薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒
第四章 扭转(张新占主编 材料力学)
2M A M e M B 0 （2）
联立式（1）与式（2），得
Me MB 3
MA MB Me 3
26
4.6 等直圆轴扭转时的应变能
圆轴在外力偶作用下发生扭转变形，轴内将积蓄应变能。这种 应变能在数值上等于外力所做的功。
T1 在位移 d1上所做的功为 dW T1d1
PB M eB M eC 9549 n 796(N m) PA M eA 9549 1910(N m) n PD M eD 9549 318(N m) n
5
（2）求扭矩（扭矩按正方向假设） 1-1 截面
M M M
x
0
T1 M eB 0
T1 M eB 796N m
d1 85.3 mm
取 d1 85.3 mm。 BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67.4 mm ，由扭转刚度条件得
d 2 74.4 mm
取 d 2 74.4 mm。
23
（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的 外径D。 由强度条件得 D 96.3 mm 由刚度条件得 D 97.3 mm 取 D 97.3 mm ，则内径为
T Me
M e RdA RRd 2R 2
A 0
2
Me 2 2R
8
二、切应力互等定理
M
z
0
（dy）dx （ dx）dy
得到
切应力互等定理：在单元体在相互垂直的一对平面上，切应力 同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同 指向或共同背离这一交线。 纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力 作用
工程力学C-第9章 扭转
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
第六章-扭转
Me
g
AD BC
Me
f
根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称 性容易判明, 圆筒表面同一圆周线上各处的切应变均 相同。因此, 在材料为均匀连续这个假设条件下, 圆 筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆 周上各点处必相等；至于此切应力的方向, 从相应的 切应变发生在圆筒的切向平面可知, 是沿外圆周的切 向。
M1 d
M3
M2
B
A
C
lAB
lAC
35
例题 8-2
M2
M1 d
M3
B
A
C
lAB
lAC
解: 由截面法得Ⅰ，Ⅱ两段内扭矩分别为T Ⅰ=
955 N·m, T Ⅱ= 637 N·m 。先分别计算B ，C截
面对A之扭转角fAB， fAC , 则可以假想此时A不
动。
f AB
T l AB GIp
， fAC
T l AC GIp
17
取微段dx分析: 得半径为r的任意圆杆面上的切应
变。
gr
tan g r
r df
dx
r(df )
dx
(1)
式中: d f/dx 是长度方向的变化率，按平面假设是常 量。这样，等直圆杆受扭时， gr 与r 成线性关系。
18
2. 物理方面 由剪切胡克定律: tr=Ggr ，在 t<tp 时，可把(1)
扭转变形演示
15
1. 几何方面 如下图，实验表明:
(1) 等直圆杆受扭时, 画在表面上的圆周线只是绕杆的 轴线转动, 其大小和形状都不改变；且在变形较小的 情况时, 圆周线间的相对纵向距离也不变。
16
(2) 平截面假设 等直圆杆受扭时, 它的横截面如同刚性的圆盘
薄壁圆筒扭转
谢谢观看
对薄壁圆筒施加扭矩，并 记录扭矩值。
将扭矩测量仪连接到薄壁 圆筒上，并调整测量仪的 零点。
在施加扭矩的过程中，观 察薄壁圆筒的变形情况， 并记录下来。
实验结果与数据分析
实验结果
在扭转过程中，薄壁圆筒的扭矩随角度增加而增加，同时薄壁圆筒发生变形。
数据分析
通过对实验数据的分析，可以得出薄壁圆筒的扭矩与角度之间的关系，以及薄 壁圆筒的变形情况。这些数据可以帮助我们了解薄壁圆筒在扭转过程中的力学 性能和行为。
加强筋设计
在圆筒的关键部位增加加强筋，以提高圆筒的刚度和 稳定性。
开孔优化
合理布置圆筒上的开孔，以减小开孔对圆筒强度和稳 定性的影响。
工艺参数优化
热处理工艺
通过优化热处理工艺，改善材料的力学性能和 耐腐蚀性能。
加工工艺
优化圆筒的加工工艺，如焊接、切割、磨削等， 以提高圆筒的精度和表面质量。
装配工艺
薄壁圆筒的稳定性分析
01
