酉空间及其重要的线性变换

第一章线性空间与线性变换

dim( W) ≤ dim( V)
下面讨论子空间的生成问题
设S = {α1,α2,Λ ,αm}是数域 P上 V 中的一个向量组，在 P 中任取m个数 k1,k2,Λ ,km，做S中向量的线性组合
α = k1α1 + k 2α2 + Λ + kmαm (1.2.1)
显然 α ∈ V ，这样 α 全体的集合表示成
子空间 V3 也可以写成：
V3 = L(e1,e2,e3,)
={αα = x1e1 + x2e2 + x3e3}
V1 , V2 也可以写成以上类似形式。
像空间和零空间
设Ａ＝（ aij）∈Ｒm×n，以a（i i＝１,2,Λ , n）表示
Ａ的第 i个列向量，称子空间Ｌ（α1 ,α 2 ,Λ ,α n）为
x
+
y
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 xn
+y Μ +y
2 n
⎟⎟, ⎟⎟⎠
kx
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
kx2 Μ
kxn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
对于线性空间 R n中的加法和数乘，有：
v2 v1 v3 = v1 + v2
kv v
定理 1 .1 .1 线性空间Ｖ中，有唯一的零向量，Ｖ中任一向量也有唯一的负向量。
（ x1－y1）α1 +（x2－y２）α 2 + Λ +（xn－y n）α n＝０
由于Ｓ是线性无关的，所以 xi = y i i = 1,2,Λ , n
定义 1. 1. 5 设Ｖ n与Ｖn*同为域Ｐ上的两个线
性空间，若 α ↔ α *，(α ∈ Vn ,α * ∈ Vn* )，且当 α ↔ α *，β ↔ β *，α , β ∈ Vn , α * , β * ∈ Vn*时，有 α + β = α * + β *

4. 酉空间

§4 酉空间一、酉空间的定义与性质[酉空间与欧氏空间] 设V 为一个复数域F 上的线性空间，若在V 中定义了两个矢量βα,的内积（数量积），记作（βα,），且满足：(i) （βα,）=（_____,αβ），其中（_____,αβ）是（αβ,）的共轭复数；(ii) （αα,）0≥，等号当且仅当0=α时成立；(iii) ),(),(),(22112211βαβαβααa a a a +=+，对任意,,,21V ∈βααF a a ∈21,成立；则称V 为一酉（U ）空间，又称为内积空间.若F 是实数域，这时内积是可交换的. 有限维实酉空间称为欧氏空间.例 n 维线性空间n V 中，若规定)(),(2211n n b a b a b a +++= βα式中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n b b b a a a 2121β,α 则n V 是一个酉空间.酉空间Ｖ中的内积具有性质：1o （βαb a ,）＝),(βαb a2o ),(),(),(βγαγβαγ+=+3o 一般，V F b a i i i i ∈∈βα,,,),,2,1(n i =则∑∑∑====n i i i i i n i i i n i i i b a b a 111),(),(βαβα4o000==),(),(αα[模(范数)] 由于_____),(),(αααα=，所以),(αα是实的. 令),(ααα=称它为酉空间Ｖ中矢量α的模或范数. 模为１的矢量称为单位矢量或标准矢量.设α，β为酉空间的矢量，c 为一复数，则1o ααc c =2o βαβα≤),( （柯西-施瓦兹不等式）等号当且仅当α和β线性相关时成立.3o βαβα+≤+这些性质与空间的维数无关.[正交与标准正交基] 酉空间V 中，若0),(=βα，则称矢量α正交于β. 显然，若α正交于β，则β也正交于α.酉空间中，任意一组两两正交非零矢量是线性无关的.如果一组单位矢量两两正交，则称它为一个标准正交组. 若这矢量组又生成整个空间V ，则称它为V 的标准正交基.设{n ααα,,,21 }为酉空间V 的一组标准正交矢量，V ∈α，则1o 222221),(),(),(ααααααα≤+++n （贝塞耳不等式） 2o []n n ααααααααααβ),(),(),(2211+++-= 正交于),,2,1(n i i =α3o 当V 是有限维空间时，{n ααα,,,21 }成为V 的基底的充分必要条件是：任一个矢量V ∈α可表示为[]n n αααααααααα),(),(),(2211+++=且 222212),(),(),(n ααααααα+++=[子空间的正交补空间] 设V 为复数域上的酉空间，S 为V 的一个子空间，若(i) V T S =⊕(ii) 对S ∈α和T ∈β有0),(=βα则称T 为S 的正交补空间.由(i)立刻可知Φ=T S （空集）.若S 是一个有限维酉空间n V 的一个子空间，则n V 中有一个子空间T 为S 的正交补空间. 二、酉空间上的特殊线性变换[共轭变换] 对域F 上酉空间V 上的一个线性变换L ，由关系式V ∈=βαβαβα,)),(,()),((*L L所定义的变换*L 是线性变换, *L 称为L 的共轭变换. 若L L LL **=，则称L 为正规变换.共轭变换有以下性质：1o L L =**)(2o F a a a ∈=,)(**L L3o ***)(M L M L +=+4o ***)(L M LM =5o 若L 是非奇异线性变换，则*L 也是非奇异线性变换，并且*11*)()(--=L L6o 若在某一标准正交基下L 的矩阵为A ，则共轭变换*L 关于这同一基底的矩阵为A 的共轭转置矩阵__τA .[自共轭变换（埃尔米特变换）] 若*L L =，则称L 为自共轭变换或埃尔米特变换.自共轭变换有以下性质：1o 若L ，M 为自共轭变换，F a ∈则L M L a ,+也是自共轭变换. 当L ，M 可交换时，LM 也是自共轭变换.2o 在标准正交基下，自共轭变换的矩阵是埃尔米特矩阵. 反之，线性变换关于一标准正交基的矩阵是埃尔米特矩阵，则必为自共轭变换.3o 自共轭变换的特征值是实的.4o 有适当的标准正交基使自共轭变换L 对应于一个实对角线矩阵，其主对角线上的元素是L 的全部特征值.[酉变换] 若对酉空间V 中的任意βα,，有线性变换L ，使),())()),((βαβα=L L则称L 为酉变换.酉变换有以下性质：1o 恒等变换为酉变换.2o 若L ，M 为酉变换，则LM 也为酉变换.3o 若L 为酉变换，则1-L 也为酉变换.4o L 为酉变换的充分必要条件是：I LL =* 或 1*-=L L5o 在标准正交基下，酉变换L 的矩阵是酉矩阵. 反之，线性变换关于一标准正交基的矩阵是酉矩阵，则必为酉变换.6o 酉变换的特征值的绝对值都是1.三、射影[射影及其性质] 对线性空间V 上的一个线性变换P ，若有V 的两个互补子空间S 和T 使得若T S V ∈∈+=∈βαβαγγ,,,，则αγ=)(P这种变换P 称为V 沿T 在S 上的射影.射影有以下性质：1o 若P 是一个射影，则P P =2因此射影是一个幂等变换；反之，幂等变换必为射影.2o 若21,P P 是线性空间V 分别沿1T 在1S 上和沿2T 在2S 上的射影，则(i) 21P P +是一个射影，当且仅当若O P P P P ==1221时，则Φ=21S S ，并且21P P +是沿21T T T =在21S S S +=上的射影.(ii) 若P P P P P ==1221，则P 是沿21T T T +=在21S S S =上的射影.3o 设T ，S 为有限维线性空间n V 的两个互补子空间，P 为沿子空间T 在子空间S 上的射影，则P 的矩阵可化为如下形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000A P 式中A 是k 阶方阵.[正射影] 设S ，T 为复数域上一酉空间 V 的互补子空间，则V 沿T 在S 上的射影称为V 在S 上的正射影.[自共轭变换的分解] 设L 是有限维酉空间V 上一个自共轭变换. 令k λλλ,,,21 为L 的不同特征值，令i S 为使ααi λ=)(L ),,2,1(k i =的矢量α的集合，则i S 是V 的子空间. 显然对j i ≠，i S 和j S 是V 的正交补空间. 若{i in i αα,,1 }是S i 的一个标准正交基，其中i n 是i S 的维数，则由一切这些ij α所组成的集{ij α}是V 的一个标准正交基. 最后使P i 为V 在S i 上的射影，则关于上面的基底，L 的矩阵有如下的形式：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡k kλλλλλλ002211 =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡k n k n n I I I λλλ002121 式中i n I 表示i n 阶单位矩阵. 另一方面，关于这个基底射影P i 的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ k i n n n I O O 001 式中i n O 表示j n 阶的零矩阵. 因此自共轭变换可以写成射影的一个线性组合.k k P P P L λλλ+++= 2211四、酉空间中的度量在本节第一段中，已经引入酉空间中的每个矢量α的模（范数）. 酉空间中两“点”（即矢量）α，β的距离),(βαd 与任二矢量α，β之间的角度ϕ的定义如下： βαβαβαβαβαβα),(cos ))((),(=--=-=ϕd由上述方程所定义的函数满足尺度空间（见第二十一章，§4，一）中的一切条件. 若V 是一个实酉空间，则对一切V ∈βα,，角度ϕ必须是实的.。

