2016-2017年重庆市南川中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A ．0.05B ．0.35C ．0.7D ．0.95 2．全称命题“2,54x R x x ∀∈+=”的否定是( )A ．2000,54x R x x ∃∈+=B ．2,54x R x x ∀∈+≠C ．2000,54x R x x ∃∈+≠D ．以上都不正确3.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )A ．6B ．8C ．10D ．144．某程序框图如图所示，若输出的结果是62，则判断框中可以是( ) A ．7?i ≥ B ．6?i ≥ C ．5?i ≥ D ．4?i ≥5．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(2,0)-B ．(3,0)-C ．(4,0)-D ．(5,0)- 7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到 定点A 的距离|PA |1<|的概率为( )A.πB.2π C.4π D ．6π8．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅ 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8二、填空题（每题5分，共6个小题，满分30分） 9．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分 成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为 4、12、8.若用分层 抽样方法抽取6个 城市，则甲组中应抽取的城市数为________．10．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1， 则输出的n 的值为________．11．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示， 据图知，样本数据在[8，10)内的频数为 12.已知点M 是圆224x y +=上任意一点，过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则线段MN （包括MN 重合） 的中点的轨迹方程为13.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x轴上，离心率为2．过点1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为 ． 14．有下列命题：①“若0x y +>，则00x y >>且”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若1m ≥，则22(m 1)x m 30mx -+++>的解集是R ”的逆命题； ④“若7a +是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确命题的序号是三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(满分13分)设命题p ：x y c =为R 上的减函数，命题q ：函数2(x)234f x x c =-+>在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求c 的取值范围．第18题图16．（满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表所示．(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．17．（满分13分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC ，22AB BC ==，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（II ）线段AC 的中点为M ，求证EA //平面FDM18（满分14分）.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；(Ⅲ)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.19．(满分14分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求,,n a p 的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．20.（满分14分）已知椭圆的标准方程为：22221(0)43x y a a a+=>（1）当1a =时，求椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率； （2）过椭圆的右焦点2F 的直线与圆222:4(0)C x y a a +=>常数交于,A B 两点，求22|F ||F |A B ⋅的值.2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A ．0.95B ．0.7C ．0.35D ．0.05解析：“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.答案：D2．全称命题“∀x ∈R ，x 2＋5x ＝4”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0＝4 B ．∀x ∈R ，x 2＋5x ≠4 C ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0≠4 D ．以上都不正确解析：选C 全称命题的否定为特称命题．3.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )A ．6B ．8C ．10D ．14解析：由甲组数据的众数为14得x ＝y ＝4，乙组数据中间两个数分别为6和14，所以中位数是6＋142＝10.答案：C4．某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．i >6？B ．i >7？C ．i ≥6？D ．i ≥5?解析：根据题意可知该程序运行情况如下： 第1次：S ＝0＋21＝2，i ＝1＋1＝2； 第2次：S ＝2＋22＝6，i ＝3； 第3次：S ＝6＋23＝14，i ＝4； 第4次：S ＝14＋24＝30，i ＝5； 第5次：S ＝30＋25＝62，i ＝6； 第6次：S ＝62＋26＝126，i ＝7；此时S ＝126，结束循环，因此判断框应该是“i >6？”．答案：A5．“a <0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 方程ax 2＋1＝0至少有一个负根等价于x 2＝－1a，故a <0，故选C.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(2,0)-B ．(3,0)-C ．(4,0)-D ．(5,0)-【解析】圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3，又b ＝4，∴5a =. ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)． 【答案】 D7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π 解析：如图所示，动点P 在阴影部分满足|PA |<1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S ′＝π4，又正方形的面积是S ＝1，则动点P到定点A 的距离|PA |<1的概率为S ′S ＝π4. 答案：C 8．直线l 经过椭圆的一个短轴顶点顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋yb＝1，即bx ＋cy －bc ＝0．由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12．故选B ．二、填空题（每题5分，共6个小题，满分30分）9．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8.若用分层抽样方法抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为________．答案：110．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1， 则输出的n 的值为________．答案：311．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图知，样本数据在[8，10)内的频数为( )A ．38B ．57C ．76D ．95 答案：C12.已知点M 是圆224x y +=上任意一点，过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则线段MN （包括MN 重合）的中点的轨迹方程为2214x y += 13.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2．过点1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．【答案】221168x y +=14．有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是 ①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(满分13分)设命题p ：x y c =为R 上的减函数，命题q ：函数2(x)234f x x c =-+>在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求c 的取值范围．解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可． 若p 真，由y ＝c x为减函数，得0<c <1. .....................3分 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由不等式2(x 1)22-+≥(x ＝1时取等号)知(x)f 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2 ......................6分若q 真，则42c <，即12c < .......................8分 若p 真q 假，则112c ≤<； .......................10分 若p 假q 真，则0c ≤. ......................12分 综上可得，(]1,0,12c ⎡⎫∈-∞⎪⎢⎣⎭......................13分16．（满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表所示．(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，计算被调查的出租车司机对新法规知晓情况比较好的频率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．解：(1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A ，P (A )＝1－55100＝0.45. .......................6分 （2）记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M ，设答对题目数小于8的司机为A ，B ，C ，D ，E ，其中A ，B 为女司机，任选出2人包含AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10种情况，.......................9分（3）至少有一名女出租车司机的事件为AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，共7种 ..12分则P (M )＝710＝0.7. ......13分16．（满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC ，22AB BC ==，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（II ）线段AC 的中点为M ，求证EA //平面FDM第3题图17．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在△ABC 中，因为AC =，2AB =，1BC =，所以 BC AC ⊥． ………………3分 又因为 AC FB ⊥， 因为BC FB B =所以 ⊥AC 平面FBC ． ………………6分 （Ⅱ）M 为AC 中点时，连结CE ，与DF 交于点N ，连结MN ．因为 CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点． ……………8分 所以 EA //MN ． ……………10分 因为 ⊂MN 平面FDM ，⊄EA 平面FDM ， ………12分 所以 EA //平面FDM ． …………13分18（满分14分）.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；(Ⅲ)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率. 规范解答不失分 （Ⅰ）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间， 而乙班身高集中于170180: 之间．因此乙班平均身高高于甲班 ...............4分 （Ⅱ）158162163168168170171179182170.10x ++++++++==...............6分 甲班的样本方差为:222222222221(158170)(162170)(163170)(168170)10(168170)(170170)(171170)(179170)(179170)(182170)57.2.s ⎡=-+-+-+-⎣+-+-+-+-+-+-=...............8分（Ⅲ）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）(178, 176) （176，173）共10个基本事件，...............10分而事件A含有4个基本事件；...............12分所以42().105P A ...............14分19．(满分14分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．解：(1)第二组的概率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以频率组距＝0.35＝0.06.............2分 频率分布直方图如下：............4分第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2， 所以n ＝2000.2＝1 000 .............6分 因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195300＝0.65. 第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150.所以a ＝150×0.4＝60 .............8分(2)因为年龄在[40，45)岁的“低碳族”与[45，50)岁的“低碳族”的人数的比为60∶30＝2∶1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45)中有4人，[45，50)中有2人．设[40，45)中的4人为a ，b ，c ，d ，[45，50)中的2人为m ，n ，则选取2人作为领队的情况有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，共15种， ............10分(3)其中恰有1人年龄在[40，45)岁的情况有(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，共8种， ............12分(4)所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率P ＝815.............14分 20.（满分14分）已知椭圆的标准方程为：22221(0)43x y a a a+=> （1）当1a =时，求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）过椭圆的右焦点2F 的直线与圆222:4(0)C x y a a +=>常数交于,A B 两点，证明22|F ||F |A B ⋅为定值. 解：（1）焦点坐标12(1,0),F (1,0)F - ..........2分离心率12e = ..........3分（2）当斜率不存在时11|||F B |F A ===此时212|FA ||F B|3a ⋅= 5分当斜率不存在=时，设1122(x ,y ),B(x ,y )A:()AB y k x a =-由222(x a)x 4y k y a =-⎧⎨+=⎩ 得222222(1k )x 240ak x k a a +-+-= 7分 222212122224,11ak k a a x x x x k k -+==++ 9分11|FA |x a |==-22|F A |x a |==-所以22111212|FA||FB|(1)|x x a(x )a |k x ⋅=+-++ 12分 22222222242(1k )|a |11k a a a k k k -=+-+++23a = 13分 所以 22|F ||F |A B ⋅为定值23a .。
重庆市高二上学期期中数学试卷(理科)