薄壁圆筒在受到过大的扭转力矩时，可能会发生失稳现象，如 扭曲变形或破裂。
02
稳定性分析的目的是确定薄壁圆筒在给定的扭转力矩下的临界
失稳应力，以及失稳形态和失稳模态。
稳定性分析的方法包括有限元法、能量法、摄动法等。通过分
03
析，可以确定薄壁圆筒的安全工作范围和设计准则。
03
薄壁圆筒扭转
目录
• 薄壁圆筒扭转的基本概念 • 薄壁圆筒扭转的力学分析 • 薄壁圆筒扭转的实验研究 • 薄壁圆筒扭转的数值模拟 • 薄壁圆筒扭转的优化设计
01
薄壁圆筒扭转的基本概 念
定义与特性
定义
薄壁圆筒扭转是指一个薄壁圆筒受到 扭矩作用而产生的旋转运动。
04-4.2 薄壁圆筒的扭转
材料力学大连理工大学王博纯剪切切应力互等定理剪切胡克定律t r1. 变形特点圆周线 形状、大小、间距未变绕轴线旋转不同角度纵向线 间距未变，倾斜角度相同一、横截面上的切应力（目的：由内力表征出应力）薄壁圆筒扭转 纯剪切什么是薄壁圆筒? ——壁厚 t 远小于平均半径 r圆周线 纵向线2. 横截面上的应力猜测（特点）切应力τσ = 0 ；（2）大小 沿壁厚均匀分布、数值由静力学关系求得（1）方向 垂直于所在半径、 对轴线的矩与扭矩一致Q ：从合力的作用效果分析，切应力与之前所学的连接件切应力有何不同？ F τ ττ ≠ 0 推断（有无） M e T得 t Tr或 其中A 0为壁厚中线所围的面积由静力等效 ⎰=⋅⋅=⋅ATr t r A r τπτ2d 22πT r t τ=02T A t τ=tT r 20πA r =d A τd Ax yz 二、切应力互等定理Theorem of Conjugate Shearing Stress 应力单元体特点 1.各边长无穷小 2.各面应力均匀分布 3.平行两面对应应力数值相等 d y d x d z y z x d xd y d zτ'∑M x =0， ∴ 定理 在互相垂直的两个截面上1.垂直于截面交线的切应力数值相等2.方向同时指向截面交线，或同时背离截面交线 τ()()d d d d d d 0x y z x z y ττ'-==ττ'圆筒扭转横截面边缘各点切应力τ的方向为什么一定与边线相切（垂直于半径）？切应力互等定理——小试牛刀！！τM eτττTτ τ三、剪切胡克定律 Hooke ’s Law in Shear ττ γ γ 回忆 材料的拉压胡克定律 当 σ εσp P =E σσσε≤，弹性常数之关系 当 τ ≤ τpτ = Gγ式中 τp — 剪切比例极限G — 切变模量 Shear Modulus 单位 GPa τ © 变形后 线性剪切胡克定律 τ τ γ τp ()ν+=12E G。
04.圆轴的扭转
一、圆周扭转时的变形分析（续1）
2. 变形分析： 假想沿n-n和m-m两个相距dx的横截面将轴切取一薄
四指沿扭矩的方向屈起， 拇指的方向离开截面，扭 矩为正，反之为负。
三、横截面的内力矩——扭矩（续2）
3.扭矩正负号的规定：
（1）右手螺旋法则：
四个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。
（2）扭矩正负号：
离开截面为正，指向截面为负。 （3）外力偶矩正负号的规定：
指向截面
与坐标轴同向为正，反向为负
' 量显然可以用弧线 ：c c 表示，其值为：
(书P54）
cc' Rd
n-n截面在b点处的 角应变：
g＝cc' R d (5-5)
dx dx
一、圆周扭转时的变形分析（续3）
观察截面n-n上距圆心为ρ处的bρ 点， 如左图，bρ点处的角应变：
g
＝
c c' dx
d
dx
(5-6)
d 表示扭转角沿轴线x的变化率，为两个截面相隔单
g
Mn
B
x
j
B'
1.受力特点：构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的 力偶作用，两力偶大小等，转向相反。
2.变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。 3.扭转角：任意两截面间有相对的角位移，这种角位移
称为扭转角。
轴的概念
工程上，将以扭转变形为主要变形的构件通 称为轴。（对比：以弯曲为主要变形的构件在工 程上通称为梁)同时，多数轴是等截面直轴。
薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒
结论 ①无正应力 ②横截面上各点处，只产生垂直 于半径的均匀分布的剪应力 ， 沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。 薄壁圆筒剪应力 大小
A
dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
