4.1 不定积分的概念与性质
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4-1 不定积分的概念与性质(高等数学)
第4章 不定积分§4.1 不定积分的概念与性质教学内容：一．原函数1.定义：设)(),(x f x F 是定义在区间I 上的函数，若对任意的I x ∈，都有)()(x f x F ='，或x x f x F d )()(d =，则称)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数．2.定理：（原函数存在定理）若函数()f x 在区间I 上连续，则在该区间上一定存在可导函数()F x ，使得对任意x I ∈都有()()F x f x '=，即区间上的连续函数一定有原函数．3.若)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，即)('x F =)(x f ，则C x F +)(也是)(x f 在区间I 上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.4.定理：设函数()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()f x 在区间I 上的任意一个原函数可以表示为()F x C +，其中C 是任意常数．二．不定积分的概念定义：如果)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，则()f x 在区间I 上带有任意常数的原函数C x F +)(称为)(x f 在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ⎰，即()d f x x ⎰=C x F +)(，其中，⎰称为积分号，)(x f 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量，任意常数C 称为积分常数．三．不定积分的几何意义对于确定的常数C ，()F x C +表示坐标平面上一条确定的曲线；当C 取不同的值时，C x F +)(表示一簇曲线．由()()f x dx F x C =+⎰可知，()f x 的不定积分是一簇曲线，这些曲线都可以通过一条曲线向上或向下平移而得到，它们在具有相同横坐标的点处有互相平行的切线．四．不定积分的性质性质1. (1)[()d ]f x x ' ⎰=)(x f ， 或 d[()d ]f x x ⎰=()d f x x ；(2) ⎰+='C x F x x F )(d )(， 或⎰+=C x F x F )()(d .性质2.⎰⎰=x x f k x x kf d )(d )(（k 为非零常数）.性质3.⎰⎰⎰±=±x x fx x f x x f x f d )(d )(d )]()([2121.五．基本积分公式表1．d k x kx C =+⎰（k 为常数）； 2．11d 1x x x C μμμ+=++⎰（1μ≠-）；3．1d ln ||x x C x =+⎰； 4．d ln x xa a x C a =+⎰；5．e d e x x x C =+⎰； 6．sin d cos x x x C =-+⎰；7．cos d sin x x x C =+⎰； 8．2sec d tan x x x C =+⎰；9．2csc d cot x x x C =-+⎰； 10．sec tan d sec x x x x C =+⎰；11．csc cot d csc x x x x C =-+⎰； 12．21d arctan arccot 1x x C x C x =+=-++⎰；13．d arcsin arccos x x C x C =+=-+.六．例题讲解例1.求不定积分 (1)2d x x ⎰； （2）1d x x ⎰．例2.若池塘结冰的速度由d d yt=给出，其中y 是自结冰起到时刻t 冰的厚度，k 是正常数，求结冰厚度y 关于时间t 的函数．例3.已知某曲线经过点(0,1)，并且该曲线在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试求该曲线的方程．例4.距离地面0x 处，一质点以初速度0v 铅直上抛，不计阻力，求它的运动规律．例5.求e 5d x xx -⎰． 例6.求x xx d 1⎰． 例7.求23)d x x - ．例8.求2(1)d x x x - ⎰． 例9.求221d (1)x x x x x ++ +⎰． 例10.求22d 1x x x +⎰．例11.求42d 1x x x +⎰. 例12.求2tan d x x ⎰． 例13.求2sin d 2x x ⎰． 例14.求22d sin cos x x x ⎰． 例15.求221d .sin cos22x x x ⎰例16.设()2||3f x x '=+，且(2)15f =，求()f x .。
不定积分一
x u (x2-a2)1/2
(C C1 ln a)
a
不定积分
（3）倒数代换
x a 1 解 : 令x t
2
x
1
2
dx
原式
1 1 a dt arccos(at ) C arccos C 2 a a x 1 (at )
1
不定积分
二、分步积分法
函数乘积的微分形式 函数乘积的积分形式。
不定积分
4、许多情况，换元法和分步积分法同时使用， 选取顺序很重要。如果顺序不当，计算很麻烦 甚至算不出来。p80 例29 例：
