4.1分解因式
4.1因式分解(共15张PPT)北师大版初中数学八年级下册
布置作业
教科书第94页
习题4.1第1、2、3、4
结同
再
束学
见
们
4.1 因式分解
八年级下册
1.经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法.
学
习
目
标
2.经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观.
3.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系.
4.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
创设情境
问题导入
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
归纳
因式分解
探究新知
多项式
应用新知
整式乘法与因式分解是互为逆变形.
巩固新知
课堂小结
布置作业
整式乘法
整式乘积
创设情境
课堂练习
判断
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
否
. ( − ) = −
. 2 − 1 + 2 = ( − 1)( + 1) + 2
. 2 − 1 = ( − 1)( + 1) 是
. + + = ( + ) + 否
1
E. 2
x
−1
1
=(
x
−
11)(x+ 1)否否
创设情境
能力提升
思考
若多项式 2 + + 分解因式的结果为 ( − 2)( + 3) ，
探究新知
应用新知
专题4.1 因式分解(提公因式法与运用公式法)(学生版)
专题4.1 因式分解（提公因式法与运用公式法）1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；2.会用提公因式法分解因式；3.会用运用公式法分解因式。
知识点01 因式分解的概念【知识点】因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【知识拓展1】辨别因式分解与整式乘法例1．（2024·江苏常州·期中）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．2(1)(1)1a a a +-=- B ．43222186?3x y x y x y -=- C ．221(2)1x x x x ++=++ D ．2269(3)a a a -+=-【即学即练】1．（2024·广东禅城·期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++C ．()()2111x x x -=+-D ．()ax bx c x a b c ++=+【知识拓展2】应用因式分解的概念求参数例2．（2024·山东中区·初二期中）已知多项式x 2+ax ﹣6因式分解的结果为（x +2）（x +b ），则a +b 的值为（ ） A ．﹣4 B ．﹣2C ．2D ．4【即学即练】1．（2024·贵州铜仁·初二期末）多项式26x mx ++可因式分解为()()23x x --，则m 的值为 （ ） A ．6B ．5±C ．5D ．5-2．（2024·江西昌江·景德镇一中初一期末）已知,,m n p 为实数，若1,4x x -+均为多项式32x mx nx p+++的因式，则2286m n p --+=__________.【知识拓展3】错题正解例3．（2024·上海市八年级期中）甲乙两个同学分解因式x 2+ax +b 时，甲看错了b ，分解结果为（x +2）（x +4），乙看错了a ，分解结果为（x +1）（x +9），则2a +b ＝_____． 【即学即练】1．（2024·张家界市初二期中）甲、乙两个同学分解因式x 2+ax+b 时，甲看错了b ，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a ，分解结果为(x+1)(x+9)，则a -b 的值是__________．知识点02 因式分解的方法（一）提公因式法【知识点】①提公因式法：pa +pb +pc =p (a +b +c )；注意:挖掘隐含公因式;有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。
北师大版八年级数学下册4.1因式分解
否 是 是
(4) x 2 2 x 1 x( x 2) 1 否
否 否 否
x y 1 x y
能力提升
20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004 =2004× (2004+1) =2004×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除
多项式 = 整式×整式
注意：
1. 分解因式的结果要以积的形式表示； 2. 分解后的每个因式必须是整式；
3.分解后每个整式的次数都低于原来的多项式的次数。
想一想
因式分解与整式乘法有什么联系?
单项式乘以单项式
整式乘法 单项式乘以多项式
多项式乘以多项式
多项式
整式乘法: 整式×整式 = 多项式 因式分解：多项式 = 整式×整式
4．1 因式分解
学习目标
1.理解因式分解的概念。 2.理解因式分解与整式乘法的关系。 3.会判断某个变形是因式分解还是整式的乘法。
做一做
数学中的游戏
1. 3.不通过计算，你能判断出这个式子能被比 它大1的数整除吗？
想一想
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?
某学生是这样想的: 993 99 99 992 99 1
你知道每一步的根据 吗?993-99还能被哪些整 数整除?
99(99 1) 99 9800 98 99 100
2
所以, 993 99能被100整除.
