数值之间的大小关系。
在高中数学中，我们学习了许多不等式的性质和解法。
下面将从基本概念、性质和解法三个方面对高中不等式的知识点进行总结。
1.1 不等式的定义不等式是指两个数或两个代数式之间的大小关系，用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”表示。
不等式中的符号有以下含义： - “<”表示小于，例如a < b表示a小于b； - “>”表示大于，例如a > b表示a大于b； - “≤”表示小于等于，例如a ≤ b表示a小于等于b； - “≥”表示大于等于，例如a ≥ b表示a大于等于b。
1.2 不等式的解集不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。
根据不等式的类型和题目的要求，解集可以是有限集、无限集或空集。
二、基本性质不等式具有一些基本的性质，了解这些性质可以帮助我们更好地理解和运用不等式。
2.1 不等式的传递性对于任意实数a、b、c，如果a < b且b < c，则有a < c。
这个性质称为不等式的传递性。
利用不等式的传递性，我们可以简化不等式的推导过程。
2.2 不等式的加减性质对于任意实数a、b、c，如果a < b，则有a + c < b + c，a - c < b - c。
这个性质称为不等式的加减性质。
利用不等式的加减性质，我们可以对不等式进行加减运算，从而得到等价的不等式。
2.3 不等式的乘除性质对于任意实数a、b、c（c ≠ 0），如果a < b且c > 0，则有ac < bc；如果a < b且c < 0，则有ac > bc。
这个性质称为不等式的乘除性质。
利用不等式的乘除性质，我们可以对不等式进行乘除运算，从而得到等价的不等式。
2.4 不等式的倒置性质对于任意实数a、b，如果 a < b，则有-b < -a。
高中不等式知识点
高中不等式知识点高中阶段，不等式是数学中的重要内容之一。
不等式不仅在数学中有广泛的应用，也在生活中有很多实际意义。
下面我将重点介绍高中阶段学习不等式的一些重要知识点。
1. 不等式的基本性质：(1) 加减性质：对于不等式两边同时加减同一个数，不等号的方向保持不变；(2) 乘除性质：如果同一个正数或同一个负数同时乘或除不等式两边，不等号方向不变，如果同一个正数乘或除不等式两边，不等号的方向保持不变，如果同一个负数乘或除不等式两边，不等号的方向发生改变；(3) 倒置性质：不等号两边同时倒置，不等号的方向也要倒置。
2. 不等式的解集表示法：(1) 常用解集表示法：使用不等号来表示解集，如x>2表示x 大于2；(2) 区间表示法：使用数轴上的区间来表示解集，如[2, +∞)表示大于或等于2的所有实数。
3. 一元一次不等式：一元一次不等式指的是只含有一个未知数（一元）和一次方程的不等式。
对于一元一次不等式的求解，可以进行类似于方程的运算，通过移项和化简得出解集。
4. 一元二次不等式：一元二次不等式指的是含有一个未知数（一元）以及二次项（平方项）的不等式。
对于一元二次不等式的求解，可以通过变换成二次方程，求出方程的解集，再用数轴上的区间来表示解集。
5. 系统不等式：系统不等式指的是多个不等式组成的一个问题。
对于系统不等式的求解，可以通过图像法，通过画出各个不等式的直线图像，找出满足全部条件的交集部分来表示解集。
6. 约束条件的不等式：在一些实际问题中，不仅有不等式的限制条件，还有其他的约束条件。
对于这种情况，需要将不等式的解集与其他条件进行比较来确定最终的解集。
不等式作为数学中的重要内容，不仅仅是应试的一部分，更是对学生逻辑思维和数学思考能力的考验。
通过学习不等式，可以培养学生的分析问题和解决问题的能力，使他们在解决实际问题时能够灵活运用数学知识。
在生活中，不等式也有很多实际应用，如求解最大值、最小值问题、经济学中的供求关系等等。
高中数学不等式知识点
高中数学不等式知识点
1.不等式的定义：a-b>0a>b,a-b=0a=b,a-b<0a<b。
① 其实质是用实数运算来定义两个实数之间的大小关系。
这是本章的基础，也是证明和求解不等式的主要基础。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
2.不等式的性质：
①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式的基本性质是：
1a>bb<a对称性
2A>b，b>CA>C及物性
3a>ba+c>b+cc∈r
当4C>0时，a>BAC>BC
c<0时，a>bac<bc。
操作属性包括：
1a>b,c>da+c>b+d。
2a>b>0，c>d>0ac>bd
3a>b>0an>bnn∈n,n>1。
4a>b>0>n∈n、 n>1
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
② 关于不等式性质的研究，主要有三类问题：
1根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
2.利用不等式、实数和函数的性质来判断实值的大小。
3利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.不等式的符号表示二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.乘法原则三、常见不等式的解法1.作差比较法2.作商比较法3.韦达定理四、实际应用1.生活中的应用2.数学中的应用正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示两个数的大小关系。
不等式的定义很简单，就是一个比较式，用符号">"或"<"来表示大小关系。
例如，x > y表示x大于y，x < y表示x小于y。
二、不等式的基本性质不等式有许多基本性质，这里我们介绍四个常见的性质。
1.对称性：如果x > y，则y < x。
这就是说，不等式两边同时改变符号，不等式的方向不会改变。
2.传递性：如果x > y，且y > z，则x > z。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而另一个数又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。