第4讲-复内积空间-(酉空间)

第4讲复内积空间 (酉空间)内容：1. 复内积空间2. 正规矩阵3. Hermite二次型欧氏空间是针对实线性空间而言的，本讲先讨论复数域上线性空间的内积及其性质，然后将实二次型推广为复二次型，介绍厄米（Hermite）二次型.§1 复内积空间(酉空间)1. 复内积空间(酉空间)定义1.1设V是复线性空间,若对于V中任意两个元素（向量）x和y,总能对应唯一的复数，记作),(y x,且满足以下的性质：（1）对称性;),(),(_____x yx=y（2）可加性);,(),(),=x++(z yz xz y（3）齐次性;ykkx∈),=x∀y),,(k(C（4）非负性,0x),(=xx),(≥x当且仅当0=x时,0则称该复数是V中元素（向量）x和y的内积.称定义了内积的复线性空间V为酉空间(或称U空间或复内积空间).例1.1 在n维向量空间n C中，任意两个向量T n x x x x ),,,(21Λ=，T n y y y y ),,,(21Λ=，若规定 ∑==+++=n k kk n n y x y x y x y x y x 1____2__21__1),(Λ，则容易验证，它是nC 中向量x 和y 的内积.2. 酉空间的性质：(1)V x x x ∈∀==,0)0,(),0( (2)C k V y x y x k ky x ∈∀∈∀=,,),,(),(__ (3) V z y x z x y x z y x ∈∀+=+,,),,(),(),((4) ),(),(11__11∑∑∑∑=====n j n i j i j i n i n j j j i i y x l k y l x k3. 酉空间的一些结论(1) 向量的长度),(x x x =(2) Cauchy-Schwarz 不等式: y x y x ≤),((3) 两个非零向量的夹角)2,0(,)),)(,((arccos ,21π≤><≤>=<y x y x x y y x y x (4) 当0),(=y x 时，称x 与y 正交，积作y x ⊥.与欧氏空间一样，在酉空间中也可类似定义正交基，标准正交基，而且V 中的任一组基均可通过Schmidt 方法化为一组标准正交基.4. 酉变换和复对称变换定义1.2 设σ是U 空间中的一个线性变换，若对U ∈∀βα,，均有),())(),((βαβσασ=成立，则称σ为U 空间上的酉变换，而满足1-=A A H 的矩阵A 称为酉矩阵.定理1.1 设σ是酉空间V 上的一个线性变换，则下列命题是等价的：(1) σ是一个酉变换(2) 保持元素的长度不变,即对任意的V ∈α，有αασ=)((3) V 中任意一个标准正交基其象仍是一个标准正交基(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是酉矩阵，即E A A AA H H ==定义1.3 设σ是U 空间中的一个线性变换，若对U ∈∀βα,，均有))(,()),((βσαβασ=成立，则称σ为U 空间上的复对称变换，满足A A A A H H -==,的矩阵分别称为Hermite 矩阵与反Hermite 矩阵.§2 正规矩阵定义2.1 设n n C A ⨯∈,若满足A A AA H H=,则称A 为正规矩阵.特别,当n n R A ⨯∈时，若满足A A AA T T =,称A 为实正规矩阵.显然，对角矩阵, Hermite 矩阵，反Hermite 矩阵和酉矩阵都是正规矩阵，而正交矩阵，实对称矩阵和实反对称矩阵都是实正规矩阵.定义2.2 设)(,n n n n C R B A ⨯⨯∈，如果存在n 阶正交（酉）矩阵U ，使得B AU U AU U T ==-1，（B AU U AU U H ==-1），则称A 正交（酉）相似于B ．定理2.1 设A 为正规阵,则与A 酉相似的矩阵都是正规阵；A 必有n 个线性无关的特征向量；A 的属于不同特征值的特征子空间是互相正交的。

