角的概念的推广3
角的概念和弧度制
1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向（逆时针或顺时针）旋转到另一位置OB形成角α。
其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，端点O叫角α的顶点。
(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。
正角：按逆时针方向旋转形成的角任意角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不做旋转时形成的角(3)象限角：由角的终边所在位置确定。
第一象限角的集合；第二象限角的集合第三象限角的集合；第四象限角的集合(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以表示为可构成集合S={ β| β=α+k×3600, K∈ Z}(5)特殊角的集合：终边在轴上角的集合,轴线角终边在轴上角的集合,终边在坐标轴上角的集合2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。
(2)角度与弧度的互化：角度、弧度的换算关系：≈0.01745（rad）, ≈57.30°=57°18ˊ；(2)两个公式：设扇形的弧长为,圆心角为,半径为，α为圆心角弧度数,则有:扇形弧长：扇形面积：1．将化为的形式是（ ）．A． B．C． D．2．若，则角的终边所在的象限为（ ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．扇形的周长是，圆心角是弧度，则扇形面积是（ ）．A． B． C． D．4．若集合，，则集合为（ ）．A． B． C． D．5．若角与终边相同，则一定有（ ）．A． B．C． D．6．在到之间与终边相同的角是___________．7．如果是第三象限角，那么角的终边的位置如何？是哪个象限的角？8．已知扇形的周长为，当它的半径和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．。
角的概念推广教案
角的概念推广教案主题：角的概念推广教学目标：1.理解角的概念，并能用正确的术语描述角；2.掌握角的度量方法，并能正确地度量角；3.能够应用角的概念和性质解决相关问题。
教学准备：投影仪、白板、书本、尺子、量角器、练习题、实物角模型等。
教学过程：Step 1：导入（10分钟）1.利用投影仪展示一张平面图，图中有两线段的交叉点，并标出交叉点。
引导学生观察图中的图形，并提问：你们看到了什么图形？2.学生回答后，引导学生发现交叉点所形成的形状，并解释这个形状叫做角。
3.引导学生描述角的特点，例如由两条线段组成、起点和终点等，并总结出角的定义：“两条有公共端点的线段所夹的部分称为角。
”Step 2：发现角的度量方法（15分钟）1.展示一把量角器，并解释量角器的结构和使用方法。
2.找出几个不同的角，让学生使用量角器度量这些角，并记录下度数。
3.引导学生发现度数是用来衡量角的大小的，也就是说，我们可以根据度数来比较角的大小。
Step 3：探究角的度量方法（20分钟）1.给学生提供几个已知角度的角模型，并要求学生用尺子度量这些角，再使用量角器进行度量。
2.让学生比较用尺子和量角器度量角的结果，并发现量角器比尺子更准确。
3.引导学生思考为什么量角器的度量结果更准确，并引导他们发现量角器的刻度更精细，可以更准确地测量角。
Step 4：角度的分类（10分钟）1.提供几个不同的角度，让学生观察这些角，并总结角度的分类规则。
2.引导学生发现锐角、直角、钝角和平角的特点，并解释每种角的定义。
3.让学生分类并标记不同类型的角度。
Step 5：应用角的概念（20分钟）1.提供一些与角相关的问题，并引导学生运用所学知识解决问题，例如：两个不同角度的角哪个更大？如何利用量角器判断一个角是锐角还是钝角？2.让学生尝试解决不同种类的问题，并让他们在小组中交流解决方法和思路。
Step 6：小结和巩固（15分钟）1.教师对所学内容进行小结，并强调角的概念、度量方法和分类规则。
中职数学同步教学劳保版(第七版)上册《角的概念的推广》课件
定为 D .
题
按键顺序
显示
6
6 SHIFT DRG 2 =
343.7746771
π
（ SHIFT π ÷ 7 ） SHIFT DRG 2 =25.71428571
7
-2.5
（-） 2.5 SHIFT DRG 2 =
-143.2394488
3．1 角的概念的推广
弧度制
例题解析
例5 求图3—8中公路弯道处弧AB的长l.（单位：米，精确到1米）
420°，300°，-120°.