3.可加性：如果x > y，且a > 0，则x + a > y + a。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而加上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
4.乘法原则：如果x > y，且m > 0，则x * m > y * m。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而乘上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
三、常见不等式的解法有许多方法可以解不等式，这里我们介绍三种常用的方法。
1.作差比较法：如果x > y，则x - y > 0。
我们可以通过作差来比较两个数的大小。
2.作商比较法：如果x > y，则x / y > 1。
我们可以通过作商来比较两个数的大小。
3.韦达定理：如果x > y，则(x + y) / 2 > (x - y) / 2。
我们可以通过韦达定理来比较两个数的大小。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
完整版高中数学不等式知识点总结
完整版高中数学不等式知识点总结高中数学中的不等式是学习数学中非常重要的一部分，在中高考中，不等式占据了较多的分数比重。
本文将对高中数学中的不等式进行全面的总结，内容涵盖了不等式的概念、基础知识、理论与定理、解题思路、常用不等式以及与其他章节的联系等方面。
一、不等式的概念与基础知识不等式是指含有不等关系的算式，一般表示成 a<b 或a>b，其中 a、b 可以是实数、分数或代数式等。
当 a<b 时，称 a 小于 b，也可以写成 b 大于 a；当 a>b 时，称 a 大于b，也可以写成 b 小于 a。
在不等式中，表示关系的符号“<”和“>”称为不等号。
解不等式可以用图像法、正推反证法和直接法等方法。
图像法：绘制不等式所代表的曲线或图形，在图形中表示不等关系所代表的区域，最终得出解不等式的集合。
正推反证法：通过推理判断得出不等式的解，其中正推法是根据不等式的性质进行推导和运算，而反证法则是通过推翻假设得出结论。
直接法：对不等式进行变形、化简和运算，得出解的过程。
不等式的基础知识：1. 加减法原则：若 a<b，则 a+c<b+c，a-c<b-c（c 为任意实数）。
2. 乘除法原则：若 a<b 且 c>0，则 ac<bc，a/c<b/c；若 a<b 且 c<0，则 ac>bc，a/c>b/c。
3. 平均值不等式：对于任意两个正数 a 和 b，有(a+b)/2>=√ab，等号当且仅当 a=b 时取到。
二、不等式的理论与定理1. 不等式传递性：若 a<b，b<c，则 a<c。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个实数序列a1,a2,...,an 和 b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=((a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^ 2+...+bn^2))，等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=...=an/bn 时取到。
高一数学基本不等式知识点
高一数学基本不等式知识点在高中数学学习的过程中，不等式是一个重要的部分。
不等式是数学中研究各种数量之间大小关系的一种数学关系。
在高一阶段，基本不等式是学习不等式的基础，也是进一步研究不等式的前提。
1. 不等式的定义与性质不等式是指两个数或者两个算式之间的大小关系。
常见的不等式符号包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）。
在解不等式的过程中，我们需要注意不等式的性质，比如对称性、传递性以及与等式的关系等。
2. 基本不等式基本不等式是高一阶段不等式学习的核心内容。
在基本不等式中，包括了重要的三个不等式：算术平均数与几何平均数的大小关系、平均数不等式、柯西-施瓦茨不等式。
a. 算术平均数与几何平均数的大小关系：对于任意一组正数，它们的算术平均数大于等于几何平均数。
即若a1、a2、...、an为正数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥ (a1*a2*...*an)^(1/n)。
b. 平均数不等式：对于任意一组正数，它们的算术平均数大于等于它们的四次方平均数，四次方平均数大于等于它们的几何平均数。
即若a1、a2、...、an为正数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥ ((a1^4+a2^4+...+an^4)/n)^1/4 ≥ (a1*a2*...*an)^(1/n)。
c. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两组实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2 ≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
该不等式在向量和内积的研究中具有重要的应用。
3. 不等式的解法在解不等式的过程中，我们需要运用相关的性质和定理，结合具体的不等式形式进行推导。
a. 基本不等式的应用：基本不等式是解决各类不等式问题的基础。
我们可以将待解决的不等式通过恰当的变形和不等式的运算性质转化成基本不等式，再利用基本不等式求解。
高中数学知识点总结(不等式选讲 第二节 不等式的证明)