x e dx x de x e e dx x e 2 xe dx xe dx xe e dx xe e C
不定积分
sin 2 x 解二： f ' (sin 2 x) 1 2 sin 2 x 2 1 sin x x2 ' 2 f ( x) 1 2 x 2 1 x 2 3 1 1 x f ( x ) x ln C 3 2 1 x
不定积分
2、第二类换元法 (凑微分法无法进行)设 x (u )将积分 f ( x ) dx 化成[ f ( (u )) ' (u ) du ]
不定积分
（2）三角代换 1 例： dx ___令x a sec u x 2 a 2 atgu 2 2
x a dx a sec utgudu 原式 sec udu ln sec u tgu C1 x ln a x2 a2 C1 ln x x 2 a 2 C a
a0 x a1 x an1 x an P( x ) m m 1 Q( x) b0 x b1 x bm1 x bm
(C C1 ln a)
a
不定积分
（3）倒数代换
x a 1 解 : 令x t
2
x
1
2
dx
原式
1 1 a dt arccos(at ) C arccos C 2 a a x 1 (at )
1
不定积分
二、分步积分法
函数乘积的微分形式 函数乘积的积分形式。
不定积分
4、许多情况，换元法和分步积分法同时使用， 选取顺序很重要。如果顺序不当，计算很麻烦 甚至算不出来。p80 例29 例：
x e dx x de x e e dx x e 2 xe dx xe dx xe e dx xe e C
不定积分
sin 2 x 解二： f ' (sin 2 x) 1 2 sin 2 x 2 1 sin x x2 ' 2 f ( x) 1 2 x 2 1 x 2 3 1 1 x f ( x ) x ln C 3 2 1 x
不定积分
2、第二类换元法 (凑微分法无法进行)设 x (u )将积分 f ( x ) dx 化成[ f ( (u )) ' (u ) du ]
不定积分
（2）三角代换 1 例： dx ___令x a sec u x 2 a 2 atgu 2 2
x a dx a sec utgudu 原式 sec udu ln sec u tgu C1 x ln a x2 a2 C1 ln x x 2 a 2 C a
a0 x a1 x an1 x an P( x ) m m 1 Q( x) b0 x b1 x bm1 x bm
ppt-0401--不定积分的概念与性质
2 x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
不定积分的概念与性质
y
y x2 c
y = x2+1
o
x
那么 y = F (x) 一般，若 y = F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 所表示的曲线称为 f (x) 的一条积分曲线. 由于不定积分
个，因此，不定积分表示为一族积分曲线 y = F (x)
+C，称它为f (x)的积分曲线族. 这就是不定积分 的几何意义．
例9. 求
2
2
1 - cos x 1 dx 1 - cos x dx 解: 原式 = 2 2 1 ( x - sin x) C. 2
例8. 求 解:
x 2 x 2 2 tan x dx 2 dx tan xdx 2x sec2 x - 1 dx ln 2
dx
2
arctanx C ;
(4) 因为 (e x ) e x , 所以得
e x dx e x C .
二、 基本积分公式
(1) (2)
利用逆向思维
k dx x
x
kx C
1 x 1 1
( k 为常数)
dx
C
( -1)
dx (3) ln x C x
1 6 ò x dx = 6 x + C x a x ò a dx = ln a + C (a > 0,a
5
1)
二、拓展练习
求下列函数的全体原函数 （1）
f ( x) 5
2
（2）
f ( x) -2 x
1 g ( x) x
（3） g ( x )
（4）
三、不定积分的性质
从不定积分定义可知: d 性质1 f ( x)d x f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x) dx dx 性质2 F ( x) dx F ( x) C 或 d F ( x) F ( x) C 从此可见, 微分运算(以记号d表示)与求不定积分的 运算(简称积分运算,以记号 表示)是互逆的. 当记号 与d连在一起时, 或者抵消,或者抵消后差一个 常数.
y x2 c
y = x2+1
o
x
那么 y = F (x) 一般，若 y = F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 所表示的曲线称为 f (x) 的一条积分曲线. 由于不定积分
个，因此，不定积分表示为一族积分曲线 y = F (x)
+C，称它为f (x)的积分曲线族. 这就是不定积分 的几何意义．
例9. 求
2
2
1 - cos x 1 dx 1 - cos x dx 解: 原式 = 2 2 1 ( x - sin x) C. 2
例8. 求 解:
x 2 x 2 2 tan x dx 2 dx tan xdx 2x sec2 x - 1 dx ln 2
dx
2
arctanx C ;
(4) 因为 (e x ) e x , 所以得
e x dx e x C .