重庆市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·新疆开学考) 若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2 ， P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A . 4B . 2C . 1D .2. （2分）(2018·衡水模拟) 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A .B .C .D .3. （2分）已知椭圆，长轴在y轴上. 若焦距为4，则m等于（）A . 4B . 5C . 7D . 8.4. （2分）已知点F（﹣c，0）（c＞0）是双曲线﹣=1=1的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且P在抛物线y2=4cx上，则e2=（）A .B .C .D .5. （2分）(2016·静宁模拟) 已知命题P：有的三角形是等边三角形，则（）A . ¬P：有的三角形不是等边三角形B . ¬P：有的三角形是不等边三角形C . ¬P：所有的三角形都是等边三角形D . ¬P：所有的三角形都不是等边三角形6. （2分）已知函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是，则的最小值是（）A .B . 4C .D . 58. （2分）下列有关命题说法正确的是（）A . 命题p：“存在”，则p是假命题B . "a=1"是"函数的周期的充分必要条件C . 命题“存在，使得”的否定是：“对任意,"D . 命题“若tanα≠1，则α≠” 的逆否命题是真命题9. （2分）设若对于任意总存在,使得成立，则a的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）下列4个命题:（1）若a<b，则；（2）“”是“对任意的实数x，成立”的充要条件；（3）命题“，”的否定是：“，”；（4）函数的值域为.其中正确的命题个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分）已知函数f（x）=ex ， g（x）= x2+x+1，命题p：∀x≥0，f（x）≥g（x），则（）A . p是假命题，￢p：∃x＜0，f（x）＜g（x）B . p是假命题，￢p：∃x≥0，f（x）＜g（x）C . p是真命题，￢p：∃x＜0，f（x）＜g（x）D . p是真命题，￢p：∃x≥0，f（x）＜g（x）12. （2分）己知函数f（x）=（x﹣l）（log3a）2﹣6（log3a）x+x+l在x∈[0，l]内恒为正值，则a的取值范围是（）A . ﹣1＜a＜B . a＜C . a＞D . ＜a＜二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·海淀模拟) 在△ABC中，A=2B，2a=3b，则cosB=________．14. （1分） (2016高二上·衡阳期中) 某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是________．15. （1分）(2017·宝鸡模拟) 在等差数列{an}中，a1=2017，其前n项和为Sn ，若﹣ =2，则S2017=________．16. （1分） (2016高一下·大同期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，an+1= Sn（n=1，2，3，…）．则数列{an}的通项公式为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2019高一上·宾县月考) 已知，计算（1）（2）18. （10分） (2019高二下·吉林月考)（1）已知数列的前项和，求。
重庆市高二上学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ）,a bA ．B ．C ．D ．a b = 1a b ⋅= //a b 22a b = 【答案】D【分析】由单位向量、共线向量、相等向量、向量数量积和模长定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，模长相等，但方向未必相同，A 错误；,a b对于B ，，B 错误； []cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⋅<>=<>∈- 对于C ，模长相等，但未必同向或反向，C 错误；,a b对于D ，，，D 正确.1a b == 221a b ∴== 故选：D.2．将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（ ） l A ．B ．4C ．1D ．32-12【答案】A【分析】设直线l 上任意一点，再根据题意可得也在直线上，进而根据()00,P x y ()2002,3P x y +-两点间的斜率公式与直线的斜率相等列式求解即可.【详解】设直线l 上任意一点，将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，则P 点移动后为()00,P x y ，再沿y 轴负方向平移3个单位，则点移动后为． ()1002,P x y +1P()2002,3P x y +-∵都在直线l 上，∴直线l 的斜率．2,P P 00003322k y y x x --=-+-=故选：A ．3．经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（ ） ()2,3A π4A ．B ．C ．D ．1y x =+1y x =-=1y x --1y x =-+【答案】A【分析】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案. 【详解】斜率， πtan14k ==点斜式方程为， 32y x -=-斜截式方程为.1y x =+故选：A4．已知圆与圆相交于，两点，且直线的方程为，则1C 2C ()2,3A (),1B m 12C C 0x y n +-=m n +=（ ） A ．3 B ．5C ．7D ．9【答案】A【分析】先推出直线是线段的垂直平分线，再根据垂直和平分列式可求出. 12C C AB ,m n 【详解】因为，， 11||||C A C B =22||||C A C B =所以直线是线段的垂直平分线，12C C AB 所以，解得，3112231022mm n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩03m n =⎧⎨=⎩所以. 3m n +=故选：A5．若函数在闭区间上有最大值为3，最小值为2，则实数m 的范围是()223x x x f =-+[]0,m （ ） A ． B ．C ．D ．(],2-∞[]0,2[]1,2[)1,+∞【答案】C【分析】根据二次函数的单调性，结合函数的最值进行求解即可. 【详解】，()()222312f x x x x =-+=-+当时，当时，函数单调递减，所以有 01m <≤[]0,x m ∈；()()()()2max min 03,2321f x f f x f m m m m ====-+=⇒=当时，，对称轴为，1m >()()()023,12f f f ===1x =因为函数在闭区间上有最大值为3，最小值为2，()223x x x f =-+[]0,m 所以有，12m <≤综上所述：实数m 的范围是， []1,2故选：C6．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，求此曲线围成的图形的面积为（ ）22:22C x y x y +=+A ． B ． C ． D ．88π+84π+168π+816π+【答案】B【分析】分类讨论将曲线中的绝对值去掉可得四段关系式，从而作出曲线的图象，根据图像即可C 计算出其面积.【详解】由可得，22:22C x y x y +=+当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y ≥≥2222x y x y +=+22(1)(1)2x y -+-=(1,1)r =圆；当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y ≥<2222x y x y +=-22(1)(1)2x y -++=(1,1)-r =圆；当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y <≥2222x y x y +=-+22(1)(1)2x y ++-=(1,1)-r =圆；当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y <<2222x y x y +=--22(1)(1)2x y +++=(1,1)--r =圆；所以曲线的图象如下图所示：22:22C x y x y +=+因此曲线围成的图形的面积为；(222π84πS =+⨯=+故选：B7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，()2223x y ++≤若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区()4,0A -10x y +-=域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】计算出点在直线的对称点的坐标，计算出点到圆的圆心A 10x y +-=B B ()2223x y ++=的距离，利用圆的几何性质可求得“将军饮马”的最短总路程. 【详解】设点关于直线的对称点为，A 10x y +-=(),B m n线段的中点在直线，即，即，① AB 4,22m n -⎛⎫⎪⎝⎭10x y +-=41022m n -+-=60m n +-=直线的斜率为，则，② 10x y +-=1-14AB nk m ==+联立①②可得，，即点，1m =5n =()1,5B圆的圆心为，半径为，()2223x y ++=()0,2C -r =设将军在河边的饮水处为点，则，设线段交圆于点， M AM BM =BC C P则AM MP BM MP BC r +=+≥-==因此，“将军饮马”的最短总路程为. BC r -=故选：A.8．在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ）2AC CB =A ．B ．C ．D ．108120814989【答案】B【分析】设，则，，建立直角坐标系，根据已知条件求出各点坐标，由圆2BC r =4AC r =6AB r =O 与圆内切，解得，由圆O 与圆内切，解得，分别求出阴影部分与最大半圆的3O 23a r =4O 23b r =面积，即可求出答案.【详解】设，则，，以C 为坐标原点，2BC r =4AC r =6AB r =建立如图所示的坐标系，则C （0，0），，，． ()12,0O r -(),0O r -()2,0O r 设，，则()3,O a t -()4,O b v ()()22222r a r a t +--=（圆，外切与勾股定理结合），得． 1O 3O t =(3,O a -由圆O 与圆，解得． 3O 3r a =-23a r =同理（圆，外切与勾股定理结合）， ()()222r b r bv +--=2O 4O 得O 与圆，v =4O 3r b =-解得．设阴影部分的面积为，最大半圆的面积为， 23b r =1S 2S ， ()()222221111210ππ3π2π2π22239r rS r r r ⎛⎫=⋅-⋅--⋅=⎪⎝⎭所以．2210π209981π2r S S r ==12故选：B.二、多选题9．下列结论中正确的有（ ）A ．直线倾斜角的范围是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．若两条相交直线所成的角为，其方向向量的夹角为，则或 αθαθ=παθ=-C ．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为 1-D ．每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应 【答案】BD【分析】根据直线的倾斜角、直线的夹角、方向向量的夹角、直线垂直等知识确定正确答案. 【详解】直线倾斜角的取值范围是，A 选项错误.[)0,πB 选项，根据直线的夹角和方向向量的夹角的知识可知，或，B 选项正确. αθ=παθ=-C 选项，两条直线相互垂直，可能一条斜率为，另一条斜率不存在，所以C 选项错误. 0D 选项，每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应，这个结论是正确的，D 选项正确. 故选：BD10．已知圆上至多有一点到直线的距离为2，则实数可能的22260x y x y a +--+=3450x y ++=a 取值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．10【答案】BC【解析】确定圆心不过已知直线，且求得圆心到已知直线的距离为，根据圆4d =上至多有一点到直线的距离为2，得到圆的半径22260x y x y a +--+=3450x y ++=，由此求出的范围后可判断各选项． 2r ≤a 【详解】圆标准方程是， 22(1)(3)10x y a -+-=-圆心为，半径为）， (1,3)C r =10a <圆心到已知直线的距离为，4d 圆上至多有一点到直线的距离为2， 22260x y x y a +--+=3450x y ++=则有圆的半径 2r =≤解得．只有B 、C 满足． 610a ≤<故选：BC ．【点睛】方法点睛：本题考查考查直线与圆的关系，解题方法如下： （1）先求得圆心到直线的距离；（2）根据题意，确定出圆的半径的取值范围； （3）解不等式求得结果.11．已知是定义在R 上的奇函数，其图象关于点对称，当时，()f x ()2,0[]0,2x ∈，若方程的所有根的和为6，则实数k 可能的取值是（ ）()f x =()()20f x k x --=A B ．C D ． 【答案】AB【分析】根据函数的奇偶性和对称性推出周期，求出在一个的解析式，将方程()f x ()f x [2,0)-的所有根的和为6转化为函数的图象与直线有且仅有个交()()20f x k x --=()y f x =(2)y k x =-3点，作出函数的图象，利用直线与圆的位置关系列式，求出的范围，从而可得答案. k 【详解】因为为奇函数，所以，()f x ()()f x f x -=-因为的图象关于点对称，所以，即， ()f x (2,0)(4)()0f x f x -+=()(4)f x f x =--又，(4)[(4)]f x f x -=---(4)f x =--所以，所以的周期为，()[(4)](4)f x f x f x =---=-()f x 4当时，由，得，其图象是圆心为，半径[0,2]x ∈()y f x ==22(1)1x y -+=(0)y ≤(1,0)为的半圆，1当时， [2,0)x ∈-()()[y f x f x ==--=-=所以，其图象是圆心为，半径为的半圆， 22(1)1(0)x y y ++=≥(1,0)-1因为方程的所有根的和为6，()()20f x k x --=所以函数与直线的交点的横坐标之和为， ()y f x =(2)y k x =-6因为点是它们的一个交点，所以其它交点的横坐标之和为，(2,0)4而函数的图象与直线都关于点对称，它们的关于点对称的两个交点的()y f x =(2)y k x =-(2,0)(2,0)横坐标之和为，所以函数的图象与直线有且仅有个交点， 4()y f x =(2)y k x =-3作出两个函数的图象，如图：当时，只需直线与圆，解得 0k >(2)y k x =-22(7)1x y -+=1>k >当时，只需直线与圆，解得 0k <(2)y k x =-22(5)1x y -+=1=k =所以的取值范围是. k ⎧⎪⎨⎪⎩⎫⋃+∞⎪⎪⎭故选：AB12．如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于O AC BD 2242200x y x y +-+-=四点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）,,,A C B D M ABA ．线段长度的最大值为 BO 10B ．弦长度的最小值为 AC C ．点的轨迹是一个圆；MD ．四边形面积的取值范围为. ABCD 45⎡⎤⎣⎦【答案】BCD【分析】根据方程写出已知圆的圆心和半径，由长度表示圆上点到原点的距离即可判断A ；由BO 圆的性质判断B ；若分别是的中点，圆心到直线和的距离,,,M H G F ,,,AB BC CD AD ()2,1-AC BD且，易证为矩形且其中心对角线长度恒定，即可确定的轨迹判12,d d ⎡∈⎣22125d d +=MHGF M 断C ；根据得到四边形面积关于的表达式，结合二次函数性质求范12ABCD S AC BD =ABCD 12,d d 围判断D.【详解】由题设圆的方程为， 22(2)(1)25x y -++=设圆心为，则，半径，E ()2,1E -=5r由三角形两边之和大于第三边可知，且 EB EO BO +≥5,EB EO ==所以当长度最大时圆心与共线且在它们中间，此时错误；BO ,B O 5A BO r =+=由圆的性质知当即圆心与直线距离最大时长度的最小， OE AC ⊥AC AC此时圆心与直线，故正确； AC 2B AC ==若分别是的中点，则且,,,M H G F ,,,AB BC CD AD MF HG BD ∥∥且，,2BD MF HG MH FG AC ==∥∥2AC MH FG ==又，易知：为矩形，而，AC BD ⊥MHGF 22222||||||4BD AC FH MF MH +=+=若圆心到直线的距离且， ()2,1-,AC BD 12,d d ⎡∈⎣22125d d +=所以，则，故222212||||2255044BD AC d d +++=⨯=22||454BD AC +=FH =所以在以交点为圆心的圆上，C 正确；M FH =,HF MG由上分析：，而， AC =12ABCD S AC BD =所以，ABCD S ==令，则，[]222150,5t d d ==-∈ABCDS ==当，即； 52t =12d d ==()max 45ABCD S =当或5，即时，0=t 120,d d =120d d ==()min ABCD S =所以，D 正确； 45ABCD S ⎡⎤∈⎣⎦故选：BCD【点睛】难点在于CD 选项，选项C ：证明分别是的中点所形成的四边,,,M H G F ,,,AB BC CD AD 形为矩形且对角线长度及中心恒定，判断轨迹形状；选项D ：利用得到四边形面AC BD ⊥ABCD 积关于的表达式，结合二次函数性质求范围.12,d d三、填空题13．已知向量，满足：，，，则__________.a b1a = 4b = a b -=r r += a b【分析】将两边平方求出，再根据可求a b -=r r 52a b ⋅= ||a b +==出结果.【详解】由，得，得，a b -=r r ()212a b-=22||2||12a a b b -⋅+=得，得，121612a b -⋅+=52a b ⋅=||a b +== ==14．已知函数，则________．2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩()2log 3f =【答案】34【解析】根据分段函数，和，利用 转化为2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩2log 30>()()2f x f x =-求解.