酉空间的正规变换、酉变换、厄米特变换及反厄米特变换

变换、米特变换及反厄米特变换的一系列充要条件，厄以及它们之间相互关系的一些性质。
关键词：酉空间；正规变换；酉变换；厄米特变换；反厄米特变换；共轭变换
分类号：Ｏ１７３７．９
（ａ，）（邛）Ｔ卢＝ｄ，
成立，称琨的厄米特变换。则
定义４设酉空间中的线性变换，是若对中任意的向量口，贿
（ａ，＝，邛）Ｔ卢）（一成立，称琨的反厄米特变换。则定理１设琨中的线性变换，有：则
（）琨正规变换ｇＴ＂＝ ’７Ｊｏ／７ ’ ；
（）琨酉变换ｇＴ＝’；２ｏ７‘ （）３是厄米特变换ｇＴＴ；ｏ＝
（）７反厄米特变换ｇＴ－。是ｏ＝Ｔ证明（） ”对中任意的向量，，（ｏ，）（口，卢）于是（Ｉ卢＝７，卢），）口Ｔ邛）即（Ｊ“ ：因Ｔｔ邛＝ＴＴ，口，Ｔ）（’ Ｔ＝（邛＝（，，口，刀’ ’ ｆ）Ｏ，的任意性得玎 ’ Ｔ＝由口１ ‘ ３Ｏ即玎 ’ ＝ ’ Ｔ＝ｌｆＴ邛
文献标识码：Ａ
文章编号：０８－３０（０２０ — ０４０１０－４２２０）３０２ — ３
本文用表示酉空间，ｒ表示线性变换７共轭变换，表示７逆变换，表示恒等变换，表示单位矩阵。 ’ 的 ’ 的，Ｅ

酉空间介绍

§8 酉空间介绍一、酉空间1．定义14 设V 是复数域上一个线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积, 记作),(βα，它具有以下性质: 1) ),(),(αββα=，),(αβ 是 ),(αβ 的共轭复数; 2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) ),(αα是非负实数, 且0),(=αα 当且仅当0=α这里γβα,,是V 中任意的向量, k 是任意复数, 这样的线性空间称为酉空间. 2．例1 在线性空间n C ,对向量()()n n b b b a a a ,,,,,,,2121 ==βα定义内积为n n b a b a b a +++= 2211),(βα, (1)显然内积（1）满足定义14中的条件.这样nC 就成为一个酉空间. 3．基本性质由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此在这里简单地列出重要的结论，而不详细论证. 1) ),(),(βαβαk k =. 2) ),(),(),(γαβαγβα+=+. 3)),(αα叫做向量α的长度，记为||α.4) 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量βα,有|(,)|||||αβαβ≤,当且仅当βα,线性相关时等号成立.注意：酉空间中的内积),(βα一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引入 5) 向量βα,，当0),(=βα时称为正交的或互相垂直二、酉变换.1．在n 维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基， 2．关于标准正交基也有下述一些重要性质：1) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准正交基. 2）对n 级复矩阵A ，用A 表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A 满足E A A A A ='='，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵. 3) 酉空间V 的线性变换A ，满足(A α,A β)=(α,β),就称为V 的一个酉变换. 酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.三、对称变换1．矩阵A 满足A A ='则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵. 在酉空间n C 中令A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A x x x 2121则(A α,β)=(α,A β).A 也是对称变换.10）V 是酉空间，1V 是子空间，⊥1V 是1V 的正交补，则⊥⊕=11V V V 又设1V 是对称变换的不变子空间，则⊥1V 也是不变子空间.11）埃尔米特矩阵的特征值为实数. 它的属于不同的特征值的特征向量必正交. 12）若A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵C ，使AC C AC C '=-1是对角形矩阵.13）设A 为埃尔米特矩阵，二次齐次函数X A X x x a x x x f ni nj j i ij n '==∑∑==1121),,,(叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C ，当时CY X =n n n n y y d y y d y y d x x x f +++= 22211121),,,(.第九章欧几里得空间 (小结)一、欧氏空间1. 内积、欧氏空间的概念及其简单性质.2. 柯西—布涅可夫斯基不等式:2(,)(,)(,)αβααββ≤.3. 向量的长度:α=.4. 两个非零向量α与β的夹角:(,)arccos αβθαβ=.).0(πθ≤≤若(,)0αβ=,则α与β正交. 二、标准正交基１. 标准正交基的概念.２. 标准正交基的求法—施密特正交化方法.３. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.反过来，假如两个基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么另一个基也是标准正交基. 三、正交补内射影 1. 向量与集合正交的概念.2. 欧氏空间的子空间1V 的正交补的概念.3. 设1V 是V 的子空间,则⊥⊕=11V V V ,且V ∈∀α可以唯一写成21ααα+=, 其中⊥∈∈1211,V V αα,则称1α是α在1V 上的内射影. 四、欧氏空间的线性变换 1.正交变换(1) V 的线性变换σ是正交变换⇔ ① σ保持向量的长度不变. ② σ保持向量的内积不变.③ σ把规范正交基仍变为规范正交基. ④ σ关于规范正交基的矩阵是正交矩阵. (2) 正交矩阵的性质① 正交矩阵为可逆矩阵,其逆仍为正交矩阵. ② 正交矩阵的行列式为1或-1. ③ 正交矩阵的伴随矩阵是正交矩阵. 2. 对称变换(1) 假如欧氏空间V 的线性变换σ满足:))(,()),((βσαβασ=,V ∈∀βα,那么σ叫做对称变换.(2) n 维欧氏空间V 的线性变换是对称变换⇔σ在V 的标准正交基下的矩阵是对称矩阵. (3) 设σ是欧氏空间V 的对称变换,若W 是σ的不变子空间,则⊥W 也是σ的不变子空间.(4) 实对称矩阵的特征值都是实数, 相应地有对称变换的特征值都是实数. (5) 设A 是实对称矩阵,则属于A 的不同特征值的特征向量是正交的.(6) 任一个n 阶实对称矩阵A 都可以正交对角化,即存在正交矩阵U ,使得AUU AU U 1-='是对角形式,相应地有对于欧氏空间V 的任一个对称变换σ,存在V 的标准正交基,σ在这个标准正交基下的矩阵是对角形式.六、欧氏空间的同构 1. 欧氏空间同构的概念.2. 两个有限维欧氏空间同构⇔它们的维数相同.3. 每个n 维欧氏空间都与n R 同构.本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正交基、正交变换和正交矩阵、对称变换与对称矩阵.难点是正交变换、正交补、对称变换.。

