北京化院附中2012年上学期高二数学期中考试
北京市海淀区进修学校2012-2013学年高二上学期期中 数学理试题
2012—2013学年度第一学期期中练习高二数学 （理科)7a 的值为D ．48 }{n a 的公差是D ．360，角A 等于° D.30° 则A ．22b a<B ．ab a<2C ．1>b aD ．ab b>25。
顶点为原点,焦点为)1,0(-F 的抛物线方程是( ) A.x y 22-= B. x y 42-= C. y x 22-= D.y x 42-=6.双曲线22142x y -=的焦点坐标是（ ） A ．(6,0),(6,0)- B ．(6,0),(6,0)- C ．(2,0),(2,0)-D ．(2,0),(2,0)-7。
在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中, 12,F F 为其左、右焦点，以21F F 为直径的圆与椭圆交于D C B A ,,,四个点，若21,F F ，D C B A ,,,恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率为 ( ) A 。
21-B 。
22 C 。
31- D.328．已知数列{}na 的通项公式为13n a n =-,那么满足119102kk k a a a +++++=的整数k （ ）A 。
有3个B 。
有2个 C.有1个 D.不存在 二。
填空题:本大题共6小题, 每小题4分,共24分。
把答案填在题中横线上. 9．抛物线x y22=上横坐标为2的点到其焦点的距离为________10。
在ABC ∆中，3,5,120a b C ===,则=11.渐近线为xy 3±=且过点(1,3)的双曲线的标准方程是___________12. 已知递增的等差数列{}na 满足21321,4aa a ==-，则_____n a = 13. 已知数列{}na 对任意的*,N q p ∈满足qp q p a a a +=+且62-=a ,那么=10a 。
14.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交,交点的个数最多是 ，其通项公式为 . ks5u三。
北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案
北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又 圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。
2012-2013学年北京某校高二(上)期中数学试卷(文科)(附答案解析)
2012-2013学年北京某校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题4分，共40分）1. 直线3x+√3y+1=0的倾斜角是( )A.30∘B.60∘C.120∘D.135∘2. 下列命题中，错误的是（）A.平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必与另一个平面相交D.一条直线与两个平行平面所成的角相等3. 若直线2x+3y+8=0，x−y−1=0和x+ky=0相交于一点，则k=()A.−12B.12C.−2D.24. 已知各面均为等边三角形的三棱锥的棱长为2，则它的表面积是（）A.√3B.2√3C.4√3D.8√35. 已知点A(a, 2)(a>0)到直线l:x−y+3=0的距离为√2，则a=()A.1B.2C.3D.46. 直线kx−y+1=3k，当k变动时，所有直线恒过定点坐标为()A.(0, 0)B.(0, 1)C.(3, 1)D.(2, 1)7. 半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积为（）A.2√2RB.4π3R3 C.89√3R3 D.19√3R38. 如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为（）A.15π B.18π C.22π D.33π9. “m=−2”是“直线(m+1)x+y−2=0与直线mx+(2m+2)y+1=0相互垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：①α // β⇒l⊥m，②α⊥β⇒l // m③l // m⇒α⊥β④l⊥m⇒α // β正确的命题是（）A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③二、填空题（每小题4分，共24分）已知a，b是两条异面直线，直线c // a，那么c与b的位置关系是________．以原点O向直线l作垂线，垂足为点H(−2, 1)，则直线l的方程为________．已知圆C的方程为x2+y2−2y−3=0，则圆心坐标为________．直线l1:x+my+6=0与直线l2：(m−2)x+3y+2m=0互相平行，则m的值为________．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90∘，PA⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角（3）求三棱锥D−D1OC的体积．形．过点P(2, 0)与圆x2+y2+2y−3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是________．