第二节 不等式的证明一、基础知识1．基本不等式(1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．(3)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b . (2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．考点一 比较法证明不等式[典例] 已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2，得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立；当x ≥12时，由f (x )＜2，得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2 ＝a 2＋b 2－a 2b 2－1 ＝(a 2－1)(1－b 2)＜0. 因此|a ＋b |＜|1＋ab |. [题组训练]1．当p ，q 都是正数且p ＋q ＝1时，求证：(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2. 解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋q 2y 2＋2pqxy －(px 2＋qy 2) ＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy .因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p . 所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0，所以(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立． 2．求证：当a >0，b >0时，a a b b≥(ab )+2a b .证明：∵a ab b ab+2a b ＝⎝⎛⎭⎫a b -2a b ，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b -2a b ＝1，当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，∴a a b b≥(ab )+2a b.考点二 综合法证明不等式[典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)∵(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3a ＋b 24(a ＋b )＝2＋3a ＋b 34，∴(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.[解题技法] 综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．[题组训练]1．设a ，b ，c ，d 均为正数，若a ＋b ＝c ＋d ，且ab >cd ，求证：a ＋b >c ＋d . 证明：因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd . 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此 a ＋b >c ＋d .2．(2018·湖北八校联考)已知不等式|x |＋|x －3|<x ＋6的解集为(m ，n )． (1)求m ，n 的值；(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy . 解：(1)由|x |＋|x －3|<x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，x ＋x －3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <3，3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x ＋3－x <x ＋6， 解得－1<x <9，∴m ＝－1，n ＝9.(2)证明：由(1)知9x ＋y ＝1，又x >0，y >0， ∴⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ×9xy＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝14时取等号，∴1x ＋1y ≥16，即x ＋y ≥16xy .考点三 分析法证明不等式[典例] (2019·长春质检)设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解] (1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2，得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}． (2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，即证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，即证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)， 即证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立． 综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解题技法] 分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论． (2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(3)注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语． [题组训练]1．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 证明：由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， 知a >0，c <0. 要证b 2－ac <3a ， 只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，∴只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2， 即证2a 2－ab －b 2>0， 即证(a －b )(2a ＋b )>0， 即证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0， ∴(a －b )(a －c )>0显然成立， 故原不等式成立．2．