您的位置：360文档中心› 2021中考数学真题分类专题31 规律探究题(共33题含解析)

2021中考数学真题分类专题31 规律探究题(共33题含解析)

合集下载

【九年级】2021年全国中考数学规律探索试题汇编

【九年级】2021年全国中考数学规律探索试题汇编

【九年级】2021年全国中考数学规律探索试题汇编山（2021•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（?1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2021的坐标为（0，?2）．考点：中心对称；规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2021的坐标．解答：解：点P1（2，0），P2（?2，2），P3（0，?2），P4（2，2），P5（?2，0），P6（0，0），P7（2，0），从而可得出6次一个循环，∵ =503…3，∴点P2021的坐标为（0，?2）．故答案为：（0，?2）．点评：本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．.（2021• 潍坊）当白色小正方形个数等于1,2，3…时，由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________.（用表示，是正整数）（2021• 淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2021个格子中的整数是.－4abc6b－2…（2021•湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是85 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：先根据第一行的第一列与第二列相差2，往后分别相差3，4，5，6，7，第二行的第一列与第二列相差3，往后分别相差4，5，6，7，第三行的第一列与第二列相差4，往后分别相差5，6，7，8，由此得出第七行的第一列与第二列分别相差8，往后分别相，9，10，11，12，13，从而求出答案．解答：解：第一行的第一列与第二列差个2，第二列与第三列差个3，第三列与第四列差个4，…第六列与第七列差个7，第二行的第一列与第二列差个3，第二列与第三列差个4，第三列与第四列差个5，…第五列与第六列差个7，第三行的第一列与第二列差个4，第二列与第三列差个5，第三列与第四列差个6，第四列与第五列差个7，…第七行的第一列与第二列差个8，是30，第二列与第三列差个9，是39，第三列与第四列差个10，是49，第四列与第五列差个11，是60，第五列与第六列差个12，是72，第六列与第七列差个13，是85；故答案为：85．点评：此题考查了数字的变化类，这是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解决本题的关键是得到每行中前一列与后一列的关系．（2021• 衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…….则四边形A2B2C2D2的周长是▲ ；四边形A2021B2021C2021D2021的周长是▲ .（2021• 台州）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是。

2021年中考数学真题(全国通用)专题33 几何综合压轴问题(解答题)-(原卷版)

2021年中考数学真题(全国通用)专题33 几何综合压轴问题(解答题)-(原卷版)

专题33几何综合压轴问题（解答题）一、解答题1．（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形中，．点，ABC 90BAC ∠=︒E F 分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向AB AC H EF E F AH A 旋转得到，连接，．90︒AG GC HB（1）证明：；AHB AGC A A ≌（2）如图2，连接，，交于点．GF HC AF AF Q ①证明：在点的运动过程中，总有；H 90HFG ∠=︒②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？4AB AC ==EH AQG A 2．（2021·湖北中考真题）问题提出 如图（1），在和中，，ABC A DEC A 90ACB DCE ∠=∠=︒，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存BC AC =EC DC =E ABC A AD BE F AF BF CF 在怎样的数量关系？问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，D F AF BF 之间的数量关系；CF （2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．D F 问题拓展 如图（3），在和中，，，（是ABC A DEC A 90ACB DCE ∠=∠=︒BC kAC =EC kDC =k 常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，E ABC A AD BEF AF BF CF 之间的数量关系．3．（2021·浙江中考真题）（证明体验）（1）如图1，为的角平分线，，点E 在上，．求证：平分AD ABC A 60ADC ∠=︒AB AE AC =DE ．ADB ∠（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F 为上一点，连结交于点G ．若，，AB FC AD FB FC =2DG =，求的长．3CD =BD （拓展延伸）（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E 在上，ABCD AC ,2BAD BCA DCA ∠∠=∠AC．若，求的长．EDC ABC ∠=∠5,2BC CD AD AE ===AC 4．（2021·浙江中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E ，满足ABCD O A BD A AD ，连结并延长交的延长线于点F ，与交于点G ．A A AE CD =BE CD BE AD（1）若，请用含的代数式表列．DBC α∠=αAGB ∠（2）如图2，连结．求证；．,CE CE BG =EF DG =（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．CG 2AD =①若，求的周长．tan ADB ∠=FGD A ②求的最小值．CG 5．（2021·浙江中考真题）在扇形中，半径，点P 在OA 上，连结PB ，将沿PB 折叠AOB 6OA =OBP A 得到．O BP 'A （1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B ．75O ∠=︒BO 'A AB ①求的度数．APO ∠'②求AP 的长．（2）如图2，与相交于点D ，若点D 为的中点，且，求的长．BO 'A AB A AB //PD OB AAB 6．（2021·浙江中考真题）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结ACD △РCD B AD ,BC AP ．（1）如图1，若，求的长．90,60,,ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===BC （2）过点作，交延长线于点，如图2所示．若，求证：D //DE AC AP E 60,CAD BD AC ∠︒==．2BC AP =（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出45CAD ∠=︒m BD mAC =2BC AP =的值；若不存在，请说明理由．m 7．（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形ABCD 中，，点E 在边BC 上，且ABC BCD ∠=∠，，作交线段AE 于点F ，连接BF ．//AE CD //DE AB CF //AD （1）求证：；ABF EAD △≌△（2）如图2，若，，，求BE 的长；9AB =5CD =ECF AED ∠=∠（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求的值．BEEC 8．（2021·四川中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连ABC A AB AC =D BC B C 结．AD（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则60C ∠=°D AB E AE DE BDE ∠=________；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．60C ∠=°AD A 60︒AE BE ①在图2中补全图形；②探究与的数量关系，并证明；CD BE （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证AB AD kBC DE ==ADE C ∠=∠BE BD AC 明．9．（2021·山东中考真题）如图1，O 为半圆的圆心，C 、D 为半圆上的两点，且．连接并A A BD CD =AC 延长，与的延长线相交于点E ．BD （1）求证：；CD ED =（2）与，分别交于点F ，H ．AD OC BC ①若，如图2，求证：；CF CH =CF AF FO AH ⋅=⋅②若圆的半径为2，，如图3，求的值．1BD =AC10．（2021·江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）是边长为3的等边三角形，E 是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形ABC A AC 1AE BE ，如图1，求的长；BEF CF（2）是边长为3的等边三角形，E 是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，ABC A AC BE BEF 如图2，在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长；（3）是边长为3的等边三角形，M 是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形ABC A CD BM BMN ，如图3，在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长；（4）正方形的边长为3，E 是边上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以ABCD CB B 为顶点作正方形，其中点F 、G 都在直线上，如图4，当点E 到达点B 时，点F 、G 、H 与BFGH AE 点B 重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．11．（2021·吉林中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD 的内部，点B 的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，折痕为AF ，则 度．EAF ∠=操作二：如图②，将正方形纸片沿EF 继续折叠，点C 的对应点为点N ．我们发现，当点E 的位置不同时，点N 的位置也不同．当点E 在BC 边的某一位置时，点N 恰好落在折痕AE 上，则 ∠=AEF 度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM 与NF 的交点为点P ．求证：．ANP FNE △≌△（2）若，则线段AP 的长为 ．AB =12．（2021·湖南中考真题）如图，在中，，N 是边上的一点，D 为的中点，过ABC A AB AC =BC AN 点A 作的平行线交的延长线于T ，且，连接．BC CD AT BN =BT（1）求证：；BN CN =（2）在如图中上取一点O ，使，作N 关于边的对称点M ，连接、、、AN AO OC =AC MT MO OC 、得如图．OT CM ①求证：；TOM AOC A A ∽②设与相交于点P ，求证：．TM AC 1//,2PD CM PD CM =13．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，BD 是半径为3的⊙O 的一条弦，BD ＝，点A 是⊙O 上的一个动点（不与点B ，D 重合），以A ，B ，D 为顶点作平行四边形ABCD ．（1）如图2，若点A 是劣弧的中点．A BD ①求证：平行四边形ABCD 是菱形；②求平行四边形ABCD 的面积．（2）若点A 运动到优弧上，且平行四边形ABCD 有一边与⊙O 相切．ABD ①求AB 的长；②直接写出平行四边形ABCD 对角线所夹锐角的正切值．14．（2021·青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：60,30,15︒︒︒操作感知：第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图13-1）．ABCD AD BC EF 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段A EF B BM BN （如图13-2）．猜想论证：（1）若延长交于点，如图13-3所示，试判定的形状，并证明你的结论．MN BC P BMP A 拓展探究：（2）在图13-3中，若，当满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符AB a BC b ==，a b ，ABCD （1）中的等边三角形？BMP 15．（2021·海南中考真题）如图1，在正方形中，点E 是边上一点，且点E 不与点重ABCD BC B C ≌合，点F 是的延长线上一点，且．BA AF CE =（1）求证：；DCE DAF A A ≌（2）如图2，连接，交于点K ，过点D 作，垂足为H ，延长交于点G ，连接EF AD DH EF ⊥DH BF ．,HB HC ①求证：；HD HB =②若，求的长．DK HC ⋅=HE 16．（2021·甘肃中考真题）问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，ABCD ,E F ,AB BC 于点．,DE AF DE AF =⊥G（1）求证：四边形是正方形；ABCD （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．CB H BH AE =AHF △类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，ABCD ,E F ,AB BC DE AF G ，求的长．,60,6,2DE AF AED AE BF =∠=︒==DE 17．（2021·四川中考真题）如图1，在中，，，点D 是边上一点（含ABC A 90ACB ∠=︒AC BC =AB 端点A 、B ），过点B 作垂直于射线，垂足为E ，点F 在射线上，且，连接、BE CD CD EF BE =AF ．BF（1）求证：；ABF CBE A A ∽（2）如图2，连接，点P 、M 、N 分别为线段、、的中点，连接、、．求AE AC AE EF PM MN PN 的度数及的值；PMN ∠MNPM（3）在（2）的条件下，若面积的最大值．BC =PMN A 18．（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关ABCD A BE AD ⊥E F CD EF BF EF BF系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如ABCD A BF F CD 图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证C 'C 'DC AB G AG BG 明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A 的对应点为，ABCD A B 'A 使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此'A B CD ⊥H AD M 'A M CD N 的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思ABCD A 5AB=BC =BHNM考此问题，直接写出结果．19．（2021·浙江中考真题）问题：如图，在中，，，，的平分线ABCD A 8AB =5AD =DAB ∠ABC ∠AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：．2EF =探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．8AB =①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相8AB =5AD =等时，求的值．ADAB20．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形ABCD A ()090αα︒<≤︒'''AB C D [探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求BC 的长．90α=︒'C DB 1AB =[探究2]如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明'AC 'D '//'D M AC BD M 'D M DM 理由．[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图3），，存在一定的DB 'AD 'AC P N MN PN 数量关系，并加以证明．21．（2021·浙江中考真题）如图，在菱形中，是锐角，E 是边上的动点，将射线绕ABCD ABC ∠BC AE 点A 按逆时针方向旋转，交直线于点F ．CD （1）当时，AE BC EAF ABC ，^Ð=Ð①求证：；AE AF =②连结，若，求的值；BD EF ，25EF BD =ABCD A ＡＥＦ菱形ＳＳ（2）当时，延长交射线于点M ，延长交射线于点N ，连结12EAF BAD ∠=∠BC AF DC AE AC MN，，若，则当为何值时，是等腰三角形．42AB AC ==，CE AMN A 22．（2017·山东德州市·中考真题）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF AB 交PQ 于F ，连接BF ．//（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动；①当点Q 与点C 重合时（如图2），求菱形BFEP 的边长；②若限定P 、Q 分别在边BA 、BC 上移动，求出点E 在边AD上移动的最大距离．23．（2020·广西中考真题）已知：在矩形中，，是边上的一个动点，将ABCD 6AB =AD =P BC 矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．ABCD A P D G EF （1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________；P C EB =EF =（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点P B C EF O PO GF ，连接，，．M PF ME MA ①求证：四边形是平行四边形：MEPF②当时，求四边形的面积．1tan 3MAD ∠=MEPF 24．（2020·山东中考真题）在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，是直角三角形，∠DAE ＝90°，∠ADE ＝ADE A 12∠ACB ，连接BD ，BE ，点F 是BD 的中点，连接CF ．（1）当∠CAB ＝45°时．①如图1，当顶点D 在边AC 上时，请直接写出∠EAB 与∠CBA 的数量关系是 ．线段BE 与线段CF 的数量关系是 ；②如图2，当顶点D 在边AB 上时，（1）中线段BE 与线段CF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC 底边上的高CM ，并取BE 的中点N ，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE 的中点G ，连接AG ，CG ，并把绕点C 逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形CAG A 全等或相似有关知识来解快问题．（2）当∠CAB ＝30°时，如图3，当顶点D 在边AC 上时，写出线段BE 与线段CF 的数量关系，并说明理由．25．（2021·天津中考真题）已知内接于，点D 是上一点．ABC A ,,42O AB AC BAC =∠=︒A O A（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；BD O A CD DBC ∠ACD ∠（Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D 作的切线，与的延长线交于点E ，求的大CD BA AD O A OC E ∠小．26．（2021·浙江中考真题）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交ABC O A BAC ∠AG O A G 边于点，连接．BC F BG(1)求证：．ABG A AFC ∽△(2)已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）．AB a =AC AF b ==FG a b (3)已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），E AF A F D AE A E ，求证：．ABD CBE ∠=∠2BG GE GD =⋅27．（2021·山东中考真题）如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边上一点，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 落在F 处，连接BF 并延长，与∠DAF 的平分线相交于点H ，与AE ，CD 分别相交于点G ，M ，连接HC（1）求证：AG ＝GH ；（2）若AB ＝3，BE ＝1，求点D 到直线BH 的距离；（3）当点E 在BC 边上（端点除外）运动时，∠BHC 的大小是否变化？为什么？28．（2021·甘肃中考真题）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．A ,ABC AB（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接；AC DE A AB ,D AC E ,AD CD ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接．D DA AAB F ,F A ,,DF BD BF （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系．,BC BF 29．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下xOy O A A BC 定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是BC A O A B C '',B C '',B C BC 的以点为中心的“关联线段”．O A A（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点112233,,,,,,A B C B C B C 112233,,B C B C B C O A A 为中心的“关联线段”是______________；（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线ABC A ()0,A t 0t ≠BC O A A 段”，求的值；t （3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值ABC A 1,2AB AC ==BC O A A OA 和最大值，以及相应的长．BC 30．（2021·湖北中考真题）如图，在菱形中，是对角线上一点（），，ABCD O BD BO DO >OE AB ⊥垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点．E OE O A DC H EO F EF DC G（1）求证：是的切线；BC O A （2）若是的中点，，．G OF 2OG =1DG =①求的长；AHE ②求的长．AD 31．（2021·山东中考真题）如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，O A AB CD AB ⊥H E A BC 为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若F DC FE AB G AE CD P ．FE FP =（1）求证：是的切线；FE O A （2）若的半径为8，，求的长．O A 3sin 5F =BG 32．（2021·四川中考真题）如图，⊙O 的半径为1，点A 是⊙O 的直径BD 延长线上的一点，C 为⊙O 上的一点，AD ＝CD ，∠A ＝30°．（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）求△ABC 的面积；（3）点E 在上运动（不与B 、D 重合），过点C 作CE 的垂线，与EB 的延长线交于点F ． ¼BND ①当点E 运动到与点C 关于直径BD 对称时，求CF 的长；②当点E 运动到什么位置时，CF 取到最大值，并求出此时CF 的长．33．（2021·重庆中考真题）在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆ABC A AB AC =D BC AD AD A 时针旋转至的位置，使得．AE 180DAE BAC ∠+∠=︒（1）如图，当时，连接，交于点．若平分，，求的190BAC ∠=︒BE AC F BE ABC ∠2BD =AF 长；（2）如图，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜2BE BE G AG AG CD 想；（3）如图，在（2）的条件下，连接，．若，当，3DG CE 120BAC ∠=︒BD CD >150AEC ∠=︒时，请直接写出的值．BD DGCE -34．（2021·四川中考真题）如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，过D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点C ，于点E ，交⊙O 于点F ，连接AD ，FD ．AE CD ⊥（1）求证：；DAE DAC ∠=∠（2）求证：；DF AC AD DC ⋅=⋅（3）若，，求EF 的长．1sin 4C ∠=AD =35．（湖南省益阳市2021年中考数学真题）如图，在等腰锐角三角形中，，过点B 作ABC AB AC =于D ，延长交的外接圆于点E ，过点A 作于F ，的延长线交于BD AC ⊥BD ABC A AF CE ⊥,AE BC 点G ．（1）判断是否平分，并说明理由；EA DEF ∠（2）求证：①；②．BD CF =22BD DE AE EG =+⋅36．（2021·湖南中考真题）如图①，是等腰的斜边上的两动点，E F 、Rt ABC A BC 且．45,EAF CD BC ∠=︒⊥CD BE =（1）求证：；ABE ACD △≌△（2）求证：；222EF BE CF =+（3）如图②，作，垂足为H ，设，不妨设，请利用AH BC ⊥,EAH FAH αβ∠=∠=AB =（2）的结论证明：当时，成立．45αβ+=︒tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅37．（2021·黑龙江中考真题）如图所示，四边形为正方形，在中，ABCD A ECH 的延长线与的延长线交于点，点在同一条直线上．90,,ECH CE CH HE ∠=︒=CD F D B H 、、（1）求证：；CDE CBH A A ≌（2）当时，求的值；15HB HD =FD FC（3）当时，求的值．3,4HB HG ==sin CFE ∠38．（2021·四川中考真题）如图，为的直径，C 为上一点，连接，D 为延长线AB O A O A ,AC BC AB 上一点，连接，且．CD BCD A ∠=∠（1）求证：是的切线；CD O A（2）若，的面积为的长；O A ABC A CD （3）在（2）的条件下，E 为上一点，连接交线段于点F ，若，求的长．O A CE OA 12EF CF =BF 39．（2021·湖南中考真题）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折Rt ABC △P BC ABP △AP 叠，使得点的对应点为，连接，，，．B B 'AB 'CB 'BB 'PB '（1）如图①，若，证明：．PB AC '⊥PB AB ''=（2）如图②，若，，求的值．AB AC =3BP PC =cos B AC '∠（3）如图③，若，是否存在点，使得．若存在，求此时的值；若不存30ACB ∠=︒P AB CB '=PCBC 在，请说明理由．40．（2021·浙江中考真题）（推理）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：．BCE CDG △△≌（运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF 交AD 于点H ．若，，求线段DE 的长．45HD HF =9CE =（拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，，求的值（用含k 的代数式表示）．45HD HF =DE EC 41．（2021·江苏中考真题）已知正方形ABCD 与正方形AEFG ，正方形AEFG 绕点A 旋转一周．(1)如图①，连接BG 、CF ，求的值；CFBG(2)当正方形AEFG 旋转至图②位置时，连接CF 、BE ，分别去CF 、BE 的中点M 、N ，连接MN 、试探究：MN 与BE 的关系，并说明理由；(3)连接BE 、BF ，分别取BE 、BF 的中点N 、Q ，连接QN ，AE =6，请直接写出线段QN 扫过的面积．42．（2021·湖北中考真题）在矩形中，，，是对角线上不与点，重合ABCD 2AB =4=AD F AC A C 的一点，过作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接．F FE AD ⊥E AEF A EF GEF △G AD CG （1）如图1，若点的对称点落在上，，延长交于，连接．A G AD 90FGC ∠=︒GF AB H CH①求证：；CDG GAH △∽△②求．tan GHC ∠（2）如图2，若点的对称点落在延长线上，，判断与是否全等，A G AD 90GCF ∠=︒GCF A AEF A 并说明理由．。

