平面与圆锥面的截线
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
[读教材·填要点]
1．平面与圆柱面的截线
(1)椭圆组成元素： F1，F2 叫椭圆的焦点； F1F2 叫椭圆 的焦距；AB叫椭圆的 长轴 ；CD叫椭圆 的 短轴 ．
如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦 2 a2－b2 . 距2c＝
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)如图(1)，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD，
AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为F1、 F2，交BA、DC的延长线于E、F，交AD于G1，交BC于G2. 设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.
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2．平面与圆锥面的截线
(1)如图，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α，
直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β(0<β<)，则： ① β>α ，l与AB(或AB的延长线)、AC相交； ② β＝α ③ β<α ，l与AB不相交； ，l与BA的延长线、AC都相交．
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(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O 点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥 面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝
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当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切 于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因
此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)， 求证：β＝α时，平面π与圆锥的交线是抛 物线．(如图)
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2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
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[悟一法]
借助条件中已经建立的直角坐标系，通过相关平面图 形转换确定椭圆的长、短轴的长是关键．
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[通一类] 1．平面内两个定点的距离为8，动点M到两个定点的距离 的和为10，求动点M的轨迹方程．
解：以两点的连线段所在的直线为 x 轴，线段的中垂线 为 y 轴建立直角坐标系，则由椭圆的定义知，动点的轨 x2 y2 迹是椭圆，设所求椭圆方程为 2＋ 2＝1. a b ∵2a＝10,2c＝8，∴a＝5，c＝4.则 b2＝9. x2 y2 故所求椭圆的方程为 ＋ ＝1. 25 9
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[研一题]
[例1] 已知圆柱底面半径为，平面β与圆柱母线夹
角为60°，在平面β上以G1G2所在直线为横轴，以 G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面β与
圆柱截口椭圆的方程．
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分析：本题考查平面与圆柱面的截线．解答本题需要根
据题目条件确定椭圆的长轴和短轴．
解：过 G1 作 G1H⊥BC 于 H. ∵圆柱底面半径为 3， ∴AB＝2 3. ∵四边形 ABHG1 是矩形， ∴AB＝G1H＝2 3. G1H 2 3 在 Rt△G1G2H 中，G1G2＝ ＝ ＝4. sin∠G1G2H 3 2 又椭圆短轴长等于底面圆的直径 2 3， x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 4 3
曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采 用与上节中定理1的证明相同的方法，即Danelin双球法， 这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使 问题得到解决．
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[通一类] 2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角
为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任
2 解：由题意知，椭圆的长半轴长 a＝ ＝2 2， sin 45° 短半轴长 b＝2，则半焦距 c＝ a2－b2＝ 8－4＝2. 所以焦距 2c＝4.
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任
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当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切 于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因
此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平 面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时， 平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆．
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[悟一法]
由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广
为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成
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①G2F1＋G2F2＝ AD；②G1G2＝ AD； G2F1 ＝cosφ＝sinθ. ③ G2E (3)如图(2)，将两个圆拓广为球面，将矩形 ABCD 看 成是圆柱面的轴截面，将 EB、DF 拓广为两个平面 α、β， EF 拓广为平面 γ，则平面 γ 与圆柱面的截线是 椭圆 ．即 得定理 1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
平面与圆锥面的截线 课件
证明：如图所示，当 β<α 时，平面 π 与圆锥的两部 分相交．在圆锥的两部分分别嵌入 Dandelin 球，与平面 π 的两个切点分别是点 F1、F2，与圆锥两部分截得的圆分 别为 S1、S2.
在截口上任取一点 P，连接 PF1、PF2，过点 P 和圆 锥的顶点 O 作母线，分别与两个球相切于点 Q1、Q2，
则 PF1＝PQ1，PF2＝PQ2， 所以|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2. 由于 Q1Q2 为两圆 S1、S2 所在平行 平面之间的母线段长， 因此 Q1Q2 的长为定值．
由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一 点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对 值为常数．
解：连接 O1F1、O2F2、O1O2 交 F1F2 于 O 点， 在 Rt△O1F1O 中，
OF1＝tanO∠O1F1O1 F1＝tanr
. β
在 Rt△O2F2O 中，
OF2＝tanO∠O2F2O2 F2＝tanR
. β
所以 F1F2＝OF1＋
R＋r
OF2＝ tan
. β
R＋r
同理，O1O2＝ sin
归纳升华 判断平面与圆锥面的截线形状的方法如下： 1．求圆锥面的母线与轴线的夹角 α，截面与轴的夹 角 β； 2．判断 α 与 β 的大小关系； 3．根据定理 2 判断交线是什么曲线．
类型 2 圆锥曲线的几何性质
[典例 2] 如图所示，已知圆锥母线 与轴的夹角为 α，平面 π 与轴线夹角为 β， Dandelin 球的半径分别为 R、r，且 α<β， R>r，求平面 π 与圆锥面交线的焦距 F1F2， 轴长 G1G2.