三、解答题（共36分）已知经过直线l1:3x+4y−5=0与直线l2:2x−3y+8=0的交点M，（1）过原点和点M的直线方程；（2）过点M且与直线2x+y+5=0平行的直线方程；（3）过点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程．（注意：求出的直线方程要化成一般式）已知圆C的圆心在直线x−y=0上，且过定点A(√5, 2√5)，B(−3, −4)．（1）求圆C的方程；（2）求斜率为2且与圆C相切的直线的方程．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E为BB1的中点．（1）求证：直线B1D // 平面AEC；（2）求证：B1D⊥平面D1AC；参考答案与试题解析2012-2013学年北京某校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题4分，共40分） 1.【答案】 C【考点】 直线的倾斜角 【解析】将直线方程化为斜截式，得到直线的斜率后求其倾斜角． 【解答】解：将直线方程化为：y =−√3x −√33， 可得，直线的斜率为−√3， 所以倾斜角为120∘， 故选C . 2.【答案】 A【考点】命题的真假判断与应用空间中直线与平面之间的位置关系 空间中平面与平面之间的位置关系【解析】平行于同一直线的两个平面平行或相交；由平面平行的判定定理知B 正确；由平面平行的性质定理知C 正确；由平面平行的性质定理知D 正确． 【解答】解：平行于同一直线的两个平面平行或相交，故A 不正确；由平面平行的判定定理知：平行于同一平面的两个平面平行，故B 正确； 由平面平行的性质定理知：一条直线与两个平行平面中的一个相交， 那么这条直线必与另一个平面相交，故C 正确；由平面平行的性质定理知：一条直线与两个平行平面所成的角相等，故D 正确． 故选A ． 3.【答案】 A【考点】两条直线的交点坐标 【解析】先由{2x +3y +8=0x −y −1=0求出直线2x +3y +8=0和x −y −1=0的交点为(−1, −2)．再由三条直线2x +3y +8=0，x −y −1=0和x +ky =0相交于一点，知(−1, −2)在直线x +ky =0上，由此能求出k 的值．【解答】解：由{2x +3y +8=0x −y −1=0解得x =−1，y =−2，∴ 直线2x +3y +8=0和x −y −1=0的交点为(−1, −2)．∵ 三条直线2x +3y +8=0，x −y −1=0和x +ky =0相交于一点， ∴ (−1, −2)在直线x +ky =0上， ∴ −1−2k =0， 解得k =−12． 故选A ． 4.【答案】 C【考点】柱体、锥体、台体的面积求解 【解析】由题意知，三棱锥的各个面都是边长为2的等边三角形，求出一个面的面积，乘以4可得它的表面积． 【解答】解：∵ 三棱锥的棱长为2，各面均为等边三角形，三棱锥的一个侧面的面积为12×2×2×√32=√3，故它的表面积为4√3， 故选C ． 5.【答案】 A【考点】点到直线的距离公式 【解析】直接利用点到直线的距离公式，求解即可． 【解答】解：点A(a, 2)(a >0)到直线l:x −y +3=0的距离为√2， 所以√2=√2，即|a +1|=2，因为a >0，所以a =1．故选A ． 6. 【答案】 C【考点】 直线恒过定点 【解析】将直线的方程变形为k(x −3)＝y −1 对于任何k ∈R 都成立，从而有 {x −3=0y −1=0 ，解出定点的坐标．【解答】解：由kx −y +1=3k ，得k(x −3)=y −1，对于任何k∈R都成立，则{x−3=0，y−1=0，解得x=3，y=1，故选C.7.【答案】C【考点】球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】根据半径为R的球内接一个正方体，根据正方体的对角线过原点，可以求出正方体的棱长，从而根据体积公式求解；【解答】解：∵半径为R的球内接一个正方体，设正方体棱长为a，正方体的对角线过球心，可得正方体对角线长为：2+a2+a2=2R，可得a=3，∴正方体的体积为a3=(√3)3=8√3R39，故选C；8.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】该几何体是一个组合体，上部是半球，下部是到放的圆锥，依据所给数据求解即可．【解答】解；该几何体是一个组合体，上部是半球，半径是3，下部是到放的圆锥，半径是3，高是（4）该几何体的表面积：S＝S上+S下=2π32+12×6π×5=33π．9.【答案】A【考点】两条直线垂直的判定【解析】先求两条直线有斜率垂直时m的值，再求一条直线斜率不存在时m的值，判断充要条件即可．【解答】解：因为直线(m+1)x+y−2=0与直线mx+(2m+2)y+1=0相互垂直，所以斜率相乘等于−1，可得m=−2，当直线mx+(2m+2)y+1=0没有斜率时，m=−1也符合．故选A．10.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．【解答】解：∵l⊥α，α // β，∴l⊥β，又直线m⊂β，故有l⊥m，即①正确；∵l⊥α，α⊥β，∴l // β，或l⊂β，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵l⊥α，l // m，∴m⊥α，又m⊂β，故有α⊥β，即③正确．∵l⊥α，l⊥m，∴又m⊂β，此时α与β可能相交可能平行，故④错误；故选D二、填空题（每小题4分，共24分）【答案】相交或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】两条直线的位置关系有三种：相交，平行，异面．