高三数学上学期期中试题理26

福建师大附中2016-2017学年第一学期高三期中考试卷数学 (理科)本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分 一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. (1)若集合{}|23M x x =-<<,{}2|1,N y y x x R ==+∈,则集合M N =（A ）[)1,3 （B ）(-2,3)（C ）(-2,+∞)（D ）R(2)若复数22i1ia ++(a ∈R )是纯虚数,则复数i a 22+在复平面内对应的点在 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限(3)已知向量25||,10),1,2(=+=⋅=b a b a a ,则=||b （A ）5 （B ）10（C ）5（D ） 25(4)已知3cos()63πα+=,则sin(2)6πα-的值为 （A ）223（B ）13（C ）13-（D ）223-(5)《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两份之和,则最小的1份为 （A ）56（B ）103（C ）53（D ）116(6) 等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件(7) 已知函数()()32,f x x ax bx a b R =-++∈的图象如图所示，它与x 轴相 切于原点，且x 轴与函数图像所围成区域（图中阴影部分）的面积为112， 则a 的值为 （A ）0（B ）1（C ）1-（D ）2-(8) 已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()11f x f x +=，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记()()()0.50.52log 2,log 4,2a f b f c f ===，则（A ）a c b >>（B ）a b c >>（C ）b c a >> （D ）b a c >>(9) 将函数x x f 2cos 2)(=的图象向右平移6π个单位后得到函数)(x g 的图象.若函数)(x g 在区间]3,0[a 和]67,2[πa 上均单调递增，则实数a 的取值范围是 （A ）3[,]48ππ（B ）[,]32ππ（C ）[,]63ππ（D ）[,]62ππ(10) 已知数列{}n a 满足：112(2)n n n a a a n -+=+≥，11=a ，且2410a a +=，若n S 为数列{}n a 的 前n 项和，则2183n n S a ++的最小值为（A ）4（B ）3（C ）264（D ）133(11) 已知函数121)(--=x e x f x（其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为（A ）（B ）（C ）（D ）(12) 定义在R 上的函数)(x f 满足：)(1)(x f x f ->'，6)0(=f ，)(x f '是)(x f 的导函数，则不等式5)(+>xxe xf e （其中e 为自然对数的底数）的解集为（A ）),0(+∞ （B ）),3(+∞（C ）),1()0,(+∞-∞（D ）),3()0,(+∞-∞第Ⅱ卷 共90分 二、填空题：本大题有4小题，每小题5分.(13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a b c ,,，326a b A π===,,，则tan B = . (14)已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤-a x y x y x 020，且y x z -=2的最大值与最小值的比值为2-，则a 的值是 .(15)一艘海轮从A 出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50o方向直线航行，30分钟后到达B处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 观察灯塔，其方向是东偏南20o，在B 处观察灯塔，其方向 是北偏东65o，则B 、C 两点间的距离是 海里.(16)数列{}n a 满足*11(n n n a a a n +-=+∈N ，2)n ≥，n S 是{}n a 的前n 项和，若51a =，则6S = .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，,4π=∠CAD 27=AC ，102cos -=∠ADB .(Ⅰ)求C ∠sin 的值；(Ⅱ)若ABD ∆的面积为7，求AB 的长.(18)（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()13,21122n n a S n a n ==++≥． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设()()*211n n b n N a =∈+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：()*3350nTn N <∈ . (19)（本小题满分12分）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,8AB AC ⋅=,,4BAC a θ∠==.(Ⅰ)求bc 的最大值；(Ⅱ)求函数()32cos 21f θθθ=+-的值域. (20)（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且1532=⋅a a ，4S ＝16． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=⋅．①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数n m ,(m ≠n )，使得n m b b b ,,2成等差数列？若存在，求出n m ,的值；若不存在，请说明理由．(21)（本小题满分12分）已知a 为常数,R ∈a ,函数x ax x x f ln )(2-+=,x x g e )(=.(其中e 是自然对数的底数)(Ⅰ)过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线,设切点为),(00y x P ,求证:10=x ； (Ⅱ)令)()()(x g x f x F =,若函数)(x F 在区间]1,0(上是单调函数,求a 的取值范围.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：3)sin (cos 42-+=θθρρ.