2．把下列各角用角度制表示：
5π ， 3π ，11π . 3 56
3.用计算器把下列各角由度化为弧度：（保留4位有效数字）
128°，310°，-618°.
4．用计算器把下列各角由弧度化为度：（保留4位有效数字）
π 3，-8，11 .
3．1 角的概念的推广
弧度制
知识巩固3
3．1 角的概念的推广
例题解析
象限角与终边相同的角
3．1 角的概念的推广
例题解析
象限角与终边相同的角
3．1 角的概念的推广
知识巩固2
象限角与终边相同的角
3．1 角的概念的推广
弧度制
3．1 角的概念的推广
例题解析 角度与弧度的换算
弧度制
3．1 角的概念的推广
例题解析
弧度制
ππ
180 3 π 3π
3．1 角的概念的推广
例题解析
象限角与终边相同的角
3．1 角的概念的推广
例题解析
象限角与终边相同的角
3．1 角的概念的推广 象限角与终边相同的角
终边相同的角的表示: 一般地，与α角终边相同的角（含α在内的一般表达式为 β = α + k ·3 6 0 ° ， k ∈ z 用集合表示为 {β | β = α + k ·3 6 0 ° ， k ∈ z } 思考：第一象限的角的集合如何表示？ {α | k ·3 6 0 ° ＜ α ＜ 9 0 ° + k ·3 6 0 ° ， k ∈ z }
角的概念推广教案
角的概念推广优秀教案第一章：角的引入1.1 教学目标让学生了解角的定义和基本性质。
能够识别和比较不同类型的角。
能够用角度来描述角的大小。
1.2 教学内容角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形。
角的性质：角的内部是两条射线的公共部分，外部是不共线的两条射线的夹角。
角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。
1.3 教学方法通过实物演示和图形展示，引导学生直观地理解角的概念。
利用几何模型和练习题，让学生亲手操作，加深对角的认识。
1.4 教学资源角的概念引入PPT演示文稿。
实物模型和图片，如剪刀、三角板等。
1.5 教学步骤1.5.1 导入：利用实物或图片，引导学生观察和描述角的存在。
1.5.2 新课引入：讲解角的定义和性质，通过PPT演示文稿和实物模型进行辅助说明。
1.5.3 实例分析：展示不同类型的角，让学生区分和比较它们的大小。
1.5.4 练习巩固：提供一些练习题，让学生运用角的概念进行解答。
1.6 教学评价通过课堂提问和练习题的正确与否，评估学生对角的概念的理解程度。
第二章：角的大小比较2.1 教学目标让学生能够比较不同角的大小。
学会使用量角器测量角的大小。
2.2 教学内容角的大小比较：通过观察角的内部或外部，比较角的大小。
量角器的使用：量角器的结构和如何测量角的大小。
2.3 教学方法通过实际操作量角器，让学生学会正确测量角的大小。
提供练习题，让学生运用比较角大小的方法。
2.4 教学资源量角器演示文稿和实物量角器。
练习题和答案。
2.5 教学步骤2.5.1 导入：复习上一章的内容，引导学生回顾角的概念。
2.5.2 新课引入：讲解如何比较角的大小，通过PPT演示文稿和实物量角器进行辅助说明。
2.5.3 实例分析：提供一些角的大小比较实例，让学生实践和理解比较方法。
2.5.4 练习巩固：提供一些练习题，让学生运用角的大小比较方法进行解答。
2.6 教学评价通过课堂提问和练习题的正确与否，评估学生对角的大小比较的理解程度。
角的概念的推广教案
角的概念的推广教案教案名称：角的概念的推广教学目标：1. 了解角的定义和各种特性；2. 掌握角的度量方法；3. 能够应用角的概念解决实际问题。
教学重点：1. 角的定义；2. 角的度量方法；3. 角的特性。
教学难点：1. 度量角的方法；2. 应用角的概念解决实际问题。
教学步骤：Step 1：导入新知1. 引导学生回顾前一节课所学的角的定义。
2. 提问学生：你能否举出一些你所了解的角的例子？Step 2：引入新知1. 让学生观察图像，引导学生观察图像中的各种角。
2. 让学生尝试用自己的话解释什么是角。
3. 调整学生的回答，引导学生正确理解角的定义。
Step 3：探究1. 针对学生在引入环节中的回答，给出一个准确的角的定义。
2. 让学生观察不同的角，找出它们之间的共同点和不同点。
3. 引导学生总结角的特性，如角的顶点、边、大小等。
Step 4：实践应用1. 引导学生观察实际生活中的角，如门把手上的角、书桌上的角等。
2. 让学生思考这些角的度量方法，并给出自己的解答。
3. 引导学生探究度量角的方法，如用角度的单位度来量角。
Step 5：作业布置1. 让学生在实际生活中寻找各种角，并计算其度数。
2. 布置作业任务，要求学生画出30°、60°和90°的角，并标注度数。
Step 6：课堂小结1. 回顾角的定义和度量方法。
2. 引导学生总结角的特性。
3. 检查学生对角的理解程度，并答疑解惑。
Step 7：拓展延伸1. 让学生阅读相关角的知识，如锐角、钝角等，并总结其特性。
2. 引导学生用创新的思维探索角的应用领域，如建筑设计、工程施工中的角度计算等。