因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做因式分解。因式分解也可称为 分解因式。
2.下列式子从左到右的变形是否为因式分解？ 不是的请说明理由。
专题4.1 因式分解(解析版)
专题4.1 因式分解专项突破卷（1）1．B【解析】首先提取公因式a ，再利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】4a ﹣a 3=a （4﹣a 2）=a （2﹣a ）（2+a ）．故选：B ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．2．C【解析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；D. 244x x -+=（x -2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．3．A【解析】试题分析：把多项式分别进行因式分解，多项式2mx m -=m （x+1）（x -1），多项式221x x -+=()21x -，因此可以求得它们的公因式为（x -1）．故选A考点：因式分解4．B【解析】试题分析：根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可：A 、()2421421a a a a +-=+-不是因式分解，故此选错误；B 、()()242137a a a a +-=-+，正确； C 、()()237421a a a a -+=+-，不是因式分解，故此选错误；D 、()22421225a a a +-=+-，不是因式分解，故此选错误.故选B ．考点：因式分解的意义．.5．A【解析】直接提取公因式a 即可：a 2－4a=a （a －4）。
故选A6．C【解析】根据提公因式法和运用公式法分解每一个多项式，即可得到结论．【详解】A ．m 2﹣2m +1=（m ﹣1）2；B ．21m +，不能分解；C ．2m m +=m （m +1）；D ．()()21211m m ++++=（m +1+1）2=（m +2）2．故选C ．【点睛】本题考查了提公因式法和运用公式法分解因式，熟练掌握提公因式法和运用公式法是解题的关键． 7．B【解析】移项并分解因式，然后解方程求出a 、b 、c 的关系，再确定出△ABC 的形状即可得解．【详解】移项得，a 2c 2−b 2c 2−a 4＋b 4＝0，c 2（a 2−b 2）−（a 2＋b 2）（a 2−b 2）＝0，（a 2−b 2）（c 2−a 2−b 2）＝0，所以，a 2−b 2＝0或c 2−a 2−b 2＝0，即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，因此，△ABC 等腰三角形或直角三角形．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a 、b 、c 的关系式是解题的关键．8．B【解析】试题分析：根据平方差公式的特点：两个平方项，且异号．完全平方公式的特点：两个数的平方项，且同号，再加上或减去这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：①原式=（2x+y ）（2x ﹣y ），能分解因式；②原式=2x 2（x+2y ）2，能分解因式；③两个数的平方项，且异号，不能分解因式；④原式=（x+3y ）（x ﹣2y ），能分解因式；⑤不能化为两个整式积的形式，故不能分解因式．则不能分解因式的有2个．故选B ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．点评：本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握各个公式的结构特征是解题的关键． 9．C【解析】先运用分组分解法进行因式分解，求出a ，b 的值，再代入求值即可．【详解】解：△a 2+b 2﹣4a ﹣10b +29＝0，△（a 2﹣4a +4）+（b 2﹣10b +25）＝0，△（a ﹣2）2+（b ﹣5）2＝0，△a ＝2，b ＝5，△当腰为5时，等腰三角形的周长为5+5+2＝12，当腰为2时，2+2＜5，构不成三角形．故选：C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握完全平方公式．10．C【解析】△x 2+mx -15=（x+3）（x+n ），△x 2+mx -15=x 2+nx+3x+3n ，△3n=-15，m=n+3，解得n=-5，m=-5+3=-2．11．x （x -9）【解析】【详解】()2x 9x x x 9-=-， 故答案为：()x x 9-.12．2(21)a -【解析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．【详解】解：22441(21)a a a -+=-．故答案为2(21)a -．【点睛】本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．13．4(a+2)(a -2)【解析】先提公因式4，然后再利用平方差公式进行因式分解.【详解】原式=24(4)a -=4(a+2)(a -2)，故答案为4(a+2)(a -2).14．(x -3)(x+1)；【解析】根据因式分解的概念和步骤，可先把原式化简，然后用十字相乘分解，即原式=x 2﹣3x+x ﹣3 =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣3）（x+1）；或先把前两项提公因式，然后再把x -3看做整体提公因式：原式=x （x ﹣3）+（x ﹣3）=（x ﹣3）（x+1）.故答案为（x ﹣3）（x+1）．点睛：此题主要考查了因式分解，关键是明确因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.再利用因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），进行分解因式即可. 15．2(a －1)2【解析】先提公因式法，再套用完全平方公式.【详解】解：3a 2-6a+3=3（a 2-2a+1）=3(a -1)2.【点睛】考点：提公因式法与公式法的综合运用．16．()()1n n m m -+【解析】mn(n -m)-n(m -n)= mn(n -m)+n(n -m)=n(n -m)(m+1)，故答案为n(n -m)(m+1).17．a 2+2ab+b 2=（a+b ）2【解析】试题分析：两个正方形的面积分别为a 2，b 2，两个长方形的面积都为ab ，组成的正方形的边长为a ＋b ，面积为(a ＋b )2，所以a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2．