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求圆C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求y x 2+的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,m n 都是实数，0m ≠，|2||12|)(-+-=x x x f . （Ⅰ）若()2f x >，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围．福建师大附中2016-2017学年第一学期高三期中考试数学 (理科)试题参考答案一、选择题：(1)－(12) ABCBC BCABD DA 二、填空题： (13)42(14)12(15)102 (16) 4 三、解答题：(17)解：(I) 因为102cos -=∠ADB ，所以1027sin =∠ADB．．．．．．．．1分 又因为,4π=∠CAD 所以,4π-∠=∠ADB C ．．．．．．．．2分所以4sin cos 4cos sin )4sin(sin πππADB ADB ADB C ∠-∠=-∠=∠7222241021025=⋅+⋅= ．．．．．．．．6分(Ⅱ)在ADC ∆中，由正弦定理得ADCACC AD ∠=∠sin sin ， 故2210275427sin sin )sin(sin sin sin =⨯=∠∠⋅=∠-∠⋅=∠∠⋅=ADB C AC ADB C AC ADC C AC AD π．．．．．．．．8分又,710272221sin 21=⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=∆BD ADB AB AD S ABD 解得5=BD ．．．．．．．．10分 在ADB ∆中，由余弦定理得.37)102(5222258cos 2222=-⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ADB BD AD BD AD AB ．．．．．．．．12分 (18)以上两式相减，得()121n n n a n a na -=+-， ∴11nn a n a n -=-，．．．．．．．．．．．．．．．4分∴132122132122n n n n n a a a n n a a n a a a n n ----=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=--，∴3,12,2n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩．．．．．．．．．．．．．．．6．．．．．．．．．．．．．．．．1．．．．．．．．．．．．．．．．2分（2）()()224,125111,21n n n b a n n ⎧=⎪⎪==⎨+⎪≥+⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分当1n =时，503325411<==b T ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当2n ≥时，()()21111111n b n n n n n =<=-+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴411111133133252334150150n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．12分∴()*3350n T n N <∈ (19)解(I)cos 8bc θ⋅= , 2222cos 4b c bc θ+-=即2232b c += ．．．．．．．．．．．．．．2分又222b c bc +≥ 所以16bc ≤ ,即bc 的最大值为16 ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分当且仅当b=c=4,θ=3π时取得最大值 ．．．．．．．．．．．．．．．．5分 (Ⅱ)结合(I)得,816cos θ≤, 所以 1cos 2θ≥ , 又0<θ<π 所以0<θ3π≤ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分()32cos 2-1f θθθ=+2sin(2)-16πθ=+ ．．．．．．．．．．．．．．．．8分因0<θ3π≤,所以6π<5266ππθ+≤, ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分当5266ππθ+= 即3πθ=时,min 1()2-102f θ=⨯= ．．．．．．．．．．．．．．．．10分 当262ππθ+=即6πθ=时,max ()21-11f θ=⨯= ．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以,函数()3sin 2cos 2-1f θθθ=+的值域为[0,1] ．．．．．．．．．．．．．．．．12分(20)解：(I)设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0．由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎨⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，或 ⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝－2．（舍去） ．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以a n ＝2n －1． …………………… 3分 (Ⅱ)①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n +1，所以b 1＝a 1＝1，b n +1－b n ＝1a n ·a n +1＝1 (2n －1)·(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， …………………… 5分即 b 2－b 1＝12(1－13)，b 3－b 2＝12(13－15)，…,b n －b n －1＝12(12n －3－12n －1)，（n ≥2）累加得：b n －b 1＝12(1－12n －1)＝n －12n －1，所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1． ……………………7分b 1＝1也符合上式．故b n ＝3n －22n －1，n ∈N*． …………………… 8分②假设存在正整数m 、n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列， 则b 2＋b n ＝2b m ．