教学手段：1. 多媒体教学：使用图片、视频等多媒体资源引导学生观察和理解角的定义和特性。
2. 集体讨论：鼓励学生在小组中相互讨论，探索角的度量方法和特性。
3. 实践操作：让学生通过实际操作，将角的概念应用于解决实际问题。
教学资源：1. 角的图片、视频资料；2. 画板、白板和笔；3. 角的练习题和作业。
角的概念的推广
第三象限角的集合：
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第四象限角的集合：
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
例1. 在 - 720到720之间，写 出与60角终边相同的角的集合M.
例1. 在 - 720到720之间，写 出与60角终边相同的角的集合M. 例2. 求终边为直线y x的角的集合.
例3. 已知 是第二象限角，
问：12 是第几象限角？ 2 是第几象限角？
2
3 是第几象限角？
3
课堂练习
1. A {小于90的角}，B {第一象限
的角}，则A B （ ）
A.{锐角}
B.{小于90的角}
C.{第一象限的角} D.以上都不对
2. 若90 135, 则 的范围是______, 的范围是_______ .
3. 与- 457角终边相同的角的集合是：
A.{ | k 360 457, k Z} B.{ | k 360 97, k Z} C.{ | k 360 263, k Z} D.{ | k 360 263, k Z}
角的概念的推广
一、复习
1.初中是如何定义角的？
二、角的概念的推广：
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
北京高考三角函数知识要点
三角函数知识要点1. 角的概念的推广：正角、负角、零角. (角为任意实数)2. 终边相同的角的表示：注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等 （1）终边在y 轴上的角：,2k k Z παπ=+∈；（2）终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈； （3）终边在第一象限的角22,2k k k Z παπαπ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭3. 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，其中α为圆心角，1弧度(1rad)57.3≈ . 4. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是r =，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0yx x α=≠，cot x yα=(0)y ≠. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关.5. 单位圆与三角函数线：正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT 可证明：当02πα<<时，sin tan ααα<<，（提示用三角函数线借助三角形扇形面积关系证明）反映在三角函数图象上：sin ,,tan y x y x y x ===在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上有且只有一个公共点. 6. 特殊角的三角函数值：要牢记30°,45°60°,0°,90°,180°.270°的各三角函数值,还要会求15°,75°的三角函数值.（sin15︒=，sin 75︒=.7. 同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.8. 三角函数诱导公式的本质是2k πα±与α的三角函数值之间的关系：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角） .如sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,απαsin 2cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,()ααπcos cos -=-. 9. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=. sin 22sin cos ααα=. 22tan tan 21tan ααα=-， 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.10. 三角函数的化简、计算、恒等变形的基本思路是：一角二名三结构.αyTA xα B SO M P即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！ 