第五章 裂纹断裂判据
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5.3 最大周向正应力理论 ( ) max 判据
2．当这个方向上周向正应力的最大值。(σ θ)max达 到临界时，裂纹就开始扩展，即
( ) max 临
将从（5.12）中得出的θ0。代入(5.10)式即得：
0 1 ( ) max cos K (1 cos 0 ) 3K sin 0 2 2 2r0
1 K (1 cos 0 ) 3K sin 0 cos 0 K c 2 2
(5.16)
K sin0 K (3cos0 1) 0
上面(5.12)和(5.16)式就是最大周 向正应力理论的基本方程。
(5.12)
第五章 裂纹断裂判据
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(5.11)
把（5.10）代入（5.11）式得
cos
0
2
K sin 0 K (3 cos 0 1) 0
图5.6
其中根θ=±π 无实际意义，故开裂角θ0决定于方程：
K sin0 K (3cos0 1) 0
(5.12)
第五章 裂纹断裂判据
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第五章 裂纹断裂判据
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5.3 最大周向正应力理论 ( ) max 判据 1. 裂纹初始扩展沿着周向正应力σθ达到最大的方向 以I、Ⅱ型复合裂纹为例。由前面(2.58)和(2.59) 两式并运用叠加原理．可得到在裂纹尖端附近的极应 力表达式：
(5.10)
按K1建立的断裂判据为： 当带裂纹的构件受到外力作用时，裂纹尖 端的实际K1值达到了裂纹发生失稳扩展时材 料的临界值K1c，构件就会因初始裂纹发生 失稳扩展而断裂，即：
K K c
（5.9）
第五章 裂纹断裂判据
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5.1 单一型裂纹的判据
理论分析和实验指出，在三种基本裂纹扩展形式中，I型
图5.3裂纹方向不对称
第五章 裂纹断裂判据
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5.2 复合型裂纹形成原因及其判据需要解决的问题
2. 荷载分布不对称 图5.4所示两种情况裂纹方向是 对称的，但加载方式是不对称的。 因而，KⅠ，KⅡ也均不为零。
3. 材料各向异性 如果材料是各向异性的，其 纤维方向与裂纹方位不一致， 也会产生KⅠ，KⅡ也均不为 零的复合变形状态。
第五章 裂纹断裂判据
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断裂判据(准则)：带裂纹的构件发生断裂的 临界条件，就叫这种裂纹体断裂判据(或叫准 则)。
由于这一问题有着重要的理论意义和实用价 值，所以断裂判据，特别是复合型断裂判，就 成了断裂理论中的一个中心问题。 目前流行的断裂判据有很多理论， 但归纳起来，可以分为两；类，即： 能量法和应力参数法。
（5.5）
γ –为单侧表面单位面积裂纹扩展所需能量。
第五章 裂纹断裂判据
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5.1 单一型裂纹的判据 对于无限宽体，中心穿透裂纹
K12 a 2 G1 2 E E 2E c a
（5.6）
对于金属材料： 相应有：
E G1 a 2 U p
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5.3 最大周向正应力理论 ( ) max 判据 2．中心裂纹面内剪切即纯Ⅱ型裂纹： 此时
K 0,
K a
(5.19)
代入（5.12）得到
K (3 cos 0 1) 0,
0 70.5
(5.20)
第五章 裂纹断裂判据
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5.1 单一型裂纹的判据
E-399规范规定，按Δ a/a＝2%
的相对等效扩展量来确定临界点。 在同时满足裂纹尺寸 件下，临界点处的扩展量应为：
K1c a 0.02 a 0.02 2.5 s
K1c a 0 . 05 由图看出， s
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5.1 单一型裂纹的判据 3. 平面应力下的临界条件 由图看出，动力曲线和阻力曲线 相交的A0、A1、A2三点中， A0、 A1都不会使裂纹失稳扩展，只有 A2才是失稳扩展的条件。 这就是：为了使裂纹失稳扩展，必须保证推动力增长率大 于或等于阻力增长率G≥R。所以：裂纹失稳扩展的临界条 件就是推动力曲线和阻力曲线相切。即G＝R