酉空间与酉变换分析

酉空间与酉变换分析酉空间和酉变换是量子力学中非常重要的概念，它们在描述量子系统的性质和演化过程中起到了至关重要的作用。

本文将介绍酉空间和酉变换的基本概念、性质及其在量子力学中的应用。

一、酉空间的基本概念与性质1.1 酉空间的定义在量子力学中，酉空间是描述量子系统状态的数学空间。

对于一个由$n$维复向量空间表示的系统，其酉空间由所有满足以下条件的复向量构成：$$|\psi\rangle = \sum_{i=1}^{n}c_i |i\rangle, \quad \text{且} \quad\langle\psi|\psi\rangle=1$$其中，$|i\rangle$是向量空间的一组正交归一基。

酉空间中的向量是满足相关条件的复向量。

1.2 酉空间的性质（1）酉空间是线性空间，即满足线性叠加和数乘运算的闭合性。

（2）酉空间的内积和范数满足性质：$$\langle\psi|\phi\rangle= \sum_{i=1}^{n}c_i^*d_i$$其中，$|\psi\rangle$和$|\phi\rangle$是酉空间中的两个向量。

（3）酉空间是希尔伯特空间的子空间，具有完备性。

二、酉变换的基本概念与性质2.1 酉变换的定义酉变换是酉空间中向量的变换操作，将一个向量变换为另一个向量。

设$U$为一个$n$阶酉矩阵，对应于一个酉变换操作。

对于一个在酉空间中的向量$|\psi\rangle$，经过酉变换$U$后变为$U|\psi\rangle$。

2.2 酉变换的性质（1）酉变换保持内积不变：$$\langle U\psi|U\phi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle$$其中，$|\psi\rangle$和$|\phi\rangle$是酉空间中的两个向量。

（2）酉变换的逆变换是其共轭转置：$$U^{-1} = U^{\dagger}$$其中，$U^{\dagger}$表示酉变换矩阵的共轭转置。

酉(正交)变换

P = PL
2 L
Department of Mathematics
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化成正交向量组 β 1 , β 2 ,L , β m .
β 1 = α1 , β 2 = α 2 − ( β 1 , α 2 ) β 1
(β1 , β1 ) (β1 ,α 3 ) (β 2 ,α 3 ) β3 = α3 − β1 − β2 (β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
M
Department of Mathematics
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二. 正交投影定义: 设酉（欧氏）定义设酉（欧氏）空间 V = L ⊕ M , L ⊥ M , 的线性变换， ∀x ∈ V , x = x1 + x 2 , T 为 V 的线性变换， x1 ∈ L, x2 ∈ M , 有：T ( x ) = x 1 正交投影,记为则称 T 为 V 到 L 的正交投影记为 PL 性质1 性质性质2 性质正交投影是线性变换是酉（欧氏）设 PL 是酉（欧氏）空间 V 到 L 的正交投影，投影，则：
5, n维欧氏空间V的子空间满足的子空间W满足维欧氏空间的子空间满足: i) (W ⊥ )⊥ = W
dimW + dimW ⊥ = dimV = n ii)
iii) W ⊕ W = V 必是W的余子空间的余子空间. ⅳ) W的正交补 W ⊥必是的余子空间的正交补
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2．维欧氏空间的每个子空间 V1 都有．维欧氏空间V的每个子空间 n 唯一正交补. 唯一正交补 3. 两两正交的子空间的和必是直和．两两正交的子空间的和必是直和．

线性空间和线性变换概况PPT课件

3 5
A
4
2
在基F11,F12,F21,F22下的坐标。
第21页/共85页
1.3 线性子空间
(a) 线性子空间设V1是数域F上的线性空间V上一个非空子集合，且对已有的线性运算满足以下条件：
1. 如果x,y∈V1，则x+y∈V1； 2. 如果x∈V1，k∈F，则kx∈V1；则称V1是V的线性子空间(linear subspace)或子空间。
则称x1,…,xm是线性相关(linearly dependent)的。否则称x1,…,xm是线性无关(linearly independent)的。
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例5 在Rn中，分别讨论下面两个向量组的线性相关性：
例6 讨论下面2阶矩阵的线性相关性：
a 1
1 a
1 1
1 1
A1 1
1 , A2 1
• 范数、序列、级数：定义了范数，我们就可以定义矩阵序列、矩阵级数及其极限，并讨论其收敛和发散性。
第4页/共85页
• 矩阵函数：以矩阵为变量的函数称为矩阵函数。Jordan标准形在此起了很重要的作用。
• 函数矩阵与矩阵微分方程：将矩阵的概念推广，元素为任意函数的矩阵称为函数矩阵。这样我们可以求矩阵的导数、微分、积分，并求解相应的微分方程。
一、线性空间概念 (a) 数域
数域(field)：关于四则运算封闭的数的集合。 ✓任何数域都含有元素0和元素1；
✓典型数域：复数域C，实数域R，有理数域Q； ✓任意数域F都包括有理数域Q。
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阿贝尔群V和数域F上的线性运算具有良好性质，则<V，F>构
(b) 线性空间成一个线性空间。
给定非空集合V ，数域F，如果满足：

