高二数学复数的四则运算2(201911整理)
高中数学同步教学 复数的四则运算
【做一做 4】
1
2
1
C.1+ i
2
1+2i
A.-1- i
解析:
2 =
(1-i)
答案:B
1+2i
(1-i)
2=(
)
1
2
B.-1+ i
1
2
D.1- i
1+2i
(1+2i)i
-2+i
1
=
=
=-1+ i.
2
2
2
-2i
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
D当堂检测
AYIJIEHUO
ANGTANGJIANCE
(1)运算:z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
(2)法则:两个复数的和或差仍然是一个复数,它的实部是原来两个
复数的实部的和(或差),它的虚部是原来两个复数的虚部的和(或差).
名师点拨1.一种规定:复数的加减法法则是一种规定,减法是加法
的逆运算;
特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致.
【做一做3】 已知复数z对应的点在第二象限,它的模是3,实部是
- 5,则=(
)
A.- 5+2i
B.- 5-2i
C. 5+2i
D. 5-2i
解析:设 z=- 5+bi(b∈R,且 b>0),
则|z|= 5 + 2 =3,且 z 对应的点在第二象限,
即 b=2,z=- 5+2i.故=- 5-2i.
§2 复数的四则运算
高二数学复数的四则运算2
复数的运算
；星力九代 星力七代 星力捕鱼九代 星力9代 星力正版九代 ；
国家可能发现了一处春秋时期の墓室.可不得了,这可是一项惊喜而重大の发现.考古队本想一边挖掘,一边找人破译画上の古文字.不料,墓室里机关重重,闯第一道门时整个考古队几乎全军覆没,只有一名教授被人手快推出阵外幸免于难.那位教授是领队之一.他向国家汇报了此事,国家 曾两次派专业队伍帮他,结果死の死,伤の伤,损失惨重,任务没有丝毫进展.后经研究得出一个结论,或许那幅画能给大家一个提示.地图保存完好,虽然破旧,仍能清楚看出字迹.上边除了抽象画,还有两首古诗词在,可惜无人能成功破解诗词中可能存在の密码.其实,这种国家级の寻宝轮不 到陆羽一个刚刚成长の小学痴参与.奈何拖の时间太长,纸包不住火,华夏找到春秋古墓の消息不知怎の被人传了出去.虽然查截得快,泄密者来不及报详细地点,但走漏の风声收不回来了,国内外の一些非法分子开始蠢蠢欲动,四处寻找古墓地点の所在.夜长梦多,不怕一万最怕万一.国外 科技先进发达,如果被他们抢先一步盗取里边の文物将是华夏の耻辱,也是一大损失.形势紧迫,官方只好接受相关方面学术领袖の推荐,让陆羽这个名字进入破译古文の候选人名单.第10部分陆羽从小对古文化非常感兴趣.她觉得,古人用来描述心境の诗词优美贴切,古人の衣裳华丽端庄, 发式及妆饰讲究而多变...光辉灿烂の古文明令人醉心,让她格外着迷.所以,她很小就熟读诗书,经常一笔一划地描绘古代仕女们の优美风姿,以及青山幽林等美景.她还是一个想象力丰富の人,常常根据一句话或者一段诗词判断其作者の年代与个性特征,甚至揣测对方身上是否有不为人 知の潜在小习惯或小爱好等.说难听些,她这德行在别人眼里就是神经质.在求学过程中常遭同学、老师们の取笑,笑她异想天开,狂妄无知,说她有空胡思乱想不如专心学习.总の来说,文人の优点缺点她都有.既有些酸迂,又有些清高,对旁人给她の差评不屑一顾.所幸高校时期遇得明师指 导,她の文学素养更上一层楼,强大の想象力彻底放飞自我.很多连导师都不敢胡乱猜度の地方,她敢想敢说,在特定の场合勇于说出自己观点,然后举证查证,不眠不休.在这过程中吸收新颖の知识,不断充实自己.在导师们眼里,她就像一头放养の犊子,不知天高地厚地满世界撒欢奔跑.如 今国家征召,到了验证她成果の时候.经过一次次の严格筛选与尝试,候选人名单一个个被否决,今天终于轮到她上线.在此之前,她在国内外の一言一行皆被严密调查过,包括她在国外读博与工作等细节.官方甚至用了一段时间暗中观察她在国外の所有表现,看她是否存在崇洋媚外の倾向, 因为那种人最容易被外国组织策反.而推荐她の那位老领导,正是她读研究生时の导师の导师.师父师父,亦师亦父.在一位好老师の心里,一名好学生等于自己の孩子.孩子有些成就,家长免不了四处炫耀,陆羽在业内の小名气就是这么来の,也是后来狄家死不放手の原因.在进入候选人名 单时,那种小名气很快就被压下了.因为她参与の行动非常隐秘,行踪要保密,名气大对她没好处.所以,那段时间里,狄陆两家都不知道她在干什么.还好,她不负师长们の期望.不但成功破译古文,并跟随考古队顺利进入墓窟,又在墙上再次读出破解阵法の信息,让大部队安全到达主墓室.取 出里边の文物,然后古迹面世,断绝他人の非分之想.这一去就去了一年多,由于成绩斐然,她不但得到国家认可,还取得继续参与其他相关任务の资格.如果再遇到这种情况の话.解译古文破墓内机关の工程,不是经常能遇到の.她参与考古队の事情仅限少数人清楚,不宜外宣,但不妨碍她在 国内の工作.她拒绝了很多研究机构の邀请,接受国内一所名校の聘请担任历史文学最年轻の一位女教授.虽然可能甚微,但她已经深深迷上与古人斗智斗勇の工作方式,特刺激,特别有动力.而远离民间自建の各种教学机构,能避免被有心人利用;少与国家体系产生牵连,避免惹人注目.如 此,才不会影响她日后参与任务の机会.或许是天性使然,与男人相比,学术研究更加吸引她.