二、 基本积分公式
(1) (2)
利用逆向思维
k dx x
x
kx C
1 x 1 1
( k 为常数)
dx
C
( -1)
dx (3) ln x C x
1 6 ò x dx = 6 x + C x a x ò a dx = ln a + C (a > 0,a
5
1)
二、拓展练习
求下列函数的全体原函数 （1）
f ( x) 5
2
（2）
f ( x) -2 x
1 g ( x) x
（3） g ( x )
（4）
三、不定积分的性质
从不定积分定义可知: d 性质1 f ( x)d x f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x) dx dx 性质2 F ( x) dx F ( x) C 或 d F ( x) F ( x) C 从此可见, 微分运算(以记号d表示)与求不定积分的 运算(简称积分运算,以记号 表示)是互逆的. 当记号 与d连在一起时, 或者抵消,或者抵消后差一个 常数.
4.1 不定积分的概念与性质
11
නcsc cot d = − csc + ;
(12)
13
第一节 不定积分的概念与性质
第一节 不定积分的概念与性质
නe d = e + ;
+ ;
න d =
ln
(14)
නsinh d = cosh + ;
(15)
නcosh d = sinh + .
= ln | | +
第一节
第一节 不定积分的概念与性质
不定积分的概念与性质
第四章
第四章 不定积分
不定积分
(4)
(5)
1
න
d = arctan + ;
2
1+
1
න
d = arcsin + ;
1 − 2
(6)
නcos d = sin + ;
(7)
නsin d = − cos + ;
第一节 不定积分的概念与性质
′ = 2的积分曲线族
第四章 不定积分
例4 质点在距地面0 处以初速0 铅直上抛, 不计阻力, 求其运动规律.
解
取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上,
质点抛出时刻为 = 0, 此时质点位置为0 , 初速为0 .
设时刻质点所在位置为 = (), 则
不定积分.
′ () = ()
න()d = () +
积 被
分 积
号 函
数
第一节 不定积分的概念与性质
被
积
表
达
式
积
分
变
量
不定积分的概念与性质
注意：当k 0时， 0dx C(任意常数)，0 dx 0,
0dx 0 dx.
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例5
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
分项积分
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
说明： 被积函数需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
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例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 dy 2x, dx 即 f ( x)是2x 的一个原函数.
分项积分
加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
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思考与练习
1. 若
x2 f (ln x) d x
1 x2 C 2
提示:
ex
f (ln x) eln x 1 x
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2. 若
是 ex 的原函数 , 则
f
(ln x
x)
d
x
0dx 0 dx.
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例5
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
分项积分
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
说明： 被积函数需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
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例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 dy 2x, dx 即 f ( x)是2x 的一个原函数.
分项积分
加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
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思考与练习
1. 若
x2 f (ln x) d x
1 x2 C 2
提示:
ex
f (ln x) eln x 1 x
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2. 若
是 ex 的原函数 , 则
f
(ln x
x)
d
x
4.1 不定积分的概念和性质
x
csc2
x
d
x
cot
xLeabharlann C(10) sec x tan xd x sec x C
(11) csc xcot xd x csc x C
(12) ex d x ex C (13) ax d x ax C
ln a
(7) sin xd x cos x C
●曲线族中不同曲线不相交；
任意x对应的不同曲线的纵坐
标之差为常数C；
●过x轴上一点 x0 作l y轴 O
x0
x
与曲线族中每条积分曲线均相交，
过交点的切线互相平行。
例题讲解:
换元积分法
例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
y
解:
(1, 2)
换元积分法
第四章 不定积分
微分法: F '(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) ' f (x)
换元积分法
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章 不定积分
换元积分法
一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力F Asint 的作用
例7. 求
解: 原式 = (sec2 x 1)dx
sec2 xdx dx tan x x C
例8. 求
解: 原式 =
质点抛出时刻为
此时质点位置为
设时刻 t 质点所在位置为
则
d x v(t) dt
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.1 不定积分的概念与性质
原函数.
原函数存在定理
定理：如果函数()在区间上连续，则()存在原函数.
注意: 1、此条件为充分而非必要条件.即，若()存在原函数，
不能推出()在区间上连续.
2、由于初等函数在定义区间上都是连续的，因此初等函数
在其定义区间内的原函数必存在，但有些初等函数的原函数虽然
存在,却无法用初等函数表示出来.
4
∴ න 3 =
+ .
4
1
1 − 2
′
=
1
1
− 2
,
= + .
三、基本积分公式
由于求不定积分是求导的逆运算,因而为了求出一个函数的不定积
分,首先要明确它是哪个函数的导数, 把基本求导公式反过来,便得到不
定积分的基本公式，即
1. 0 =
1
3.
