3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
新课讲授
2.复数的减法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个 复数，那么它们的差
(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．
例题讲解
例1.计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i).
例2.计算(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4 ＋5i)＋…＋(－2002＋2003i)＋(2003－2004i).
线长为
()
A. 3 2 B. 2 2 C.2
D. 5
课堂练习
4.复平面上三点A、B、C分别对应复数1， 2i,5+2i,则由A、B、C所构成的三角形是
()
A.直角三角形 C.锐角三角形
B.等腰三角形 D.钝角三角形
课堂练习
5.一个实数与一个虚数的差 ( )
A.不可能是纯虚数 B.可能是实数 C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数
复习引入
6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系: 对于复数a＋bi (a，b∈R) 当且仅当b＝0时，它是实数a； 当b≠0时，叫做虚数； 当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数； 当且仅当a＝b＝0时，它是实数0.
7.复数集与其它数集之间的关系:
R Z Q R C
复习引入
8. 两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等，
3. i的周期性: i4n+1＝i, i 4n+2＝－1, i 4n+3＝－i, i4n＝1.
复习引入
4.复数的定义:
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数， a叫复 数的实部， b叫复数的虚部.全体复数所 成的集合叫做复数集，用字母C表示.
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义(最新整理)
复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义预习课本P107～108，思考并完成下列问题(1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？1．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．3．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为，，则复数z 1＋z 2是以，为邻边的OZ 1――→ OZ 2――→ OZ 1――→ OZ 2――→ 平行四边形的对角线 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量与的终点并指向OZ ――→ OZ 1――→ OZ 2――→的向量所对应的复数．OZ 1――→[点睛] 对复数加、减法几何意义的理解它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( )答案：(1)× (2)× (3)×2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于( )A ．8i B ．6C ．6＋8iD ．6－8i答案：B3．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 答案：D4．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量和，其中O 为坐标原点，OA ――→ OB ――→则||等于( )AB ――→A.B ．22C. D ．410答案：B复数代数形式的加、减运算[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以Error!解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝.2[答案] (1)－2－i (2)2复数代数形式的加、减法运算技巧(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算． [活学活用]已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.解析：由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以Error!解得a ＝3.答案：3复数加减运算的几何意义[典例] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) 表示的复数；AO ――→(2)对角线表示的复数；CA ――→(3)对角线表示的复数．OB ――→[解] (1)因为＝，所以表示的复数为－3－2i.AO ――→ －OA ――→ AO ――→(2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5CA ――→ OA ――→ －OC ――→ CA ――→－2i.(3)因为对角线＝＋，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋OB ――→ OA ――→ OC ――→ OB ――→4i)＝1＋6i.复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是与以原点为起点，Z (a ，b )为终点的向量一一对应的．(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．[活学活用] 复平面内三点A ，B ，C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量对应的复数为1＋2i ，BA ――→向量对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．BC ――→解：∵对应的复数为1＋2i ，对应的复数为3－i.BA ――→ BC ――→∴＝－对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.AC ――→ BC ――→ BA ――→又∵＝＋，OC ――→ OA ――→ AC ――→∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.复数模的最值问题[典例] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )A ．1 B.12C ．2 D.5(2)若复数z 满足|z ＋＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．3[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z+i|+|z-i|=2，|Z1Z2|=2，所以点Z 的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z 在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.