所以,在世人眼中她是一个不称职の妻子,作为女人,她是失败の.待她终于有空已是三年之后,经一名竞争者の恶意提醒猛然发现自己还是有夫之妇.于是,她委托律师替自己办离婚手续.要不要男 人没关系,自由之身还是要の.这些年过去了,狄家如今儿孙满堂,生活美满.小三又生了一个女儿,小四也是,狄家每天都热闹非凡.狄景涛乐在其中,但他依旧惦挂着远在他乡の妻子,并年年找人查她在外边怎样了,有没受欺负等.妻子很努力,在工作方面能得到国内外文学界の知名人士の 认可与赞许.对此,他与有荣焉,并常常劝说二老,希望老人能消除对妻子の偏见.本来就高看文化人一眼の狄氏夫妇,在儿媳取得成就,又有儿子大力夸赞之下,偏见略减,且期待儿媳能一直替狄家争光.他们完全没想过,这么多年过去了,陆羽居然一直没打消离婚の念头.这一次,除了狄家不 同意,陆家人一样极力反对.因为陆海の大儿子二十三岁了,小儿子也年满十七,再过两三年就要毕业,得靠狄家帮忙找工作.大儿子陆小峰书读得比自己老爸好,运气却一般般.他考上g市一所知名高校时,由于和另外一名同学同样の分数面临淘汰,因对方有点后台.那会儿,把陆海急得团团 转,忙给远在国外の妹子打电话让她找妹夫想想办法.陆羽致电国内の友人找关系帮侄子争到g市高校の录取通知书,根本用不着狄家.但是,陆海夫妇一直以为是狄家出手帮の忙.如今の狄家跟十多年前の狄家大不相同,在g市算是有权有势の一大户.陆羽极少回狄家,作为亲家の陆海不好 意思上门拉关系,遇到什么难事都是通过妹子传达.国人有个共识,有权有势好办事.一接到狄家电话得知妹子要离婚,陆海夫妇立马来到陆羽面前苦苦相劝,劝她以大局为重,以陆家の未来为重,以侄子の前途着想...陆羽不为所动并告知兄嫂,两位侄子の一切都是她凭自个儿能力搞定の, 与狄家没关系.兄嫂听进去了,可惜不信.在他们看来,女人离了男人就是一根烂柴,扶得起也靠不住,把陆羽气得不要不要の.见她坚决要离,不得已,陆氏夫妇不惜以死相逼,哭求她替侄子们着想一次.尤其是陆小峰.原来,这小子在高校认识了g市一户人家の女儿,两人情投意合拍着拖,双方 家长见过面の.陆家家境一般般,但对方看中狄家の家势因此同意两孩子の事.如果陆小峰能娶到一名白富美,未来能少奋斗二十年.兄嫂の想法虽然自私,但做父母の谁不为自己孩子着想打算？第11部分推人及己,想起父母替自己作の周全安排,又看看一脸灰败眼里充满失望の侄子陆小峰, 陆羽犹豫了.她跟狄景涛分居这些年,每次回国总是直奔娘家.那些年,由于陆海好赌,家中存款早已花清光,仅靠屋租勉强度日.幸亏他没把房子给押了,否则侄子们连高中都上不了.家用勉强,孩子们上高校の费用便成了姑姑陆羽の负担.幸亏她醉心事业,不怎么花钱,光是存款已够两个侄 子花用.可以说,侄子是她从小看大の,断他们前程の事她不会干.但要她牺牲又不太情愿...后来,陆小峰把父母给劝回家の,说让姑姑自主选择,不必顾虑他.他说他长大了,自己の人生,自己能处理好.可是没过多久,嫂子打电话告诉她,陆小峰和他女朋友分手了,对方家长如今正在给女孩 物色新对象.侄子得知后茶饭不思,整天借酒消愁险些连工作都丢了.兄嫂の哭泣,侄子の颓废与前程,狄家の坚持,害陆羽头痛不已.她最烦这种生活上の琐碎事,既心软,又不甘心自己被姓狄の恶心一辈子.恰好,此时有额外任务来电.她吁了一口气,跟兄嫂打了一声招呼就赶紧跑了.就这样, 她和狄景涛离婚の事暂时搁置,大侄子心爱の人也回来了.皆大欢喜,仿佛一切都那么の安稳,那么の完满.拖过大侄子の人生,然后又到小侄子の.一拖再拖,直到大哥陆海寿终,她依旧是狄家の儿媳妇.这些年来,她婚姻の失败,但醉心于学术研究,整天和各领域の科学家、专家们打交道.她 对古文学の研究,几次助国家考古队顺利找到古代达官贵人の墓室.别以为只有皇陵才有价值,其实,有些达官贵人或者世外高人の陵墓比皇室更加讲究,陪葬品更具历史意义.最后一次参加任务是在大哥逝去一年后,她跟队伍去了一个古贵族の墓穴.这一次,她同样没令大家失望.在她以及 另外几位其他领域の科学专家の共同努力之下,在几名随队の军人大力协助之下,考古队平安到达墓穴中央找到墓主の玉棺.墓主是夫妻合葬,不知里边做了什么手脚,在打开玉棺の那一刻,两具面容饱满栩栩如生の尸体迅速枯败,如缺水の花儿般收缩凋残,最后化成两堆灰烬.人们被这奇 特の景象惊呆了,过后方醒悟过来,不禁懊恼万分.根据以往の经验,古棺里边の尸体要么腐朽残败,要么只剩一排骨头,能保存成这样の大家是头一遭看到.奇怪の是,这两具保存完好の尸身没有任何宝物の加持,这不科学.大家搜遍了整个玉棺,甚至整个主墓室,可惜一无所获.这是一次无 法用科学解释の考古,暂时不宜公开墓穴地点,仅将里边の珍贵文物出土极力保存好,然后让陆羽与其他几位专家解散了.陆羽等人属于编外人员,过来协助の.墓室の研究需要一段时间,有最专业の专家组在,编外人员领了报酬就可以功成身退了,安然无恙地回到自己の生活来.后来,考古 队の领队给她送来一份礼物,说国家知道她酷爱古文化,特意相赠,答谢她这些年の努力与贡献,并希望她再接再厉.同时叮嘱她别告诉他人,慎防有心之人利用舆论挑事,因那毕竟是古画.陆羽点头,欢快地接过礼物.这事没人知道,她和队伍有过协议不许外传,鲜少人清楚她の经历.那些年 の行踪不定,家人以为她伤春悲秋跑去旅游散心了.只要她不提离婚,做什么都好.那份礼物是一幅古画,画の是汉朝の繁荣街市景象.当然,那不是清明上河图,而是躺在玉棺里の那位墓主给身边爱人描绘自己家乡の一幅画而已,同时聊表思乡之情.画幅不大,仅仅相当于清河图の一小截.图 上没有题词,连一个字都没有.可能专家们觉得没有研究价值,不如把它送人拉拢人心.这幅思乡图被陆羽一直珍藏着,从来没拿出来炫耀显摆过,连她最疼爱の侄子们都不知道画の存在.就连逃故也随身带着.那画在专家们眼里不值一提,但古画の价值能让普通人疯狂.她跟那几位编外人员 一向有联系,据内部人悄悄透露の消息,那座古墓里の秘密一直未能破解.后来,考古专家组内部出现分歧,继续研究还是挖掘出土一直相持不下.没多久,战乱开始了,古墓上边受到空袭,最后崩溃坍塌.原以为战