2．圆锥曲线的几何性质
(1)焦点：Dandelin 球与平面 π 的切点． (2)准线：截面与 Dandelin 球和圆锥交线所在平面的 交线．
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线).
平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。
如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。
下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线”.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表几何图霸网站：。
圆锥截交线
3
Ⅱ Ⅲ Ⅲ
正垂线
3
Ⅰ
正平线
[例题2] 求圆锥截交线
解题步骤 1、分析 截平面为正平面，截平 面的水平投影为直线； 2、截交线为双曲线，截交线的 水平投影和侧面投影均为直线； 3、求出截交线上的特殊点#39; c"
a"
4、求出一般点C ； 5、光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 6、整理轮廓线。
b"
b
c
a
[例题3]
分析并想象出圆锥穿孔后的投影
本章结束
圆锥的截交线
一、 二、 三、 四、 五、
截交线的性质 圆锥的截交线的类型及形状 求作截交线的方法 截交线上的特殊点 作图步骤与例题
一、 截交线的性质
圆锥的截交线是截平面与圆锥表面的共有线。
圆锥的截交线的形状取决于圆锥表面的形状 及截平面与圆锥轴线的相对位置。 圆锥截交线都是封闭的平面图形。
二、 圆锥截交线的类型与形状
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
抛物线加直线段
α θ
α θ
α
θ
α
过锥顶 两相交直线
θ =90° 圆
90° α ＞ θ＞ 椭圆
θ ＝α 抛物线
≤θ ＜α 0° 双曲线
三、 求作截交线的方法
四、 截交线的特殊点
[例题1] 求圆锥截交线
3'
解题步骤 1、分析 截平面为正垂面，截平 面的正面投影为直线； 2、截交线为椭圆，截交线的水 平投影和侧面投影均为椭圆；由 于圆锥前后对称，故椭圆也前后 对称。椭圆的长轴为截平面与圆 锥前后对称面的交线——正平线 ，椭圆的短轴是垂直与长轴的正 垂线。 3、求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ； 4、求出一般点Ⅴ ； 5、光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性即得 截交线的水平投影和侧面投影； 6、整理轮廓线。
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
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2．平面与圆锥面的截线
(1)如图，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α，
直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β(0<β<)，则： ① β>α ，l与AB(或AB的延长线)、AC相交； ② β＝α ③ β<α ，l与AB不相交； ，l与BA的延长线、AC都相交．
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(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O 点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥 面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝
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在 Rt△PBQ1 中，PB＝PQ1cos α. PQ1 cos β ∴ ＝ . PA cos α PF1 又∵PQ1＝PF1，α＝β，∴ ＝1， PA 即 PF1＝PA， 动点 P 到定点 F1 的距离等于它到定直线 m 的距 离，故当 α＝β 时，平面与圆锥的交线为抛物线．
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本课时考点在高考中很少考查.2012年梅州模拟以
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当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切 于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因
平面与圆锥的截交线的三种情况
平面与圆锥的截交线的三种情况引言在几何学中，平面与圆锥的相交是一个常见而重要的问题。
当一个平面与一个圆锥相交时，它们会形成一条被称为截交线的曲线。
这条曲线可以有不同的形状和特征，取决于平面和圆锥之间的相对位置关系。
本文将探讨平面与圆锥相交时可能出现的三种情况，并详细讨论每种情况下截交线的特点。
情况一：平面与圆锥没有公共点在某些情况下，平面和圆锥可能没有任何公共点。
这意味着平面完全位于圆锥之外，或者两者之间存在太大的距离，无法相交。
在这种情况下，截交线为空集。
情况二：平面与圆锥有一个公共点另一种可能性是平面与圆锥有且仅有一个公共点。