点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系． 18．(10)(3)x x +-.【解析】因为-30可分解为-3×10，7=-3+10，所以利用十字相乘法分解因式即可得解.【详解】2730x x +-，=2(3+10(3)10x x +-+-⨯)=(10)(3)x x +-.【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练运用分解因式的方法是解题的关键.19．2（x -3）2【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】原式=2（x 2-6x+9）=2（x -3）2．【点睛】考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．x(x +1)(x −1)【解析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解.【详解】解：x 3-x=x(x 2-1)=x(x+1)(x -1)21．见解析【解析】将前两项以及后两项分组进而利用公式法以及提取公因式法分解因式即可；【详解】解：2222a b a b --+()()2222a b a b =---()()()2a b a b a b =+---()()2a b a b =-+-⎡⎤⎣⎦()()2a b a b =-+-【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用公式是解题关键．22．（1）()()2323x x +-；（2）()23a x y +【解析】（1）直接运用平方差公式进行分解即可；（2）先提取公因式3a ，然后进行完全平方公式进行分解即可.【详解】解：（1）原式=()()2323x x +-；（2）原式=()()22233a x xy y a x y ++=+. 【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 23．（1）（x +52）2； （2）3a （x +2）2（x ﹣2）2 【解析】（1）原式整理后，利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式及完全平方公式分解即可．【详解】解：（1）原式＝x 2+5x +254＝（x +52）2； （2）原式＝3a [（x 2+4）2﹣16x 2]＝3a （x +2）2（x ﹣2）2【点睛】此题考察多项式的因式分解，根据多项式的特点选择恰当的分解方法是解题的关键，还需注意分解因式需分解到不能再分解为止.24．（1）C ；（2）没有考虑a=b 的情况；（3）△ABC 是等腰三角形或直角三角形．【解析】【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；（2）根据题目中B 到C 可知没有考虑a=b 的情况；（3）根据题意可以写出正确的结论．【详解】（1）由题目中的解答步骤可得，错误步骤的代号为：C ，故答案为：C ；（2）错误的原因为：没有考虑a=b 的情况，故答案为：没有考虑a=b 的情况；（3）本题正确的结论为：△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故答案为：△ABC 是等腰三角形或直角三角形．【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．25．(1)2,4；（2）.【解析】试题分析：(1)把8分解成24，且2+4=6，类比例题即可求解；(2)把-4分解成1（-4），且1+（-4）=-3，类比例题分解因式，利用因式分解法解方程即可.试题解析：（1）_2__4_)；（2）考点：“十字相乘法”因式分解，解一元二次方程26．（1）2(a 2)-；（2）2；（3）ABC V 为等边三角形，理由见解析 【解析】(1)运用完全平方公式将 2a 4a 4-+ =0 ，变形为2(a 2)-，，即可得结论；(2)首先将22a 2a b 6b 100++-+=，，分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出a ，b 的值即可； (3)先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质解题．【详解】解：()221a 4a 4(a 2)Q -+=-， 故答案为2(a 2)-；()222a 2a b 6b 100++-+=Q ，22(a 1)(b 3)0∴++-=，a 1∴=-，b 3=，a b 2∴+=；()3ABC V 为等边三角形.理由如下：222a 4b c 2ab 6b 2c 40++---+=Q ，222(a b)(c 1)3(b 1)0∴-+-+-=，a b 0∴-=，c 10-=，b 10-=a b c 1∴===，ABC ∴V 为等边三角形．【点睛】本题考查配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判断解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题。
4.1《因式分解》参考教案1
4.1 因式分解教案一、背景介绍因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。
因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。
它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。
因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。
二、教学设计【教学内容分析】因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个重要概念。
教材在引入中是结合剪纸拼图来阐述这一概念的，也可以与小学数学里因数分解的概念类比予以说明。
在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的三种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的。
【教学目标】1、认知目标：（1）理解因式分解的概念和意义（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
2、能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。
3、情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