2021年中考数学压轴题提升训练图形规律探索题含解析

2021年中考数学压轴题提升训练图形规律探索题含解析

图形规律探索题【例1】如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上,且OA 1=A 1A 2=1,以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3,以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4,…,依此规律,得到等腰直角三角形OA 2017A 2018,则点A 2017的坐标为【答案】（0,2）.【解析】解：由题意知：A 1(0,1),A 2(1,1),OA 2=A 2A 3,OA 3=2,∴A 3(2,0),同理,A 4(2,－2),A 5(0,－4),A 6(－4,－4),A 7(－8,0),A 8(－8,8),A 9(0,16)……每隔8个点恰好处于同一坐标系或象限内,2017÷8=252……1,即点A 2017在y 轴正半轴上,横坐标为0,各点纵坐标的绝对值为：20,20,21,21,22,22,23,23,……2017÷2=1008……1,可得点A 2017的纵坐标为：21008, 故答案为（0,21008）.【变式1-1】如图,在一个单位为 1 的方格纸上,△A 1A 2A 3,△A 3A 4A 5,△A 5A 6A 7,…,是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2,4,6,…的等腰直角三角形．若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1(2,0),A 2(1,-1),A 3(0,0),则依图中所示规律,A 2019的横坐标为（ ）A ．-1008B ．2C ．1D ．1011【答案】A.【解析】解：观察图形可知,奇数点在x轴上,偶数点在象限内,所以A2019在x轴上,A1,A5,A9,A13……,A4n－3在x正半轴,4n－3=2019,n=505.5,所以A2019不在x正半轴上；A3（0,0）,A7（－2,0）,A11（－4,0）,A15（－8,0）……,3=4×0+3,7=4×1+3,11=4×2+3,15=4×3+3,……,2019=4×504+3,∴－2×504=－1008,即A2019的坐标为（－1008,0）,故答案为：A.【变式1-2】如图,在平面直角坐标系中,将正方形O ABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,称为一次旋转,依此方式,……,绕点O连续旋转 2 019 次得到正方形O A2 019B2 019C2 019,如果点A的坐标为(1,0),那么点B2 019 的坐标为.【答案】,0）.【解析】由旋转及正方形性质可得：B(1,1),B1(0, ),B2(－1, 1),B3(－,0),B4(－1, －1),B5(0, －),B6(1, －1),B7(, 0),B8(1, 1),……∴360÷45=8,2019÷8=252……3,∴点B2019落在x轴负半轴上,即B2019(,0),故答案为：,0）.【例2】如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…,若点A（53,0）,B（0,4）,则点B2016的横坐标为（）A．5 B．12 C．10070 D．10080 【答案】D．【解析】解：由图象可知点B2016在第一象限,∵OA=53,OB=4,∠AOB=90°,在Rt△BOA中,由勾股定理得：AB=133,可得：B2（10,4）,B4（20,4）,B6（30,4）,…∴点B2016横坐标为10080．故答案为：D．【变式2-1】我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1,3,6,10…）和“正方形数”（如1,4,9,16…）,在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m+n 的值为（）A．33 B．301 C．386 D．571 【答案】C．【解析】解：由图形知：第n个三角形数为1+2+3+…+n＝()12n n+,第n个正方形数为n2,当n＝19时,()12n n+＝190＜200,当n＝20时,()12n n+＝210＞200,所以最大的三角形数：m＝190；当n＝14时,n2＝196＜200,当n＝15时,n2＝225＞200,所以最大的正方形数：n＝196,则m+n＝386,所以答案为：C．1.如图,边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°．连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1,使∠D1AC=60°；连接AC1,再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2,使∠D2AC1=60°；…,按此规律所作的第n个菱形的边长为．【答案】1n -．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形,∠DAB =60°,∴AB =BC =1,∠ACB =∠CAB =30°,∴AC ,同理可得：AC 1=2,AC 213,……第n 个菱形的边长为：1n -,故答案为：1n -．2.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB =30°,点A 的坐标为（2,0）,过点A 作AA 1⊥OB ,垂足为点A 1,过A 1作A 1A 2⊥x 轴,垂足为点A 2；再过点A 2作A 2A 3⊥OB ,垂足为点A 3；再过点A 3作A 3A 4⊥x 轴,垂足为点A 4…；这样一直作下去,则A 2017的横坐标为（ ）A ．32 ）2015B ．32 ）2016C ．32 ）2017D ．32）2018 【答案】B ．【解析】解：∵∠AOB =30°,点A 坐标为（2,0）,∴OA =2,∴OA 1OA OA 2OA 1=2×2⎝⎭,OA 3OA 2=2×3⎝⎭…,∴OA n =）n OA =2）n ．∴OA 2018）2018=32）2016故答案为：B．3.如图,函数()()()4022824x x xyx x--≤<⎧=⎨-+≤<⎩的图象记为C1,它与x轴交于点O和点A1,将C1绕点A1选择180°得C2,交x轴于点A2……,如此进行下去,若点P(103,m)在图象上,则m的值是（）A. -2B. 2C. -3D. 4【答案】A．【解析】解：由图可知：横坐标每间隔8个单位,函数值相同,即函数图象重复周期为8,103÷8=12……5,当x=5时,y=－2,即m=－2,故答案为：A.4.如图,弹性小球从点P(0,1)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到正方形DABC 的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第 1 次碰到正方形的边时的点为P1(-2,0),第 2 次碰到正方形的边时的点为P2,……,第n 次碰到正方形的边时的点为Pn,则点P2 019的坐标是（）A．(0,1) B．(-4,1) C．(-2,0) D．(0,3)【答案】D．【解析】解：根据图象可得：P1(-2,0),P2(-4,1),P3(0,3),P4(-2,4),P5(-4,0),P6(0,1),P7（－2,0）……2019÷6=336……3,即P2019（0,3）,故答案为：D.5.如图,在坐标系中放置一菱形 OABC ,已知∠ABC =60°,点 B 在 y 轴上,OA =1,先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转,每次翻转 60°,连续翻转2019次,点 B 的落点依次为 B 1,B 2,B 3,…,则 B 2 019 的坐标为（ ）A . (1010,0)B .(1310.5, 2)C . (1345, 2)D . (1346,0)【答案】D .【解析】解：连接AC ,如图所示．∵四边形OABC 是菱形,∴OA =AB =BC =OC ．∵∠ABC =60°,∴△ABC 是等边三角形．∴AC =AB ．∴AC =OA ．∵OA =1,∴AC =1．由图可知：每翻转6次,图形向右平移4．∵2019=336×6+3,∴点B 3向右平移1344（即336×4）到点B 2019．∵B 3的坐标为（2,0）,∴B 2019的坐标为（1346,0）,故答案为：D ．6.如图,在直角坐标系中,已知点A （﹣3,0）,B （0,4）,对△OAB 连续作旋转变换,依次得到△1,△2,△3,△4,…,则△2019的直角顶点的坐标为（ ）A．（8076,0）B．（8064,0）C．（8076,125）D．（8064,125）【答案】A．【解析】解：∵点A（﹣3,0）、B（0,4）,由勾股定理得：AB＝5,由图可知,三个三角形为一个循环,经历一次循环前进的水平距离为：12,2019÷3＝673,直角顶点在x轴上,673×12＝8076,∴△2019的直角顶点的坐标为（8076,0）．故答案为：A．7.如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1,l2,过点（1,0）作x轴的垂线交l1于点A1,过点A1作y轴的垂线交l2于点A2,过点A2作x轴的垂线交l1于点A3,过点A3作y轴的垂线交l2于点A4,…依次进行下去,则点A2017的坐标为．【答案】（21008,21009）．【解析】解：由图可知：A1（1,2）,A2（﹣2,2）,A3（﹣2,﹣4）,A4（4,﹣4）,A5（4,8）,…,∵2017=504×4+1,∴点A2017在第一象限,∵2017=1008×2+1,∴A2n+1（（﹣2）n,2（﹣2）n）（n为自然数）．∴A2017的坐标为（（﹣2）1008,2（﹣2）1008）=（21008,21009）．故答案为：（21008,21009）．8.如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018,如果点A的坐标为（1,0）,那么点B2018的坐标为（）A．（1,1）B．（）C．（）D．（﹣1,1）【答案】D．【解析】解：∵四边形OABC是正方形,OA＝1,∴B（1,1）,连接OB,在Rt△OAB中,由勾股定理得：OB,由旋转性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3,∴B1（,B2（﹣1,1）,B3,0）,…,360÷45=8,每8次一循环,2018÷8＝252……2,∴点B2018的坐标为（﹣1,1）.故答案为：D．9.将直角三角形纸板OAB按如图所示方式放置在平面直角坐标系中,OB在x轴上,OB＝4,OA＝．将三角形纸板绕原点O逆时针旋转,每秒旋转60°,则第2019秒时,点A的对应点A′的坐标为（）A．（﹣3,﹣3）B．（3,﹣3）C．（﹣3,3）D．（0,2 3）【答案】A．【解析】解：360÷60=6,即每6秒一循环,2019÷6=336……3,即2019秒时, 点A与其对应点A′关于原点O对称,∵OA＝4,∠AOB＝30°,可得：A(3, 3),∴第2019秒时,点A的对应点A′的坐标为(－3, －3),故答案为：A.10.正方形ABCD的位置在坐标中如图所示,点A、D的坐标反别为（1,0）、（0,2）,延长CB交x轴于点A1,作正方形A1B1C1C,延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去,第2017个正方形的面积为【答案】4032352⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA, ∴∠ADO+∠DAO=90°,∠DAO+∠BAA1=90°, ∴∠ADO=∠BAA1,∵∠DOA=∠ABA1,∴△DOA∽△ABA1,∴11 2OA BAOD AB==,由勾股定理得：AB=AD=5,∴BA1,∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC,面积=2⎝⎭,同理,第3个正方形的面积为：232⎛⎝⎭,第4个正方形的面积为：23322⎛⨯⎝⎭,……∴第2017个正方形的面积为：4032352⎛⎫⎪⎝⎭.即答案为：4032352⎛⎫⎪⎝⎭.11.如图所示,一动点从半径为 2 的⊙O 上的A0 点出发,沿着射线A0O 方向运动到⊙O 上的点A1 处,再向左沿着与射线A1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A2 处；接着又从A2 点出发,沿着射线A2O 方向运动到⊙O 上的点A3 处,再向左沿着与射线A3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A4 处；……按此规律运动到点A2 017 处,则点A2 017 与点A0 间的距离是【答案】4.【解析】解：由图分析可知,A6点与A0点重合,2017÷6=336……1,即点A2 017 与A1重合,∵⊙O的半径为 2 ,∴点A2 017 与点A0 间的距离是4.12.如图,由一些点组成形如正多边形的图案,按照这样的规律摆下去,则第n（n＞0）个图案需要点的个数是．【答案】n 2+2n .【解析】解：由图知,第1个图形点数为3+0×3,第2个图形点数为4+1×4；第3个图形点数为5+2×5；第4个图形点数为6+3×6……第n 个图形点数为：（n +2）+（n －1）（n +2）=n 2+2n ,即答案为：n 2+2n .13..如图所示的坐标系中放置一菱形OABC ,已知∠ABC =60°,点B 在y 轴上,OA =1,先将菱形OABC 沿x 轴的正方形无滑动翻转,每次翻转60°,连续翻转2017次,点B 的落点分别是B 1,B 2,B 3,……,则B 2017的坐标为【答案】（.【解析】解：由题意知：OB 即B∴B 1,=32,即B 1(32),由图可知,每翻折6次,图形向右平移4个单位,2017=336×6+1,求得：B 2017（336×4+ 32,即B 2017（）,故答案为：（.14.如图,在平面直角坐标系中,点A 1,A 2,A 3,……和点B 1,B 2,B 3,……分别在直线15y x b =+和x 轴上,△OA 1B 1,△B 1A 2B 2,△B 2A 3B 3……都是等腰直角三角形,若点A 1(1,1),则点A 2019的纵坐标是【答案】201832⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】解：如图,分别过A 1,A 2,A 3作x 轴的垂线,∵点A (1,1)在直线15y x b =+上, ∴b =45, 由△OA 1B 1是等腰直角三角形,得：OB 1=2,设A 2(x ,y ),则B 1C 2=x －2,y = x －2,∴x －2=1455x +,解得：x =72,y =32,即A 2的纵坐标为：32； 同理可得：A 3的纵坐标为：29342⎛⎫= ⎪⎝⎭, 即A n 的纵坐标是A n －1纵坐标的32倍, 即A 2019的纵坐标为：201832⎛⎫ ⎪⎝⎭.15.在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的位置如图所示,点 A 的坐标为(1,0),点 D 的坐标为(0,2),延长CB 交x 轴于点A 1,作正方形 A 1CC 1B 1；延长 C 1B 1 交 x 轴于点 A 2,作正方形 A 2C 1C 2B 2；…,按照这样的规律作正方形,则点B2 019的纵坐标为．【答案】201932⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】解：过B作BH⊥x轴于H,由一线三直角模型,可知△ADO≌△BAH,即BH=OA=1,即B点纵坐标为1,同理得：B1点纵坐标为32,B2点纵坐标为232⎛⎫⎪⎝⎭,B3点纵坐标为332⎛⎫⎪⎝⎭,……B2019点纵坐标为201932⎛⎫⎪⎝⎭,即答案为：2019 32⎛⎫⎪⎝⎭.。

2021中考数学复习之规律探索题专项训练1(附答案详解)

2021中考数学复习之规律探索题专项训练1(附答案详解)
2021中考数学复习之规律探索题专项训练1（附答案详解）
1．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2×i＝（﹣1）×i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n×i＝（i4）n×i＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013+…+i2019的值为（ ）
6．已知： ， ， ，……，按此规律下去，则有式子： ____________．
7．下列图案是用长度相等的火柴按一定规律构成的图形，依此规律第 个图形中，共用火柴的根数是_____；
8．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2020的坐标为________________．
9．在一列数 ， ， ， ，…中，已知 （且 ）． ， ，…， ，则 __________．
10．观察下列数据： ， ， ， ，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第19个数据是________.
11．蜜蜂采蜜时，如果蜜源很远它就会跳起“8字舞”，告诉同伴蜜源的方向．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蜜蜂由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，飞行2015厘米后停下，则这只蜜蜂停在_____点．

【九年级】2021中考数学试卷规律型数字的变化类分类汇编

【九年级】2021中考数学试卷规律型数字的变化类分类汇编

【九年级】2021中考数学试卷规律型数字的变化类分类汇编2021中考数学真题分类汇编：规律型（数字的变化类）一．选择题（共5小题）1．（2021•张家界）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2021，则m的值是（）A．46 B．45 C．44 D．432．（2021•荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2021=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）3．（2021•包头）观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）A．B．C．D．4．（2021•泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135 B．170 C．209 D．2525．（2021•德州）一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15二．填空题（共19小题）6．（2021•巴中）a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为=?1；?1的差倒数是 = ；已知a1=3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数．a4是a3差倒数，…依此类推，则a2021= ．7．（2021•酒泉）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是，2021是第个三角形数．8．（2021•黔西南州）已知A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A52=5×4×3×2=120，A63=6×5×4×3=360，依此规律A74= ．9．（2021•孝感）观察下列等式：12=1，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2021=．10．（2021•郴州）请观察下列等式的规律：= （1? ）， = （ ? ），= （ ? ）， = （ ? ），…则+ + +…+ =．11．（2021•娄底）下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为．12．（2021•绥化）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c= ．13．（2021•济宁）若1×22?2×32=?1×2×7；（1×22?2×32）+（3×42?4×52）=?2×3×11；（1×22?2×32）+（3×42?4×52）+（5×62?6×72）=?3×4×15；则（1×22?2×32）+（3×42?4×52）+…+[（2n?1）（2n）2?2n（2n+1）2]= ．14．（2021•黔东南州）将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是．15．（2021•常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是（请用文字语言表达）．16．（2021•通辽）一列数x1，x2，x3，…，其中x1= ，xn= （n为不小于2的整数），则x2021= ．17．（2021•东莞）观察下列一组数：，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是．18．（2021•恩施州）观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是．19．（2021•黔南州）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，按此规律，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则该报数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为．20．（2021•咸宁）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400= ．21．（2021•安徽）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是．22．（2021•遵义）按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是．23．（2021•淮安）将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a行，第b列，则a+b= ．24．（2021•常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：，如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为．三．解答题（共1小题）25．（2021•张家界）阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为，第4项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： =q， =q， =q，… =q．所以：a2=a1•q，a3=a2•q=（a1•q）•q=a1•q2，a4=a3•q=（a1•q2）•q=a1•q3，…由此可得：an= （用a1和q的代数式表示）．（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．2021中考数学真题分类汇编：规律型（数字的变化类）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2021•张家界）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2021，则m的值是（）A．46 B．45 C．44 D．43考点：规律型：数字的变化类．分析：观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2021的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．解答：解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m3有m个奇数，所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m= ，∵2n+1=2021，n=1007，∴奇数2021是从3开始的第1007个奇数，∵ =966， =1015，∴第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m=45．故选B．点评：本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．2．（2021•荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2021=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算出2021是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．解答：解：2021是第 =1008个数，设2021在第n组，则1+3+5+7+…+（2n?1）≥1008，即≥1008，解得：n≥ ，当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024?1=2047，第32组的第一个数为：2×962?1=1923，则2021是（ +1）=47个数．故A2021=（32，47）．故选B．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．3．（2021•包头）观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）A．B．C．D．考点：规律型：数字的变化类．分析：观察数据，发现第n个数为，再将n=6代入计算即可求解．解答：解：观察该组数发现：1，，，，…，第n个数为，当n=6时， = = ．故选C．点评：本题考查了数字的变化类问题，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是发现第n个数为．4．（2021•泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135 B．170 C．209 D．252考点：规律型：数字的变化类．分析：首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4?1=3，6?2=4，8?3=5，10?4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少；最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数，求出x的值是多少即可．解答：解：∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209故选：C．点评：此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．5．（2021•德州）一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15考点：规律型：数字的变化类．分析：根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答即可．解答：解：∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x=1+2=3，∴y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8．故选：A．点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是求出x的值是多少．二．填空题（共19小题）6．（2021•巴中）a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为=?1；?1的差倒数是 = ；已知a1=3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数．a4是a3差倒数，…依此类推，则a2021= ? ．考点：规律型：数字的变化类；倒数．专题：规律型．分析：根据差倒数定义表示出各项，归纳总结即可得到结果．解答：解：a1=3，a2是a1的差倒数，即a2= =? ，a3是a2的差倒数，即a3= = ，a4是a3差倒数，即a4=3，…依此类推，∵2021÷3=671…2，∴a2021=? ．故答案为：? ．点评：此题考查了规律型：数字的变化类，以及新定义，找出题中的规律是解本题的关键．7．（2021•酒泉）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是45 ，2021是第63 个三角形数．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据所给的数据发现：第n个三角形数是1+2+3+…+n，由此代入分别求得答案即可．解答：解：第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+…+n=2021，n（n+1）=4032，解得：n=63．故答案为：45，63．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．8．（2021•黔西南州）已知A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A52=5×4×3×2=120，A63=6×5×4×3=360，依此规律A74= 840 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：对于Aab（b＜a）来讲，等于一个乘法算式，其中最大因数是a，依次少1，最小因数是b．依此计算即可．解答：解：根据规律可得：A74=7×6×5×4=840；故答案为：840．点评：本题考查了规律型?数字的变化，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．注意找到Aab（b＜a）中的最大因数，最小因数．9．（2021•孝感）观察下列等式：12=1，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2021=1016064 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，可得1+3+5+…+（2n?1）=n2，据此求出1+3+5+…+2021的值是多少即可．解答：解：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，所以1+3+5+…+2021=1+3+5+…+（2×1008?1）=10082=1016064故答案为：1016064．点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：1+3+5+…+（2n?1）=n2．10．（2021•郴州）请观察下列等式的规律：= （1? ）， = （ ? ），= （ ? ）， = （ ? ），…则+ + +…+ =．考点：规律型：数字的变化类．分析：观察算式可知 = （ ? ）（n为非0自然数），把算式拆分再抵消即可求解．解答：解：+ + +…+= （1? ）+ （ ? ）+ （ ? ）+…+ （ ? ）= （1? + ? + ? +…+ ? ）= （1? ）= ×= ．故答案为：．点评：考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为 = （ ? ）（n为非0自然数）．11．（2021•娄底）下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为22 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：先找到数的排列规律，求出第n?1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行的第1个数，即可求出第7行的第1个数．解答：解：由排列的规律可得，第n?1行结束的时候排了1+2+3+…+n?1= n（n?1）个数．所以第n行的第1个数 n（n?1）+1．所以n=7时，第7行的第1个数为22．故答案为：22．点评：此题主要考查了数字的变化规律，找出数字排列的规律是解决问题的关键．12．（2021•绥化）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c= 110 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：观察不难发现，左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，根据此规律列式进行计算即可得解．解答：解：根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，可得6+4=a，6+3=c，ac+1=b，可得：a=10，c=9，b=91，所以a+b+c=10+9+91=110，故答案为：110点评：本题是对数字变化规律的考查，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的变化规律是解题的关键．13．（2021•济宁）若1×22?2×32=?1×2×7；（1×22?2×32）+（3×42?4×52）=?2×3×11；（1×22?2×32）+（3×42?4×52）+（5×62?6×72）=?3×4×15；则（1×22?2×32）+（3×42?4×52）+…+[（2n?1）（2n）2?2n（2n+1）2]= ?n （n+1）（4n+3）．考点：规律型：数字的变化类．分析：仔细观察题目提供的三个算式，发现结果和式子序列号之间的关系，然后将这个规律表示出来即可．解答：解：∵1×22?2×32=?1×2×7=?1×2×（4×1+3）；（1×22?2×32）+（3×42?4×52）=?2×3×11=?2×3×（4×2+3）；（1×22?2×32）+（3×42?4×52）+（5×62?6×72）=?3×4×15??3×4×（4×3+3）；…（1×22?2×32）+（3×42?4×52）+…+[（2n?1）（2n）2?2n（2n+1）2]=?n（n+1）（4n+3），故答案为：?n（n+1）（4n+3）．点评：本题考查了数字的变化类问题，仔细观察提供的算式，用含有n的代数式表示出来即可．14．（2021•黔东南州）将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是50 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：先找到数的排列规律，求出第n?1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第5个数，即可求出第10行从左向右的第5个数．解答：解：由排列的规律可得，第n?1行结束的时候排了1+2+3+…+n?1= n（n?1）个数．所以第n行从左向右的第5个数 n（n?1）+5．所以n=10时，第10行从左向右的第5个数为50．故答案为：50．点评：此题主要考查了数字的变化规律，找出数字排列的规律是解决问题的关键．15．（2021•常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和（请用文字语言表达）．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据以上等式得出规律进行解答即可．解答：解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和点评：此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．16．（2021•通辽）一列数x1，x2，x3，…，其中x1= ，xn= （n为不小于2的整数），则x2021= 2 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据表达式求出前几个数不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用2021除以3，根据商和余数的情况确定a2021的值即可．解答：解：根据题意得，a2= =2，a3= =?1，a4= = ，…，依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，∵2021÷3=671…2，∴a2021是第671个循环组的第2个数，与a2相同，即a2021=2．故答案为：2．点评：本题考查数字的变化规律，计算并观察出每三个数为一个循环组依次循环是解题的关键．17．（2021•东莞）观察下列一组数：，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是．考点：规律型：数字的变化类．分析：由分子1，2，3，4，5，…即可得出第10个数的分子为10；分母为3，5，7，9，11，…即可得出第10个数的分母为：1+2×10=21，得出结论．解答：解：∵分子为1，2，3，4，5，…，∴第10个数的分子为10，∵分母为3，5，7，9，11，…，∴第10个数的分母为：1+2×10=21，∴第10个数为：，故答案为：．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解答此题的关键．18．（2021•恩施州）观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是15 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据每个数n都连续出现n次，可列出1+2+3+4+…+x=119+1，解方程即可得出答案．解答：解：因为每个数n都连续出现n次，可得：1+2+3+4+…+x=119+1，解得：x=15，所以第119个数是15．故答案为：15．点评：此题考查数字的规律，关键是根据题目首先应找出哪哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．19．（2021•黔南州）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，按此规律，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则该报数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为 4 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据报数规律得出甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，即可得出报出的数为3的倍数的个数，即可得出答案．解答：解：∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束；∴50÷4=12余2，∴甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，∴报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需报到：9，21，33，45这4个数时，应拍手4次．故答案为：4．点评：此题主要考查了数字规律，得出甲的报数次数以及分别报数的数据是解决问题的关键．20．（2021•咸宁）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400= 1.6×105或160000 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：首先计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论．解答：解：∵ ；；；…∴ ；∴ ．故答案为：1.6×105或160000．点评：本题考查的是规律发现，根据计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值可以发现规律为，发现规律是解决本题的关键．21．（2021•安徽）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是xy=z ．考点：规律型：数字的变化类．分析：首项判断出这列数中，2的指数各项依次为 1，2，3，5，8，13，…，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数，满足xy=z，据此解答即可．解答：解：∵21×22=23，22×23=25，23×25=28，25×28=213，…，∴x、y、z满足的关系式是：xy=z．故答案为：xy=z．点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x、y、z的指数的特征．22．（2021•遵义）按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是．考点：规律型：数字的变化类．分析：首先根据， = ，可得当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、14、…，分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列，据此求出这列数中的第10个数与第16个数各是多少；然后求出它们的积是多少即可．解答：解：∵ ， = ，∴这列数依次为：，，，，…，∴当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、14、…，∵8?5=11?8=14?11=3，∴分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列，∴这列数中的第10个数与第16个数的积是：== ．故答案为：．点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：当这列数的分子都化成4时，分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列．23．（2021•淮安）将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a行，第b列，则a+b= 147 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：首先根据连续正整数的排列图，可得每行都有4个数，所以用565除以4，根据商和余数的情况判断出正整数565位于第几行；然后根据奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小，判断出565在第几列，确定出b的值，进而求出a+b的值是多少即可．解答：解：∵565÷4=141…1，∴正整数565位于第142行，即a=142；∵奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小，∴正整数565位于第五列，即b=5，∴a+b=142+5=147．故答案为：147．点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：（1）每行都有4个数．（2）奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小．24．（2021•常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：，如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为128、21、20、3 ．考点：规律型：数字的变化类；推理与论证．分析：首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可．解答：解：根据分析，可得则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3．故答案为：128、21、20、3．点评：（1）此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．（2）此题还考查了推理和论证问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．三．解答题（共1小题）25．（2021•张家界）阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为 2 ，第4项是24 ．（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： =q， =q， =q，… =q．所以：a2=a1•q，a3=a2•q=（a1•q）•q=a1•q2，a4=a3•q=（a1•q2）•q=a1•q3，…由此可得：an= a1•qn?1（用a1和q的代数式表示）．（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．考点：规律型：数字的变化类．专题：阅读型．分析：（1）由第二项除以第一项求出公比q的值，确定出第4项即可；（2）根据题中的定义归纳总结得到通项公式即可；（3）由公比q与第二项的值求出第一项的值，进而确定出第4项的值．解答：解：（1）q= =2，第4项是24；（2）归纳总结得：an=a1•qn?1；（3）∵等比数列的公比q=2，第二项为10，∴a1= =5，a4=a1•q3=5×23=40．故答案为：（1）2；24；（2）a1•qn?1点评：此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021年全国各省市中考真题分类汇编：找规律(含答案)

