人教版数学高二A版选修4-1预习导航第三讲二平面与圆柱面的截线
人教版数学高二A版选修4-1 第三讲二平面与圆柱面的截线
主动成长夯基达标1.梯形ABCD中,AB∥CD,若梯形不在平面α内,则它在α内的射影是（）A.平行四边形B.梯形C.一条线段D.一条线段或梯形思路解析:当梯形所在的平面平行于投射线时,梯形在α上的射影是一条线段;当梯形所在的平面与投射线不平行时,梯形在α上的射影是一个梯形.答案:D2.如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形,则下列结论正确的是（）A.内心的平行投影还是内心B.重心的平行投影还是重心C.垂心的平行投影还是垂心D.外心的平行投影还是外心思路解析:如果三角形的平行投影仍是三角形,但三角形的形状通常将发生变化,此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化,而重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化,而内心则始终是原先角平分线的交点,所以仍是新三角形的内心.答案:A3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是（）A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)思路解析:将所给方程转化为标准形式,根据焦点的位置即可获得实数k的取值范围.将所给方程x2+ky2=2转化为标准形式,即22x+122=ky,因为焦点在y轴上,所以有22>k,于是0 <k <1.答案:D走近高考4.如图3-2-5,设P为△ABC所在平面外一点,点O为P在平面ABC上的射影,若PA =PB =PC,则O为△ABC的心.图3-2-5思路解析:连结AO、BO、CO,则AO、BO、CO分别为PA、PB、PC在平面ABC内的射影.又∵PA =PB =PC,由射影长定理,则OA =OB =OC,∴O为△ABC的外心.答案:外5.在平面解析几何中,我们学过用方程表示直线、圆等图形,将椭圆上的点满足的条件用坐标表示出来,也可以得到椭圆的方程,试建立适当的坐标系,求长轴为2a,短轴为2b（a>b）,焦距为2c 的椭圆的方程.思路解析:以长轴所在直线为x 轴建立坐标系,也可以以长轴所在直线为y 轴建立坐标系.解:以长轴所在直线为x 轴建立坐标系,其方程为a x 2+12=by ;以长轴所在直线为y 轴建立坐标系,其方程为b x 2+12=ay .。
人教版数学高二A版选修4-1目标导引第三讲一平行射影二平面与圆柱面的截线
高中数学-打印版
一平行射影
二平面与圆柱面的截线
一览众山小
学习目标
1.了解平行射影的概念及椭圆的定义，知道不平行于底面的平面截圆柱的形状是椭圆.
2.通过圆柱形水杯中水面的倾斜，感受平面截圆柱的形状，并从理论上证明.
3.通过Dandelin双球探求椭圆的性质，理解这种证明问题的方法.
学法指导
学习本节内容之前，可先复习立体几何中点在直线上，图形在平面上的射影，了解平面截圆柱、圆锥的截面形状，复习选修1-1的圆锥曲线的知识.
对于平面截圆柱面的形状，可以借助于实物，增强形象性的理解，对于圆柱形物体的斜截口是椭圆的证明，可先理解平面上的情况，再推广到空间，这样在学习中能够降低难度.
诱学指导
材料：将一个放在桌上的玻璃杯倒入半杯水，观察水平面所成的图形，再将玻璃杯倾斜一定角度，观察此时的水面图形.
问题：如何从理论上说明水平面的形状？
导入：如图3-1(2)-1，将两个球嵌入圆柱，过球心作斜截面的垂线，证明两个垂足点到截口上任意一点的距离之和为定值即可.