酉空间介绍

§8 酉空间介绍一、酉空间1．定义14 设V 是复数域上一个线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积, 记作),(βα，它具有以下性质: 1) ),(),(αββα=，),(αβ 是 ),(αβ 的共轭复数; 2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) ),(αα是非负实数, 且0),(=αα 当且仅当0=α这里γβα,,是V 中任意的向量, k 是任意复数, 这样的线性空间称为酉空间. 2．例1 在线性空间n C ,对向量()()n n b b b a a a ,,,,,,,2121 ==βα定义内积为n n b a b a b a +++= 2211),(βα, (1)显然内积（1）满足定义14中的条件.这样nC 就成为一个酉空间. 3．基本性质由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此在这里简单地列出重要的结论，而不详细论证. 1) ),(),(βαβαk k =. 2) ),(),(),(γαβαγβα+=+. 3)),(αα叫做向量α的长度，记为||α.4) 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量βα,有|(,)|||||αβαβ≤,当且仅当βα,线性相关时等号成立.注意：酉空间中的内积),(βα一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引入 5) 向量βα,，当0),(=βα时称为正交的或互相垂直二、酉变换.1．在n 维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基， 2．关于标准正交基也有下述一些重要性质：1) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准正交基. 2）对n 级复矩阵A ，用A 表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A 满足E A A A A ='='，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵. 3) 酉空间V 的线性变换A ，满足(A α,A β)=(α,β),就称为V 的一个酉变换. 酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.三、对称变换1．矩阵A 满足A A ='则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵. 在酉空间n C 中令A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A x x x 2121则(A α,β)=(α,A β).A 也是对称变换.10）V 是酉空间，1V 是子空间，⊥1V 是1V 的正交补，则⊥⊕=11V V V 又设1V 是对称变换的不变子空间，则⊥1V 也是不变子空间.11）埃尔米特矩阵的特征值为实数. 它的属于不同的特征值的特征向量必正交. 12）若A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵C ，使AC C AC C '=-1是对角形矩阵.13）设A 为埃尔米特矩阵，二次齐次函数X A X x x a x x x f ni nj j i ij n '==∑∑==1121),,,(叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C ，当时CY X =n n n n y y d y y d y y d x x x f +++= 22211121),,,(.第九章欧几里得空间 (小结)一、欧氏空间1. 内积、欧氏空间的概念及其简单性质.2. 柯西—布涅可夫斯基不等式:2(,)(,)(,)αβααββ≤.3. 向量的长度:α=.4. 两个非零向量α与β的夹角:(,)arccos αβθαβ=.).0(πθ≤≤若(,)0αβ=,则α与β正交. 二、标准正交基１. 标准正交基的概念.２. 标准正交基的求法—施密特正交化方法.３. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.反过来，假如两个基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么另一个基也是标准正交基. 三、正交补内射影 1. 向量与集合正交的概念.2. 欧氏空间的子空间1V 的正交补的概念.3. 设1V 是V 的子空间,则⊥⊕=11V V V ,且V ∈∀α可以唯一写成21ααα+=, 其中⊥∈∈1211,V V αα,则称1α是α在1V 上的内射影. 四、欧氏空间的线性变换 1.正交变换(1) V 的线性变换σ是正交变换⇔ ① σ保持向量的长度不变. ② σ保持向量的内积不变.③ σ把规范正交基仍变为规范正交基. ④ σ关于规范正交基的矩阵是正交矩阵. (2) 正交矩阵的性质① 正交矩阵为可逆矩阵,其逆仍为正交矩阵. ② 正交矩阵的行列式为1或-1. ③ 正交矩阵的伴随矩阵是正交矩阵. 2. 对称变换(1) 假如欧氏空间V 的线性变换σ满足:))(,()),((βσαβασ=,V ∈∀βα,那么σ叫做对称变换.(2) n 维欧氏空间V 的线性变换是对称变换⇔σ在V 的标准正交基下的矩阵是对称矩阵. (3) 设σ是欧氏空间V 的对称变换,若W 是σ的不变子空间,则⊥W 也是σ的不变子空间.(4) 实对称矩阵的特征值都是实数, 相应地有对称变换的特征值都是实数. (5) 设A 是实对称矩阵,则属于A 的不同特征值的特征向量是正交的.(6) 任一个n 阶实对称矩阵A 都可以正交对角化,即存在正交矩阵U ,使得AUU AU U 1-='是对角形式,相应地有对于欧氏空间V 的任一个对称变换σ,存在V 的标准正交基,σ在这个标准正交基下的矩阵是对角形式.六、欧氏空间的同构 1. 欧氏空间同构的概念.2. 两个有限维欧氏空间同构⇔它们的维数相同.3. 每个n 维欧氏空间都与n R 同构.本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正交基、正交变换和正交矩阵、对称变换与对称矩阵.难点是正交变换、正交补、对称变换.。