2021年全国各省市中考真题分类汇编：找规律(含答案)

2021年全国各省市数学中考分类汇编找规律一、选择题1. (2021·山东省济宁市)按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（ ）A. 23B. 511C. 59D. 122. (2021·台湾省)已知a 1，a 2，…，a 40为一等差数列，其中a 1为正数，且a 20+a 22=0.判断下列叙述何者正确？（ ）A. a 21+a 22>0B. a 21+a 22<0C. a 21×a 22>0D. a 21×a 22<03. (2021·湖北省鄂州市)已知a 1为实数，规定运算：a 2=1-1a 1，a 3=1-1a 2，a 4=1-1a 3，a 5=1-1a 4，…，a n =1-1an−1.按上述方法计算：当a 1=3时，a 2021的值等于（ ）A. −23B. 13C. −12D. 234. (2021·湖北省随州市)根据图中数字的规律，若第n 个图中的q =143，则p 的值为（ ）A. 100B. 121C. 144D. 1695. (2021·湖北省十堰市)将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）A. 2025B. 2023C. 2021D. 20196. (2021·云南省)按一定规律排列的单项式：a 2，4a 3，9a 4，16a 5，25a 6，…，第n 个单项式是（ ）A. n 2a n+lB. n 2a n−1C. n n a n+1D. (n +1)2a n7. (2021·山东省烟台市)由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB =∠BOC =…=∠LOM =30°.若OA =16，则OG 的长为（ ）A. 274B. 14C. 9√32D. 27√388.(2021·广西壮族自治区玉林市)观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Y n表示，则Y9-Y4=（）A. 15×24B. 31×24C. 33×24D. 63×24二、填空题9.(2021·广西壮族自治区梧州市)如图，直线l的函数表达式为y=x-1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，A n（n+1，n），构成形如”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…，S n，则S2021= ______ .10.(2021·湖南省湘西土家族苗族自治州)古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示.根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1=1，第二个图形表示的三角形数记为a2=3，…，则第n 个图形表示的三角形数a n= ______ .（用含n的式子表达）11.(2021·内蒙古自治区鄂尔多斯市)将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有______ 个“〇”.12.(2021·黑龙江省)如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8…依次规律继续作正方形A nB nC n A n+1，且点A0，A1，A2，A3，…，A n+1在同一条直线上，连接A0C1交，A1B1于点D1，连接A1C2，交A2B2于点D2，连接A2C3，交A3B3于点D3，…记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3，…，四边形A n-1B n-1C n-1D n的面积为S n，则S2021= ______ .13.(2021·山东省东营市)如图，正方形ABCB1中，AB=√3，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…，依此规律，则线段A2020A2021= ______ .14.(2021·黑龙江省绥化市)下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第n个图形中三角形个数是______ .15.(2021·四川省遂宁市)下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第______ 个图形共有210个小球.16.(2021·黑龙江省)如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延长CD至A1，使DA1=CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2=C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2…按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021= ______ .17.(2021·湖南省常德市)如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为______ .（用含n的代数式表示）18.(2021·四川省凉山彝族自治州)如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；…照这样拼图，则第n个图形需要______ 根火柴棍.19.(2021·山东省菏泽市)如图，一次函数y=x与反比例函数y=1（x＞0）的图象交于点xA，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去，…，则点A2021的横坐标为______ .20. (2021·江苏省扬州市)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为______ . 21. (2021·湖北省荆门市)如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第______ 行第______ 列.22. (2021·内蒙古自治区呼和浩特市)若把第n 个位置上的数记为x n ，则称x 1，x 2，x 3，…，x n 有限个有序放置的数为一个数列A .定义数列A 的“伴生数列”B 是：y 1，y 2，y 3，…，y n ，其中y n 是这个数列中第n 个位置上的数，n =1，2，…，k 且y n ={0,x n−1=x n+11,x n−1≠x n+1并规定x 0=x n ，x n +1=x 1.如果数列A 只有四个数，且x 1，x 2，x 3，x 4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B 是______ .23. (2021·贵州省铜仁市)观察下列各项：112，214，318，4116，…，则第n 项是______ .24. (2021·青海省)观察下列各等式：①2√23=√2+23；②3√38=√3+38； ③4√415√4+415；…根据以上规律，请写出第5个等式：______ .25. (2021·湖北省恩施土家族苗族自治州)古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；图形 …五边形数1512223551…将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为______ .26. (2021·湖北省黄冈市)人们把√5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a =√5−12，b =√5+12，得ab =1，记S 1=11+a +11+b ，S 2=11+a2+11+b 2，…，S 10=11+a 10+11+b 10，则S 1+S 2+…+S 10= ______ . 27. (2021·甘肃省庆阳市)一组按规律排列的代数式：a +2b ，a 2-2b 3，a 3+2b 5，a 4-2b 7，…，则第n 个式子是______ .28. (2021·四川省眉山市)观察下列等式：x 1=√1+112+122=32=1+11×2；x 2=√1+122+132=76=1+12×3； x 3=√1+132+142=1312=1+13×4； …根据以上规律，计算x 1+x 2+x 3+…+x 2020-2021= ______ .29.(2021·浙江省嘉兴市)观察下列等式：1=12-02，3=22-12，5=32-22，…按此规律，则第n个等式为2n-1= ______ .(2021·江西省)如表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是______ .参考答案1.D2.B3.D4.B5.C6.A7.A8.B9.404410.n(n+1)211.875×4202012.2313.2×（√3）2020314.n2+n-115.2016.22019√317.2n （n +1）18.(2n +1)19.√2022+√202120.127521.64 522.0，1，0，123.n 12n24.6√635=√6+63525.133526.1027.a n +（-1）n +1•2b 2n -128.-1202129.n 2-（n -1）230.3。

专题31 中考热点新定义问题专项训练-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)

专题31 中考热点新定义问题专项训练-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)

