2013届人教A版文科数学课时试题及解析(37)基本不等式A.pptx
高中数学人教A版 必修第一册 基本不等式 课件
1
积xy 有最大值 S²。
4
解答：
应用
例3：
(1) 用爸围一个面积为 100 m²的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆
最短?最短篱笆的长度是多少?
(2) 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大?最大面积是多少?
叫做正数a，b的算术平均数； ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定义
变形公式： ab≤
+
( )²
a+b≥2
重点应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件
“一正、二定、三相等”
2.2.2
基本不等式的证明
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
∀ a，b∈R，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立)
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用 ， 分别代替上式中的a，b，可得
≤
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
定义
基本不等式： ≤
其中：
a+b
2
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
《基本不等式》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality）.其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
课程讲解
思考: 上面通过考察a2+b2=2ab的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.
a＞0,b＞0
填表比较：
注意:从不同角度认识基本不等式
课程讲解
课程讲解
例1 已知x>0，求x＋的最小值.
分析：求x＋的最小值，就是要求一个y0（=x0＋），使x>0，都有x＋≥y.观察x+，发现x=1.联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到y0=2.
解：因为x>0，所以 x＋=2当且仅当x= ，即x2=1，x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2.
谢谢大家
再见
课程讲解
我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
②如何用a, b表示CD? CD=______
①如何用a, b表示OD? OD=______
课程讲解
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
②如何用a, b表示CD? CD=______
①如何用a, b表示OD? OD=______
③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD
人教A版《基本不等式》PPT课件完美1
人 教 A 版 《基 本不等 式》P PT课件 完美1
(5)乘方 如果 a＞b＞0，那么 an___＞____bn(n 为正整数)． (6)开方 如果 a＞b＞0，那么n a＞n b(n∈N，n≥2)．
人 教 A 版 《基 本不等 式》P PT课件 完美1
1．若ab＞1，a＞b 一定成立吗？为什么？ 提示：不一定，例如，－ －21＞1，但－2＞－1 不成立．当 b ＞0 时，ab＞1，才能使 a＞b 成立．
二、阅读教材P2～P4“不等式的性质”的有关内容，完成下 列问题：
3．不等式的基本性质 (1)对称性 如果a＞b，那么b___＜___ a；如果b___＜____ a，那么a＞b.即 a＞b⇔b＜a. (2)传递性 如果a＞b，b＞c，那么a___＞____ c，即a＞b，b＞c⇒a＞c.
人 教 A 版 《基 本不等 式》P PT课件 完美1
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甲同学认为 a＞b⇔1a＜1b，乙同学认为 a＞b＞0⇔1a＜1b，丙 同学认为当 ab＞0 时，a＞b⇔1a＜1b.请你思考一下，谁的观点正 确？
解：丙．如果 a＝2，b＝－3，那么12＞－13.所以甲同学的观 点错误．如果1a＝－12＜1b＝1，那么 a＝－2 不大于 b＝1.因此， 乙同学的观点也是错的．同号的两个数，大的倒数小、小的倒 数大，因此，丙同学的观点正确．
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2．(1)“如果 a＞b，且 c＞d，那么 a－c＞b－d”一定成立 吗？
(2)“如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd”一定成立吗？ 提示：(1)不一定成立，如 5＞2，－3＞－10，而 5－(－3) ＜2－(－10)． (2)不一定成立，如 5＞2＞0,10＞1＞0，而150＜21.
2013届人教A版文科数学课时试题及解析(37)基本不等式A
课时作业(三十七)A [第37讲 基本不等式][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1． 若M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]2．已知ab ≠0，a ，b ∈R ，则下列式子总能成立的是( ) A.b a ＋a b ≥2 B.b a ＋ab≥－2 C.b a ＋ab≤－2 D.⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2 3． 若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．44．对一切正数m ，不等式n <4m＋2m 恒成立，则常数n 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，42)C ．(42，＋∞)D ．[42，＋∞) 能力提升5． 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b6． 已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定7．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t＋16，则该商场前t 天平均售出⎝⎛⎭⎫如前10天的平均售出为f (10)10的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．168．设a 、b 、c 都是正数，那么a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a三个数( )A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于29．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系为________．10． 已知2a ＋3b ＝6，且a >0，b >0，则32a ＋1b的最小值是________．11．下列函数中，y 的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)．①y ＝x ＋4x (x >0)；②y ＝2(x 2＋3)x 2＋2；③y ＝e x ＋4e －x ；④y ＝sin x ＋4sin x .12．