()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭【详解】因为，，2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩2log 30>所以，()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭又，所以． 223log log 104<=()23log 42233log 3log 244f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故答案为：. 34【点睛】本题主要考查分段函数的求值，还考查了转化问题求解的能力，属于基础题. 15．若是圆上任意一点，则的取值范围是______.(),P x y 22:1O x y +=3483412x y x y -++-+（用区间表示） 【答案】[]10,30【分析】将所给表达式化为，求出圆心到直线的距离，确12348341255()55x y x y d d ⎛-+-+⎫+=+⎪⎝⎭定圆上的点到两条直线距离的范围，进而求出.12105()30d d ≤+≤【详解】令3483412x y x y ω=-++-+， ()1234834125555x y x y d d ⎛⎫-+-+=+=+ ⎪⎝⎭其中、分别表示圆：上任意一点到1d 2d O 221x y +=(),P x y 直线：和：距离；1l 3480x y -+=2l 34120x y -+=因为圆心到直线：和：距离O 1l 3480x y -+=2l 34120x y -+=分别为、， 185h ==2125h ==所以且， 1881155d -≤≤+212121155d -≤≤+即且， 131355d ≤≤271755d ≤≤所以，12105()30d d ≤+≤即的取值范围是.3483412x y x y -++-+[]10,30故答案为：.[]10,3016．如图，在平面直角坐标系中，过外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若xOy T e，则称P 为的环绕点.若的半径为1，圆心为，以60180MPN ≤∠<T e T e ()0,t ()0m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎭>⎝为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在的环绕点，则t 的取值范围为T e __________.【答案】24t -<≤【分析】根据环绕点的定义求出环绕点构成的图形，再求出图形H .按照、、分类讨0t >0=t 0t <论，结合图象，根据直线与圆的位置关系列式可求出结果.【详解】连，因为，所以， ,,TM TN TP 60180MPN ≤∠< 1ππ,262TPM TPN MPN ⎡⎫∠=∠=∠∈⎪⎢⎣⎭所以，又，所以， ||π1sin sin ||62TM TPM TP ∠=≥=||1TM =1||2TP <≤所以圆的环绕点构成的图形是圆心为，半径分别为和的圆所围成的扇环（包括大圆上的T T 12点，不包括小圆上的点.以为半径的圆与轴相切，设切点为， ()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭x A因为圆心在射线上，所以以()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭(0)y x =>()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭为半径的圆与直线相切，设切点为，y =B所以以为半径的所有圆构成图形为的内部（包括射线()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭AOB ∠，不包括原点），,OA OB O 如图：当时，由图可知，若在图形H 上存在的环绕点，只需圆心到直线的距离小于等0t >T e T y =于半径，解得； 22≤04t <≤当时，由图可知，在图形H 上恒存在的环绕点；0=t T e 当时，由图可知，若在图形H 上存在的环绕点，只需圆心到轴的距离小于半径，即0t <T e T x 2，则.2t -<2t >-综上所述：的取值范围为.t 24t -<≤故答案为：.24t -<≤【点睛】关键点点睛：根据环绕点的定义求出环绕点构成的图形，推出动圆形成的图形是本题解H题的关键.四、解答题17．已知两直线，.1:60l x my ++=()2:2320l m x y m -++=(1)若，不重合，且垂直于同一条直线，求m 的值.1l 2l (2)从①直线l 过坐标原点，②直线l 在y 轴上的截距为2，③直线l 与坐标轴形成的三角形的面积为1这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并作答.若，直线l 与垂直，且1m =2l __________，求直线l 的方程.【答案】(1)1-(2)答案见解析【分析】（1）先推出，再根据两直线平行的条件列式可求出结果；12l l //（2）先根据两直线垂直求出直线的斜率，若选①，根据点斜式可得结果；若选②，根据斜截式l 可得结果；若选③，设直线的斜截式，得到直线在轴上的截距，然后根据面积列式可求出结l ,x y 果.【详解】（1）若，不重合，且垂直于同一条直线，则，1l 2l 12//l l 则由，得，得或m =-1，12210A B A B -=()320m m --=3m =当m =3时，两直线重合，不合题意，当m =-1时，符合题意，所以.1m =-（2）若，直线的斜率为， 1m =2l 13由直线l 与垂直，可得直线l 的斜率为.2l 3-若选①，直线l 过坐标原点，故直线l 方程为，即；3y x =-30x y +=若选②，直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为，即；32y x =-+320x y +-=若选③，设直线l 方程为，则直线l 在x ，y 轴上截距分别为，b ， 3y x b =-+13b 由直线l 与坐标轴形成的三角形的面积为1，可得，解得， 211123b ⨯=b =即直线l 方程为，即.3y x =-30x y +=18．已知函数的部分图象如图所示. ()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式；()f x (2)试判断函数在区间上的单调性. ()f x 2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】(1) ()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)在上递增，在上递减 ()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由图形可直接得出A ，利用公式即可得出，再把代入2||T πω=ω(,2)3π即可求得；()()2sin 2f x x ϕ=+ϕ（2）令，结合，即可求解. πππ2π22π262k x k -+≤-≤+2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由题意可知，，2A =，得，解得. 39π412T =πT =2ω=，即，，， π2π2sin 233f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2π32k ϕ+=+k ∈Z π2ϕ<所以，故. π6ϕ=-()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）令，解得，； πππ2π22π262k x k -+≤-≤+ππππ63k x k -+≤≤+k ∈Z 结合，得出在上递增，在上递减. 2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．如图，一艘海警船在O 处发现了位于北偏东，距离为6海里的海面上A 处有两艘走私船，60︒于是派遣巡逻艇追缉走私船，已知巡逻艇航速是走私船航速的2倍，且它们都是沿直线航行，但走私船可能向任意方向逃窜.(1)求走私船所有可能被截获的点P 在什么曲线上；(2)开始追缉时发现两艘走私船向相反方向逃窜，速度为20海里/小时，其中一艘的航向为东偏南，于是同时派遣了两艘巡逻艇分别追缉两艘走私船，两艘走私船被截获的地点分别为M ，N ，30︒求M ，N 之间的距离.【答案】(1)点P 在圆心为，的圆上；()44r =(2)【分析】（1）根据巡逻艇航速是走私船航速的2倍，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）根据点到直线距离公式，结合勾股定理进行求解即可.【详解】（1）∵巡逻艇航速是走私船航速的2倍， ∴，2OP AP =设，(),P x y ()A=化简得：，(()22416x y -+-=即点P 在圆心为，的圆上；()44r=（2）令直线的斜率为k ，，且直线过点， AM k =AM ()A 可求得直线的方程为，AM 3y x -=-，60y +-=P 在圆心，的圆上， ()44r =圆心到直线的距离为 AM d =∴，∴.MN ==MN =20．如图，已知长方形中，为的中点.将沿折ABCD AB =AD =M DC ADM △AM 起，使得平面平面.ADM ⊥ABCM （1）求证：；AD BM ⊥（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角E DB E E AM D --【答案】（1）（见解析2）见解析 【详解】试题分析：（1）先利用平面几何知识得到线线垂直，再利用面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量共线得到有关点的坐标，再利用空间向量进行求解.试题解析：（1）证明：长方形中，，为的中点， ABCD AB =AD =M DC ，.2AM BM ∴==BM AM ∴⊥平面平面，平面平面，平面 ADM ⊥ABCM ADM ⋂ABCM AM =BM ⊂ABCM 平面BM ∴⊥ADM 平面ADMAD ⊂ .AD BM ∴⊥（2）建立如图所示的直角坐标系设，则平面的一个法向量，DE DB λ= AMD ()0,1,0n = ,， ME MD DB λ=+=()1,2,1λλλ--()2,0,0AM =-设平面的一个法向量,则AME (),,m x y z = ()20{210x y z λλ=+-=取，得，，所以， 1y =0x =1y =21z λλ=-20,1,1m λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭因为， ．得或 cos ,m n 〈〉= m n m n ⋅= 13λ=1λ=-经检验得满足题意，所以为的三等分点. 13λ=E BD 21．已知圆.22:68160C x y x y +--+=(1)直线l 在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切，求l 的方程；(2)已知圆心在原点的圆O 与圆C 外切，过点作直线，与圆O 交于异于点P 的点A ，()2,0P PA PB B ，若，则直线是否恒过定点？若过定点，则求出该定点，若不过，说明理由；2PA PB k k ⋅=-AB （其中，分别为直线，的斜率）.PA k PB k PA PB【答案】(1)或或7240x y -=70x y +--=70x y +-+=(2)过定点， 2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）①若直线l 过原点，设直线l 的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列式y kx =求出；若直线l 不过原点，设出直线方程的截距式，根据圆心到直线的距离等于半径列式可求出k 直线方程；（2）根据两圆外切求出圆的方程，设直线，代入圆的方程，求出的坐标，将O ():2PA y k x =-A 的坐标中的换成得的坐标，求出直线的斜率，得直线的方程，根据方程可得直线A k 2k-B AB AB 所过定点.【详解】（1）圆化为标准形式为，22:68160C x y x y +--+=()()22349x y -+-=∴圆C 的圆心为，半径为3，()3,4因为直线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，①若直线l 过原点，则设直线l 的方程为，即，y kx =0kx y -=因为直线l 与圆C 相切，所以，即，解得， 3d r =247k =724k =故直线l 的方程为.7240x y -=②若直线l 不过原点，切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则假设直线l 的方程为，即， 1x y a a+=0x y a +-=因为直线l 与圆C 相切，∴，3d r =∴7a -=7a =+7a =-∴直线l 的方程为或，70x y +--=70x y +-+=综上所述直线l 的方程为或或.7240x y -=70x y +--=70x y +-+=（2）∵圆心在原点的圆O 与圆C 外切，设圆的半径为，O r 则，故圆O 的半径，圆O 的方程为，53OC r ==+2r =224x y +=设点,，(,)A A A x y (,)B B B x y 设直线，():2PA y k x =-联立直线和圆方程得，消去得， 22(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩y ()222214440k x k x k +-+-=由韦达定理有，解得，则， 2241A P k x x k +=+22221A k x k -=+241A k y k -=+∵， ，∴， 2PA PB k k ⋅=-PA k k =2PB k k=-将中的k 换成化简可得， 22221A k x k -=+2k -22284B k x k -+=+将中的k 换成化简可得， 241A k y k -=+2k -284B k y k =+所以， 2222224814222814A B AB A B k k y y k k k k k x x k k ---++==--+--++232k k =-直线，化简得， 22224322:121k k k AB y x k k k ⎛⎫--⎛⎫-=- ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭23223k y x k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭所以直线过定点. AB 2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭22．已知，，为的三个顶点，圆Q 为的内切圆，点P 在圆()2,2A --()2,6B -()4,2C -ABC A ABC A Q 上运动.(1)求圆Q 的标准方程；(2)求以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值；PA PB PC (3)若，，求的最大值. ()1,0M -3,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭sin MPN ∠【答案】(1)224x y +=(2)最大值为，最小值为22π18π(3)1011【分析】（1）先判断出为直角三角形，利用面积关系求出内切圆的半径，结合图形求出圆心ABC A 坐标，然后可得圆Q 的标准方程；（2）设，利用两点间的距离公式和圆的面积公式将圆的面积之和表示为的函数，根据(),P x y y 可求出结果； 22y -≤≤（3）根据对称性，只研究P 点在x 轴上方，即的情况，此时先求出的最大值，然0y ≥tan MPN ∠后根据同角公式可出的最大值.sin MPN ∠【详解】（1）因为，，，所以为直角三角形，如图： 8AB =6AC =10BC =ABC A设的内切圆的半径为，ABC A r 由得， 1||||2ABC S AB AC =⋅!1(||||||)2r AB AC BC =++||||||||||AB AC r AB AC BC ⋅=++8628610⨯==++由图可知，圆心为，所以圆.()0,0Q 22:4Q x y +=（2）设，，(),P x y 224x y +=，()()2222222448PA x y x y x y =+++=++++4412x y =++，()()222222641240PB x y x y x y =++-=++-+41244x y =-+， ()()22222428420PC x y x y x y =-++=+-++8424x y =-++222||||||πππ222PA PB PC S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()222π4PA PB PC =++()π44124124484244x y x y x y =+++-+-++， ()π4804y =-+因为，所以，22y -≤≤18π22πS ≤≤所以以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值分别为，. PA PB PC 22π18π（3）设，则，(),P x y 224x y +=根据对称性，只研究P 点在x 轴上方，即的情况，0y≥当垂直x 轴时，，PN (P-tanMPN ∠===当垂直x 轴时，，PM (P -tan MPN ∠==当和都不垂直轴时，，， PN PM x 32PN yk x =-1PM y k x =+()tan tan πMPN PNM PMN ∠=-∠-∠()tan PNM PMN =-∠+∠ tan tan 1tan tan PNM PMN PNM PMN∠+∠=--∠⋅∠ 1PN PM PN PMk k k k -+=-+⋅ 31211312PN PM PN PM y y x x k k y y k k x x -+--==++⨯+-22521322y x y x =+--5213422y x =--， ()5555y y x x ==---因为为点与的斜率， 5y x -(,)P x y ()5,0E 如图：由图可知，当直线与圆相切时，取得最小值， PE Q 5y x -设直线：，即， PE (5)y k x =-(0)k <50kx y k --=(0)k <，结合，得2=0k<k ==所以， min 5y x⎛⎫= ⎪-⎝⎭()max tan MPN ∠，>>()max tan MPN∠=由于，所以当取最大值时，取最大值，取最大值， 090MPN ≤∠< tan MPN ∠MPN ∠sin MPN ∠所以. ()max 10sin 11MPN ∠====。
重庆市高二上学期期中数学试卷(理科)D卷(测试)
B . 2550
C . 2651
D . 2652
9. （2分） (2017高三上·赣州期中) 若函数 ，则关于m的不等式 的解集为（ ）
A .