专题31 中考热点新定义问题专项训练（解析版）专题诠释：新定义题型是近几年来中考的热点问题。

它常集合数形结合思想，类比思想，转化思想，分类讨论思想，方程思想，函数思想于一体。

常以压轴题身份出现。

本专题精选新定义问题共20条，欢迎下载使用。

一．选择题1．（2021•河北模拟）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y}＝x，当x＜y时，max{x，y}＝y．例如max{﹣1，﹣2}＝﹣1，max{3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象为（ ）A．B．C．D．思路引领：令3x＝x+2，解得x＝1，画出直线y＝3x和直线y＝x+2的图象即可判断．解：令3x＝x+2，解得x＝1，直线y＝3x和直线y＝x+2的图象如图所示，它们的交点坐标为（1，3），由图象可知，x＜1时，x+2＞3x；当x＞1时，3x＞x+2，故关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象是选项C中的图象．故选：C．总结提升：本题主要考查了函数的图象，正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键．二．填空题2．（2021•深圳模拟）用“●”“□”定义新运算：对于数a，b，都有a●b＝a和a□b＝b．例如3●2＝3，3□2＝2，则（2020□2021）●（2021□2020）＝ ．思路引领：根据“●”“□”的运算法则进行计算即可得解．解：∵a●b＝a，a□b＝b，∴（2020□2021）●（2021□2020）＝2021●2020＝2021．故答案为：2021．总结提升：本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理清新定义的运算方法是解题的关键．3．（2021•碑林区校级模拟）（正多边形的每个内角都相等）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线BF 的延长线与边DE的延长线交于点M，则∠M的大小为　．思路引领：根据正求出多边形的内角和公式∠DEF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BFE，计算即可．解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠DEF＝（8﹣2）×180°÷8＝135°，∴∠FEM＝45°，∴∠DEF＝∠EFG，∵BF平分∠EFG，∴∠EFB＝∠BFG=12∠EFG＝67.5°，∵∠BFE＝∠FEM+∠M，∴∠M＝∠BFE﹣∠FEM，∴∠M＝22.5°．故答案为：22.5°．总结提升：本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键．4．（2019•福田区三模）对于m，n（n≥m）我们定义运算A n m＝n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣（m﹣1）），A73＝7×6×5＝210，请你计算A42＝　．思路引领：将n＝4，m＝2代入公式求解可得．解：A42＝4×（4﹣1）＝12，故答案为：12．总结提升：本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则．5．（2022春•塔城地区期末）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a+3b．如：1⊕5＝2×1+3×5＝17．则不等式x⊕4＞0的解集为 ．思路引领：根据新定义规定的运算规则列出不等式，解不等式即可求得．解：不等式x⊕4＞0化为：2x+12＞0，2x＞﹣12，x＞﹣6，故答案为：x＞﹣6．总结提升：本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式及解不等式的步骤．6．（2022秋•魏县期中）若x是不等于1的实数，我们把11―x称为x的差倒数，如2的差倒数是11―2=―1，﹣1的差倒数为11―(―1)=12，现已知x1=13，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2022的值为　．思路引领：根据差倒数的定义，通过计算发现每3次运算结果循环出现一次，由此可得x2022＝x3＝﹣2．解：∵x1=1 3，∴x2=11―13=32，x3=11―32=―2，x4=11―(―2)=13，……，∴每3次运算结果循环出现一次，∵2022÷3＝674，∴x2022＝x3＝﹣2，∴x2022的值为﹣2，故答案为：﹣2．总结提升：本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．三．解答题7．（2021秋•汉阳区期中）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出两个“极数” ， ；（2）猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（3）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=m33，则满足D（m）是完全平方数的所有m的值是 ．思路引领：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”即可；（2）由“极数”的定义可得出n＝99（10a+b+1），进而可得出任意一个“极数”都是99的倍数；（3）由（2）可得出D（m）＝3（10x+y+1），由D（m）为完全平方数，可得出10x+y+1＝12，10x+y+1＝27，10x+y+1＝48，10x+y+1＝75，解之可得出x，y的值，进而可得出m的值，即可得出结论．解：（1）由“极数”的定义得，1287，2376，故答案为1287，2376；（2）任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：设任意一个“极数”为ab(9―a)(9―b)（1≤a≤9，0≤b≤9，且a、b为整数），则ab(9―a)(9―b)=1000a+100b+10（9﹣a）+（9﹣b）＝990a+99b+99＝99（10a+b+1），∵1≤a≤9，0≤b≤9，且a、b为整数，∴10a+b+1是整数，∴任意一个“极数”都是99的倍数．（3）设四位数m为xy(9―x)(9―y)（1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），∵四位数m为“极数”，D（m）=m 33，∴D（m）=99(10x+y+1)33=3（10x+y+1）．∵D（m）是完全平方数，1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数，∴10x+y+1＝3×4＝12，10x+y+1＝3×9＝27，10x+y+1＝3×16＝48，10x+y+1＝3×25＝75，∴x=1y=1或x=2y=6或x=4y=7或x=7y=4，∴m可以为1188或2673或4752或7425．总结提升：本题考查了完全平方数以及倍数，解题的关键是：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”；（2）根据“极数”的定义，找出n＝99（10a+b+1）；（3）根据D（m）是完全平方数，找出10x+y+1的值．8．（2022秋•胶州市期末）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．（1）判断2022是否是“纯数”？请说明理由；（2）请直接写出2023到2050之间的“纯数”；（3）不大于100的“纯数”的个数为 ．思路引领：（1）根据“纯数”的定义判断；（2）根据“纯数”的定义求解；（3）根据“纯数”的定义写出数，再查个数．解：（1）∵计算2022+2023+2024时，各数位都不产生进位，∴2022是“纯数”；（2）2023到2050之间的“纯数”有：2030，2031，2032，；（3）不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，30，32，100共13个，故答案为：13．总结提升：本题考查了整式的加减，理解新定义是解题的关键．9．（2021•任城区二模）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此时，称△ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF边半高三角形，GH是“EF边半高”．（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若ABC是“BC边半高三角形”，则AC＝ cm；（2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为 ．（3）如图3，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点P是抛物线y＝x2上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为“RS边半高三角形”．当点P介于点R与点S之间，且PQ取得最小值时，求点P的坐标．思路引领：（1）设AC＝h，则BC＝2AC＝2h，由勾股定理即可求解；（2）分“半高”是底边上的高、“半高”是腰上的高两种情况，分别求解即可；（3）当点P介于点R与点S之间时，与RS平行且与抛物线只有一个交点P′时，PQ取得最小值，即可求解．解：（1）设AC＝h，则BC＝2AC＝2h，由勾股定理得：h2+（2h）2＝102，解得：h＝25，故答案为25；（2）①当“半高”是底边上的高时，如图1，AD是“半高”，AB、AC为等腰三角形的腰，由题意得：AD ＝2，BC ＝4；②当“半高”是腰上的高时，如下图，底边为BC 、“半高”CD 为腰上的高，如图2，当△ABC 为锐角三角形时，CD ＝2，AB ＝AC ＝4，在Rt △ADC 中，AD =AC 2―CD 2=23，在Rt △BCD 中，BC =BD 2+CD 2=(4―23)2+22=26―22；如图3，当△ABC 为钝角三角形时，CD ＝2，AB ＝AC ＝4，同理可得：BC ＝26+22；故答案为：4或26+22或26―22；（3）将抛物线的表达式y ＝x 2与直线方程y ＝x +2联立并解得：x ＝﹣1或2，即：点R 、S 的坐标分别为（﹣1，1）、（2，4），则RS ＝32，则RS 边上的高为：12×32=322，则点Q 在于RS 平行的上下两条直线上，如下图，设直线RS 与y 轴交于点N ，故点N 作NQ ⊥TQ 于点Q ，则NQ =322，则QT =QH sin45°=3，点T （0，5），则点M （0，5），点M 于点T 重合，则点Q 的直线方程为：y ＝x +5，当该直线在直线RS 的下方时，y ＝x ﹣1，故点Q 所在的直线方程为：y ＝x +5或y ＝x ﹣1；如图4，当点P 介于点R 与点S 之间时，设与RS 平行且与抛物线只有一个交点P ′的直线方程为：y ＝x +d ，将该方程与抛物线方程联立并整理得：x 2﹣x ﹣d ＝0，△＝1+4d ＝0，解得：d =―14，此时，x 2﹣x +14=0，解得：x =12，点P ′（12，14），此时，P （P ′）Q 取得最小值．总结提升：本题主要考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、根的判别式、三角形有关计算等，此类新定义型题目，通常按题设顺序逐次求解．10．（2022春•梁平区期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x =a +c 3，y =b +d 3那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A ＝（﹣1，8），B ＝（4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x =―1+43=1，y =8+(―2)3=2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l ：y ＝2x +3上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H，当∠TDH为直角时，求直线ET的解析式．思路引领：（1）根据点T是点A，B的融合点的定义判断即可；（2）①根据融合点的定义，构建关系式，可得结论；②图中，当∠TDH＝90°时，点T、D横坐标相同，再根据①中得到的横纵坐标关系即可求出点T坐标，再根据融合点定义求出点E坐标，求一次函数解析式即可．解：（1）∵A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），∴x=13×（﹣1+7）＝2，y=13×（5+7）＝4，∴点C是点A、B的融合点；（2）①∵点T（x，y）是点D，E的融合点，∴x=13（3+t），y=13（0+2t+3），∴y＝2x﹣1；②如图，当∠TDH＝90°时，∴点T、D横坐标相同，x T＝x D＝3，∴y T＝2x﹣1＝2×3﹣1＝5，即T（3，5），∵点E（t，2t+3），点T（3，5），点D（3，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．∴3=13（3+t），∴t＝6，∴点E（6，15），设直线ET的解析式为：y＝kx+b，把E（6，15），T（3，5），代入得：6k+b=153k+b=5，解得：k=103b=―5，∴直线ET的解析式为：y=103x﹣5．总结提升：本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的判定和性质，融合点的定义，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．11．（2019•浙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x ﹣m）2+m+2的顶点．（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．思路引领：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可．（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题．（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时m的值，即可判断．解：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．∵当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝4，当x＝4时，y＝4，∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）．（3）由于0＜m＜2，取m＝1开始，发现抛物线内有10个好点，不符合意思，所以抛物线向下并向左移动，可得如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），∴抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），当抛物线经过点E时，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，解得m=5―132或5+132（舍弃），当抛物线经过点F时，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，解得m＝1或4（舍弃），∴当5―132≤m＜1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．12．（2022•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝4BE，QB＝6，求邻余线AB的长．思路引领：（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得AD⊥BC，则可得∠DAB与∠DBA互余，即∠FAB 与∠EBA互余，从而可得答案；（2）画出图形即可．（3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得BD＝CD、DM＝ME，再判定△DBQ∽△ECN，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解．解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝4BE，∴BD＝CD＝5BE，∴CE＝CD+DE＝9BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴QBNC=BDCE=59，∵QB＝6，∴NC=54 5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN=108 5，∴AB＝AC=108 5．总结提升：本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键．13．（2021•南丰县模拟）如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为60°的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB，E为BC中点，连接DE．求证：四边形ADEC为理想四边形；（2）如图2，△ABD是等边三角形，若BD为理想对角线，为使四边形ABCD为理想四边形，小明同学给出了他的设计图（见设计后的图），其中圆心角∠BOD＝120°；请你解释他这样设计的合理性．（3）在（2）的条件下，①若△BCD为直角三角形，BC＝3，求AC的长度；②如图3，若CD＝x，BC＝y，AC＝z，请直接写出x，y，z之间的数量关系．思路引领：（1）证明△ACB∽△ADC，推出∠ADC＝∠ACB＝90°，再证明△CDE是等边三角形即可．（2）如设计后的图中，△ABD是等边三角形，当点C在BCD上时，∠DCB=12∠DOB＝60°，满足条件．（3）①分两种情形：如图3中，当∠CDB＝90°时，如图4中，当∠CBD＝90°时，分别利用勾股定理求解即可．②以CD为边作等边△ECD，连接BE，作EF⊥BC交BC的延长线于F．利用全等三角形的性质以及勾股定理可得结论．解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∵E为BC中点，∴DE＝CE，∴△CDE是等边三角形，∴四边形ADEC为理想四边形；（2）如设计后的图中，△ABD是等边三角形，OD＝OB，∠BOD＝120°，当点C 在BCD 上时，∠DCB =12∠DOB ＝60°，故四边形ABCD 为理想四边形．（3）①当∠CDB ＝90°时，如图3中，∵∠CDB ＝90°，∠BCD ＝60°，BC ＝3，∴BD ＝BC •sin60=332，∠CBD ＝30°，∵△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD =332，∠ABD ＝60°，∴∠ABC ＝90°，∴AC =AB 2+BC 2=(332)2+32=372；当∠CBD ＝90°时，如图4中，同法可得AC =AD 2+CD 2=(33)2+62=37；综上所述，AC 的值为372或37．②如图5中，结论：x 2+xy +y 2＝z 2．理由如下：以CD 为边作等边△ECD ，连接BE ，作EF ⊥BC 交BC 的延长线于F ．∵∠EDC ＝∠ADB ＝60°，∴∠EDB ＝∠CDA ，∵ED ＝CD ，BD ＝AD ，∴△EDB ≌△CDA （SAS ），∴AC ＝BE ＝z ，∵∠ECD ＝∠DCB ＝60°，CD ＝CE ＝x ，∴∠ECF ＝60°，∠CEF ＝30°，∴CF=12EC=12x．EF=3CF=32x．在Rt△EFB中，∵BE2＝EF2+BF2，∴z2＝（32x）2+（y+12x）2，整理得：x2+xy+y2＝z2．总结提升：本题属于四边形综合题，考查了理想四边形的定义，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确理解并运用新定义“理想四边形”和“理想对角线”，学会用分类讨论的思想思考问题．14．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，0），B（t+2，0），C（n，1），若射线OC上存在点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．（1）如图，t＝0，①若n＝0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是 ；②若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；（2）若n=33，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是 ．思路引领：（1）①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OP＝AB＝2，由此即可解决问题．②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．求出点P的横坐标，利用图象法即可解决问题．（2）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．首先证明∠COH＝30°，∵由射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，推出射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，求出几种特殊位置t的值，利用数形结合的思想解决问题即可．解：（1）①如图1中，由题意A（0，0），B（2，0），C（0，1），∵点P是线段AB关于射线OC的等腰点，∴OP＝AB＝2，∴P（0，2）．故答案为（0，2）．②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．在Rt△POH中，∵PH＝OC＝1，OP＝AB＝2∴OH=OP2―PH2=22―12=3，观察图象可知：若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n＜―3．（3）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．由题意C（33，1），∴CH=33，OH＝1，∴tan∠COH=CHOH=33，∴∠COH＝30°，当⊙B经过原点时，B（﹣2，0），此时t＝﹣4，∵射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，∴射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，观察图象可知当﹣4＜t≤﹣2时，满足条件，如图3﹣2中，当点A在原点时，∵∠POB＝60°，此时两圆的交点P在射线OC上，满足条件，此时t＝0，如图3﹣3中，当⊙B与OC相切于P时，连接BP．∴OC是⊙B的切线，∴OP⊥BP，∴∠OPB＝90°，∵BP＝2，∠POB＝60°，∴OB=PBcos60°=433，此时t=433―2，如图3﹣4中，当⊙A与OC相切时，同法可得OA=433，此时t=433，此时符合题意．如图3﹣5中，当⊙A 经过原点时，A （2，0），此时t ＝2，观察图形可知，满足条件的t 的值为：433―2＜t ≤2，综上所述，满足条件t 的值为﹣4＜t ≤﹣2或t ＝0或433―2＜t ≤2或t =433故答案为：﹣4＜t ≤﹣2或t ＝0或433―2＜t ≤2或t =433．总结提升：本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段AB 关于射线OC 的等腰点的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．15．（2022•房山区模拟）对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2，给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N （点M ，N 可以重合）使得AM ＝2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系．（1）如图1，点C （3，0），D （0，﹣1），E （0，1），点P 在线段CE 上运动（点P 可以与点C ，E 重合），连接OP ，DP ．①线段OP 的最小值为 ，最大值为 ；线段DP 的取值范围是 ；②在点O ，点D 中，点 与线段DE 满足限距关系；（2）在（1）的条件下，如图2，⊙O 的半径为1，线段FG 与x 轴、y 轴正半轴分别交于点F ，G ，且FG ∥EC ，若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求点F 横坐标的取值范围；（3）⊙O 的半径为r （r ＞0），点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，2为半径作圆得到⊙H 和⊙K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．思路引领：（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，DP 的最大值，最小值即可解决问题；②根据限距关系的定义判断即可；（2）根据两直线平行k 相等计算设FG 的解析式为：y =―33x +b ，得G （0，b ），F （3b ，0），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可；（3）如图3﹣1中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．解：（1）①如图1中，∵点C（3，0），E（0，1），∴OE＝1，OC=3，∴EC＝2，∠ECO＝30°，当OP⊥EC时，OP的值最小，当P与C重合时，OP的值最大是3，Rt△OPC中，OP=12OC=32，即OP的最小值是32；如图2，当DP⊥EC时，DP的值最小，Rt△DEP中，∠OEC＝60°，∴∠EDP＝30°，∵DE＝2，∴cos30°=DP DE，∴DP2=32，∴DP=3，当P与E重合时，DP的值最大，DP的最大值是2，∴线段DP的取值范围是：3≤DP≤2；故答案为：32，3，3≤DP≤2；②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM＝2ON，如图3，故点O与线段DE满足限距关系；根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足DM＝2DN，如图3，故点D与线段DE满足限距关系；故答案为：O和D；（2）∵点C（3，0），E（0，1），∴设直线CE的解析式为：y＝kx+m，+m=01，解得：k=―33m=1，∴直线CE的解析式为：y=―33x+1，∵FG∥EC，∴设FG的解析式为：y=―33x+b，∴G（0，b），F（3b，0），∴OG＝b，OF=3b，当0＜3b＜1时，如图5，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1―3b，最大距离为1+3b，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴1+3b≥2（1―3b），解得3b≥1 3，∴b的取值范围为13≤3b＜1；当1≤3b≤6时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，当3b＞6时，如图6，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为3b﹣1，最大距离为3b+1，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴3b+1≥2（3b﹣1），而3b+1≥2（3b﹣1）总成立，∴3b＞6时，线段FG与⊙O满足限距关系，综上所述，点F横坐标的取值范围是：3b≥1 3；（3）如图3﹣1中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r ﹣4，最大值为2r +4，∵⊙H 和⊙K 都满足限距关系，∴2r +4≥2（2r ﹣4），解得r ≤6，故r 的取值范围为0＜r ≤6．总结提升：本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．16．（2022•西城区校级模拟）点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x 1≠x 2．若存在一个正数k ，使点P ，Q 的坐标满足|y 1﹣y 2|＝k |x 1﹣x 2|，则称P ，Q 为一对“限斜点”，k 叫做点P ，Q 的“限斜系数”，记作k （P ，Q ）．由定义可知，k （P ，Q ）＝k （Q ，P ）．例：若P （1，0），Q （3，12），有|0―12|=14|1﹣3|，所以点P ，Q 为一对“限斜点”，且“限斜系数”为14．已知点A （1，0），B （2，0），C （2，﹣2），D （2，12）．（1）在点A ，B ，C ，D 中，找出一对“限斜点”： ，它们的“限斜系数”为 ；（2）若存在点E ，使得点E ，A 是一对“限斜点”，点E ，B 也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E 的坐标；（3）⊙O 半径为3，点M 为⊙O 上一点，满足MT ＝1的所有点T ，都与点C 是一对“限斜点”，且都满足k （T ，C ）≥1，直接写出点M 的横坐标x M 的取值范围．思路引领：（1）根据定义通过计算求解即可；（2）设E （x ，y ），由题意可得|y |＝|x ﹣1|，|y |＝|x ﹣2|，求解方程即可求点E 的坐标；（3）由题意可知C 点在直线y ＝﹣x 上，T 点在以M 为圆心1为半径的圆上，M 点在以O 为圆心3为半径的圆上，则T 点在以O 为圆心2为半径的圆上或以O 为圆心4为半径的圆上，当T 点在直线y ＝﹣x 上时，k ＝1，再由k （T ，C ）≥1，可知T 点在直线y ＝﹣x 的上方，T 点在直线y ＝﹣x 的上方，直线y ＝x ﹣4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部．解：（1）A （1，0），C （2，﹣2），有|0+2|＝2|1﹣2|，∴A 、C 为一对“限斜点”，且“限斜系数”为2；A （1，0），D （2，12），有|0―12|=12|1﹣2|，∴A 、D 为一对“限斜点”，且“限斜系数”为12；故答案为：A 、C 或A 、D ，2或12；（2）设E （x ，y ），∴|y |＝|x ﹣1|，|y |＝|x ﹣2|，∴|x ﹣1|＝|x ﹣2|，解得x =32，∴y ＝±12，∴E （32，12）或（32，―12）；（3）∵C （2，﹣2），∴C 点在直线y ＝﹣x 上，∵MT ＝1，∴T点在以M为圆心1为半径的圆上，∵M点在以O为圆心3为半径的圆上，∴T的轨迹是半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环，当T点在直线y＝﹣x上时，设T（m，﹣m），∴|﹣m+2|＝k|m﹣2|，∴k＝1，∵k（T，C）≥1，∴T点在直线y＝﹣x的上方，直线y＝x﹣4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部，如图所示，∴―322≤x M≤4．总结提升：本题考查圆的综合应用，弄清定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合解题是关键．17．（2020•密云区一模）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P，给出如下定义：经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P的“特征线”．例如：点M（1，3）的特征线是y＝x+2和y＝﹣x+4；（1）若点D的其中一条特征线是y＝x+1，则在D1（2，2）、D2（﹣1，0）、D3（﹣3，4）三个点中，可能是点D的点有　D2　；（2）已知点P（﹣1，2）的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A，直线y＝kx+b （k≠0）经过点P，且与x轴交于点B．若使△BPA的面积不小于6，求k的取值范围；（3）已知点C（2，0），T（t，0），且⊙T的半径为1．当⊙T与点C的特征线存在交点时，直接写出t 的取值范围．思路引领：（1）画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可．（2）过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y＝﹣x+b，求出△PAB的面积为6时点B 的坐标，再利用待定系数法求直线PB的解析式，结合图形即可解决问题．（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y＝x﹣2或y＝﹣x+2，设当⊙T与直线y＝﹣x+2相切于点M时，当⊙T′与直线y＝x﹣2相切于点N时，分别求出OT，OT′结合图象即可解决问题．解：（1）如图1中，观察图象可知，点D2的特征线是y＝x+1．故答案为D2．（2）如图2中，设过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y＝﹣x+b，∴1+b＝2，∴b＝1，∴过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y＝﹣x+1，∴A（1，0），当△BPA的面积＝6时，12•AB•2＝6，∴AB＝6，∴B（﹣5，0）或（7，0），当y＝kx+b′经过P（﹣1，2），B（﹣5，0）时，―k+b′=2―5k+b′=0解得k=1 2，当直线y＝kx+b′经过P（﹣1，2），B（7，0）时，―k+b′=27k+b′=0，解得k=―1 4，观察图形可知满足条件的k的值为―14≤k≤12且k≠0．（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y＝x﹣2或y＝﹣x+2，当⊙T与直线y＝﹣x+2相切于点M时，连接TM，在Rt△TCM中，∵∠TMC＝90°，∠MCT＝45°，∴MT＝MC＝1，∴TC=2TM=2，∴OT＝2―2，此时t＝2―2．当⊙T′与直线y＝x﹣2相切于点N时，同理可得OT′＝2+2，此时t＝2+2，结合图象可知满足条件的t的值为：2―2≤t≤2+2．总结提升：本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，三角形的面积，点P的“特征线”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．18．（2022秋•西城区校级期中）已知函数y＝x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．（1）直接写出y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式；（2）如图，请补全分段函数y=―x2+2x+1(x＜2)x2+bx+c(x≥2)的图象（不要求列表）．并回答以下问题：①写出此分段函数的一条性质： ；②若此分段函数的图象与直线y＝m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线y=12x―1围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．思路引领：（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出m的取值范围；（3）根据图象求整点坐标即可．解：（1）把A（2，1），B（5，4）代入解析式得：4+2b+c=125+5b+c=4，解得b=―6 c=9，∴y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式为y＝x2﹣6x+9；（2）如图所示：①性质：抛物线关于点（2，1）成中心对称，故答案为：抛物线关于点（2，1）成中心对称；②由图象可得：实数m的取值范围为0＜m＜2；（3）如图：由函数图象可得：“W区域“内所有整点的坐标为（0，0），（1，1）．总结提升：本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是对函数性质的掌握和运用．19．（2021春•丰台区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．（1）当⊙O的半径为1时，①在点A（﹣3，0），B（﹣1，3），C（2，﹣1）中，⊙O的伴随点是 ；②点D在直线y＝﹣x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；（2）⊙M的圆心为M（m，0），半径为3，直线y＝2x+3与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．思路引领：（1）①画出图形，求出切线长，根据⊙O的伴随点的定义判断即可．②如图2中，设点D的坐标为（d，﹣d+3），构建方程求出两种特殊位置时点D的坐标即可解决问。

专题32 中考热点规律探究填空选择专项训练-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)

专题32 中考热点规律探究填空选择专项训练-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)