[答案] A(2)解：如图所示， ||＝＝2.OM ――→(－\r(3))2＋(－1)2所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.[一题多变]1．[变条件、变设问]若本例题(2)条件改为已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单位)的最小值．解：因为|z |＝1且z ∈C ，作图如图：所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P (2,2)的距离，所以|z －2－2i|的最小值为|OP |－1＝2－1.22．[变条件]若题(2)中条件不变，求|z －|2＋|z －2i|2的最大值和最小值．3解：如图所示，在圆面上任取一点P ，与复数z A ＝，z B ＝2i 对应点A ，B 相连，得向3量，，再以，为邻边作平行四边形．PA ――→ PB ――→ PA ――→ PB ――→P 为圆面上任一点，z P ＝z ，则2||2＋2||2＝||2＋(2||)2＝7＋4||2，(平行四边形四条边的PA ――→ PB ――→ AB ――→ PO ′――→ PO ′――→平方和等于对角线的平方和)，所以|z －|2＋|z －2i|2＝.312(7＋4|z －32－i |2)而max ＝|O ′M |＋1＝1＋，|z －32－i |432min ＝|O ′M |－1＝－1.|z －32－i |432所以|z －|2＋|z －2i|2的最大值为27＋2，最小值为27－2.34343层级一 学业水平达标1．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( )A ．z －1 B ．z ＋1C ．－10＋18iD ．10－18i解析：选C 1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)＝－10＋18i.2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4解析：选B z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．4．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R)，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1解析：选D z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.5．设向量，，对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么( )OP ――→ PQ ――→ OQ ――→A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0解析：选D ∵＋＝，∴z 1＋z 2＝z 3，即z 1＋z 2－z 3＝0.OP ――→ PQ ――→ OQ ――→6．已知x ∈R ，y ∈R ，(x i ＋x )＋(y i ＋4)＝(y －i)－(1－3x i)，则x ＝__________，y ＝__________.解析：x ＋4＋(x ＋y )i ＝(y －1)＋(3x －1)i∴Error!解得Error!答案：6 117．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ ＝5.32＋42答案：58．已知z 1＝a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－3b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R)，若z 1－z 2＝4，则a ＋b ＝3233________.解析：∵z 1－z 2＝a ＋(a ＋1)i －[－3b ＋(b ＋2)i]＝＋(a －b －1)i ＝4，323(32a ＋33b )3由复数相等的条件知Error!解得Error!∴a ＋b ＝3.答案：39．计算下列各式．(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)．解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i ＝－5＋20i.(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015－2 016)i ＝1 008－1 009i.10．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2.解：∵z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，∴z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ＝5－6i ，∴Error!解得Error!∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.层级二 应试能力达标1．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )A ．0 B ．1C. D.2212解析：选C 由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离即为.222．复平面内两点Z 1和Z 2分别对应于复数3＋4i 和5－2i ，那么向量对应的复数Z 1Z 2――→为( )A ．3＋4iB ．5－2iC ．－2＋6iD ．2－6i解析：选D ＝－，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－(3＋Z 1Z 2――→ OZ 2――→ OZ 1――→4i)＝2－6i.3．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P 到△ABC 的顶点A ，B ，C 距离相等，∴P 为△ABC 的外心．4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量，对应OA ――→ OB ――→的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则对应的复数是( )CD ――→A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i解析：选D 依题意有＝＝－.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，故CD ――→ BA ――→ OA ――→ OB ――→对应的复数为4－2i ，故选D.CD ――→5．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________.解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|z |＝ .x 2＋y 2∴x ＋y i ＋＝2＋i.x 2＋y 2∴Error!解得Error!∴z ＝＋i.34答案：＋i 346．在复平面内，O 是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，OA ――→ OC ――→ AB ――→那么对应的复数为________．