B . （0，2）
C .
D .
10. （2分） 在△ABC中，a=2，b= ， ∠A= ， 则∠B=（ ）
A . 30°
B . 30°或150°
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn= +（﹣1）nan ， 求数列{bn}的前2n项和．
19. （5分） (2017·盐城模拟) 一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示．ABCD是等腰梯形，AB=20米，∠CBF=α（F在AB的延长线上，α为锐角）．圆E与AD，BC都相切，且其半径长为100﹣80sinα米．EO是垂直于AB的一个立柱，则当sinα的值设计为多少时，立柱EO最矮？
B . {2，4}
C . {1，3}
D . {2，5}
2. （2分） 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则 等于（ ）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2016高一下·桃江开学考) 已知点M（a，b）在直线4x﹣3y+c=0上，若（a﹣1）2+（b﹣1）2的最小值为4，则实数c的值为（ ）
（1） 若数列an=n（1≤n≤13，n∈N*），试找出一组满足条件的M1，M2，M3，使得：M22=M1M3；
（2） 试证明对于数列an=n（n∈N*），一定可通过适当的划分，使所得的数列{Mn}中的各数都为平方数；
（3） 若等差数列{an}中a1=1，d=2．试探索该数列中是否存在无穷整数数列{tn}，（1≤t1＜t2＜t3＜…＜tn），n∈N*，使得{Mn}为等比数列，如存在，就求出数列{Mn}；如不存在，则说明理由．
重庆市高二上学期期中数学试卷(理科)
重庆市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2016高一下·江阴期中) 在平面直角坐标系xOy中，直线x+（m+1）y=2﹣m与直线mx+2y=﹣8互相垂直，则实数m=________．2. （1分） (2016高二上·友谊开学考) 以点（2，﹣1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是________．3. （1分） (2017高一下·扶余期末) 过两点A ，B 的直线l的倾斜角为45°，则m＝________．4. （1分） (2015高一下·厦门期中) 过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程________5. （1分）(2016·陕西模拟) 不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．6. （2分）已知直线l1：ax+y﹣1=0，l2：2x+（a﹣1）y+2=0，若l1∥l2 ，则a=________，l1与l2的距离为________．7. （1分） (2017高一下·启东期末) 已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为________．8. （1分）(2017·蚌埠模拟) 《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率π=3），则该圆柱形容器能放米________斛．9. （1分） (2017高一下·定州期末) 直线x+7y﹣5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值为________．10. （1分） (2017高二上·定州期末) 如图，过椭圆上顶点和右顶点分别作圆的两条切线，两切线的斜率之积为，则椭圆的离心率的取值范围是________．11. （1分） (2016高一上·石家庄期中) 给出下列四种说法：①函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数y=logaax（a＞0且a≠1）的定义域相同；②函数y=x3与y=3x的值域相同；③函数y= + 与y= 都是奇函数；④函数y=（x﹣1）2与y=2x﹣1在区间[0，+∞）上都是增函数．其中正确的序号是________（把你认为正确叙述的序号都填上）．12. （1分） (2016高二上·宝应期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），点B是圆C：（x﹣2）2+y2=4上的点，点M为AB的中点，若直线上存在点P，使得∠OPM=30°，则实数k的取值范围为________．13. （1分）已知体积相等的正方体和球的表面积分别为S1 ， S2 ，则（）3的值是________．14. （1分） (2016高二下·市北期中) 圆心坐标为（1，2），且与直线2x+y+1=0相切的圆的方程为________．二、解答题 (共6题；共32分)15. （10分） (2017高二下·盘山开学考) 如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）是否存在这样的E点，使得平面A1BD⊥平面EBD？若存在，请找出这样的E点；若不存在，请说明理由．16. （5分） (2017高二下·雅安期末) 已知p：﹣x2+4x+12≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（Ⅰ）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若“￢p”是“￢q”的充分条件，求实数m的取值范围．17. （5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC=60°，AA1=AC=BC=1，A1B=．（1）求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；（2）如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CD．18. （2分）填空题（1）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣15=0的最大距离是________．（2）两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是________．19. （5分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心C在直线x+y﹣1=0上，且点C在第二象限，半径为．（1）求圆C的方程；（2）斜率为2的直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|=2，求直线l方程．20. （5分） (2017高一下·河北期末) 若圆C1：x2+y2=m与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0外切．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若圆C1与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点，且点P在圆C1上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共32分)15-1、15-2、16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、。
重庆市2016-2017学年高二上学期期中考试数学理试题Word版含答案
2016~2017学年重庆市第18中学高二（上）期中考试数学试题（理科）一、选择题：此题共12小题，每题5分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．直线30x y a +-=与0126=++y x 的位置关系是 A ．相交B ．平行C ．重合D ．平行或重合2．设n m ,是两条直线，βα,是两个平面，给出四个命题①,,//,//m n m n αββα⊂⊂βα//⇒ ②,//m n m n αα⊥⊥⇒ ③αα////,//n n m m ⇒ ④,m m αβαβ⊥⊂⇒⊥ 其中真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．33．圆1O ：0222=-+x y x 和圆2O ：0422=-+y y x 的位置关系是 A ．相离 B ．内切 C ．外切 D ．相交 4．空间四边形ABCD 中，2==BC AD ，E ，F 别离是AB ，CD 的中点，3=EF ，那么异面直线AD ，BC 所成的角的补角为A ．120 B ．60 C ．90 D ．305．一个锥体的正视图和侧视图如下图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是6．已知圆C ：0422=-++mx y x 上存在两点关于直线03=+-y x 对称，那么实数m 的值为 A ．8B ．4-C ．6D ．无法确信7．过点)4,1(A ，且横纵截距的绝对值相等的直线共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．将你手中的笔想放哪就放哪，愿咋放就咋放，总能在教室地面上画一条直线，使之与笔所在的直线A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直9．一束光线从点(1,1)A -动身，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短途径是 A ．4 B ．5 C ．321- D ．2610．已知点),(n m P 是直线052=++y x 上的任意一点，那么22)2()1(++-n m 的最小值为 A ．5 B ．5 C ．558 D ．5511．已知圆C ：()()14322=-+-y x 和两点)0,(m A -，)0,(m B )0(>m ，假设圆C 上存在点P ，使得090=∠APB ，那么m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．412．已知点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，2==BC AB ，AC =22。
重庆市高二上学期期中数学试卷(理科)
重庆市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）以下正确命题的个数为（）①命题“存在，”的否定是：“不存在，”；②函数的零点在区间内；③ 函数的图象的切线的斜率的最大值是；④线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.A .B .C .D .2. （2分）下列结论中，正确的是（）①命题“如果p2+q2=2，则”的逆否命题是“如果p+q>2，则”；②已知a,b,c为非零的平面向量．甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③p:y=ax(a>0)且是周期函数，q:y=sinx是周期函数，则是真命题；④命题p:的否定是：．A . ①②B . ①④C . ①②④D . ①③④3. （2分） (2017高一下·扶余期末) 若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 异面D . 以上均有可能4. （2分） (2019高二上·德惠期中) “k＞9”是“方程表示双曲线”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高一下·赣州期中) 下列命题正确的是（）A . 单位向量都相等B . 若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C . | + |=| ﹣ |，则• =0D . 若与是单位向量，则• =16. （2分）已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，给出下列命题，其中正确的是（）A . 若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥βB . 若m∥β，n∥β，m、n⊂α，则α∥βC . 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD . 若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β7. （2分）给出下列命题，其中错误命题的个数为（）（1）直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面．A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分） (2017高二下·仙桃期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .9. （2分）截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）A . 圆台B . 圆柱C . 圆锥D . 球10. （2分） (2016高三上·珠海模拟) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1 ， B1C1的中点，O是AC与BD的交点，面OEF与面BCC1B1相交于m，面OD1E与面BCC1B1相交于n，则直线m，n的夹角为（）A . 0B .C .D .11. （2分）若一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面互相垂直，则这两个二面角的大小（）A . 相等B . 互补C . 相等或互补D . 无法确定12. （2分）(2017·番禺模拟) 三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A . 48πB . 32πC . 12πD . 8π二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018高二下·邗江期中) 若向量，满足条件，则 ________.14. （1分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 学校艺术节对同一类的，，，四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是或作品获得一等奖”；乙说：“ 作品获得一等奖”；丙说：“ ，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．15. （1分）已知矩形ABCD的边AB=4，BC=3，若沿对角线AC折叠，使得平面DAC⊥平面BAC，则三棱柱D﹣ABC的体积________16. （1分）(2020·漳州模拟) 已知正方体的棱长为4，点P是的中点，点M在侧面内，若，则面积的最小值为________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知命题p：方程x2﹣mx+1=0有实数解，命题q：函数f（x）=log2（x2﹣2x+m）的定义域为R，若命题p∨q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．18. （5分） (2015高二上·福建期末) 已知命题P：方程表示双曲线；命题q：1﹣m＜t＜1+m（m＞0），若￢p是￢q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．19. （10分） (2016高三上·上海模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（1）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（2）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．20. （10分）(2020·海安模拟) 在棱长为的正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O 上一点，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.21. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB= ，PA=PD，点E为CD边的中点，BD⊥PE．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若∠APD= ，四棱锥P﹣ABCD的体积为2，求点A到平面PBE的距离．22. （10分） (2017高二下·大名期中) 如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE= ，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．（1）证明：AG∥平面BDE．（2）求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
重庆市2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