专题32 中考热点规律探究填空选择专项训练（解析版）专题诠释：规律探究是最近中考热点，多以填空选择形式呈现。

此类题的最大特点：问题的结论或条件不直接给出，二常常给出一列数、一列等式或一列图形的一部分。

其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，确定需要求的结论. 这里精选最新最经典的规律探究题，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）1．（2021•广西模拟）计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22021﹣1的个位数字是（ ）A．1B．3C．7D．5思路引领：根据题目中给出的式子的结果，可以发现结果的个位数字的变化特点，从而可以求得22021﹣1的个位数字．解：∵21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…，∴计算结果中的个位数字依次以1，3，7，5循环出现，∵2021÷4＝5051 4，∴22021﹣1的个位数字是1，故选：A．总结提升：本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现结果的个位数字的变化特点，写出所求式子的个位数字．2．（2021春•沙坪坝区校级月考）使用黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵．前五次摆放的情况如图所示，如果按照此规律继续构建三角形阵，摆放到第（ ）个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子第一次比白棋子多．A．6B．7C．8D．9思路引领：分别求出黑白棋子的变化规律，建立方程求解即可．解：设一共有n个图形，由图可知，白棋子的变化规律为每次增加3个，则第n 个白棋子的个数为3n +3，黑棋子的变化为：n ＝1时，0个；n ＝2时，0+1＝1个；n ＝3时，0+1+2＝3个；n ＝4时，0+1+2+3＝6个；故第n 个图案中黑棋子个数为0+1+2+3+...+（n ﹣1）=n 2⋅(n ―1)=n 2―n 2，∴n 2―n 2=3n +3，解得n =7+732，n =7―732（不符题意，舍去），∴n 2―n 2＞3n +3，n ＞7+732，∵n 取正整数，且黑棋子第一次比白棋子多，∴n ＝8．故选：C ．总结提升：本题主要考查图形变换类的题目，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律．3．（2022秋•大埔县期中）某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形．如图，其方法是：过C 点作CD 1⊥AB 于D 1，再过D 1作D 1D 2⊥CA 于D 2，再过D 2作D 2D 3⊥AB 于D 3…，若△ABC 的边长为a ，则CD 1=32a ，D 1D 2=34a ，D 2D 3=38a ，依此规律，则D 5D 6的长为（ ）A ．316aB ．332aC ．364aD ．3128a 思路引领：把CD 1、D 1D 2、D 2D 3的分母写成2n 的形式，从中找出规律，根据规律解答．解：CD 1=32a =321a ，D1D2=34a=322a，D2D3=38a=323a，则D5D6的长为：326a=364a，故选：C．总结提升：本题考查的是相似三角形的性质、等边三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．4．（2022春•裕华区校级期中）如图，动点P从坐标原点（0，0）出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点（1，0），第2秒运动到点（1，1），第3秒运动到点（0，1），第4秒运动到点（0，2），……则第2022秒点P所在位置的坐标是（ ）A．（44，2）B．（44，3）C．（45，3）D．（45，2）思路引领：分析点P在坐标系中的运动路线，寻找点P运动至x轴或y轴时的点坐标的规律．解：根据题意列出P的坐标寻找规律．P1（1，0）；P8（2，0）；P9（3，0）；P24（4，0）；P48（6，0）；即P2n（2n+2）坐标为（2n，0）．P2024（44，0）．∴P2022坐标为P2024（44，0）退回两个单位→（44，1）→（44，2）．故选：A．总结提升：考查平面直角坐标系中点的坐标变化，分析点P运动路线规律，找到点P在x轴上的交点坐标规律为解题关键，难点在于拆分2024＝44×46．5．（2022秋•桥西区校级期中）计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则22022的个位数字是（ ）A．1B．3C．4D．5思路引领：通过观察发现每四次运算结果的尾数循环出现一次，再由2022÷4＝505……2，即可求解22022﹣1的个位数字是3．解：∵21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，……，∴每四次运算结果的尾数循环出现一次，∵2022÷4＝505……2，∴22022﹣1的个位数字是3，∴22022的个位数字是4，故选：C．总结提升：本题考查数字的变化规律，解题的关键是通过观察，探索出循环规律．6．（2021秋•西城区校级期中）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种涂法．A．1B．2C．3D．4思路引领：根据轴对称图形的定义，画出图形即可．解：如图，满足条件的三角形有三个．故选：C．总结提升：本题考查利用轴对称图形设计图案，解题的关键是连接轴对称图形的定义，属于中考常考题型．7．（2022•苏州模拟）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）A．135B．153C．170D．189思路引领：首先通过分析找到a与b的关系，然后找到b与18的关系，进而找到x与b和18的关系，即可以得到结果．解：根据题目可以知道：4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2，……，2＝1+1，3＝2+1，4＝3+1，……，∴18＝2b，a＝b﹣1；∴b＝9，a＝8；又∵9＝（4﹣1）×（2+1），20＝（6﹣1）×（3+1），35＝（8﹣1）×（4+1），……，∴x＝（18﹣1）×（b+1）＝17×10＝170．故选：C．总结提升：本题考查数的规律，解题的关键是通过一列数，找到斜对角的关系是本题的突破口，然后再通过乘法的分解即可求出x．8．（2022•杭州模拟）如图，小正方形是按一定规律摆放的，则适合填补图中空白处的是（ ）A．B．C．D．思路引领：根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10，据此可得．解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有故选：D．总结提升：本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．9．（2022秋•罗山县期中）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点D的坐标为（ ）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）思路引领：先求出AB＝6，再利用正方形的性质确定D（﹣3，10），由于70＝4×505，所以第2020次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转0次，每次旋转90°，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可得到旋转后的点D的坐标．解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵2020＝4×505，∴每4次一个循环，第2020次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转0次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（﹣3，10）．故选：B．总结提升：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．10．（2022秋•莲池区期末）已知点E（x0，y0），点F（x2，y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则x1=x0+x22，y1=y0+y22．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点P1（即P，A，P1三点共线，且PA＝P1A），P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点P4，P5，P6…，则点P2022的坐标是（ ）A．（0，2）B．（2，0）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）思路引领：先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解．解：由题意，P1（2，﹣4），P2（﹣4，2），P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，﹣4），……可得每6次为一个循环，∵2022÷6＝337，∴点P2022的坐标是（0，2），故选：A．总结提升：本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律．二．填空题（共16小题）11．（2020秋•江阴市月考）用形状和大小相同的黑色棋子按如图所示的方式排列，按照这样的规律，第101个图形需要棋子　304　枚．思路引领：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．解：第一个图需棋子3+1＝4；第二个图需棋子3×2+1＝7；第三个图需棋子3×3+1＝10；…第n个图需棋子（3n+1）枚，故第101个图形需要棋子数为：3×101+1＝304．故答案为：304．总结提升：此题考查了规律型中的图形变化问题，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．12．（2021•广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，以AC为较长的直角边，按逆时针方向作Rt△ACC1，且∠ACC1＝900，∠BAC＝∠CAC1；再以AC1为较长的直角边，按逆时针方向作Rt△AC1C2，且∠AC1C2＝90°，∠CAC1＝∠C1AC2；…按此规律一直下去，则AC n﹣1的长为 ．思路引领：证明△ABC∽△ACC1∽AC1C2的面积，根据相似三角形的性质得C1C2AC1=CC1AC=BCAB，根据勾股定理得AC=5=(5)120，则CC1=52，根据勾股定理得AC1=52=(5)221，可得探究规律，可得结论．解：由题意，∠BAC＝∠CAC1＝∠C1AC2，ABC＝∠ACC1＝∠AC1C2＝90°，∴△ABC∽△ACC1∽AC1C2，∴C1C2AC1=CC1AC=BCAB=12，∵AB＝2，BC＝1，∴AC=5=(5)1 20，CC1=5 2，∴AC1=52=(5)221，•，∴AC n﹣1=(5)n2n―1．故答案为：(5)n2n―1．总结提升：本题考查相似三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．13．（2022秋•任城区校级期末）如图，在抛物线y＝x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2023个正方形的边长是 ．思路引领：由题意可知，直线OA1是第一象限的角平分线，故解析式为y＝x，联立方程求得A1的坐标，进而求得第一个正方形边长和B1的坐标，即可得直线B1A2的解析式为y＝x+2，联立方程求得A2的坐标，进而求得第二个正方形的边长和B2的坐标，即可得到直线B2A3的解析式为y＝x+6，联立方程求得A3的坐标，即可求得第三个正方形的边长……，以此类推得出规律，即可得到第2023个正方形的边长是2023 3．解：根据题意，∠B1OA1＝45°，即直线OA1是第一象限的角平分线，则解析式为y＝x，联立y=xy=x2，解得x=0y=0或x=1y=1，故A1（1，1），∴OA1=12+12=2，OB1＝2，即第1个正方形边长为2，∵∠B2B1A2＝45°＝∠B1OA1，∴直线B1A2的解析式中的x系数与直线OA1的解析式中x系数相等，且经过B1（0，2），∴直线B1A2的解析式为y＝x+2，联立y=x+2 y=x2，解得x=―1y=1或x=2y=4，故A2（2，4），∴A2B1=22+(4―2)2=22，OB2＝6，即第2个正方形边长为22，∵∠B3B2A3＝45°＝∠B2B1A2，∴直线B2A3的解析式中的x系数与直线OA1的解析式中x系数相等，且经过B2（0，6），∴直线B2A3的解析式为y＝x+6，联立y=x+6 y=x2，解得x=―2y=4或x=3y=9，故A3（3，9），∴A3B2=32+(9―6)2=32，OB3＝12，即第3个正方形边长为32，…按此规律类推，第n个正方形的边长为n2，∴第2023个正方形的边长是20233，故答案为：20233．总结提升：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用方程组求得交点坐标，求得抛物线上点的坐标是解题的关键．14．（2021秋•管城区校级期中）初三学生小明为表达对母校的感情，用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，……，按照此规律，从第（70）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是 ．思路引领：先根据已知图形得出第70个图形中，正方体一共有1+2+3+……+69+70＝2485个，再用带“心”字的正方体个数除以总个数即可得．解：∵第1个图形中正方体的个数为1，第2个图形中正方体的个数3＝1+2，第3个图形中正方体的个数6＝1+2+3，∴第70个图形中，正方体一共有1+2+3+……+70=(1+70)×702=2485（个），其中写有“心”字的正方体有70个，∴抽到带“心”字正方体的概率是702485=271．故答案为：2 71．总结提升：本题主要考查概率公式及图形的变化规律，解题的关键是得出第n个图形中正方体个数和概率公式．15．（2021秋•官渡区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示，已知点A的坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x 轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4…，依次进行下去，则点A2022的坐标为 ．思路引领：根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y＝x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2022的坐标．解：∵A点坐标为（1，1），∴直线OA的解析式为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2的解析式为y＝x+2，解y=x+2y=x2得x=―1y=1或x=2y=4，∴A2（2，4），∴A3（﹣2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4的解析式为y＝x+6，解y=x+6y=x2得x=―2y=4或x=3y=9，∴A4（3，9），∴A5（﹣3，9）…，∴A2022（1012，10122），故答案为：（1012，10122）．总结提升：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．16．（2022春•汕尾期末）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，点A1，A2，A3，A4，…在直线l 上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则A4的坐标是 ；A n的坐标是 ．思路引领：由题意可得A1，A2，A3，A4的坐标，可得点A坐标规律，即可求解．解：由题意可得正方形OA1B1C1边长为1，正方形A2B2C2C1的边长为2，正方形A3B3C3C2的边长为4，…正方形A n B n∁n C n﹣1的边长为2n﹣1，∴A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），A4（7，8）…A n（2n﹣1﹣1，2n﹣1），故答案为：（7，8），（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．总结提升：本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．（2022•金坛区模拟）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α，∠β如图所示，则tan （α+β）＝ ．思路引领：连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理可得出：∠CDE ＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE=3a，由三角函数定义即可得出答案．解：连接DE，如图所示：在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°，同理得：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝BD•sin∠DBE＝2a•sin60°=3a，∴tan（α+β）=AEDE=2a3a=233．故答案为：23 3．总结提升：本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律等知识；构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．18．（2022•丛台区校级模拟）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数的图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点P3落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：（1）点P2的坐标为 ；（2）作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为 ．思路引领：（1）利用正方形的性质得到P1（1，1），则可确定反比例函数的解析式为y=1x，再利用点B1的纵坐标为12，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到点P2的纵坐标为12，则点P2横坐标为2；（2）同样方法得到点P3的纵坐标为122，点P3的横坐标为22，利用2的指数与P点的序号数的关系可得到点P19的坐标．解：（1）∵正方形OAP1B的边长为1，∴P1（1，1），把P1（1，1）代入y=kx(x＞0)的得到k＝1×1＝1，∴反比例函数的解析式为y=1 x ，∵点B1为P1A的中点，∴点B1的纵坐标为1 2，∵四边形B1AA1P2为矩形，∴点P2的纵坐标为1 2，∵点P2在y=1x的图象上，∴点P2横坐标为（2，12）；（2）∵点P2横坐标为（2，12），点B2为P2A1的中点，∴点B2的纵坐标为12×12=122，∵四边形B2A1A2P3为矩形，∴点P3的纵坐标为1 22，∵点P3在y=1x的图象上，∴点P3的横坐标为22，•，∴点P19的纵坐标为1 218，∴点P19的横坐标为218，即P19（218，1 218）．故答案为：（218，1 218）．总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了规律性问题的解决方法和反比例函数图象上点的坐标特征．19．（2022•滕州市三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1与点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3，交射线OB1与点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5；…按照这样的规律继续作下去，若OA1＝1，则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为 ．思路引领：根据位似图形的概念求出OA2，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可．解：∵正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1 2，∴A1B1A2B2=12，∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴A1B1∥A2B2，∴OA1B1∽△OA2B2，∴OA1OA2=A1B1A2B2=12，∵OA1＝1，∴OA2＝2，∴A1A2＝1，∴正方形A1B1C1A2的面积＝1＝40，∵OA1＝A1A2＝A1B1＝1，∴∠B1OA1＝45°，∴OA2＝A2B2＝2，∴正方形A2B2C2A3的面积＝2×2＝41，∵A3B3⊥x轴，∴OA3＝A3B3＝4，∴正方形A3B3C3A4的面积＝4×4＝16＝42，……则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为42021﹣1＝42020＝24040，故答案为：24040．总结提升：本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，掌握位似图形的性质、相似多边形的性质是解题的关键．20．（2022春•诸暨市期中）为了求1+2+22+…+22021的值，可令S＝1+2+22+…+22021，则2S＝2+22+…+22022，因此2S﹣S＝22022﹣1，所以1+2+22+…+22021＝22022﹣1．按照以上推理计算出1+3﹣1+3﹣2+…+3﹣2021的值是　．思路引领：仿照所给的求解方式进行解答即可．解：令S＝1+3﹣1+3﹣2+…+3﹣2021，则13S＝3﹣1+3﹣2+…+3﹣2021+3﹣2022，因此13S﹣S＝3﹣2022﹣1，则―23S=3―2022―1，得：S=3―2021―32，所以1+3﹣1+3﹣2+…+3﹣2021=3―2021―32．故答案为：3―2021―32．总结提升：本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题目所给的求解方式并灵活运用．21．（2021•零陵区一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C（1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…以此类推，则点N2021的坐标为 ．思路引领：先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解．解：由题意得，作出如下图形：N点坐标为（﹣1，0），N点关于A点对称的N1点的坐标为（﹣3，0），N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），N2点关于C点对称的N3点的坐标为（﹣3，﹣8），N3点关于A点对称的N4点的坐标为（﹣1，8），N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，﹣4），N5点关于C点对称的N6点的坐标为（﹣1，0），此时刚好回到最开始的点N处，∴其每6个点循环一次，∴2021÷6＝336……5，即循环了336次后余下5，故N2021的坐标与N5点的坐标相同，其坐标为（3，﹣4）．故答案为：（3，﹣4）．总结提升：本题考查了平面直角坐标系内点的对称规律问题，本题需要先去验算前面一部分点的坐标，进而找到其循环的规律后即可求解．22．（2022春•白碱滩区期末）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点A n，则点A2022的坐标是 ．思路引领：由题意可知，智能机器人的运动路径规律为每八次一个循环，再结合点的坐标即可求解．解：由题意可知，智能机器人的运动路径规律为每八次一个循环，即智能机器人从原点O出发，每运动8次到达点的横坐标增加4个单位长度，∵2022÷8＝252……6，∴智能机器人共运动了252个循环加6次，则252×4+3＝1011，∴此时A2022（1011，﹣1），故答案为：（1011，﹣1）．总结提升：本题考查了轨迹，点的坐标﹣规律型，正确得出智能机器人的运动路径规律为每八次一个循环是解题的关键．23．（2022秋•依安县期末）如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA1B1C1；第2次将正方形OA1B1C1绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA2B2C2…按此规律，绕点O旋转得到正方形OA2020B2020C2020，则点B2021的坐标为 ．思路引领：根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC 绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．解：如图，∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴B（1，1），连接OB，OB1，OB2，OB6，OB4…，由勾股定理得：OB=2，由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3=⋯=2，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1（0，2），B2（﹣1，1），B3（―2，0），B4（﹣1，﹣1），B5（0，―2），…，发现是8次一循环，所以2020÷8＝252 (4)∴点B2020的坐标为（﹣1，﹣1），点B2021的坐标为（0，―2）．故答案为：（0，―2）．总结提升：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．24．（2021•宣州区校级自主招生）如图，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°，过点D （6，0）作DA⊥OM于点A，作线段OD的垂直平分线BE交x轴于点E，交AD于点B，作射线OB，以AB为边在△AOB的外侧作正方形ABCA1，延长A1C交射线OB于点B1，以A1B1为边在△A1OB1的外侧作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交射线OB于点B2，以A2B2为边在△A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3…按此规律进行下去，则正方形A2020B2020C2020A2021的周长为 ．思路引领：由题意可知∠MOB n＝30°，AO＝3，AB=3，所以正方形ABCA1的边长为3，∵CB∥AM，∴CB1＝tan30°•BC＝1，故A1B1＝1+3，以此计算可得每个正方形的边长，进而发现规律．解：由已知得∠AOD＝60°，∴∠ADO＝30°．∵BE垂直平分OD，∴BO＝BD，∴∠BOD＝∠ADO＝30°，∴∠AOB＝60°﹣30°＝30°，∴OA=12OD＝3，∴AB＝tan30°•OA=33×3=3，∴BC=3，∴正方形ABCA1的周长为43；易得A1B1=3+33×3=3+1，∴正方形A1B1C1A2的周长为4（3+1）；同理可得A2B2=3+1+（3+1）×33=（3+1）(1+33)；B2C2＝（3+1）(1+33 )，∴正方形A2B2C2A3的周长为4（3+1）(1+33 )；同理A3B3＝（3+1）(1+33)+（3+1）(1+33)×33=(1+33)2(3+1)，B3C3=(1+33)2(3+1)，∴正方形A3B3C3A4的周长为4(1+33)2(3+1)；A4B4=(1+33)3(3+1)=B4C4，∴正方形A4B4C4A5的周长为4(1+33)3(3+1)；.....．以此类推可知正方形正方形A2020B2020C2020A2021的周长为4(1+33)2019(3+1)．故答案为：4(1+33)2019(3+1)．总结提升：本题考查正方形的性质、垂直平分线的性质，以及三角函数知识，正确找到规律是解题关键．25．（2020春•文登区期末）如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，连接A1C1，A1B1，四边形A1B1BC1的面积记作S1；点A2，B2，C2分别是A1C，B1C，A1B1的中点，连接A2C2，A2B2，四边形A2B2B1C2的面积记作S2…，按此规律进行下去，若S△ABC＝a，则S2020＝ ．思路引领：根据三角形中位线定理可求出S1的值，进而可得出S2的值，找出规律即可得出S2020的值．解：∵A1C1，A1B1是△ABC的中位线，∴A1C1=12BC，A1C1∥BC．∴△A1C1B1∽△ABC，∴S△AC1A1=14S△ABC=14a．同理S△ACB1=14S△ABC=14a．∴S1＝a―14a―14a=12a；同理可得，S2=a 23；…∴S n=a22n―1；∴S2020=a 24039．故答案是：a 24039．总结提升：本题考查的是相似三角形的性质及三角形中位线定理，正确得出面积变化规律是解答此题的关键．26．如图，直线l：y=33x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l 于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则S n＝ ．思路引领：由直线l：y=33x+1可求出与x轴交点A的坐标，与y轴交点A1的坐标，进而得到OA，OA1的长，也可求出Rt△OAA1的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是含有30°角的直角三角形，然后这个求出S1、S2、S3、S4、……根据规律得出Sn．解：直线l：y=33x+1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x=―3∴A（―3，0）A1（0，1）∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l，∴∠OA1B1＝30°，在Rt△OA1B1中，OB1=33•OA1=33，∴S1=12OA1⋅OB1=36；同理可求出：A2B1=43，B1B2=43×33，∴S2=12A2B1⋅B1B2=12×43×(43×33)=36×(43)2；依次可求出：S3=36×(43)4；S4=36×(43)6；S5=36×(43)8⋯⋯因此：S n=36×(43)2n―2=3332×(43)2n，故答案为：3332×(43)2n．总结提升：考查一次函数的图象和性质、解直角三角形、三角形的面积、以及找规律归纳总结结论的能力，由于数据较繁琐、计算量交点，容易出现错误；因此在方法正确的前提下，认真正确的计算则显得尤为重要．。

21年中考数学试题及答案

21年中考数学试题及答案

21年中考数学试题及答案以下是2021年中考数学试题及答案，供同学们参考复习使用：【第一部分：选择题】（共30小题，每小题2分，共60分）1. 已知三角形ABC中，∠A=60°，a=4cm，b=6cm，则c的长度是：（A）2cm （B）5cm （C）7cm （D）8cm答案：（D）2. 设k是奇数，则k²+2k的值是：（A）偶数（B）奇数（C）可以是偶数或奇数（D）无法确定答案：（B）3. 函数y=x²-4x+3的图像是一个：（A）对称轴为直线x=2的抛物线（B）顶点坐标为(2,3)的抛物线（C）与x轴交于三点的抛物线（D）与y轴交于三点的抛物线答案：（C）4. 如图，矩形ABCD中，AE是CE的垂直平分线，则∠E=（）（A）30°（B）40°（C）45°（D）60°答案：（C）【第二部分：填空题】（共10小题，每小题2分，共20分）1. 若正方体的棱长为3cm，则该正方体的体积是（）cm³。

答案：272. 当x的值满足条件3x²-5x=-2时，x=（）。

答案：-1或2/33. 三角形ABC的面积为12cm²，底边AB的长度为4cm，则高CM 的长度是（）cm。

答案：64. 当k>0，k>0且k/k=-2/3，那么a:b的值是（）。

答案：2:3【第三部分：解答题】（共2小题，每小题20分，共40分）1. 已知函数k=k²-2k，求该函数的对称轴、顶点坐标以及与k轴的交点坐标。

解答：对称轴的方程为：k=-k/2k，代入k=1，k=-2得到：k=1顶点坐标为：(1,f(1))，代入函数得到：(1,-1)与k轴交点坐标为：(0,0),(2,0)2. 已知三角形ABC中，∠A=60°，AB=3cm，AC=5cm。

（1）求BC的长度。

（2）在BC边上取一点D，使得BD=DC，连接AD，求角∠BAD 的度数。

2021年全国中考数学真题分项汇编-专题33几何综合压轴问题(解答题)(解析版)

2021年全国中考数学真题分项汇编-专题33几何综合压轴问题(解答题)(解析版)

