角的概念的推广3

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角的概念和弧度制

角的概念和弧度制

1.角的概念的推广:(1)定义:一条射线OA由原来的位置OA,绕着它的端点O按一定方向(逆时针或顺时针)旋转到另一位置OB形成角α。

其中射线OA叫角α的始边,射线OB叫角α的终边,端点O叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角:由始边的旋转方向而定。

正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:射线不做旋转时形成的角(3)象限角:由角的终边所在位置确定。

第一象限角的集合;第二象限角的集合第三象限角的集合;第四象限角的集合(4)终边相同的角:一般地,所有与α角终边相同的角,连同α角在内,可以表示为可构成集合S={ β| β=α+k×3600, K∈ Z}(5)特殊角的集合:终边在轴上角的集合,轴线角终边在轴上角的集合,终边在坐标轴上角的集合2.弧度制:(1)定义:用“弧度”做单位来度量角的制度,叫做弧度制。

(2)角度与弧度的互化:角度、弧度的换算关系:≈0.01745(rad), ≈57.30°=57°18ˊ;(2)两个公式:设扇形的弧长为,圆心角为,半径为,α为圆心角弧度数,则有:扇形弧长:扇形面积:1.将化为的形式是( ).A. B.C. D.2.若,则角的终边所在的象限为( ).A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.扇形的周长是,圆心角是弧度,则扇形面积是( ).A. B. C. D.4.若集合,,则集合为( ).A. B. C. D.5.若角与终边相同,则一定有( ).A. B.C. D.6.在到之间与终边相同的角是___________.7.如果是第三象限角,那么角的终边的位置如何?是哪个象限的角?8.已知扇形的周长为,当它的半径和圆心角各取何值时,扇形的面积最大?并求出扇形面积的最大值.。

角的概念推广教案

角的概念推广教案

角的概念推广教案主题:角的概念推广教学目标:1.理解角的概念,并能用正确的术语描述角;2.掌握角的度量方法,并能正确地度量角;3.能够应用角的概念和性质解决相关问题。

教学准备:投影仪、白板、书本、尺子、量角器、练习题、实物角模型等。

教学过程:Step 1:导入(10分钟)1.利用投影仪展示一张平面图,图中有两线段的交叉点,并标出交叉点。

引导学生观察图中的图形,并提问:你们看到了什么图形?2.学生回答后,引导学生发现交叉点所形成的形状,并解释这个形状叫做角。

3.引导学生描述角的特点,例如由两条线段组成、起点和终点等,并总结出角的定义:“两条有公共端点的线段所夹的部分称为角。

”Step 2:发现角的度量方法(15分钟)1.展示一把量角器,并解释量角器的结构和使用方法。

2.找出几个不同的角,让学生使用量角器度量这些角,并记录下度数。

3.引导学生发现度数是用来衡量角的大小的,也就是说,我们可以根据度数来比较角的大小。

Step 3:探究角的度量方法(20分钟)1.给学生提供几个已知角度的角模型,并要求学生用尺子度量这些角,再使用量角器进行度量。

2.让学生比较用尺子和量角器度量角的结果,并发现量角器比尺子更准确。

3.引导学生思考为什么量角器的度量结果更准确,并引导他们发现量角器的刻度更精细,可以更准确地测量角。

Step 4:角度的分类(10分钟)1.提供几个不同的角度,让学生观察这些角,并总结角度的分类规则。

2.引导学生发现锐角、直角、钝角和平角的特点,并解释每种角的定义。

3.让学生分类并标记不同类型的角度。

Step 5:应用角的概念(20分钟)1.提供一些与角相关的问题,并引导学生运用所学知识解决问题,例如:两个不同角度的角哪个更大?如何利用量角器判断一个角是锐角还是钝角?2.让学生尝试解决不同种类的问题,并让他们在小组中交流解决方法和思路。

Step 6:小结和巩固(15分钟)1.教师对所学内容进行小结,并强调角的概念、度量方法和分类规则。

中职数学同步教学劳保版(第七版)上册《角的概念的推广》课件

中职数学同步教学劳保版(第七版)上册《角的概念的推广》课件

定为 D .

按键顺序
显示
6
6 SHIFT DRG 2 =
343.7746771
π
( SHIFT π ÷ 7 ) SHIFT DRG 2 =25.71428571
7
-2.5
(-) 2.5 SHIFT DRG 2 =
-143.2394488
3.1 角的概念的推广
弧度制
例题解析
例5 求图3—8中公路弯道处弧AB的长l.(单位:米,精确到1米)
420°,300°,-120°.
2.把下列各角用角度制表示:
5π , 3π ,11π . 3 56
3.用计算器把下列各角由度化为弧度:(保留4位有效数字)
128°,310°,-618°.
4.用计算器把下列各角由弧度化为度:(保留4位有效数字)
π 3,-8,11 .
3.1 角的概念的推广
弧度制
知识巩固3
3.1 角的概念的推广
例题解析
象限角与终边相同的角
3.1 角的概念的推广
例题解析
象限角与终边相同的角
3.1 角的概念的推广
知识巩固2
象限角与终边相同的角
3.1 角的概念的推广
弧度制
3.1 角的概念的推广
例题解析 角度与弧度的换算
弧度制
3.1 角的概念的推广
例题解析
弧度制
ππ
180 3 π 3π
3.1 角的概念的推广
例题解析
象限角与终边相同的角
3.1 角的概念的推广
例题解析
象限角与终边相同的角
3.1 角的概念的推广 象限角与终边相同的角
终边相同的角的表示: 一般地,与α角终边相同的角(含α在内的一般表达式为 β = α + k ·3 6 0 ° , k ∈ z 用集合表示为 {β | β = α + k ·3 6 0 ° , k ∈ z } 思考:第一象限的角的集合如何表示? {α | k ·3 6 0 ° < α < 9 0 ° + k ·3 6 0 ° , k ∈ z }