1
= 3 න − 4 න
1 + 2
= 3 − 4arctan＋.
求 2 ( + 2 )
例9
解
2 ( + 2 ) = 2 ( + 2 )
= න(2 + 4 )
1
2
− +1
− 3 − ⋅
1
2
1
ln 2
= 4 − 3 − 2+1 + .
( 2 ) +C
3 2 −1
求
1+ 2
例8
解
3 2 −1
1+ 2
=
4
3 2 +3−4
1+ 2 = න(3 − 1 + 2 )
原函数存在定理
定理：如果函数()在区间上连续，则()存在原函数.
注意: 1、此条件为充分而非必要条件.即，若()存在原函数，
不能推出()在区间上连续.
2、由于初等函数在定义区间上都是连续的，因此初等函数
在其定义区间内的原函数必存在，但有些初等函数的原函数虽然
存在,却无法用初等函数表示出来.
4
∴ න 3 =
+ .
4
1
1 − 2
′
=
1
1
− 2
,
= + .
三、基本积分公式
由于求不定积分是求导的逆运算,因而为了求出一个函数的不定积
分,首先要明确它是哪个函数的导数, 把基本求导公式反过来,便得到不
定积分的基本公式，即
1. 0 =
1
3.
1
= 3 න − 4 න
1 + 2
= 3 − 4arctan＋.
求 2 ( + 2 )
例9
解
2 ( + 2 ) = 2 ( + 2 )
= න(2 + 4 )
1
2
− +1
− 3 − ⋅
1
2
1
ln 2
= 4 − 3 − 2+1 + .
( 2 ) +C
3 2 −1
求
1+ 2
例8
解
3 2 −1
1+ 2
=
4
3 2 +3−4
1+ 2 = න(3 − 1 + 2 )
不定积分的概念及性质
式 x 称为积分变量 根据定义 如果F(x)是f(x)的一个原函数 则
f (x) d x F(x)C
其中C是任意常数 称为积分常数
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例4.3 计算 x2dx.
解： (1 x3) ' x2, 3
1 x3是x2的一个原函数，于是 x2dx . 1 x3 C.
F(x) 对于该区间上每一点都满足 F (x)f(x) 或dF(x)f(x)dx
则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数
例3 在区间(, )内 已知函数f(x)2x 由于函数F(x)x2满足
F (x)(x2)2x 所以F(x)x2是f(x)2x的一个原函数
同理 x21 x2C(C是常数)都是2x的原函数
f (x) sin x cosx. x
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例4.7 计算（3x 2x2 )dx.
解：（3x 2x2)dx 3xdx 2x2dx
3 xdx 2 x2dx
3 x2 2 x3 C. 23
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§4.1 不定积分的概念和性质
一、原函数 二、不定积分的概念 三、不定积分的性质
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一、原函数
例1 如果已知物体的运动方程为sf(t) 则此物体的速度 是距离s对时间t的导数
一个相反问题是 已知物体运动的速度v是时间t的函数 vv(t) 求物体的运动方程sf(t) 使它的导数f (t)等于已知函数 v(t)
例4.8 计算 (1 3 2ex )dx.
f (x) d x F(x)C
其中C是任意常数 称为积分常数
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例4.3 计算 x2dx.
解： (1 x3) ' x2, 3
1 x3是x2的一个原函数，于是 x2dx . 1 x3 C.
F(x) 对于该区间上每一点都满足 F (x)f(x) 或dF(x)f(x)dx
则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数
例3 在区间(, )内 已知函数f(x)2x 由于函数F(x)x2满足
F (x)(x2)2x 所以F(x)x2是f(x)2x的一个原函数
同理 x21 x2C(C是常数)都是2x的原函数
f (x) sin x cosx. x
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例4.7 计算（3x 2x2 )dx.
解：（3x 2x2)dx 3xdx 2x2dx
3 xdx 2 x2dx
3 x2 2 x3 C. 23
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§4.1 不定积分的概念和性质
一、原函数 二、不定积分的概念 三、不定积分的性质
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一、原函数
例1 如果已知物体的运动方程为sf(t) 则此物体的速度 是距离s对时间t的导数
一个相反问题是 已知物体运动的速度v是时间t的函数 vv(t) 求物体的运动方程sf(t) 使它的导数f (t)等于已知函数 v(t)
例4.8 计算 (1 3 2ex )dx.