重庆市2016-2017学年高二上学期期中试卷理科数学一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等3．椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4．若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面5．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣6．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=（）A．1 B．2 C．4 D．47．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°8．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要9．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题①②③④其中正确的命题是（）A． ①② B． ③④C． ③ D． ③②10．P是椭圆上的一点，F1、F2分别是左右焦点，若|PF1|=3|PF2|，则过点P的椭圆的切线的斜率是（）A．B．C．D．11．已知+=1（m＞0，n＞0），当mn取得最小值时，直线y=﹣+2与曲线+=1的交点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k的值为（）A．e+B．e2+ C．e2+D．e+二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．14．设双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为．15．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为弧度．16．抛物线y2=4x，直线l过焦点F，与其交于A，B两点，且，则△AOB（O为坐标原点）面积为．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．设定函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．18．已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且，E是AB中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求点E到平面PAC的距离．19．已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，求线段AB的最大值．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C 的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：FD垂直平分AQ，并求出抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，AB交y轴于点（0，m），若∠APB为锐角，求m的取值范围．22．已知函数f（x）=x2﹣lnx+x+1，g（x）=ae x++ax﹣2a﹣1，其中a∈R．（Ⅰ）若a=2，求f（x）的极值点；（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若a＞0，∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数），求a的最小值．重庆市2016-2017学年高二上学期期中试卷(理科数学)参考答案与试题解析一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π【考点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】求出正方体的棱长，然后求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积．【解答】解：正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积S=4πR2=4π，故选C【点评】本题是基础题，考查正方体体积的应用，正方体的内切球的表面积的求法，考查计算能力．2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．3．椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件直接求出方程推出离心率即可．【解答】解：椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，可得c=，解得e=．故选：D．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，基本知识的考查．4．若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】选项A由反证法得出判断；选项B由异面直线的公垂线唯一得出判断；选项C、D可借用图形提供反例．【解答】解：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与l、m异面矛盾，故选项A错误；由于l、m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确；对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误；若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．故选B．【点评】本题考查直线与异面直线平行、垂直、相交、异面的情况，同时考查空间想象能力．5．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知，该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得．【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=4×3×2=24；半个圆柱的体积为V2==，则V=24﹣．故选A．【点评】考查了学生的空间想象力及三视图的等量关系．6．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=（）A．1 B．2 C．4 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2，求得A的坐标，即可得到AB⊥x 轴，可得|BF|=|AF|=2．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），准线为x=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2，解得x1=1，y1=±2，即有AB⊥x轴，可得|BF|=|AF|=2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，运用定义法解题是关键，考查运算能力，属于基础题．7．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故选D．【点评】本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质．8．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】定义法；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，再通过线面垂直的定义及线面垂直的判定定理进行判断，得出结论．【解答】解：∵l⊥α由线面垂直的定义知：l⊥m，且l⊥n．又∵由线面垂直的判定定理知l⊥m，且l⊥n推不出l⊥α．∴“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题能充分考查学生对线面垂直的定义及线面垂直定理的理解，并能对充分、必要条件的概念有个更深刻的理解．9．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题①②③④其中正确的命题是（）A． ①② B． ③④C． ③ D． ③②【考点】命题的真假判断与应用．【专题】运动思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：由α、β、γ为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同直线，知：①、a与b相交或a与b异面，故①错误②或α与β相交，故②错误；③，由平面与平面平行的判定定理得③正确；④或a⊂α，故④错误；故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．P是椭圆上的一点，F1、F2分别是左右焦点，若|PF1|=3|PF2|，则过点P的椭圆的切线的斜率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】分类讨论；转化法；导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据椭圆的定义求出|PF2|=1，结合椭圆的焦半径公式，求出P的横坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线斜率．【解答】解：在中，a2=4，b2=2，c2=a2﹣b2=4﹣2=2，则c=，a=2，e==，∵|PF1|=3|PF2|，|PF1|+|PF2|=2a=4，∴4|PF2|=4，则|PF2|=1，设P（x0，y0），则由|PF2|=a﹣ex0=1，得2﹣x0=1，即x0=1，得x0=，则设P（x0，y0），若P为第一象限的点，则y=，则y′=﹣，当x=时，切线斜率k=f′（）=﹣=﹣，若P为第四象限的点，则y=﹣，则y′=，当x=时，切线斜率k=f′（）==，故过点P的椭圆的切线的斜率是，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆性质的应用，根据条件的定义结合焦半径公式求出P点的横坐标，利用导数的几何意义是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．11．已知+=1（m＞0，n＞0），当mn取得最小值时，直线y=﹣+2与曲线+=1的交点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断；基本不等式．【专题】计算题．【分析】由基本不等式可得mn的值，由分类讨论去掉绝对值可得曲线，作出两个图象可得答案．【解答】解：∵1=+≥2，∴≤，mn≥8，当且仅当，即m=2，n=4时，mn取得最小值8，故曲线方程为，当x≥0，y≥0时，方程化为当x＜0，y＞0时，方程化为﹣，当x＞0，y＜0时，方程化为，当x＜0，y＜0时，无意义，由圆锥曲线可作出方程和直线y=﹣+2与的图象，由图象可知，交点的个数为2，故选B【点评】本题考查根的存在性及判断，涉及基本不等式和圆锥曲线的知识，属中档题．12．已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k的值为（）A．e+B．e2+ C．e2+D．e+【考点】函数的零点．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】令f（x）=﹣x﹣+2e=0可得k=﹣x2+2ex；再设g（x）=﹣x2+2ex，从而求导得g′（x）=﹣2（x﹣e）；利用导数判断单调性求出极值，运用函数g（x）=﹣x2+2ex与直线y=k的图象的交点判断即可．【解答】解：函数f（x）=﹣x﹣+2e的定义域为（0，+∞），令f（x）=﹣x﹣+2e=0可得k=﹣x2+2ex；设g（x）=﹣x2+2ex，则g′（x）=﹣2（x﹣e）；故当g′（x）＞0时，则0＜x＜e；当g′（x）＜0时，则x＞e；当g′（x）=0时，则x=e；∴g（x）=﹣x2+2ex在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；故x=e时g（x）最大值为g（e）=e2+，∵函数f（x）=）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，∴函数y=k与g（x）只有一个交点，故结合图象可知，k=e2+，故选B．【点评】本题考查了函数的导数在求解函数最值，极值中的应用，函数零点转化为函数交点问题求解，属于中档题．二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．14．设双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为．【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知设双曲线C的方程为﹣x2=λ，（λ≠0），由此利用待定系数法能求出双曲线C的方程．【解答】解：∵双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，∴设双曲线C的方程为﹣x2=λ，（λ≠0），把点（1，3）代入，得：，解得λ=2，∴双曲线C的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．15．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为π弧度．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】画出圆锥的侧面展开图，根据展开图与圆锥的对应东西解出．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则l=2r，于是侧面展开图的扇形半径为l，弧长为2πr，∴圆心角α==π．故答案为：π．【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图，是一道基础题．16．抛物线y2=4x，直线l过焦点F，与其交于A，B两点，且，则△AOB（O为坐标原点）面积为．【考点】圆锥曲线与平面向量；直线与圆锥曲线的关系；圆锥曲线的最值问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+1，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），设直线l为x=my+1，代入抛物线方程可得，y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由=4，可得y1=﹣3y2，由代入法，可得m2=，又△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|===．故答案为：【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系的综合应用，主要考查韦达定理和向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．设定函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】导数的概念及应用．【分析】先对函数f（x）进行求导，然后代入f′（x）﹣9x=0中，再由方程有两根1、4可得两等式；（1）将a的值代入即可求出b，c的值，再由f（0）=0可求d的值，进而确定函数解析式．（2）f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点即函数f（x）是单调函数，且可判断是单调增函数，再由导函数大于等于0在R上恒成立可解．【解答】解：由得f′（x）=ax2+2bx+c因为f′（x）﹣9x=ax2+2bx+c﹣9x=0的两个根分别为1，4，所以（*）（Ⅰ）当a=3时，又由（*）式得解得b=﹣3，c=12又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0，故f（x）=x3﹣3x2+12x．（Ⅱ）由于a＞0，所以“在（﹣∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（﹣∞，+∞）内恒成立”．由（*）式得2b=9﹣5a，c=4a．又△=（2b）2﹣4ac=9（a﹣1）（a﹣9）解得a∈即a的取值范围【点评】本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．属基础题．18．已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且，E是AB中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求点E到平面PAC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明BC⊥AE．PB⊥AE，即可证明AE⊥平面PBC．（2）利用点E到平面PAC的距离为点B到平面PAC的距离的．连接BD，交AC于点O，则AC⊥BO，求解BO即可．【解答】解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PA⊥BC．又∵正方形ABCD，∴AB⊥BC．∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE．又∵PA=AB，E是AB中点，∴PB⊥AE．∵PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC．（2）∵E是AB中点，∴点E到平面PAC的距离为点B到平面PAC的距离的．连接BD，交AC于点O，则AC⊥BO，又∵PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，∴PA⊥BO．∵AC∩PA=A，∴BO⊥平面PAC．∴BO为点B到平面PAC的距离．∵，∴BO=1．∴．【点评】本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及距离投篮能力．19．已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，求线段AB的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）路椭圆的离心率以及焦点坐标，求出a，b，即可求解椭圆的标准方程．（2）设出A，B坐标，联立方程组，利用韦达定理以及表达式，求解弦长，通过二次函数的性质求解最值．【解答】解：（1）椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．可得：；解得b=2，椭圆的方程为：．（2）设A（x1y1），B（x2y2），由∴，∴∴当．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）连接AC，CD1，推导出PQ∥CD1，由此能证明PQ∥平面D1DCC1．（2）取A1D1中点F，连接FP，FE，FC，推导出四边形FPDE是平行四边形，从而∠FEC或其补角中的锐角或直角为异面直线CE和DP所成角，由此能求出异面直线CE和DP所成角的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，CD1，∵底面ABCD为正方形，Q是BD中点，∴Q是AC中点，又P是AD1中点，∴PQ∥CD1，∵CD1⊂平面D1DCC1，PQ⊄平面D1DCC1，∴PQ∥平面D1DCC1．解：（2）取A1D1中点F，连接FP，FE，FC，设正方体棱长为a．∴FP，∴，∴．故四边形FPDE是平行四边形，∴FE∥DP∴∠FEC或其补角中的锐角或直角为异面直线CE和DP所成角．在．∴异面直线CE和DP所成角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C 的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：FD垂直平分AQ，并求出抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，AB交y轴于点（0，m），若∠APB为锐角，求m的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设A（x1，y1），求出切线AD的方程，推出|PQ|，通过|FD|=2时，∠AFD=60°求出p=2，抛物线方程．（2）设B（x2，y2）（x2＜0）则B处的切线方程为，联立直线椭圆方程组，求出P的坐标；法一：利用∠APB为锐角，数量积大于0，直线AB过（0，m），推出m的取值范围．法二：令y=kx+m，联立借助韦达定理，数量积的关系，推出【解答】解：（1）设A（x1，y1），则切线AD的方程为：y=，所以D（），Q（0，﹣y1）；|PQ|=，，所以|FQ|=|FA|，且D为AQ中点，所以DF⊥AQ，∵|DF|=2，∠AFD=60°，∴，得p=2，抛物线方程为x2=4y（2）设B（x2，y2）（x2＜0）则B处的切线方程为由，法一：，∵∠APB为锐角，∴直线AB：将（0，m）代入的，∴m的取值范围为（1，+∞）．