角的概念推广教案

角的概念推广教案

角的概念推广优秀教案第一章:角的引入1.1 教学目标让学生了解角的定义和基本性质。

能够识别和比较不同类型的角。

能够用角度来描述角的大小。

1.2 教学内容角的定义:从一点引出两条射线所组成的图形。

角的性质:角的内部是两条射线的公共部分,外部是不共线的两条射线的夹角。

角的分类:锐角、直角、钝角、平角、周角。

1.3 教学方法通过实物演示和图形展示,引导学生直观地理解角的概念。

利用几何模型和练习题,让学生亲手操作,加深对角的认识。

1.4 教学资源角的概念引入PPT演示文稿。

实物模型和图片,如剪刀、三角板等。

1.5 教学步骤1.5.1 导入:利用实物或图片,引导学生观察和描述角的存在。

1.5.2 新课引入:讲解角的定义和性质,通过PPT演示文稿和实物模型进行辅助说明。

1.5.3 实例分析:展示不同类型的角,让学生区分和比较它们的大小。

1.5.4 练习巩固:提供一些练习题,让学生运用角的概念进行解答。

1.6 教学评价通过课堂提问和练习题的正确与否,评估学生对角的概念的理解程度。

第二章:角的大小比较2.1 教学目标让学生能够比较不同角的大小。

学会使用量角器测量角的大小。

2.2 教学内容角的大小比较:通过观察角的内部或外部,比较角的大小。

量角器的使用:量角器的结构和如何测量角的大小。

2.3 教学方法通过实际操作量角器,让学生学会正确测量角的大小。

提供练习题,让学生运用比较角大小的方法。

2.4 教学资源量角器演示文稿和实物量角器。

练习题和答案。

2.5 教学步骤2.5.1 导入:复习上一章的内容,引导学生回顾角的概念。

2.5.2 新课引入:讲解如何比较角的大小,通过PPT演示文稿和实物量角器进行辅助说明。

2.5.3 实例分析:提供一些角的大小比较实例,让学生实践和理解比较方法。

2.5.4 练习巩固:提供一些练习题,让学生运用角的大小比较方法进行解答。

2.6 教学评价通过课堂提问和练习题的正确与否,评估学生对角的大小比较的理解程度。

角的概念的推广教案

角的概念的推广教案

角的概念的推广教案教案名称:角的概念的推广教学目标:1. 了解角的定义和各种特性;2. 掌握角的度量方法;3. 能够应用角的概念解决实际问题。

教学重点:1. 角的定义;2. 角的度量方法;3. 角的特性。

教学难点:1. 度量角的方法;2. 应用角的概念解决实际问题。

教学步骤:Step 1:导入新知1. 引导学生回顾前一节课所学的角的定义。

2. 提问学生:你能否举出一些你所了解的角的例子?Step 2:引入新知1. 让学生观察图像,引导学生观察图像中的各种角。

2. 让学生尝试用自己的话解释什么是角。

3. 调整学生的回答,引导学生正确理解角的定义。

Step 3:探究1. 针对学生在引入环节中的回答,给出一个准确的角的定义。

2. 让学生观察不同的角,找出它们之间的共同点和不同点。

3. 引导学生总结角的特性,如角的顶点、边、大小等。

Step 4:实践应用1. 引导学生观察实际生活中的角,如门把手上的角、书桌上的角等。

2. 让学生思考这些角的度量方法,并给出自己的解答。

3. 引导学生探究度量角的方法,如用角度的单位度来量角。

Step 5:作业布置1. 让学生在实际生活中寻找各种角,并计算其度数。

2. 布置作业任务,要求学生画出30°、60°和90°的角,并标注度数。

Step 6:课堂小结1. 回顾角的定义和度量方法。

2. 引导学生总结角的特性。

3. 检查学生对角的理解程度,并答疑解惑。

Step 7:拓展延伸1. 让学生阅读相关角的知识,如锐角、钝角等,并总结其特性。

2. 引导学生用创新的思维探索角的应用领域,如建筑设计、工程施工中的角度计算等。

教学手段:1. 多媒体教学:使用图片、视频等多媒体资源引导学生观察和理解角的定义和特性。

2. 集体讨论:鼓励学生在小组中相互讨论,探索角的度量方法和特性。

3. 实践操作:让学生通过实际操作,将角的概念应用于解决实际问题。

教学资源:1. 角的图片、视频资料;2. 画板、白板和笔;3. 角的练习题和作业。

角的概念的推广

角的概念的推广

第三象限角的集合:
第三象限角的集合:
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第三象限角的集合:
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第四象限角的集合:
第三象限角的集合:
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
例1. 在 - 720到720之间,写 出与60角终边相同的角的集合M.
例1. 在 - 720到720之间,写 出与60角终边相同的角的集合M. 例2. 求终边为直线y x的角的集合.
例3. 已知 是第二象限角,
问:12 是第几象限角? 2 是第几象限角?
2
3 是第几象限角?
3
课堂练习
1. A {小于90的角},B {第一象限
的角},则A B ( )
A.{锐角}
B.{小于90的角}
C.{第一象限的角} D.以上都不对
2. 若90 135, 则 的范围是______, 的范围是_______ .
3. 与- 457角终边相同的角的集合是:
A.{ | k 360 457, k Z} B.{ | k 360 97, k Z} C.{ | k 360 263, k Z} D.{ | k 360 263, k Z}
角的概念的推广
一、复习
1.初中是如何定义角的?
二、角的概念的推广:
二、角的概念的推广: 1.“旋转”形成角.
二、角的概念的推广: 1.“旋转”形成角.
B
O

A
二、角的概念的推广: 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广: 1.“旋转”形成角.
B