5.3 最大周向正应力理论 ( ) max 判据 应用举例 1．纯I型裂纹： 此时KⅡ=0，KⅠ≠0，从（5.12）可得到 θ0=0，π 显然： θ0=π，对应裂纹闭合； θ0=0，对应裂纹扩展。 这说明裂纹沿原裂纹面扩展。 从（5.16）得到： KⅠ=KⅠc
(5.18)
(5.17)
第五章 裂纹断裂判据
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5.1 单一型裂纹的断裂判据 5.2 复合型裂纹形成原因及其判据需要 解决的问题 5.3 最大周向正应力理论 (
max
)
判据
5.4 单一型裂纹的判据能量释放率理论（G判据） 5.5 能量密度理论（S判据） 5.6等 线上的最大正应力的理论 5.7 理论和实验的比较
G1 R 1 a 2 Y 2 E
（5.2） 图5.1
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5.1 单一型裂纹的判据
由上式知，如设在a0、σ 0下裂纹开始扩展(注意开 始扩展并不等于失稳扩展)则
R 1 2 2 Y 0 a0 R0 E
当a＜a0(可视为初始裂纹)裂纹不扩展。 在裂纹扩展中，可测出瞬时裂纹长度ai和 与此相应的外载σ i(或Pi)，代入式(5.2)即 可得ai条件下的Ri值，由此可得到R-a阻力 曲线，一般说，随着裂纹扩展R也随之增高， 如图5.1所示。
5.1 单一型裂纹的判据
4. 平面应变下的阻力曲线
如图5.2所示。由于平面应 变下的裂纹尖端存在着三向应 力状态，当裂纹扩展还很小时， R曲线就已经趋于饱和(即阻 力曲线变平坦)，且临界点和 饱和点基本一致。
图5.2
图5.2中平面应变下的阻力曲线经过的Δ a*很小就趋于 饱和。因此，为了使断裂判据K1＝K1c能基本正确预测工程 结构的平面应变断裂，其断裂韧性K1c应按阻力曲线的饱和 阻力来定义，而不应按裂纹顶端开始塑性撕裂的“起裂点” 来定义。
2
K1c a 2.5 s
2
2
条
图5.2
2
K1c 0.05 s
定义的临界点和阻力曲线上的饱和点(即R曲线切点)是 基本一致的。
K1c a 0 . 05 时，R曲线已近饱和，即由 s
图5.4 荷载分布不对称
图5.5
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5.2 复合型裂纹形成原因及其判据需要解决的问题 二、复合型裂纹断裂判据需要解决的问题 对于复合型裂纹，在预测它的扩展规律时，必须回 答两个问题： 1．裂纹沿什么方向扩展，即确定开裂角； 2．裂纹在什么条件下开始扩展，即确定临界条件。 复合型断裂判据，如象材料力学中的 强度理论一样，是建立在科学假定基础 上的。下面介绍目前在国内外比较流行 的几种复合型断裂判据。
(5.14)
由于I型裂纹在裂纹扩展时总是沿原裂纹方向，即临界 值发生在θ0＝0的位置。将θ0＝0 ，KⅡ＝0，KⅠ＝KⅠc代 入（5.14） 则
临
K c
2r0
(5.15)
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5.3 最大周向正应力理论 ( ) max 判据 将（5.14）和（5.15）式代入（5.13）式则有：
2
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5.1 单一型裂纹的判据
二、能量判据
裂纹失稳扩展，必须使动力G1大于临界点的阻力 Rc=G1c，即
G1 G1c
这就是能量判据。
对于脆性材料，在恒位移条件下，因不需消耗塑性功， Up=0，
E G1 2 a
G R a a
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5.1 单一型裂纹的判据 这个切点就是裂纹失稳扩展的临界点。切点的裂纹长 度a0就是失稳扩展的临界长度，临界点所对应的G1就 叫材料的G1c，且
1 2 G1 K1c E
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（5.1）
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5.1 单一型裂纹的断裂判据
对于固定的 0，G仅是a的函数。 1 2 2 a 0, G 0;当a a0时，G Y 0 a0 R0 E
图5.1所示为在σ =σ 0，σ =σ 1，σ =σ 2情况下的G1曲线。 2．裂纹扩展的阻力 R表示裂纹扩展阻力，即裂 纹扩展单位长度所需要消耗 的能量。在裂纹扩展程中， 至少要有G1=R，即
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5.1 单一型裂纹的断裂判据
一、阻力曲线法 裂纹扩展的动力和阻力问题，它们均可用曲线表示： 1. 裂纹扩展的推动力 由（3.161）式知：
K12 1 2 2 G1 Y a E E E (平面应变） 2 E 1 E (平面应力）