这意味着平面切割了圆锥，并且该公共点是截交线上唯一的点。
根据切割位置和角度不同，截交线可以是直线、抛物线或双曲线。
情况二.1：截交线是直线当平面与圆锥相切时，截交线是一条直线。
这种情况下，平面与圆锥的切点也是截交线上的唯一点。
截交线与圆锥的母线（生成圆锥的直线）垂直。
此外，截交线还满足以下特点： - 截交线在平面上的投影与截交线重合。
- 截交线在圆锥上的投影是一段弧，它连接了圆锥的两个切点。
情况二.2：截交线是抛物线当平面与圆锥相交但不相切时，截交线可以是一条抛物线。
这种情况下，平面和圆锥有一个公共点，并且该公共点不在截交线上。
抛物线作为截交曲面的一部分，具有以下特征： - 抛物顶点位于公共点和圆锥顶点之间。
- 抛物顶点到公共点的距离等于抛物顶点到圆锥顶点的距离。
- 抛物顶轴垂直于平面，并通过抛物顶点和公共点。
情况二.3：截交线是双曲线在某些情况下，平面与圆锥相交会形成一条双曲线作为截交线。
这种情况下，平面和圆锥有一个公共点，并且该公共点不在截交线上。
双曲线具有以下特征： - 双曲线的两个分支都延伸到无穷远处。
- 双曲线的焦点位于公共点和圆锥顶点之间。
- 双曲线的两个分支在平面上对称。
情况三：平面与圆锥有多个公共点最后一种情况是平面与圆锥有多个公共点。
这意味着平面切割了圆锥，并且截交线是一个封闭的曲线。
人教版高中数学选修3.3平面与圆锥面的截线ppt课件
由上所述可知, 椭圆的 准线为m, 椭圆上任一 点到焦点的距离与到 准线的距离之比为常
A
m
S Q1 B
F1
`
cos P 数 ,因此椭圆的 cos 图3 12 cos 离心率为e , cos 即椭圆的离心率等于截 面和圆锥的轴的交角 的余弦与圆锥的母线和 轴所成角的余弦之比 .
D
G A
P
E
B
F
l
C
(1)
(2) (3)
,
D , 与AB( l 或AB的延长线)、AC都相交。 与AB l 不相交。
, 与BA l 的延长线、AC都相交。
是(
1．圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°，则截面所截得的截线 ) A A．圆 C．双曲线 B．椭圆 D．抛物线 )
2．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( A．圆 C．双曲线 B B．椭圆 D．抛物线
3．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为 8，长轴 的两端点到顶点的距离分别是 6 和 10，则椭圆的离心率为 ( C )
在RtABP中, APB , 所以PB PAcos . 1
设过 P的母线与圆 S交于 点 Q1 , 则在 RtPQ1 B 中 , Q1 PB , 所以 2 PB PQ1 cos .
A
m
S Q1 B
F1
`
P
图3 12
PF1 cos 由 1 2 得 . 因为 PA cos PF1 cos 0 , 故 cos cos , 则 1. 2 PA cos
S1
Q1 F1 F2
S2
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
0)，则
①β>α ②β＝α ③ β<α ，平面π与圆锥的交线为椭圆； ，平面π与圆锥的交线为抛物线； ，平面π与圆锥的交线为双曲线．
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[小问题·大思维] 用平面截球面和圆柱面所得到的截线分别是什么 形状？
提示：联想立体图形及课本方法，可知用平面截
球面所得截线的形状是圆；用平面截圆柱面所得截线 的形状是圆或椭圆．
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2．平面与圆锥面的截线
(1)如图，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α，
直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β(0<β<)，则： ① β>α ，l与AB(或AB的延长线)、AC相交； ② β＝α ③ β<α ，l与AB不相交； ，l与BA的延长线、AC都相交．
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(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O 点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥 面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝
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当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切 于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因
此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
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在 Rt△PBQ1 中，PB＝PQ1cos α. PQ1 cos β ∴ ＝ . PA cos α PF1 又∵PQ1＝PF1，α＝β，∴ ＝1， PA 即 PF1＝PA， 动点 P 到定点 F1 的距离等于它到定直线 m 的距 离，故当 α＝β 时，平面与圆锥的交线为抛物线．