北京高考三角函数知识要点

北京高考三角函数知识要点

三角函数知识要点1. 角的概念的推广:正角、负角、零角. (角为任意实数)2. 终边相同的角的表示:注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等 (1)终边在y 轴上的角:,2k k Z παπ=+∈;(2)终边在坐标轴上的角可表示为:,2k k Z πα=∈; (3)终边在第一象限的角22,2k k k Z παπαπ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭3. 弧长公式:||l R α=,扇形面积公式:211||22S lR R α==,其中α为圆心角,1弧度(1rad)57.3≈ . 4. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是r =,那么sin ,cos y x r r αα==,()tan ,0yx x α=≠,cot x yα=(0)y ≠. 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关.5. 单位圆与三角函数线:正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT 可证明:当02πα<<时,sin tan ααα<<,(提示用三角函数线借助三角形扇形面积关系证明)反映在三角函数图象上:sin ,,tan y x y x y x ===在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上有且只有一个公共点. 6. 特殊角的三角函数值:要牢记30°,45°60°,0°,90°,180°.270°的各三角函数值,还要会求15°,75°的三角函数值.(sin15︒=,sin 75︒=.7. 同角三角函数的基本关系式:22sin cos 1θθ+=,tan θ=θθcos sin ,tan 1cot θθ⋅=.8. 三角函数诱导公式的本质是2k πα±与α的三角函数值之间的关系:奇变偶不变(对k 而言,指k 取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把看成是锐角) .如sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,απαsin 2cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,()ααπcos cos -=-. 9. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=. sin 22sin cos ααα=. 22tan tan 21tan ααα=-, 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.10. 三角函数的化简、计算、恒等变形的基本思路是:一角二名三结构.αyTA xα B SO M P即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心! 第二看函数名称之间的关系,通常“切割化弦”;第三观察代数式的结构特点. 基本的技巧有:(1)巧变角(用已知角表示未知角).如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--,22αβαβ++=⋅,()()222αββααβ+=---等)(2)三角函数名互化(切割化弦,或正余弦化成正切):(3)公式变形使用(如tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± .(4)三角函数次数的降升 降幂公式:21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-= 与升幂公式:21cos 22cos αα+=,21cos 22sin αα-=)(5)“1”的变换(221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan 4π== 等(6)正余弦“三兄妹——sin cos sin cos x x x x ±、”的关系 “知一求二” 用公式2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±11. 形如sin()y A x ωϕ=+的函数:(1))sin(ϕω+=x A y 图象做法: ①用五点法作图;②图象变换:平移、伸缩两个程序(1)sin()sin()sin sin()(2)sin()()y x y x y xy A x y x y six x ϕωϕωϕωωϕ=+→=+==+=→=+(2)A---振幅 2T πω=---周期 πω21==T f ----频率 相位--+ϕωx 初相--ϕ (3)研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法:类比于研究sin y x =的性质,只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ,但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时,要特别注意A 和ω的符号,通过诱导公式先将ω化为正数.(4)注意()tan y A wx ϕ=+的最小正周期:T πω= (5)变形过程中可能用到的重点公式是: 降幂扩角公式:21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=,sin 2sin cos 2ααα=辅助角公式:()sin cos a b θθθϕ+=+ (其中ϕ角由cos ,sin ϕϕ==确定),该公式在求最值、化简时起着重要作用.12. 正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈、正切函数tan y x =的性质:(1) 内角和定理:三角形三角和为,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记!任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.特别提醒:①,sin()sin ,sin cos 22A B CA B C A B C π++=-+==: ②锐角三角形⇒sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭⇒sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++; (2)正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径).注意:①正弦定理的一些变式:(边角的转化)()sin sin i a b A B :=:;()sin 2aii A R =;()2sin iii a R A =;(3)余弦定理:2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等,常用余弦定理判断三角形的形状.求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.(4)面积公式:111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++(其中r 为三角形内切圆半径).(5) 大边对大角:当出现多个解时,常用于判断哪些是符合题意的解,哪些不是. 在三角形中,sin sin A B A B >⇔>,这是“正弦定理+大边对大角”的应用. 14.致命易错点提示(1) 特殊角三角函数值、诱导公式和三角变换公式使用错误 (2) 大题第一步化简错误(应在化简完后立刻检验)(3) 已知三角函数值求角、同角三角函数之间的互化、三角函数值域和最值的研究经常会忽略角的范围15.易错易混问题辨析(1)★★★等式两边约去一个式子时,注意要考查约去的式子是否为零.不等式两边同时乘以、除以一个式子时一定要考察它是大于零,还是小于零,还是等于零。

角的概念

角的概念

角的概念的推广➢ 教学重点:1.理解正角、负角、零角的定义,掌握终边相同角的表示法; 2.区别并理解角的大小与角的终边位置不同表示方法的含义;3.理解概念“0○到90○的角”、“第一象限角”、“锐角”和“小于90○的角”.➢ 教学难点:终边相同的角的表示.➢ 教学过程:角的概念的推广 第一课时一、三角函数背景介绍同学们在初中时,曾初步接触过三角函数,那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等.三角函数也是高中数学的一个重要内容,在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容,它能够简单地解决许多数学问题,在中学数学中有着非常广泛的应用.如本章章头图提到的问题,用三角学知识来解的话,会很简单,以后大家将会体会到.三角学起源于对三角形边角关系的定量考察,这始于古希腊一批天文学家对天文的测量.比如希腊人阿利斯塔克(公元前310~前230)提出“日心说”:太阳处于宇宙的中心,而地球绕太阳旋转,同时自转.这一观点早于哥白尼1700多年,因而被恩格斯称为“古代的哥白尼”.他的现存著作只有一篇短文《论日月的大小及距离》,其中记载了他侧得月亮上弦时日月之间的角距离为870.如图所示,设日地距离为a ,月地距离为b ,因月亮上弦时∠EMS=900,故∠S=30.阿利斯塔克用一种比较复杂的几何方法算得1813sin 201<=<οa b ,由此他断言日地距离介于月地距离的18倍与20倍之间.虽然这一结果与现代测量的数值(约389倍)相差甚远,但测不准的原因是由于目测误差引起的,他的方法正确简明,为后人继续使用.(上弦时日、月间的角距离为89051,,而不是870)因此在相当长一个时期里,三角学隶属于天文学,而在它的形成过程中里同了当时已经积累得相当丰富得算术、几何和天文知识.鉴于此种原因,作为独立得数学分支的三角学诞生之前,它的贡献者主要是一些天文学家,如梅内劳斯、托勒密等.这两个人在数学上的成就也很大,如果大家有看课外书的话,可能会知道以这两人命名的定理,这在初等几何中是非常有名的.有机会再向大家介绍.三角学作为一门数学分支是什么时候传入中国的呢?1631年,三角学输入中国.明朝学者徐光启所编译的《大测》一书就是介绍三角学的.徐光启的工作使中国开始接受欧洲科学知识,对我国的天文学和数学的发展有重大影响.至于有关本章具体内容介绍,我建议大家去看一下《精编》第一页的“学习导引”,可能会对大家很有帮助.二、复习0○~360○角的概念初中时,我们已学习了0○~360○角的概念,它是如何定义的呢?定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.逆时针方向旋转到终止位置OB,就形成角α。