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5.3 最大周向正应力理论 ( ) max 判据 实验表明，对于图5.7所 示的剪应力方向，开裂角 为 θ0＝-70.5°。 当剪应力改变方向时， 将得到： θ0＝70.5°。
裂纹最容易发生脆性断裂，同时平面应变状态比平面应 力状态下的裂纹容易产生临界扩展。所以通常都用具有I 型裂纹的厚板进行实验，以测得平面应变状态下KI的临 界值KIc。作为材料的抗断裂指标，称为材料的“平面应
变断裂韧性”，其单位为
N / m m3 / 2
。
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ห้องสมุดไป่ตู้河 北 工 业 大 学 土 木 工 程 学 院
第五章 裂纹断裂判据
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5.3 最大周向正应力理论 ( ) max 判据 Erqogau和Sih用树脂玻璃板进行了KⅠ—KⅡ复合的实 验。实验结果表明，脆性材料在纯Ⅱ型裂纹的变形状态 下，裂纹沿着与原裂纹面成70°的方向扩展，而这个方向 非常接近裂纹顶端周向正应力达到最大的方向。于是提 出了目前流行的最大周向正应力理论。这个理论以下面 两个假设为基础： 1. 裂纹初始扩展沿着周向正应力σθ 达到最大的方向 2．当这个方向上周向正应力的最大 值。(σ θ)max达到临界时，裂纹就开 始扩展。
E (2 U p )
（5.8）
（5.7）
c
a
E 体内应变能。
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5.1 单一型裂纹的判据
三、应力强度因子K判据
由(3.1)式知，“无限大”板I型裂纹应力强度因子的 表达式为： K lim 2 Z
0
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取距裂纹顶端某一微小距离r＝r0的圆周上各点处的σ θ， 并求其极值及其所在位置，从而定出开裂角 θ0(见图5.6)， 裂纹的扩展方向可由下式确定：
0 r r0 2 0 2
5.2 复合型裂纹形成原因及其判据需要解决的问题
线弹性断裂力学在处理张开型裂纹失稳扩展问题上 取得了很大的成功，但是在工程中经常遇到的裂纹通 常是KⅠ，KⅡ，KⅢ，均不为零的复合裂纹。因此复合 型裂纹的断裂理论的研究有着更加重要的理论意义和 实用价值。
一、形成复合型裂纹的原因 1. 裂纹的方位不对称 图5.3所示两种情况加载方式是 对称的，但裂纹方向是不对称的。 因而，KⅠ，KⅡ均不为零。
2．当这个方向上周向正应力的最大值。(σ θ)max达 到临界时，裂纹就开始扩展，即
( ) max 临
将从（5.12）中得出的θ0。代入(5.10)式即得：
0 1 ( ) max cos K (1 cos 0 ) 3K sin 0 2 2 2r0
1 K (1 cos 0 ) 3K sin 0 cos 0 K c 2 2
(5.16)
K sin0 K (3cos0 1) 0
上面(5.12)和(5.16)式就是最大周 向正应力理论的基本方程。
(5.12)
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(5.11)
把（5.10）代入（5.11）式得
cos
0
2
K sin 0 K (3 cos 0 1) 0
图5.6
其中根θ=±π 无实际意义，故开裂角θ0决定于方程：
K sin0 K (3cos0 1) 0
(5.12)
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5.3 最大周向正应力理论 ( ) max 判据 1. 裂纹初始扩展沿着周向正应力σθ达到最大的方向 以I、Ⅱ型复合裂纹为例。由前面(2.58)和(2.59) 两式并运用叠加原理．可得到在裂纹尖端附近的极应 力表达式：
(5.10)
按K1建立的断裂判据为： 当带裂纹的构件受到外力作用时，裂纹尖 端的实际K1值达到了裂纹发生失稳扩展时材 料的临界值K1c，构件就会因初始裂纹发生 失稳扩展而断裂，即：
K K c
（5.9）
第五章 裂纹断裂判据
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5.1 单一型裂纹的判据
理论分析和实验指出，在三种基本裂纹扩展形式中，I型
图5.3裂纹方向不对称
第五章 裂纹断裂判据
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5.2 复合型裂纹形成原因及其判据需要解决的问题
2. 荷载分布不对称 图5.4所示两种情况裂纹方向是 对称的，但加载方式是不对称的。 因而，KⅠ，KⅡ也均不为零。
3. 材料各向异性 如果材料是各向异性的，其 纤维方向与裂纹方位不一致， 也会产生KⅠ，KⅡ也均不为 零的复合变形状态。