A0：平均半径所作圆的面积。
d 表示相对扭转角沿杆长 度 dx 的变化率，对于给定的横截面是常量。
在同一半径 的圆周上各点处的剪应变 均相同，且其值 与 成正比。 虎克定律：代 入上式得：
G
d G G dx
d G dx
T A dA d A G dA dx
E G 2(1 )
剪应力互等定理：
mz 0
a dy
´
dx
´
b
c
z
t dxdy t dxdy
故
d
t
上式称为剪应力互等定理。
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力 必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的 交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用， 这种应力状态称为纯剪切应力状态。 在纯剪切应力状态下无体积应变。
2
dA
O
d 2 G A dA dx
d T GI dx
d T dx GI
T I
对于实心圆截面：
I A 2 dA 2 2 d
D 2 0
d
O
D
D
4
32
0.1D
材料力学(第五版)扭转切应力
(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？ 理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因： 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知： 已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察：
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系
实验项目5： 薄壁圆筒弯扭组合变形实验
邵 阳 学 院 实 验 报 告实验项目5：薄壁圆筒弯扭组合变形实验实验日期 实验地点 成 绩 院 系 班 级 指导老师 同组成员 学生姓名 学生学号一、实验内容和目的1. 用电测法测定薄壁圆筒弯扭组合变形时平面应力状态的主应力的大小及方向，并与理论值进 行比较。
2. 进一步掌握电测法二、实验设备及仪器（规格、型号） 1. FCL-I 型材料力学多功能实验装置。
2. HD-16A 静态电阻应变仪。
3. 游标卡尺、钢尺。
三、实验原理薄壁圆筒受弯扭组合作用，使圆筒发生组合变形，圆筒的m 点处于平面应力状态（图1）。
在m 点单元体上作用有由弯矩引起的正应力σx ,由扭矩引起的剪应力τn ，主应力是一对拉应力σ1和一对压应力σ3,单元体上的正应力σx 和剪应力τn 可按下式计算Zx W M=σTnn W M =τ 式中 M — 弯矩，M = P·L M n — 扭矩，M n = P·aW z — 抗弯截面模量，对空心圆筒： ])(1[3243D dD W Z -=π W T — 抗扭截面模量，对空心圆筒： ])(1[1643DdD W T -=π W 由二向应力状态分析可得到主应力及其方向2231)2/(2/nx x τσσσσ+±= x n a tg στ/220-=图1 圆筒m 点应力状态本实验装置采用的是450直角应变花，在m 、mˊ点各贴一组应变花（如图2所示），应变花上三个应变片的α角分别为-450、00、450，该点主应力和主方向20452045454531)()()1(22)1(2)(︒︒-︒︒︒-︒-+-+±-+=εεεεμμεεσσE E )2/()(24545045450︒︒-︒︒-︒---=εεεεεa tg图2 测点应变花布置图四、实验步骤1. 设计好本实验所需的各类数据表格。
2. 测量试件尺寸、加力臂长度和测点距力臂的距离，确定试件有关参数。
名师讲义【赵堔】工程力学第9章扭转强度与刚度
d MTn x dx
GI p
AB 截面相对扭转角为：
l
d
l
MTn x dx
GI p
# 图示为变截面圆杆，A、B 两端直径分别为 d1、d2 。
从中取 dx 段，该段相邻两截 面的扭转角为：
d T dx
GI P (x)
AB 截面相对扭转角为：
d
T dx
L
L GI P ( x)
三、 扭转杆的刚度计算
圆管强度。
解：1. 计算扭矩作扭矩图
2. 强度校核
危险截面：截面 A 与 B
A
TA
2πR02d1
ml
2πR02d1
44.6
MPa [
]
ml
B
TB
2π 2
27.9
MPa [
]
圆管强度足够
例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m，
d
5、切应力的计算公式：
dA 对圆心的矩 → dAr0