法二：令y=kx+m，由得x2﹣4kx﹣4m=0x1+x2=4k，x1x2=﹣4m∴∴+（2km﹣2k）（x1+x2）+4k2+4m2=4（m﹣1）k2+4m2﹣4m＞0对任意k恒成立．∴【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率的数量积的应用，考查转化思想与分析问题解决问题的能力．22．已知函数f（x）=x2﹣lnx+x+1，g（x）=ae x++ax﹣2a﹣1，其中a∈R．（Ⅰ）若a=2，求f（x）的极值点；（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若a＞0，∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数），求a的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导f′（x）=ax﹣+1，x∈（0，+∞），从而令导数为0求极值点；（Ⅱ）求导f′（x）=ax﹣+1=，讨论a的取值以确定导数的正负，从而确定函数的单调性；（Ⅲ）令h（x）=g（x）﹣f′（x）=ae x+﹣2（a+1），x＞0，从而求导h′（x）=ae x﹣=，再令p（x）=ae x•x2﹣（a+1），再求导p′（x）=ae x•x（x+2）＞0，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求得h min（x）=h（x0）=ae x0+﹣2（a+1），从而化恒成立问题为最值问题，再转化为+﹣2（a+1）≥0，从而可得0＜≤e，从而求解．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=ax﹣+1，x∈（0，+∞），∴a=2时，f′（x）=2x﹣+1===0，∴解得x=，x=﹣1（舍）；即f（x）的极值点为x0=．（Ⅱ）f′（x）=ax﹣+1=，（1）a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；a≠0时，对二次方程ax2+x﹣1=0，△=1+4a，（2）若1+4a≤0，即a≤﹣时，ax2+x﹣1＜0，而x＞0，故f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数；（3）若1+4a＞0，即a＞﹣时，ax2+x﹣1=0的根为x1=，x2=，①若﹣＜a＜0，则＞＞0，∴当x∈（，）时，ax2+x﹣1＞0，即f′（x）＞0，得f（x）是增函数；当x∈（0，），（，+∞）时，ax2+x﹣1＜0，即f′（x）＜0，得f（x）是减函数．②若a＞0，＜0＜，∴当x∈（0，）时，ax2+x﹣1＜0，即f′（x）＜0，得f（x）是减函数；当x∈（，+∞）时，ax2+x﹣1＞0，即f′（x）＞0得f（x）是增函数．∴综上所述，a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当﹣＜a＜0时，f（x）在（，）上是增函数，在（0，），（，+∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（，+∞）上是增函数，在（0，）上是减函数．（Ⅲ）令h（x）=g（x）﹣f′（x）=ae x+﹣2（a+1），x＞0，于是h′（x）=ae x﹣=．令p（x）=ae x•x2﹣（a+1），则p′（x）=ae x•x（x+2）＞0，即p（x）在（0，+∞）上是增函数．∵p（x）=﹣（a+1）＜0，而当x→+∞时，p（x）→+∞，∴∃x0∈（0，+∞），使得p（x0）=0．∴当x∈（0，x0）时，p（x）＜0，即h′（x）＜0，此时，h（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，p（x）＞0，即h′（x）＞0，此时，h（x）单调递增，∴h min（x）=h（x0）=ae x0+﹣2（a+1），①由p（x0）=0可得ae x0•﹣（a+1）=0，整理得ae x0=，②代入①中，得h（x0）=+﹣2（a+1），由∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x），转化为+﹣2（a+1）≥0，③因为a＞0，③式可化为+﹣2≥0，整理得﹣x0﹣1≤0，解得﹣≤x0≤1；再由x0＞0，于是0＜x0≤1；由②可得e x0•=；令m（x0）=e x0•，则根据p（x）的单调性易得m（x0）在（0，1]是增函数，∴m（0）＜m（x0）≤m（1），即0＜≤e，解得a≥，即a的最小值为．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题．。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
重庆市南川中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(
2016-2017学年重庆市南川中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A．B．C． D．2．若直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），平面α的法向量为=（﹣2，2，﹣4），则（）A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交3．命题“∃x＜0，2x＞0”的否定是（）A．∃x＜0，2x≤0 B．∃x＞0，2x≤0 C．∀x＜0，2x＞0 D．∀x＜0，2x≤0 4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面5．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m外切，则m=（）A．9 B．19 C．21 D．﹣116．“直线ax+y+1=0与（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”是“a=1”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．58．下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（）A． B．C．D．9．如图在正方体AC1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．10．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为（）A．B．C． +D． +211．直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．如果直线2ax﹣by+14=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m x+1+1（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围是（）A．[，）B．（，]C．[，] D．（，）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）13．已知直线过点（2，0）与（0，﹣3），则该直线的方程为．14．方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，则a的取值范围是．15．已知A、B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为．16．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l的方程为3x﹣4y+4=0（1）求过点（﹣2，2）且与直线l垂直的直线方程；（2）求与直线l平行且距离为2的直线方程．18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≤0，（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点．（1）求证：平面EFG∥平面PMA；（2）求证：平面EFG⊥平面PDC．20．（12分）在矩形ABCD中，以DA所在直线为x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点B的坐标为（3，2），E、F为AD 的两个三等分点，AC和BF交于点G，△BEG的外接圆为⊙H．（1）求证：EG⊥BF；（2）求⊙H的方程．21．（12分）在如图所示的圆锥中，OP是圆锥的高，AB是底面圆的直径，点C 是弧AB的中点，E是线段AC的中点，D是线段PB的中点，且PO=2，OB=1．（1）试在PB上确定一点F，使得EF∥面COD，并说明理由；（2）求点A到面COD的距离．22．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．2016-2017学年重庆市南川中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】x﹣y+1=0变为：y=x+1，求出它的斜率，进而求出倾斜角．【解答】解：将x﹣y+1=0变为：y=x+1，则直线的斜率k=1，由tan=1得，所求的倾斜角是，故选A．【点评】由直线方程求直线的斜率或倾斜角，需要转化为斜截式求出斜率，再由公式对应的倾斜角．2．若直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），平面α的法向量为=（﹣2，2，﹣4），则（）A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交【考点】平面的法向量．【分析】=（1，﹣1，2），=（﹣2，2，﹣4），可得，即可得出l与α的位置关系．【解答】解：∵=（1，﹣1，2），=（﹣2，2，﹣4），∴，∴l⊥α．故选：B．【点评】本题考查了共线向量、线面垂直的判定定理，属于基础题．3．命题“∃x＜0，2x＞0”的否定是（）A．∃x＜0，2x≤0 B．∃x＞0，2x≤0 C．∀x＜0，2x＞0 D．∀x＜0，2x≤0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：根据特称命题的否定为全称命题，可得命题“∃x＜0，2x＞0”的否定是“∀x＜0，2x≤0”，故选：D．【点评】本题考查特称命题的否定．是基础题．4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．5．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m外切，则m=（）A．9 B．19 C．21 D．﹣11【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】利用圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m外切，可得圆心距等于半径的和，即可得出结论．【解答】解：∵圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m外切，∴32+42=（1+）2，∴m=9，故选A．【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判断与应用，考查计算能力，属于基础题．6．“直线ax+y+1=0与（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”是“a=1”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由两条直线相互垂直，可得：﹣a×（﹣）=﹣1，解得a，即可判断出结论．【解答】解：由两条直线相互垂直，可得：﹣a×（﹣）=﹣1，解得a=﹣3或1．∴“直线ax+y+1=0与（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”是“a=1”的必要不充分条件．故选：D．【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件及其判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE==2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．∴S△ABCS△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．8．下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（）A． B．C．D．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】在A中，由PQ∥SR，知P、Q、R、S四个点共面；在B中，由PQ∥SR，知P、Q、R、S四个点共面；在C中，由QR∥PA，知P、Q、R、S四个点共面；在D中，由QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，知四个点共面不共面．【解答】解：在A中，由题意知在正方体中，PQ∥A'C'，SR∥AC，所以PQ∥SR，则P、Q、R、S四个点共面，故A不对；在B中，由题意知在正方体中，PQ∥A'C'，SR∥A'C'，所以PQ∥SR，则P、Q、R、S四个点共面，故B不对；在C中，因为PR和QS分别是相邻侧面的中位线，所以PR∥BS，QS∥BD，即QR∥PA，所以P、Q、R、S四个点共面，故C不对；在D中，根据图中几何体得，P、Q、R、S四个点中任意两个点都在两个平面内，QR∥BD，PS∥AB，因为AB与BD相交，所以QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，故四个点共面不共面，故D对；故选：D．【点评】本题考查四点是否共面的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9．如图在正方体AC1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】设正方体的棱长等于1，建立空间直角坐标系，得出D、B、C1、A1各点的坐标，从而得出、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组解出=（1，﹣1，﹣1）是平面A1BD的一个法向量，利用向量的夹角公式算出cos＜，＞的值，即得直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值，最后利用同角三角函数关系可得直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值．【解答】解：分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系设正方体的棱长等于1，可得D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），∴=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）设=（x，y，z）是平面A1BD的一个法向量，则，取x=1，得y=z=﹣1∴平面A1BD的一个法向量为=（1，﹣1，﹣1）设直线BC1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==∴cosθ==，即直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是．故选：B．【点评】本题给出正方体模型，求直线与平面所成角的余弦值，着重考查了正方体的性质、利用空间向量研究直线与平面所成角等知识，属于中档题．10．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为（）A．B．C． +D． +2【考点】直线与圆相交的性质；基本不等式．【分析】圆即（x+1）2+（y﹣2）2=4，表示以M（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，由题意可得圆心在直线ax﹣by+2=0上，得到a+2b=2，故=+++1，利用基本不等式求得式子的最小值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 即（x+1）2+（y﹣2）2=4，表示以M（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，由题意可得圆心在直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）上，故﹣1a﹣2b+2=0，即a+2b=2，∴=+=+++1≥+2=，当且仅当时，等号成立，故选C．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，以及基本不等式的应用，得到a+2b=2，是解题的关键．11．直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，从而求出向量，的坐标，从而BM与AN所成角的余弦值为||=．【解答】解：根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA=2，则：A（2，0，2），N（1，0，0），B（0，2，2），A1（2，0，0），B1（0，2，0），M（1，1，0）；∴；∴；∴BM与AN所成角的余弦值为．故选：D．【点评】考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的方法，能求出空间点的坐标，向量夹角余弦的坐标公式，弄清向量夹角和异面直线所成角的关系．12．如果直线2ax﹣by+14=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m x+1+1（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围是（）A．[，）B．（，]C．[，] D．（，）【考点】点与圆的位置关系；指数函数的单调性与特殊点．【分析】由幂函数求出定点坐标，把定点坐标代入直线和圆的方程，求出a的取值范围，从而求出的取值范围．【解答】解：∵当x+1=0，即x=﹣1时，y=f（x）=m x+1+1=1+1=2，∴函数f（x）的图象恒过一个定点（﹣1，2）；又直线2ax﹣by+14=0过定点（﹣1，2），∴a+b=7①；又定点（﹣1，2）在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，∴（﹣1﹣a+1）2+（2+b﹣2）2≤25，即a2+b2≤25②；由①②得，3≤a≤4，∴≤≤，∴==﹣1∈[，]；故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的方程以及函数与不等式的应用问题，是一道简单的综合试题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）13．已知直线过点（2，0）与（0，﹣3），则该直线的方程为=1．【考点】直线的两点式方程．【分析】由截距式，可得直线的方程．【解答】解：由截距式，可得直线的方程为=1．故答案为=1．【点评】本题考查直线的方程，涉及直线的截距，属基础题．14．