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本课时考点在高考中很少考查.2012年梅州模拟以
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[研一题]
[例1] 已知圆柱底面半径为，平面β与圆柱母线夹
角为60°，在平面β上以G1G2所在直线为横轴，以 G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面β与
圆柱截口椭圆的方程．
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分析：本题考查平面与圆柱面的截线．解答本题需要根
据题目条件确定椭圆的长轴和短轴．
解：过 G1 作 G1H⊥BC 于 H. ∵圆柱底面半径为 3， ∴AB＝2 3. ∵四边形 ABHG1 是矩形， ∴AB＝G1H＝2 3. G1H 2 3 在 Rt△G1G2H 中，G1G2＝ ＝ ＝4. sin∠G1G2H 3 2 又椭圆短轴长等于底面圆的直径 2 3， x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 4 3
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
选择题的形式考查了平面与圆柱面的截线的形状，是
高考模拟命题的一个新动向．
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[考题印证]
(2012· 梅州模拟)已知半径为 2 的圆柱面， 一平面与圆 柱面的轴线成 45° 角，则截线椭圆的焦距为 A．2 2 C．4 B．2 D．4 2 ( )
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
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[研一题]
[例1] 已知圆柱底面半径为，平面β与圆柱母线夹
角为60°，在平面β上以G1G2所在直线为横轴，以 G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面β与
圆柱截口椭圆的方程．
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分析：本题考查平面与圆柱面的截线．解答本题需要根
据题目条件确定椭圆的长轴和短轴．
解：过 G1 作 G1H⊥BC 于 H. ∵圆柱底面半径为 3， ∴AB＝2 3. ∵四边形 ABHG1 是矩形， ∴AB＝G1H＝2 3. G1H 2 3 在 Rt△G1G2H 中，G1G2＝ ＝ ＝4. sin∠G1G2H 3 2 又椭圆短轴长等于底面圆的直径 2 3， x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 4 3
曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采 用与上节中定理1的证明相同的方法，即Danelin双球法， 这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使 问题得到解决．
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[通一类] 2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角
为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平 面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时， 平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆．
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[悟一法]
由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广
为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成
0)，则
①β>α ②β＝α ③ β<α ，平面π与圆锥的交线为椭圆； ，平面π与圆锥的交线为抛物线； ，平面π与圆锥的交线为双曲线．
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[小问题·大思维] 用平面截球面和圆柱面所得到的截线分别是什么 形状？
最新人教版高中数学选修4-1平面与圆锥面的截线
(4)圆锥曲线的几何性质
-6-
1.1 DNA重组技术的基本工具
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
项目 焦点 准线 离心率 焦距 离心率 准线间距 曲线上的点到 焦点距离
S 随堂练习
UITANG LIANXI
名师点拨①特别情况 :β= 2,平面 π 与圆锥的交线为圆,如图
所示.
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②圆锥曲线的统一性,椭圆为封闭图形,双曲线、抛物线为不封闭图形, 其图形不一样,但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到,因此,圆、椭圆、双 曲线、 抛物线统称为圆锥曲线.它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准 线的距离之比为常数,即离心率 e,定义上的统一,必然也蕴含着图形统一.