BC ――→解析：＝－＝－(＋)＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝BC ――→ OC ――→ OB ――→ OC ――→ OA ――→ AB ――→(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.答案：4－4i7．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求向量，，对应的复数；AB ――→ AC ――→ BC ――→(2)判断△ABC 的形状．(3)求△ABC 的面积．解：(1)对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，AB ――→对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，BC ――→对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.AC ――→(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，AB ――→ 2BC ――→ 10AC ――→82∴||2＋||2＝||2，∴△ABC 为直角三角形．AB ――→ AC ――→ BC ――→(3)S △ABC ＝××2＝2.12228．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝3＋i ，又ω＝sin θ－icos θ，求z 3的值和|z －ω|的取值范围．解：∵4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝3＋i ，∴6a ＋2b i ＝3＋i ，33∴Error!∴Error!∴z ＝＋i ，3212∴z －ω＝－(sin θ－icos θ)(32＋12i )＝＋i (32－sin θ)(12＋cos θ)∴|z －ω|＝(32－sin θ)2＋(12＋cos θ)2＝ 2－3sin θ＋cos θ＝ ＝ ，2－2(32sin θ－12cos θ)2－2sin (θ－π6)∵－1≤sin ≤1，(θ－π6)∴0≤2－2sin ≤4，∴0≤|z －ω|≤2，(θ－π6)故所求得z ＝＋i ，|z －ω|的取值范围是[0,2]．3212。
复数代数形式的加、减运算及其几何意义
3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义内 容 标 准 学 科 素 养1. 熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则；2. 理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.严格数学定义熟练数形结合提升数学运算授课提示：对应学生用书第 54 页[基础认识]知识点一 复数代数形式的加减法 预习教材P 107－108，思考并完成以下问题类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减运算？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋ d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.知识梳理 (1)运算法则设 z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，(a ＋ b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.(2)加法运算律对任意 z 1，z 2，z 3∈C ，有 z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 知识点二 复数加减法的几何意义 思考并完成以下问题1. 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的 几何意义吗？提示：如图，设 → ， →分别与复数 a ＋b i ，c ＋d i 对应，OZ 1 OZ 2则→ → OZ 1＝(a ，b )，OZ 2＝(c ，d)，由平面向量的坐标运算，得 → ＋ →＝(a ＋c ，b ＋d )，所以→ → OZ 1 OZ 2OZ 1＋OZ 2与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．2. 怎样作出与复数 z 1－z 2 对应的向量？提示：z 1－z 2 可以看作 z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与 z 1－z 2 对应的向量(如图)．图中 → 对应复数 z 1， →2对应复数 z 2，则 →对应复数 z 1－z 2.知识梳理OZ 1 OZ Z 2Z 1复数加法的几何意义复数 z 1＋z 2 是以 → ， →为邻边的平行四边形OZ 1 OZ 2 的对角线→所对应的复数OZ复数减法的几何意义复数 z 1－z 2 是从向量 →2的终点指向向量 →的OZ OZ 1终点的向量 →所对应的复数Z 2Z 1提示：(1)一种规定：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算．(2) 运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中 仍然成立．(3) 运算结果：两个复数的和(差)是唯一的复数． (4) 适当推广：可以推广到多个复数进行加、减运算．(5) 虚数单位 i ：在进行复数加减运算时，可将虚数单位 i 看成一个字母，然后去括号，合并同类项即可．2．怎样理解复数加减法运算的几何意义？提示：(1)复数的加法：根据复数加法的几何意义知，两个复数的和就是两个复数对应 向量的和所对应的复数．(2)复数的减法：根据复数减法的几何意义，两个复数的差就是两个复数对应向量的差 所对应的复数．[自我检测]1．已知复数 z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则 z 1＋z 2 等于( ) A ．8i B ．6 C ．6＋8iD ．6－8i2．若复数 z 1＝1＋5i ，z 2＝－3＋7i ，则复数 z ＝z 1－z 2 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝____ __.授课提示：对应学生用书第 54 页 探究一 复数的加、减运算 [例 1] 计 算 ： (1)(－2＋3i)＋(5－i)；(2)(－1＋ 2i)＋(1＋ 2i)； (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．方法技巧 复数加、减运算法则的记忆(1) 复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2) 把 i 看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．(3) 在进行复数减法运算时要注意格式，两复数相减所得结果依然是一个复数，其对应 的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差，注意中间用“＋”号，如 z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ，而不是 z 1－z 2＝(a －c )－(b －d )i(a ，b ，c ，d ∈R )．(4) 复数中出现字母时，首先要判断其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把 实部与虚部分别相加．