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题33几何综合压轴问题（解答题）一、解答题1．（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒．点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ，连接GC ，HB ．（1）证明：AHB AGC ≌；（2）如图2，连接GF ，HC ，AF 交AF 于点Q ．①证明：在点H 的运动过程中，总有90HFG ∠=︒；①若4AB AC ==，当EH 的长度为多少时，AQG 为等腰三角形？【答案】（1）见详解；（2）①见详解；①当EH 的长度为2时，AQG 为等腰三角形【分析】（1）由旋转的性质得AH =AG ，①HAG =90°，从而得①BAH =①CAG ，进而即可得到结论；（2）①由AHB AGC ≌，得AH =AG ，再证明AEH AFG ≌，进而即可得到结论；①AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当①QAG =①QGA =45°时，（b ）当①GAQ =①GQA =67.5°时，（c ）当①AQG =①AGQ =45°时，分别画出图形求解，即可．【详解】解：（1）①线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ，①AH =AG ，①HAG =90°，①在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =AC ，①①BAH =90°-①CAH =①CAG ，①AHB AGC ≌；（2）①①在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，①AE =AF ，AEF 是等腰直角三角形，①AH =AG ，①BAH =①CAG ，①AEH AFG ≌，①①AEH =①AFG =45°，①①HFG =①AFG +①AFE =45°+45°=90°，即：90HFG ∠=︒；①①4AB AC ==，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，①AE =AF =2，①①AGH =45°，AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当①QAG =①QGA =45°时，如图，则①HAF =90°-45°=45°，①AH 平分①EAF ，①点H 是EF 的中点，①EH 12==（b ）当①GAQ =①GQA =（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则①EAH =①GAQ =67.5°，①①EHA =180°-45°-67.5°=67.5°，①①EHA =①EAH ，①EH =EA =2；（c ）当①AQG =①AGQ =45°时，点H 与点F 重合，不符合题意，舍去，综上所述：当EH 的长度为2时，AQG 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．2．（2021·湖北中考真题）问题提出 如图（1），在ABC 和DEC 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，BC AC =，EC DC =，点E 在ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ，线段AF ，BF ，CF 之间存在怎样的数量关系？问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点D ，F 重合时，直接写出一个等式，表示AF ，BF ，CF 之间的数量关系；（2）再探究一般情形．如图（1），当点D ，F 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展 如图（3），在ABC 和DEC 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，BC kAC =，EC kDC =（k 是常数），点E 在ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ，直接写出一个等式，表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系．【答案】（1）BF AF -=．（2）见解析；问题拓展：BF k AF -⋅=． 【分析】（1）先证明①BCE ①①ACD ,得到AF =BE ，BF -BE =BF -AF =EF ；（2）过点C 作CG CF ⊥交BE 于点G ，证明ACD BCE ≅△△，ACF BCG ≅△△，CGF △是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可．【详解】问题探究 （1）BF AF -=．理由如下：如图（2），①①BCA =①ECF =90°，①①BCE =①ACF ，①BC =AC ，EC =CF ，①BCE ①①ACF ，①BE =AF ，①BF -BE =BF -AF =EF ；（2）证明：过点C 作CG CF ⊥交BE 于点G ，则90FCG ACB ∠=∠=︒，①90ACB DCE ∠=∠=︒，①BCE ACD ∠=∠．又①AC BC =，DC EC =，①ACD BCE ≅△△，①CAF CBG ∠=∠．①ACF BCG ≅△△．①AF BG =，CF CG =，①CGF △是等腰直角三角形．①GF =．①BF AF BF BG GF -=-==．问题拓展 BF k AF -⋅．理由如下：①①BCA =①ECD =90°，①①BCE =①ACD ，①BC =kAC ，EC =kCD ，①①BCE ①①ACD ，①①EBC =①F AC ，过点C 作CM CF ⊥交BE 于点M ，则90FCM ACB ∠=∠=︒，①①BCM ①①ACF ，①BM :AF =BC :AC =MC :CF =k ，①BM =kAF ,MC =kCF ，①BF -BM =MF ，MF =①BF - kAF ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键．3．（2021·浙江中考真题）（证明体验）（1）如图1，AD 为ABC 的角平分线，60ADC ∠=︒，点E 在AB 上，AE AC =．求证：DE 平分ADB ∠．（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F 为AB 上一点，连结FC 交AD 于点G ．若FB FC =，2DG =，3CD =，求BD 的长．（拓展延伸）（3）如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分,2BAD BCA DCA ∠∠=∠，点E 在AC 上，EDC ABC ∠=∠．若5,2BC CD AD AE ===，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）92；（3）163 【分析】（1）根据SAS 证明EAD CAD ≌△△，进而即可得到结论；（2）先证明EBD GCD ∽，得BD DE CD DG=，进而即可求解；（3）在AB 上取一点F ，使得AF AD =，连结CF ，可得AFC ADC ≌，从而得DCE BCF ∽，可得,CD CE CED BFC BC CF=∠=∠，4CE =，最后证明EAD DAC ∽，即可求解． 【详解】解：（1）①AD 平分BAC ∠，①EAD CAD ∠=∠，①,==AE AC AD AD ，①()EAD CAD SAS ≌，①60ADE ADC ∠=∠=︒，①18060EDB ADE ADC ∠=︒-∠-∠=︒，①BDE ADE =∠∠，即DE 平分ADB ∠；（2）①FB FC =，①EBD GCD ∠=∠，①60BDE GDC ∠=∠=︒，①EBD GCD ∽， ①BD DE CD DG=． ①EAD CAD ≌△△，①3DE DC ==．①2DG =， ①92BD =； （3）如图，在AB 上取一点F ，使得AF AD =，连结CF ．①AC 平分BAD ∠，①FAC DAC ∠=∠①AC AC =，①()AFC ADC SAS ≌，①,,CF CD ACF ACD AFC ADC =∠=∠∠=∠．①2ACF BCF ACB ACD ∠+∠=∠=∠，①DCE BCF ∠=∠．①EDC FBC ∠=∠，①DCE BCF ∽， ①,CD CE CED BFC BC CF=∠=∠．①5,BC CF CD ===，①4CE =．①180180AED CED BFC AFC ADC ∠=︒-∠=︒-∠=∠=∠，又①EAD DAC ∠=∠，①EAD DAC ∽ ①12EA AD AD AC ==， ①4AC AE =， ①41633AC CE ==． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．4．（2021·浙江中考真题）如图1，四边形ABCD 内接于O ，BD 为直径，AD 上存在点E ，满足AE CD =，连结BE 并延长交CD 的延长线于点F ，BE 与AD 交于点G ．（1）若DBC α∠=，请用含α的代数式表列AGB ∠．（2）如图2，连结,CE CE BG =．求证；EF DG =．（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG ，2AD =．①若tan ADB ∠=，求FGD 的周长． ①求CG 的最小值．【答案】（1）90AGB α∠=︒-；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用圆周角定理求得90BAD ∠=︒，再根据AE CD =，求得ABG DBC α∠=∠=，即可得到答案； （2）由90BEC BDC α∠=∠=︒-，得到BEC AGB ∠=∠，从而推出CEF BGD ∠=∠，证得()CFE BDG ASA ≌，由此得到结论；（3）①连结DE ．利用已知求出2AB AD ==，证得DA CE =，得到2BG AD ==，利用Rt ABG 中，根据正弦求出160,12AGB AG BG ∠=︒==，求出EF 的长，再利用Rt DEG △中，60EGD ∠=︒，求出EG 及DE ，再利用勾股定理求出DF 即可得到答案；①过点C 作CH BF ⊥于H ，证明()BAD CHF AAS ≌，得到FH AD =，证明BHC CHF ∽，得到BH CH CH FH=，设GH x =，得到()222CH x =-，利用勾股定理得到222CG GH CH =+ ，求得2222(2)(1)3CG x x x =+-=-+，利用函数的最值解答即可．【详解】解：（1）①BD 为O 的直径，①90BAD ∠=︒，①AE CD =， ①ABG DBC α∠=∠=，①90AGB α∠=︒-．（2）①BD 为O 的直径，①90BCD ∠=︒，①90BEC BDC α∠=∠=︒-，①BEC AGB ∠=∠，①180,180CEF BEC BGD AGB ∠=︒-∠∠=︒-∠， ①CEF BGD ∠=∠．又①,CE BG ECF GBD =∠=∠，①()CFE BDG ASA ≌，①EF DG =．（3）①如图，连结DE ．①BD 为O 的直径，①90A BED ∠=∠=︒．在Rt ABD △中，tan ADB ∠=，2AD =，①AB AD ==．①AE CD =，①AE DE CD DE +=+，即DA CE =，①AD CE =．①CE BG =，①2BG AD ==．①在Rt ABG 中，sin 2AB AGB BG ∠==， ①160,12AGB AG BG ∠=︒==， ①1EF DG AD AG ==-=．①在Rt DEG △中，60EGD ∠=︒，①11,2222EG DG DE DG ====．在Rt FED 中，DF ==，①52FG DG DF +++=，①FGD ①如图，过点C 作CH BF ⊥于H ．①BDG CFE ≌，①,BD CF CFH BDA =∠=∠．①90BAD CHF ∠=∠=︒，①()BAD CHF AAS ≌．①FH AD =，①AD BG =，①FH BG =．①90BCF ∠=︒，①90BCH HCF ∠+∠=︒．①90BCH HBC ∠+∠=︒，①HCF HBC ∠=∠，①90BHC CHF ∠=∠=︒，①BHC CHF ∽， ①BH CH CH FH=． 设GH x =，①2BH x =-，①()222CH x =-． 在Rt GHC 中，222CG GH CH =+ ，①2222(2)(1)3CG x x x =+-=-+，当1x =时，2CG 的最小值为3，①CG【点睛】此题考查圆周角的定理，弧、弦和圆心角定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定，函数的最值问题，是一道综合的几何题型，综合掌握各知识点是解题的关键．5．（2021·浙江中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP '．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．①求APO ∠'的度数．①求AP 的长．（2）如图2，BO '与AB 相交于点D ，若点D 为AB 的中点，且//PD OB ，求AB 的长．【答案】（1）①60°；①6-（2）125π 【分析】(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求AP 的长，先连接'OO ，先在Rt OBQ △中，求出OQ ；再在Rt OPQ 中，求出OP 即可得到答案；（2）要求AB 的长，扇形的半径已知，就转化成求AOB ∠的度数，连接'OO ，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为180︒，建立等式求出AOB ∠，最后利用弧长的计算公式进行计算．【详解】解：（1）①如图1，'BO 为圆的切线'90OBO ∴∠=︒．由题意可得，'45O BP OBP ∠=∠=︒，'O PB OPB ∠=∠．180180754560OPB BOP OBP ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒'60O PB OPB ∴∠=∠=︒'60APO ∴∠=︒，①如图1，连结'OO ，交BP 于点Q ．则有'BP OO ⊥．在Rt OBQ △中，sin 45OQ OB =⨯︒=在Rt OPQ △中，sin 60OQ OP ==︒6AP OA OP ∴=-=-（2）如图2．连结OD ．设1a ∠=．①点D 为AB 的中点．BD AD ∴=21a ∴∠=∠=//PD OB321a ∴∠=∠=∠=．PD PO ∴=由题意可得，','PO PO O BOP =∠=∠．'PD PO ∴=''2PDO O BOP a ∴∠=∠=∠=又//,''2PD OB OBO PDO a ∴∠=∠=,4'2OB OD OBO a =∴∠=∠=43'180PDO ∠+∠+∠=︒，22180a a a ∴++=︒，解得36a =︒．72AOB ∴∠=︒726121801805n R AB πππ⨯∴===． 【点睛】本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量．6．（2021·浙江中考真题）已知在ACD △中，Р是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结,BC AP ．（1）如图1，若90,60,,ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===BC 的长．（2）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，如图2所示．若60,CAD BD AC ∠︒==，求证：2BC AP =．（3）如图3，若45CAD ∠=︒，是否存在实数m ，当BD mAC =时，2BC AP =？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析；（3）存在，m =【分析】（1）先解直角三角形ABC 得出2AB AC =，从而得出ADC 是等边三角形，再解直角三角形ACP 即可求出AC 的长，进而得出BC 的长；（2）连结BE ，先利用AAS 证出≌CPA DPE ，得出AE =2PE ，AC =DE ，再得出ADC 是等边三角形，然后由SAS 得出≌CAB EBA ，得出AE =BC 即可得出结论；（3）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，连接BE ，过C 作CG ①AB 于G ，过E 作EN ①AB 于N ，由（2）得AE =2AP ，DE =AC ，再证明≌AEN BCG ，从而得出≌CAB EBA 得出DE =BE ，然后利用勾股定理即可得出m 的值．【详解】（1）解 90,60ACB CAD ∠=∠=︒︒，2cos60AC AB AC ︒==， BD AC =，AD AC =∴，ADC ∴是等边三角形，60ACD ∴∠=︒ Р是CD 的中点，AP CD ∴⊥，在Rt APC 中，AP =2sin 60AP AC ∴==︒，tan 60BC AC =︒=∴（2）证明：连结BE ，//DE AC ，CAP DEP ∴∠=∠，,CP DP CPA DPE =∠=∠，()CPA DPE AAS ∴≌，1,2AP EP AE DE AC ∴===， BD AC =，BD DE ∴=，又//DE AC ，60BDE CAD ∴∠=∠=︒，BDE ∴是等边三角形，,60BD BE EBD ∴=∠=︒BD AC =，AC BE ∴=，又60,CAB EBA AB BA ∠=∠=︒=，()CAB EBA SAS ∴≌，AE BC ∴=，2BC AP ∴=．（3）存在这样的,m m =过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，连接BE ，过C 作CG ①AB 于G ，过E 作EN ①AB 于N ，则45∠=∠=︒BDE CAD ，sin 45∴=⨯CG AC ，sin 45=⨯EN DE由（2）得AE =2AP ，DE =AC ，①CG =EN ，①2BC AP =，①AE =BC ，①①ANE =①BGC =90°，≌∴AEN BCG ，①①EAN =①CBG①AE =BC ，AB =BA ，①≌CAB EBA①AC =BE ，①DE =BE ，①①EDB =①EBD =45°，①①DEB =90°，①=BD ，①BD mAC = ①m =【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是合理添加辅助线，有一定的难度．7．（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作CF //AD 交线段AE 于点F ，连接BF ．（1）求证：ABF EAD △≌△；（2）如图2，若9AB =，5CD =，ECF AED ∠=∠，求BE 的长；（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求BE EC的值．【答案】（1）见解析；（2）6；（3）1【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证ABE AEB ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，即可得AB AE =，DE DC =；再证四边形AFCD 是平行四边形即可得AF CD =，所以AF DE =，根据SAS 即可证得ABF EAD △≌△；（2）证明EBF EAB ∽△△，利用相似三角形的性质即可求解；（3）延长BM 、ED 交于点G ．易证ABE DCE ∽，可得AB AE BE DC DE CE==；设1CE =，BE x =，DC DE a ==，由此可得AB AE ax ==，AF CD a ==；再证明MAB MDG △≌△，根据全等三角形的性质可得DG AB ax ==．证明FAB FEG △∽△，根据相似三角形的性质可得FA AB FE EG =，即(1)(1)a ax a x a x =-+，解方程求得x 的值，继而求得BE EC的值． 【详解】（1）证明：//AE CD ，AEB DCE ∴∠=∠；//DE AB ，ABE DEC ∴∠=∠，12∠=∠，ABC BCD ∠=∠，ABE AEB ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠，AB AE =∴，DE DC =，//AF CD ，//AD CF ，∴四边形AFCD 是平行四边形AF CD ∴=在ABF 与EAD 中．12AB EAAF ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF EAD SAS ∴△≌△（2）ABF EAD △≌△，BF AD ∴=，在AFCD □中，AD CF =，BF CF ∴=，FBC FCB ∴∠=∠，又2FCB ∠=∠，21∠=∠，1FBC ∴∠=∠，在EBF △与EAB 中．1EBF BEF AEB∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，EBF EAB ∴△∽△；EBEFEA EB ∴=；9AB =，9AE ∴=；5CD =，4EF ∴=，49EB EB∴=， 6BE ∴=或6-（舍）； （3）延长BM 、ED 交于点G ．ABE 与DCE 均为等腰三角形，ABC DCE ∠=∠， ABE DCE ∴△∽△，AB AE BE DC DE CE∴==， 设1CE =，BE x =，DC DE a ==， 则AB AE ax ==，AF CD a ==， (1)EF a x ∴=-，//AB DG ，3G ∴∠=∠；在MAB △与MDG 中，345G MA MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MAB MDG AAS ∴△≌△；DG AB ax ∴==．(1)EG a x ∴=+；//AB EG ，FAB FEG ∴△∽△，FA AB FE EG ∴=， (1)(1)a ax a x a x ∴=-+， (1)1x x x -∴=+，2210x x ∴--=，2(1)2x ∴-=，1x ∴=±11x ∴=，21x =1BE EC∴=+ 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键．8．（2021·四川中考真题）在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），连结AD ．（1）如图1，若60C ∠=°，点D 关于直线AB 的对称点为点E ，结AE ，DE ，则BDE ∠=________；（2）若60C ∠=°，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AE ，连结BE ．①在图2中补全图形；①探究CD 与BE 的数量关系，并证明；（3）如图3，若AB AD k BC DE ==，且ADE C ∠=∠，试探究BE 、BD 、AC 之间满足的数量关系，并证明．【答案】（1）30°；（2）①见解析；①CD BE =；见解析；（3）()AC k BD BE =+，见解析【分析】（1）先根据题意得出①ABC 是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可（2）①按要求补全图即可①先根据已知条件证明①ABC 是等边三角形，再证明AEB ADC △≌△，即可得出CD BE =（3）先证明AC BC AD DE=，再证明ACB ADE △∽△，得出BAC EAD ∠=∠，从而证明AEB ADC △≌△，得出BD BE BC +=，从而证明()AC k BD BE =+【详解】解：（1）①AB AC =，60C ∠=°①①ABC 是等边三角形①①B =60°①点D 关于直线AB 的对称点为点E①AB ①DE ，①BDE ∠=30故答案为：30；（2）①补全图如图2所示；①CD 与BE 的数量关系为：CD BE =；证明：①AB AC =，60BAC ∠=︒．①ABC 为正三角形，又①AD 绕点A 顺时针旋转60︒，①AD AE =，60EAD ∠=︒，①60BAD DAC ∠+∠=︒，60BAD BAE ∠+∠=︒，①BAE DAC ∠=∠，①AEB ADC △≌△，①CD BE =．（3）连接AE ．①AB AD k BC DE ==，AB AC =，①AC AD BC DE=． ①AC BC AD DE =． 又①ADE C ∠=∠，①ACB ADE △∽△，①BAC EAD ∠=∠．①AB AC =，①AE AD =，①BAD DAC BAD BAE ∠+∠=∠+∠，①DAC BAE ∠=∠，①AEB ADC △≌△，CD BE =．①BD DC BC +=，①BD BE BC +=．又①AC k BC=， ①()AC k BD BE =+．【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点9．（2021·山东中考真题）如图1，O 为半圆的圆心，C 、D 为半圆上的两点，且BD CD =．连接AC 并延长，与BD 的延长线相交于点E ．（1）求证：CD ED =；（2）AD 与OC ，BC 分别交于点F ，H ．①若CF CH =，如图2，求证：CF AF FO AH ⋅=⋅；①若圆的半径为2，1BD =，如图3，求AC 的值．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；①72AC =【分析】（1）连接BC ，根据90ACB BCE ∠=∠=︒，90ECD BCD ∠+∠=︒且BD CD =，则E ECD ∠=∠，即可推导出CD ED =；（2）①CF CH =，则AFO CHF ∠=∠，又BD CD =，CAD BAD ∠=∠，则AFO AHC △∽△，进而推导出CF AF FO AH ⋅=⋅；①连接OD 交BC 于G ，设OG x =，则2DG x =-，根据在Rt OGB △和Rt BGD △中列式222221(2)x x -=--，进而求得x 的值，再根据中位线定理求出AC 的长．【详解】证明：（1）连接BC ，①AB 为直径①90ACB BCE ∠=∠=︒ 90ECD BCD ∠+∠=︒①BD CD =①EBC BCD ∠=∠①E ECD ∠=∠①CD ED =．（2）①①CF CH =①CFH CHF ∠=∠又①AFO CFH ∠=∠①AFO CHF ∠=∠又①BD CD =①CAD BAD ∠=∠①AFO AHC △∽△ ①AF OF AH CH= ①AF OF AH CF = ①CF AF OF AH ⋅=⋅①连接OD 交BC 于G ．设OG x =，则2DG x =-①CD BD =①COD BOD ∠=∠又①OC OB =①OD BC ，CG BG =在Rt OGB △和Rt BGD △中2222 21(2)x x -=--①74x=即74OG=①OA OB=①OG是ABC的中位线①12 OG AC=①72 AC=．【点睛】本题考查了等弧对等角、相似三角形、等腰三角形、中位线等有关知识点，属于综合题型，借助辅助线是解决这类问题的关键．10．（2021·江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且1AE=，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1，求CF的长；（2）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形ABCD 的边长为3，E 是边CB 上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B 为顶点作正方形BFGH ，其中点F 、G 都在直线AE 上，如图4，当点E 到达点B 时，点F 、G 、H 与点B 重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．【答案】（1）1；（2）3；（3（4）34π；4 【分析】（1）由ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，BA BC =，BE BF =， ABE CBF ∠=∠，可证ABE CBF ∆∆≌即可；（2）连接CF ，ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，可证ABE CBF ∆∆≌，可得BCF ABC ∠=∠，又点E 在C 处时，CF AC =，点E 在A 处时，点F 与C 重合．可得点F 运动的路径的长3==AC ；（3）取BC 中点H ，连接HN ，由ABC ∆、BMN ∆是等边三角形，可证≌∆∆DBM HBN ，可得NH BC ⊥．又点M 在C 处时，==HN CD M 在D 处时，点N 与H 重合．可求点N 所经过的路径的长==CD （4）连接CG ,AC ，OB ，由①CGA =90°，点G 在以AC 中点为圆心，AC 为直径的BC 上运动，由四边形ABCD 为正方形，BC 为边长，设OC =x ，由勾股定理222CO BO BC +=即，可求x =G 所经过的路径长为BC 长=4，点H 所经过的路径长为BN 的长34π=． 【详解】 解:（1）①ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，①BA BC =，BE BF =，60∠=∠=︒ABC EBF ．①∠+∠=∠+∠ABE CBE CBF CBE ，①ABE CBF ∠=∠，①ABE CBF ∆∆≌，①1CF AE ==；（2）连接CF ，①ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，①BA BC =，BE BF =，60∠=∠=︒ABC EBF ．①∠+∠=∠+∠ABE CBE CBF CBE ，①ABE CBF ∠=∠，①ABE CBF ∆∆≌，①CF AE =，60∠=∠=︒BCF BAE ，①60ABC ∠=︒，①BCF ABC ∠=∠，①//CF AB ，又点E 在C 处时，CF AC =，点E 在A 处时，点F 与C 重合．①点F 运动的路径的长3==AC ；（3）取BC 中点H ，连接HN ， ①12BH BC =， ①12=BH AB ， ①CD AB ⊥， ①12BD AB =，①BH BD =，①ABC ∆、BMN ∆是等边三角形，①BM BN =，60∠=∠=︒ABC MBN ，①∠+∠=∠+∠DBM MBH HBN MBH ，①∠=∠DBM HBN ，①≌∆∆DBM HBN ，①=HN DM ，90∠=∠=︒BHN BDM ，①NH BC ⊥，又点M 在C 处时，2==HN CD ，点M 在D 处时，点N 与H 重合，①点N 所经过的路径的长==CD （4）连接CG ,AC ，OB ，①①CGA =90°， ①点G 在以AC 中点为圆心，AC 为直径的BC 上运动，①四边形ABCD 为正方形，BC 为边长，①①COB =90°，设OC =x ，由勾股定理222CO BO BC +=即2223x x +=，①x =点G 所经过的路径长为BC 长=124π⨯=⎝⎭， 点H 在以BC 中点为圆心，BC 长为直径的弧BN 上运动，点H 所经过的路径长为BN 的长度，①点G 运动圆周的四分之一，①点H 也运动圆周的四分一，点H 所经过的路径长为BN 的长=1332424ππ⨯⨯=，故答案为34π．【点睛本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键．11．（2021·吉林中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD 的内部，点B 的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，折痕为AF ，则EAF ∠= 度．操作二：如图①，将正方形纸片沿EF 继续折叠，点C 的对应点为点N ．我们发现，当点E 的位置不同时，点N 的位置也不同．当点E 在BC 边的某一位置时，点N 恰好落在折痕AE 上，则∠=AEF 度． 在图①中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM 与NF 的交点为点P ．求证ANP FNE △≌△：．（2）若AB =AP 的长为 ．【答案】操作一：45°，操作二：60°；（1）证明见解析；（2）2【分析】操作一：直接利用折叠的性质，得出两组全等三角形，从而得出BAE EAM ∠=∠,,MAF FAD ,从而得出①EAF 的值；操作二：根据折叠的性质得出,ABEAME CEF NEF ,从而得出BEA AEF FEC ，即可求得AEF ∠的度数；（1）首先利用60AEF ∠=︒ ,得出30,15NAP PAF ,则45NAF ∠=︒,从而得出①ANF 为等腰直角三角形，即可证得ANP FNE △≌△；（2）利用三角函数或者勾股定理求出BE 的长，则BE EM =,设DF =x ，那么FC x ，在Rt ①EFC 中，利用勾股定理得出DF 的长，也就是MF 的长，即可求得EF 的长，进而可得结果．【详解】操作一：45°，证明如下：①ABE △折叠得到AME △ ,ADF 折叠得到AMF ,①,ABEAME ADF AMF , ①11,22BAEMAE BAM MAF DAF MAD , ①111()222EAF EAM MAF BAM MAD BAM MAD190452=⨯︒=︒, 故填：45°；操作二：60°，证明如下：①ABE AME ， ①BEA AEM ,又①CEF △沿着EF 折叠得到ENF △ ,①CEF NEF ， ①NEF FEC , ①1603BEAAEF FEC BEC , 故填：60°；（1）证明：由上述证明得CEF NEF ,60NEC CEF , ①NFE CFE ,CENF ①四边形ABCD 为正方形，①①C =①D =90°，①30CFE NFE ,90ENF ANF , 又①ADFAMF , ①90D AMF ,在ANP 和PMF △中，①90,ANPPMF NPA MPF , ①30NAPMFP , ①30BAENAP , ①15MAFFAD ， ①301545NAF NAP PAF ,①ANF 为等腰直角三角形，即AN =NF ,在ANP 和FNE 中：①NAP NFE AN NF ANP ENF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ANP FNE ASA △≌△（2）由题可知ABE △是直角三角形，30BAE ∠=︒, ①3tan 33BE BE BAEAB , 解得BE =1,①BE =EM =1,31EC ,设DF =x，则MF =x ，CF x ，在Rt ①CEF 中，222CECF EF +=2221)(3)(1)x x，解得x =3， 则1232x EF ，①()ANP FNE ASA △≌△①AP =EF =2-．【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练运用折叠的性质，找出全等三角形．12．（2021·湖南中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，N 是BC 边上的一点，D 为AN 的中点，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于T ，且AT BN =，连接BT ．（1）求证：BN CN =；（2）在如图中AN 上取一点O ，使AO OC =，作N 关于边AC 的对称点M ，连接MT 、MO 、OC 、OT 、CM 得如图．①求证：TOM AOC ∽；①设TM 与AC 相交于点P ，求证：1//,2PD CM PD CM =． 【答案】(1)见解析；(2)①见解析，①见解析．【分析】（1）先用//AT BN ，且AT BN =证明出四边形ATBN 是平行四边形，得到①TAD ①①CND ，用对应边相等与等量代换，从而得出结论．（2）①连接AM 、MN ，利用矩形的性质与等腰三角形的性质，证明出①OCM 是直角三角形，证明出Rt ①OAT ①Rt ①OCM ，得到对应角相等，则得到答案；①连接OP ，由①中TOM AOC ∽，得到①OTM =①OAP ，点O 、T 、A 、P 共圆，由直径所对的圆周角为直角，证明出①OPT =90①，再根据等腰三角形的三线合一性得出结论．【详解】证明：（1）①//AT BC ，且AT BN =①//AT BN ，且AT BN =，①四边形ATBN 是平行四边形，①//AN TB ，①①DTA =①DCN ，①①ADT =①NDC ，①点D 为AN 的中点，①AD =ND ，①①TAD ①①CND （AAS ）①TA=CN，①AT BN，①BN=CN，（2）①如图所示，连接AM、MN，①点N关于边AC的对称点为M，①①ANC①①AMC，①①ACN=①ACM，①AB=AC，点N为AC的中点，①平行四边形ATBN是矩形，①①TAB=①ABN=①ACN=①ACM，①BAN=①MAC=①CAN，AT=BN=NC=MC，①OA=OC，①①CAN=①ACO，①①TAB+①BAN=①ACM+①ACO=90①，①①OAT=①OCM=90①，在Rt①OAT和Rt①OCM中，①AT=CM，①OAT=①OCM ，OA=OC，①Rt①OAT①Rt①OCM（SAS），①①AOT=①COM，OT=OM，①①AOT+①AOM=①COM+①AOM，①①TOM=①AOC①OA=OC，OT=OM，①OT OM OA OC=，①TOM AOC∽；①如图所示，连接OP，①TOM AOC∽，①①OTM=①OAP，①点O、T、A、P共圆，①①OAT=90①，①OT为圆的直径，①①OPT=90①，①OT=OM，①点P为TM的中点，①由（1）得①TAD①①CND，①TD=CD，①点D为TC的中点，①DP为①TCM的中位线，①1//,2PD CM PD CM．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、以及相似三角形的判定与性质、圆中直径的性质，关键在于通过等量代换，换出角相等，证明出直角三角形全等，再证明三角形相似．13．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，BD是半径为3的①O的一条弦，BD＝，点A是①O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD．（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．①求证：平行四边形ABCD是菱形；①求平行四边形ABCD的面积．（2）若点A运动到优弧BD上，且平行四边形ABCD有一边与①O相切．①求AB的长；①直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．【答案】①证明见解析；①（2）①AB；【分析】=，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得证；①连接AO，（1）①利用等弧所对的弦相等可得AD AB交BD于点E，连接OD，根据垂径定理可得DE BE==OE的长，即可求解；（2）①分情况讨论当CD与O相切时、当BC与O相切时，利用垂径定理即可求解；①根据等面积法求出AH的长度，利用勾股定理求出DH的长度，根据正切的定义即可求解．【详解】解：（1）①①点A是劣弧BD的中点，①AD AB=，①AD AB=，①四边形ABCD是平行四边形，①平行四边形ABCD是菱形；①连接AO，交BD于点E，连接OD，，①点A 是劣弧BD 的中点，OA 为半径，①OA BD ⊥，OA 平分BD ，①DE BE ==①平行四边形ABCD 是菱形，①E 为两对角线的交点，在Rt ODE △中，1OE ==,①2AE =，①122ABCD S BD AE =⋅⨯=； （2）①如图，当CD 与O 相切时，连接DO 并延长，交AB 于点F ，①CD 与O 相切，①DF CD ⊥，①2AB BF =，①四边形ABCD 是平行四边形，①//AB CD ，①DF AB ⊥，在Rt BDF △中，()2222323BF BD DF OF =-=-+，在Rt BOF △中，22229BF BO OF OF =-=-，①()223239OF OF -+=-，解得73OF =，①BF =①2AB BF == 如图，当BC 与O 相切时，连接BO 并延长，交AD 于点G ，同理可得AG DG ==73OG =，所以AB ==综上所述，AB ①过点A 作AH BD ⊥，，由（2）得：7163,33BD AD BG ===+= 根据等面积法可得1122BD AH AD BG ⋅=⋅， 解得329AH =，在在Rt ADH 中，DH ==①HI ==①tan AH AIH HI ∠== 【点睛】本题考查垂径定理、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等内容，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 14．（2021·青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作60,30,15︒︒︒等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开（如图13-1）． 第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN （如图13-2）．猜想论证：（1）若延长MN 交BC 于点P ，如图13-3所示，试判定BMP 的形状，并证明你的结论．拓展探究：（2）在图13-3中，若AB a BC b ==，，当a b ，满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD 中剪出符（1）中的等边三角形BMP ？【答案】(1)BMP 是等边三角形，理由见解析；（2）a ≤，理由见解析 【分析】（1）连接AN ，由折叠性质可得ABN 是等边三角形， 30PBN ∠=︒，30ABM NBM ∠=∠=︒，然后可得到 60MBP BMP ∠=∠=︒，即可判定 BMP 是等边三角形．（2）由折叠可知BC BP ≥，由（1）可知BP BM =，利用 30︒的三角函数即可求得．【详解】（1）解：BMP 是等边三角形，证明如下：连接AN ．由折叠可知：AB BN =，EF 垂直平分AB ．①AN BN =，①AN AB BN ==，①ABN 为等边三角形，①60ABN ∠=︒，①30PBN ∠=︒，①30ABM NBM ∠=∠=︒，90BNM BAM ∠=∠=︒，①60BMP ∠=︒，①60MBP BMP BPM ∠=∠=∠=︒，①BMP 是等边三角形．（2）解：方法一：要在矩形纸片ABCD 上剪出等边BMP ，则BC BP ≥，在Rt BNP △中，BN BA a ==，30PBN ∠=︒，①cos30a BP ==︒， ①BC BP ≥，①b ≥，即a ≤，当a ≤或（b a ≥）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边BMP ． 方法二：要在矩形纸片ABCD 上剪出等边BMP ，则BC BP ≥，在Rt BNP △中，30NBP ∠=︒，BN AB a ==，设NP x =，则2BP x =，①222BP NP BN -=，即()2222x x a -=，得3x a =，①BP =， ①BC BP ≥，①3b a ≥，即2a ≤，当a ≤（或b a ≥）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边BMP ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，及锐角三角函数的应用，正确理解折叠性质灵活运用三角函数解直角三角形是解本题的关键．15．（2021·海南中考真题）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 上一点，且点E 不与点B C 、重合，点F 是BA 的延长线上一点，且AF CE =．（1）求证：DCE DAF ≌；（2）如图2，连接EF ，交AD 于点K ，过点D 作DH EF ⊥，垂足为H ，延长DH 交BF 于点G ，连接,HB HC ．①求证：HD HB =；①若DK HC ⋅=，求HE 的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；①1HE =．【分析】（1）直接根据SAS 证明即可；（2）①根据（1）中结果及题意，证明DFE △为等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线即可证明HD HB =；①根据已知条件，先证明DCH BCH ≌，再证明DKF HEC ∽，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出HE 的长．【详解】（1）证明：①四边形ABCD 是正方形，,90CD AD DCE DAF ∴=∠=∠=︒．又CE AF =，DCE DAF ∴≌．（2）①证明；由（1）得DCE DAF ≌，,DE DF CDE ADF ∴=∠=∠．90FDE ADF ADE CDE ADE ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．DFE ∴为等腰直角三角形．又DH EF ⊥，∴点H 为EF 的中点．12HD EF ∴=． 同理，由HB 是Rt EBF △斜边上的中线得，12HB EF =． HD HB ∴=．①①四边形ABCD 是正方形，CD CB ∴=．又,HD HB CH CH ==，DCH BCH ∴≌．45DCH BCH ∴∠=∠=︒．又DEF 为等腰直角三角形，45DFE ∴∠=︒．HCE DFK ∴∠=∠．四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴．DKF HEC ∴∠=∠．DKF HEC ∴∽．DK DF HE HC∴=． DK HC DF HE ∴⋅=⋅．又①在等腰直角三角形DFH 中，DF ==2DK HC DF HE ∴⋅=⋅==1HE ∴=．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线以及等腰直角三角形的性质，熟知图形的性质与判定是解决本题的关键．16．（2021·甘肃中考真题）问题解决：如图1，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，,DE AF DE AF =⊥于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长CB 到点H ，使得BH AE =，判断AHF △的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，DE 与AF 相交于点G ，,60,6,2DE AF AED AE BF =∠=︒==，求DE 的长．【答案】问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD 是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合DE AF ⊥和90DAE ∠=︒可知BAF ADG ∠=∠，再利用矩形的边角性质即可证明ABF DAE ≌，即AB AD =，即可求解； （2）由（1）中结论可知AE BF =，再结合已知BH AE =，即可证明ABH DAE △≌△，从而求得AHF △是等腰三角形；类比迁移：由前面问题的结论想到延长CB 到点H ，使得6BH AE ==，结合菱形的性质，可以得到ABH DAE ∆∆≌，再结合已知60AED ∠=︒可得等边AHF ∆，最后利用线段BF 长度即可求解．【详解】解：问题解决：（1）证明：如图1，①四边形ABCD 是矩形，90ABC DAB ∴∠=∠=︒．90BAF GAD ∴∠+∠=︒．,90DE AF ADG GAD ⊥∴∠+∠=．BAF ADG ∴∠=∠．又,,AF DE ABF DAE AB AD =∴∴=≌．①矩形ABCD 是正方形．（2）AHF △是等腰三角形．理由如下：,90,AB AD ABH DAE BH AE =∠=∠=︒=，,ABH DAE AH DE ∴∴=≌．又,DE AF AH AF =∴=，即AHF △是等腰三角形．类比迁移：如图2，延长CB 到点H ，使得6BH AE ==，连接AH ．①四边形ABCD 是菱形，,,AD BC AB AD ABH BAD ∴=∴∠=∠∥．,BH AE ABH DAE =∴∆≌．,60AH DE AHB DEA ∴=∠=∠=︒．又,DE AF AH AF =∴=．60,AHB AHF ∠=︒∴是等边三角形，AH HF ∴=，628DE AH HF HB BF ∴===+=+=．【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．17．（2021·四川中考真题）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN∠的度数及MN PM的值；（3）在（2）的条件下，若BC =PMN 面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）135PMN ∠=；MN PM（3）14 【分析】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可． （2）PMN ∠的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，MN PM 的比值转换为AF CE的比值即可求得. （3）过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ，12PMN S MN PQ =△，将相关线段关系转化为CE ，可得关系218PMN S CE =△，观察图象，当CE BC == 【详解】（1）证明：①90ACB ∠=︒，AC BC =。