已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，求证：f (ab )＞f (a )－f (－b )． 解：(1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2， 解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2， 此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0， 即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立．[课时跟踪检测]1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试用分析法证明：∠B 为锐角． 证明：要证∠B 为锐角，只需证cos B >0， 所以只需证a 2＋c 2－b 2>0， 即a 2＋c 2>b 2，因为a 2＋c 2≥2ac ， 所以只需证2ac >b 2， 由已知得2ac ＝b (a ＋c )．所以只需证b (a ＋c )>b 2，即a ＋c >b ，显然成立． 所以∠B 为锐角．2．若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，仅当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 3．(2019·南宁模拟)(1)解不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4； (2)若a ，b 满足(1)中不等式，求证：2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.解：(1)当x <－3时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1－x －3＝－2x －4<4，解得x >－4，所以 －4<x <－3；当－3≤x <－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1＋x ＋3＝2<4恒成立， 所以－3≤x <－1；当x ≥－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝x ＋1＋x ＋3＝2x ＋4<4，解得x <0，所以－1≤x <0. 综上，不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4的解集为{x |－4<x <0}． (2)证明：因为4(a －b )2－(ab ＋2a ＋2b )2 ＝－(a 2b 2＋4a 2b ＋4ab 2＋16ab ) ＝－ab (b ＋4)(a ＋4)<0， 所以4(a －b )2<(ab ＋2a ＋2b )2， 所以2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.4．(2018·武昌调研)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求证：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，3x －5，x >2.当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1， 解得x ≤0，此时x ≤0；当x >2时，由f (x )＝3x －5≤－1， 解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}．(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数， ∴g (x )≤g (0)＝0. 故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.5．(2019·西安质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，求证：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，∴f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0，即－1≤x ≤12时取等号，∴M ＝[3，＋∞)． t 2＋1－3t －3t ＝t 3－3t 2＋t －3t＝t －3t 2＋1t，∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0， ∴t －3t 2＋1t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t .6．(2019·长春质检)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|. (1)求f (x )<2的解集；(2)若f (x )的最小值为T ，正数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤T .解：(1)f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ＋9，x <32，－x ＋3，32≤x ≤2，5x －9，x >2.作出函数f (x )的图象如图所示．由图象可知，f (x )<2的解集为⎝⎛⎭⎫75，115. (2)证明：由图象可知f (x )的最小值为1， 由基本不等式可知a ＋b2≤ a ＋b2＝ 14＝12， 当且仅当a ＝b 时，“＝”成立，即a ＋b ≤1＝T . 7．已知函数f (x )＝|2x －1|－⎪⎪⎪⎪x ＋32. (1)求不等式f (x )<0的解集M ；(2)当a ，b ∈M 时，求证：3|a ＋b |<|ab ＋9|.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧52－x ，x <－32，－3x －12，－32≤x ≤12，x －52，x >12.当x <－32时，f (x )<0，即52－x <0，无解；当－32≤x ≤12时，f (x )<0，即－3x －12<0，得－16<x ≤12；当x >12时，f (x )<0，即x －52<0，得12<x <52.