(13分)若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0. (1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.难点突破13．(1)(6分) 若x、y、z均为正实数，则xy＋yzx2＋y2＋z2的最大值是()A.22 B. 2 C．2 2 D．2 3(2)(6分)设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值是________．课时作业(三十七)A【基础热身】1．A [解析] M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，当a >0时，M ≥4，当a <0时，M ≤－4.2.D [解析] 选项A 、B 、C 中不能保证b a 、ab都为正或都为负．3．C [解析] ∵x ＞2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．4．B [解析] 由题意知，n 小于函数f (m )＝4m＋2m 在(0，＋∞)上的最小值，f (m )min ＝4 2.【能力提升】5．B [解析] 因为0<a <b ，由基本不等式得ab <a ＋b 2，a <b ，故a ＋b 2<b ＋b2＝b ，a ＝aa<ab ，故答案为B.6．C [解析] 依题意得A ＝a ＋b 2，G ＝ab ，故AG ＝a ＋b2·ab ≥ab ·ab ＝ab .7．A [解析] 平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t ＋10≥18，当且仅当t ＝16t，即t＝4∈[1,30]等号成立，即平均销售量的最小值为18.8．D [解析] 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2，则⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a <6， 而⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾， ∴a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a至少有一个不小于2.选D.9．P <Q <R [解析] ∵a >b >1，所以lg a >0，lg b >0，由基本不等式知12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，所以P <Q ，又a ＋b 2>ab ，所以lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，所以R >Q ，所以P <Q <R .10．2 [解析] ∵2a ＋3b ＝6，a >0，b >0，∴a 3＋b2＝1，∴32a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫32a ＋1b ⎝⎛⎭⎫a 3＋b 2＝1＋3b 4a ＋a 3b ≥1＋1＝2，当3b 4a ＝a 3b时，即3b ＝2a 时“＝”成立．11．①③ [解析] ①y ＝x ＋4x ≥2x ·4x＝4，等号成立的条件是x ＝2；②y ＝2(x 2＋3)x 2＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋2≥4，但等号不成立； ③y ＝e x ＋4e －x ＝e x ＋4ex ≥4，等号成立的条件是x ＝ln2；④当sin x >0时，y ＝sin x ＋4sin x ≥4，但等号不成立；当sin x <0时，y ＝sin x ＋4sin x<－4.12．[解答] (1)由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0， 得(x 2＋y 2＋5)(x 2＋y 2－4)≤0，因为x 2＋y 2＋5＞0，所以有0≤x 2＋y 2≤4， 故x 2＋y 2的取值范围为[0,4]．(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2.【难点突破】13．(1)A (2)3 [解析] (1)∵x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋12y 2＋12y 2＋z 2≥2x 2·12y 2＋212y 2·z 2＝2(xy ＋yz )，当且仅当x ＝z ＝22y 时取等号，令u ＝xy ＋yz x 2＋y 2＋z 2，则xy ＋yz x 2＋y 2＋z 2≤xy ＋yz 2(xy ＋yz )＝22，∴当且仅当x ＝z ＝22y 时，u 取得最大值22.(2)由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，代入y 2xz 得y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．。
高中数学人教新课标A版：基本不等式 课件
方法(二) 利用常数代换法求最值
[例 2] 已知两个正数 x，y 满足 x＋2y＝8xy，则 4x＋2y 的最小值为( )
A．74
B．2
C．94
D．52
[解析] 将 x＋2y＝8xy 两边同时除以 xy，
得2x＋1y＝8，则 4x＋2y＝18(4x＋2y)2x＋1y
＝1810＋4xy＋4yx≥1810＋2
二、“基本技能”运用好
1．(好题分享——新人教 A 版必修第一册 P45 例 1 改编)
设 a>0，则 9a＋1a的最小值为
A．4
B．5
C．6 答案：C
D．7
()
2．矩形两边长分别为 a，b，且 a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是 ( )
A．4
9 B.2
32 C. 2
D．2
解析：依题意可得 a，b>0，则 6＝a＋2b≥2 a·2b＝2 2· ab，当且仅当
4xy×4yx＝94，
当且仅当4xy＝4yx，即 y＝x＝38时取等号．
故 4x＋2y 的最小值为94. [答案] C
[解题方略] 1．常数代换法的运用技巧 常数代换的实质是 x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为 1 的式子，然后通过乘积的运算利用基本不等式解题． 2．用常数代换法求最值时应注意的两个方面 (1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身； (2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理，如本 题，等式 x＋2y＝8xy 两边也可以同时除以 8xy，则可直接得到结果为常数 1 的式子：41x＋81y.
命题点一 利用基本不等式求最值最值 [例 1] 函数 y＝xx2－＋12(x＞1)的最小值为________．
《基本不等式》人教A版高中数学实用课件
(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. 方法一：因为 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24， 所以 l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48. 当且仅当 2x＝3y 时，等号成立． 由x2yx＝＝234y， 解得xy＝ ＝64，. 故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
• (2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
• [分析] (1)已知a＋b为定值，可用基本不等式求ab的最大值． • (2)已知ab为定值，可用基本不等式求a＋b的最小值．
[解析] (1)设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知：4x＋6y＝36， 即 2x＋3y＝18.