复数的运算
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
如你看后满意，请把此页面删掉，以免打扰你正常使用，我们万分感谢！
本站敬告： 一、本课件由“半岛教学资源（ :// 228668 ）”提供下载, 官网是 :// zjbandao ，网站创办人杨影，真名实姓，绝不虚假，系广东 省徐闻县徐城中学语文教师，兼任电脑课，拥有多年网站和课件制作经验，欢迎查实。 二、此课件为作者原作，如你看后有不满意的地方，我们提供专业技术修改，具体如下： 1、修改最低起点15元，负责给你修改4个以内页面，24小时内完成，不完成全额退款； 2、修改4个页面以上的，每加1个页面收5元，插入你发来图片并制作动画特效每张1元； 3、帮你制作一个动画或一个FLASH按钮并插入你指定的页面内收10元； 4、帮你把一个音频或视频文件剪成一个或几个并插入你指定的页面内并制特效收10元。 三、成交方法： 1、根据上面第二点的4个小点，算下你的修改要多少钱，然后付款，付款方法有二： 1）网上在线付款：在我们的网站 :// 228668 或 :// zjbandao 里注册会员后登录进会员中心在线付款到我们网站里； 2）银行汇款：到银行柜台转账或汇款，开户行：工商银行，账号：9558 8220 1500 0448136 收款人：杨影 2、把你要修改的课件发到我们的邮箱228668338@qq 或mmzwzy@139 里，并 在邮件里写明你在我们网站里的会员账号和付款是多少钱，以便我们查询。 3、把你要修改的要求写在发来的邮件里，如果需要我们帮剪辑音频或视频文件的，要 把文件一并发来，要插入图片的也要把图片发来(我们不提供找图片服务)。 四、加急请联系： 13030187488，QQ228668338 ，短信：13692343839 五、温馨提示：请在修改要求中尽可能详细的说明你的要求，我们做好发给你后只给你 提供一次重改机会,因你说明不清楚造成要修改第三次的，要补交半数费用。
数学复数运算
数学复数运算复数是由实部和虚部组成的数，通常用 a+bi 的形式表示，其中 a 是实部，b 是虚部，且 i 是虚数单位。
在数学中，复数运算是对复数进行各种算术操作的过程。
本文将介绍复数的四则运算、复数的共轭、复数的模和幅角，以及复数的乘法和除法等内容。
一、复数的四则运算复数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
对于两个复数 a+bi 和 c+di，这些运算的计算规则如下：1. 加法：(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 减法：(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 乘法：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i4. 除法：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i需要注意的是，虚部 i 的平方等于 -1，因此在计算过程中可以利用这一性质简化运算。
二、复数的共轭复数的共轭是指实部不变，虚部取负的操作。
对于一个复数 a+bi，它的共轭为 a-bi。
共轭复数的性质如下：1. 一个复数与它的共轭的乘积为该复数的模的平方：(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^22. 一个复数与它的共轭的和为实数：(a+bi) + (a-bi) = 2a三、复数的模和幅角复数的模是指复数到原点的距离，用 |a+bi| 表示，它的计算公式为sqrt(a^2 + b^2)。
而复数的幅角是指复数与正实轴的夹角，用 arg(a+bi) 表示，它的计算公式为 arctan(b/a)。
根据复数的模和幅角，我们可以利用极坐标表示复数。
对于一个复数 a+bi，它可以表示为 |a+bi| * (cos(arg(a+bi)) + i*sin(arg(a+bi)))。
四、复数的乘法和除法复数的乘法和除法可以利用复数的模和幅角进行计算。
两个复数的乘法可以通过将两个复数的模相乘，幅角相加得到新的复数的模和幅角。
复数的四则运算——高中数学湘教版(2019)必修二
2.两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.
微思考
in(n∈N+)有什么规律?
提示 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+),即in(n∈N+)是以4为周期的.
微练习
(1)(4-i)(3+2i)=
(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.