4-1不定积分的概念和性质
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三、 不定积分的性质
(1)
是常数， ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx . （k 是常数，k ≠ 0)
d (2) dx
[∫ f ( x )dx ] = f ( x ), d[∫ f ( x)dx] = f ( x)dx,
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
为任意常数） ∴ F ( x ) − G ( x ) = C（C 为任意常数）
大学数学教研室 2010年12月26日1时28分
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不定积分的概念和性质
前面我们已经研究了一元函数微分学。 前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学 一元函数微分学 技术领域中，还会遇到与此相反的问题： 与此相反的问题 技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一 个可导的函数，使其导数等于一个已知函数，从而 个可导的函数，使其导数等于一个已知函数， 产生了一元函数积分学 一元函数积分学。 产生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定 积分两部分。 积分两部分。 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。
e x dx = e x + C ; ∫ ax x (13) ∫ a dx = + C; ln a (12)
大学数学教研室 2010年12月26日1时28分
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2 例4 求积分 ∫ x xdx .
解
x 2 xdx = ∫ x dx ∫
5 2
高数上4.1 不定积分概念与性质
f (x)dx dF(x) F(x) C,
从形式上看, 若能把 f ( x)dx 中的被积函数 f(x) 凑
到微分号后, 即把积分号下的 f (x)dx 转变成 dF(x) 则微分号后的函数 F ( x)就是所求的一个原函数。
因此积分运算可以看成是微分运算的逆运算。
例2 求下列不定积分
2
x 2
dx
12(1 cos x)dx 12 (1 cos x)dx
1 2
[
dx
cos
xdx]
1 2
(
x
sin
x)
C
.
例11 求满足下列条件的F ( x).
F ( x) 1 x , 13 x
F (0) 1.
解 根据题设条件, 有
F( x) F( x)dx 1 x dx (1 3 x 3 x2 )dx 13 x
即 kf ( x)dx k f ( x)dx (k 0); 证[k f ( x)dx] k[ f ( x)dx] kf ( x) [ kf ( x)dx]
证毕.
五、直接积分法
从前面的例题知道, 利用不定积分的定义来计算 不定积分是非常不方便的. 为解决不定积分的计算 问题, 这里我们先介绍一种利用不定积分的运算性 质和积分基本公式, 直接求出不定积分的方法, 即 直接积分法.
第四章 不定积分
一、不定积分的概念与性质 二、换元积分法 三、分部积分法 四、有理函数的积分
第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、直接积分法
一、原函数的概念
定义 设 f ( x)是定义在空间 I上的函数, 若存在函 数F ( x)对任何 x I均有
从形式上看, 若能把 f ( x)dx 中的被积函数 f(x) 凑
到微分号后, 即把积分号下的 f (x)dx 转变成 dF(x) 则微分号后的函数 F ( x)就是所求的一个原函数。
因此积分运算可以看成是微分运算的逆运算。
例2 求下列不定积分
2
x 2
dx
12(1 cos x)dx 12 (1 cos x)dx
1 2
[
dx
cos
xdx]
1 2
(
x
sin
x)
C
.
例11 求满足下列条件的F ( x).
F ( x) 1 x , 13 x
F (0) 1.
解 根据题设条件, 有
F( x) F( x)dx 1 x dx (1 3 x 3 x2 )dx 13 x
即 kf ( x)dx k f ( x)dx (k 0); 证[k f ( x)dx] k[ f ( x)dx] kf ( x) [ kf ( x)dx]
证毕.
五、直接积分法
从前面的例题知道, 利用不定积分的定义来计算 不定积分是非常不方便的. 为解决不定积分的计算 问题, 这里我们先介绍一种利用不定积分的运算性 质和积分基本公式, 直接求出不定积分的方法, 即 直接积分法.