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1.1 DNA重组技术的基本工具
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J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
2.圆锥曲线的结构特点 (1)椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之和为常数(长轴长 2a). (2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值为常数(2a). (3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等. 3.圆锥曲线的几何性质 (1)焦点 :Dandelin 球与平面 π 的切点. (2)准线 :截面与 Dandelin 球和圆锥交线所在平面的交线. (3)离心率 :e=
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1.1 DNA重组技术的基本工具
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平面与圆锥面的截线
平面与圆锥面的截线湖州市吴兴高级中学刘晓东一、考、学情简析平面截圆锥面（不过顶点）所得的截线，可以是圆、椭圆、双曲线及抛物线，但这些知识在教材中并未涉及，只是在章头图中惊鸿一现.纵观浙江卷考题及各地模拟卷均却时有以此为背景的试题，简洁而灵动，但考生往往无所适从，“小题大做”，主要原因是对本节知识的缺失，通过本节课的学习，让学生了解此类问题的本质,掌握解决此类问题的方法,教师在教学时可以参阅人教 A 版选修 4-3 的相关内容.二、教学目标1.通过动态演示（或图示）观察平面截圆锥面的情境，让学生感知截面的四种情形；2.利用 Dandelin 双球证明截线为椭圆的情形；3.能利用结论判断平面截圆锥面所得截线形状.三、教学重点难点教学重点：1.平面截圆锥面所得截线形状的三个结论；2.平面截圆锥面所得截线形状的判断.教学难点：1.椭圆截线的证明；2.三个结论的综合应用.四、教学策略1.直观性原则通过动画或图示，让学生直观感知知识的形成过程.2.探究性原则应利用探究性、合作学习等方式，加深对知识的理解.3.适度性原则根据学情，灵活把握教学的难度，视学情选择教学内容,没必要面面俱到,学生只要掌握相关结论即可,定理的证明只是为了帮助学生更好地理解相关结论,不强求定性证明. 五、教学过程【环节一】平面截圆锥面的各种情形1.观察下列两幅图，感知平面（不过圆锥顶点）截圆锥面所得截线的四种情况图1图2【设计意图】通过图示（有条件可动画演示）让学生直观感知截线的四种情形.由于本知识在教材中没有介绍，故不宜做过度拓展.【环节 2】平面截圆锥面定理两个实验：利用几何画板探究平面截圆锥面定理.【实验 1】如图3，AD是等腰三角形底边上的高，∠BAD= α，直线l与 AD 相交于点 P，且与 AD 的夹角为β(0< β <π2) .【探究 1】当α,β满足什么关系时有（1）l 与 AB（或其延长线）、AC 都相交；（2）l与 AB 不相交；（3）l与 AB 的延长线、AC 都相交.【结论】如图4，可得如下结论：(1)当l与AB(或AB的延长线)、AC都相交时,设l与AB(或AB的延长线)交于E,与AC交于F.因为β是∆AEP的外角,所以必然有β > α;反之,当β > α时,l与AB(或AB的延长线)、AC都相交. 图3 图42(2)当l与AB不相交时,则l / / AB, 这时有β = α;反之,当β = α时,l/ /AB,那么l与AB不相交.(3)当l与BA的延长线、AC都相交时,设l与BA的延长线交于G,因为α是∆APG的外角,所以β < α;如果β < α,那么l与BA的延长线、AC都相交【设计意图】实验1从平面图形出发，通过探究让学生感知三个结论，而这三个结论恰恰是定理的核心内容.由于是平面图形学生能够很容易理解，教师可直接让学生回答，可不必用几何画板演示.【实验 2】将图3中的等腰三角形拓展为圆锥，直线拓展为平面，通过合情推理则得到图2.（实验只需演示，不必让学生探究）【实验结果】如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则得到如下结论：1.如果平面与一条母线平行（相当于图 4 中的β = α），那么平面就只与圆锥的一半相交，这时交线是一条抛物线；2.如果平面与母线不平行，则有两种情形：（1）当β > α时，平面只与圆锥的一半相交，这时交线是椭圆；（2）当β < α时，平面与圆锥的两部分都相交，这时交线是双曲线.【设计意图】通过演示，让学生直观感知结论，无需过多拓展.当然对条件较好的学校可以适当引申.【定理】在空间中，取直线l为轴，直线l/与l相交于O点，其夹角为α，l/围绕l旋转得到以 O 为顶点，l/为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记着β＝0），则：（1）β > α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β = α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β < α，平面π与圆锥的交线为双曲线. 图5 利用 Dandelin 双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）下面只证明β > α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.