方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a ﹣1=0表示圆，则a 的取值范围是 （﹣2，） ． 【考点】圆的一般方程．【分析】利用圆的一般式方程，D 2+E 2﹣4F ＞0即可求出a 的范围．【解答】解：方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a ﹣1=0表示圆，所以D 2+E 2﹣4F ＞0即a 2+（2a ）2﹣4（2a 2+a ﹣1）＞0，∴3a 2+4a ﹣4＜0，解得a 的取值范围是（﹣2，）．故答案为：（﹣2，）．【点评】本题考查圆的一般式方程的应用，不等式的解法，考查计算能力．15．已知A 、B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为，则球O 的表面积为 100π ．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为，求出半径，即可求出球O 的表面积． 【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC =V C ﹣AOB ==，故R=5，则球O 的表面积为4πR 2=100π，故答案为：100π．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．16．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．【考点】过两条直线交点的直线系方程；方程组解的个数与两直线的位置关系．【分析】先求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，利用四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，再应用二次函数的性质求出面积最小时的k 值．【解答】解：如图所示：直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y 轴的交点C（0，4﹣k），直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即2x﹣4+k2（y﹣4）=0，过定点（2，4 ），与x 轴的交点A（2 k2+2，0），由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+=4k2﹣k+8，∴k=时，所求四边形的面积最小，故答案为．【点评】本题考查直线过定点问题，二次函数的性质得应用，体现了转化及数形结合的数学思想．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2016秋•南川区校级期中）已知直线l的方程为3x﹣4y+4=0（1）求过点（﹣2，2）且与直线l垂直的直线方程；（2）求与直线l平行且距离为2的直线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）设与直线l：3x﹣4y+4=0垂直的直线方程为4x+3y+c=0，把点（﹣2，2）代入，能求出结果．（2）设与直线l平行且距离为2的直线方程为3x﹣4y+c=0，由平行线间的距离公式能求出结果．【解答】解：（1）设与直线l：3x﹣4y+4=0垂直的直线方程为4x+3y+c=0，把点（﹣2，2）代入，得：﹣8+6+c=0，解得c=2，∴过点（﹣2，2）且与直线l垂直的直线方程为：4x+3y+2=0．（2）设与直线l平行且距离为2的直线方程为3x﹣4y+c=0，则=2，解得c=14或c=2．∴与直线l平行且距离为2的直线方程为3x﹣4y+2=0或3x﹣4y+14=0．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线平行、直线与直线垂直的性质的合理运用．18．（12分）（2016春•潍坊期末）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≤0，（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（1）由a=1得到命题p下的不等式，并解出该不等式，解出命题q下的不等式，根据p∧q为真，得到p真q真，从而求出x的取值范围；（2）先求出￢p，￢q，根据￢p是￢q的充分不必要条件，即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）若a=1，解x2﹣4x+3＜0得：1＜x＜3，解得：2＜x ≤3；∴命题p：实数x满足1＜x＜3，命题q：实数x满足2＜x≤3；∵p∧q为真，∴p真，q真，∴x应满足，解得2＜x＜3，即x的取值范围为（2，3）；（2）￢q为：实数x满足x≤2，或x＞3；￢p为：实数x满足x2﹣4ax+3a2≥0，并解x2﹣4ax+3a2≥0得x≤a，或x≥3a；￢p是￢q的充分不必要条件，所以a应满足：a≤2，且3a＞3，解得1＜a≤2；∴a的取值范围为：（1，2]．【点评】考查解一元二次不等式，分式不等式，p∧q的真假情况，充分不必要条件的概念．19．（12分）（2016秋•南川区校级期中）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点．（1）求证：平面EFG∥平面PMA；（2）求证：平面EFG⊥平面PDC．【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）推导出EC∥PM，GF∥BC∥AD，由此能证明平面EFG∥平面PMA．（2）推导出BC⊥DC，且BC⊥PD，由此能证明平面EFG⊥平面PDC．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，∴EC∥PM，GF∥BC∥AD，∵PM与AD相交，EG∩GF=F，PM，AD⊂平面PMA，EG，GF⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PMA．（2）∵四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴BC⊥DC，且BC⊥PD，∵PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC，∵G、F分别为PB、PC的中点，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC，∵GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC．【点评】本题考查面面平行、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）（2016秋•南川区校级期中）在矩形ABCD中，以DA所在直线为x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点B的坐标为（3，2），E、F为AD的两个三等分点，AC和BF交于点G，△BEG的外接圆为⊙H．（1）求证：EG⊥BF；（2）求⊙H的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据题意可知A，B，C，F的坐标，进而求得AC和BF的直线方程，联立求得焦点G的坐标，进而求得EG，BF的斜率，根据二者的乘积为﹣1判断出EG⊥BF；（2）求得圆心和半径，进而求得圆的标准方程．【解答】（1）证明：由题意，A（3，0），B（3，2），C（﹣3，2），F（﹣1，0）．所以直线AC和直线BF的方程分别为：x+3y﹣3=0，x﹣2y+1=0，由，解得x=，y=，所以G点的坐标为（，）．所以k EG=﹣2，K BF=，因为k EG•k BF=﹣1，所以EG⊥BF，（2）解：⊙H的圆心为BE中点H（2，1），半径为BH=，所以⊙H方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．【点评】本题主要考查了直线与直线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016秋•石城县期中）在如图所示的圆锥中，OP是圆锥的高，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，E是线段AC的中点，D是线段PB的中点，且PO=2，OB=1．（1）试在PB上确定一点F，使得EF∥面COD，并说明理由；（2）求点A到面COD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连接BE，设BE∩OC=G，由题意G为△ABC的重心，可得=2，连接DG，利用EF∥平面COD，可得EF∥DG，进而得出F点的位置．（2）由PO ⊥平面ABC ，可得OC ⊥PO ，利用线面面面垂直的判定与性质定理可得OC ⊥平面POB ．OC ⊥OD ．利用V A ﹣OCD =V D ﹣AOC ，即可得出．【解答】解：（1）连接BE ，设BE ∩OC=G ，由题意G 为△ABC 的重心，∴ =2，连接DG ，∵EF ∥平面COD ，EF ⊂平面BEF ，平面BEF ∩平面COD=DG ， ∴EF ∥DG ，∴==2，又BD=DP ，∴DF=PF=PB ．∴点F 是PB 上靠近点P 的四等分点． （2）由PO ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥PO ，又点C 是弧AB 的中点，OC ⊥AB ，∴OC ⊥平面POB ． OD ⊂平面POB ，∴OC ⊥OD ．S △COD =OC•OD==．∵V A ﹣OCD =V D ﹣AOC ，∴ •S △COD •d=•PO ，∴d=，∴点A 到面COD 的距离．【点评】本题考查了空间位置关系、空间距离、线面面面平行与垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（12分）（2014•山东校级二模）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=60°，E 、F 分别是BC ，PC 的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）通过证明AE⊥BC．PA⊥AE．说明PA⊊平面PAD，AD⊊平面PAD且PA∩AD=A，利用直线与平面垂直的判定定理证明AE⊥平面PAD．（2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连结AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．（法一）在Rt△ESO中，求出cos∠ESO 的值即可．（法二）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面AEF的一个法向量为，求出平面AFC的一个法向量，利用二面角公式求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AE⊊平面ABCD，∴PA⊥AE．而PA⊊平面PAD，AD⊊平面PAD且PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD．（2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连结AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，∴当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．此时tan∠EHA===，因此AH=1．又AD=2，∴∠ADH=30°，∴PA=AD tan 30°=．（8分）（法一）∵PA⊥平面ABCD，PA⊊平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连结ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE•sin 30°=，AO=AE•cos 30°=．又F是PC的中点，如图，PC==，∴AF=PC=，sin∠SAO==，在Rt△ASO中，SO=AO•sin∠SAO=，∴SE===，在Rt△ESO中，cos∠ESO===，即所求二面角的余弦值为．（12分）（法二）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（，，），∴=（，0，0），=（，，）．设平面AEF的一个法向量为=（x1，y1，z1），则因此，取z1=﹣1，则m=（0，，﹣1），∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一个法向量．又=（﹣，3，0），∴cos＜，＞===．∵二面角E﹣AF﹣C为锐角，∴所求二面角的余弦值为．（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理，二面角的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便利用已知条件得到空间的线面关系，并且便于建立坐标系利用向量的有关运算解决空间角等问题．。
重庆市南川三校高二数学上学期期中试题
2017年秋半期联合诊断测试高二数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 已知直线的方程为260x y +-=，则该直线的斜率为（ ）A. 12-B. 12 C.2 D.2-2．直线y =3x -1的倾斜角为 ( ) A ． 150º B ． 60º C ．30º D ．-60º 3．直线3x +y +3=0与直线x -3y -5=0的位置关系是 ( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直 4. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π5.已知两圆122=+y x 和098622=+--+y x y x ，那么这两个圆的位置关系是（ ）A.相离B.相交C.外切D.内切6. 若l 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若//,,l ααβ⊥则l β⊥ D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ 7．已知圆：22(1)2x y -+=，则过该圆上的点(2,1)作圆的切线方程为（ ）A ．30x y +-=B ．250x y +-=C ．2x =D ．10x y --=8．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）9. 对任意实数K ,直线()011=--+Ky x K 与圆022222=---+y x y x 的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.与K 的值有关 10．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥B ．324kk ≤≥或 C ．324k ≤≤ D ．2k ≤ 11.如右图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1的夹角是 ( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°12.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A B ．C ．132D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 13．直线20x y +-=与0x y -=的交点坐标为__________.14．经过点（-2，0），与32:1+=x y l 平行的直线方程是 . 15．圆锥的轴截面是正三角形，则其侧面积是底面积的 倍．16．光线沿直线y =2x +1的方向射到直线x －y =0上被反射后，反射光线所在的直线方程是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分，(1)小问5分，（2）小问5分.)已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3）．（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求AB 边的高所在的直线方程.（直线方程均化为一般式方程）18.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分．）在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，O 分别是1,A B BD 的中点. （1）求证：//OM 平面11AA D D ； （2）求证：1OM BC ⊥.19.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分．）已知点(3,3),A -点(1,3)B 两点. （1）求以AB 为直径的圆C 的方程；（2）若直线230x y ++=与圆C 交于,M N 两不同点，求线段MN 的长度.20.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分．）如图所示，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是个边长为2正方形，侧棱⊥PA 底面ABCD ，且2=PA ，Q 是PA 的中点（1）证明：BD ⊥平面PAC ； （2）求三棱锥C BQD -的体积.ABCDOA 1B 1C 1D 1M21. （本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分．）定长为A ，B 分别在x ，y 轴上移动，M 为线段AB 的中点. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 经过点P （－1，2）且与轨迹C 交于M 、N 两点，求当弦MN 的长最短时直线l 的方程.22.（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分．）已知圆22(3)(4)16x y -+-=，直线1:0l kx y k --=，且直线1l 与圆交于不同的两点,P Q ，定点A 的坐标为(1,0).（1）求实数k 的取值范围；（2）若,P Q 两点的中点为M ，直线1l 与直线2:240l x y ++=的交点为N ， 求证：||||AM AN ⋅为定值.2017年下期高二半期联合诊断测试数学试题参考答案一、选择题：ACBBC、DADAB、BC二、填空题：13.（1,1）； 14.； 15. 2； 16. x-2 y-1=0三、解答题：17．(本小题满分10分，(1)小问5分，（2）小问5分.)解：（1）由两点式写方程得即（或由，得直线方程为直线AB的方程即 6x-y+11=0………………………………5分（2）设为AB边的高所在的直线方程的斜率，则由，得由AB边的高所在的直线过点C（4，3），得，即AB边的高所在的直线为………10分18.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分．）解：（1）连接，因为，分别是的中点，所以，且，所以平面………………6分（2）由题意，所以为平行四边形，所以，由（Ⅰ），且，所以………………12分19.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分．）解：（1）由题意圆心为中点，所以半径所以圆的方程为；…………………6分（2）圆心到直线的距离所以，所以…………………12分20.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分．）（1）证明：记,交于因为底面为正方形, 所以又因为底面，所以所以平面…………………6分（2）…………12分21. （本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分．）解：（1）设，由题知：由，得化简得：，即点M的轨迹C的方程为…………（5分）（2）（O为原点），点P在圆C的内部，故当时，弦MN最短.因为直线OP的斜率为-2，所以直线的斜率为.根据点斜式，直线的方程为，即.……（12分）22.（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分．）解：（1）因为圆与直线与交于不同的两点，所以，即，解得或………….5分（2）由由设两点横坐标分别为，则得所以………….12分。