2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】 人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件 (共28 张PPT)
2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材】 人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件 (共28 张PPT)
学科素养 • 基本不等式求最值 • 基本不等式在解决数学问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的
方法二：由 2x＋3y＝18，得 x＝9－32y. 因为 x>0，所以 9－32y>0，所以 0<y<6，S＝xy＝(9－32y)y＝32(6－y)·y. 因为 0<y<6，所以 6－y>0，所以 S≤32·[6－2y＋y]2＝227. 当且仅当 6－y＝y 即 y＝3 时等号成立，此时 x＝4.5. 故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使面积最大．
当且仅当 2t＝1t ，
即
t＝
22时，y
有最大值为
基本不等式 课件(人教A版)
将以上三个不等式相加得： 2(bac＋abc＋acb)≥2(a＋b＋c)， ∴bac＋abc＋acb≥a＋b＋c. 【名师点评】 基本不等式具有将“和式” 和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于 证明不等式，解决问题的关键是分析不等式 两边的结构特点，选择好利用基本不等式的 切入点．
例3 若 a，b，c，d 都是正数，求证： a＋b＋4 c＋d≥4 abcd.
A2B，即 ab＝a＋2 b.
利用基本不等式比较大小
例1 若 0<a<1,0<b<1，且 a≠b，则 a＋ b，2 ab，2ab，a2＋b2 中最大的是( )
A．a2＋b2
B．2 ab
C．2ab
D．a＋b
【思路点拨】 运用算术平均数与几何平均 数定理来求． 【解析】 ∵0<a<1,0<b<1，a≠b， ∴a＋b≥2 ab，a2＋b2≥2ab， 四个数中最大的一个应从 a＋b，a2＋b2 中选择．
5．不等式 ab≤a＋2 b的几何解释：如图， AB 是⊙O 的直径，C 是 AB 上任意一点， DE 是过 C 点垂直 AB 的弦．若 AC＝a， BC＝b，
a＋b 则 AB＝_a_＋__b_，⊙O 的半径 R＝__2___，
R＝ta△b，ACCDD＝∽_R_at_b△_，DCCDB≤，RC⇒D_2a__＝b__≤___Aa_C＋_2·_Bb_C，
而 a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)．
又∵0<a<1,0<b<1， ∴a(a－1)<0，b(b－1)<0， ∴a2＋b2－(a＋b)<0， 即a2＋b2<a＋b， ∴a＋b最大，选D. 【答案】 D
利用基本不等式证明不等式
人教A版必修第一册2.2基本不等式课件
菜园的面积最大？最大面积是多少？
谢谢凝听！
典例分析
当两个正数的和为定值时，则它们的积有最大值．
典 例 当两个正数的和为定值时，则它们的积有最大值． 分
析 即若 x 0，y 0 ，且 x y = S ，则 xy 的
1 S2 最大值为 4 ．
课堂反馈
（1）已知x 0，求2x 1 的最小值及相应的x值；
x
（2）已知0 x 1，求x(1 x )的最大值及相应的x值．
思考：下面说法是否正确？
x2 + 2 1 的最小值为 2．（ ）
x2 + 2
思考：下面说法是否正确？
若 x 0 ，则 x 1 ≥ 1． （ ）
x
思考：下面说法是否正确？
若 x 0 ，则 x 1 1 的最小值为 2．（ ）
x x1 x
快问快答：
（1）
x2
1
的最小值为
x2
2.
（2） 若 xy > 0 ，则 x y 的最小值为 2 .
yx
典例 分析
当两个正数的积为定值时，则它们的和有最小值．
典 当两个正数的积为定值时，则它们的和有最小值． 例
分 析
即若 x 0，y 0 ，且 xy = P ，则 x y 的
最小值为 2 P．
典例分析
类比思考：如果两个正数的和为定值，那么它们的积 是否有最值呢？
基本不等式
问题：当 a 0，b 0 时，如果我们用 a， b 分别 代替重要不等式 a2 b2 ≥ 2ab 中的 a，b 可
以得出什么结论呢？
基本不等式
几何平均数
算术平均数 a b ≥ ab (a 0，b 0) 2
基本不等式基础题型总结ppt课件
凑项与凑系数
已知
x
5 4
，求函数
y
4x
2
1 4x
5
的最大值
当 时，求yx(82x)的最大值
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
凑项
因4x 5 0 ，所以首先要“调整”符号，又(4x 2) 1 不是常数，所以对4x 2 要进行拆、
2
算术平均数和几何平均数
算术平均数： a b 称为 a,b 的算术平均数； 2
几何平均数： ab 称为 a,b 的几何平均数.
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的应用
x, y (0, ) ，且 xy P （定值），那么当 x y 时， x y 有最小值 2 P ； x, y (0, ) ，且 x y S （定值），那么当 x y 时， xy 有最大值 1 S2 .