第二看函数名称之间的关系，通常“切割化弦”；第三观察代数式的结构特点. 基本的技巧有:（1）巧变角（用已知角表示未知角）.如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）（2）三角函数名互化(切割化弦，或正余弦化成正切):（3）公式变形使用（如tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± .（4）三角函数次数的降升 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= 与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)（5）“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan 4π== 等（6）正余弦“三兄妹——sin cos sin cos x x x x ±、”的关系 “知一求二” 用公式2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±11. 形如sin()y A x ωϕ=+的函数：（1）)sin(ϕω+=x A y 图象做法: ①用五点法作图；②图象变换：平移、伸缩两个程序(1)sin()sin()sin sin()(2)sin()()y x y x y xy A x y x y six x ϕωϕωϕωωϕ=+→=+==+=→=+（2）A---振幅 2T πω=---周期 πω21==T f ----频率 相位--+ϕωx 初相--ϕ （3）研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数.（4）注意()tan y A wx ϕ=+的最小正周期:T πω= （5）变形过程中可能用到的重点公式是： 降幂扩角公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=，sin 2sin cos 2ααα=辅助角公式：()sin cos a b θθθϕ+=+ (其中ϕ角由cos ,sin ϕϕ==确定)，该公式在求最值、化简时起着重要作用．12. 正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈、正切函数tan y x =的性质：（1） 内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.特别提醒：①,sin()sin ,sin cos 22A B CA B C A B C π++=-+==： ②锐角三角形⇒sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭⇒sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++； （2）正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：（边角的转化）()sin sin i a b A B :=:；()sin 2aii A R =；()2sin iii a R A =；（3）余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等，常用余弦定理判断三角形的形状.求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.（4）面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径）.（5） 大边对大角：当出现多个解时，常用于判断哪些是符合题意的解，哪些不是. 在三角形中，sin sin A B A B >⇔>，这是“正弦定理+大边对大角”的应用. 14.致命易错点提示（1） 特殊角三角函数值、诱导公式和三角变换公式使用错误 （2） 大题第一步化简错误（应在化简完后立刻检验）（3） 已知三角函数值求角、同角三角函数之间的互化、三角函数值域和最值的研究经常会忽略角的范围15．易错易混问题辨析（1）★★★等式两边约去一个式子时，注意要考查约去的式子是否为零．不等式两边同时乘以、除以一个式子时一定要考察它是大于零，还是小于零，还是等于零。
角的概念
