常用离散、连续型随机变量的均值与方差

几种常用的离散型随机变量及其分布律： <一>两点分布:()~1,X B p

(1),(0),1P X p P X q p q ====+=

即：1(),0,1k k P X k p q k -===

()(), E X p D X pq ==

<二>二项分布:()~,X B n p

10()(1),()1n

k

k k

n k P X k C p p P X k -===-==∑ (),()(1)E X np D X np p ==-

<三>泊松分布:~()X P λ

(),0,1,2,...,!k

P X k e k k λλ-===

(),()E X D X λλ==

<四>超几何分布:~(,,)X H n M N

(),0,1,2,...,k n k M N M n N C C P X k k C --=== m i n (,),,M n M N n N

≤≤ (),()E X D X 视具体题目情况而定。

几种常用的连续型随机变量的均值与方差 <一>均匀分布:[]~,X U a b

分布函数：

0,,(),,1,.

x a x a dx x a F x a x b b a b a x b <⎧⎪-⎪== ≤<⎨--⎪ ≥⎪⎩⎰ 概率密度函数：

[]1,,,()x a b f x b a ⎧ ∈⎪=-⎨⎪ 0, ⎩ ()()10012

a b

a b b a

E X xf x dx x dx x dx x dx b a xdx b a a b +∞

-∞

+∞+∞

= =⋅⋅++⋅⋅- =-+ =⎰⎰⎰⎰⎰ 22222

()()[()]()[()]()12

D X

E X E X x f x dx xf x dx a b +∞+∞-∞-∞=- =-- =⎰⎰ <二>指数分布:~()X E λ 分布函数：

1,0,()0,0.x e x F x x λ-⎧- >=⎨ ≤⎩ 概率密度函数：

,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧ ≥=⎨ <⎩ 00000()()0()

1()1x x x

x E X xf x dx x dx x e dx

x e d x x e e d x λλλλλλλλλ

+∞

-∞

+∞

--∞+∞

-+∞

+∞--= =⋅⋅+⋅ =-⋅-⎡⎤ =-⋅+-⎢⎥⎣

⎦ =⎰⎰⎰⎰⎰ 其他. (证明过程见书p146)

[]222222************

()()()1()101()21211

x x x

x D X E X E X x f x dx x dx x e dx x e d x x e x e dx λλλλλλλλλλλλλλ

λ+∞-∞+∞+∞

--∞+∞

-+∞

+∞--=- =- = ⋅⋅+⋅-

=-⋅--

⎡⎤ =-⋅-⋅-⎢⎥⎣

⎦ =- =⎰

⎰⎰⎰⎰ <三>正态分布:2~(,)X N μσ 分布函数： 22()21

(),.2t x

F X e dt x μσπσ---∞= -∞<<+∞⎰

概率密度函数： 22()21()()2x f x e x μσπσ--= -∞<<+∞ 2(),()E X D X μσ==