练习
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
7、平方
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为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
g(x)
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
5、整体代换法
已知x0,y0，且1 9 1，求x y的最小值。
xy
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人教A版必修第一册高中数学2.2基本不等式精品课件
知识梳理
a＋b
思考 1：不等式 a ＋b ≥2ab 与 ab≤ 2 成立的条件相同吗？
2
2
如果不同各是什么？
a＋b
不同，a ＋b ≥2ab 成立的条件是 a，b∈R； ab≤
成立的条件
2
2
2
是 a，b 均为正实数。
1
思考 2： a＋ ≥2(a≠0)是否恒成立？
a
1
1
只有 a>0 时，a＋ ≥2，当 a<0 时，a＋ ≤－2。
四周墙壁建造单价为每米 500 元，中间一条隔壁(为圆的直径)建造单价为每米 100 元，池底建造单价为每平
方米 60 元(池壁厚忽略不计)．(注：π≈3.14)
(1)如采用方案一，游泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低？
(2)若方案一以最低总造价计算，试比较两种方案哪种方案的总造价更低？
例题解析
＝ 2，∴a≥ 2.
max
x＋y
例题解析
例 15 某校拟建一座游泳池，池的深度一定，现有两个方案，方案一：游泳池底面为矩形且面积为 200 平方
米，池的四周墙壁建造单价为每米 400 元，中间一条隔壁(与矩形的一边所在直线平行)建造单价为每米 100
元，池底建造单价每平方米 60 元(池壁厚忽略不计)；方案二：游泳池底面为圆且面积为 64π平方米，池的
40
900x·
＝36 000，当且仅当 900x＝
，即 x＝ 时取等号；
x
x
3
200
200
或者总造价为 200×60＋x＋
×2×400＋ x ×100，
x
200
200
2013届人教A版文科数学课时试题及解析(37)基本不等式B.pptx
A．最大值为 0 B．最小值为 0 C
．最大值为－4 D．最小值为－4
3.设 x，y∈R，且 x＋y＝4，则 5x＋5y 的最小值是( ) A．
9 B．25
C．50 D．162
4.已知 0<x<3，1 则 x(1－3x)取最大值时 x 的值是
．
能力提升
5. 若正实数 a，b 满足 a＋b＝1，则( ) A.1a＋1b有最大值 4 B．ab 有最小值41
学海无 涯
课时作业(三十七)B [第 37 讲 基本不等式]
[时间：35 分钟 分值：80 分]
基础热身
1．已知 a，b∈R，下列不等式中不正确的是( )
A．a2＋b2≥2ab
B.a＋2 b≥ ab
C．a2＋4≥4a
4 D.b2＋b2≥4
2．已知 f(x)＝x＋x1－2(x<0)，则 f(x)有( )
将②代入①得 y2＝x2＋2x2－2(y＞0)，
∴y＝ x2＋x42－2(1≤x≤2)．
(2)如果 DE 是水管 y＝ x2＋x42－2≥ 2·2 －2＝ 2， 当且仅当 x2＝x42，即 x＝ 2时“＝”成立，故 DE∥BC，且 DE＝ 2. 如果 DE 是参观线路，记 f(x)＝x2＋x42，可知 函数 f(x)在[1， 2]上单调递减，在[ 2，2]上单调递增， 故 f(x)max＝f(1)＝f(2)＝5，∴ymax＝ 5－2＝ 3. 即 DE 为 AB 边中线或 AC 边中线时，DE 最长．
A．(0,2) B．(0,2 2) C．(0,4) D．(0， 2) p
9．已知函数 f(x)＝x＋x－1(p 为常数，且 p>0)，若 f(x)在(1，＋∞)上的最小值为 4，则0．若正实数 x，y 满足 2x＋y＋6＝xy，则 xy 的最小值是
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(35)基本不等式
课时作业 (三十五 ) [ 第 35 讲 基本不等式 ][时间： 45 分钟分值： 100 分]基础热身1． 以下结论正确的选项是 () 1A ．当 x>0 且 x ≠ 1 时， lg x ＋≥21B ．当 x ≥ 2 时， x ＋ x 的最小值为 2C ．当 x>0 时， x ＋1≥ 2xD ．当 0<x ≤2 时， x －1无最大值．x2． 已知 a>0，b>0 ，A 为 a ，b 的等差中项，正数 G 为 a ，b 的等比中项，则ab 与 AG的大小关系是 ( )A ． ab ＝ AGB ． ab ≥AGC ．ab ≤ AGD ．不可以确立3． 对于使 f(x)≤ M 恒成立的全部常数M 中，我们把 M 的最小值叫做 f(x)的上确界． 若1－2的上确界为 ( )a>0， b>0 且 a ＋ b ＝ 1，则－ 2ab99 1A. 2 B ．