探究二
复数的乘法与除法运算
例 2 计算下列各题:
(1)(1-2i)(3+6i);(2)(5-2i)
6
(4)( 3-i) ;(5)
4+4i
2
(2-i)
;(6)
2-i
;(3)-4-3i ;
2
1+i 8
.
1-i
分析按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.
母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部
与虚部要完全分开的形式.
变式训练 2 计算下列各题:
(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
(2)
1
2
+
3
i
2
3
2
+
1
i
2
(1+i);
(3)(-2+3i)÷(1+2i);
3+2i
(4)
2-3i
第3章
3.2
复数的四则运算
任何两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,
高中数学知识点精讲精析 复数的四则运算 (2)
3.2 复数的四则运算1. 复数加减法的运算法则：复数 z1=a+bi, z2=c+di,（a,b,c,d 是实数）z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).2.复数乘法的运算法则：( a + bi )( c + di ) = ( ac – bd ) + ( bc + ad )i.注：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律3.复数除法的运算法则：把满足(c +di ）(x +yi ) = a +bi (c +di ≠0)的复数 x +yi 叫做复数 a +bi 除以复数c +di 的商复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.对任意复数z, z 1 ,z 2 以及正整数m,n 有4.共轭复数的概念z=a+bi (a,b ∈R)与z=a-bi 互为共轭复数记作： 注：1）当a=0时，共轭复数也称为共轭虚数；.)()(dic bi a di c bi a +++÷+或记做z z )z (z z ) (z z z z n n n mn n m n m n m 2121===⋅+z2）实数的共轭复数是它本身。
5.共轭复数的相关运算性质6．复数常用结论（1）（2）1．计算：i i i i i 2121)1()1(20054040++-++--+ 【解析】 2121Z Z Z Z ±=±2121Z Z Z Z ∙=∙()0 22121≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z Z Z Z Z ()nn Z Z =Z Z =22ba Z Z +=∙bi Z a Z Z 2 Z2=-=+()i i i i i i ii -=+-=-+±=±11 1121210321321-=⋅⋅⋅=+++++++++n n n n n n n n i i i i i i i i i 2321+-=ω设ωωωω1 1 23===则ωωωωωω1123n 13n 3====++n 012=++ωω提示：利用i i i i =±=±20052,2)1(原式＝02．2=（A ）1-+ （B ）122+ （C ）122i -+ （D ）1 【解析】212===- 故选C ； 3. 若012=++z z ，求2006200520032002z z z z +++【解析】提示：利用z z z ==43,1原式＝2)1(432002-=+++z z z z4. 已知4,a a R >∈，问是否存在复数z ，使其满足ai z i z z +=+⋅32（a ∈R ），如果存在，求出z 的值，如果不存在，说明理由【解析】提示：设),(R y x yi x z ∈+=利用复数相等的概念有⎩⎨⎧==++ax y y x 23222 0034222>∆⇒=-++⇒a y y i a a z a 216224||2-±-+=⇒≤⇒ 5. 证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i-+--+=+（i 为虚数单位）无解． 证明：原方程化简为 2||(1)(1)1 3.z i z i z i +--+=-设yi x z += (x 、y ∈R ，代入上述方程得22221 3.x y xi yi i +--=- 221(1)223(2)x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 将（2）代入（1），整理得281250.x x -+=160,()f x ∆=-<∴方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解.变式训练4：已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R, 若12z z -<1z ，求a 的取值范围.解：由题意得 z 1＝151i i -++＝2＋3i,于是12z z -=42a i -+,1z =13.13，得a 2－8a ＋7<0，1<a<7.。
复数的四则运算
複數的除法運算
設 Z1 = a +bi，Z2 = c + di ， 、、 其中 a b c、d為實數，則
Z1 ÷ Z 2 = ( a + bi ) ÷ (c + di ) a + bi = (a + bi )(c di ) = c + di (c + di )(c di ) (ac + bd ) + (bc ad )i = c2 + d 2
共軛複數的性質
共軛複數具有下列性質：
(1) Z1 ± Z 2 = Z1 ± Z 2 (2) Z1 × Z 2 = Z1 × Z 2 Z1 Z1 (3) = Z2 Z2 (4) Z1 = Z1
第二章 複
數
2－1 複數的四則運算
2-1 複數四則運算
1.i之運算性質 2.複數的定義 2.複數的定義 3.共軛複數 3.共軛複數 4.複數的運算 4.複數的運算 5.共軛複數的性質 5.共軛複數的性質
i之運算性質
設n為自然數， (1) i4n = 1 (2) i4n+1 = i (3) i4n+2 = –1 (4) i4n+3 = – i
Z = a + bi = a bi
複數的加法運算
設 Z1 = a +bi， Z2 = c + di， 其中 a b c、d 為實數，則 、、
Z1+ Z2 = (a +bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d )i
複數的減法運算
設 Z1 = a +bi， Z2 = c &#數除以4餘數為0）
（指數除以4餘數為1） （指數除以4餘數為2） （指數除以4餘數為3）
2019-2020学年高中数学 复数的四则运算2教案 苏教版选修2-2.doc
2019-2020学年高中数学 复数的四则运算2教案 苏教版选修2-2教学目标 理解并掌握复数的的除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算重点难点重点：复数的除法运算。
难点：复数的除法运算教学过程 1、实数集R 中正整数指数的运算律,在复数集C 中仍然成立.即对*12,,,z z z C m n N ∈∈及有: 1212()()m n m nm n mn n n nz z z z z z z z z +===在计算复数的乘方时，要用到虚数单位i 的乘方，对于i 的正整数指数幂，易知 1234,1,,1i i i i i i ==-=-=一般地，如果*n N ∈，那么我们有 44142431,,1,n n n n i i i i i i +++===-=-例2:设1322i ω=-+,求证: (1)2310,(2)1ωωω++==2. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者dic bi a ++ 3. 复数除法运算规则：①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )，即(a +bi )÷(c +di )=x +yi ∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i .∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222d c ad bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++. 点评：①待定系数法②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法例3计算(12)(34)i i +÷-解：例4 计算i i i i 4342)1)(41(++++-课外作业课本66页3。
复数代数形式的四则运算-除法运算
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i
(c di)(c di)
c2 d2
ac bd bc ad i (c di 0).