第四章 不定积分
一、不定积分的概念与性质 二、换元积分法 三、分部积分法 四、有理函数的积分
第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、直接积分法
一、原函数的概念
定义 设 f ( x)是定义在空间 I上的函数, 若存在函 数F ( x)对任何 x I均有
4.1不定积分的概念-4.2性质和公式
动脑筋： 还有其他函数满足 （ ） 6 x２吗？
(2 x3 １ ) 6 x２ , (2 x3 ５ ) 6 x２ , ， (2 x 3 C ) 6 x２
5
什么样的函数会有原函数？ 原函数有多少个？ 这些原函数之间有何关系？
一个函数的全部原函数有多少？怎样表示？ 如何求出这些原函数？
x e 6、 2 是 e x 的一个原函数
的一个原函数
(sin x 1 ) cos x ( e x 2 ) e x
( f ( x ) ) g ( x ) f ( x ) 是 g ( x ) 的一个原函数 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 4 F ( x ) f ( x) 8、
1 1 1 (x x ) ( 1 ) x dx x C
1
12
例３
1 求函数 f ( x) 的不定积分 x 1 解： 当 x 0 时， (ln x) x 1 ( x 0) 所以 dx ln x C x 1 1 当 x 0 时， [ln( x )] ( 1) x x 1 dx ln( x) C 所以 x
7、
通过练习要掌握：
F ( x) f ( x)
F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数
(ln x) f ( x) (sin x) g ( x)
２
如 已知 f ( x) 的原函数是 ln x
sin x 是 g ( x) 的一个原函数
２ (2 x ) 6 x 3
2 x3 是 6 x 的一个原函数
2 8 (1)
若也熟悉导数运算： F ( x)已知，f ( x)未知，由F ( x)
微积分基础知识
定理2 k(fx)dx k f) g (x )d ] x f(x ) d x g (x ) dx
n
n
推论 fi(x)d x fi(x)dx
i1
i1
.
四、基本积分公式
积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一 个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。
§4.1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、不定积分的性质 四、基本积分公式 五、不定积分的求法
.
前面我们讨论了一元函数的微分学，它的基 本问题是求已知函数的导数或微分。而在实际问 题中，还会遇到与此相反问题，即已知一个函数 的导数或微分，求此函数。
例如：已知作非匀速直线运动的物体在任意
(1)3axdx lna
x
a
C
;
(14) shxdxchxC;
(15) chxdxshxC.
.
五、 不定积分的求法：
1.直接积分法（直接利用基本积分公式与性质求积分）
例5 求下列函数的不定积分
(1) x2 xdx.
5
解 x2 xdx x2dx
根据幂函数的积分公式
51
xdxx11C
x2 5
1
C
例2 求
1 dx
1 x2
解： 因为 (arctxa)n 1 1x2
所以 arctaxn是 1 的一个原函数，从而有
1 x2 .
1
1x2dxarctxanc
例3 求
1 dx x
因为 ln|x| 1 (x0),
x
所l以 n|x|是1的一个, 从 原而 函有 数 x
1xdxln| x|c
.
结论 （1）求函数 f (x) 的 不定积分就是求 f (x) 的全体原函数，实际上只需求出它的一个原函 数，再加上一个常数 C 即可。
数学不定积分
3. df ( x) f ( x) C
4. kf ( x)dx k f ( x)dx, ( k 0为常数 )
5. ( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx 此性质可推广到有限多 个的情形。
求不定积分的基本思想：化繁为简——将所求 积分化为基本积分公式中的积分。
； 称为积分号 f ( x)称为积分函数；x称为积分变量； f ( x)dx称为积分表达式； 称为积分常数。 C
即：函数f ( x)的不定积分就是 ( x)的一个原函数 f 再加上任意常数 。 C
例2：求 x dx。
2
3 x x 2 2 解：因为 ) x ， 所以 x dx C。 ( 3 3
第四章 不定积分
4.1 不定积分的概念与性质 4.2 换元积分法与分部积分法 4.3 有理函数的不定积分
4.1 不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念
1、原函数的概念 2、不定积分的概念 3、不定积分的几何意义
二、基本积分公式
三、不定积分的性质
在第二章我们研究了已知 f，如何求 f 的导数 f 的表达式。 我们现在来研究第二章求导问题的逆问题。
作业：（） (e x 3 cos x)dx 1 （3） ( x 1)( x 3 1)dx
（2） ( x 2 3 x 2)dx （4) 2 x e x dx
（5） sec x(sec x t an x)dx
1 4 （6） ( 2 2 x 1 x 2 2 sin x)dx
3
检验积分结果正确与否的基本方法是：
积分结果的导函数 被积函数。
练习：教材。
3、不定积分的几何意义-----(见教材)
第四章不定积分4.1不定积分概念与性质
定理 4.1.1: “若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的任一 原函数均可表示为F(x)+C，C为任意常数。
①若 F( x) f ( x)，则对于任意常数 C ，
F ( x) C 都是 f ( x)的原函数.
② G(x)是f(x)的另外一个任意的原函数，
则 F ( x) G( x) C （ C为任意常数）
问题1：原函数存在定理
若函数 f ( x)在区间 I 内连续， 那么在区间I 内一定存在原函数F ( x)， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
简言之：连续函数一定有原函数.