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
T
2r0 2t
薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
r0 即
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得 T
纵轴 T——
T
2r02t
核轴的刚度 解：1. 内力、变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
薄壁圆筒的扭转
实验步骤
将薄壁圆筒固定在实验台上，确保其稳定不动 。
01
使用扭矩测量装置测量施加的扭矩大小， 并记录数据。
03
02
在薄壁圆筒的一端施加扭矩，使其发生扭转 。
04
使用位移传感器测量薄壁圆筒在扭转过程 中的位移，并记录数据。
使用应力应变测量仪测量薄壁圆筒在扭转 过程中的应力应变分布，并记录数据。
工程实例一
总结词：桥梁结构
详细描述：薄壁圆筒的扭转在桥梁结构设计中有着广泛应用。例如，桥梁的桥墩和桥台通常采用薄壁圆筒结构，这些结构在 承受扭转力时表现出良好的稳定性。
工程实例二
总结词：建筑结构
详细描述：在高层建筑或大型工业建筑中，薄壁圆筒的扭转被广泛应用于建筑结构的支撑和抗扭设计 中。这些薄壁圆筒可以增强建筑的稳定性和抗风能力。
薄壁圆筒的扭转
• 引言 • 薄壁圆筒扭转的基本概念 • 薄壁圆筒的力学性能 • 薄壁圆筒的扭转实验 • 薄壁圆筒的扭转模拟 • 薄壁圆筒的扭转在实际中的转是一个涉及材料力学 、流体力学和工程设计等多个领域的 主题。它主要研究薄壁圆筒在扭矩作 用下的应力、应变和稳定性等特性。
在薄壁圆筒的扭转过程中，圆筒的一端固定，另一端施加扭矩，使圆筒产生旋转 运动。
薄壁圆筒扭转的原理
01
当对薄壁圆筒施加扭矩时，圆筒的横截面将受到剪切应力和弯 曲应力的作用。
02
由于薄壁圆筒的壁厚很薄，剪切应力和弯曲应力会在横截面上
产生很大的应力集中，可能导致圆筒破裂或变形。
因此，在薄壁圆筒的扭转过程中，需要合理选择材料、壁厚和
模拟结果分析
应力和应变分布
通过模拟结果分析薄壁圆筒在不 同扭转状态下的应力和应变分布 情况，验证是否满足强度要求。
薄壁圆筒在弯扭组合变形主应力测定报告
薄壁圆筒在弯扭组合变形主应力测定报告一、概述薄壁圆筒是工程中常见的一种结构形式，其在使用过程中受到的弯曲和扭转载荷往往同时存在，因此对其在弯扭组合变形条件下的主应力进行准确测定具有重要意义。
本报告旨在对薄壁圆筒在弯扭组合变形下的主应力进行测定，并提供权威的数据支持。
二、实验目的1.对薄壁圆筒在弯曲和扭转载荷下的主应力进行测定；2.掌握薄壁圆筒在弯扭组合变形条件下的变形规律；3.提供准确可靠的数据支持，为工程设计提供参考依据。
三、实验原理在弯曲和扭转载荷共同作用下，薄壁圆筒内部会产生主应力和主剪应力。
其主应力由弯曲应力和扭转应力共同决定，根据相关理论原理，可以通过测定薄壁圆筒表面的变形情况，推导出其在弯扭组合变形条件下的主应力。
四、实验装置和材料1.薄壁圆筒实验样品；2.应变仪；3.扭转载荷施加装置；4.弯曲载荷施加装置；5.数据采集系统；6.相关辅助工具；7.其他必要的辅助材料。
五、实验步骤1.准备薄壁圆筒样品，清洁表面并固定在实验台上；2.根据实验要求，施加弯曲载荷，并记录薄壁圆筒的变形情况；3.根据实验要求，施加扭转载荷，并记录薄壁圆筒的变形情况；4.利用应变仪等装置对薄壁圆筒表面的应变变化进行实时监测和记录；5.根据采集的数据，推导出薄壁圆筒在弯扭组合变形条件下的主应力。
六、实验数据处理和分析1.根据实验采集的数据，绘制出薄壁圆筒在不同弯曲和扭转载荷下的主应力变化曲线；2.对数据进行详细分析和比对，得出薄壁圆筒在不同载荷情况下的主应力范围；3.分析实验中存在的误差和不确定性，并提出相应的修正方案；4.对实验结果进行合理的解释和结论。
七、实验结果与结论1.根据实验数据处理和分析，得出薄壁圆筒在弯扭组合变形条件下的主应力范围为△σ；2.对实验结果进行科学的解释和结论，明确指出实验的可靠性和局限性；3.在结论部分提出对后续研究和工程应用的建议和展望。
八、实验总结1.总结全文工作，重点强调实验的意义和价值；2.对实验中存在的问题和不足进行梳理和反思；3.为未来相关研究和工程设计提供经验和借鉴。
薄壁圆筒的扭转
B
Me
D C dx δ
2
4.推导公式 (Derivation of formula)
A dA r r A dA r(2π r ) T
T 2πr 2
此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式.
薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布, 与半径垂直,
指向与扭矩的转向一致.
τ T
τ
二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem)
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Torsion of thin-walled cylindrical Vessels)
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
1.实验前
（1）画纵向线,圆周线;
（2）施加一对外力偶.
2.实验后 （1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和 Me 间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；
r
l
T
从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间
的线性关系 . G
O
该式称为材料的剪切胡克定律
(Hooke’s law for shear)
G –剪切弹性模量
三个弹性常数的关系 G E
2(1 )
O
知识回顾 Knowledge Review
（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ； （3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
3.推论(Inference)
Me
（1）横截面上无正应力，只
有切应力；
（2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切.
圆周各点处切应力的方向于圆周相切, A
且数值相等, 近似的认为沿壁厚方向各点处
薄壁圆筒扭转试验
薄壁圆筒扭转试验薄壁圆筒扭转试验如所示纤维复合材料薄壁圆筒纤维与轴线平行，薄壁圆筒平均半径为，壁厚为在簿壁圆筒两端施加对轴线的力偶矩扭矩。
在纤维复合材料薄壁圆筒的扭转试验中假定：当时，可以认为横截面团环上各点切应力沿半径在厚度上均匀分布。
由动员矩守恒原理，对于静力学的纤维复合材料薄壁圆筒问题，各点的切应力满足切应力互等定律。
即：对于内外表面均处于自由状态的纤维复合材料薄壁圆筒，横截面内外因周线上各点切应力均沿团周切线方向铂向。
且由假定可知，同一半径上内外因周线上两点切应力相等。
通过观察可以看出，对于端部受一对外力偶矩，且处在平衡状态的纤维复合材料薄壁圆筒，其外表面上各点处的切应变相同。
该假定给出纤维复合材料薄壁圆筒处于均匀纯剪切应力状态，即对于纤维复合材料薄壁圆筒，由截面法可确定其任意横截面上的扭矩均为。
纤维复合材料湾壁圆筒任意横截面上的扭矩是横截面上分布切应力向轴线简化的主矢量在纤维复合材料荫壁圆筒外表面上任取一点，如图ABC电子所示。
点在弹性主向面内的应力状态如图所示。
对于点弹性主向面内的纯剪切应力状态，当切应力?达到极限应力。
时通过与对应的极限扭矩严可以确定剪切权限应力对于纤维复合材料薄壁圆筒扭转试验，其结果表明，应力—应变之间为非线性关系，如图复合材料单层板沿纤维方向单向拉伸试验确定了复合材料单层板与纤维正交方向单向拉伸试验确定了复合材料单层板与纤维成。
角方向单向拉伸试验确定了纤维复合材料薄壁圆筒纤维与轴线平行的扭转试验确定对于拉伸与压缩强度不相同的复合材料单层扳正交各向异性线弹性体平面应力问题，只须IC现货商将复合材料单层板沿纤维方向单向拉伸试验、复合材料单层板与纤维正交方向单向拉伸试验中的拉仲裁荷换成压缩载荷即可确定。
表给出了种纤维增强复合材料的相关刚度参数及强度指标。
在应用平面应力状态二向最大应力理论的强度条件是应该特别注意，式、式中的应力是正交各向异性线弹性体弹性主向的应力这里下标是弹性主向，并不是应力状态分析中的应力主方向。
材料力学(第五版)扭转切应力 PPT课件
pq
da
Me
cb
pq
pq
d’ a’
Me
c’
b’
pq
切应力互等定理
切应力互等定理
d
a
d
a
c
b
c
b
在相互垂直的两个截面上，切应力 必然成对出现，且大小相等，方向为共 同指向或共同背离两个截面的交线。
二、剪切胡克定律
d
a
Me
c
b
d’
γ
a’
pq
da
Me
cb
pq pq
T3 158.7 N m
Wp1
d13 16
703 109 16
67.34 106 m3
Wp 2
d32 16
503 109 16
24.54 106 m3
Wp3
d33 16
353 109 16