证明：如图5，设截面与两球的切点分别为E、F，A为截线上任一点，过点A的母线与两球的切点分别为 B、C，则易得：AB=AF,AE=AC，所以AE+AF=AB+AC=BC=定值，由椭圆定义，则点 A 的轨迹为椭圆. 【设计意图】进一步强化结论.定理的证明以椭圆为例，其他两种情况不做要求.这里只需要学生掌握结论即可.【环节 3】定理应用例 1：直接利用定理解决下列问题.（1）平面α与圆锥的母线平行，则它们的交线为抛物线;离心率为__1__;（2）一圆锥面的母线和轴线成30︒角，当用一与轴线成30︒的不过顶点的平面去截圆锥时，则所截得的截线是（C）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条相交直线（3）已知圆锥面 S，其母线与轴线所成角为30︒，在轴线上取一点 C，通过点 C 作一截面α 使它与轴线所成的角为45︒，则截出的曲线是（B）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【设计意图】例1的三个小题均可直接利用定理求解，主要是为了让学生熟悉定理结论及其简单应用.例 2：求解下列问题.（1）圆锥的顶角为60︒，平面α与母线所成的角为60︒，则截面所截得的截线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线提示：截面与轴垂直，所以截线为圆，故选 A.（2）（2015 年浙江文 7）如图 6，斜线段AB与平面α所成的角为60 ，B为斜足，平面α 上的动点P满足∠PAB =30 ，则点P的轨迹是（C）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支提示：当 P 点运动时，在空间中，满足条件的 AP 绕 AB 旋转形图6成一个圆锥，用一个与圆锥高成60 角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选 C.【变式】（2016 金丽衢十二校理 8）如图 7，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足． 若点 C 在平面α 内运动，且∠CAB 等于直线 AB 与平面α 所成的角，则动点 C 的轨迹为( D )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线图7【设计意图】通过两个问题和一个变式加深对定理的理解.对于问题(2)及变式,需要模型建构,才能利用定理进行判断,是对学生数学建模素养的培养.例 3：活用定理解决下列问题.（1）（2008 年浙江理 10）如图 8，AB 是平面α 的斜线段，A为斜足，若点 P 在平面α 内运动，使三角形 ABP 的面积为定值则动点 P 的轨迹是（ B ）图8A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线（2）（2015 湖州二中 10 月月考）二面角α - l - β 大小120， AB 垂直平面 β 交 l 于 B ，动点 C 满足 AC 与 AB 成 40角，则点 C 在平面α 和平面 β 上的轨迹分别是 （ C ）A ．椭圆、圆B ．双曲线、椭圆C ．双曲线、圆D ．抛物线、圆【设计意图】强化定理的灵活应用，培养学生的理性思维.【反馈练习】1.如图 9，直线 PO ⊥ 平面 M ，垂足为 O ，直线ＰＡ是平面Ｍ的一条斜线，斜足为Ａ，其中∠APO = α ，过点Ｐ的动直线ＰＢ交平面Ｍ于点Ｂ， ∠APB = β ，则下列说法正确的是＿（１）若α = 0︒, β = 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是一个圆；（２）若α ≠ 0︒, β = 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是一条直线；（３）若α ≠ 0︒, β ≠ 90︒且α + β = 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是抛物线；图9（４）若α ≠ 0︒, β ≠ 90︒且α + β < 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是双曲线；答案（２）（３）2.如图 10，平面α 的斜线 AB 交α 于 B 点，且与α 所成的角为θ 平面α 内有一动点 C 满足 ∠BAC =π，若动点 C 的轨迹为椭圆图106π , π ） 则θ 的取值范围为________.答案：（6 23.如图 11，直线 AB 是平面α的斜线，A 为斜足，若点 P 在平面α内运动，使得点 P 到直线 AB 的距离为定值 a(a>0),则动点 P 的轨迹是（ B ）图11A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线。
简述平面与圆锥面相交的物五种截交线的性质
简述平面与圆锥面相交的物五种截交线的性质平面与圆锥面是几何图形中的两个基础形状，在三维空间中，它们常常会相交，而它们之间的截交线有五种形式，分别是：主轴，圆弧，圆心，平行线和交点。
本文将介绍五种截交线的特征，以及它们是如何交叉的。
首先是主轴，主轴是一条和圆锥的顶点重合的直线，它的端点都位于圆锥的底面。
另外，圆弧也是一种相交线，它与主轴形成环形，并且一端接近主轴，另一端则与圆锥底面重合。
此外，还有一种叫做圆心的截交线，它位于主轴和圆弧之间，由于圆锥的顶点相当于圆的圆心，因此圆心也可以称之为圆锥顶点。