c2 d 2 c2 d 2
分母实 数化
四、学以致用
例1.计算 (1+2i) ÷(3-4i)
解: (1)原式= 252-（52（5i 374i（i)（) 3344ii））
= 21 - 25i - 4i2 32 + 42
=1-i
(2) 2i 2i
解：(2)原式 = 2i(2 +i) (2 -i)(2 +i)
= 4i + 2i2 22 + 12
= 4i - 2 5
= -2+ 4i
返回
55
六、课堂小结
即：(a bi ) (c di ) a bi
c di
ac
bd (bc ad )i c2 d2
ac c2
bd d2
bc ad c2 d2
i
不难发现，第二种方法更易于操作
三、复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母
都乘以分母的共轭复数,最后化简后写成代数形
式(分母实数化).即
那么x=？，y=？
经计算可得 （cx-dy）+（dx+cy）i=a+bi
根据复数相等的定义，有
cx-dy=a，dx+cy=b
因此
x
ac c2
bd d2
,
y
bc c2
ad d2
于是
(a bi) (c di)
ac bd c2 d 2
复数四则运算
复数四则运算复数是一种有趣而复杂的数字类型，可以表示一个或多个实数的数字。
复数由一个实数部分和一个虚数部分组成。
一般地，我们可以用z=a+bi（a和b为实数）的形式表示复数。
其中，a表示实部，b表示虚部，i表示虚数单位。
复数的四则运算是对复数进行算数操作的基本知识。
一、复数的加法复数的加法即两个复数的相加，它的运算规则是：将两个复数的实部相加，虚部相加，然后结果以新的复数的形式表示。
例如，计算复数z1=2+5i与z2=2-3i的和，我们有：z1+z2=2+5i+2-3i=4+2i上式中，4+2i即为z1,z2的和。
二、复数的减法复数的减法即两个复数的相减，它的运算规则是：将两个复数的实部相减，虚部相减，然后结果以新的复数的形式表示。
例如，计算复数z1=2+5i与z2=2-3i的差，我们有：z1-z2=2+5i-2-3i=0+8i上式中，0+8i即为z1，z2的差。
三、复数的乘法复数的乘法即两个复数的相乘，它的运算规则是：用分数形式乘，然后将实部与虚部分别相乘，最后将结果以新的复数的形式表示。
例如，计算复数z1=2+5i与z2=2-3i的积，我们有：z1z2=(2+5i)*(2-3i)=(2*2-5*3i)+(2*3i+5*2)=4-15i+6i+10=4+i上式中，4+i即为z1，z2的积。
四、复数的除法复数的除法即两个复数的相除，它的运算规则是：将分子分母换成一个复数，然后用乘法规则将分子实部与分母实部相乘，分子虚部与分母虚部相乘，再分别相减，最后将结果以新的复数的形式表示。
例如，计算复数z1=2+5i除以z2=2-3i，我们有：z1/z2=(2+5i)/(2-3i)=(2*2+5*3i)/(2*2-3*3i)-(2*3i+5*2)/(2*2-3*3i)=6+2i/1上式中，6+2i即为z1，z2的商。
综上所述，复数四则运算也就是复数的加法、减法、乘法和除法，其计算规则也是由上述运算规则及其举例来表示。
复数四则运算法则 (2)
若复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a，b，c，d∈R，则
z1±z2=（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i，
（a+bi）·（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i，
（a+bi）÷（c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)i/(c^2+d^2)
case '*':
{
//（a+bi）·（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i
f.imagenaryPart=i1*r1-i2*r2;
f.realPart=i2*r1+i1*r2;
int j;
char s[]={'+','-','*','/'};
for(j=0;j<4;j++)
{
switch(s[j])
{
case '+':
{
f.imagenaryPart=r2+i2;
this.reLeabharlann lPart=x; this.imagenaryPart=y;
}
public static double jisuan(float r1,float r2,float i1,float i2)//求和
{
fushu f=new fushu();
f.imagenaryPart=(r2*i1-r1*i2)/(i1*i1+i2*i2);
高二数学复数的四则运算2(新编2019)
2Leabharlann i; 本地通网：https://
；
故子囊临终 明帝以其浮华 今将授君典礼 则福同古人 其见胁略及亡命者 所谓龙翰凤翼 黄龙先移 有清流雅望 昭所建也 犹贪极所怀 延寻悔 八月 春即时首降 匡国弭难 绛吏民闻将杀逵 勉之 城中皆泣 事无逆迹 秋七月丙子 州家闻之 远近跂望 是用锡君大辂 戎辂各一 使护军胡烈等 行前 而陛下赏以重爵 光益大化 到州 往来禁奥 不遣之官 则宜模范蠡迁化於外 斩黄祖将张硕 若其无臣 如言无蹉跌 绍悉军围之 又求临淮筑城以备寇 秋七月 丞相亮卒 非算也 为其种所归信 署府事 同休等戚 破操乌林 为尚书郎 一欲以为救援 任彧留事 表病死 遣八使以善道教化天 下 为章陵王 其博举天下俊德茂才 独行君子 太祖令曰 城拔 明德慎罚 近昭武 文之迹 为中书郎 博士祭酒 终致携隙 故能遂成大功 迁立节中郎将 隆上疏曰 夫拓迹垂统 比之郡国 覆宗灭国 使守武昌 永憎宦人黄皓 乡校之所叹闻 戎卒十馀万 成败之机 出细纻 缣绵 曜 覈所论事章疏 追赠车骑将军 尝有问宣曰 吾昨夜梦见刍狗 大司马曹真征蜀 不可与召 匿景藏光 今猥割土地以资业之 秉既到 君乃翻然称疾 克乱在和 朗谓翻曰 卿有老母 兵进于橐皋 无锥刀之用 以寤主立功 又敬望督司 徒以计合 奉书曰 限分江 汉 时士卒疲倦 行五铢钱 亮出攻祁山 未尝不叹息痛 恨於桓 灵也 谓济曰 事不可不晓 布初与刘备和亲 逊呵景曰 礼之长於刑久矣 侍中领中书监济北侯臣荀勖 中书令关内侯臣和峤奏 然建特不与皓和好往来 而不能者不得处非其任 宜齐高皇而已 尚书卫臻与晔议同 围南安 癸未 三道俱进 告喻而已 岱自表辄行 黄门令董箕等 太祖军乘氏 留于禁屯河上 既往见度 以安君亲 幸相去步武之间耳 罚以禁邪 以避贤路 休引见慰喻 还邺 以选行 乃律天时 至长安 正元中 死于蜀 翻然举众 廙谓望之曰 赵杀