提醒：注意运算格式及范围，避免出错跟踪探究 1.(1)已知 z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋2i.求 z 1＋z 2，z 1－z 2；⎛1 1 ⎫ ⎛4 3 ⎫(2)计算：⎝3＋2i ⎭＋(2－i)－⎝3－2i ⎭.探究二 复数加减法的几何意义[例 2] 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O ，A ，C 分别对应的复数为 0,3＋2i ，－2＋4i.求： →表示的复数．(1) AO→(2) CA 表示的复数．AB BC AC 延伸探究 (1)若本例条件不变，试求点 B 所对应的复数．(2)若本例条件不变，求对角线 AC ，BO 的交点 M 对应的复数．方法技巧 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论(1) 技巧．①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形变换转化成复数运算去处理；②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之 中．(2) 常见结论：在复平面内，z 1，z 2 对应的点分别为 A ，B ，z 1＋z 2 对应的点为 C ，O 为坐标原点，则四边形 OACB ：①为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形 OACB 为矩形； ③若|z 1|＝|z 2|，则四边形 OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形 OACB 为正方形．跟踪探究 2.在复平面内 A ，B ，C 三点对应的复数分别为 1,2＋i ，－1＋2i. (1)求→， → ， →对应的复数；(2) 判断△ABC 的形状； (3) 求△ABC 的面积．探究三 复数模的最值问题[例 3] 复数 z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝c ＋(2c －6)i 在复平面内对应的点分别为 A ，B ，C ， 若∠BAC 是钝角，求实数 c 的取值范围．延伸探究(1)在本例中，若∠BAC 为锐角，求实数c 的取值范围．(2)在本例中，求|z1＋z3|的最小值．方法技巧(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．(2)|z－z0|＝r 表示以z0对应的点为圆心，r 为半径的圆．(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．跟踪探究 3.已知z1＝2－2i，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值．授课提示：对应学生用书第56 页[课后小结](1)复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．(2)复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．[素养培优]误解复数代数形式的几何意义致错易错案例：已知复平面上的四个点A，B，C，D 构成平行四边形，顶点A，B，C 对应的复数分别为－5－2i，－4＋5i,2，则点D 对应的复数为_____ _．B ． 3i5 5 CDC. 5D. 2单独成册：对应学生用书第 105 页[A 组 学业达标]1. 已知复数 z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数 z ＝z 1－z 2 在复平面内对应的点 Z 位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知 x ，y ∈R ，i 为虚数单位，若 1＋x i ＝(2－y )－3i ，则|x ＋y i|＝( ) B ．33. 如果一个复数与它的模的和为 5＋ 3i ，那么这个复数是( )A.11 C.11＋ 3i11D. 5 ＋2 3i4. 在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，若向量→ ， →对应的复数OA OB 分别是 3＋i ，－1＋3i ，则 → 对应的复数是( )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i5. A ，B 分别是复数 z 1，z 2 在复平面内对应的点，O 是坐标原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．设复数 z 满足 z ＋|z |＝2＋i ，则 z ＝ ____ _ .7．已知复数 z 1＝2＋a i ，z 2＝a ＋i(a ∈R )，且复数 z 1－z 2 在复平面内对应的点位于第二象限，则 a 的取值范围是 ___．8．若复数 z 1＝1＋3i ，z 2＝－2＋a i ，且 z 1＋z 2＝b ＋8i ，z 2－z 1＝－3＋c i ，则实数 a ＝_ ______ ， b ＝____，c ＝_ _ .9．已知 z (a ＋1)i ，z ＝－3 3b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且 z －z ＝4 3，求复数1 2 1 2z ＝a ＋b i.A. 10B ． 2 BA BC [B 组 能力提升]10．复数 z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i(a ∈R )在复平面内对应的点位于虚轴上，则 z －1－i 等 于 ( )A ．－1－3i 或－1－iB ．－1－iC ．－1－3iD ．－1＋i 或－1＋3i11．如果复数 z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 C ．212．已知在复平面内的正方形 ABCD 有三个顶点对应的复数分别是 1＋2i ，－2＋i ，－1 －2i ，则第四个顶点对应的复数是___ ____ ．13．若|z －1|＝|z ＋1|，则|z －1|的最小值是____ ___ ．14. 已知|z |＝2，求|z ＋1＋ 3i|的最大值和最小值．15. 已知在复平面内的平行四边形 ABCD 中，A 点对应的复数为 2＋i ，向量→对应的复数为 1＋2i ，向量→ 对应的复数为 3－i. (1)求点 C ，D 对应的复数； (2)求平行四边形 ABCD 的面积．D. 5。
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
第1讲 描第述三运章动的基数本概系念的扩充与复数的引入
1 |复数加、减法的应用 对复数加、减法运算的五点解读: 1.一种规定:复数的代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算. 特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加、减法法则一致. 2.运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数 集中仍然成立. 3.运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数. 4.适当推广:可以推广到多个复数的加、减运算. 5.虚数单位i:在进行复数加、减运算时,可将虚数单位i看成一个字母,然后去括号, 合并同类项即可.