综上，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－16<x <52. (2)证明：要证3|a ＋b |<|ab ＋9|，只需证9(a 2＋b 2＋2ab )<a 2b 2＋18ab ＋81， 即证a 2b 2－9a 2－9b 2＋81＞0， 即证(a 2－9)(b 2－9)＞0.因为a ，b ∈M ，所以－16<a <52，－16<b <52，所以a 2－9<0，b 2－9<0， 所以(a 2－9)(b 2－9)>0， 所以3|a ＋b |<|ab ＋9|.8．已知函数f (x )＝m －|x ＋4|(m >0)，且f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 都是正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)法一：依题意知f (x －2)＝m －|x ＋2|≥0， 即|x ＋2|≤m ⇔－m －2≤x ≤－2＋m .由题意知不等式的解集为[－3，－1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，－2＋m ＝－1，解得m ＝1.法二：因为不等式f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]，所以－3，－1为方程f (x －2)＝0的两根，即－3，－1为方程m －|x ＋2|＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －|－3＋2|＝0，m －|－1＋2|＝0，解得m ＝1.(2)证明：由(1)可知1a ＋12b ＋13c＝1(a ，b ，c >0)，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c2b ≥9，当且仅当a ＝2b ＝3c ，即a ＝3，b ＝32，c ＝1时取等号．。
高一基本不等式知识点讲解
高一基本不等式知识点讲解在高中数学中，基本不等式是一个重要的知识点。
本文将对高一基本不等式的知识点进行详细的讲解。
一、不等式的定义和性质不等式是数学中用于表示大小关系的符号，包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
在解不等式问题时，需要根据不等式的性质进行推导和分析。
1.1 大于和小于大于和小于是最基本的不等式关系。
对于两个实数a和b，如果a大于b，可以表示为a > b；如果a小于b，可以表示为a < b。
这种大小关系在数轴上可以直观地表示出来，通过比较两个实数在数轴上的位置来确定大小关系。
1.2 大于等于和小于等于大于等于和小于等于是包含了等于的不等式关系。
对于两个实数a和b，如果a大于等于b，可以表示为a ≥ b；如果a小于等于b，可以表示为a ≤ b。
这种不等式关系意味着两个数相等或者一个数大于另一个数。
在数轴上，可以用实心点表示。
二、基本不等式的证明和应用基本不等式是指一些常见且易证明的不等式，它们在解决实际问题时具有重要的作用。
接下来，我们将介绍几个常见的基本不等式及其应用。
2.1 三角不等式三角不等式是指对于任意实数a、b和c，有以下不等式成立：|a + b| ≤ |a| + |b|、|a - b| ≤ |a| + |b|。
这个不等式在解决绝对值问题和距离问题时特别有用。
2.2 平均不等式平均不等式是指对于任意一组非负实数x1、x2、...、xn，有以下不等式成立：（x1 + x2 + ... + xn）/n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)。
平均不等式在数论、代数等领域中有广泛的应用。
2.3 柯西不等式柯西不等式是指对于任意一组实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有以下不等式成立：(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)²≤ (a₁² + a₂² + ... + an²)(b₁² + b₂² + ... + bn²)。
不等式知识点
不等式知识点不等式，作为高中数学中一项重要的内容，贯穿着整个数学学习的过程。
它不仅在数学中有重要的地位，也在实际生活中应用广泛。
了解不等式的各种性质和解题方法，不仅可以帮助我们在数学考试中取得好成绩，更能在解决实际问题时发挥巨大的作用。
1. 不等式的基本概念不等式是用不等号连接的两个数或含有变量的代数式。
其中，大于号表示大于关系，小于号表示小于关系。
例如：3 > 2，x + 1 < 5等。
在不等式中，大于号和小于号都可以加上等于号，分别表示大于等于和小于等于的关系。
2. 不等式的性质（1）等价不等式性质：如果两个不等式左右两边互相相等，那么两个不等式的解集也相等。
例如：若a + b < c，则a + b + d < c + d。
（2）加减法性质：在不等式两边同时加或减相同的数，不等关系不变。
例如：若a < b，则a + c < b + c。
（3）乘除法性质：当不等号的一边为正数，另一边为负数时，改变不等关系。
例如：若a < b，则-a > -b。
但需注意，当两边同时乘或除以负数时，不等关系反转。
例如：若a < b，则-a > -b；若a > 0，则2a < a。
（4）倒置性质：如果不等式两边互相交换位置，不等关系也要交换。
例如：若a < b，则b > a。
3. 不等式的解法（1）图像法：将不等式等号两边的代数式分别画成函数图像，在坐标系中找出它们的共同区域，即为不等式的解集。
（2）试值法：根据不等式的性质，用一组特定的数值代替不等式中的变量，判断不等式是否成立。
（3）整理法：通过移动项的位置，使不等式看起来更简单。
例如：对于不等式a + b > c，可以移项为a + b - c > 0，更容易处理。
（4）分析法：对不等式进行逐步分析，通过推理和推导，得到不等式的解集。
4. 不等式在实际问题中的应用不等式在现实生活中有着广泛的应用。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结摘要：一、高中不等式的基本概念二、高中不等式的性质1.对称性2.传递性3.可加性4.可积性三、高中不等式的比较大小方法1.作差比较法2.作商比较法四、高中不等式的应用1.解不等式2.不等式的证明正文：一、高中不等式的基本概念不等式是数学中一种表示大小关系的方式，它用符号">"、"<"或">="、"<="连接。