【教学重点、难点】重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
【教学准备】实物投影仪、多媒体辅助教学。
【教学过程】㈠、情境导入看谁算得快：（抢答）(1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________；(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；(3)若x=-3,则20x2+60x=____________。
【初一年级学生活波好动，好表现，争强好胜。
情境导入借助抢答的方式进行，引进竞争机制，可以使学生在参与的过程中提高兴趣，并增强竞争意识和探究欲望。
【核心素养】北师大版八年级数学下册4.1 因式分解 教案(表格式)
4.1 因式分解知识点一：全等三角形的判定和性质教师活动：通过类比数式的分解，对多项式进行分解，从而引出因式分解的概念.议一议你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗?与同伴交流.师生活动：教师提示：类比993- 99 的因数分解学生尝试分解，并交流反馈，得a3-a = a(a2- 1) = a(a + 1)(a- 1)做一做观察下面拼图过程，写出相应的关系式.问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？联系：等号左右两边是同一多项式的不同表现形式.区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？师生活动：教师引导学生观察上列等式与图片，然后讨论问题1，在做问题2时引出总结：归纳总结：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.辩一辩判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：A. x(a﹣b) = ax﹣bx（×）B. x2﹣1 + y2= (x﹣1)(x + 1) + y2 （×）C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1)（√）D. ax + by + c = x(a + b) + c（×）E. 2a3b = a2 • 2ab（×）F. (x + 3)(x﹣3) = x2﹣9 （×）师生活动：学生举手回答问题.做一做计算下列各式：(1) 3x(x- 1) = 3x2 - 3x(2) m(a+b- 1) = ma+mb-m(3) (m+4)(m- 4) = ____m2 - 16(4) (y- 3)2 = _____y2 - 6y+9根据左边的算式进行因式分解：(1) 3x2 - 3x = ( 3x)( x- 1)(2) ma+mb-m = ( m)( a+b- 1 )(3) m2 - 16 = ( m+4 )( m- 4 )(4) y2 - 6y+9 = ( y- 3 )( y- 3) 或(y- 3)2师生活动：按照左边右边是什么形式，自由的说一说.知识点二：因式分解与整式乘法的关系想一想：由a(a + 1)(a- 1) 得到a3 -a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a + 1)(a- 1) 的变形与它有什么不同？答：由a(a + 1)(a- 1) 得到a3 -a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a + 1)(a- 1) 的变形与上面的变形互为逆过程.想一想：因式分解与整式乘法有什么关系?师生活动：教师提出问题，学生小组交流探讨，小组代表发言，教师适时引导并整理板书.是互为相反的变形，即x2- 1 = (x + 1)(x- 1)因式分解等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.典例精析：例若多项式x2 + ax + b分解因式的结果为a(x ﹣2)(x + 3)，求a，b的值.师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.解：∵ x2 + ax + b = a(x- 2)(x + 3)= ax2 + ax- 6a，∵ a = 1，b = -6a = -6.方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结4.1 因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.x2- 1 = (x + 1)(x- 1)因式分解等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.。
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计一. 教材分析《4.1 因式分解》是北师大版八年级下册数学的一章内容。
本章主要介绍了因式分解的概念、方法和应用。
因式分解是初中学过的最复杂的整式运算，也是中学数学中重要的思想方法。
本章内容对于学生来说，既是对之前所学知识的巩固，也是为之后学习更高级数学打下基础。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了整式的加减、乘法、除法等基本运算，同时也学习过一些简单的因式分解方法。
但是，对于八年级的学生来说，因式分解仍然是一个比较困难的问题，需要通过实例讲解和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能够运用因式分解解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例讲解和练习，培养学生观察、分析、归纳的能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生感受到数学的美丽和实用性。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。
2.难点：如何运用因式分解解决实际问题。
五. 教学方法采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等教学方法，通过实例讲解、练习和讨论，使学生理解和掌握因式分解的方法和应用。
六. 教学准备1.准备相关教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出因式分解的概念和方法。
例如，讲解“分解因数”的概念，让学生初步了解因式分解的意义。
2.呈现（15分钟）讲解因式分解的基本方法，如提公因式法、公式法等。