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2016-2017学年重庆市南川中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A．B．C． D．2．（5分）若直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），平面α的法向量为=（﹣2，2，﹣4），则（）A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交3．（5分）命题“∃x＜0，2x＞0”的否定是（）A．∃x＜0，2x≤0 B．∃x＞0，2x≤0 C．∀x＜0，2x＞0 D．∀x＜0，2x≤0 4．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面5．（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m外切，则m=（）A．9 B．19 C．21 D．﹣116．（5分）“直线ax+y+1=0与（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”是“a=1”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．58．（5分）下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（）A．B．C．D．9．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为（）A．B．C．+D．+211．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）如果直线2ax﹣by+14=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m x+1+1（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围是（）A．[，）B．（，]C．[，]D．（，）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）已知直线过点（2，0）与（0，﹣3），则该直线的方程为．14．（5分）方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，则a的取值范围是．15．（5分）已知A、B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为．16．（5分）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l的方程为3x﹣4y+4=0（1）求过点（﹣2，2）且与直线l垂直的直线方程；（2）求与直线l平行且距离为2的直线方程．18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≤0，（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点．（1）求证：平面EFG∥平面PMA；（2）求证：平面EFG⊥平面PDC．20．（12分）在矩形ABCD中，以DA所在直线为x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点B的坐标为（3，2），E、F为AD的两个三等分点，AC和BF交于点G，△BEG的外接圆为⊙H．（1）求证：EG⊥BF；（2）求⊙H的方程．21．（12分）在如图所示的圆锥中，OP是圆锥的高，AB是底面圆的直径，点C 是弧AB的中点，E是线段AC的中点，D是线段PB的中点，且PO=2，OB=1．（1）试在PB上确定一点F，使得EF∥面COD，并说明理由；（2）求点A到面COD的距离．22．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．2016-2017学年重庆市南川中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A．B．C． D．【解答】解：将x﹣y+1=0变为：y=x+1，则直线的斜率k=1，由tan=1得，所求的倾斜角是，故选：A．2．（5分）若直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），平面α的法向量为=（﹣2，2，﹣4），则（）A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交【解答】解：∵=（1，﹣1，2），=（﹣2，2，﹣4），∴，∴l⊥α．故选：B．3．（5分）命题“∃x＜0，2x＞0”的否定是（）A．∃x＜0，2x≤0 B．∃x＞0，2x≤0 C．∀x＜0，2x＞0 D．∀x＜0，2x≤0【解答】解：根据特称命题的否定为全称命题，可得命题“∃x＜0，2x＞0”的否定是“∀x＜0，2x≤0”，故选：D．4．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l 1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选：B．5．（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m外切，则m=（）A．9 B．19 C．21 D．﹣11【解答】解：∵圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m外切，∴32+42=（1+）2，∴m=9，故选：A．6．（5分）“直线ax+y+1=0与（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”是“a=1”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件【解答】解：由两条直线相互垂直，可得：﹣a×（﹣）=﹣1，解得a=﹣3或1．∴“直线ax+y+1=0与（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”是“a=1”的必要不充分条件．故选：D．7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，由直线与平面垂直的判定定理得：BC⊥面AEO，AC=，OE==2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．∴S△ABCS△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．8．（5分）下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，由题意知在正方体中，PQ与SR相交，则P、Q、R、S四个点共面，故A不对；在B中，由题意知在正方体中，QR与PS相交，所以P、Q、R、S四个点共面，故B不对；在C中，因为PR和QS分别是相邻侧面的中位线，所以PR∥BS，QS∥BD，即QR∥PA，所以P、Q、R、S四个点共面，故C不对；在D中，根据图中几何体得，P、Q、R、S四个点中任意两个点都在两个平面内，QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，故四个点共面不共面，故D对；故选：D．9．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长等于1，可得：D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），∴=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），设=（x，y，z）是平面A1BD的一个法向量，则，即，取x=1，得y=z=﹣1，∴平面A1BD的一个法向量为=（1，﹣1，﹣1），设直线BC 1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|==，∴cosθ=，即直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是；故选：C．10．（5分）若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为（）A．B．C．+D．+2【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 即（x+1）2+（y﹣2）2=4，表示以M（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，由题意可得圆心在直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）上，故﹣1a﹣2b+2=0，即a+2b=2，∴=+=+++1≥+2=，当且仅当时，等号成立，故选：C．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．12．（5分）如果直线2ax﹣by+14=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m x+1+1（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围是（）A．[，）B．（，]C．[，]D．（，）【解答】解：∵当x+1=0，即x=﹣1时，y=f（x）=m x+1+1=1+1=2，∴函数f（x）的图象恒过一个定点（﹣1，2）；又直线2ax﹣by+14=0过定点（﹣1，2），∴a+b=7①；又定点（﹣1，2）在圆（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的内部或圆上，∴（﹣1﹣a+1）2+（2+b﹣2）2≤25，即a2+b2≤25②；由①②得，3≤a≤4，∴≤≤，∴==﹣1∈[，]；故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）已知直线过点（2，0）与（0，﹣3），则该直线的方程为=1．【解答】解：由截距式，可得直线的方程为=1．故答案为=1．14．（5分）方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，则a的取值范围是（﹣2，）．【解答】解：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，所以D2+E2﹣4F＞0即a2+（2a）2﹣4（2a2+a﹣1）＞0，∴3a2+4a﹣4＜0，解得a的取值范围是（﹣2，）．故答案为：（﹣2，）．15．（5分）已知A、B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为100π．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB==，故R=5，则球O的表面积为4πR2=100π，故答案为：100π．16．（5分）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．【解答】解：如图所示：直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y 轴的交点C（0，4﹣k），直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即2x﹣4+k2（y﹣4）=0，过定点（2，4 ），与x 轴的交点A（2 k2+2，0），由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+=4k2﹣k+8，∴k=时，所求四边形的面积最小，故答案为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l的方程为3x﹣4y+4=0（1）求过点（﹣2，2）且与直线l垂直的直线方程；（2）求与直线l平行且距离为2的直线方程．【解答】解：（1）设与直线l：3x﹣4y+4=0垂直的直线方程为4x+3y+c=0，把点（﹣2，2）代入，得：﹣8+6+c=0，解得c=2，∴过点（﹣2，2）且与直线l垂直的直线方程为：4x+3y+2=0．（2）设与直线l平行且距离为2的直线方程为3x﹣4y+c=0，则=2，解得c=14或c=2．∴与直线l平行且距离为2的直线方程为3x﹣4y+2=0或3x﹣4y+14=0．18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≤0，（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=1，解x2﹣4x+3＜0得：1＜x＜3，解得：2＜x≤3；∴命题p：实数x满足1＜x＜3，命题q：实数x满足2＜x≤3；∵p∧q为真，∴p真，q真，∴x应满足，解得2＜x＜3，即x的取值范围为（2，3）；（2）￢q为：实数x满足x≤2，或x＞3；￢p为：实数x满足x2﹣4ax+3a2≥0，并解x2﹣4ax+3a2≥0得x≤a，或x≥3a；￢p是￢q的充分不必要条件，所以a应满足：a≤2，且3a＞3，解得1＜a≤2；∴a的取值范围为：（1，2]．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点．（1）求证：平面EFG∥平面PMA；（2）求证：平面EFG⊥平面PDC．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，∴EC∥PM，GF∥BC∥AD，∵PM与AD相交，EG∩GF=F，PM，AD⊂平面PMA，EG，GF⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PMA．（2）∵四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴BC⊥DC，且BC⊥PD，∵PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC，∵G、F分别为PB、PC的中点，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC，∵GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC．20．（12分）在矩形ABCD中，以DA所在直线为x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点B的坐标为（3，2），E、F为AD的两个三等分点，AC和BF交于点G，△BEG的外接圆为⊙H．（1）求证：EG⊥BF；（2）求⊙H的方程．【解答】（1）证明：由题意，A（3，0），B（3，2），C（﹣3，2），F（﹣1，0）．所以直线AC和直线BF的方程分别为：x+3y﹣3=0，x﹣2y+1=0，由，解得x=，y=，所以G点的坐标为（，）．所以k EG=﹣2，K BF=，因为k EG•k BF=﹣1，所以EG⊥BF，（2）解：⊙H的圆心为BE中点H（2，1），半径为BH=，所以⊙H方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．21．（12分）在如图所示的圆锥中，OP是圆锥的高，AB是底面圆的直径，点C 是弧AB的中点，E是线段AC的中点，D是线段PB的中点，且PO=2，OB=1．（1）试在PB上确定一点F，使得EF∥面COD，并说明理由；（2）求点A到面COD的距离．【解答】解：（1）连接BE，设BE∩OC=G，由题意G为△ABC的重心，∴=2，连接DG，∵EF∥平面COD，EF⊂平面BEF，平面BEF∩平面COD=DG，∴EF∥DG，∴==2，又BD=DP，∴DF=PF=PB．∴点F是PB上靠近点P的四等分点．（2）由PO⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥PO，又点C是弧AB的中点，OC⊥AB，∴OC⊥平面POB．OD⊂平面POB，∴OC⊥OD．S△COD=OC•OD==．∵V A=V D﹣AOC，∴•S△COD•d=•PO，﹣OCD∴d=，∴点A到面COD的距离．22．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AE⊊平面ABCD，∴PA⊥AE．而PA⊊平面PAD，AD⊊平面PAD且PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD．（4分）（2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连结AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，∴当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．此时tan∠EHA===，因此AH=1．又AD=2，∴∠ADH=30°，∴PA=AD tan 30°=．（8分）（法一）∵PA⊥平面ABCD，PA⊊平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连结ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE•sin 30°=，AO=AE•cos 30°=．又F是PC的中点，如图，PC==，∴AF=PC=，sin∠SAO==，在Rt△ASO中，SO=AO•sin∠SAO=，∴SE===，在Rt△ESO中，cos∠ESO===，即所求二面角的余弦值为．（12分）（法二）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（，，），∴=（，0，0），=（，，）．设平面AEF的一个法向量为=（x1，y1，z1），则因此，取z1=﹣1，则m=（0，，﹣1），∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一个法向量．又=（﹣，3，0），∴cos＜，＞===．∵二面角E﹣AF﹣C为锐角，∴所求二面角的余弦值为．（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。