另外，主轴的反方向也是一种相交线，它与主轴形成一条平行线，两条线之间的距离等于圆锥的高度。
最后，还有一种叫做交点的相交线，它介于主轴的两端，在平面和圆锥相交时会出现。
以上就是五种截交线的特性，下面我们来看它们是如何交叉的。
首先，主轴和圆弧是彼此垂直的，因此它们构成一个“X”形，其中圆心和交点分别位于“X”的两个端点。
接下来，圆心和交点的连线与主轴的反方向形成一个“H”形，其中它们的连线分别位于“H”的两个端点。
最后，主轴和它的反方向会形成一个“T”形，两线之间的距离则等于圆锥的高度。
总之，以上就是平面与圆锥面相交的物体五种截交线的性质。
主轴、圆弧、圆心、平行线和交点同时存在，它们组合出了一个“X-H-T”形，而交线之间的距离则与圆锥的高度相等。
圆锥是三维空间中经常
被使用的几何图形，它的特性丰富，能够构建出复杂的几何形状，而平面与圆锥面的“相交”，也是一种几何图形中最常见的情况。
希望本文能够帮助你更好地理解这五种截交线的性质。
简述平面与圆锥面相交的物五种截交线的性质
简述平面与圆锥面相交的物五种截交线的性质平面与圆锥面的相交是数学几何中一种常见的几何形状。
面是一种定义为任意两点连线即可划定的面，而圆锥面是一种三维实体，由一个圆台面和一个圆柱面所构成。
两个几何体在同一平面内相交时，会产生五种类型的截交线，分别是：圆锥台边线、投影平面线、端面线、圆锥腰边线和投影平面线。
首先，圆锥台边线是由圆锥台面和平面的交点组成，它体现了圆锥台面与平面的关系。
们可能是相交的，也可能是平行的。
果圆锥台面与平面相交，它们之间的关系就会发生变化，形成一个新的台边线，就像一条平行线。
条线在平面上具有独特的性质，可以使得平面上的物体更加紧凑。
其次，投影平面线是由圆锥台面与平面的交点投影到平面上的线，它体现了圆锥台面与平面之间的位置关系。
们可能是相交的，也可能是平行的，或者是两者兼有。
影平面线在平面上具有独特的，它们可以使得平面上的物体发生移动，因此在研究中很有用。
第三，端面线，也称为投影端线，是把圆锥台面的投影投影到平面上的直线，它体现了圆锥台面与平面之间的距离关系。
面线在平面上具有独特的特性，它们可以按照特定的要求，使得圆锥台面与平面之间的距离发生变化，从而使得平面上的物体发生移动。
第四，圆锥腰边线是由圆锥腰面与平面的交点组成，它体现了圆锥腰面与平面之间的关系。
锥腰边线可能是相交的，也可能是平行的，或者是两者兼有。
锥腰边线在平面上具有独特的特性，它们可以影响圆锥腰面与平面之间的距离，使得圆锥腰面可以与平面相交，也可以与平面相切。
最后，投影平面线是把圆锥台面的投影投影到平面上的直线，它体现了平面与圆锥台面之间的距离关系。
影平面线可以使得圆锥台面发生旋转，从而使得平面上的物体发生移动，从而使得物体之间发生变化。
总之，平面与圆锥面相交的截交线有五种，分别是圆锥台边线、投影平面线、端面线、圆锥腰边线和投影平面线，它们在平面上具有独特的性质，可以使得平面上的物体发生变化，从而使得物体之间发生联系。
正圆锥面被平面所截得的曲线方程的探究
正圆锥面被平面所截得的曲线方程的探究
正圆锥面被平面所截得的曲线方程是正圆锥几何学中龙骨曲线的一种，自古以来一直是许多几何学家们非常热衷研究的内容之一。
这种曲线受正圆锥面的参量和平面的条件限制，且它的曲线面是由两类面的共线点所成的，这一点下很难找出其方程，是一个极为繁琐的过程，然而有时则不是这样，其特殊条件下由专业的几何学家们就可以很容易地求出其曲线方程。
求正圆锥面被平面所截得的曲线方程的最重要的步骤是分离变量，即将曲线的一些变量，例如面积、半长轴长、半短轴长、正交轴和元组参数等分离为单独的一项，而且也要考虑方程的秩。
在把变量分离出来后，接下来的步骤就是将正圆锥的曲面的方程变换为一个通用的曲面方程，这，让我们可以轻松地求出其在直线、圆或椭圆平面上的定义方程，而不用干预直线、圆或椭圆平面上变换后的方程。
将曲面变换为通用方程之后，一般还要考虑其参数问题，比如参数是什么，其拟合程度怎么样，一般的，要使参数尽量少，拟合度也要达到最高。
也许对普通的学生来说求正圆锥面被平面所截得的曲线方程是非常困难的，需要具备良好的数学基础和几何学知识，而且过程也非常耗时。
当然，经过一番努力，最终取得成功是一件值得感到欣慰和快乐的事情。
圆锥曲线的原理最详细图解平面与圆锥面的截线
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线)平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。
如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O 为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。
下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E 转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线”.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表几何图霸网站：。
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C
图3 92
图3 10
如果用一个平面去截一 个正 圆锥(两边可以无限延伸) ,而 且这个平面不通过圆锥 的顶 点.会出现三种情况: 如果平面与一条母线平 行(相当于图3 92中的 ), 那么平面就只与 图3 10 正圆锥的一半相交, 这时的交线是一条抛物 ; 线 如果平面不与母线平行 ,那么会出现两种情形 : 平面只与圆锥的一半相 ,这时的交线为椭圆 交 ; 平面与圆锥的两部分都 相交, 这时的交线叫做 双曲线.
