人教版数学高二A版选修4-1预习导航第三讲二平面与圆柱面的截线

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1．定理1

圆柱形物体的斜截口是椭圆

与圆柱OO′的轴斜交，则截口是椭圆

判断截口形状是椭圆

2．

(1)定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．

(2)组成元素：如图所示，F1，F2是椭圆的焦点，B1B2是F1F2的中垂线．

我们把A1A2叫做椭圆的长轴，B1B2叫做椭圆的短轴，F1F2叫做椭圆的焦距．如果长轴

为2a，短轴为2b，那么焦距2c

(3)Dandelin双球探究椭圆性质：如图所示，设球O1，O2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为α，γ，椭圆所在的斜截面β与它们的交线分别为l1，l2，α，γ与β所成的二面角为θ，母线与平面β的交角为φ.由于α，β，γ都是确定的，因此交线l1，l2也是确定的．

①当点P 在椭圆的任意位置时，过P 作l 1的垂线，垂足为Q ，过P 作平面α的垂线，

垂足为K 1，连接K 1Q ，得Rt △PK 1Q ，则∠QPK 1＝φ.从而有PF 1PQ ＝PK 1PQ

＝cos_φ＝定值． ②椭圆上任意一点到焦点F 1的距离与到直线l 1的距离之比为定值cos_φ.我们把直线l 1叫做椭圆的一条准线．

③椭圆上任意一点到焦点F 2的距离与到直线l 2的距离之比也为定值cos φ，所以l 2是椭圆的另一条准线．

④记e ＝cos φ，我们把e 叫做椭圆的离心率．

名师点拨 e 的几何意义是，椭圆上一点到焦点的距离与它到准线的距离的比．当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b 越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，从而b 越接近于a ，椭圆越接近于圆．当e ＝0时，c ＝0，a ＝b ，两个焦点重合，图形就是圆了．可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量．

思考 Dandelin 双球探求椭圆性质的过程是怎样的？

提示：通过一条直线与相离的两个等圆的内公切线的情形，类比为两个半径相等的球在一个平面的两侧均与球相切的情形，从而得到定理1及有关结论，因而对于平面内直线与两个相离的等圆的内公切的情形要注意研究，这有助于理解椭圆和下一节的知识．

圆柱内嵌入两个球，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与圆柱和斜截面均相切，这是证明定理的关键．这种方法是数学家Dandelin 创立的，故将嵌入的两球称为Dandelin 双球．要注意对于Dandelin 双球的研究．