通过示例，让学生观察和分析因式分解的过程，引导学生主动思考和探究。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，互相讨论和交流因式分解的方法。
教师巡回指导，解答学生的疑问，及时给予反馈和评价。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的题目，巩固所学知识。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析，指出其中的错误和不足。
2024北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计
2024北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计一. 教材分析《因式分解》是北师大版数学八年级下册第4章第1节的内容。
本节课的主要内容是利用提公因式法和公式法分解因式。
因式分解是中学数学中的重要内容，是解决许多数学问题的基础。
通过本节课的学习，使学生掌握因式分解的方法，提高解题能力。
二. 学情分析学生在七年级已经接触过简单的因式分解，对因式分解有初步的认识。
但八年级的因式分解内容更加系统和复杂，需要学生有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。
根据学生的实际情况，我将采用循序渐进的教学方法，引导学生逐步掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法和公式法分解因式的方法。
2.过程与方法：通过独立探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 教学重难点1.重点：提公因式法和公式法分解因式。
2.难点：如何引导学生发现和运用提公因式法和公式法的规律。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生独立思考和合作交流，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关案例和练习题。
2.准备课件和教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入因式分解的概念，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现因式分解的方法，包括提公因式法和公式法。
通过讲解和示例，让学生初步理解这两种方法。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的练习题，巩固所学的知识。
4.巩固（5分钟）对学生的练习情况进行反馈，解答学生的问题，帮助学生巩固因式分解的方法。
5.拓展（5分钟）通过一些综合性的练习题，引导学生运用因式分解的方法解决问题，提高学生的解题能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调因式分解的方法和注意事项。
7.家庭作业（5分钟）布置一些因式分解的练习题，让学生回家后巩固所学知识。
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。
因式分解是代数运算的基础，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
本节课的内容包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，通过这些方法的学习，使学生能够灵活运用因式分解解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备了一定的代数基础。
但因式分解较为抽象，对于部分学生来说，理解起来存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习差异，针对不同层次的学生进行教学，提高他们的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的方法，能够灵活运用各种方法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法。
2.难点：灵活运用各种方法进行因式分解，解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，培养学生的创新能力。
3.小组合作学习：培养学生团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教案、PPT、教学素材等。
2.准备黑板、粉笔、投影仪等教学用品。
3.提前让学生预习本节课的内容，了解因式分解的基本概念。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例或趣味数学问题，引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 呈现（10分钟）通过PPT展示因式分解的方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法等。
引导学生了解各种方法的特点和应用。
3. 操练（10分钟）对学生进行分组，每组选定一个因式分解问题，运用所学的methods进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.1 因式分解
= − ×× +
上面的式子化成了几个整式乘积的形式.
探究新知
4.1 因式分解/
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（1）
m
m
a
m
m
b
am+bm+cm
a+b+c
c
＝
m(a+b+c)
.
探究新知
4.1 因式分解/
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（2）
x
x
证明：( + ) −( − ) 是8的倍数.
解：( + ) −( − )
=( + + − )( + − + )
= ∙
=
∴ ( + ) −( − ) 是8的倍数.
探究新知
4.1 因式分解/
素养考点 2
考查因式分解的概念
如果有整数根的话，那么整数根必定是 的约数.
例如方程 + − + = 的整数根只可能为±，
± ，代入检验得 = 时等式成立，故 + − +
含有因式 − ，所以原方程可转化为： − ൫ + −
൯ = ，进而可求得方程的所有解．
− 还能被哪些正整数整除？
还能被98,99整除
在这里，解决问题的关键是把一个数式
化成了几个数的积的形式.
探究新知
4.1 因式分解/
2.将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍
然成立吗?