第1讲 描第述三运章动的基数本概系念的扩充与复数的引入
(★★☆)已知复数z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R,i为虚数单位)分别对应向
量OZ1 、OZ2 (O为原点),若向量 Z1Z2 对应的复数为纯虚数,求a的值. 思路点拨
根据向量减法的几何意义表示出 Z1Z2 对应的复数,根据纯虚数的定义,列满足条件 的关系式,求出a的值.
第1讲 描第述三运章动的基数本概系念的扩充与复数的引入
2 |复数加、减法的几何意义及应用
复数可以用向量来表示,因此复数的加、减法可以利用向量的加、减法来表 示.如果复数对应的向量不共线,那么这些复数的加、减法就可按平行四边形法则 求解. 用复数加、减运算的几何意义解题的技巧: 1.形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. 2.数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几 何之中.
解析 ∵ Z1Z2 =OZ2 -OZ1 ,
∴ Z1Z2 对应的复数为z2-z1=[a-1+(a2+2a-1)i]-[a2-3+(a+5)i]=-(a2-a-2)+(a2+a-6)i,
原创3：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
深入探究？
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
复数减法的几何意义： - =
复数的加法几何意义同构于向量加法几何
y Z
1
意义。复数减法的几何意义同构于向量减
法的几何意义。注意“同构”一词。
Z2
O
x
学以 致用
例1
讲解例题
计算 (5
6i )
Z1 (a , b)
O
∴向量 就是与复数 + + + 对应的向量.
x
深入探究
思考？
复数是否有减法？如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （ + ）+（ + ）= + 的
复数 + 叫做复数 + 减去复数 + 的差，记作（ + ）－（ + ）
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意 ∈ ， ∈ ， ∈
则Z1+Z2=（ + )+( + )，Z2+Z1=（ + ) + ( + )
显然
Z1+Z2=Z2+Z1
同理可得 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当 = ， =
时与实数加法法则保持一致
（2）很明显，两个复数的和仍 然是一个复数。对于复数的加法可
以推广到多个复数相加的情形。
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
证:设 = + ，Z2= + ,Z3= + ( , ，, , , ∈ )
高中数学3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
-1-
3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
学习目标
思维脉络
1.掌握复数代数形式的加法、减法运算 法则. 2.理解复数代数形式的加法、减法运算
的几何意义.
3.能够利用复数代数形式的加法、减法 运算法则及几何意义解决问题.
-14-
3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
变式训练2如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复
数0,3+2i,-2+4i.求:
(1)向量������������ 对应的复数;(2)向量������������ 对应的复数;(3)向量������������ 对应 的复数.
解:(1)因为������������=-������������,所以向量������������对应的复数为-3-2i. (2)因为������������ = ������������ − ������������,所以向量������������对应的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为������������ = ������������ + ������������,所以向量������������对应的复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
(方法二)因为z+1-3i=5-2i,
所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i. -8-
3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
人教版高中数学选修2-2《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》
3
i= = -i -i ==1 1 i
44
22
解：
=(i-1-i+1)+(i-1-i+1)+…(i-1-i+1) =0+0+…+0 =0
随堂练习
填空
1. 已知 z C , z+i-3=3-i，z的值为( 6-2i 2.复数的加、减可以按照（ 向量 ）的 加减来进行． )
选择
1、设O是原点，向量OA,OB 对应的复 数分别为2-3i,-3+2i,那么向量BA 对应 的复数是( D )
回顾旧知
上一节，我们主要讲了什么？
实数系
扩充到
复数系
我们依照这种思想，进一 步讨论复数系中的运算问题.