由于a，b是两条异面直线，直线c // a则c有可能与b相交且与a平行，但是c不可能与b平行，要说明这一点采用反证比较简单．【解答】解：∵a，b是两条异面直线，直线c // a∴过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交．另外c与b不可能平行理由如下：若c // b则由c // a可得到a // b这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面．故答案为：相交或异面．【答案】2x−y+5=0【考点】直线的一般式方程【解析】先求出垂线的斜率，即可得到直线l的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：垂线的斜率为1−0−2−0=−12，则直线l的斜率为2，又直线经过点H(−2, 1)，由点斜式得y−1=2(x+2 )，即2x−y+5=0，故答案为：2x−y+5=0．【答案】(0, 1)【考点】圆的标准方程【解析】将题中的圆化成标准方程，得x2+(y−1)2=4，由此即可得到圆心的坐标．【解答】解：将圆C:x2+y2−2y−3=0化成标准方程，得x2+(y−1)2=4∴圆C表示以(0, 1)为圆心，半径r=2的圆．故答案为：(0, 1)【答案】−1【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系两条直线平行的判定【解析】利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，解方程求的m的值．【解答】解：由于直线l1:x+my+6=0与直线l2：(m−2)x+3y+2m=0互相平行，∴1m−2=m3≠62m，∴m=−1.故答案为：−1．【答案】4【考点】棱锥的结构特征【解析】本题利用线面垂直，判定出线线垂直，进而得到直角三角形，只需证明直线BC⊥平面PAC问题就迎刃而解了．【解答】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90∘所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．故答案为：4【答案】x−2y−2=0【考点】直线和圆的方程的应用直线的一般式方程直线系方程【解析】由题设条件知，此直线一定过圆心，故可以先求出圆心坐标，然后再用两点式写出所求直线的方程．【解答】解：圆x2+y2+2y−3=0可以变为x2+(y+1)2=4，故其圆心为(0, −1)过点P(2, 0)与圆x2+y2+2y−3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线一定过圆心故直线方程是y−0−1−0=x−20−2整理得：x+2y−2=0故应填x+2y−2=0三、解答题（共36分）【答案】解：：（1）联立两条直线的方程可得：{3x+4y−5=02x−3y+8=0解得x=−1，y=2，所以l1与l2交点M坐标是(−1, 2)．所以过原点和点M的直线方程：2x+y=0．（2）设与直线2x+y+5=0平行的直线l方程为2x+y+c=0因为直线l过l1与l2交点M(−1, 2)所以c=0所以直线l的方程为2x+y=0．（3）与直线2x+y+5=0垂直的直线斜率为：12，∴点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程y−2=12(x+1)，即x−2y+5=0．【考点】两条直线的交点坐标直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】（1）求出两条直线的交点坐标，直接求解过原点和点M的直线方程；（2）设与直线2x+y+5=0平行的直线l方程为2x+y+c=0，把点M代入即可求出与直线2x+y+5=0平行的直线方程；（3）然后利用直线与直线2x+y+5=0垂直，根据斜率乘积为−1，得到所求直线的斜率，写出过点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程即可．【解答】解：：（1）联立两条直线的方程可得：{3x+4y−5=02x−3y+8=0解得x=−1，y=2，所以l1与l2交点M坐标是(−1, 2)．所以过原点和点M的直线方程：2x+y=0．（2）设与直线2x+y+5=0平行的直线l方程为2x+y+c=0因为直线l过l1与l2交点M(−1, 2)所以c=0所以直线l的方程为2x+y=0．（3）与直线2x+y+5=0垂直的直线斜率为：12，∴点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程y−2=12(x+1)，即x−2y+5=0．【答案】解：（1）∵圆C的圆心在直线x−y=0上，∴设圆C方程为(x−a)2+(y−a)2=r2又∵A(√5, 2√5)，B(−3, −4)在圆C上∴{(√5−a)2+(2√5−a)2=r2(−3−a)2+(−4−a)2=r2，解之得a=0，r2=25由此可得圆C的方程为x2+y2=25；（2）设斜率为2且与圆C相切的直线为2x−y+m=0，则圆心到直线的距离等于半径r，即d=22=5，解得m=±5√5∴斜率为2且与圆C相切的直线的方程为2x−y±5√5=0．【考点】圆的标准方程圆的切线方程【解析】（1）根据题意，设圆C方程为(x−a)2+(y−a)2=r2，代入A、B两点的坐标，解得a=0且r2=25，可得圆C的方程；（2）设所求切线的方程为2x−y+m=0，切线到圆心的距离等于半径，由此利用点到直线的距离公式建立关于m等式，解出m的值即可得到所求切线方程．