第五章 裂纹断裂判据
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断裂判据(准则)：带裂纹的构件发生断裂的 临界条件，就叫这种裂纹体断裂判据(或叫准 则)。
由于这一问题有着重要的理论意义和实用价 值，所以断裂判据，特别是复合型断裂判，就 成了断裂理论中的一个中心问题。 目前流行的断裂判据有很多理论， 但归纳起来，可以分为两；类，即： 能量法和应力参数法。
（5.5）
γ –为单侧表面单位面积裂纹扩展所需能量。
第五章 裂纹断裂判据
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5.1 单一型裂纹的判据 对于无限宽体，中心穿透裂纹
K12 a 2 G1 2 E E 2E c a
（5.6）
对于金属材料： 相应有：
E G1 a 2 U p
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5.3 最大周向正应力理论 ( ) max 判据 2．中心裂纹面内剪切即纯Ⅱ型裂纹： 此时
K 0,
K a
(5.19)
代入（5.12）得到
K (3 cos 0 1) 0,
0 70.5
(5.20)
第五章 裂纹断裂判据
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5.1 单一型裂纹的判据
E-399规范规定，按Δ a/a＝2%
的相对等效扩展量来确定临界点。 在同时满足裂纹尺寸 件下，临界点处的扩展量应为：
K1c a 0.02 a 0.02 2.5 s
K1c a 0 . 05 由图看出， s
第五章 裂纹断裂判据
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5.1 单一型裂纹的判据 3. 平面应力下的临界条件 由图看出，动力曲线和阻力曲线 相交的A0、A1、A2三点中， A0、 A1都不会使裂纹失稳扩展，只有 A2才是失稳扩展的条件。 这就是：为了使裂纹失稳扩展，必须保证推动力增长率大 于或等于阻力增长率G≥R。所以：裂纹失稳扩展的临界条 件就是推动力曲线和阻力曲线相切。即G＝R
5.3 最大周向正应力理论 ( ) max 判据 应用举例 1．纯I型裂纹： 此时KⅡ=0，KⅠ≠0，从（5.12）可得到 θ0=0，π 显然： θ0=π，对应裂纹闭合； θ0=0，对应裂纹扩展。 这说明裂纹沿原裂纹面扩展。 从（5.16）得到： KⅠ=KⅠc
(5.18)
(5.17)
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5.1 单一型裂纹的断裂判据 5.2 复合型裂纹形成原因及其判据需要 解决的问题 5.3 最大周向正应力理论 (
max
)
判据
5.4 单一型裂纹的判据能量释放率理论（G判据） 5.5 能量密度理论（S判据） 5.6等 线上的最大正应力的理论 5.7 理论和实验的比较
G1 R 1 a 2 Y 2 E
（5.2） 图5.1
第五章 裂纹断裂判据
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5.1 单一型裂纹的判据
由上式知，如设在a0、σ 0下裂纹开始扩展(注意开 始扩展并不等于失稳扩展)则
R 1 2 2 Y 0 a0 R0 E
当a＜a0(可视为初始裂纹)裂纹不扩展。 在裂纹扩展中，可测出瞬时裂纹长度ai和 与此相应的外载σ i(或Pi)，代入式(5.2)即 可得ai条件下的Ri值，由此可得到R-a阻力 曲线，一般说，随着裂纹扩展R也随之增高， 如图5.1所示。
5.1 单一型裂纹的判据
4. 平面应变下的阻力曲线
如图5.2所示。由于平面应 变下的裂纹尖端存在着三向应 力状态，当裂纹扩展还很小时， R曲线就已经趋于饱和(即阻 力曲线变平坦)，且临界点和 饱和点基本一致。
图5.2
图5.2中平面应变下的阻力曲线经过的Δ a*很小就趋于 饱和。因此，为了使断裂判据K1＝K1c能基本正确预测工程 结构的平面应变断裂，其断裂韧性K1c应按阻力曲线的饱和 阻力来定义，而不应按裂纹顶端开始塑性撕裂的“起裂点” 来定义。
2
K1c a 2.5 s
2
2
条
图5.2
2
K1c 0.05 s
定义的临界点和阻力曲线上的饱和点(即R曲线切点)是 基本一致的。
K1c a 0 . 05 时，R曲线已近饱和，即由 s
图5.4 荷载分布不对称
图5.5
第五章 裂纹断裂判据
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5.2 复合型裂纹形成原因及其判据需要解决的问题 二、复合型裂纹断裂判据需要解决的问题 对于复合型裂纹，在预测它的扩展规律时，必须回 答两个问题： 1．裂纹沿什么方向扩展，即确定开裂角； 2．裂纹在什么条件下开始扩展，即确定临界条件。 复合型断裂判据，如象材料力学中的 强度理论一样，是建立在科学假定基础 上的。下面介绍目前在国内外比较流行 的几种复合型断裂判据。