酉空间及其重要的线性变换

酉空间及其重要的线性变换酉空间定义1设V是复数域C上的一个向量空间．若V中任意一对向量α，β，有一个确定的复数<α,β>与它们对应，叫做α与β的内积，并且对于∀α，β，γ∈V，k∈C，以下条件成立：1)〈α,β〉=〈αβ,〉，〈αβ,〉是〈β,α〉的共轭复数；2)〈α+β,γ〉=〈α,γ〉+〈β,γ〉；3)〈kα,β〉=k〈α,β〉；4)〈α,α〉是非负实数，并且当α≠θ时〈α,α〉＞0，则称V对于这个内积是一个酉空间．例1在C n里，对于任意两个向量α= (x1，…，x n)，β= (y1，…，y n)，规定，〈α,β〉=n n y x+yx+11则C n对于这个内积作成一个酉空间．设V是一个酉空间．由定义可以直接推出，〈α,β＋γ〉=〈α,β〉＋〈α,γ〉；(1)〈α,k β〉=k 〈α, β〉 ,k是k 的共轭复数；(2)〈α, θ 〉=〈θ , α〉=0． (3)由(1)和(2)，设∀αi ，βj ∈V ，a i ，b j ∈C ，i =1，…，m ；j =1，…，n ，则 j i m i n j j i n j j j mi i i b a b a βαβα，，∑∑∑∑=====1111． (4)因为对于∀α∈V ，〈α, α〉是一个非负实数，所以在酉空间V 中，可以像Euclid 空间那样，定义向量α的长度为|α| =αα,．这样，V 中任意非零向量的长度总是一个正实数，长度是1的向量称为单位向量．显然，∀k ∈C ，α∈V ，都有||||||ααk k =． (5) 在一个酉空间中，Cauchy-Schwarz 不等式仍然成立．设∀α，β∈V ，则2βα，≤ββαα，，， (6)当且仅当α与β线性相关时等号成立．在一个酉空间中，内积一般是一个复数，因此不能像Euclid空间那样，合理地定义两个非零向量的夹角，但是仍然可以定义两个向量正交的概念．酉空间中两个向量α与β说是正交的，若〈α,β〉= 0．在一个酉空间里，同样可以定义正交组和标准正交组的概念．酉空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组．若一个正交组的每一个向量都是单位向量，则称这个正交组是一个标准正交组．定理1在酉空间里仍然成立．在一个有限维酉空间V中，同样可以定义正交基和标准正交基的概念．Gram-Schmidt正交化方法对于酉空间的向量仍然适用，并且对于V的任意一个基，可以通过正交化方法将它化为标准正交基．设W是酉空间V的一个有限维子空间，令W⊥={α∈V|〈α,β〉=0，∀β∈W}．则W⊥也是V的子空间，叫做W的正交补．与定理9.3.2相平行，我们有V=W⊕W⊥．(7)与正交矩阵相平行的概念是酉矩阵．设U =(u ij )nn ∈M n (C )，记nn ij u U )(=(ij u 是u ij 的共轭复数)，U U H '=．定义2 一个n 阶复矩阵U 叫做一个酉矩阵，若n I U U UU H H ==．定理2 n 维酉空间的一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是一个酉矩阵．2 酉变换与对称变换在酉空间中，与Euclid 空间的正交变换相平行的概念是酉变换．定义3 酉空间V 的一个线性变换σ叫做一个酉变换，若对于∀α，β∈V ，都有〈σ(α),σ(β)〉= 〈α, β〉．与定理9.4.2相平行，我们有定理3 设σ是n 维酉空间的一个线性变换，则下列陈述彼此等价：1)σ是酉变换；2)若α1，…，αn 是V 的一个标准正交基，则σ(α1)，…，σ(αn )也是V 的一个标准正交基；3)σ在V的任一标准正交基下的矩阵是酉矩阵．进而介绍酉空间的对称变换，引入定义4酉空间V的一个线性变换σ叫做一个对称变换，若∀α,β∈V，都有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β) 〉．定义5设A∈M n( C)．若A H=A，则称A是一个Hermite矩阵．显然，实对称矩阵是Hermite矩阵的特殊情形．与定理9.5.1和9.5.2相平行，我们有定理4设σ是n维酉空间V的一个线性变换，则σ是对称变换，当且仅当σ在V 的任意标准正交基下的矩阵是Hermite矩阵．对称变换和Hermite矩阵还有以下性质．定理5设σ是n维酉空间的一个对称变换，那么1)σ的特征值都是实数；2)σ的属于不同特征值的特征向量彼此正交；3)存在V 的一个标准正交基，使得σ在这个基下的矩阵是实对角矩阵．证我们只证1)，其余的证明留给同学们完成．设λ∈C 是σ的一个特征值，α是属于λ的一个特征向量．则ααλλααασααασαλαααλ,,)(,),(,,=====．因为〈α, α〉≠0，所以必须λλ=，即λ是实数．定理6 设A 是一个n 阶Hermite 矩阵，则存在一个n 阶酉矩阵U ，使得U H AU =U－1AU 是一个实对角矩阵，即任意Hermite 矩阵都“酉相似”于一个实对角矩阵． 3 Hermite 型在§1中，我们已经阐述了n 维Euclid 空间的度量矩阵．类似地，我们来看酉空间V 中的内积．在V 中取一个基nαα,,1 ，构造矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A αααααααααααααααααα,,,,,,,,,212221212111 ， (8)这个矩阵是由酉空间V 中的内积以及基n αα,,1 唯一决定的，叫做V 的基n αα,,1 的度量矩阵．由于A 的(i ，j )元素是j i αα,，而A H 的(i ，j )元素是i j αα,=j i αα,，所以A H =A ．这表明，酉空间V 的内积在V 的任意一个基下的度量矩阵A 是Hermite 矩阵．设A =(a ij )nn ，∑∑==ii i i y x αβαα,，则 ∑∑∑∑∑∑===i j i j j i ij j i j i j jj i i i y x a y x y x ),(,,ααααβα， (9)特别地，当β=α时，有∑∑=i j ji ij x x a αα,．定义6 n 个复变量x 1，…，x n 的表达式∑∑=i j ji ij n x x a x x f ),,(1 ， (10)其中a ji =ij a ，叫做一个n 元Hermite 型；矩阵A =(a ij )nn 称为Hermite 型f (x 1，…，x n )的矩阵，它是一个Hermite 矩阵．设X '=(x 1，…，x n )，则Hermite 型(10)可写成 ∑∑=i j H ji ij AX X x x a ． (11)因此，酉空间的内积与Hermite 型有着密切的联系．由于Hermite 型(10)的矩阵是Hermite 矩阵，因此AX X X A X AX X AX X AX X H H H H ==''='=)(．这表明X H AX 总是实数．再注意到上述定理，知道n 阶Hermite 矩阵A 酉相似于一个实对角矩阵D =diag{d 1，…，d n }，即存在一个酉矩阵U ，使得U －1AU =D ．令X =UY ，其中Y '= (y 1，…，y n )，则X H AX =Y H U H AUY =Y H U－1AUY =Y H DY =n n n y y d y y d y y d +++ 222111．(12) 这证明了定理7 对于Hermite 型f (x 1，…，x n )=XH AX ，存在酉线性替换X ＝UY (即U 是酉矩阵)，使得f (x 1，…，x n )=nn n y y d y y d ++ 111，(13)其中d 1，…，d n 是A 的全部特征值，它们都是实数．定义7 若对于∀α∈C n ，且α≠0，都有αH Aα＞0，(14) 则称X H AX是一个正定Hermite型．一个正定Hermite型X H AX的矩阵A称为正定Hermite矩阵．正定Hermite矩阵与第五章§4所说的实正定矩阵有相平行的结果，即定理8设A是一个n阶Hermite矩阵，则下列陈述彼此等价：1)A是正定Hermite矩阵；2)对于任意n阶复可逆矩阵P，P H AP 是正定Hermite矩阵；3)A的特征值全大于零；4)存在n阶可逆复矩阵P，使P H AP=I n；5)A可以分解成Q H Q，其中Q是n阶可逆复矩阵；6)A的所有顺序主子式全大于零．证1)⇒2) 任取α∈C n，且α≠0，则Pα≠0．因为A是正定Hermite矩阵，所以αH (P H AP)α=(Pα)H A(Pα)＞0．因此P H AP是正定Hermite矩阵．2) ⇒3) 由假设，A 是Hermite 矩阵．于是存在酉矩阵U ，使U －1AU =diag(n λλ，， 1)＝D其中λi 是实数，i =1，…，n ．由假设，U －1AU是正定Hermite 矩阵，由此推出e i H De i >0，即λi ＞0，i =1，…，n ．3) ⇒4) 因为A 是Hermite 矩阵，所以存在酉矩阵U ，使得U －1AU =diag(n λλ，， 1)其中λi >0，i =1，…，n ．令Q =diag(n λλ,,1 )则 U －1AU =QQ ，从而Q －1U －1AUQ －1=I n ．令P =UQ －1，则P H =(UQ －1)H = Q －1U H = Q －1 U －1．于是P H AP =I n ．4) ⇒5) 由假设P H AP =I n ，于是A =(P H )－1P －1．令Q =P －1，则11111)()()()()(-----='='='==H H H P P P P P Q 所以A =Q H Q ．5) ⇒1) 设A =Q H Q ，其中Q 可逆．任取α∈C n 且α≠0，有ααααQ Q A H H H =．设)()(1n c c Q ，， ='α，则22111n n n c c c c c c A H ++=++= αα＞0．所以A 是正定的Hermite 矩阵．1)⇔ 6)。