用a表示任意一个大于1的整数，则：
− = × −
= × −
北师大版八年级下册4.1因式分解(教案)
-难点在于如何引导学生从多项式中提取公因式，例如在多项式4x² + 5x + 1中找出公因式。
-解释平方差公式和完全平方公式的适用条件，通过具体题目（如将x² - 6x + 9分解为(x - 3)²）来帮助学生识别和运用这些公式。
-在解决综合问题时，如求解含绝对值符号的方程，指导学生如何先进行因式分解，再根据不同情况讨论解的取值。
2.教学难点
-找出多项式的公因式：学生在寻找多项式的公因式时可能存在困难，特别是在多项式项数较多时。
-判断并运用平方差公式和完全平方公式：学生需要理解平方差和完全平方的结构特点，才能准确应用这些公式进行因式分解。
-灵活运用因式分解解决综合问题：学生需要将因式分解与其他数学知识（如方程、不等式等）结合，解决更复杂的数学问题。
2.提高学生的数学运算能力：使学生能够熟练运用提公因式法、平方差公式和完全平方公式进行因式分解，简化数学表达式，提高解题效率。
3.增强学生的数学建模意识：培养学生将现实问题转化为数学问题，通过因式分解解决实际问题的能力，提高数学建模素养。
4.培养学生的合作交流能力：在小组讨论和互动中，使学生学会倾听、表达、交流与合作，提高团队协作能力。
北师大版八年级下册4.1因式分解（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级下册第四章第一节“因式分解”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.因式分解的概念与意义：使学生理解因式分解的定义，掌握因式分解在简化计算、解决方程中的应用。
2.因式分解的方法与步骤：引导学生掌握以下几种因式分解方法：
（1）提公因式法：找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
平方差公式和完全平方公式的应用对学生而言也是一个难点。我发现他们在判断何时使用这些公式方面存在困难。在今后的教学中，我可以设计一些更具针对性的练习，让学生在不同的情境中应用这些公式，从而提高他们的识别和应用能力。
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学中的重要内容，它为学生提供了将多项式分解成几个整式乘积的方法，有助于简化代数表达式，培养学生解决问题的能力。
本节课的内容是因式分解的定义、方法和应用，学生需要掌握因式分解的基本技巧，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了整式的乘法，具备了一定的代数基础。
但对于因式分解的概念和方法，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，引导学生通过观察、操作、思考、交流，逐步掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能将多项式正确地分解成几个整式乘积。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。
2.难点：如何引导学生发现因式分解的规律，并将规律应用到实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等，充分调动学生的积极性，引导学生主动参与课堂讨论，发现和总结因式分解的方法。
六. 教学准备1.课件：制作因式分解的PPT，内容包括因式分解的定义、方法及应用。
2.学具：为学生准备练习纸、草稿纸等学习用品。
3.教学视频：准备相关的教学视频，以便在课堂上进行演示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用教学视频，介绍因式分解在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
引导学生思考：如何将一个多项式分解成几个整式乘积？2.呈现（10分钟）讲解因式分解的定义和方法，通过PPT展示例题，让学生跟随老师一起解题，体会因式分解的过程。
3.操练（10分钟）让学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
在此过程中，关注学生的解题方法，引导学生发现规律。
4.巩固（10分钟）小组合作学习，讨论如何将多项式正确地分解成几个整式乘积。
2021年北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案
2021年北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案一. 教材分析《因式分解》是北师大版数学八年级下册第4章第1节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握因式分解的方法和技巧，会运用提公因式法和公式法进行因式分解。
因式分解是初中学过的最复杂的运算，也是初中数学中的重要内容，它在解决代数方程、不等式等方面有着广泛的应用。
学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法，为本节课的因式分解提供了基础。
教材从简单的提公因式法开始，逐步引导学生学习公式法，让学生在实践中掌握因式分解的技巧。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于整式的乘法有了一定的了解。
但是，因式分解作为一种独立的运算，对学生来说还是一个新的概念，需要通过实例来引导学生理解和掌握。
学生在学习本节课时，可能会对因式分解的方法和技巧感到困惑，需要教师耐心引导，让学生在实践中掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解的方法和技巧，能运用提公因式法和公式法进行因式分解。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生观察、分析、归纳的能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生感受到数学的美丽和实用性。
四. 教学重难点1.重点：使学生掌握因式分解的方法和技巧。
2.难点：如何引导学生理解和掌握公式法进行因式分解。
五. 教学方法采用讲解法、示范法、练习法、讨论法等，结合多媒体教学，引导学生观察、分析、归纳，从而掌握因式分解的方法和技巧。
六. 教学准备1.教师准备：熟练掌握因式分解的方法和技巧，准备好相关实例和习题。
2.学生准备：掌握整式的乘法，准备好笔记本和笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾整式的乘法，为新课的因式分解做好铺垫。
例如：同学们，我们已经学过整式的乘法，那么有没有什么方法可以将一个多项式转化成几个整式的乘积形式呢？这就是我们今天要学习的因式分解。
北师大版八年级下册4.1分解因式
8 8 种变形叫做把这个多项式分解因式。
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这
1、分解因式的定义：
3、(1)19992+1999能被1999整除吗？能被2000整
例1、下列由左边到右边的变形，哪些是分解因
种变形叫做把这个多项式分解因式。
1、下列由左边到右边的变形，哪些是分解因式？
种变形叫做把这个多项式分解因式。
993–99还能被哪些数整数整除？
分解因式 种变形叫做把这个多项式分解因式。
3、(1)19992+1999能被1999整除吗？能被2000整 你能说出每一步的根据吗？
整式乘法与分解因式的关系：
m(a 整式乘法与分解因式的关系： b c) m a m b m c
整式乘法
2、整式乘法与分解因式的关系： (2)
能被4整除吗？
∴20122–2012能被2011整除。
993–99能被100整除吗？
∴993–99能被100整除.