图3-1(2)-1
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2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任
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当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切 于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因
此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平 面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时， 平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆．
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[悟一法]
由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广
为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成
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①G2F1＋G2F2＝ AD；②G1G2＝ AD； G2F1 ＝cosφ＝sinθ. ③ G2E (3)如图(2)，将两个圆拓广为球面，将矩形 ABCD 看 成是圆柱面的轴截面，将 EB、DF 拓广为两个平面 α、β， EF 拓广为平面 γ，则平面 γ 与圆柱面的截线是 椭圆 ．即 得定理 1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
数学人教A版选修4-1学案预习导航 第三讲二 平面与圆柱面的截线 Word版含解析
预习导航．定理椭圆圆柱形物体的斜截口是与圆柱′的轴斜交，则截口是椭圆判断截口形状是椭圆．()定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．()组成元素：如图所示，，是椭圆的焦点，是的中垂线．我们把叫做椭圆的长轴，叫做椭圆的短轴，叫做椭圆的焦距．如果长轴为，短轴为，那么焦距＝. ()双球探究椭圆性质：如图所示，设球，与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为α，γ，椭圆所在的斜截面β与它们的交线分别为，，α，γ与β所成的二面角为θ，母线与平面β的交角为φ.由于α，β，γ都是确定的，因此交线，也是确定的．①当点在椭圆的任意位置时，过作的垂线，垂足为，过作平面α的垂线，垂足为，连接，得∠＝△φ，则＝＝定值．.从而有φ＝②椭圆上任意一点到焦点的距离与到直线的距离之比为定值φ.我们把直线叫做椭圆的一条准线．③椭圆上任意一点到焦点的距离与到直线的距离之比也为定值φ，所以是椭圆的另一条准线．记＝φ④离心率．，我们把叫做椭圆的名师点拨的几何意义是，椭圆上一点到焦点的距离与它到准线的距离的比．当越接近于时，越接近于，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于，从而越接近于，椭圆越接近于圆．当＝时，＝，＝，两个焦点重合，图形就是圆了．可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量．思考双球探求椭圆性质的过程是怎样的？提示：通过一条直线与相离的两个等圆的内公切线的情形，类比为两个半径相等的球在一个平面的两侧均与球相切的情形，从而得到定理及有关结论，因而对于平面内直线与两个相离的等圆的内公切的情形要注意研究，这有助于理解椭圆和下一节的知识．圆柱内嵌入两个球，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与圆柱和斜截面均相切，这是证明定理的关键．这种方法是数学家创立的，故将嵌入的两球称为双球．要注意对于双球的研究．。
高中数学人教A版选修4-1学案第3讲 1 2 3 平行射影 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 Word版含解析
一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线．了解平行射影的含义，体会平行射影．．会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情况是圆)．(重点)．会用双球证明定理、定理.(难点)[基础·初探]教材整理射影阅读教材～，完成下列问题．．正射影给定一个平面α，从一点作平面α的垂线，垂足为点′，称点′为点在平面α上的正射影．一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．．平行射影设直线与平面α相交(如图--)，称直线的方向为投影方向．过点作平行于的直线(称为投影线)必交α于一点′，称点′为沿的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．图--下列说法正确的是( )．平行射影是正射影．正射影是平行射影．同一个图形的平行射影和正射影相同．圆的平行射影不可能是圆【解析】正射影是平行射影的特例，不正确；对于同一图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，故不正确；当投影线垂直于投影面且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，不正确；只有正确．【答案】教材整理两个定理阅读教材～，完成下列问题．．椭圆的定义平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．．两个定理定理：圆柱形物体的斜截口是椭圆．定理：在空间中，取直线为轴，直线′与相交于点，夹角为α，′围绕旋转得到以为顶点，′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴的交角为β(当π与平行时，记β＝)，则()β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；()β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；()β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．下列说法不正确的是( )。
高中数学人教A版选修4-1同步辅导与检测3.2平面与圆柱面的截线
7.已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2 的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴，短轴和 离心率.
8．已知圆柱面准线的半径等于2 cm，一个截割圆柱的平面 与圆柱面的轴线成60°，从割平面上下放入圆柱面的两个内切球， 并且它们都与截平面相切，求两个内切球的球心间的距离． 解析：设截割圆柱的平面为δ，与 δ相切的圆柱面的两个内切球的球心分 别为C1、C2，切点分别为F1、F2.如图
已知圆柱面的半径r＝6，截割平面β与母线所成 的角为60°，求此截割面的两个焦球球心距离，并指出截线
椭圆的长轴、短轴和离心率e.
解析：由两焦球球心距离等于截线椭圆的长轴长，故两
2r 焦球球心距离为 =8 3 . sin 60
截线椭圆的长轴长为 8 3 ，短轴长为 2r=12，离心率
1 e=cos 60= . 2
5 cm. 2
∴底面圆的周长为 l=2r=5 cm. 将圆柱沿母线 AD 剪开后平放在一个平面内，如图(2)， 则从点 A 到点 C 的最短距离即为(2)中 AC 的长． l 5π 由于 AB= = cm，BC=AD=5 cm， 2 2 25π 2 5 π 2 4 cm. 25 = ∴AC= 4 2 答案：B
3.2 平面与圆柱面的截线
1．理解圆柱面的概念． 2．了解圆柱的截线及其性质．
1．椭圆组成元素：如图甲所示______叫做椭圆的焦点； ______叫做椭圆的焦距；AB叫做椭圆的______；CD叫做椭 圆的______． 如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c＝______.