角的概念的推广

角的概念的推广

角的概念的推广角是几何学中的重要概念,它在日常生活中的应用广泛且重要。

角的概念使我们能够更好地理解和描述物体之间的关系,从而更好地解决实际问题。

本文将探讨角的概念以及它在不同领域的推广应用。

一、角的定义和性质角是由两条射线共同起源的部分平面,常用三个字母表示。

根据角的大小,可以将角分为锐角、直角和钝角。

锐角指小于90度的角,直角指等于90度的角,钝角指大于90度但小于180度的角。

角的大小可以通过角度来测量,角度是角所对应的弧长在单位圆上的长度比值。

除了大小外,角还具有其他一些重要性质。

首先,两个角互为补角当且仅当它们的和为90度。

其次,两个角互为余角当且仅当它们的和为180度。

此外,角的顶点、起始射线和终止射线确定一个平面。

这些性质为我们研究角的性质和应用提供了基础。

二、角的推广应用1. 几何学中的角在几何学中,角是研究平面和空间图形间相对位置关系的重要工具。

角的推广应用在多边形的研究中尤为重要。

例如,我们可以通过计算多边形的内角和来判断它们的类型,进而帮助解决诸如平行四边形的判定、多边形的内切圆问题等。

2. 物理学中的角角的概念在物理学中也有着广泛的应用。

例如,角度被广泛用于描述力的作用方向和大小。

在机械学中,角度还用于描述转动运动和力矩的计算。

此外,角速度和角加速度也是物理学中经常使用的概念,通过这些概念可以描述物体的旋转状态以及旋转的快慢程度。

3. 工程学中的角在工程学中,角的概念被广泛应用于测量和布局。

例如,利用角度可以确定建筑物的方向,帮助制定建筑物的布局方案。

此外,在电气工程中,角度也用于描述交流电的相位差,从而确定电路中电压和电流的相对位置。

4. 地理学中的角在地理学中,角被广泛应用于测量和描述地球表面上的地理位置和方向。

例如,利用经纬度可以确定地理位置的坐标,并且通过计算角度可以确定两个地点之间的方位角和航向角。

这些信息对于导航和地图制作非常关键。

5. 计算机图形学中的角在计算机图形学中,角的概念被广泛用于描述和渲染三维图形。

角的概念的推广思政要点

角的概念的推广思政要点

角的概念的推广思政要点
角的概念的推广涉及到数学、物理、地理、文化等多个方面,以下是思政要点:
1. 角的静态定义和动态定义:角的静态定义是指具有公共端的
两条射线组成的图形,而动态定义是指一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

角的大小与边的长短没有关系,而决定于角的两条边张开的程度。

2. 角的种类:角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0 角等 10 种。

3. 角的符号:角的符号是以角度为单位的,通常用符号“°”
表示,例如 90°表示一个直角。

4. 角的测量:角的测量通常使用角度计或量角器等工具,其中
角度计可以测量任意角度,而量角器只能测量固定角度。

5. 角在物理中的应用:角在物理学中有许多应用,例如在几何
学中,角可以用来描述平面几何中的角度和线段长度之间的关系;在
力学中,角可以用来描述物体的运动轨迹和受力情况。

6. 角在地理中的应用:角在地理学中也有许多应用,例如在地
图上,角可以用来描述两个地点之间的夹角,以及地图上各种线条的夹角。

7. 角的文化意义:角在中国传统文化中具有重要的象征意义,
例如在古代社会中,角被广泛用于装饰和祭祀活动中,代表着权力、荣誉和信仰等意义。

角的概念的推广涉及到多个学科领域,需要从多个角度进行思考和理解,有助于提高人们的综合素质和跨学科思维能力。

角的概念的推广,弧度制,任意角的三角函数

角的概念的推广,弧度制,任意角的三角函数

角的概念的推广,弧度制,任意角的三角函数[本周教学重点]理解角的定义,掌握正角、负角、零角以及象限角、终边相同角的概念,会写出各个象限角及终边相同角的集合的表达式。

理解弧度制的定义,正确进行角度制与弧度制之间的换算,清楚用弧度制度量角,使角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系。

熟记任意角的六个三角函数值的定义,会确定三角函数的定义域,掌握各象限角的三角函数值的符号结论,能正确作出已知角的正弦线,余弦线,正切线。

1. 角的概念的推广①角的定义:一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形叫做角。

射线的端点叫角的顶点,旋转开始时的射线叫角的始边,旋转结束时的射线叫角的终边。

②正角,负角,零角正角:射线按逆时针方向旋转所成的角叫正角。

负角:射线按顺时针方向旋转所成的角叫负角。

零角:射线不作任何方向的旋转,称它形成一个零角。

③象限角:让角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,则角的终边在第几象限,就称这个角是第几象限的角。

第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合轴上角:角的顶点与原点重合,角的始边与x轴正半轴重合,终边在坐标轴上的角叫轴上角。

轴上角的集合象限角与轴上角是对角的集合的一种划分{角}={象限角}∪{轴上角}④终边相同的角的集合2. 弧度制①定义:弧长等于半径长时弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

②弧度与角度的互化360°=2弧度,180°=弧度,③弧度制下弧长公式与扇形面积公式设圆半径长为r,弧所对圆心角(或扇形)弧度数为,弧长为,扇形面积为S,则3. 任意角三角函数①定义:设是一个任意角,P是终边上除顶点外任意一点,其坐标为(x,y),它与原点间距离为比值比值比值比值比值比值②三角函数定义域正弦函数定义域为R余弦函数定义域为R正切函数③三角函数值的符号④单位圆中三角函数线角终边依次在四个象限内时有向线段MP,OM,AT依次叫角的正弦线,余弦线,正切线即[本周教学例题]例1.判断下列各命题的真假(1)第一象限角是锐角,第二象限角是钝角;(2)小于90°的角是锐角,大于90°的角是钝角;(3)第二象限的角大于第一象限的角;(4)大于0°且小于180°的角是第一象限或第二象限的角。