8.418106 m3
(max )E
D4 d 4 32
D
I p
πD4
1 α4 32
d
O
式中: d
D
D
圆轴扭转最大切应力
max
|R
TR IP
令:
Wp
IP R
抗扭截面系数
圆轴扭转最大切应力为:
max
T Wp
实心圆轴的抗扭截面系数为:
D3 Wp 16
空心圆轴的抗扭截面系数为:
Wp
A1
4
d12
A2
4
《材料力学》课件3-2薄壁圆筒的扭转
切应力计算
根据材料力学的基本原理，切应力的大小可以通过扭矩和横截面 面积的比值计算得到。
变形量计算
通过测量薄壁圆筒在扭转变形前后的长度变化，可以计算出其变 形量。
弹性模量
在一定条件下，切应力和变形量之间的关系可以用弹性模量来描 述。
薄壁圆筒的变形特性
变形方向
薄壁圆筒的扭转变形是沿着圆筒轴线的方向进行的。
04
根据实验结果，讨论薄壁圆筒在纯扭状态 下横截面上的应力分布规律。
实验结论与讨论
01
实验结果表明，薄壁圆筒在纯扭 状态下横截面上的应力分布符合 剪切应力与剪切应变线性关系；
02
与理论公式对比，实验结果与理 论公式基本一致，验证了理论公
式的正确性；
在实验过程中，应采取措施减小 误差，提高实验精度；
薄壁圆筒的扭转原理
当薄壁圆筒受到一对大小相等、 方向相反的力偶作用时，圆筒
就会发生扭转。
薄壁圆筒的剪切模量是衡量 其抗扭能力的物理量，剪切 模量越大，抗扭能力越强。
薄壁圆筒的弯曲应力与轴向应 力在剪切模量中得到体现，弯 曲应力与轴向应力的比值决定
了圆筒的形状变化。
薄壁圆筒的扭转应用
薄壁圆筒广泛应用于机械、化工、建筑等工程领域，如管道、压力容器、塔器等。
计算时应根据实际情况选择合适的 公式进行计算。
薄壁圆筒的应力特性
01
薄壁圆筒的应力特性主要表现为剪切应力和弯曲应力的共同作 用。
02
在扭转载荷作用下，圆筒的外侧受到较大的剪切应力和弯曲应
力，而内侧受到较小的剪切应力和弯曲应力。
圆筒的应力特性与圆筒的材料属性、几何形状以及扭转载荷的
03
大小有关。
03
《材料力学》课件3-2薄壁圆 筒的扭转
第3章 扭转
å
得
e4
M
e1
M
x
= 0
T2 + M 4 - M 1 = 0
（d）
A
B
Ⅱ T2 Ⅱ
T 2 = - M 4 + M 1 = - 6 .3 7 + 1 5 .9 = 9 .5 3
(3) CD段：在截面Ⅲ-Ⅲ处将轴截开，取右段为脱离 体，如图e，由平衡条件 M e3 M = 0 Ⅲ å T3 - M 3 = 0
Me n n （a） Me
x
Me
n T x n （b） n
T
n （c） Me
x
12
传动轴的外力偶矩
功率、转速与力偶矩的转换关系：在工程实际中，给出 轴所传递的功率和轴的转速。需要将其换算为力偶矩。 轴转动1分钟力偶所作的功为：
W = 2π 鬃 M e n
A B
电动机每分钟所作的功为：
W ' = 60
t
a
= t co s 2 a
28
s
a
= - t sin 2 a
t
a
= t co s 2 a
讨论:
a = 0
0
s 00 = 0
t 00 = t
max
= t
τ
τ
a = - 45
0
st-
45
0
= s max = t
= 0
τ
45
0
σmin
τ
σmax
a = 45
0
s 450 = s min = - t
t
45
27
e
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T T 2 2 r0 t 2 A 0 t
剪切虎克定律：
L R RL
T ( 2 A 0t)
( L ) R
当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp )，剪 应力与剪应变成正比关系。
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量， 因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料 的G值可通过实验确定。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质 的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间 存在 下列关系
2
dA
O
d 2 G A dA d
T I
对于实心圆截面：
I A 2 dA 2 2 d
D 2 0
d
O
D
D
4
32
0.1D
4
对于空心圆截面：
2
I A dA 2 d
2 D 2 d 2
(
d ) D
d O
d
D
32 D 4 (1 4 ) 0.1D 4 (1 4 ) 32
(D4 d 4 )
应力分布情况?