在高中数学中，我们主要学习如何运用不等式的性质来比较大小和解决实际问题。
二、高中不等式的性质高中不等式具有以下基本性质：1.对称性：如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a。
这意味着不等式的方向可以随意改变，大小关系不变。
2.传递性：如果a>b，且b>c，那么a>c。
这意味着如果一个数大于另一个数，那么这两个数中的较大的数必定也大于第三个数。
3.可加性：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d。
这意味着两个不等式相加，不等号的方向不变。
4.可积性：如果a>b，且c>d，那么ac>bd。
这意味着两个不等式相乘，不等号的方向不变。
三、高中不等式的比较大小方法在高中数学中，我们通常运用以下两种方法来比较大小：1.作差比较法：比较两个数的大小，可以先将它们相减，如果差值大于0，那么被减数大于减数；如果差值小于0，那么被减数小于减数。
2.作商比较法：比较两个数的大小，可以先将它们相除，如果商大于1，那么被除数大于除数；如果商小于1，那么被除数小于除数。
四、高中不等式的应用高中不等式在实际应用中十分广泛，主要包括解不等式和证明不等式。
1.解不等式：解不等式是求解不等式所表示的数学问题的过程，通常需要运用不等式的性质，将不等式转化为等式，从而求得解集。
2.不等式的证明：不等式的证明是运用不等式的性质和已知条件，论证某个不等式是否成立的过程。
高中数学知识点不等式的性质及解法
高中数学知识点不等式的性质及解法高中数学中，不等式的性质及解法是一个重要的知识点。
它涉及到不等式的基本性质、不等式的加减乘除、不等式的等价变形以及一元一次不等式、一元二次不等式等不等式类型的解法。
下面将详细介绍不等式的性质及解法。
一、不等式的性质1.两边加减同一个数不等号方向不变。
2.两边乘除同一个正数不等号方向不变，同一个负数不等号方向改变。
3.如果两个不等式成立，则它们的和、差、乘积、商仍然成立。
4.如果两个不等式的符号方向相反，求和时不等式方向不确定，求差时等式方向不确定，求积时反而求商时等式方向相反。
5.无论何时，两边加上相等的数，不等式的大小不变。
二、一元一次不等式对于一元一次不等式，常规的解法是将其转化为等价的不等式进行求解。
具体步骤如下：1. 化简：将不等式中的所有项移到一边，化简为标准形式ax+b<0或ax+b>0。
2.等价变形：根据不等式的性质，进行乘除法或加减法，将不等式变形为更简单的形式。
3.解不等式：根据等价变形后的不等式，确定x的取值范围。
三、一元二次不等式对于一元二次不等式，可以利用抛物线的性质进行求解。
具体分为以下几种情况：1.一元二次不等式的根在抛物线的两侧，此时，可以通过求解抛物线与x轴的交点来确定不等式的解集。
2.一元二次不等式的根在抛物线上，此时，可以通过根的位置确定抛物线在不等式中的符号。
3.一元二次不等式的根在抛物线的一侧，此时，可以根据抛物线的开口方向来确定不等式的解集。
四、综合应用在实际问题中，不等式的应用非常广泛，比如在经济学、物理学、生物学等领域中的一些实际问题往往可以转化为不等式进行求解。
这时候，除了要掌握不等式的基本性质和解法外，还需要注意问题的本质，合理进行变量的定义和范围的确定。
综上所述，不等式的性质及解法在高中数学中占据很重要的地位。
掌握不等式的基本性质，熟悉不等式的加减乘除运算，能够灵活运用不等式的等价变形以及一元一次不等式、一元二次不等式的解法，对于提高解题能力和培养数学思维都非常有帮助。
高中数学不等式知识点
高中数学不等式知识点高中数学中的不等式是一种重要的数学方法和技巧，它常用于解决实际问题，也是深入理解和掌握数学知识的关键。
下面将详细介绍高中数学中的不等式的知识点。
1.不等式的基本概念：不等式是用不等号连接的两个代数式，其中包含了未知数。
常见的不等号有小于号（<）、大于号（>）、小于等于号（≤）和大于等于号（≥）。
2.不等式的性质：（1）不等式的传递性：如果a<b，b<c，那么a<c。
（2）不等式的加减性：如果a<b，那么a+c<b+c（c>0），a-c<b-c （c>0）。
（3）不等式的倍乘性：如果a < b，c > 0，那么ac < bc；如果a < b，c < 0，那么ac > bc。
（4）不等式的倒置性：如果a<b，那么-b<-a。
3.不等式的解集表示法：（1）用图像表示：可以将不等式在坐标轴上表示出来，求解该不等式对应的数轴上的区间。
（2）用解集表示：解集即满足不等式的所有实数的集合，可以用区间表示解集。
4.一元一次不等式：（1）一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用区间表示。
解一元一次不等式的步骤是：将不等式化为标准形式，然后根据不等式的类型判断解集，最后用解集表示答案。
（2）一元一次不等式组：一元一次不等式组是多个一元一次不等式组成的系统。
解一元一次不等式组的步骤是：逐个解每个不等式，然后求解它们的交集。
5.二次不等式：（1）二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用区间表示。
解二次不等式的步骤是：先将二次不等式化为标准形式，然后找出函数的最值点，确定函数的开口方向，最后根据最值点和开口方向确定解集。
（2）二次不等式组：二次不等式组是多个二次不等式组成的系统。
解二次不等式组的步骤是：逐个解每个不等式，然后求解它们的交集。
6.分式不等式：（1）分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用区间表示。
用数学归纳法证明不等式-高中数学知识点讲解