三角函数基础知识

三角函数基础知识

三角函数基础知识整理一. 角的概念:1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ,就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边,旋转终止的射线OB 叫做角α的终边,射线的端点O 叫做角α的顶点. ⑵.“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,如图,以OA 为始边的角α=210°,β=-150°,γ=660°,特别地,当一条射线没有作任何旋转时,我们也认为这时形成了一个角,并把这个角叫做零角.记法:角α或α∠ 可以简记成α⑶意义:用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了,角的概念推广以后,它包括任意大小的正角、负角和零角.2.“象限角”角的顶点合于坐标原点,角的始边合于x 轴的正半轴,这样一来,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限)3.终边相同的角结论:所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合:{}Z k k S ∈⋅+==,360|αββ即:任何一个与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.注意: (1)Z k ∈ (2)是任意角;(3)0360⋅k 与之间是“+”号,如:0360⋅k -30°,应看成0360⋅k +(-30°);(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角,终边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.二. 弧度制:1. 定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度,这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.如下图,依次是1rad , 2rad , 3rad ,αrad2.弧长公式:α⋅=r l由公式:⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单 即弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积 3.扇形面积公式 lR S 21=其中l 是扇形弧长,R 是圆的半径三. 三角函数的定义:1. 设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y ) 则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2. 比值r y叫做α的正弦 记作: r y =αsin 比值r x叫做α的余弦 记作: r x =αcos 比值xy叫做α的正切 记作: xy =αtan 比值yx叫做α的余切 记作: y x =αcot比值x r叫做α的正割 记作: x r =αsec 比值yr叫做α的余割 记作: y r =αcsc以上六种函数,统称为三角函数. 3. 突出探究的几个问题: ①角是“任意角”,当=2k+(k Z)时,与的同名三角函数值应该是相等的,即凡是终边相同的角的三角函数值相等 ②实际上,如果终边在坐标轴上,上述定义同样适用 ③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同,故三角函数的符号应由象限确定. ⑤定义域:r y=αsin 的定义域: R r x=αcos 的定义域:Rx y =αtan 的定义域:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与x 轴的非负半轴重合. (2)比值只与角的大小有关.4. 三角函数在各象限内的符号规律:正弦在第一、二象限为正;余弦在第一、四象限为正; 正切在第一、三象限为正.四. 诱导公式:1.必须熟记的两组诱导公式:诱导公式一(其中Z ∈k ): 用弧度制可写成ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k诱导公式二:αα-sin sin(=-) ααcos cos(=-) ααtan tan(-=-)2. 诱导公式的变形规则:奇变偶不变,符号看象限.诱导公式三: 用弧度制可表示如下:ααsin 180sin(=-︒) ααπsin sin(=-) αα-cos 180cos(=-︒) ααπ-cos cos(=-) ααtan 180tan(-=-︒) ααπtan tan(-=-)诱导公式四: 用弧度制可表示如下:αα-sin 180sin(=+︒) ααπ-sin sin(=+) αα-cos 180cos(=+︒) ααπ-cos cos(=+) ααtan 180tan(=+︒) ααπtan tan(=+)诱导公式五: 用弧度制可表示如下:ααcos )90sin(=-︒ ααπcos )2sin(=-ααsin )90cos(=-︒ ααπsin )2cos(=-ααcot )90tan(=-︒ααπcot )2tan(=-诱导公式六: 用弧度制可表示如下:ααcos )90sin(-=+︒ ααπcos )2sin(-=+ααsin )90cos(-=+︒ ααπsin )2cos(-=+ααcot )90tan(=+︒ ααπcot )2tan(=+补充公式七: 用弧度制可表示如下:αα-sin 360sin(=-︒) ααπ-sin 2sin(=-) ααcos 360cos(=-︒) ααπcos 2cos(=-) ααtan 360tan(-=-︒) ααπtan 2tan(-=-)补充公式八: 用弧度制可表示如下:ααcos )270sin(-=-︒ ααπcos )23sin(-=- ααsin )270cos(-=-︒ ααπsin )23cos(-=-ααcot )270tan(=-︒ααπcot )23tan(=-补充公式九: 用弧度制可表示如下:ααcos )270sin(-=+︒ ααπcos )23sin(-=+ ααsin )270cos(=+︒ ααπsin )23cos(=+ααcot )270tan(-=+︒ ααπcot )23tan(-=+五.两角和与差的三角函数关系式:1.两角和与差的三角函数关系式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-2 推导公式:)cos sin (cos sin 222222ααααba b ba ab a b a ++++=+因为1)()(222222=+++ba b ba a .所以sin 2θ+cos 2θ=1(1)若令22ba a +=sin θ,则22ba b +=cos θ则asin α+bcos α=22b a +(sin θsin α+cos θcos α)=22b a +cos (θ-α) (或=22b a +cos (α-θ))(2)若令22ba a +=cos ϕ,则22ba b +=sin ϕ.则a sin α+b cos α=22b a +(sin αcos ϕ+cos αsin ϕ)=22b a +sin (α+ϕ)六.二倍角公式:1.二倍角公式:αααcos sin 22sin =;)(2αS ααα22sin cos 2cos -=;)(2αC ααα2tan 1tan 22tan -=;)(2αT1cos 22cos 2-=αααα2sin 212cos -=)(2αC ' 注意:(1)二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数,它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题.(2)二倍角公式为仅限于α2是α的二倍的形式,尤其是“倍角”的意义是相对的(3)二倍角公式是从两角和的三角函数公式中,取两角相等时推导出,记忆时可联想相应角的公式.(4) 公式)(2αS ,)(2αC ,)(2αC ',)(2αT 成立的条件是: 公式)(2αT 成立的条件是Z k k k R ∈+≠+≠∈,4,2,ππαππαα.其他R ∈α(5) 熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角—降次,降角—升次) (6) 特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用七.万能公式:1.万能公式2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=证明:12tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α22tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α 32tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α八. 三角函数的图象与性质:1.正弦线、余弦线:设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ,y),过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则有MP r y ==αsin ,OM rx==αcos 注:有向线段MP 叫做角α的正弦线,有向线段OM 叫做角α的余弦线.2.用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数y=sinx ,x ∈[0,2π]、余弦函数y=cosx ,x ∈[0,2π]的图象(几何法):把y=sinx ,x ∈[0,2π]和y=cosx ,x ∈[0,2π]的图象,沿着x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2π,就得到y=sinx ,x ∈R 和y=cosx ,x ∈R 的图象,分别叫做正弦曲线和余弦曲线.3.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):正弦函数y=sinx ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0) (2π,1) (,0) (23π,-1) (2,0)(1)y=cosx, x R 与函数y=sin(x+2π) x R 的图象相同(2)将y=sinx 的图象向左平移2π即得y=cosx 的图象 (3)也同样可用五点法作图:y=cosx x [0,2]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (,-1) (23π,0) (2,1)4.定义域:正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R [或(-∞,+∞)], 分别记作: y =sin x ,x ∈R y =cos x ,x ∈R 5.值域正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1] 其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x =2π+2k π,k ∈Z 时,取得最大值1 ②当且仅当x =-2π+2k π,k ∈Z 时,取得最小值-1而余弦函数y =cos x ,x ∈R①当且仅当x =2k π,k ∈Z 时,取得最大值1②当且仅当x =(2k +1)π,k ∈Z 时,取得最小值-16.周期性一般地,对于函数f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f (x +T )=f (x ),那么函数f (x )就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期对于一个周期函数f (x ),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期注意:1 周期函数x 定义域M ,则必有x+T M, 且若T>0则定义域无上界;T<0则定义域无下界;2“每一个值”只要有一个反例,则f (x )就不为周期函数(如f (x 0+t) f (x 0))3 T 往往是多值的(如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期)周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期,最小正周期是2π 7.奇偶性y =sinx 为奇函数,y =cosx 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称8.单调性正弦函数在每一个闭区间[-2π+2k π,2π+2k π](k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[2π+2k π,23π+2k π](k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1余弦函数在每一个闭区间[(2k -1)π,2k π](k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间[2k π,(2k +1)π](k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1九. 函数()()0,0sin >>+=ωψωA x A y 的图象与性质:1.振幅变换:y=Asinx ,x R(A>0且A 1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A .若A<0 可先作y=-Asinx 的图象 ,再以x 轴为对称轴翻折A 称为振幅2.周期变换:函数y=sin ωx, x R (ω>0且ω1)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍(纵坐标不变).若 ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图ω决定了函数的周期3 相位变换: 函数y =sin(x +ϕ),x ∈R (其中ϕ≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ>0时)或向右(当ϕ<0时=平行移动|ϕ|个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向:“加左”“减右”)十. 正切函数的图象与性质:1. 正切线:正切函数R x xy ∈=tan ,且()z k k x ∈+≠ππ2的图象,称“正切曲线”余切函数y =cotx ,x ∈(k π,k π+π),k ∈Z 的图象(余切曲线)正切函数的性质:1.定义域:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ, 2.值域:R 3.当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛+∈2,πππ时0>y , 当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-∈πππ,2时0<y 4.周期性:π=T5.奇偶性:()x x tan tan -=-奇函数 6.单调性:在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内,函数单调递增十一. 正、余弦定理:1 正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 即A a sin =B b sin =Ccsin =2R (R 为△ABC 外接圆半径) 2 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题: (1)两角和任意一边,求其它两边和一角;(2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角(见图示)已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:①若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA asin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a②若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a3. 余弦定理:A bc c b a cos 2222-+=⇔bc a c b A 2cos 222-+= B ca a c b cos 2222-+=⇔ca b a c B 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=⇔ab c b a C 2cos 222-+= 4.余弦定理可以解决的问题(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角5. 三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用,如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力,要求大家掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法,明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用,熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化,逐步提高数学知识的应用能力。

