初二数学知识点专题讲解与练习1---整式的乘除(培优版)

2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；
3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．
例题与求解
【例 1】（1）若n 为不等式n200 > 6300 的解，则n 的最小正整数的值为
．
（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）
（ ）已知 ，那么 2
x2 + x =1
x4 + 2x3 − x2 − 2x + 2005 =
+ 65
+ 65 25
+ 65 + 65 + 25
+ 65
= 2n
n=
．
（青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）
．（ ） 3 1 1516 与3313 的大小关系是1516
3313 （填“＞”“＜”“＝”）．
（ ） 与 的大小关系是： 32000 +1 2 32001 +1
32001 +1 32002 +1
(x + y + z + w −1)2010
8
（美国犹他州竞赛试题）
13．已知 a,b,c 为有理数，且多项式 x3 + ax2 + bx + c 能够被 x2 + 3x − 4 整除．
（1）求4a + c 的值； （2）求 2a − 2b − c 的值；
（3）若a,b,c 为整数，且c≥a >1．试比较 a,b,c 的大小．
初二数学知识点专题讲解与练习 专题 01 整式的乘除
阅读与思考
指数运算律是整式乘除的基础，有以下 5 个公式： am ⋅ an ， = am+n (am)n ， = amn (ab)n ， = anbn
， ， ． am ÷ an = am−n (a ≠ 0)
a0 = 1(a ≠ 0)
a− p
=
1 ap
．A 1
．B 0
．C —1
．D 2
8．如果 x3 + ax2 + bx + 8 有两个因式 x +1和 x + 2 ，则 a + b = （ ）
．A 7
．B 8
．C 15
．D 21
（奥赛培训试题）
．已知 均为正数，又 ， 9
a1, a2 , a3 ,L a1996 , a1997
M = (a1 + a2 +L + a1996 ) (a2 + a3 +L + a1997 )
【例 】已知多项式 ，求 的值． 4
2x2 + 3xy − 2 y2 − x + 8y − 6 = (x + 2 y + m)(2x − y + n)
m3 +1 n2 −1
解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．
【例 5】是否存在常数 p,q 使得 x4 + px2 + q 能被 x2 + 2x + 5整除？如果存在，求出 p,q 的值，否则请说
．A x = 4 y
．B y = 4x
．C x = 12y
．D y = 12x
（江苏省竞赛试题）
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．已知 则 的关系是（ 9
2a = 3, 2b = 6, 2c = 12, a,b, c
）
．A 2b < a + c
．B 2b = a + c
．C 2b > a + c
．D a + b > c （河北省竞赛试题）
(4)所有式子的值为 x3 项的系数，故其值为 7．
例 2 B 提示：25xy ＝2 000y， ①
80xy ＝2 000x， ② ① ②，得：(25×80)xy＝2000x＋y，得：x＋ y＝xy．
例 3 设 a＝m4，b＝m5，c＝n2，d＝n3，由 c－a＝19 得，n2－m4＝19，即(n＋m2) (n－m2)＝ 19，因 19 是质数，n＋m2，n－m2 是自然数，且 n＋m2＞n－m2，得nn＋－mm22＝＝119，解得 n＝10， m＝3，所以 d－b＝103－35 ＝757
．已知 ，那么 从小到大的顺序是（ 7
a = 255, b = 344 , c = 533, d = 622
a,b, c, d
）
．A a < b < c < d
．B a < b < d < c
． ． C b < a < c < d D a < d < b < c （北京市“迎春杯”竞赛试题）
8．若 x = 2n+1 + 2n, y = 2n−1 + 2n−2 ，其中 n 为整数，则 x 与 y 的数量关系为（ ）
．已知 ．试确定 的值． 12
6x2 − 7xy − 3y2 +14x + y + a = (2x − 3y + b)(3x + y + c)
a,b, c
13．已知 x3 + kx2 + 3除以 x + 3 ，其余数较被 x +1除所得的余数少 2，求 k 的值． （香港中学竞赛试题）
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．已知 则 1
．化简 得（ ） 2n+4 − 2(2n )
10
2(2n+3 )
．A 2n+1 − 1 8
．B −2n+1
C． 7 8
D． 7 4
．已知 ， 11
ax + by = 7, ax2 + by2 = 49, ax3 + by3 = 133, ax4 + by4 = 406
试求 的值． 1995(x + y) + 6xy − 17 (a + b) 2
(a
≠
0)
学习指数运算律应注意：
1．运算律成立的条件；
2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；
3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：
1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；
它们的关系，于是自然想到指数运算律．
【例 3】设 a,b,c,d 都是正整数，并且 a5 = b4,c3 = d2,c − a =19 ，求 d − b 的值．（江苏省竞赛试题）
解题思路：设 a5 = b4 = m20,c3 = d2 = n6 ，这样 a,b 可用 m 的式子表示，c,d 可用 n 的式子表示，通 过减少字母个数降低问题的难度．
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∴2x4－3x3＋ax2＋7x＋b 能被(x＋2)(x－1)整除，设商是 A． 则 2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝A(x＋2)(x－l)，
．设 满足 求 的值． 11 a,b, x, y ax + by = 3, ax2 + by2 = 7, ax3 + by3 = 16, ax4 + by4 = 42, ax5 + by5
．若 为整数，且 ， ，求 的值． 12 x, y, z,w
x > y > z > w 2x + 2y + 2z + 2w = 20 5
（四川省竞赛试题）
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专题 01 整式的乘除答案 例 1(1)(n2)100＞(63)100，n2 ＞216，n 的最小值为 15．
(2)原式＝x2(x2＋x)＋x(x2 ＋x)－2(x2＋x) ＋2005＝ x2＋x－2＋2005＝2004 (3)令 x＝1 时，a12＋a11＋a10＋…＋a2＋a1＋a0＝1， ① 令 x＝－1 时，a12 –a11＋al0－…＋n2－al＋a0 ＝729 ② 由①＋②得：2(a12＋al0＋a8＋…＋a2 ＋a0)＝730． ∴a12 ＋a10 ＋a8 ＋a6＋a4 ＋a2＋a0 ＝365．
2a = 3, 4b = 5,8c = 7, 8a+c−2b =
B级
．
．（ ）计算： 2 1
7 3
1998
×
32000 72000
+ 152000 + 352000
=
． （第 16 届“希望杯”邀请竞赛试题）
（ ）如果 ，那么 2
45 + 45 + 45 + 45 35 + 35 + 35
× 65
法；对于（4），可考虑比较系数法．
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【例 2】已知 25x = 2000 ，80y = 2000 ，则 1 + 1 等于（ ） xy
．A 2
．B 1
C． 1
D． 3
2
2
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路： x, y 为指数，我们无法求出 x, y 的值，而 1 + 1 = x + y ，所以只需求出 x + y, xy 的值或 x y xy
．
3．满足 (x −1)200 > 3300 的 x 的最小正整数为
． （武汉市选拔赛试题）
4． a,b,c, d 都是正数，且 a2 = 2,b3 = 3,c4 = 4, d 5 = 5 ，则 a,b,c, d 中，最大的一个是
．
（“英才杯”竞赛试题）
5．探索规律：31 = 3，个位数是 3；32 = 9 ，个位数是 9；33 = 27 ，个位数是 7；34 = 81，个位数是 1；
x4＋px2＋q＝x4＋(m＋2)x3＋(5＋n＋2m)x2＋(2n＋5m)x＋5n，得m525＋nn＋＋＝n2＋5q＝m20＝m＝0 p，解得npqm＝＝＝＝562－5 2，