角的概念的推广➢ 教学重点：1．理解正角、负角、零角的定义，掌握终边相同角的表示法； 2．区别并理解角的大小与角的终边位置不同表示方法的含义；3．理解概念“0○到90○的角”、“第一象限角”、“锐角”和“小于90○的角”．➢ 教学难点：终边相同的角的表示．➢ 教学过程：角的概念的推广 第一课时一、三角函数背景介绍同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等．三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用．如本章章头图提到的问题，用三角学知识来解的话，会很简单，以后大家将会体会到．三角学起源于对三角形边角关系的定量考察，这始于古希腊一批天文学家对天文的测量．比如希腊人阿利斯塔克（公元前310～前230）提出“日心说”：太阳处于宇宙的中心，而地球绕太阳旋转，同时自转．这一观点早于哥白尼1700多年，因而被恩格斯称为“古代的哥白尼”．他的现存著作只有一篇短文《论日月的大小及距离》，其中记载了他侧得月亮上弦时日月之间的角距离为870．如图所示，设日地距离为a ，月地距离为b ，因月亮上弦时∠EMS=900，故∠S=30．阿利斯塔克用一种比较复杂的几何方法算得1813sin 201<=<οa b ，由此他断言日地距离介于月地距离的18倍与20倍之间．虽然这一结果与现代测量的数值（约389倍）相差甚远，但测不准的原因是由于目测误差引起的，他的方法正确简明，为后人继续使用．（上弦时日、月间的角距离为89051，，而不是870）因此在相当长一个时期里，三角学隶属于天文学，而在它的形成过程中里同了当时已经积累得相当丰富得算术、几何和天文知识．鉴于此种原因，作为独立得数学分支的三角学诞生之前，它的贡献者主要是一些天文学家，如梅内劳斯、托勒密等．这两个人在数学上的成就也很大，如果大家有看课外书的话，可能会知道以这两人命名的定理，这在初等几何中是非常有名的．有机会再向大家介绍．三角学作为一门数学分支是什么时候传入中国的呢？1631年，三角学输入中国．明朝学者徐光启所编译的《大测》一书就是介绍三角学的．徐光启的工作使中国开始接受欧洲科学知识，对我国的天文学和数学的发展有重大影响．至于有关本章具体内容介绍，我建议大家去看一下《精编》第一页的“学习导引”，可能会对大家很有帮助．二、复习0○～360○角的概念初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
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3．象限角： 在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点 重合，角的始边与X轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在 第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
（2）非象限角：如角的终边在坐标轴上， 就认终边相同的角，连同角 在内， 可构成一个集合 ：
与人相处的最高境界是舒服，进退得宜，聊天会有默契，沉默也不会尴尬。 一直试图通过写作，与内心沟通对话。构建一种秩序和联结，世俗之外的，只与自身和内心发生的联结与转换。 每个人都有自己的方式，洞悉自己的内心，与自己相处。这是一件很难的事，意味着，你要面对完全真实的自己，不能有任何 逃避。而人习惯逃避，自欺，欺人。 所以才会有种种困惑。会有贪念。长安，你应会明白这种感受，你的眼睛告诉我的。 是，我明白。明白世事始终不能圆满，却也依旧有所为。就如你写作，我之前忘我工作，都是一种形式。我们始终是要通过各 种形式的反复怀疑和确认，才能接近生命的本质。即使也会怀疑什么才是真正的本质。
4.1 角的概念的推广
1．角的定义：一条射线绕着它的端点 O，从起始位置OA旋转到终止位置OB， 形成一个角a，点 O是角的顶点，射线 OA、OB分别是角a的始边、终边。 2．角的分类： 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称 它为零角。
（3） 36314
．
例4.写出终边在Y轴上角的集合（用 00 0 360 到 的角表示） 写出第三象限角的集合
例1,已知集合A 第一象限角 ，B 锐角 ， C 小于90。 的角 ， 则下列正确的是 A .A B C B.A C
C.A C B
D.以上都不对
作业：
课本
P7 习题4.1
1 （3）（4）（7）（8）、 2
3（3）（4）（7）（8）、 4 数学之友P68T4.1
金苹果平台 / 金苹果平台 金苹果是希腊神话中著名的宝物。金苹果最早出现，是在宙斯和赫拉的婚礼。
交谈过程中亦有大段沉默，都是安静少话的人，表达清楚自己的观点已经是极致。除此之外并无过多的赘余，就是这种清清淡 淡的交谈才更可贵。或许是因为某种契合，使得第一次谋面的人能够敞开心扉畅谈关于生活种种的思考与困惑。像是幽香清远 的茉莉，不激烈，但是很舒服。也会有大段的沉默，但是不觉得尴尬。
4．终边相同的角的集合：
S | k 360 , k Z
即：任一与角 终边相同的角，都可以表 示成角 与整数个周角的和。
例1,已知集合A 第一象限角 ，B 锐角 ， C 小于90。 的角 ， 则下列正确的是 A .A B C B.A C
C.A C B
D.以上都不对
例2．在 0 到 360 范围内，找出与下列 各角终边相同的角，并判断它们是第几 象限角： （1）120 （2）640 （3）950 12
练．若 k 360 试判断角所在象限。
1575 , k Z ，
例3．写出与下列各角终边相同的角的 集合S，并把S中适合 不等式 360 720 的元素 写出来： （1） 60 ；（2） 21 ；