又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋(32－14n －2)＝2(32－14m －2)，即1 2m －1＝16＋14n －2，化简得：2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1． ……………………11分当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2，（舍去）； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列． …………………… 12分(21)解:(I)xa x x f 12)(-+='(0>x ) …………………… 1分 所以切线的斜率0002000ln 12x x ax x x a x k -+=-+=, …………………… 2分整理得01ln 020=-+x x ,显然,10=x 是这个方程的解, …………………… 3分 又因为1ln 2-+=x x y 在),0(+∞上是增函数,所以方程01ln 2=-+x x 有唯一实数解. ……………………4分 故10=x .(Ⅱ)xe xax x x g x f x F ln )()()(2-+==,xe x x a x a x x F ln 1)2()(2+-+-+-=' ……………5分设x x a x a x x h ln 1)2()(2+-+-+-=,则a x xx x h -+++-='2112)(2. 易知)(x h '在]1,0(上是减函数,从而a h x h -='≥'2)1()( ……………………7分 (1)当02≥-a ,即2≤a 时,0)(≥'x h ,)(x h 在区间)1,0(上是增函数.0)1(=h ,0)(≤∴x h 在]1,0(上恒成立,即0)(≤'x F 在]1,0(上恒成立. )(x F ∴在区间]1,0(上是减函数.所以,2≤a 满足题意. …………………… 9分 (2)当02<-a ,即2>a 时,设函数)(x h '的唯一零点为0x ,则)(x h 在),0(0x 上递增,在)1,(0x 上递减. 又∵0)1(=h ,∴0)(0>x h . 又∵0ln )2()(2<+-+-+-=----a a a a a e e a e a e e h , ∴)(x h 在)1,0(内有唯一一个零点x ',当),0(x x '∈时,0)(<x h ,当)1,(x x '∈时,0)(>x h .从而)(x F 在),0(x '递减,在)1,(x '递增,与在区间]1,0(上是单调函数矛盾. ∴2>a 不合题意. …………………… 12分 综合(1)(2)得,2≤a 法二:xexax x x g x f x F ln )()()(2-+==,xe x x a x a x x F ln 1)2()(2+-+-+-=' ……………5分要使()F x 为单调函数,则()0F x '≥在区间(0,1]恒成立或()0F x '≤在区间(0,1]恒成立即21(2)ln 0x a x a x x -+-+-+≥在区间(0,1]恒成立 或21(2)ln 0x a x a x x-+-+-+≤在区间恒成立而当1x =时, 21(2)ln 0x a x a x x-+-+-+=,故又等价于212ln 1x x x x a x -+-≥-在区间(0,1)恒成立或212ln 1x x x x a x-+-≤-在区间(0,1)恒成立…7分 设212ln ()(01)1x x xx c x x x -+-=<<-,故22211(1)ln ()(1)x x x x c x x ---+-'=- 又令211()ln (01)k x x x x x=-+-<<,而23232112()0x x k x x x x x --'=--=>,故()k x 在区间(0,1)单调递增,故有()(1)0k x k <=,可得()0c x '<,函数()c x 在区间(0,1)单调递减而当0x +→时,11x -→,212ln x x x x-+-→+∞, 当1x -→时,,()2c x →,故函数()c x 在区间(0,1)的值域为(2,)+∞ ………………………………………10分故212ln 1x x x x a x -+-≥-在区间(0,1)恒成立时,a 无解,212ln 1x x x x a x-+-≤-在区间(0,1)恒成立时,2a ≤. ………………………………………12分(22）解：（Ⅰ）因为24(cos sin )3ρρθθ=+-， 所以224430x y x y +--+=，即22(2)(2)5x y -+-=为圆C 的普通方程．…………………………………3分所以所求的圆C的参数方程为22x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) ．………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，设点)sin 52,cos 52(θθ++P266)x y θθθθ+=++=++ 设55sin =α，则552cos =α ，所以265sin()x y θα+=++ 当sin()1θα+=时，max (2)11x y +=，…………………………8分 此时，2,2k k Zπθαπ+=+∈即2,2k k Z πθαπ=-+∈，所以552cos sin ==αθ，55sin cos ==αθ点P 的直角坐标为(3,4)时， ……………………………10分（23）解：(I)方法一：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<+≤-=2,33221,121,33)(x x x x x x x f由2)(>x f 得⎪⎩⎪⎨⎧≤>-21233x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤<>+22121x x ， 解得31<x 或1>x .故所求实数x 的取值范围为),25()21,(+∞⋃-∞.……5分方法二：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤23321x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<21221x x 或⎩⎨⎧>->2332x x解得31<x 或1>x .故所求实数x 的取值范围为1(,)(1,)3-∞⋃+∞.……5分（II ）由)(x f m n m n m ≥-++且0m ≠得)(x f mnm n m ≥-++又∵2=-++≥-++mnm n m mnm n m …………………………8分∴2)(≤x f .∵2)(>x f 的解集为1(,)(1,)3-∞⋃+∞，∴2)(≤x f 的解集为1[,1]3， ∴所求实数x 的取值范围为1[,1]3.…………………………10分。