【解答】解：（1）∵圆C的圆心在直线x−y=0上，∴设圆C方程为(x−a)2+(y−a)2=r2又∵A(√5, 2√5)，B(−3, −4)在圆C上∴{(√5−a)2+(2√5−a)2=r2(−3−a)2+(−4−a)2=r2，解之得a=0，r2=25由此可得圆C的方程为x2+y2=25；（2）设斜率为2且与圆C相切的直线为2x−y+m=0，则圆心到直线的距离等于半径r，即d=22=5，解得m=±5√5∴斜率为2且与圆C相切的直线的方程为2x−y±5√5=0．【答案】解：（1）连接OE，在△B1BD中，∵E为BB1的中点，O为BD的中点，∴OE // B1D又∵B1D⊄平面AEC∴直线B1D // 平面AEC．（2）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴B1B⊥AC．∵BD⊥AC且BB1∩BD=B∴B1D⊥AC∴AC⊥B1D 同理可证B1D⊥AD1∵AC∩AD1=A∴B1D⊥平面D1AC．（3）V D−D1OC=V D1−DOC=13⋅DD1⋅S△DOC=13×2×1=23．【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直的判定【解析】（1）利用三角形的中位线性质，线面平行的判定定理．（2）利用线面垂直的判定定理证明AC⊥面BDB1，从而证明AC⊥B1D，同理可证B1D⊥AD1，进而可证；（3）等体积法求三棱锥的体积，三棱锥D−D1OC与三棱锥D1−DOC的体积相等，D1−DOC的高是D1D的长，面积等于底面正方形面积的14，体积可求．【解答】解：（1）连接OE，在△B1BD中，∵E为BB1的中点，O为BD的中点，∴OE // B1D又∵B1D⊄平面AEC∴直线B1D // 平面AEC．（2）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴B1B⊥AC．∵BD⊥AC且BB1∩BD=B∴B1D⊥AC∴AC⊥B1D同理可证B1D⊥AD1∵AC∩AD1=A∴B1D⊥平面D1AC．（3）V D−D1OC=V D1−DOC=13⋅DD1⋅S△DOC=13×2×1=23．。
北京师大附中2012-2013学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷(理科)(有答案)AqqUMn
北京师大附中2012－2013学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 共150分第I 卷（模块卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知过点A （－2，m ）和B （－8,4）的直线与直线01-2=+y x 平行，则m 的值为（ ）A. 0B. －8C. 2D. 10 2. 圆4)2(22=++y x 与圆91)()2(22=-+-y x 的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切D. 相离3. 关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是（ ） A. 若M b M a //,//，则b a // B. 若a b M a ⊥,//，则M b ⊥C. 若,,a M b M ⊂⊂且,l a l b ⊥⊥，则l M ⊥D. 若N a M a //,⊥，则M N ⊥4. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A.122ππ+ B. 144ππ+ C. 12ππ+ D. 142ππ+ 5. 若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A. []3,1--B. []1,3-C. []3,1-D. ),1[]3,(+∞--∞Y 6. 如图，在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ）A. BC//平面PDFB. DF ⊥平面PAEC. 平面PDF ⊥平面ABCD. 平面PAE ⊥平面ABC7. 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于A.46B. 410C. 22D. 23 8. 如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ）A. 点H 是△A 1BD 的垂心B. AH 垂直平面CB 1D 1C. AH 的延长线经过点C 1D. 直线AH 和BB 1所成角为45°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市教育学院附中2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科)(ab卷) Word版含解析