用数学归纳法证明不等式1．用数学归纳法证明不等式【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0 时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1 时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0 并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．1/ 2【解题方法点拨】1、观察、归纳、猜想、证明的方法：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n 的取值不能太少，否则将得出错误的结论．例如证明n2＞2n 只观察前 3 项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2，a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，就此归纳出n2＞2n（n∈N+，n≥3）就是错误的，前n 项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k+1”的方法与技巧：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．2/ 2。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结不等式是高中数学中的重要内容，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还对培养我们的逻辑思维和解题能力起着关键作用。
下面我们来对高中不等式的知识点进行一个全面的总结。
一、不等式的基本性质1、对称性：若\（a ＞ b\），则\（b ＜ a\）；若\（a ＜ b\），则\（b ＞ a\）。
2、传递性：若\（a ＞ b\）且\（b ＞ c\），则\（a ＞ c\）。
3、加法法则：若\（a ＞ b\），则\（a ＋ c ＞ b ＋ c\）。
4、乘法法则：若\（a ＞ b\），＼（c ＞ 0\），则\（ac ＞ bc\）；若\（a ＞ b\），＼（c ＜ 0\），则\（ac ＜ bc\）。
二、一元一次不等式形如\（ax ＋ b ＞ 0\）（或\（＜ 0\））的不等式称为一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（若有分母）。
2、去括号。
3、移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
4、合并同类项。
5、系数化为\（1\）：根据不等式的性质，若系数为正，不等号方向不变；若系数为负，不等号方向改变。
三、一元二次不等式形如\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＞ 0\）（或\（＜ 0\））（＼（a ≠ 0\））的不等式称为一元二次不等式。
其解法可以通过判别式\（＼Delta ＝ b^2 4ac\）来判断：当\（＼Delta ＞ 0\）时，方程\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\）有两个不同的实根\（x_1\），＼（x_2\）（＼（x_1 ＜ x_2\）），则不等式的解集为\（x ＜ x_1\）或\（x ＞ x_2\）（大于取两边）；＼（x_1 ＜ x ＜x_2\）（小于取中间）。
当\（＼Delta ＝ 0\）时，方程有两个相等的实根\（x_0\），不等式的解集为\（x ≠ x_0\）（＼（a ＞ 0\））；＼（x 为全体实数\）（＼（a ＜ 0\））。
当\（＼Delta ＜ 0\）时，方程无实根，不等式的解集为\（a ＞ 0\）时，＼（x\）为全体实数；＼（a ＜ 0\）时，无解。
(完整版)高中数学不等式知识点总结
(完整版)高中数学不等式知识点总结高中数学中，不等式是一个重要的内容，它是解决数学问题的一种有力工具。
不等式是一种用于描述数值的大小关系的数学语句，它包含“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等符号。
在数学考试中，不等式问题常常出现在基础知识和综合应用的部分，所以对不等式的学习是非常必要的。
下面我将为大家总结一下高中数学中关于不等式的知识点。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是数值之间大小关系的表达式，由关系符号和数值构成。
2. 关系符号的含义：- 大于：表示前面的数比后面的数要大，如a>b。
- 小于：表示前面的数比后面的数要小，如a<b。
- 大于等于：表示前面的数比后面的数大或相等，如a≥b。
- 小于等于：表示前面的数比后面的数小或相等，如a≤b。
二、不等式的性质及常用规则1. 不等式的性质：- 若a>b，则-a<-b。
- 若a>b，则a+c>b+c。
- 若a>b，则ac>bc（当c为正数时）。
- 若a>b，则ac<bc（当c为负数时）。
- 若a>b，且c>0，那么a/c>b/c。
- 若a>b，且c<0，那么a/c<b/c。
2. 不等式的常用规则：- 加法规则：若a>b，则a+c>b+c。
- 减法规则：若a>b，则a-c>b-c。
- 乘法规则：若a>b（c>0），则ac>bc；若a<b（c<0），则ac<bc。
- 除法规则：若a>b（c>0），则a/c>b/c；若a<b（c<0），则a/c<b/c。
- 对称性：若a>b，则-b<-a。
三、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解集表示法：- 解集用区间表示。
- 开区间：解集中的数不包括端点。
- 闭区间：解集中的数包括端点。
2. 不等式的性质应用举例：- 若a>0，则-1/a<0。
高一不等式知识点归纳总结
高一不等式知识点归纳总结高一阶段学习数学，不等式是一个重点知识点，也是数学建模等应用题的常见考点。
在高中阶段，学生需要对不等式的性质、解集的表示和不等式的应用等方面进行深入学习。
本文将对高一阶段的不等式知识点进行归纳总结。
一、不等式的性质1. 不等式的传递性：如果a<b，b<c，那么a<c。
这个性质在证明不等式的过程中经常会用到。
2. 不等式的加减性：如果a<b，那么a±c<b±c。
即不等式两侧同时加（或减）一个常数，不等号的方向保持不变。
3. 不等式的乘法性：如果a<b，且c>0，那么ac<bc。
如果a<b，且c<0，那么ac>bc。
也就是说，不等式两侧同时乘以一个正数（或负数），则不等号的方向保持不变；若乘以一个负数，不等号的方向则反向。
4. 不等式的倒数性：如果a<b，且ab≠0，那么1/b<1/a。
当不等式两侧取倒数后，不等号的方向发生改变。
二、不等式解集的表示1. 不等式解的表示方式：不等式解集通常用区间表示，包括开区间、闭区间和无穷区间。
- 开区间：表示不包含某一值的解集，一般用(a, b)表示，表示a<b 之间的所有数但不包括a和b。