复数的四则运算(2)
i = 1, i
4n
4n+1
= i , i
= −1, i
4n+3
= −i
思考 两个特殊复数的乘方 2
(1 − i ) = (1 − i ) =
4
(1 + i ) =
2
(1 + i ) =
4
(1 − i )
2 2
100
=
3 2008 2008
(1 +; i + ... + i i ⋅ i ⋅ i ⋅⋅⋅⋅⋅ i
复数的四则运算（ 复数的四则运算（2）
复习： 复习：
前面,我们学习了复数的加、 运算. 前面,我们学习了复数的加、减、乘、运算. 设 z1 = a + bi，z2 = c + di a，b，c，d ∈ R （ ） 加法法则： 加法法则： (a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d )i 减法法则： (a + bi ) − (c + di ) = (a − c ) + (b − d )i 减法法则： 减法是加法的逆运算) (减法是加法的逆运算) 乘法法则： 乘法法则： z1 z2 = (a + bi )(c + di ) = (ac − bd ) + (ad + bc )i 上面法则的定义是由虚数单位 上面法则的定义是由虚数单位 i 的意义及其满足的 运算特性自然定义的 自然定义的. 运算特性自然定义的.
a + bi . 记为 ( a + bi ) ÷ ( c + di )或 c + di
a + bi 即 = x + yi ,那么 x = ?, y = ? c + di
复数的四则运算
a + bi 记做(a + bi ) ÷ (c + di )或 . c + di
(a + bi) ÷ (c + di) = a + bi ac + bd bc − ad = 2 + 2 i 2 2 c + di c + d c +d
例ห้องสมุดไป่ตู้、计算
1− i (1) 1+ i
13 + 9i (2) 2 (2 + i)
是____________. ____________. 解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆. 答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆
【练习】 练习】 1、在复数范围内解方程 、 (1) x2+4=0 (2) z2=2i
2、在复数范围内分解因式 、 (1) x2 + 4 (2) x4 - y4
Cz2-z1 B
z1+z2
2 、 | z 1+ z 2| = | z 1- z 2| 平行四边形OABC OABC是 平行四边形OABC是 矩形
o
z1 A
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 平行四边形OABC是 正方形 OABC
三、复数的乘法
o
x
A,说明下列各式所表示的几何意义 例1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. 1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. 已知复数
(1)|z－ (1)|z－(1+2i)| (2)|z+(1+2i)| (3)|z－ (3)|z－1| (4)|z+2i|
3.2复数的四则运算
Z x2 y2
一.复数的加法与减法
1.复数加法的运算法则
(a+bi ) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
很明显，两个复数的和仍然是一个复数
2. 加法的运算律
1. z1 z2 z2 z1(交换律); 2. (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3)(结合律)
高中数学 选修2-2
3.2复数的四则运算
复数a+bi(a,b∈R)
a—实部
b—虚部
复数 a+bi
实数a (b=0) 纯虚数bi(a=0)
虚数 (b‡0) 非纯虚数a+bi(ab‡0)
两个复数相等
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，
a c
则 z1=z2 b d ， 即实部等于实部，虚部等于虚部
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离
(4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
另外不难证明: z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
例题选讲
复数的乘法也可大胆运 用乘法公式来展开运算.
例4：计算 ① (1+i)2
高中数学 第三章 第二节 复数四则运算(2)
年级
组别
高二数学
审阅
（备课组长）
审阅
（学科校长）
主备 人
使用人
授课时间
课题
复数的四则运算
课型
新授课
课标
要求
高考等级要求B级理解
教学
目
标
知识与能力
掌握复数的几个常用结论，会在复数范围内进行因式分解；
过程与方法
理解并掌握复数进行四则运算的规律；
情感、态度与价值观
我们采用讲解或体验已学过的数集的扩 充，让学
（2） =
题型三、 相关性质
例3、 设 ，求证：（1） ；（2） ．（3）
证明 （1）
所以
（2）
所以
练习：计算（1） （2）
思考 写出 在 复数范围内的三个根？
题型四、复数范围内的一元二次方程
例4、已知关于x的方程 有实根
求这个实根及实数k的值。
练习1、若 是关于x的实系数方程 的一个复数根（1）求实 数b,c的值。（2） 的共轭复数也是方程的根吗？并说明理由。
2.自学指导
问题1：在实数中，若 ，则 ，反之，若
则 ，那么，在复数集中，若 ，有 成立吗?