确定最大剪应力：
T 知：当 Ip d R , max 2 d T T T 2 max d Wt I I 2
6.3、等直圆杆在扭转时的应力
实验观察现象 圆周线绕杆轴线相对旋 转了一个角度,大小和 形状均未改变； 圆周线间的距离未变； 纵向线倾斜了一个角度。 满足平面假设 横截面上只有剪应力
剪应力计算
G1G d tg dx dx
此式表达了横截面上任 一处的剪应变随该点在横 截面上的位置而变化的规律。
6.2、薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
t
1 r 10 0
r0为平均半径
实验前：
①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
实验后：
①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。
现象 ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动； ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ； ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
90 0 , 90 max
由此可见：圆轴扭转时, 在横截面和纵截面上的剪 应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作 用有最大压应力和最大拉 应力。根据这一结论，就 可解释前述的破坏现象。
45°
´
圆轴扭转时的强度计算
强度条件：
对于等截面圆轴：
max [ ]
第6章 扭转
6.1、扭转的概念
扭转：受到的外力是一些转向不同的力偶，且力偶的作用 面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。 轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动 轴。 变形特点：
mC
mB
A
O B
mA
m
m
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。 截面法求内力 T = m ----扭矩 扭矩的符号规定：“T” m m 的转向与截面外法线方向 满足右手螺旋规则为正， x 反之为负。 T 扭矩图 m
E G 2(1 )
剪应力互等定理：
mz 0
a dy
´
dx
´
b
c
z
t dxdy t dxdy
故
d
t
上式称为剪应力互等定理。
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力 必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的 交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用， 这种应力状态称为纯剪切应力状态。 在纯剪切应力状态下无体积应变。
由
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 单位：mm3或m3。
等直圆杆扭转时斜截面上的应力 M
´
x
´
Fn 0 ; dA (dAcos)sin ( dAsin)cos 0
´
dAsin)sin 0 Ft 0 ; dA (dAcos)cos (
Tmax [ ] Wt
① 校核强度
([] 称为许用剪应力。) 强度计算三方面：
② 设计截面尺寸
③ 计算许可载荷
6.4、等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件 扭转时的变形
d T dx GI
d 0
l
T dx GI
Tl (若T 值不变） GI
单位扭转角 ： 或
分析：
sin 2 ; cos2 当 = 0°时， 0 0 , 0 max
45 min , 45 0
当 = 45°时， 当 = – 45°时， 当 = 90°时，
45 max , 45 0
结论 ①无正应力 ②横截面上各点处，只产生垂直 于半径的均匀分布的剪应力 ， 沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。 薄壁圆筒剪应力 大小
A
dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
A0：平均半径所作圆的面积。
刚度条件 或
T max (rad/m) GI p T 180 max (/m) GI p
d T (rad/m) dx GI p d T 180 (/m) dx GI p
d 表示相对扭转角沿杆长 度 dx 的变化率，对于给定的横截面是常量。
在同一半径 的圆周上各点处的剪应变 均相同，且其值 与 成正比。 虎克定律：代 入上式得：
G
d G G dx
d G dx
T A dA d A G dA dx