- 闭区间：表示包含某一值的解集，一般用[a, b]表示，表示a≤x≤b 之间的所有数。
- 无穷区间：表示解集没有上下界的情况，分为无穷大区间和无穷小区间。
2. 解不等式的步骤：解不等式的主要步骤有：移项、消项、分析正负、绘制数轴和表示解集。
三、不等式的类型1. 一元一次不等式：形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b 为已知实数，x为未知数。
- 解一元一次不等式的步骤：先将不等式化简为ax>c或ax<c的形式，然后根据a的正负情况进行讨论，最后找出解集。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。
高中数学不等式知识点
高中数学不等式知识点一、概述不等式是数学中的一个重要概念，它描述了两个数或两个式子之间的大小关系。
在高中阶段，学生需要掌握不等式的基本概念、性质及解不等式的方法。
本文将对高中数学不等式的知识点进行详细介绍。
二、不等式的定义及表示方式1. 不等式的定义：不等式是两个数或两个式子之间的大小关系的描述。
2. 不等式的表示方式：不等式可以用符号“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）来表示。
例如，x < y 表示x小于y，x ≤ y 表示x小于等于y。
三、不等式的基本概念1. 大于与小于：对于任意两个实数a和b，如果a-b大于零，则称a大于b，表示为a > b；如果a-b小于零，则称a小于b，表示为a < b。
2. 大于等于与小于等于：对于任意两个实数a和b，如果a-b大于等于零，则称a大于等于b，表示为a ≥ b；如果a-b小于等于零，则称a小于等于b，表示为a ≤ b。
四、不等式的性质1. 加减法性质：对于任意实数a、b和正数c，有以下性质：- 若a > b，则a + c > b + c；- 若a < b，则a + c < b + c；- 若a > b，则a - c > b - c；- 若a < b，则a - c < b - c。
2. 乘除法性质：对于任意实数a、b和正数c，有以下性质：- 若a > b且c > 0，则ac > bc；- 若a > b且c < 0，则ac < bc；- 若a < b且c > 0，则ac < bc；- 若a < b且c < 0，则ac > bc。
3. 反方向性质：对于任意实数a和b，有以下性质：- 若a > b，则-b > -a；- 若a < b，则-b < -a；- 若a > b，则1/b > 1/a（a、b为正数）；- 若a < b，则1/b < 1/a（a、b为正数）。
高中数学不等式知识点归纳
高中数学不等式知识点归纳
高中数学不等式知识点归纳主要包括以下几个方面：
1. 不等式的概念和性质：不等式是数学中比较基础的概念，它表示两个数之间的大小关系。
不等式的性质包括：对称性、传递性、加法法则、乘法法则等。
这些性质在解决不等式问题时非常重要。
2. 一元一次不等式：一元一次不等式是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过移项、合并同类项、化系数为1等方法，将其转化为一元一次方程，然后求解。
3. 一元二次不等式：一元二次不等式是含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过因式分解、配方、判别式等方法，将其转化为一元二次方程，然后求解。
4. 分式不等式：分式不等式是含有分式的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过通分、分子分母同号或异号等方法，将其转化为整式不等式，然后求解。
5. 绝对值不等式：绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过绝对值的定义，将其转化为分段函数，然后分别求解每一段的情况。
6. 不等式的应用：不等式在实际生活中有广泛的应用，如优化问题、最值问题、范围问题等。
在解决这些问题时，需要根据问题的实际情况，建立相应的不等式模型，然后求解。
以上是高中数学不等式知识点的主要归纳，希望对你有所帮助。
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不等式的证明及应用
1．不等式证明的基本方法：来自ab 0 a b（ 1）比较法： a b 0 a b
ab 0 a b
用比较法证明不等式，作差以后因式分解或配方。
（ 2）综合法：利用题设、不等式的性质和某些已经证明的基本不等式（
2
2
3
3
3
a2> 0;
| a | > 0;
a 0;a b
2 ab ; ab c 3abc 等），推论出所要证的
|b | 取等号
的条件是 ab < 0 且|a| > |b| 。 |a+b| < |a| + |b| 取等号的条件是 ab > 0 。
6．方程与不等式解的讨论
（ 1） 一元二次方程 ax 2 bx c 0 有严格的顺序性：
b
2
a 0 ,b4 ac
0,
x1
x2
a
c x1 x 2
及x
1, 2
b
。
2a
a
（ 2）函数与不等式：利用函数图象找出等价关系，转化为不等式问题去解决。
2．不等式证明的其它方法： （ 1）反证法：理论依据 A
B与B
A 等价。先否定命题结论，提出假设，由
此出发运用已知及已知定理推出矛盾。 根据原命题与逆否命题等价， AB
得证。
（ 2）放缩法：理论依据 （ 3）函数单调性法。
a > b, b > c
a>c
3．数（式）大小的比较： （ 1）作差或作比法
（ 2）媒介法
（ 3）函数单调性法
4．不等式在函数中的应用： （ 1）求函数的定义域
（ 2）求函数的值域
（ 3）研究函数的单调性
5．基本不等式法求最值：
（ 1）均值定理求最值：要求各项为正，一边为常数，等号可取。
（ 2）绝对值不等式 |a | |b | |a b| |a |
|b| 的应用。其中 |a b | | a|
不等式。综合法的思索路线是“由因导果”即从一个（一组）已知的不等式出
发，不断地用必要条件来代替前面的不等式， 直至推导出所要求证的不等
式。
（ 3）分析法：“执果索因”从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替 前面的不等式，直至找到已知的不等式。
证明不等式通常采用“分析综合法”，即用分析法思考，用综合法表述。