角的记法和读法正角与负角角的概念

角的记法和读法正角与负角角的概念

一、角的概念的推广
(1)平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

(2)正角:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角;
(3)负角:按顺时针方向旋转所形成的角叫负角;
(4)零角:当一条射线没有作任何旋转时叫做零角,射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。

(5)角的记法:角α或∠α,也可以简记为α。

二、角的说明:
(1)在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记为α.(2)角的这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它的弊端在于“狭隘”。

在日常生活中,在生产和科学实验中,还要经常遇到大于360度的角,以及按照不同方向旋转而成的角。

(3)零角的始边和终边重合。

(4)“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

(5)以终边位置的异同作为分类标准.。

三角数列知识点总结

三角数列知识点总结

三角函数知识点总结1. 角的概念的推广(1) 终边相同的角:所有与α角终边相同的角(连同α角在内)可以用式子k ⋅360︒+α,k ∈Z 来表示。

与α角终边相同的角的集合可记作:{β|β=k ⋅360︒+α,k ∈Z}或{β|β=2k π+α,k ∈Z}。

※ 角的集合表示形式不是唯一的;终边相同的角不一定相同,相同的角一定终边相同。

(2) 象限角:角的顶点与坐标轴原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几(1) 1弧度的角:等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

(2) 度数与弧度数的换算: ①180︒=π弧度;②1801π=︒弧度; ③1弧度=O⎪⎭⎫⎝⎛π180。

(3) 有关扇形的一些计算公式:①R =α; ②R S 21=;③221R S α=;④C =(α+2)R ;⑤)sin (212αα-=-=∆R S S S 扇形弓。

3. 同角三角函数的基本关系(1) 商数关系:αααtg =cos sin ;(2) 平方关系:sin 2α+cos 2α=1,4. 三角函数的诱导公式:“奇变偶不变(2π的奇数倍还是偶数倍),符号看象限(原三角函数名)”。

5. 两角和与差的三角函数公式 βαβαβαs i n c o s c o s s i n )s i n (±=±; βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s ( =±; βαβαβαtg tg tg tg tg 1)(±=± (变形:)1()(βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±)。

6. 倍角、半角公式 (1) 二倍角公式:sin2α=2sin αc os α,c os2α=c os 2α-sin 2α=2c os 2α-1=1-2sin 2α,α-α=α2tg 1tg 22tg ;7. 倍角、半角公式的功能(1) 并项功能:1±sin2α=(sin α±c os α)2 (类比:1+c os2α=2c os 2α,1-c os2α=2sin 2α); (2) 升次功能:c os2α=c os 2α-sin 2α=2c os 2α-1=1-2sin 2α;(3) 降次功能:22cos 1cos 2αα+=,22cos 1sin 2αα-=。

角的概念的推广知识点

角的概念的推广知识点

角的概念的推广知识点摘要:本文旨在探讨数学中角的概念及其在不同数学分支中的推广和应用。

文章首先回顾了角在平面几何中的基本定义和性质,随后介绍了角在立体几何、三角学、解析几何以及更高级数学领域中的推广形式,包括复数平面上的角、线性代数中的向量角以及微积分中的角概念。

