高中数学二次函数

2a
开口方向 区间与对称轴 的位置关系
①当 x0<m 时, f(x)min=f(m); ②当 x0>n 时, f(x)min=f(n).
③当 x0< m n 时, f(x)max=f(n);
2 ④当 x0> m n 时, f(x)max=f(m); 2
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求二次函数的解析式 题 型一 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1, 且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数． 2 2 2 解 方法一 设 (x x ＝ ax ＋ bx ＋ c a ≠0) ， 解 ::: 方法一 ))＝ ax bx ＋ c ≠0) ， 解 方法一 设 设ff( f ( x ) ＝ ax＋ ＋ bx ＋ c((a ( a ≠0) ， 4 a ＋ 2 b ＋ c ＝－ 1 ， 4 a ＋ 2 b ＋ c ＝－ 1 ， 4 a ＋ 2 b ＋ c ＝－ 1 ， a － b ＋ c ＝－ 1 ， a － b ＋ c ＝－ 1 ， a － b ＋ c ＝－ 1 ， 依题意有 依题意有 依题意有 22 2 4 ac － b 44 ac － bb ac － ＝ 8 ， ＝ 8 ， ＝ 8 ， 4 a 4 a 4 a
探究提高
例4.设a为 实 数 ， 函 数 f ( x) x 2 x a 1, x R (1)判 断 函 数 f ( x)的 奇 偶 性 ; (2)当a 1时 ， 求 f ( x)的 最 小 值 。
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二 次 函 数 （二）
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1.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式 三者之间的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 Δ=b2-4ac
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题型二
二次函数单调性问题
例 2.已 知 函 数 f ( x) x 2 (1 2a ) x 1 求a的 取 值 范 围 。
- 4,6上 是 单 调 函 数 ， (1) y f ( x)在 区 间
( 2) y f ( x ) 在 定 义 域 上 有 四 个 不 的 同单 调 区 间 ， 求a的 取 值 范 围 。 (3) y f ( x) 在 定 义 域 上 有 四 个 不 的 同单 调 区 间 ， 求a的 取 值 范 围 。
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2 解:方法二 设 f(x)＝a(x－ m ) 22 ＋n. ∵f(2)＝f(－1)， 2 2 解 方法二设设 设 x )a ＝ ( － m ＋ n f (2) ＝ f ( － 1) ， 方法二 f(x )( ＝ (a xa － m ) ＋ n .n ∵ f∵ (2) ＝ f ( － 1) ， 解 :: 方法二 ff ( x )＝ ( xx － m ))＋ . .∵ f (2) ＝ f ( － 1) ， 1 1 2 (1) 1 (( 1) ∴抛物线对称轴为 x＝ 1 . ∴m ＝ 1 . 11 1 2 1) ＝ 22 ( 1) 2 2 ∴ 抛物线对称轴为 x ＝ ＝ ∴ m ＝ ∴ 抛物线对称轴为 ＝ ...∴ m ＝ ..2 ∴ 抛物线对称轴为x x ＝ 222 ＝ ＝2 ∴ m ＝2 . 22 22 又根据题意函数有最大值为 n ＝ 8 ， 又根据题意函数有最大值为 n ＝ 又根据题意函数有最大值为 n ＝ 8， ， 又根据题意函数有最大值为 n ＝ 88 ， 2 1 2 y f ( x ) a ( x ) 1 2 2 8. 2 1 1 y f ( x ) a ( x ) 8. fx (x ) ax (x 8. yy f ( ) a( 2 ) ) 8. 2 2 2 ∵ ＝－ ， ∵ f(2) (2) ＝－ 1 ∵ f (2) ＝－ 1， ， ∵ ff(2) ＝－ 11 ， 2 1 1 222 8 1, 2 1 1 a (2 ) 1, a(2 (2 2 8 1, aa (2 ))) 88 1, 2 22 解之，得 a ＝－ 4. 解之，得 4. 解之，得 a ＝－ 4. 解之，得 a ＝－ 4. 2 1 2 2 1 2 8 42 22 4 x 7. 2 1 1 f ( x ) 4( x ) x 8 4 x 4 x 7. ((x ))) 4( xx ))) 8 4 x 4 x 7. (x x 4( 8 4 x 4 x 7. fff 2 2 2
二 次 函 数 （一）
要点梳理
忆一忆知识要点
1. 二次函数的定义与解析式
(1)二次函数的定义 形如:f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)的函数叫做二次函数.
(2)二次函数解析式的三种形式
y=ax2+bx+c (a≠0) ①一般式：__________________. ②顶点式：__________________, (m, n) y=a(x-m)2+n(a≠0) 顶点为______. x1, x2 是 ③零点式：____________________, y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 其中_______ 方程ax2+bx+c=0的两根.