新课导入
我们知道实数有加、 减法等运算，且有运算律. 加法交换律：a+b=b+a;
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
那么复数应怎样进行加、 减运算呢？
3.2.1复数代数形式的 加、减运算及其几何意义
(5 - 6i) + (-2 - i) - (3 + 4i) = (5 - 2 - 3) + (-6 -1- 4)i = -11i
计算
解:
注意
通过此例我们可以看到代数形 式的加、减法，形式上与多项式的 加、减法是类似的.
例题2
计算
提示
i1+i2+i3+…+i 2004
ii = =-1 -1
22
i i = -i -i
注意
类比实数集中减法的意义，我们 规定，复数的减法是加法的逆运算， 即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差， 记作(a+bi)-(c+di).
选修2-2课件：3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义
探究三? 探究三?
类比复数加法的几何意义,请指出复数减法的几何意义? 类比复数加法的几何意义,请指出复数减法的几何意义?
设 OZ1 及 OZ 2 分别与复数 a + bi 对应, 及复数 c + di对应,则 OZ1 ,= ( a, b) OZ 2 = (c, d ) y Z 1
Z 2 Z1 = OZ1 OZ 2 = (a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)
意z1∈C,z2∈C,z3∈C , ,
z1+z2=z2+z1 z1+z2=z2+z1 显然 (z1 (z 3=z1+(z2+z3) 同理可得 +z2)+z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
点评:实数加法运算的交换律,结合律在复数集 中 点评:实数加法运算的交换律,结合律在复数集C中 依然成立. 依然成立.
作业:课本 作业 课本P61,第1,2,3题 课本 第 题
3.2.1复数代数形式的加减运算 复数代数形式的加减运算 及其几何意义
第二课时) (第二课时)
知识回顾: 知识回顾:
1,复数的加减法法则: ,复数的加减法法则: 是任意两个复数, 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数, 是任意两个复数 那么(a+bi) ±(c+di)=____ 那么 ) ____ ; 两个复数的和或减是一个确定的_____; 两个复数的和或减是一个确定的 2,复数的加法在几何上可 , 以按照____来进行; 以按照____来进行; ____来进行 减法在几何上可以按 ____来进行 来进行; 照____来进行;
思考? 思考?
是共轭复数,则在复平面上, 若z1,z2是共轭复数,则在复平面上,它们 所对应的点有怎样的位置关系? 所对应的点有怎样的位置关系?
高中数学第三章3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义讲义新人教A版选修2_2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )． 又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 【跟踪训练2】 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。
第3章 3.2.13.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
z2＋z1 ， (2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝________ z1＋(z2＋z3) (z1＋z2)＋z3＝__________.
填一填· 知识要点、记下疑难点
3.2.1
2．复数加减法的几何意义 → → 如图：设复数z1，z2对应向量分别为 OZ 1， OZ 2，四边形 → OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是______, OZ → Z2Z1 ． 与z1－z2对应的向量是______
答 仍然是个复数，且是一个确定的复数；
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2.1
问题2 当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致吗？
本 课 时 栏 目 开 关
答
一致．
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2.1
问题3 它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？
本 课 时 栏 目 开 关
答 实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于 实数运算中的合并同类项．
填一填· 知识要点、记下疑难点
3.2.1
1．复数加法与减法的运算法则
本 课 时 栏 目 开 关
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝ (a－c)＋(b－d)i (a＋c)＋(b＋d)i ，z1－z2＝________________. ________________
3.2.1
方法二 设O为坐标原点， z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
本 课 时 栏 目 开 关
∴△OAB是边长为1的正三角形， ∴四边形OACB是一个内角为60° ，边长为1的菱形，
且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长， → ∴|z ＋z |＝|OC|
第三章3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义
§3.2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课时目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝____________，z 1－z 2＝____________.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝__________，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(__________)．2．复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是_________，与z 1－z 2对应的向量是__________．一、选择题1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i2．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( ) A ．0 B ．32＋52i C ．52－52i D ．52－32i 3．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i4．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量OA →与OB →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则向量OA →与OB →的关系是( )A.OA →＝OB → B ．