1 1 1 2 2 2
最后, 我们延用讨论椭圆 结构特点的思路, 讨论一 下双曲线的结构特点 .
如图3 13,当 时, 平面 与圆锥的两部分相交 .在圆
Q1
S1 S2
O
F1
Q2
F2
P 锥的两部分分别嵌入 Dand elin球, 与平面 的两个切点 分别是F1、F2 , 与圆锥两部分 图3 13 截得的圆分别为 1、S2 . S 在截口上任取一点 , 连接PF1、PF2 .过P和圆锥 P 的顶点O作母线, 分别与两个球切于Q1、Q2 , 则
C
3当l与BA的延长线、AC都相交时, 设 l 与 BA的
延长线交于G,因为是APG的外角 所以 ; , 如果 , 那么 l 与 BA的延长线、AC都相交 . 将图3 9中的等腰三角形拓广为 圆锥, 直线拓广 为平面, 则得到图3 10.
G
A
E B
P F
l
D
下面给出交线为椭圆时 的证明. 如图3 11, 与定理1的证明相 同, 在圆锥内部嵌入 Dandelin 双球, 一个位于平面 的上方, 一个位于平面 的下方, 并且 与平面 及圆锥均相切.
S1
Q1 F1 F2
P
S2
Q2
当 时,由上面的讨论可知 , 图3 11 平面 与圆锥的交线是一个封 闭曲线.设两个球与平面 的切 点分别为F1、F2 , 与圆锥相切于圆 1、S2 . S
在截口的曲线上任取一 P, 点 连接 PF1、PF2 .过 P 作母线交 S Q S1 于 Q1 , 交 S2于Q2 , 于是 PF1和 F PQ1是从P到上方球的两条切 F P S 线,因此PF1 PQ1 . Q 同理, PF2 PQ2.所以PF1 PF2 PQ1 PQ2 Q1Q2 . 图3 11 由正圆锥的对称性 Q1Q2长度 , 等于两圆S1、S 2 所在平行平面间的母线 段的 长度, 与点P的位置无关由此可知截口的曲线 . 是以F1、F2为焦点的椭圆 .
三 平面与圆锥面的截线
思考 如图3 91 , AD是等 腰三角形 ABC 底边上的高, BAD .直线l与AD相交于 点P, 且与AD的夹角为 ( 0 2 什么关系? 1l与AB或AB的延长线、AC 都相交; 2l与AB不相交; 3l与BA的延长线、AC都相交.
PF1 PQ1 , PF2 PQ2 . 所以 | PF1 PF2 | | PQ1 PQ2 | Q1Q2 .
Q1
S1 S2
O
F1
由于Q1Q2为两圆S1、S2 所在平行平面之间的 母线段长,因此Q1Q2的 长为定值. 由上所述可知, 双曲线
Q2
P
F2
图3 13
的结构特点是: 双曲上 任意一点到两个定点即双曲线的两个焦点 的距离之差的绝对值为 常数.
A
P
l
B
).试探究 :当与 满足
D
C
1
A
E B
P F
l
D
C
2
图3 9
利用几何画板实验探索 .
G
A
1当l与AB或AB的延长线、AC
如图3 92,可以有如下结论:
E
P F
l
都相交时, 设l与 AB(或 AB的延长 B D 线)交于 E , 与 AC交于F .因为 是 2 AEP 的外角, 所以必然有 ; 反之,当 时, l与AB(或AB的延 长线)、AC都相交. 2当l与AB不相交时, 则l // AB, 这时有 ; 反之,当 时, l // AB, 那么l与AB不相交.
定理2 在空间中，取直线 l 为轴，直线 l ' 与 l 相交于O点，夹角为 ，
l 围绕 l
'
旋转得到以O为顶点，l ' 为母线的圆锥面，任 取平面 ，若它与轴 l 的交角为 （当 与 (1) (2) (3)
l 平行时，记 0），则
,平面 与圆锥的交线为椭圆； ,平面 与圆锥的交线为抛物线； ,平面 与圆锥的交线为双曲线；