(2)
能被4整除吗？
整式乘法与分解因式是互逆运算。即： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这
例1、下列由左边到右边的变形，哪些是分解因
2、整式乘法与分解因式的关系：
∴993–99能被100整除.
993–99还能被哪些数整数整除？
新知探究 Ⅰ、计算下列各式：
(1)3x(x 1) 3x 2 3x ;
Ⅱ、根据左边算式填空：
(1)3x2 3x 3x( x 1) ;
(2)m(a b c) ma mb mc; (2)ma mb mc m(a b c) ;
∴20122–2012能被2011整除。
诊断练习
3、(1)19992+1999能被1999整除吗？能被2000整
北师大版八年级数学(下册)优秀教学案例：4.1因式分解
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解因式分解的概念和意义，我将通过创设丰富多样的教学情景，引导学生从生活中发现数学的影子。例如，通过实际生活中的物品购买问题，让学生体会因式分解在简化计算方面的作用；或者通过设计有趣的数学故事，将因式分解融入其中，激发学生的学习兴趣。此外，利用多媒体教学手段，如动画、图片等，形象直观地展示因式分解的过程，帮助学生形成直观的认识。
1.例题1：（a+b）×（a+b）
例题2：（x+y）×（x-y）
例题3：a^2+2ab+b^2
2.讨论要求：
（1）各小组讨论并确定解题方法。
（2）各小组派代表展示解题过程及答案。
（3）讨论过程中，鼓励学生提问、质疑，分享解题心得。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课所学的因式分解方法，总结各方法的优缺点及适用场景。
2.因式分解的意义：因式分解可以帮助我们简化计算，解决实际问题。
3.因式分解的方法：介绍提取公因式法、十字相乘法、平方差公式等常用的因式分解方法。
在讲解过程中，结合具体例题，让学生直观地感受因式分解的过程，并强调各方法的适用条件及注意事项。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会给出几个具有代表性的例题，让学生分组讨论，共同完成因式分解的任务。
北师大版八年级数学（下册）优秀教学案例：4.1因式分解
一、案例背景
北师大八下4.1分解因式(第一课时)
a 2 b 2 ,求
的值.
2008 ab 2、已知 a b 2007 ， ，求 a 2 b ab 2 的值. 2007
3、若关于x的二次三项式3x2+mx+n分解因式的结果 为(3x+2)(x-1)，求m、n的值。
3 4、199 199 能被200整除吗?还能被哪些整数整除?
暂停之思：
1、分解因式的概念：把一个 形式，这种变形叫做把这个多项式 2、分解因式应注意：（1） （2） （3） 3、分解因式与整式乘法的关系 化成 . . . . . 的
学习评估：
根据上面的算式填空 （5）ax＋ay＋a＝（ ）（ （7）a2＋2ab＋b2＝（ ）（ （8）8y2＋8y＝（ ）（ ）
注意： （1）分解因式的对象: 多项式 . （2）分解因式的结果:必须是几个 整式的积 的形式. 并且分解因式要一直分解到每个因式不能再 分解 为止. （3）分解因式的过程:分解因式是一个恒等变形的过程， 它与整式乘法是一种互逆的变形.