1. 平面几何中的角角是最基本和直观的几何概念之一。

在平面几何中,角是由两条射线(或线段)的公共端点(顶点)所定义的图形。

根据这两条射线的相对位置,角可以分为:- 邻角:两条射线共享一个公共端点,并且射线在一个方向上相邻。

- 对角:两条射线共享一个公共端点,但射线在两个相反的方向上。

- 直角:两条射线垂直相交,形成一个90度的角。

- 钝角:大于直角但小于180度的角。

- 平角:两条射线在端点处重合,形成一个180度的角。

- 周角:两条射线重合,形成一个完整的360度的圆周。

2. 立体几何中的角在立体几何中,角的概念扩展到了三维空间。

立体角是由三个平面在一点相交形成的图形,其大小由这三个平面所围成的球面区域的大小决定。

立体角的度量单位是球面度,与平面角的度量单位(度)不同。

3. 三角学中的角三角学是研究三角形的边和角之间关系的数学分支。

在三角学中,角的概念与平面几何中的类似,但更加关注角度的测量和三角函数的关系。

例如,直角三角形中的一个关键概念是余弦、正弦和正切函数,它们将角度与三角形的边长联系起来。

4. 解析几何中的角在解析几何中,角可以通过向量来表示和计算。

两个向量之间的夹角可以通过它们的点积和模长来确定。

向量夹角的余弦值定义为两个向量点积与它们模长乘积的比值。

这种方法使得角的计算可以应用于物理学中的力的合成和分解等问题。

5. 线性代数中的角在线性代数中,角的概念进一步推广到了n维空间。

在这种情况下,两个向量之间的夹角可以通过它们的内积来确定。

此外,线性代数中的旋转矩阵可以用来描述和计算任意维度空间中的旋转和角。

6. 微积分中的角在微积分中,角的概念与曲线的切线方向有关。

角的概念推广教案

角的概念推广教案

角的概念推广教案【篇一:角的概念的推广教学设计】角的概念的推广-教学设计哈尔滨市交界职业高中杜银霞课题:角的概念推广(第一课时)教学目的:1.掌握用“旋转”定义角的概念,理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程,培养学生用运动变化观点审视事物,从而深刻理解推广后的角的概念。

教学重点:理解并掌握正角负角零角的定义,掌握终边相同的角的表示方法。

教学难点:终边相同的角的表示。

设计理念:本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义,象限角的概念,终边相同的角的表示方法。

树立运动变化的观点,理解静是相对的,动是绝对的,并由此深刻理解推广后的角的概念。

教学方法可以选为讨论法,通过实际问题,使角的推广变得更为必要,如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等,都能形成角的概念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,突出角的概念的理解与掌握。

通过具体问题,让学生从不同角度作答,理解终边相同的角的概念,并给以表示,从特殊到一般,归纳出终边相同的角的表示方法,达到突破难点之目的。

教学过程:一、复习引入:1.回忆:初中是如何定义角的?从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。

如:体操运动员转体,跳水运动员向内、向外转体经过1小时时针、分针、秒针转了多少度?这些例子不仅不在范围,而且方向不同,有必要将角的概念推广到任意角,用运动的思想来研究角的概念。

二、讲解新课:1.角的概念的推广⑴“旋转”形成角突出“旋转” 注意:“顶点”“始边”“终边”⑵.“正角”与“负角”“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。

特别地,当一条射线没有作任何旋转时,我们也认为这时形成了一个角,并把这个角叫做零角.⑶意义用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。

角的概念推广以后,它包括任意大小的正角、负角和零角.要注意,正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。

角的概念的推广知识点

角的概念的推广知识点

角的概念的推广知识点角是几何学中的基本概念之一,广泛应用于我们的日常生活和许多领域。

角可以通过两条线段或射线的相交而形成,它具有独特的特征和属性。

在本文中,我们将探讨角的概念并介绍一些与角相关的推广知识点。

首先,我们来回顾一下角的定义。

在几何学中,角是由两条线段或射线的相交所形成的图形。

相交的两条线段或射线称为角的边,而相交点称为角的顶点。

角的大小用角度度量,常用度(°)来表示。

我们可以使用度数来衡量角的大小,例如,直角的度数为90°,而平角的度数为180°。

除了上述基本概念,我们还可以推广角的定义来研究更多复杂的问题。

例如,角心理解为平面中三个不共线的点形成的图形。

在这种情况下,我们可以通过连接角的顶点和任意两个角的边来形成一个角心。

另一个与角相关的推广知识点是角的类型。

角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。

锐角是小于90°的角,直角是等于90°的角,钝角是大于90°但小于180°的角,而平角是等于180°的角。

这些不同类型的角在现实生活中广泛应用,帮助我们理解和描述不同的几何形状和结构。

接下来,让我们来研究角的性质。

角具有许多有趣的性质和特征,这些性质有助于我们解决与角相关的问题。

例如,如果两个角的和等于一个直角,那么我们称这两个角为互补角。

同样,如果两个角的和等于180°,那么我们称这两个角为补角。

这些性质可以应用于角的度数计算和几何问题的解决。

除了以上内容,角还有一些与角度计量相关的重要概念。

例如,我们可以将角度单位进一步分为度、分和秒。

1度等于60分,1分等于60秒。

这些单位可用于精确测量角的大小。

另一个重要的概念是角度的转换。

我们可以将角度转换为弧度,以更方便地计算和应用。

这些概念使我们能够更准确地描述和测量角的属性。

最后,让我们思考一下角的应用领域。

角的概念和性质广泛应用于许多领域,如工程、建筑、天文学等。

一轮复习专题18 三角函数(知识梳理)

一轮复习专题18 三角函数(知识梳理)

专题18三角函数(知识梳理)一、知识点(一)角的概念的推广1、角:一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

其中顶点,始边,终边称为角的三要素。

角可以是任意大小的。

(1)角按其旋转方向可分为:正角,零角,负角。

①正角:习惯上规定,按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角;②负角:按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角;③零角:当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,叫做零角。

(2)在直角坐标系中讨论角:①角的顶点在原点,始边在x 轴的非负半轴上,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角。