|OA →|＝|OB →|C ．OA →⊥OB →D ．OA →，OB →共线5．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4二、填空题6．设纯虚数z 满足|z －1－i|＝3，则z ＝____________.7．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC→对应的复数为________________________________________________________________．8．设f (z )＝z －2i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝__________.三、解答题9．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－3＋2i.(1)求z 1－z 2；(2)在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量．10．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．能力提升11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．512．复数3＋3i ，－5i ，－2＋i 的对应点分别为平行四边形的三个顶点A ，B ，C ，求第四个顶点对应的复数．1．复数的加减法运算，可以类比多项式中的合并同类项．2．根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．§3.2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义答案知识梳理1．(1)(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i(2)z 2＋z 1 z 2＋z 32．OZ → Z 2Z 1→作业设计1．C [z 1－z 2＝(3＋i)－(－1－i)＝4＋2i.]2．C [z 1＋z 2＝⎝⎛⎭⎫2＋12－⎝⎛⎭⎫12＋2i ＝52－52i.] 3．C [OZ 1→＋OZ 2→＝5－4i ＋(－5＋4i)＝0.]4．C [由向量的加法及减法可知：在▱OACB 内，OC →＝OA →＋OB →，AB →＝OB →－OA →.非零复数z 1，z 2分别对应复平面内向量OA →，OB →，由复数加减法的几何意义可知：|z 1＋z 2|对应OC →的模，|z 1－z 2|对应AB →的模，又因为|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则|OC →|＝|AB →|，所以四边形OACB是矩形，因此OA →⊥OB →，故选C.]5．A [z 1＋z 2＝a －3＋(4＋b )i ，z 1－z 2＝a ＋3＋(4－b )i ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋b ＝0a ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－4.] 6．(±22＋1)i解析 ∵z 是纯虚数，设z ＝b i (b ∈R 且b ≠0)．由|z －1－i|＝3得|－1＋(b －1)i|＝3.∴1＋(b －1)2＝9，∴b －1＝±22，∴b ＝±22＋1，即z ＝(±22＋1)i.7．4－4i解析 由AB →＝OB →－OA →，得OB →＝AB →＋OA →＝1＋5i ＋(－2＋i)＝－1＋6i ，BC →＝OC →－OB →＝3＋2i －(－1＋6i)＝4－4i.8．5＋3i解析 ∵f (z )＝z －2i ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2－2i＝(3＋4i)－(－2－i)－2i＝(3＋2)＋(4＋1)i －2i ＝5＋3i.9．解 (1)因为z 1＝－2＋i ，z 2＝－3＋2i ，所以z 1－z 2＝(－2＋i)－(－3＋2i)＝1－i.(2)在复平面内复数z 1－z 2所对应的向量是OZ →＝1－i ，如图所示．10．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i.BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)可得，|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8，∵|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×8＝2. 11．B [由已知|z －(－2＋2i)|＝1，所以复数z 的对应点的轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，如图所示，|z －2－2i|＝|z －(2＋2i)|表示复数z 的对应点到(2,2)点的距离，即圆上的点到(2,2)点的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3.]12．解 当四点顺序为ABCD 时，第四个顶点D 对应的复数为1＋9i ；当四点顺序为ADBC 时，第四个顶点D 对应的复数为5－3i ；当四点顺序为ABDC 时，第四个顶点D 对应的复数为－5－7i.。
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【答案】 1－i
[小组合作型]
复数的加、减法运算
1 1 4 3 (1)3＋2i＋(2－i)－3－2i＝________.
(2)已知复数 z 满足 z＋1－3i＝5－2i，求 z. 【自主解答】 ＝1＋i. 【答案】 1＋i
1 1 4 3 1 4 1 3 (1)3＋2i＋(2－i)－3－2i＝3＋2－3＋2－1＋2i
探究 2 复数|z1－z2|的几何意义是什么？
【提示】 复数|z1－z2|表示复数 z1，z2 对应两点 Z1 与 Z2 间的距离．
已知 z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值. 【导学号：62952106】
【精彩点拨】 先根据|z＋3－4i|＝1 的几何意义，画出复数 z 对应点的轨道 再根据|z|的几何意义求解．
运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几 何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角 → 形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB对应的复数是 zB－zA(终点 对应的复数减去起点对应的复数)．
[再练一题] → → → 2． (1)向量OZ1对应的复数是 5－4i， 向量OZ2对应的复数是－5＋4i， 则OZ1＋ → OZ2对应的复数是( A．－10＋8i C．0 ) B．10－8i D．10＋8i
【答案】 3＋5i
[探究共研型]
复数加、减法的几何意义的应用
探究 1 在实数范围内 a－b＞0⇔a＞b 恒成立，在复数范围内是否有 z1－
z2＞0⇒z1＞z2 恒成立呢？
【提示】 若 z1，z2∈R，则 z1－z2＞0⇒z1＞z2 成立．否则 z1－z2＞0D⇒ z1＞z2. 如果 z1＝1＋i，z2＝i，虽然 z1－z2＝1＞0，但不能说 1＋i 大于 i.