a<0 ( , b ] 上递增 2a ( b , ] 上递减 2a
图象
2 b 4 ac b b ( , ) x ②顶点:_________ ①对称轴 : ______ 2 a 4 a 2a 特点
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要点梳理
忆一忆知识要点
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)
3.与坐标轴的交点 (0, c) ①与y轴的交点是________; ②当Δ>0时，与x轴两交点的横坐标 x1、x2分别是方程ax2＋ bx＋c＝0的两根． 且|x1-x2|=______;
(1 2a) 1 2a 对称轴x 2 2
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题型三
二次函数最值问题
- 1,4上的最值。 例3 （ .1 ）求函数 f ( x) x 2 2x 2在区间 轴定区间定
t, t 1上的最值。 （ 2 ）求函数 f ( x) x 2 2x 2在区间
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2．二次函数的图象和性质
图象
定义域 值域 奇偶性 a>0
函数性质
x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定) a<0 2 2 4 ac b 4 ac b ( , ] [ , ) 4a 4a b＝0时为偶函数， b≠0时既非奇函数也非偶函数 a>0 单调性
( , b ] 上递减析式有三种形式： (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k (a≠0)； (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 已知函数的类型(模型),求其解析式,用待定系数法,根据 题设恰当选用二次函数解析式的形式,可使解法简捷．
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R Ø
要点梳理
2.不等式 ax2+bx+c>0 恒成立问题
a b 0 a 0 或 2 b 4ac 0 c 0 a b 0 a 0 2 或 ② ax +bx+c<0在R上恒成立 2 b 4ac 0 c 0 ③ f(x)=ax2+bx+c>0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立
a ＝－ 4 ， a ＝－ 4 ， a ＝－ 4 ， b ＝ 4 ， 得 b ＝ 4 ， 得 b ＝ 4 ， 得 c ＝ 7 ， c ＝ 7 ， c ＝ 7 ， 2 2 2 ∴ 所求二次函数为 y ＝－ 4 x ＋ 4 x ＋ 7. ∴ 所求二次函数为 ＝－ 44 xx＋ 4 x ＋ 7. ∴ 所求二次函数为yy ＝－ ＋ 4 x ＋ 7.
① ax2+bx+c>0在R上恒成立
f(x)min>0(x∈[m, n])
④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0) 在 [m,
f(x)max<0(x∈[m, n])
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f (m ) 0 n] 上恒成立 f ( n) 0
例1. 关于x的不等式 2 x 9 x m ≤ 0 在区间[ 2, 3] m≤9 上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
y
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 方程ax2+bx +c=0的根
y
y
x1 o
x2 x
2
o
x1
x
o
1
x
有两不等实 根x1, x2
有两相等 实根x1=x2
无实根
ax2+bx+c>0 {x|x<x , x>x } {x|x≠x } 2 1 1 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 {x|x1<x<x2} Ø (a>0)的解集
轴定区间动 (3)求函数 f ( x) x 2 ax 1, x [1,1]的值域 轴动区间定 b y ① － <k1； 小结：一般 2a
分以下四种 情况讨论：
b k1＋k2 ②k1≤－ < ； 2a 2 k1＋k2 b ③ ≤－ <k2； 2 2a b ④－ ≥k2. 2a
o
1
x
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( b ,0) ③当Δ＝0时,与x轴切于一点________; 2a
|a|
不相交． ④当Δ<0时，与x轴_______
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要点梳理
忆一忆知识要点
4. 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m, n]上的最值 (1)若 x0 b ∈[m, n], 则 2a 2 4 ac b f(x)min= f(x0)= 4a (2)若 x0 b [m, n], 则
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解:方法三 依题意知：f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝ ＝2 2， ，x x2＝－ ＝－1 1，故可设 ，故可设 ff((x x))＋ ＋1 1＝ ＝a a((x x－ －2)( 2)(x x＋ ＋1) 1)， ， x 1 2 解 :方法三 依题意知： () x )＋ 1＝ 的两根为 方法三 依题意知： f(f x ＋ 1＝ 00 的两根为 2 即 ff((x x))＝ ＝ax ax2－ －ax ax－ －2 2a a－ －1. 1. 即 xx ＝ 2 ， x ＝－ 1 ，故可设 fa (( x ) ＋ 1 ＝ a (a x － 2)( x＋ 1)1) ， 2,x ＝－ 故可设 f(x)+1＝ x -2)( x+1) ， a( ≠ 0 22， ＝－ 1，故可设 f ( x )＋ 1＝ x－ 2)( x＋ ， 1x 2x21, 1 2 1＝ 1＝ 又函数有最大值 ymax＝ ＝8 8， ， 2 2 2 又函数有最大值 y max 即 f(x )x ＝ ax － ax － 2a－1. 即 f( )＝ ax － ax 2 －2a－1. 2 4 a ( 2 a 1) ( a ) 2 4 a ( 2 a 1) a 4a( 2a 1) ( a ) ymax 即 8, 8, 又函数有最大值 ＝ 8， 又函数有最大值 y ＝ 8即 ， max max 即 8, 4 a 4a 4a 2 2 2 4a a4 ( 2 2 a2 1) ( ( a a ) 4 ( a ) a ( a1) 1) ( a ) 解之，得 a ＝－ 4 或 a ＝0( 0(舍去 舍去))． ． 即 8, 即 8, 即 a 8, 解之，得 a ＝－ 4 或 ＝ 4a a4a 4 2 2 ∴函数解析式为 函数解析式为 ff((x x))＝－ ＝－4 4x x＋ ＋4 4x x＋ ＋7. 7. ∴ 解之，得 a＝－ 4或 a＝ 0(0( 舍去 )． 解之，得 a＝－ 4或 a＝ 舍去 )． 2 2 2 ∴ 函数解析式为 f ( x ) ＝－ 4 x ＋ 4x ＋ 7. 7. 探究提高 ∴ 函数解析式为 f(x)＝－4x ＋ 4 x＋