分解因式 整式乘法
基础过关：
完成教材p45随堂练习
学以致用：
例：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分 解分解因式的为（ A ）
2 2 2、(1) (a b)(a b) a b 的运算是 整式乘法 . (2) x3－2x2＝x2(x－2)从左到右的变形是 分解因式 .
挑战自我：
1、若 a 101, b 99
）（6）a2－b2＝（ ）＝（ ）
）（
）
4.1 分解因式
学习助跑： 自主复习，完成以下填空： （1）单×单：3a×4ab＝ （2）单×多：a(3a-5b)＝ （3）多×多：(x-3y)(2x+y)＝ 公 式：(a+b)(a-b)＝ (a+b)2＝ (a-b)2＝ （4）混合乘：x(x-1)(x+1)＝
八年级数学下册《4.1因式分解》课件3(新版)北师大版
因式分解
(5)(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
(6)m2-4=(m+4)(m-4)
不是因式分解
(7)2π R+2π r=2π (R+r)
因式分解
灿若寒星
例1、检验下列因式分解是否正确：
(1)x2y－xy2=xy(x－y)
正确
(2)2x2－1=(2x+1)(2x－1) 不正确
(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2) 正确
你知道每一步的根据吗？
想一想：993-99还能被灿若哪寒星 些整数整除？
bb a
a
a2-b2=（a+b）（a-b）
灿若寒星
例3、你能用几种不同的方法计算20112 －20102，哪种方法最简单？
20112－20102 =（2011+2010）（2011－2010） =4021×1 =4021
灿若寒星
看谁算得快
(1) 若 a=1001 ， b=999 ， 则 a2-b2=___________ ； (2)若a=99，b=-1，则a2-2ab+b2=_______； (3)若x=-3，则20x2+60x=____________．
多项式 整式的积
a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2 =(a+b)2 am+bm =m(a+b)
整式乘法
因式分解
灿若寒星
一般地，把一个多项式化成 几个整式的积的形式，叫做因式 分解，也叫分解因式．
多项式 x2－xy
几个整式的积 ＝ x（x－y）
灿若寒星
因式分解与整式乘法的关系
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学习目标 1、了解因式分解的意义。
2、初步体会因式分解与整式的乘法的关系。
3、感受因式分解在解决相关问题中的作用。
重点：因式分解的意义，因式分解与 整式的乘法的关系。 难点：即重点
一、交流预习
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2
三、分层提高
3. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352)=17(765+235)(765 － 235) =17 ×1000 ×530=9010000 4. 20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
一、交流预习
计算下列各式:
(1) 3x(x-1)= _____ (2) m(a+b+c) = _____ (3) (m+4)(m-4)= ____ (4)
根据左面的算式填空:
(1) 3x2-3x=_______
3x 2 3x
(2) ma+mb+mc=______
(3) m2-16=_________ (4) x2-6x+9=________ (5) a3-a=______
一、交流预习
3.试计算: 解: (1) 3a(a-2b+c) =3a2-6ab+3ac (2) (a+3)(a-3)=a2-9 (3) (a+2b)2=a2+4ab+4b2
(1) 3a(a-2b+c)
(2) (a+3)(a-3) (3) (a+2b)2 (4) (a-3b)2
(4) (a-3b)2= a2-6ab+9b2
=2004 ×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
四、总结归纳
• 分解因式与整式乘法是互逆过程.
• 分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的 形式. 3.要分解到不能分解,求a2-b2的值.
2、若x=-3,求20x2-60x的值.
3、1993-199能被200整除吗?还 能被哪些整数整除?
五、巩固反馈
4、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8 的倍数.
二、互助探究
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么 运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有 什么不同? 答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整 式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形 与上面的变形互为逆过程.
分解因式定义
●
•把一个多项式化成几个整 式积的形式,这种变形叫 做把这个多项式分解因式 . 想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?
分解因式与整式乘法是互逆过程
三、分层提高
1判断下列各式哪些是整式乘法哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 因式分解 (4).x2+4x+4=(x+2)2 整式乘法 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 (6).m2-42=(m+4)(m-4) 因式分解 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
(x-3)2=
_______
(5) a(a+1)(a-1)= ____
二、互助探究
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?与同伴交流.
小明是这样想的:
993-99=99×992-99 ×1 =99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.