(2)法一：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，因为 z＋1－3i＝5－2i，所以 x＋yi＋(1－3i) ＝5－2i，即 x＋1＝5 且 y－3＝－2，解得 x＝4，y＝1，所以 z＝4＋i. 法二：因为 z＋1－3i＝5－2i，所以 z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
1．复数加、减运算法则的记忆 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)把 i 看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项． 2．当一个等式中同时含有|z|与 z 时，一般要用待定系数法，设 z＝a＋bi(a， b∈R)．
→ → 【解析】 由复数加法的几何意义知， OZ1＋OZ2对应的复数是(5－4i)＋(－5 ＋4i)＝0.故选 C.
【答案】 C
(2)在复平面内，平行四边形 ABCD(顶点顺序为 ABCD)的三个顶点 A，B，C 对应的复数分别是 1＋3i，－i,2＋i，则点 D 对应的复数为________．
→ → 【解析】 设 D(x，y)，类比向量的运算知AB＝DC，所以有复数－i－(1＋ 3i)＝2＋i－(x＋yi)，得 x＝3，y＝5，所以点 D 对应的复数为 3＋5i.
3.2 3.2.1
复数代数形式的四则运算
复数代数形式的加、减运算及其几何意义
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点) 2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点)
[基础· 初探]
教材整理 1 复数代数形式的加、减法
阅读教材 P107 的内容，完成下列问题． 1．运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ，z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i..
2．加法运算律 设 z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝ z2＋z1 ， (z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ．
1．已知复数 z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则 z1＋z2＝( A．8i C．6＋8i
【解析】 z1＋z2＝6. 【答案】 B
)
B．6 D．6－8i
2．已知复数 z1＝2－3i，z2＝2＋3i，则 z1－z2＝________.
【解析】 z1－z2＝(2－3i)－(2＋3i)＝－6i. 【答案】 －6i
教材整理 2 复数加、减法的几何意义
→ 阅读教材 P108 的内容，完成下列问题．若复数 z1，z2 对应的向量分别为OZ1， → OZ2.
→ → OZ2为邻边的平行四 复数加法的 复数 z1＋z2 是以OZ1， 几何意义 → 边形的对角线OZ所对应的复数
→ 复数减法的 复数 z1－z2 是从向量OZ2的终点指向向量 几何意义 → → OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的复数
→ → → 已知向量OZ1对应的复数为 2－3i， 向量OZ2对应的复数为 3－4i， 则向量Z1Z2 对应的复数为__________．
【解析】 → → → Z1Z2＝OZ2－OZ1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.
[再练一题] 1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( A．－1＋i B．1－i ) C．i D．－i
【解析】 (1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选 A. 【答案】 A
复数加、减法的几何意义 XXX
如图 321，已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O，A，C 对应的复 数分别为 0,3＋2i，－2＋4i.
→ (1)求AO表示的复数； → (2)求CA表示的复数； (3)求 B 点对应的复数．
图 321
→ → 【精彩点拨】 (1)利用AO＝－OA求解． → → → (2)根据CA＝OA－OC求解． → → → (3)根据OB＝OA＋OC求解．
→ → → 【自主解答】 (1)∵AO＝－OA，∴AO表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. → → → (2)∵CA＝OA－OC， → ∴CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. → → → → → (3)∵OB＝OA＋AB＝OA＋OC， → ∴OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 即 B 点对应的复数为 1＋6i.