2017-2018学年北京市教育学院附中高二（上）期中数学试卷（理科）（AB卷）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知p：∀x∈R，x＞2，那么￢p为（）A．∀x∈R，x＜2 B．∃x∈R，x≤2 C．∀x∈R，x≤2 D．∃x∈R，x＜22．抛物线y2=﹣8x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．y=2 D．y=﹣23．直线x+ay﹣a=0与直线ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0互相垂直，则a的值是（）A．2 B．﹣3或1 C．2或0 D．1或04．圆x2+y2﹣2x﹣3=0与圆x2+y2+2x+4y+4=0的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．外切 D．内含5．平行线x﹣2y=0与x﹣2y﹣5=0之间的距离为（）A．5 B．C．D．26．过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=47．直线ax+y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣18．椭圆经过点（3，0），且离心率是，则该椭圆的标准方程为（）A． +y2=1 B． +=1C． +y2=1或+=1 D． +y2=1或+=19．已知p：如果x＜1，则x＜2；q：∃x∈R，x2+1=0，则（）A．p∨q是假B．p是假C．p∧q是假D．¬q是假10．“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题11．“若x＜2，则x＜3”的否是______．12．双曲线﹣=1的实轴长为______，离心率为______．13．已知双曲线的一个顶点为（2，0），且渐近线的方程为y=±x，那么该双曲线的标准方程为______．14．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为______．15．圆（x﹣1）2+y2=4的圆心到直线2x﹣y+3=0的距离是______，该圆与直线的位置关系为______．（填相交、相切、相离）16．圆x2+y2﹣4x+4y+6=0截直线x﹣y﹣5=0所得的弦长为______．三、解答题17．已知直线l经过直线x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x+2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．18．已知三个点A（0，0），B（4，0），C（3，1），圆M为△ABC的外接圆．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设直线y=kx﹣1与圆M交于P，Q两点，且|PQ|=，求k的值．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F到直线l：x﹣y+1=0上．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣y+2=0与抛物线C相交于P，Q两点，求|PQ|以及线段PQ中点M的坐标．B卷二、填空题20．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标为______．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于______．22．若抛物线y2=4x上的一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则点M到y轴的距离为______．23．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点与椭圆+=1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为______．24．已知椭圆+y2=1的两个焦点F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，且|PF2|=______．25．若椭圆x2+=1的离心率为，则m的值为______．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）26．已知椭圆+=1与直线y=2x+m交于A，B两个不同点．（1）求m的取值范围；（2）若|AB|=，求m的值．27．已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．2015-2016学年北京市教育学院附中高二（上）期中数学试卷（理科）（AB卷）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知p：∀x∈R，x＞2，那么￢p为（）A．∀x∈R，x＜2 B．∃x∈R，x≤2 C．∀x∈R，x≤2 D．∃x∈R，x＜2【考点】的否定．【分析】直接利用全称否定是特称写出结果即可．【解答】解：因为全称的否定是特称，所以：p：∀x∈R，x＞2，那么￢p为：∃x∈R，x ≤2．故选：B．2．抛物线y2=﹣8x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．y=2 D．y=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=﹣8x的开口向左，2p=8，从而可得抛物线y2=﹣8x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=﹣8x的开口向左，2p=8，∴抛物线y2=﹣8x的准线方程为x==2故选A．3．直线x+ay﹣a=0与直线ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0互相垂直，则a的值是（）A．2 B．﹣3或1 C．2或0 D．1或0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】当a=0时，两直线为x=0或3y=1，则两直线垂直；当a≠0时，由斜率之积等于﹣1求得a的取值的集合，再把a的取值的集合取并集，即得所求．