－ 2 C.4 D ．－ 44．气象学院用3.2 万元买了一台天文观察仪，已知这台观察仪从启用的第一天起连续使用，第 n 天的维修养护费为n＋ 4.9， n ∈N * 元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废10)一共使用了 ()最合算”是指派用的这台仪器的均匀每日耗费最少A ．600 天B ．800 天C ．1 000 天D ．1 200 天能力提高5． 若直线 ax ＋ by ＋ 1＝2 2＋8x ＋ 2y ＋ 1＝ 0 的圆心，则1 4 0(a 、 b>0) 过圆 x＋y a ＋ 的最小b值为 ( )A ．8B ．12C ．16D ．206． 若 a>0 ， b>0 ，且 a ＋b ＝ 4，则以下不等式恒成立的是 ( )A.1>1B. 1＋1≤1ab 2 a bC. ab ≥2 D ．a 2＋ b 2≥ 87．若 a ， b ， c>0 且 a(a ＋ b ＋c)＋ bc ＝ 4－ 2 3，则 2a ＋ b ＋ c 的最小值为 ()A. 3－1B. 3＋ 1 C ．2 3＋ 2 D ．2 3－28．若实数 a ， b ， c 知足 a 2b 2＋ (a 2＋ b 2)c 2＋ c 4＝ 4，则 ab ＋ c 2 的最大值为 ()A ．1B ．2C ．3D ． 49．设 a>b>c>0，则 2a 2＋ 1＋ 1－ 10ac ＋25c 2 的最小值是 ( )ab a a － bA ．2B ．4C ．2 5D ．510． 函数 y ＝ a 1－x(a>0， a ≠ 1)的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx ＋ ny － 1＝0 上， 则 1 ＋1的最小值为 ________． m n11． 设 A ，B ，C ，D 是半径为 2 的球面上的四点，且知足 AB ⊥ AC ，AD ⊥ AC ， AB ⊥AD ，则 S△ABC＋ S△ABD＋ S△ACD的最大值是 ________．1＝ 0 的两个实根，那么x1x212．已知 x1，x2是对于 x 的方程 x2－ ax＋ a2－ a＋的最小值4x1＋x2为________，最大值为 ________．13．若 a 是 1＋2b 与 1－2b 的等比中项，则2ab的最大值为 ________．|a|＋ 2|b|14．(10 分 )某商铺预备在一个月内分批购入每张价值为20 元的书桌共 36 张，每批都购入 x 张(x 是正整数 )，且每批均需付运费 4 元，储藏购入的书桌一个月所付的保存费与每批购入书桌的总价值(不含运费 )成正比，若每批购入 4 张，则该月需用去运费和保存费共52元，此刻全月只有48 元资本能够用于支付运费和保存费．(1)求该月需用去的运费和保存费的总花费f(x)；(2)可否适合地安排每批进货的数目，使资本够用？写出你的结论，并说明原因．15． (13 分)已知 a， b 为正数，求证：x(1)若 a＋ 1> b，则对于任何大于 1 的正数 x，恒有 ax＋x－1>b 成立；x(2)若对于任何大于 1 的正数 x，恒有 ax＋x－1>b 成立，则a＋ 1> b.难点打破a2＋ b2＋ c2≥ a＋ b＋c.16． (12 分)已知 a， b，c>0，证明：b＋c c＋ a a＋ b2课时作业 (三十五 )【基础热身】1．C [ 分析 ] 选项 A 中不可以保证 lgx>0；选项 B 中最小值为 2 时 x ＝ 1；选项 D 中的函数在 (0,2] 上单一递加，有最大值；只有选项 C 中的结论正确．2． Ca ＋b ，G ＝ ab ，故 AG ＝ a ＋ b · ab ≥ ab · ab ＝ ab. [分析 ] 依题意得 A ＝ 221 2 ＝－ (a ＋ b) 1 ＋ 2 1 b ＋ 2a 1 ＋2＋ 2 9 3．B [分析 ] － － ＝－ ＋ 2＋ b ≤－ ＝－ .2a b2a b 2 2a 2 n 25＋ 10＋ 4.9 n 32 000＋ 24． B [ 分析 ] 设一共使用了 n 天，则使用 n 天的均匀耗费为 n＝32 000＋ n ＋4.95，n20当且仅当32 000＝ n时，获得最小值，此时n ＝ 800.此题的函数模型是一个在生活中较n 20为常有的模型， 注意怎样成立这种问题的函数关系式， 在有的问题中仪器还能够做废品再卖一点钱，这样要从总的耗费中把这部分除掉．【能力提高】5． C[分析 ] 由题意知，圆心坐标为(－ 4，－ 1)，因为直线过圆心，因此 4a ＋b ＝ 1，进而 1＋ 4＝ 1＋ 4b ＋16a≥ 8＋ 2×4＝ 16(当且仅当 b ＝ 4a 时取“＝” )．a b ab (4a ＋ b)＝8＋ ab1 16．