酉空间中三种线性变换之间的关系

酉空间中三种线性变换之间的关系X王秀芳(连云港师范高等专科学校数学系,江苏连云港222006)摘要:酉空间中两种重要的线性变换;酉变换和Hermi te变换,本文给出另一线性变换)))对合变换,以及三种线性变换之间的关系.关键词:酉空间;酉变换;Hermi te变换;对合变换中图分类号:O151.2文献标识码:A定义1、数域F上n维向量空间V的一个线性变换R称为对合变换,如果R2=I,I为单位变换.如果F=C,则称R为酉空间的对合变换.定义2、如果n阶矩阵A满足条件A2=E,E为单位矩阵,则称A为对合矩阵.定理1、设R是n维酉空间V的一个线性变换,R为对合变换的充要条件是:R关于V的任意标准正交基的矩阵都是对合矩阵.证明:必要性:设R是酉空间V的一个对合变换,e1,e2, ,,e n,为V的任意一个标准正交基,R关于e1,e2,,,e n,的矩阵为A=(a ij),由R2=I可得R2(e i)=e i(i=1,2,,,n).所以(R2(e1),R2(e2),,,R2(e n))=(e1,e2,,,e n)E,而R2关于e1,e2,,,e n的矩阵为A2,所以A2=E.充分性:设R(e1,e2,,,e n)=(e1,e2,,,e n)A,则R2(e1,e2,,,e n)=(e1,e2,,,e n)A2因为A2=E,所以R2(e1,e2,,,e n)=(e1,e2,,,e n)E,所以R2(e i)=e i(i=1,2,,,n),P A I V,A=x1e1+x2e2+,+x n e n,R2(A)=x1R2(e1)+x2R2(e2)+,+x n R2(e n)=x1e1+x2e2+,+x2e n=A.所以R2=I.定义3、n维酉空间V的一个线性变换称为酉变换,如果R满足条件:对P A,B I V有(R(A)),R(B))=(A,B).定义4、n阶复矩阵A称为酉矩阵,如果A满足A*A= E其中A*为A的共轭转置.定理2、设R是酉空间V的线性变换,则R为酉变换的充要条件是:R在V的任意标准正交基下的矩阵是酉矩阵.证明见文=1>p384定义5、酉空间V上的线性变换R称为Her mite变换,如果R满足条件:对P A,B I V有(R(A),B)=(A,R(B)).定义6、n阶复矩阵A称为Hermite矩阵,如果A满足A*=A定理3、n维酉空间V上的线性变换R是Hermite变换的充要条件是:R在V的任一标准正交基下的矩阵为Hermite矩阵.证明见文=1>p384定理4、设R是n维酉空间V的一个线性变换,如果R 满足下列三个条件中的任两个,则必满足第三个.1)R为酉变换2)R为Hermite变换3)R为对合变换证明:1),2)]3)因为R为酉变换及Hermite变换,所以对P A,B I V有(A,B)=(R(A),R(B))=(A,R2(B)),(B,A)=(R2(B),A),从而(B,A)=(R22001年3月连云港师范高等专科学校学报Mar,2001第1期Journal of Lianyungang Teachers College No.1 X收稿日期:2000-11-23(B),A),(B-R2(B),A)=0,所以B-R2(B)与A正交,由A的任意性,可得B-R2(B)=0,所以R2(B)=B,所以R2=I.1),3)]2)因为R为酉变换及对合变换,所以对P A,B I V有(R(A),B)=(R(A),R2(B)=(A,R(B)),所以R为Hermite变换.2),3)]1)因为R为酉变换及对合变换,所以对P A,B I V有(R(A),R(B))=(A,R2(B))=(A.B).所以R为酉变换.与定理4平行可得:定理5、如果n阶复矩阵A满足下列三个条件中的两个,则必满足第三个1)A为酉矩阵2)A为Hermite矩阵3)A为对合矩阵.参考文献:[1]丘维声编著.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1996.[2]北京大学编.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1988.[3]邹本强.欧氏空间中三种线性变换之间的关系[J].数学通报1999,(5).作者简介:王秀芳,1961年生,现为连云港师范高等专科学校数学系党总支书记,讲师。

12.酉空间的定义与性质,酉变换

1

1

1, 因此, 向量
1

是与同方向长度1的向量, 叫单位向量.
4
定理1 (Cauchy-Schwarz不等式) 在酉空间中向量的内积满足: |( |2 (, )(, ) 其中等号成立当且仅当与线性相关. (1)
证明若线性无关, 则对任意复数 x 都有 x 0, 那么 x x |x|2Re( x) 由正定性有 > 0, > 0, 取 x = -(, )/ , 可得 | | / .
因为 > 0, 所以 > | |. 假若线性相关, 如果中有一个为0, 显然(1)式等号成立, 因此不妨设 k 那么 | | |k |
|k|2 2 k k (, )(, ).
n n n ( , ) xi i , y j j xi yi X T Y . j 1 i 1 i 1
14
定理5 设 W 是酉空间 V 的子空间, 则 V W W . 证明设 dim V = n, 1, 2,, n 是 V 的一组标准正交基, dim W = m, 1,, m 为 W 的一组标准正交基, 它们在 1, , n 下的坐标为 X1,, Xm, 以它们的共轭转置为行组成的 m 行 n 列的矩阵记为 A, r(A) = m, 齐次线性方程组 AX = 0 的解空间 N(A) 的维数为 n-m, 记 N(A) 的一组标准正交基为 Xm+1, Xm+2,, Xn, 并设 m+1,, n 在 1, 2,, n 下的坐标为 Xm+1, Xm+2,, Xn, 则 m+1,, n 即为 W 的一组标准正交基. 故 V W W .

酉变换和对称变换.

UU T U TU I .
与定理8.2.6平行，我们有定理8.5.1 n维酉空间的一个规范基到另一个规范基的过渡矩阵是一个酉矩阵.
四、酉变换和对称变换
定义1 酉空间V的一个线性变换σ叫作一个酉变换，如果对于任意的，都有 , V ( ), ( ) , . 定理8.6.1 设V 是一个n 维酉空间，σ是V 的一个酉变换，那么σ把V 的任意一个规范正交基仍变成 V 的一个规范正交基；反过来，如果σ把V 的某一规范正交基仍旧变成V 的一个规范正交基，那么σ 是V 的一个酉变换.
如果一个正交组的每一个向量都是单位向量,就称这个
正交组是一个规范正交组.
定义
令W是酉空间V的一个有限维

子空间.令
W { V | , =0对一切 V }.
W 则也是V的子空间,叫作V的正交补.
由定理8.2.4相平行，有
V W W

定义2
一个n阶复矩阵U叫作一个酉矩阵，如果
例1 在 C n 里,对于任意两个向量
( x1, x2 ,..., xn ), ( y1 , y 2 ,..., y n )
规定 , x1 y1 x2 y2 ... xn yn ,
n C 则对于这个内积来说作成一个酉空间.
二、酉空间的性质
设V为酉空间， , , V , a C
成立，那么就称σ是一个对称变换.
定义3 n阶复矩阵H叫作一个埃尔米特（Hermite）矩阵，如果
HT H
T T ( H 表示将 H 的元素换成它们共轭所得的矩阵）.
定理8.6.3 设σ是n维酉空间V的一个对称变换，那么σ关于V的任意规范正交基的矩阵是埃尔米特矩阵. 反过来,如果σ关于V的某一规范正交基的矩阵是埃尔米特矩阵，那么σ是V的一个对称变换.