2021学年中考数学重难题型突破规律探究含解析

2021学年中考数学重难题型突破规律探究含解析

中考数学重难题型突破：规律探究“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。

这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。

不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。

因此规律探究类问题一直成为命题的热点。

1、规律探索型问题的特点：基础知识广、形式灵活善变、思维量大、解法多样化2、基本题型：数式规律、图形规律、数形结合规律等。

多以填空题和选择题出现，近几年，解答题的规律探究题型开始增多。

3、规律探究类问题架构：题组一模块一一阶等差规律探究规律探究——第一次做差为常数一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。

主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。

这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。

1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。

2、一阶等差的实质：通过观察图形可知：后一幅图形比前一幅图形多了一个在每一幅图形中，找出个数，把图形按规律表示如下：113+⨯ 123+⨯ 133+⨯ 13+⨯n由一阶等差的实质可得规律为：b dn a n +=。

d 为求出的不变差，b 的求解可带第一组值求解。

3、首差法通项公式（通法）(1)(2)(3)……（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个数记为n a （2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为d ，即=d 后项—前项 （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：d n a a n )1(1-+=（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点),(n a n ，设通项公式为：b kn a n +=，代入前2组数据，通过解一次函数方法，即可得到通项公式；例1如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要 枚棋子．【规范答题】法一：套通项公式。

2021年初三年级中考数学《规律探索》精选

2021年初三年级中考数学《规律探索》精选

2021年初三年级中考数学《规律探索》精选----1b656300-6ea2-11ec-8de2-7cb59b590d7d一.选择题1.我们将图中所示两种排列形式中的点数称为“三角形数”（如1、3、，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（）a．33b．301c．386d．5712.如图所示，下列数字是根据一定规律由相同的玫瑰制成的。

如果第n个数字中有120朵玫瑰，则n的值为(）a、 b。

中空白处的是（）a．28b．29c．30d．313.如图所示，小正方形是按照一定的规则放置的。

以下四个选项中的图片适用于填充图b.c．d．一百二十三万四千五百六十七4.观察下列算式：2=2，2=4，2=8，2=16，2=32，2=64，2=128，8234510182=256…，则2+2+2+2+2+…+2的末位数字是（）a．8b、六,c．4d、 0二填空题1.如图所示，在平面直角坐标系中，△ p1oa1，△ p2a1a2，△ p3a2a31等腰直角三角形，其直角顶点p（3），p2，p3，…均在直线y=x+4上．设△p1oa1，△p2a1a2，△p3a2a3，…的面积分别为13，3s1，S2，S3，。