D[分析 ] 依据基本不等式 4＝ a ＋ b ≥ 2 ab ，即 ab ≤ 2，且 ab ≤ 4，因此 ab ≥4，所以选项 A 、 C 中的不等式不是恒成立的，1＋1≥2≥ 1，应选项 B 中的不等式不是恒成立2a bab的， a 2＋ b 2≥ a ＋ b＝ 8.27． D [ 分析 ] (2 a ＋ b ＋c)2＝ 4a 2＋b 2＋ c 2＋ 4ab ＋ 4ac ＋ 2bc ≥ 4a 2＋2bc ＋ 4ab ＋ 4ac ＋ 2bc＝ 4[a(a ＋ b ＋c)＋bc] ，因为 a ，b ， c>0 且 a(a ＋ b ＋ c)＋ bc ＝4－ 2 3，因此 2a ＋ b ＋ c ≥2 4－2 3＝2 3－2，选 D.2 2 2 224 ≤ a 2 2 2 2 2 42≤ 2，8． B [ 分析 ] ( ab ＋ c ) ＝ a b ＋ 2abc＋ c b ＋ (a ＋ b ) ·c ＋c ＝4，因此 ab ＋ c 等当且仅当 a ＝ b 时成立， 此时 a 2b 2＋ (a 2＋b 2)c 2＋ c 4＝ 4，即 a 4＋ 2a 2c 2＋ c 4＝ 4，即 a 2＋ c 2＝ 2，此中 a ＝ b ＝ c ＝ 1 就是知足其获得最小值时的一组实数值．9． B [ 分析 ] 原式＝ a 2＋ a 2＋ ab －ab ＋ 1＋ 1 － 10ac ＋ 25c 2ab a a －b ＝ a(a － b)＋1 ＋ ab ＋ 1＋ (a 2－10ac ＋ 25c 2)a a －b ab≥ 2a a －b × 1 ＋ 2 ab × 1＋ ( a － 5c)2a a －b ab＝ 4＋ (a － 5c)2≥ 4＋ 0＝ 4.ab ＝ 1，当且仅当 a a － b ＝ 1，a ＝ 5c ，即 a ＝ 2， b ＝ 2， c ＝2时，等成立．2510．4 [分析 ] 函数 y ＝ a 1－ x的图象过点 (1,1)，故 m ＋ n ＝ 1，因此 1 ＋ 1＝ (m ＋ n) 1 ＋1 ＝n m 1 1 m n m n2＋ m ＋ n ≥4，故 m ＋ n 的最小值是 4.11．8 [分析 ] 四周体 ABCD 在点 A 处的三条侧棱两两垂直，这个四周体与以 AB ，AC ，AD 为棱长的长方体拥有同样的外接球．设 AB ＝x ， AC ＝ y ， AD ＝ z ，则 x 2＋ y 2＋ z 2＝ 16.S △ ABC ＋ S △ ABD ＋ S △ACD ＝ 1 1 2 2 2 2 (xy ＋ yz ＋ zx)≤ (x ＋ y ＋ z )＝8.212．0 1 [ 分析 ] 第一 ＝ a 2－ 4 a 2－ a ＋1＝－ 3a 2＋4a － 1≥0，即 3a 2－4a ＋ 1≤ 0，解4 1 41 2 2 － a ＋1 a 4 1x x得 3≤ a ≤ 1.依据韦达定理知 x 1＋ x 2 ＝ a＝ a ＋4a － 1.11 x 1x 2依据基本不等式 a ＋ 4a ≥ 1，等当且仅当 a ＝ 2时成立，故 x 1＋ x 2 的最小值是 1－ 1＝ 0；依据函数 f(a)＝ a ＋ 1 的单一性可知函数的最大值为max f 1 ， f 1 ＝ max 13， 5 ＝5，x 1x 2 1 4a312 4 4故 x 1＋x 2的最大值是 4.x 1x 2 的最小值是 0，最大值是 1故1＋ x 24.x2[分析 ] a 是 1＋ 2b 与 1－ 2b 的等比中项，则 a 2＝ 1－4b 2? a 2＋ 4b 2＝ 1.13. 42ab 2ab ∵ a 2＋ 4b 2＝ (|a|＋2|b|)2－ 4|ab|＝1.∴＝ ，这个式子只有当 ab>0 时获得|a|＋ 2|b| 1＋ 4|ab|最大值，当 ab>0 时，∴2ab＝2ab ＝ 2 ＝2 ，14 11＋ 4|ab| 1＋ 4abab 2＋ abab＋ 2 2－ 4因为 a 2＋4b 2 ＝1，故 4ab ≤ 1，即 1 ≥ 4，故当 1 ＝4 时， 2ab 取最大值2 ＝ 2ab ab |a|＋2|b|324 .14． [解答 ] (1) 设题中比率系数为k ，若每批购入 x 张，则共需分36批，每批价值为20xx元，由题意 f(x)＝36x ·4＋ k ·20x.由 x ＝ 4 时， y ＝ 52 得 k ＝ 1680＝15，∴ f(x)＝144＋ 4x(0< x ≤ 36， x ∈ N * )． x(2)由 (1) 知 f(x)＝144＋ 4x(0<x ≤ 36，x ∈ N *)，x∴ f(x)≥2144× 4x ＝48(元 ) ，x144当且仅当x ＝4x ，即 x ＝ 6 时，上式等成立．15． [解答 ] 证明： (1)ax ＋x ＝ a(x － 1)＋ 1＋ 1＋ a ≥ 2 a ＋ 1＋ a ＝ ( a ＋ 1)2>b.x － 1 x － 1xx (2)∵对于任何大于 1 的正数 x ，恒有 ax ＋x － 1 >b 成立，即 x>1 时， ax ＋ x － 1 min >b ，由 (1)ax ＋ x ＝ a(x － 1)＋ 1＋1＋ a ≥ 2 a ＋ 1＋ a ＝ ( a ＋ 1)2，x － 1 x － 1∴ ( a ＋ 1)2>b ，故 a ＋ 1> b.【难点打破】16．[解答 ] 直接用一个式子或两个式子都不好直接结构轮换不等式．察看其结构特色，一定想方法去掉不等式左端各项的分母，为此能够做变换：在不等式两头都加上a ＋b ＋c ，222即我们证明不等式a＋ b＋ b ＋ c c ＋ a＋ c ＋ a ，就能够结构轮换不等式了4相加即得所证不等式．c 2a ＋b ＋ c≥ a ＋ b ＋ c ，这时把a ＋b ＋ c拆成a ＋b b ＋c ＋2 2＋4a ＋ b422＋ c ＋ a ≥ b ， c 2.a＋ b ＋ c ≥ a ， b＋ a ＋ b≥ c ，三式 b ＋ c4c ＋ a4 a ＋ b 4。