(5.14)
由于I型裂纹在裂纹扩展时总是沿原裂纹方向，即临界 值发生在θ0＝0的位置。将θ0＝0 ，KⅡ＝0，KⅠ＝KⅠc代 入（5.14） 则
临
K c
2r0
(5.15)
第五章 裂纹断裂判据
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5.3 最大周向正应力理论 ( ) max 判据 将（5.14）和（5.15）式代入（5.13）式则有：
2
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5.1 单一型裂纹的判据
二、能量判据
裂纹失稳扩展，必须使动力G1大于临界点的阻力 Rc=G1c，即
G1 G1c
这就是能量判据。
对于脆性材料，在恒位移条件下，因不需消耗塑性功， Up=0，
E G1 2 a
G R a a
第五章 裂纹断裂判据
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5.1 单一型裂纹的判据 这个切点就是裂纹失稳扩展的临界点。切点的裂纹长 度a0就是失稳扩展的临界长度，临界点所对应的G1就 叫材料的G1c，且
1 2 G1 K1c E
第五章 裂纹断裂判据
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（5.1）
第五章 裂纹断裂判据
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5.1 单一型裂纹的断裂判据
对于固定的 0，G仅是a的函数。 1 2 2 a 0, G 0;当a a0时，G Y 0 a0 R0 E
图5.1所示为在σ =σ 0，σ =σ 1，σ =σ 2情况下的G1曲线。 2．裂纹扩展的阻力 R表示裂纹扩展阻力，即裂 纹扩展单位长度所需要消耗 的能量。在裂纹扩展程中， 至少要有G1=R，即
第五章 裂纹断裂判据
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5.1 单一型裂纹的断裂判据
一、阻力曲线法 裂纹扩展的动力和阻力问题，它们均可用曲线表示： 1. 裂纹扩展的推动力 由（3.161）式知：
K12 1 2 2 G1 Y a E E E (平面应变） 2 E 1 E (平面应力）
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5.3 最大周向正应力理论 ( ) max 判据 实验表明，对于图5.7所 示的剪应力方向，开裂角 为 θ0＝-70.5°。 当剪应力改变方向时， 将得到： θ0＝70.5°。
裂纹最容易发生脆性断裂，同时平面应变状态比平面应 力状态下的裂纹容易产生临界扩展。所以通常都用具有I 型裂纹的厚板进行实验，以测得平面应变状态下KI的临 界值KIc。作为材料的抗断裂指标，称为材料的“平面应
变断裂韧性”，其单位为
N / m m3 / 2
。
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5.3 最大周向正应力理论 ( ) max 判据 Erqogau和Sih用树脂玻璃板进行了KⅠ—KⅡ复合的实 验。实验结果表明，脆性材料在纯Ⅱ型裂纹的变形状态 下，裂纹沿着与原裂纹面成70°的方向扩展，而这个方向 非常接近裂纹顶端周向正应力达到最大的方向。于是提 出了目前流行的最大周向正应力理论。这个理论以下面 两个假设为基础： 1. 裂纹初始扩展沿着周向正应力σθ 达到最大的方向 2．当这个方向上周向正应力的最大 值。(σ θ)max达到临界时，裂纹就开 始扩展。
E (2 U p )
（5.8）
（5.7）
c
a
E 体内应变能。
第五章 裂纹断裂判据
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5.1 单一型裂纹的判据
三、应力强度因子K判据
由(3.1)式知，“无限大”板I型裂纹应力强度因子的 表达式为： K lim 2 Z
0
第五章 裂纹断裂判据
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取距裂纹顶端某一微小距离r＝r0的圆周上各点处的σ θ， 并求其极值及其所在位置，从而定出开裂角 θ0(见图5.6)， 裂纹的扩展方向可由下式确定：
0 r r0 2 0 2
5.2 复合型裂纹形成原因及其判据需要解决的问题
线弹性断裂力学在处理张开型裂纹失稳扩展问题上 取得了很大的成功，但是在工程中经常遇到的裂纹通 常是KⅠ，KⅡ，KⅢ，均不为零的复合裂纹。因此复合 型裂纹的断裂理论的研究有着更加重要的理论意义和 实用价值。
一、形成复合型裂纹的原因 1. 裂纹的方位不对称 图5.3所示两种情况加载方式是 对称的，但裂纹方向是不对称的。 因而，KⅠ，KⅡ均不为零。