答案：F1、F2 F1F2 长轴
证明：作一平面δ∥平面α，且平面δ与平面α的距离等于 圆柱面准线的半径r，则平面δ与圆柱面的轴线相交于一点C. 以点C为圆心，r为半径作球，则球C(C，r)为圆柱面的 内切球． 过点C作CC′⊥平面δ，则C′∈δ，CC′＝r. 又∵球的半径为r， ∴C′在球面上． 又∵过球的半径的外端与半径垂直的平面与球只有唯一 公共点， ∴球C(C，r)与平面δ只有一个公共点． ∴球C(C，r)与平面相切． ∴存在圆柱面的内切球C(C，r)与平面δ相切
人教A版高中数学选修4-1-3.2 平面与圆柱面的截线-课件(共17张PPT)
图3 8
也是确定的。这样，我们
就有理由猜想椭圆上的点与l1、l2有一定的关系。
我们还是从特殊情况
开始探究这种关系.由
前面对图 3 5 的探究 E l1 A
Q
可知，对于椭圆的长轴
G1
O1 K1
B
端点G 2，有
F1
G 2F1 G2E
cos
定值。
当点P在椭圆的任意位
置时，过P作l1的垂线，垂
P
下 面 我 们 探 究 椭 圆 的 性质 。
如图 3 8，设球O1、O2
与圆柱的交线圆所在
E l1 A Q
O1 K1
B
的平面分别为、，椭
G1 F1
圆所在的斜截面与它 们的交线分别为l1、l2， 、与 所成的二面角
P
F2
G2
D
O2
C
l2 F
为，母线与平面的交
K2
角为。由于、、 都 是确定的，因此交线l1、l2
平面与圆柱面的截线
一 、引入
给定一个平面,从一点A作平面 的垂 线，垂足为点A’。称点A'为点A在平面 上的正射影。一个图形上各点在平面
上的正射影所组成的图形，称为这个图
形在平面上的正射影 。
L
A
设直线l与平面 相交图 3 1，
称直线l的方向为投影方向。过
A’
点A作平行于l的直线( 称为投
影线 )必交于一点A',称A’为沿 l的方向在平面上的平行射影。
如图 3 4。
图3 4
二、新知探究
探究 如图 3 5，AB、CD是
两个等圆的直径 AB // CD ，
A E G1
O1
B
F1
推荐-高中数学人教A版选修4-1课件3.2 平面与圆柱面的截线
3 2
,
故选B.
错因分析:上述解法错在没有正确理解椭圆的离心率的求解方法,
在利用公式e=cos φ时,φ必须是圆柱的母线与平面的夹角.
题型一 题型二 题型三
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
正解:A
解析:因为底面半径为 R 的圆柱被与底面成 30°的平面所截,其
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
题型二
探讨椭圆的性质
【例2】 如图,已知球O1,O2分别切平面β于点F1,F2,P1P2为☉O1的 一条直径,点Q1,Q2分别为点P1,P2在平面β内的平行射 影,G1G2=2a,Q1Q2=2b,G1G2与Q1Q2互相垂直平分.
D典例透析 IANLI TOUXI
反思探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质时,需考查Dandelin双 球与圆柱及其截面的关系,综合应用切线长定理、三角形的相似 与全等、解直角三角形及平行射影的性质.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
面直径恰好等于椭圆的短轴长,由题意知,2b=2c.
故
e=
������ ������
=
������ =
������2+������2
������ 2������
=
22.
答案:B
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Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
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预习导航
1．定理1
圆柱形物体的斜截口是椭圆
与圆柱OO′的轴斜交，则截口是椭圆
判断截口形状是椭圆
2．
(1)定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．
(2)组成元素：如图所示，F1，F2是椭圆的焦点，B1B2是F1F2的中垂线．
我们把A1A2叫做椭圆的长轴，B1B2叫做椭圆的短轴，F1F2叫做椭圆的焦距．如果长轴
为2a，短轴为2b，那么焦距2c
(3)Dandelin双球探究椭圆性质：如图所示，设球O1，O2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为α，γ，椭圆所在的斜截面β与它们的交线分别为l1，l2，α，γ与β所成的二面角为θ，母线与平面β的交角为φ.由于α，β，γ都是确定的，因此交线l1，l2也是确定的．
①当点P 在椭圆的任意位置时，过P 作l 1的垂线，垂足为Q ，过P 作平面α的垂线，
垂足为K 1，连接K 1Q ，得Rt △PK 1Q ，则∠QPK 1＝φ.从而有PF 1PQ ＝PK 1PQ
＝cos_φ＝定值． ②椭圆上任意一点到焦点F 1的距离与到直线l 1的距离之比为定值cos_φ.我们把直线l 1叫做椭圆的一条准线．
③椭圆上任意一点到焦点F 2的距离与到直线l 2的距离之比也为定值cos φ，所以l 2是椭圆的另一条准线．
④记e ＝cos φ，我们把e 叫做椭圆的离心率．
名师点拨 e 的几何意义是，椭圆上一点到焦点的距离与它到准线的距离的比．当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b 越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，从而b 越接近于a ，椭圆越接近于圆．当e ＝0时，c ＝0，a ＝b ，两个焦点重合，图形就是圆了．可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量．
思考 Dandelin 双球探求椭圆性质的过程是怎样的？
提示：通过一条直线与相离的两个等圆的内公切线的情形，类比为两个半径相等的球在一个平面的两侧均与球相切的情形，从而得到定理1及有关结论，因而对于平面内直线与两个相离的等圆的内公切的情形要注意研究，这有助于理解椭圆和下一节的知识．
圆柱内嵌入两个球，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与圆柱和斜截面均相切，这是证明定理的关键．这种方法是数学家Dandelin 创立的，故将嵌入的两球称为Dandelin 双球．要注意对于Dandelin 双球的研究．。