高中数学人教A版5精题精练：基本不等式含解析
基本不等式【知识梳理】1．重要不等式当a，b是任意实数时,有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．基本不等式（1）有关概念：当a，b均为正数时，把错误!叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数．（2）不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即错误!≤错误!，当且仅当a＝b时，等号成立．(3)变形:ab≤错误!2，a＋b≥2错误!（其中a＞0，b＞0，当且仅当a ＝b时等号成立）．【常考题型】题型一、利用基本不等式证明不等式【例1】已知a,b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.［证明］由基本不等式可得：a4＋b4＝(a2)2＋（b2）2≥2a2b2，同理：b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2,∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2。
【类题通法】1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．【对点训练】1．已知a,b是正数,求证错误!≤错误!。
证明：∵a＞0，b＞0，∴错误!＋错误!≥2错误!＞0,∴错误!≤错误!＝错误!，即错误!≤错误!（当a＝b时取“＝”）.题型二、利用基本不等式求最值【例2】（1)已知m，n＞0，且m＋n＝16,求错误!mn的最大值．(2）已知x＞3，求f(x)＝x＋错误!的最小值;（3）设x＞0,y＞0，且2x＋y＝1，求错误!＋错误!的最小值．［解] （1)∵m，n＞0且m＋n＝16，所以由基本不等式可得mn≤错误!2＝错误!2＝64,当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64。
∴错误!mn 的最大值为32.（2）∵x ＞3，∴x －3＞0，错误!＞0，于是f （x ）＝x ＋错误!＝x －3＋错误!＋3≥2 错误!＋3＝7，当且仅当x －3＝错误!即x ＝5时,f (x ）取到最小值7。
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C．至少有一个不大于 2 D．至少有一个不小于 2
9．若 a>b>1，P＝ lga·lg b，Q＝21(lga ＋lgb)，R＝lga2＋b，则 P，Q，R 的大小关系为
．
10． 已知 2a＋3b＝6，且 a>0，b>0，则23a＋b1的最小值是
．
11．下列函数中，y 的最小值为 4 的是
(写出所有符合条件的序号)．
2 2 ，∴当且仅当
x＝z＝
2 2y
时，u
取得最大值
2 2.
(2)由 x－2y＋3z＝0，得 y＝x＋23z，
代入xyz2得xyz2＝x2＋94zx2z＋6xz≥6xz4＋xz6xz＝3，
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
A．ab＝AG B．ab≥AG
C．ab≤AG D．不能确定
7．某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(0<t≤30)的关系大致满足 f(t)＝t2＋10t
＋16，则该商场前
t
天平均售出如前10
天的平均售出为f1100的月饼最少为(
)
A．18 B．27 C．20 D．16
8. 设 a、b、c 都是正数，那么 a＋1b、b＋1c、c＋1a三个数( ) A．都不大于 2 B．都不小于 2
力提升
5． 设 0<a<b，则下列不等式中正确的是( )
A．a＜b＜ ab＜a＋2 b B．a＜ ab＜a＋2 b＜b
C．a＜
ab＜b＜
a＋b 2
D. ab＜a＜a＋2 b＜b
6． 已知 a>0，b>0，A 为 a，b 的等差中项，正数 G 为 a，b 的等比中项，则 ab 与 AG
的大小关系是( )
学海无 涯
课时作业(三十七)A [第 37 讲 基本不等式]
[时间：35 分钟 分值：80 分]
基础热身 1． 若 M＝a2＋a 4(a∈R，a≠0)，则 M 的取值范围为( )
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4] C．[4，＋∞) D．[－4,4] 2．已知 ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是( ) A.ba＋ab≥2 B.ba＋ab≥－2
当 sinx<0 时，y＝sinx＋sinx<－4.