注1：“初等函数在其定义区间内一定存在原函 数”. 注2：在某区间内不连续的函数，也可能存在原函数.
问题2：原函数是否唯一？若不唯一，它们之 间有什么联系？原函数的一般表达式？
x
ln(x) 1 1 (x 0)
x x
dx x
ln
|
x
|
C;
1、 (1) kdx kx C (k是常数);
基 (2) xdx x1 C
本 积 (3)
1
dx x
ln
|
x
|
C;
( 1);
分 表
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y F( x),
根据题意知 d F(x) 2x dx
①若 F( x) f ( x)，则对于任意常数 C ，
F ( x) C 都是 f ( x)的原函数.
② G(x)是f(x)的另外一个任意的原函数，
则 F ( x) G( x) C （ C为任意常数）
问题1：原函数存在定理
若函数 f ( x)在区间 I 内连续， 那么在区间I 内一定存在原函数F ( x)， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
简言之：连续函数一定有原函数.
注1：“初等函数在其定义区间内一定存在原函 数”. 注2：在某区间内不连续的函数，也可能存在原函数.
问题2：原函数是否唯一？若不唯一，它们之 间有什么联系？原函数的一般表达式？
x
ln(x) 1 1 (x 0)
x x
dx x
ln
|
x
|
C;
1、 (1) kdx kx C (k是常数);
基 (2) xdx x1 C
本 积 (3)
1
dx x
ln
|
x
|
C;
( 1);
分 表
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y F( x),
根据题意知 d F(x) 2x dx
4.1 不定积分的概念与性质
性质2：常数因子可以由积分号内提出，即 න ������������ ������ dx = ������ න ������ ������ dx（������ ≠ 0为常数）
1、 ������dx =
2、 ������������dx =
3、
1 ������
dx
=
4、 ������������dx =
有积分曲线构成的曲线族叫做积分曲线族。
������ y = ������ ������
������ = ������ ������ +2
切线斜 率等于
������ ������
������ = ������ ������ +1
������ = ������ ������
������ = ������ ������ -1
������
������
求通过点 ������, ������ ，且其切线斜率等于������������的曲线的方程。
3、不定积分的性质
性质1：两个函数代数和的积分等于其各自积分的代数和。 න ������ ������ ± ������ ������ dx = න ������ ������ dx ± න ������ ������ dx
每个原函数之间都差一个常数������ ，通常称������ ������ + ������叫做函数������ ������ 的 原函数族， ������ 为任意常数。
2、不定积分概念
如果函数������ ������ 是函数f ������ 在某区间上的一个原函数，则它的全部原函 数为 ������ ������ + ������ 称为 ������ ������ 在该区间上的不定积分。记作 ������ ������ dx 。其中
1、 ������dx =
2、 ������������dx =
3、
1 ������
dx
=
4、 ������������dx =
有积分曲线构成的曲线族叫做积分曲线族。
������ y = ������ ������
������ = ������ ������ +2
切线斜 率等于
������ ������
������ = ������ ������ +1
������ = ������ ������
������ = ������ ������ -1
������
������
求通过点 ������, ������ ，且其切线斜率等于������������的曲线的方程。
3、不定积分的性质
性质1：两个函数代数和的积分等于其各自积分的代数和。 න ������ ������ ± ������ ������ dx = න ������ ������ dx ± න ������ ������ dx
每个原函数之间都差一个常数������ ，通常称������ ������ + ������叫做函数������ ������ 的 原函数族， ������ 为任意常数。
2、不定积分概念
如果函数������ ������ 是函数f ������ 在某区间上的一个原函数，则它的全部原函 数为 ������ ������ + ������ 称为 ������ ������ 在该区间上的不定积分。记作 ������ ������ dx 。其中
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x dx 2 x 1
4
4.1 不定积分的概念与性质 例6 求
2 tan xdx
2
解
tan
xdx
2
(sec x 1)dx
sec 2 xdx dx
tan x x C
4.1 不定积分的概念与性质 例7 求 解
1 sin 2 x cos 2 x dx
f ( x)
C
4.1 不定积分的概念与性质
定义4.2 在区间 I 内，函数 f ( x ) 的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 I 内的
不定积分，记为 f ( x )dx .