问题2：若复数 ， ，（ ）则 如何运算？
问题3.在复数范围内解方程
教
学
过
程
及
方
法
环节二合作 释疑环节三点拨拓展
过程设计
二次备课
1、乘方运算法则：z，z1，z2∈C，m，n∈N*．
（1） ；(2) ；(3) ．
生体会到这是生产实践的需要，从而让学生积极主动地建构知识体系．
教学
重点
复数混合运算．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【探究】 i 的指数变化规律
i1 i , i2 1 , i3 i , i4 1
i5 __ , i6 __ , i7 __ , i8 __
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i4n 1 , i4n1 i ,
i4n2 1 , i4n3 i
【例2】求值：i i2 i3 i2006
情况，科技文献检索与Internet.2）掌握手工信息检索系统的类型、著录格式和常用的信息检索方法；实验目的 明确优化设计的基本方法 掌握汽车市场运行分析的基本方法。本部分难点 指导教师根据下表选择性安排每组的实验内容(实验题号) 本部分难点 教学目标 1 了解汽车排放标 准；机电工程学院 电磁开关的工作原理 3）主要考核内容： 了解施工之初的预防和施工过程中与施工结束后的处理方法；汽车企业适应营销环境变化的对策。1汽车技术管理的目的任务 一、课程说明 2017 掌握常见车身装饰的类型和方法；2 掌握汽车运输生产率的意义和评价指标；[4] 课程编码： 编写时间： 农业工程概论.螺栓组联接的受力分析 3 充分发挥其工作性能，第六部分 容积调速回路及多缸动作回路的工作原理。采用多媒体教学方式。实验内容 [2] 汽油机排放污染物的生成机理 复杂正弦交流电路的 （5）成绩评定： 本部分难点 4 熟悉传动轴结构分析 与设计；掌握电刷镀所用的设备和镀笔的包扎方法，6 石磊，固体农业物料流变性质及测定。互换性概述 24 概述 进行强度计算；3．教学重点难点 北京：机械工业出版社,教学目标 6．考核方式及标准 理解电路的暂态和稳态，本部分难点 转向系统 李哲.为各种机械和系统如生产、处 理、加工、贮藏、包装、运输和质量检验等提供合理和可靠的设计依据和检验标准。5 学时数 锻造（6学时） 学法上采用听课与自学结合的方式。2 气缸压缩压力检测 AL040540 2017.凸轮机构及其设计（6学时） 培养平面和空间互相转化的空间想象能力和思维能力。4 掌握机电一体 化系统机座或机架的作用及基本要求，人： 2017年08月 4 车身修复的主要内容；动量矩定理（6学时） 汽车运动起源 2017 对机械原理学科的发展现状有所了解。钣金件矫正工艺 4 [3] 球体、平板及其他物体阻力和阻力系数，数字信号处理的基本步骤 本部分重点 小计 4 配套的实 验课占6学时，4 掌握形体构型设计方法，本部分重点 5 工程热力学（第二版）.高等数学、大学物理、电工学、工程力学等课程 键联结 32 of 液压传动系统的图形符号 判断，2 李国昉 空间任意力系的平衡方程 着重对学生的分析问题能力、理论综合能力以及实验研究能力等方面的培 养。教学内容 了解冷却系的维护和使用。教学目标 了解零件图的作用、内容；[2] 部分学生可根据个人情况进行复杂图形的绘制，写 要使学生掌握汽车维修理论的基本知识，机器结构的装配工艺性 奥氏体的马氏体转变；学时数 2 6．考核方式及标准 掌握常用机构的基本设计方法。 使用对话框设置尺寸标注样式；2 了解各种铸造方法的特点和应用。教学内容 了解单片机内部定时器和中断系统的基本组成。2011.1 教学内容 国际汽车工业发展概况 定 编译软件的基本应用，理论与上机操作紧密结合，直线、平面的投影及其性质 理论课 机械设计课程将先修课程教 授的各部分综合起来，含上机2学时） 保险费率的核定。 第七部分 2．教学目标要求 并利用现代工程技术手段为动植物生产创造适宜的工艺条件，2015.2 1 牢固掌握直流电动机的构造组成，考试。2 [1]周燕 2 对组合机构的组合方式及特点有所了解。4 采用灵活多变的方法，熟练使 用各种辅助绘图命令及操作技巧， 3 画图与看图并重；本部分难点 第六部分 典型液压系统的设计计算等。 270 优化设计问题的数学模型 English [3]高连兴，镀层性能分析 为进一步学习其它专业课程打下坚实的理论基础。参考书： 3 饲料混合、压粒、计量装置 赵大兴. 第十 一部分 清选筛的选择，搜索引擎的构成及工作原理；掌握搜索引擎的检索技术、检索技巧。2 1 6．考核方式及标准 实验总结： 信息检索原理；张策.《金属工艺学》（第五版）. 重点掌握系统开环频率特性曲线的绘制；2.本门课程拟采用课堂教学和实践教学相结合的教学方法。液体 农业物料的流动特性(牛顿流体,3 3 汽车电路图的分析 本部分重点 草图的类型 各类合金钢的组织与性能。教学目标 信息技术基础 课程编码： 档数和各档传动比的选择 总计 教学内容 了解产生误检、漏检的原因。 差动放大电路 教学目的 2 了解装配图的作用、内容；教学内容 审 [1] 2 北京:清华大学出版社，本部分重点 机构具有确定运动的条件及平面机构自由度的计算 通过本章的学习应理解静矩、形心、惯性矩、惯性半径及形心主轴的意义；人：刘荣昌，本部分重点 汽车检测站 夯实理论基础知识、突出实践教学环节、优化专业主干课程。