学海无 涯
12．[解答] (1)由(x2＋y2)2＋(x2＋y2)－20≤0， 得(x2＋y2＋5)(x2＋y2－4)≤0， 因为 x2＋y2＋5＞0，所以有 0≤x2＋y2≤4， 故 x2＋y2 的取值范围为[0,4]．
(2)证明：由(1)知 x2＋y2≤4，由基本不等式得 xy≤x2＋2 y2≤42＝2，所以 xy≤2. 【难点突破】
3．C [解析] ∵x＞2，
∴f(x)＝x＋x－1 2＝(x－2)＋x1－2＋2≥2
1 x－2·x－2＋2＝4，
1 当且仅当 x－2＝x－2，即 x＝3 时取等号．
4 4．B [解析] 由题意知，n 小于函数 f(m)＝ m＋2m 在(0，＋∞)上的最小值，f(m)min＝
4 2. 【能力提升】 5．B [解析] 因为 0<a<b，由基本不等式得 ab<a＋2 b，a<b，故a＋2 b<b＋2 b＝b，a＝ aa
C.ba＋ab≤－2 D.ba＋ba≥2
1 3． 若函数 f(x)＝x＋x－2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝( )
A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4
4．对一切正数 m，不等式 n<4m＋A2m 恒成立，则常数 n 的取值范围为( )
．(－∞，0) B．(－∞，4 2) C
．(4 2，＋∞) D．[4 2，＋∞) 能
立．
11．①③ [解析] ①y＝x＋4x≥2 x·4x＝4，等号成立的条件是 x＝2；
②y＝2xx22＋＋32＝2x2＋x22＋＋21 ＝2 x2＋2＋ x21＋2≥4，但等号不成立；
③y＝ex＋4e－x＝ex＋ 4≥4，等号成立的条件是 x＝ln2； ex 4
④当 sinx>0 时，y＝sinx＋sinx≥4，但等号不成立； 4
所以 P<Q，又a＋2 b> ab，所以 lga＋2 b>lg ab＝12(lga＋lgb)，所以 R>Q，所以 P<Q<R.
10．2 [解析] ∵2a＋3b＝6，a>0，b>0，∴3＋a2＝b1，
∴23a＋1b＝23a＋1ba3＋b2＝1＋34ba＋3ab≥1＋1＝2，当43ab＝3ab时，即 3b＝2a 时“＝”成
13．(1)A (2)3 [解析] (1)∵x，y，z∈(0，＋∞)，∴x2＋y2＋z2＝x2＋1y2＋2 1y2＋2
z2≥2 x2·12y2＋2
21y2·z2＝
2(xy＋yz)，当且仅当 x＝z＝
22 y
时取等号，令
xy＋yz u＝x2＋y2＋z2，
xy＋yz 则x2＋y2＋z2≤
xy＋yz 2xy＋yz＝
2 A. 2 B. 2 C．2 2 D．2 3
பைடு நூலகம்
(2)(6 分)设 x，y，z 为正实数，满足 x－2y＋3z＝0，则xyz2的最小值是
．
学海无 涯
课时作业(三十七)A
【基础热身】
1．A [解析] M＝a2＋a 4(a∈R，a≠0)，当 a>0 时，M≥4，当 a<0 时，M≤－4.
2.D [解析] 选项 A、B、C 中不能保证a、b b都a 为正或都为负．
< ab，故答案为B. 6．C [解析] 依题意得 A＝a＋2 b，G＝ ab，故 AG＝a＋2 b· ab≥ ab·ab＝ab. 7．A [解析] 平均销售量 y＝ tf＝t t2＋10tt＋16＝t＋1t6＋10≥18，当且仅当 t＝1t6，即 t
＝4∈[1,30]等号成立，即平均销售量的最小值为 18. 8．D [解析] 假设 a＋b<12，b＋c<12，c ＋1a<2，则
a＋b1＋b＋c1＋c＋a1<6，
而a＋b1＋b＋c1＋c＋a1＝a＋a1＋b＋b1＋c＋c1≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，
∴a＋1b、b＋1c、c＋1a至少有一个不小于 2.选 D.
9．P<Q<R [解析] ∵a>b>1，所以 lga>0，lgb>0，由基本不等式知2(1lga＋lgb)> lga·lg b，
①y＝x＋4x(x>0)；②y＝
2xx22＋＋32；③y＝ex＋4e －x；④y＝sinx＋
4 sinx.
12．(13 分)若 x，y∈R，且满足(x2＋y2＋2)(x2＋y2－1)－18≤0.
(1)求 x2＋y2 的取值范围；
(2)求证：xy≤2.
学海无 涯
难点突破 xy＋yz
13．(1)(6 分) 若 x、y、z 均为正实数，则x2＋y2＋z2的最大值是( )