②若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫轴线角。

(3)终边相同的角的集合:设α表示任意角,所有与α终边相同的角,包括α本身构成一个集合,这个集合可记为},360|{Z n n S ∈⋅+α=ββ= 。

集合S 的每一个元素都与α的终边相同,当0=k 时,对应元素为α。

2、弧度制和弧度制与角度制的换算(1)角度制:把圆周360等分,其中1份所对的圆心角是1度,用度作单位来度量角的制度叫做角度制。

(2)1弧度的角:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零。

任一已知角α的弧度数的绝对值rl=α||,这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。

(3)角度制与弧度制的互化:π=2360,π=180;815730.571801'≈≈π= rad ;rad 01745.01801≈π= 。

3、特殊角的三角函数值30 45 60 90 120 135 150 18006π4π3π2π32π43π65ππsin 021222312322210cos 1232221021-22-23-1-tan3313⨯3-1-33-0210 225 240 270 300 315 330 36067π45π34π23π35π47π611ππ24、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合:其中:Z n ∈,Z k ∈;x 轴正半轴 360⋅n πk 2第一象限角平分线36045⋅+n π+πk 24x 轴负半轴360180⋅+n π+πk 2第二象限角平分线 360135⋅+n π+πk 243x 轴 180⋅n πk 第三象限角平分线360225⋅+n π+πk 245y 轴正半轴36090⋅+n π+πk 22第四象限角平分线 360315⋅+n π+πk 247y 轴负半轴 360270⋅+n π+πk 223第一、三象限角平分线18045⋅+n π+πk 4y 轴18090⋅+n π+πk 2第二、四象限角平分线 180135⋅+n π+πk 43坐标轴90⋅n 2πk 象限角平分线9045⋅+n 24π+πk 5、弧长及扇形面积公式:弧长公式:r l ⋅α=||扇形弧长,扇形面积公式:lr r S 21||212=⋅α=扇形,α是圆心角且为弧度制,r 是扇形半径。

角的概念的推广

角的概念的推广

(3)旋转量:
当旋转超过一周时,旋转量即超过360º , 角度的绝对值可大于360º .于是就会出现 720º - 540º , 等角度.
3、“象限角” 为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系内 来讨论角: 使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴 的非负半轴重合,角的终边在第几象限,我们 就说这个角是第几象限的角。
2.角的概念的推广
⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA, 绕着它的端点O按逆时针方向 旋转到另一位置OB,就形成角B α. 旋转开始时的射线OA叫做 角α的始边,旋转终止的射线 OB叫做角α的终边,射线的端 点O叫做角α的顶点.
O
A
B
终边 O 顶点
始边
A
⑵.“正角”与“负角”、“0º 角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做 正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角,如图,以OA为始边的角α=210°,β= -150°,γ=660°,
C x轴的非正半轴上
D y轴的非正半轴上
4、终边与坐标轴重合的角的集合是( C ) A {β|β=k· 360º (k∈Z) } B {β|β=k· 180º (k∈Z) } C {β|β=k· (k∈Z) } 90º D {β|β=k· +90º 180º (k∈Z) }
5 、已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是( ) C A 第一象限角 C 第一、三象限角 B 第一、二象限角 D 第一、四象限角
生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体720º ,跳水运动员向内、 向外转体1080º ; 经过1小时,时针、分针、秒针各转了多 少度? 这些例子不仅不在范围[0º 360º ,而且 , ) 方向不同,有必要将角的概念推广到任意角, 想想用什么办法才能推广到任意角? 关键是用运动的观点来看待角的变化。
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3.象限角: 在直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点 重合,角的始边与X轴的非负轴重合,则 (1)象限角:若角的终边(端点除外)在 第几象限,我们就说这个角是第几象限角。
(2)非象限角:如角的终边在坐标轴上, 就认终边相同的角,连同角 在内, 可构成一个集合 :
与人相处的最高境界是舒服,进退得宜,聊天会有默契,沉默也不会尴尬。 一直试图通过写作,与内心沟通对话。构建一种秩序和联结,世俗之外的,只与自身和内心发生的联结与转换。 每个人都有自己的方式,洞悉自己的内心,与自己相处。这是一件很难的事,意味着,你要面对完全真实的自己,不能有任何 逃避。而人习惯逃避,自欺,欺人。 所以才会有种种困惑。会有贪念。长安,你应会明白这种感受,你的眼睛告诉我的。 是,我明白。明白世事始终不能圆满,却也依旧有所为。就如你写作,我之前忘我工作,都是一种形式。我们始终是要通过各 种形式的反复怀疑和确认,才能接近生命的本质。即使也会怀疑什么才是真正的本质。
4.1 角的概念的推广
1.角的定义:一条射线绕着它的端点 O,从起始位置OA旋转到终止位置OB, 形成一个角a,点 O是角的顶点,射线 OA、OB分别是角a的始边、终边。 2.角的分类: 正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角; 负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角; 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称 它为零角。
(3) 36314


例4.写出终边在Y轴上角的集合(用 00 0 360 到 的角表示) 写出第三象限角的集合
例1,已知集合A 第一象限角 ,B 锐角 , C 小于90。 的角 , 则下列正确的是 A .A B C B.A C



C.A C B
D.以上都不对
作业:
课本
P7 习题4.1
1 (3)(4)(7)(8)、 2
3(3)(4)(7)(8)、 4 数学之友P68T4.1
金苹果平台 / 金苹果平台 金苹果是希腊神话中著名的宝物。金苹果最早出现,是在宙斯和赫拉的婚礼。
交谈过程中亦有大段沉默,都是安静少话的人,表达清楚自己的观点已经是极致。除此之外并无过多的赘余,就是这种清清淡 淡的交谈才更可贵。或许是因为某种契合,使得第一次谋面的人能够敞开心扉畅谈关于生活种种的思考与困惑。像是幽香清远 的茉莉,不激烈,但是很舒服。也会有大段的沉默,但是不觉得尴尬。
4.终边相同的角的集合:
S | k 360 , k Z

即:任一与角 终边相同的角,都可以表 示成角 与整数个周角的和。
例1,已知集合A 第一象限角 ,B 锐角 , C 小于90。 的角 , 则下列正确的是 A .A B C B.A C



C.A C B
D.以上都不对
例2.在 0 到 360 范围内,找出与下列 各角终边相同的角,并判断它们是第几 象限角: (1)120 (2)640 (3)950 12


练.若 k 360 试判断角所在象限。

1575 , k Z ,

例3.写出与下列各角终边相同的角的 集合S,并把S中适合 不等式 360 720 的元素 写出来: (1) 60 ;(2) 21 ;
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