积 被 分 积 号 函 数
f ( x )dx F ( x ) C
积 分 变 量
任 意 常 数
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解
y
(1, 2)
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
o
x
因此所求曲线为
y x2 1
4.1 不定积分的概念与性质
二、不定积分的基本性质 性质4.1 =f ( x)dx f ( x ) dx （1） f ( x )dx f ( x ) , d
2 3 x x 2x x C 7
5 2 1 2
4.1 不定积分的概念与性质 例5 求 解
x4 x4 1 1 x 2 1 dx x 2 1 dx 1 2 (x 1 2 )dx x 1 1 2 x dx 1dx 2 dx x 1 1 3 x x arctan x C 3
1 sin 2 x cos2 x dx
1 1 ( )dx 2 2 cos x sin x
．
tan x cot x C
4.1 不定积分的概念与性质
例8 求 解
x x 3 e dx
3
x
e dx (3e) dx
x x
(3e) x C ln(3e)
.
3e C 1 ln 3
x a x (13) a dx C ln a
e x e x sh x 2 e x e x ch x 2
(14) (15)
sh xdx ch x C ch xdx sh x C
计算不定积分：——直接积分法 利用不定积分的性质与基本积分表。
4.1 不定积分的概念与性质 例2 求 解
4.1 不定积分的概念与性质
说明： (1)原函数与不定积分是个别与全体
的关系,或元素与集合的关系.
f ( x) 的一个原函数，则 (2)如果F ( x) 是
f ( x)dx F ( x) c
4.1 不定积分的概念与性质 例1 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,且其上任一点处的切线
x
x
4.1 不定积分的概念与性质
四、 小结
1.原函数的概念：F ( x ) f ( x ) 2.不定积分的概念： f ( x )dx F ( x ) C
基本积分表(1)
3.求微分与求积分的互逆关系
4.不定积分的性质
第4章 目录
4.1 不定积分的概念与性质
第 4章 不定积分
4.2 换元积分法
4.3
分部积分法
4.4几种特殊函数的不定积分 4.5 积分表的使用
4.1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的基本性质 三、基本积分表
4.1 不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念与性质
可导函数 F ( x ) 的 定义4.1 如果在区间 I 内， 导函数为 f ( x ) ， 即x I ，都有 F ( x ) f ( x )
C
4.1 不定积分的概念与性质
定理4.1 设F ( x) 是
的一个原函数，则 F ( x) C 也是的 f ( x) 原函数，其中 C 为任意 （1） 常数； （2）f ( x) 的任意两个原函数之间相差一个常 数． 定理4.2 如果函数 f ( x) 在区间上连续,那么在 该区间上的原函数一定存在.
cos xdx sin x C sin xdx cos x C dx 2 sec cos 2 x xdx tan x C
(11)
(12)
csc x cot xdx csc x C x x e d x e C
4.1 不定积分的概念与性质
x
1
5
1
5
x
dx
6 5
x
x
dx
x dx
1 5
x x C C 6 1 1 5 5
5 x
1 5
6 1 5
C.
4.1 不定积分的概念与性质
例3 求
( x 1) dx
3
3 2
解
3 ( x 1) dx
( x 3 x 3 x 1)dx
ห้องสมุดไป่ตู้
kdx k x C ( k 为常数) 1 x 1 C x dx 1 dx x ln x C
( 1)
4.1 不定积分的概念与性质
(6) (7 )
(8)
dx (9) 2 csc 2 xdx cot x C sin x (10) sec x tan xdx sec x C
．
x dx 3 x dx 3 xdx 1dx
3 2
1 4 3 2 3 x x x xC 4 2
4.1 不定积分的概念与性质
例4 求
解
2
x ( x 2 3)dx
x ( x 3)dx
5 2 1 2
( x 3x )dx
x dx 3 x dx
f ( x) g ( x)
．
4.1 不定积分的概念与性质
性质4.3
kf ( x)dx k f ( x)dx （ k 为非零常数）．
性质4.3 说明,不定积分中不为零的常数因子可 以提到积分符号的外边来．
4.1 不定积分的概念与性质
三、基本积分表
(1) (2)
(3)
dx (4) arctan x C 2 1 x dx (5) arcsin x C 2 1 x
或 dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
或 f ( x )dx 在区间 I 的一个原函数.
例
sin x cos x ,
1 ln x x
sin x 是cos x 的原函数.
x 0 ,
1 ln x 是 在区间(0, )内的原函数. x
f ( x)dx f ( x) C , df ( x) f ( x) C （ 2） 性质4.2 [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
证明 将上式右端对
x 求导数，得 f ( x)dx g ( x )dx f ( x)dx g ( x)dx