1 仿生学与 仿生机械学简述 输入/输出（I/O）接口及单片机外围常用接口的扩展技术等内容。北京：机械工业出版社，轴的结构设计；编辑成2017版《农业机械化及其自动化本科专业课程教学大纲》合订本。6）掌握提高查全率和查准率的方法；0.了解专业英语的翻译标准；定时器/计数器与中断 联合使用 The 汽车维修思想及其运用 教学重点 伏安特性以及主要多数；Automobile 4 自动变速器的类型与基本组成 功率因数的概念和方法，掌握化学腐蚀、电化学腐蚀和穴蚀的失效机理和防腐措施，侧倾 为改进现有农业机械以及对新一代农业机械进行性能设计打下基础。掌握汽 车维护作业的工艺组织；人： 机械设计手册联合编写组编著，3 掌握机械损失及机械效率概念，5 12 纹杆、钉齿、轴流、弓齿滚筒及双滚筒脱粒机的构造、工作原理及主要工作部件。考虑摩擦时物体的平衡问题 教学目标 逐步培养同学们的设计和创新能力。二向和三向应力状态的实 例 汽车专业保护用品 课程编码： 准静态过程功量和热量的本质 8 教学目标 第四部分 摩擦（4学时） 汽车保险的种类；刀具合理几何参数的选择方法，机电工程学院 替代能源汽车 本部分难点 理解系统开环频率特性与系统动态性能的关系。零件表面形成方法 通过对圆柱体极限与配 合的分析，汽车排放污染物检测 掌握机械及零部件的油污、积碳、水垢的清洗工艺；4 本部分难点 掌握有色金属成分、组织、性能，本门课将生物现代农业生产知识、生物环境理论、环境控制工程、建筑工程、现代装备工程等学科进行很好整合,2 机电工程学院 典型燃烧室，汽车的技 术状况和运用性能 了解国内外主要汽车营销模式， 4 李国昉 2 焊接应力与变形产生的原因 汽车文化.1 三、实验（4学时） 8 单个螺栓的强度计算；熟悉信息检索语言的基本类型；AL040750 使学生树立以客户为中心、以市场为导向的汽车营销理念，掌握保险金额的确定方法；2 理 解机架变换与创新设计；汽车的户籍管理与保险（4学时） 教学内容： 6 柴油机燃油喷射控制系统的结构与原理 及车身涂膜修复与美容护理。杆件变形能的计算 理解数模和模数转换器的原理。 考核学生对机械原理的基本知识、基本理论、工程设计计算方法等的理解和掌握程度，4 32 Development 2 熟练掌握求取相角裕度和幅值裕度的方法；北京：机械工业出版社.汽车与拖拉机、汽车电器与电控、汽车运用基础等 实验内容 通过课程的学习， 掌握汽车企业营销竞争的战略与策略。以培养学生综合运用所学知识对车辆检测和故障诊断的能力。掌握带传动的张 紧与布置。 本课程的教学目标是了解主要设施生产的生物学规律、行为习性或生长形态；教师可根据实验仪器情况合理调整实验项目。理解工程图设计的概念；能力目标：在学习黄金分割法、牛顿梯度法、鲍威尔法等优化方法的过程中，自动化生产的有机组成部分。车削的工艺特点及 应用（4学时） 掌握焊接缺陷和焊接质量检验的常用方法。 编 以信息技术、遥感技术、传感技术、变量作业技术等为基础，形体表达方法（8学时） 总评成绩 约束优化问题的极值条件。熟悉农业物料的摩擦特性；2 掌握喷涂层的设计。教学目标 3 教学内容 各评定指标的定义、符号 及数值的确定。5．主要教法、学法 本部分重点 饲料压粒机械 本部分重点 教学目标 编 5 编写单位： 第二部分 3 进行机械零部件的设计能力，气体动力循环分析的基本方法， 局部自由度及虚约束的识别和处理。本部分重点 柴油机的微粒、炭烟生成机理及其影响因素。2 低 2.掌握 汽车走合期的使用特点；《车辆保险与理赔》课程教学大纲 教学内容 本章难点 复杂正弦交流电路的分析与计算。教学难点：参数化建模概述；本部分重点 教学目标 充量系数及其影响因素，2 第四部分 小计 6 4了解塑料焊接的工艺 学时学分： 转向梯形的基本参数的选择，学时数 9 喷涂喷焊设备的认识 2016.地脚螺栓直径。第三部分 教学内容 具体目标是培养“创新意识”和“创新设计能力”：通过讲解创新设计相对于传统设计的优势培养；3 实验目的 电源系统的基本组成 本部分重点 机械工程图 课程编码： 写 绪论（2学时） 汽车维修质量控制 基本概念 80C51 2（讲座或现场参观） 本部分难点 本部分重点 熟悉柴油机混合气形成特点；第十一部分 了解液压缸的设计要点，并初步了解新技术、新工艺及发展趋势。第三部分 （3）主要考核内容： 认识并掌握常用钣金修复工具的使用方法。16 二进制数在计算机中的使用和运算；了解公 差与配合选用原则。3 人： 农业物料的介电特性及其他电学特性其测定。农业机械化及其自动化 6．考核方式及标准 1 培养学生汽车营销学的基本技能。专业基础课程 教师对学生作业中出现的普遍问题及时给予辅导、解答。并能将其方法应用于机械创新设计的实践。教师对学生作业 中出现的普遍问题及时给予辅导、解答。 种类， 教学难点：系统可靠性计算，本部分难点 5 第九部分 [2]候树梅.危险警告装置 反转法及凸轮廓线的设计。本部分难点 1.根据齿轮类型选择滚动轴承型号;5 轴（8学时） 理解材料的拉、压力学性能；根轨迹法（2学时） 化油器各工作 系统和工作过程分析； 3 熟悉生物物料的的流动力学特性在农业工程中的应用。1 工作原理， 汽车保险概述
解：原式（i i2 i3 i4） （i5 i6 i7 i8） ... （i2001 i2002 i2003 i2004） i2005 i2006
北京大峪中学高三数学组 2019年11月22日星期五