，根据图中反映的规律，s2022=2.如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点a1的坐标为（1，0），交叉点A1作为x轴的垂直线，在点D1处与线L相交，以a1d1为边，形成正方形a1b1c1d1；使直线L的垂直线穿过点C1，垂直底脚为A2，在点B2处与x轴相交，并以a2b2为边制作一个正方形a2b2c2d2；交叉点C2作为x轴的垂直线，垂直底脚为A3，交叉线L在点D3处，以a3d3为边，形成正方形a3b3c3d3，。

根据本法操作得到的平方面积为___3.如图，在平面直角坐标系中，点a1，a2，a3，…和b1，b2，b3，…分别在直线y=x+b和x轴上．△oa1b1，△b1a2b2，△b2a3b3，…都是等腰直角三角形．如果点a1（1，1），那么点a2021的纵坐标是十五4.已知：2+222323424525b2b=2×，3+=3×，4+=4×，5+=5×，…，如果根据上一公式的规则338815152424aa，10+=10×则a+B=4.将从1开始的连续自然数按如图规律排列：指定行m和列n中的自然数10被记录为（3, 2），自然数15被记录为（4, 2），根据该定律，自然数2022被记录为：的结果的个位数字是．01234501220225.观察下列等式：3=1，3=3，3=9，3=27，3=81，3=243，…，根据其中规律可得3+3+3+…+36.如图所示，已知等边的边长△ ABC是2。

2021年内蒙古中考数学重点题型专项训练：规律探索题

2021年内蒙古中考数学重点题型专项训练：规律探索题

规律探究题类型一数式规律★1.观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，那么第11个数是()A.－121B. －100C.100D. 121B【解析】本组数的第n个数的绝对值是(n－1)2，从第三个数开场，奇数项为负数，偶数项为正数，故第 11 个数是负数，绝对值是(11－1)2＝100，即第 11 个数是－100.★2.一列单项式：－a2，3a3，－5a4，7a5，…，按此规律排列，那么第 7 个单项式为________．－13a8n 为偶数时，符号为符号－＋－＋… 正，n为奇数时，符号为负∴第 7 个单项式为－13a8.28 11 14★3.按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，37 9 11 1713，…，按此规律，这列数中的第 100 个数是________．299201【解析】1＝55，观察这列数的规律，可以发现其分母为相邻两个数相差 2 的数列，分子为相邻两个数相差 3 的数列，由此可推断第 n 个数的分子为2＋3(n－1)＝3n－1，对应分母的值为 3＋2(n－1)＝2n＋1，∴第n个数为3n－1，令n＝100 2n＋1可得第 100 个数为299201.类型二 数式周期变化规律★1.如图，是一个数字程序运算框图，假设输入的 x 为 3，第一次运算后，输出的结果为13，第二次运算后，输出的结果为32，第三次运算后，输出的结果为－2，…，按照这样的规律，第 2021 次运算后，输出的结果为________．第 1 题图3【解析】根据题意，输入 3，∵3 为整数，∴第一次运算1 11 3 输出结果为 ，∵ 为分数，∴第二次运算输出结果为 1＝ ， 3 3 1－2 3∵32为分数，∴第三次运算输出结果为1－132＝－2，∵－2是整数，∴第四次运算输出结果为－12＝－12，∵－12是分数，∴第五次运算输出结果为11 ＝2，∵2是分数，∴第六1－〔－2〕33次运算输出结果为12＝3，∵3 是整数，∴第七次运算输出1－3结果为13，…，由此可知，输出结果呈循环规律，且循环结是6，∵2021÷6＝336……2，∴第 2021 次运算输出结果和第二 次运算输出结果一样，为32.类型三 图形累加规律★1.如图，用同样大小的黑色棋子按如下图的规律摆 放：第 1 题图那么第⑦个图案有________个黑色棋子．19【解析】列表如下：∴第⑦个图案中棋子的个数为 1＋3×(7－1)＝19.★2.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和 6 个等边三角形组成；第 2 个图由 2 个正六边形、11个正方形和 10 个等边三角形组成；第 3 个图由 3 个正六边形、16个正方形和 14 个等边三角形组成，…，按照此规律，第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．第 2 题图3＋9n【解析】如下表：第 n正六正方形等边三角形个图边形类型四图形循环规律★1.如图，在直角坐标系中，点A(－3，0)、B(0，4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3，…，那么△2021 中最小角的顶点坐标为________．第 1 题图(8068，0)【解析】在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝OA2＋OB2＝32＋42＝5，OA＋OB＋AB＝3＋4＋5＝12，由题图可知，每 3 个三角形为一个循环组依次循环，∵2021÷3＝672……2 ，∴△2021是第 673 个循环的第二个三角形，∴12×672＋4＝8068.△2021中最小角的顶点坐标为(8068，0)．★2.把多块大小不同的30°直角三角板如下图摆在平面直角坐标系中，第一块三角板 AOB 的一条直角边与 y 轴重合且点 A 的坐标为(0，1)，∠ABO＝30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边 AB 垂直且交 y 轴于点 B1；第三块三角板的斜边 B1B2与第二块三角板的斜边 BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交y 轴于点B3；…，按此规律继续下去，那么点B2021的坐标为________.(0，－31009)【解析】∵A(0，1)，∴OA＝1，∵∠ABO＝30°，AO ＝3，∴B(－3，0)，同理tan∠ABO ∠AOB＝90°，∴BO＝可得 B 1(0，－3)，B2(33，0)，B3(0，9)，B4(－93，0)，…，∴B4n(－( 3)4n＋1，0)，B4n＋1(0，－(3)4n＋2)，B4n＋2((3)4n＋3，0)，B4n＋3(0，( 3)4n＋4)，∵2021÷4＝504……1，∴B2021(0，－(3)2021)，即B 2021(0，－31009)．类型五图形递变规律★1.如图，OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以 OA1为直角边作等腰直角三角形 A2A1O，如此下去，那么线段 OA n的长度为________．第 1 题图n(2)n(或22 )【解析】由等腰直角三角形的性质可知，OA1＝2OB＝2，OA 2＝2OA1＝2×2＝2，OA3＝2OA2＝2×2n＝22，…，OA n＝(2)n＝22 .★2.如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为 60°，过点A(0，1)作y轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1，以 A1B、BA为邻边作▱ ABA1C1；过点 A1作 y轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点B1作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2，以A2B1、B1A1为邻边作第 2 题图▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，那么点 C n的坐标是________．(－3×4n -1，4n)【解析】∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为 60°，∴直线l的解析式为y＝33x.∵AB⊥y轴，点 A(0，1)，∴可设 B 点坐标为(x，1)，将 B(x，1)代入 y＝33x，得1＝33x，解得 x＝3，∴B点坐标为(3，1)，AB＝ 3.在 Rt △A 1AB 中，∠AA 1B ＝90°－60°＝30°，∠A 1AB ＝ 90° ， ∴AA 1 ＝ 3 AB ＝ 3 ， OA 1 ＝OA ＋AA 1 ＝ 1 ＋ 3 ＝ 4.∵ 在▱ ABA 1C 1 中，A 1C 1＝AB ＝3，∴C 1 点的坐标为(－3，4)，即(－3×40，41)；由 33x ＝4，解得 x ＝43，∴B 1 点坐标为(43，4)，A 1B 1＝4 3.在 Rt △A 2A 1B 1 中，∠A 1A 2B 1＝30°，∠A 2A 1B 1＝90°，∴A 1A 2＝3A 1B 1＝12，OA 2＝OA 1＋A 1A 2＝4＋12＝16，∵在▱ A 1B 1A 2C 2 中，A 2C 2＝A 1B 1＝43，∴C 2 点的坐标为(－43，16)，即(－3×41，42)；同理可得 C 3 点的坐标为(－163，64)，即(－3×42，43)；以此类推，那么 C n 的坐标是(－3×4n-1，4n ).。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专题31规律探究题 （共33题）一、单选题1．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23-B ．13C ．12-D ．232．（2021·湖北中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）A ．2025B ．2023C ．2021D ．20193．（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（ ） A ．23B ．511C ．59D ．124．（2021·湖北中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p 的值为（ ）A ．100B ．121C ．144D ．1695．（2021·山东临沂市·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg 镭缩减为1mg 所用的时间大约是（ ）A ．4860年B ．6480年C ．8100年D ．9720年6．（2021·四川达州市·中考真题）在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11A OB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（ ）A ．()202020202,2-B ．()202120212,2C ．()202020202,2D ．()201120212,2-7．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯二、填空题8．（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．9．（2021·陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a 的值为______．10．（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．11．（2021·江苏扬州市·中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．12．（2021·甘肃武威市·中考真题）一组按规律排列的代数式：2335472,2,2,2a b a b a b a b +-+-，…，则第n 个式子是___________．13．（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．14．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________．15．（2021·黑龙江中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点16．（2021·四川中考真题）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．17．（2021·四川中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．18．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)19．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．20．（内蒙古呼伦贝尔2021年中考数学试卷）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ，以11A B 为边向右作正方形1112A B C A ，延长21A C 交直线l 于点2B ；以22A B 为边向右作正方形2223A B C A ，延长32A C 交直线l 于点3B ；……；按照这个规律进行下去，点2021B 的坐标为___________．21．（2021·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点()11,1P --；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点2P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点3P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4P ，…，按此作法进行下去，则点2021P 的坐标为___________．22．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，11OA B ，122A A B ，233A A B △…，1n n n A A B -都是斜边在x 轴上的等腰直角三角形，点1A ，2A ，3A ，…，n A 都在x 轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 都在反比例函数()10y x x=>的图象上，则点n B 的坐标为__________．（用含有正整数n 的式子表示）23．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，一次函数y x =与反比例函数1y x=（0x >）的图象交于点A ，过点A 作AB OA ⊥，交x 轴于点B ；作1//BA OA ，交反比例函数图象于点1A ；过点1A 作111A B A B ⊥交x 轴于点B ；再作121//B A BA ，交反比例函数图象于点2A ，依次进行下去，……，则点2021A 的横坐标为_______．24．（2021·山东中考真题）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作1B l ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形3343A B B C ，延长的43B C 交x 轴于点4A ；…；按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为________（结果用含正整数n 的代数式表示）．25．（2021·湖北中考真题）如图，过反比例函数()0,0ky k x x=>>图象上的四点1P ，2P ，3P ，4P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，2A ，3A ，4A ，再过1P ，2P ，3P ，4P 分别作y 轴，11P A ，22P A ，33P A 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，4S ，1122334OA A A A A A A ===，则1S 与4S 的数量关系为_____________．26．（2021·四川）如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐．．标．为______．27．（2021·山东东营市·中考真题）如图，正方形1ABCB 中，AB =AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．28．（2021·黑龙江中考真题）如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1A C 为一边，在BC 的延长线上作菱形111A CC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．29．（2021·吉林长春市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB 的斜边OA 在y 轴上，2OA ，点B 在第一象限．标记点B 的位置后，将AOB 沿x 轴正方向平移至111AO B 的位置，使11A O 经过点B ，再标记点1B 的位置，继续平移至222A O B △的位置，使22A O 经过点1B ，此时点2B 的坐标为__________．30．（2021·湖北荆门市·中考真题）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行 第________列．31．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为11a =，第二个图形表示的三角形数记为23a =，…，则第n 个图形表示的三角形数n a ＝___．（用含n 的式子表达）32．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．33．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图①中有5个三角形，图①中有11个三角形，图①中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】 专题31规律探究题 试题解析（共33题）一、单选题1．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ）A ．23-B ．13C ．12-D ．23【答案】D 【分析】 当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】 解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律， 202136732=⨯+，2021223a a ∴==， 故选：D ． 【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．2．（2021·湖北中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）A ．2025B ．2023C ．2021D ．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可． 【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1， ①第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985， 根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2， ①第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023， 故选：B ． 【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题． 3．（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（ ） A ．23B ．511C ．59D ．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案． 【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+ 当3n =时的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102= 故选：D ． 【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．4．（2021·湖北中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p 的值为（ ）A ．100B ．121C ．144D ．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可． 【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-， ①第n 个图中的143q =， ①2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去) ①2=121p n =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．5．（2021·山东临沂市·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg 镭缩减为1mg 所用的时间大约是（ ）A ．4860年B ．6480年C ．8100年D ．9720年【答案】C 【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案． 【详解】 解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的12， 再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的21142=， 再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的31182=， ...，①再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的511232=， 此时132132⨯=mg ， 故选C ． 【点睛】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．6．（2021·四川达州市·中考真题）在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11A OB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（ ）A ．()202020202,2-B ．()202120212,2C ．()202020202,2D ．()201120212,2-【答案】C 【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题． 【详解】解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周， 20216371......5÷=，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒ ，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=22，()2020202020212,2A ∴，故选：C ． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．7．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B 【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】 解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，①944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B ． 【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题8．（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn + 【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+， 第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+， …则第n 项是12n n +； 故答案为：12n n +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．9．（2021·陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a 的值为______．【答案】-2 【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和，再利用第二列三个数之和得到a 的值． 【详解】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为1616--+=-，①626a -++=-， ①2a =-， 故答案为：2-． 【点睛】本题考查了数字之间的关系，解决本题的关键是读懂题意，正确提取表中数据，找到它们之间的关系等，该题对学生的观察分析能力有一定的要求，同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功． 10．（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________． 【答案】2m m - 【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++的和，即可计算1001011011992222++++的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=-．①1002=m ①23991000222222=2m m +++++==，①22991001012222222+++++=-，①10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=．……①1999922m =． 故10010110110199992222222m m m ++++=+++．令012992222S ++++=①12310022222S ++++=②①-①，得10021S -= ①10010110110199992222222m m m ++++=+++=()100221m m m -=-故答案为：2m m -． 【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．11．（2021·江苏扬州市·中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275 【分析】首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可． 【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1， 第①个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第①个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第①个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，...第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...， 其中每3个数中，都有2个能被3整除， 33÷2=16...1， 16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275， 故答案为：1275． 【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．12．（2021·甘肃武威市·中考真题）一组按规律排列的代数式：2335472,2,2,2a b a b a b a b +-+-，…，则第n 个式子是___________． 【答案】()12112n n n a b +-+-⋅【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a 的次数是式子的序号；第二项中b 的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号． 【详解】解：①当n 为奇数时，()111n +-=；当n 为偶数时，()111n +-=-，①第n 个式子是：()1211?2n n n a b +-+-．故答案为：()1211?2n n n a b +-+-【点睛】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．13．（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题． 14．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________．【答案】()221n n --．【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．【详解】解：①22110=-，22321=-，22532=-，…①第n 个等式为：()22211n n n -=-- 故答案是：()221n n --．【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键． 15．（2021·黑龙江中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -． 【详解】解：2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点； 4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点； 5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点； ⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=． 故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1) 2n n ．16．（2021·四川中考真题）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，...拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．17．（2021·四川中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n =()12n n +，列一元二次方程求解可得． 【详解】解：①第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……①第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n =()12n n +，当共有210个小球时， ()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，①第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n ．18．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n +2n ×(n -1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n ．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．19．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ①x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =①1OM MN ==，MON ∠=45°①1ONM =∠90°①1ON NM =①1ON NM ⊥①11OM MM ==①1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）①2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.20．（内蒙古呼伦贝尔2021年中考数学试卷）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ，以11A B 为边向右作正方形1112A B C A ，延长21A C 交直线l 于点2B ；以22A B 为边向右作正方形2223A B C A ，延长32A C 交直线l 于点3B ；……；按照这个规律进行下去，点2021B 的坐标为___________．【答案】202020202019202033(,)22【分析】由题意分别求出A 1、A 2、A 3、A 4……A n 、B 1、B 2、B 3、B 4……B n 、的坐标，根据规律进而可求解．【详解】解：①点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ， ①1(2,0)A ，1(2,1)B ，①A 1B 1=1，根据题意，OA 2=2+1=3，①2(3,0)A ，23(3,)2B ， 同理，39(,0)2A ，399(,)24B ， 427(,0)4A ，42727(,)48B …… 由此规律，可得：123(,0)2n n n A --，112133(,)22n n n n n B ----， ①20211202112021202122021133(,)22B ----即2020202020212019202033(,)22B ， 故答案为：202020202019202033(,)22． 【点睛】本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．21．（2021·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点()11,1P --；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点2P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点3P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4P ，…，按此作法进行下去，则点2021P 的坐标为___________．【答案】(1011,1011)--【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点2345,,,P P P P 的坐标，再归纳类推出一般规律即可得．【详解】解：由题意得：2(12,12)P -+-+，即2(1,1)P ，3(13,13)P --，即3(2,2)P --，4(24,24)P -+-+，即4(2,2)P ，5(25,25)P --，即5(3,3)P --，观察可知，点1P 的坐标为(1,1)--，其中1211=⨯-， 点3P 的坐标为(2,2)--，其中3221=⨯-，点5P 的坐标为(3,3)--，其中5231=⨯-，归纳类推得：点21n P -的坐标为(,)n n --，其中n 为正整数，2021210111=⨯-，∴点2021P 的坐标为(1011,1011)--，故答案为：(1011,1011)--．【点睛】本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 22．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，11OA B ，122A A B ，233A A B △…，1n n n A A B -都是斜边在x 轴上的等腰直角三角形，点1A ，2A ，3A ，…，n A 都在x 轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 都在反比例函数()10y x x=>的图象上，则点n B 的坐标为__________．（用含有正整数n 的式子表示）【答案】【分析】根据等腰直角三角形的性质，得到1B 的横，纵坐标相等，在结合反比例函数解析式求得该点的坐标，再根据等腰三角形的性质和反比例函数的解析式首先求得各个点的坐标，发现其中的规律，从而得到答案．【详解】11OB A △为等腰三角形∴直线1OB 的解析式为y x = 由题意得：1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =()111B ∴，1OB ∴=112OA ∴==()12,0A ∴122A A B △为等腰三角形∴设直线12A B 的解析式为y x b =+02b ∴=+，解得2b =-∴直线12A B 的解析式为2y x =- ∴21y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =)21B ∴21222B A A y ∴==∴点2A ()233A A B △为等腰三角形∴设直线23A B 的解析式为1y x b =+∴10b =解得1b =-∴直线23A B的解析式为y x =-1y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得x =∴3B 综上可得：点()111B ，，点)21B，点3B 总结规律可得n B坐标为：故答案为：【点睛】 本题综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标，解答本题的关键是找出其中的规律求出坐标．23．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，一次函数y x =与反比例函数1y x=（0x >）的图象交于点A ，过点A 作AB OA ⊥，交x 轴于点B ；作1//BA OA ，交反比例函数图象于点1A ；过点1A 作111A B A B ⊥交x轴于点B ；再作121//B A BA ，交反比例函数图象于点2A ，依次进行下去，……，则点2021A 的横坐标为_______．【分析】由点A 是直线y x =与双曲线1y x=的交点，即可求出点A 的坐标，且可知45AOB ∠=︒，又AB AO ⊥可知AOB ∆是等腰直角三角形，再结合1BA OA //可知11BA B ∆是等腰直角三角形，同理可知图中所有三角形都是等腰直角三角形，由求2021A 的坐标，即n A 的坐标（n =1,2,3……），故想到过点2021A 作20212021A C x ⊥轴，即过n A 作n n A C x ⊥轴．设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为2m +，再利用点1A 在双曲线上即可求解1A 坐标，同理可得2021A 的坐标．【详解】解：过n A 作n n A C x ⊥轴于点n C点A 是直线y x =与双曲线1y x=的交点 1y x y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩ ()1,1A ∴1,45OC AC AOC ∴==∠=︒AB AO ⊥∴AOB ∆是等腰直角三角形∴22OB AC ==1BA OA //∴11BA B ∆是等腰直角三角形∴111AC BC =设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为12m +点1A 在双曲线上∴()1121m m +=解得11m =设2A 的纵坐标为()20m m >，则2A 的横坐标为12222m m m ++=∴()221m m =解得2m =同理可得3m =由以上规律知：n m =2021m ∴2021A∴2021A =【点睛】 本题考察一次函数、反比例函数、交点坐标的求法、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用和规律探究，属于综合几何题型，难度偏大．解题的关键是结合等腰直角三角形的性质做出辅助线，并在计算过程中找到规律．24．（2021·山东中考真题）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作1B l ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形3343A B B C ，延长的43B C 交x 轴于点4A ；…；按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为________（结果用含正整数n 的代数式表示）．【答案】1322n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【分析】 根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第n 个正方形的边长．【详解】 解：点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，∴点1B 纵坐标为1．1OB ∴==分别过1B ，14,,C C ⋅⋅⋅作x 轴的垂线，分别交于14,,,D D D ⋅⋅⋅，下图只显示一条；。

相关文档
最新文档