线性代数下12对称变换-双线性函数与酉空间

问题：对称阵(A=AT)
对应何种变换？
3
本讲提要
对称变换 & 双线性函数 & 酉空间
一、对称变换与对称矩阵二、双线性函数
1、双线性函数的度量矩阵 2、对称双线性函数与二次型的关系
三、酉空间：具有内积的复线性空间
1、酉空间的内积定义 2、酉空间的标准正交基(SOB)
四、酉变换与酉矩阵
4
一、对称变换与对称矩阵
(1) ( , ) =( , ); (Hermite 性质 ) (2) (k +l , ) =k( , ) + l( , ); (第一位置线性) (3) ( , )≥0, 且等号成立当且仅当 = ; (正定性) 则称 , )为V中关于与的内积. 定义了内积的复线性空间称为酉空间.
13
注：由性质(1)与(2)知，对第二位置的线性运算，有
定义10.3 设σ是n维Euclid空间 V 的线性变换，∀ , ∈V, 总有 (σ( ), ) = ( , σ( )), 则称σ是对称变换. 定理10.3 设σ是n维Euclid空间V 的线性变换，则： (1) σ是对称变换 ⇒ σ在任一标准正交基下的矩阵为实对称阵； (2) σ在某一标准正交基下的矩阵为实对称阵 ⇒ σ是对称变换. 注：上述定理给出了Euclid空间中，在标准正交基下对称变换与对称矩阵的对应关系. (1)+(2) ⇒ 若σ在某一标准正交基下的矩阵为实对称阵，则σ 在任一标准正交基下的矩阵为实对称阵. 推论：设σ是n维Euclid空间V 的对称变换，则存在一组标准正交基，使得σ在该基下的矩阵为对角阵. 5
+ + .

15
标准正交基与Schimdt正交化

4.酉空间

酉空间的定义与性质［酉空间与欧氏空间］设V 为一个复数域F 上的线性空间，若在V 中定义了两个欠量a ,P 的内积（数量积），记作（a ,E ）,且满足：（i ）（ a , E ） = （ E ,0t ），其中（P ,0t ）是（E ,a ）的共钥复数；（ii ）（ a ,a ）芝0,等号当且仅当a =0时成立；（iii ） 01* &2^2, B ） =a i （ct i , E ）&2（任2, B ）,对任意 «i ^2^ e V, a 1,a^ F 成立;则称V 为一酉（U ）空间，乂称为内积空间.若F 是实数域，这时内积是可交换的.有限维实酉空间称为欧氏空间.例n 维线性空间V n 中，若规定（:":）=（a 〔b i a 2&2 -，an b n ）式中（a a ,b P ） = ab （。

，P ）（,「，）=（,：•）（"：）一般，务，0吁,％,用衣（i=1,2，…，n ）则 n n n （a"i ,'、b i\） = L aE （:., :i ） 0 i 2 \=1（0, ：） =（： ,0） =0［模（范数）］由丁（％◎）=（%〃），所以（吃口）是实的.令叫| = J （a 。

）称它为酉空间V 中欠量口的模或范数.模为1的欠量称为单位欠量或标准欠量.设a , 6为酉空间的欠量，C 为一复数，则1。

国| = c ||a||2°|（口，P ）M|圳E| （柯西-施瓦兹不等式）等号当且仅当a 和6线性相关时成立.3o III |这些性质与空间的维数无关.［正交与标准正交基］酉空间V 中，若（a , B ） = 0，则称欠量a 正交丁 6 .显然，若a 正交丁 6 ,贝U 6也正交丁 a .酉空间中，任意一组两两正交非零欠量是线性无关的 .如果一组单位欠量两两正交，则称它为一个标准正交组.若这欠量组乂生成整个空间 V, 则称它为V 的标准正交基.。

酉空间的性质及其应用

1. 酉空间定义及性质∙ 欧氏空间是定义了内积的实线性空间, 酉空间实际上就是复数域上的欧氏空间. 其定义如下:设V 是复数域上的线性空间, 在V 上定义了一个二元复函数, 称为内积, 记作(α, β), 它具有以下性质: (1) , 这是表示的共轭复数.(2) (),k αβ=k (),αβ(3) (),αβγ+= (),αβ+(),βγ(4) (),αα是非负实数, 且(),αα=0当且仅当α=0其中α, β,γ是V 中任意的向量, k 为任意复数. 这样的线性空间称为酉空间.∙ 例. 复数域上的n 维行向量空间C n 中, 对向量α=(a 1, a 2,…, a n ), β=(b 1,b 2, …,b n )定义内积则C n 就成为一个酉空间.∙酉空间的结构和性质的讨论与欧氏空间雷同, 先将酉空间的主要性质列于下面, 但要注意与欧氏空间之间的异同之处. (1) 内积对于第二个变量是半线性的, 即(2) 定义向量α的长度为 . 于是 |α|=0 当且仅当α=0(3) 柯西─施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式成立, 即|(α,β)|≤|α| |β|而且, 当且仅当α, β线性相关时等号成立.(4)两个非零向量α, β的夹角为(5)若(α,β)=0,则称α与β正交. 若非零向量组a1, a2,…, a s中向量两两正交,即当i≠j时有(αi,αj)=0, 则称为正交向量组, 它们是线性无关的向量组.(6)酉空间的基ε1, ε2,…, εn若满足(εi, εj)=δij , 1≤i,j≤n则称为标准正交基.在标准正交基下, 向量的坐标有如下形式: 设向量α在标准正交基下的坐标为X=(x1,x2,…,x n)´, 则在标准正交基下, 向量的内积有如下形式: 设向量α和β在标准正交基下的坐标分别为X=(x1,x2,…,x n)´, Y=(y1,y2,…,y n)´, 则(7)设A是n×n复矩阵, 且满足, 则称A为酉矩阵.若A, B都是酉矩阵, 则A-1,AB也是酉矩阵; 又|A|=1.从标准正交基到标准正交基的过渡矩阵为酉矩阵.(8)对n维酉空间的任一组基a1, a2,…, a n,用施密特正交化方法,可找到标准正交基ε1, ε2,…, εn, 使得L(ε1, ε2,…, εk)=L(a1, a2,…, a k), 1≤k≤n .(9)设W是酉空间V的子空间,则定义W的正交补为W⊥={a∈V |a⊥W}如果V是有限维酉空间, 则。