【解答】解析：当a=0时，两直线为x=0或3y=1，则两直线垂直，当a≠0时，两直线的斜率分别为﹣和，可得，解得a=2，此时两直线垂直，故a的取值为0或2．，故选C．4．圆x2+y2﹣2x﹣3=0与圆x2+y2+2x+4y+4=0的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．外切 D．内含【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和两半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，从而可得结论．【解答】解：把两圆化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=4，（x+1）2+（y+2）2=9，∴两圆心坐标分别为（1，0）和（﹣1，﹣2），R=2，r=3，∴两圆心间的距离d==∵3﹣2＜＜3+2，∴两圆的位置关系是相交故选A．5．平行线x﹣2y=0与x﹣2y﹣5=0之间的距离为（）A．5 B．C．D．2【考点】两条平行直线间的距离．【分析】根据两平行线之间的距离为，运算求得结果．【解答】解：两平行线x﹣2y=0与x﹣2y﹣5=0，故它们之间的距离为==，故选C．6．过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4【考点】圆的标准方程．【分析】先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．故选C．7．直线ax+y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣1【考点】圆的切线方程．【分析】根据直线ax+y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，得到圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式列出关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵直线ax+y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离等于半径，∴1=，∴，∴a=0故选A．8．椭圆经过点（3，0），且离心率是，则该椭圆的标准方程为（）A． +y2=1 B． +=1C． +y2=1或+=1 D． +y2=1或+=1【考点】椭圆的标准方程．【分析】由题意分椭圆焦点在x轴或y轴分类设出椭圆的标准方程，并得到a（或b）的值，结合已知条件即可求得答案．【解答】解：当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为，则a=3，又，得c=2，∴b2=a2﹣c2=1，椭圆方程为；当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为（a＞b＞0），则b=3，又，a2=b2+c2，联立解得a2=81，b2=9，椭圆方程为．∴椭圆的标准方程为+y2=1或+=1．故选：C．9．已知p：如果x＜1，则x＜2；q：∃x∈R，x2+1=0，则（）A．p∨q是假B．p是假C．p∧q是假D．¬q是假【考点】四种的真假关系．【分析】由已知中p：如果x＜1，则x＜2；q：∃x∈R，x2+1=0，结合实数的性质，我们可以判断出p与q的真假，再由复合的真值表，分别判断四个答案的真假，即可得到结论．【解答】解：∵p：如果x＜1，则x＜2为真，故B错误；又∵q：∃x∈R，x2+1=0，为假故p∨q是真，故A错误，p∧q是假，故C正确；¬q是真，故D错误；故选C10．“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】椭圆的标准方程．【分析】由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab ＞0”，所以∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．【解答】解：∵由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，例如a＜0，b＜0时，“方程ax2+by2=1不表示椭圆”．“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab＞0”，∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．二、填空题11．“若x＜2，则x＜3”的否是“若x≥2，则x≥3”．【考点】四种．【分析】根据“若p，则q”的否是“若￢p，则￢q”，写出它的否即可．【解答】解：“若x＜2，则x＜3”的否是“若x≥0，则x≥3”．故答案为：“若x≥2，则x≥3”．12．双曲线﹣=1的实轴长为4，离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线方程求解实轴长，离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1可得a=2，b=3，c=，双曲线的实轴长为：4，离心率为：．故答案为：4；．13．已知双曲线的一个顶点为（2，0），且渐近线的方程为y=±x，那么该双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】由双曲线的渐近线的方程为y=±x，可知双曲线为等轴双曲线，且e==，根据顶点为（2，0），即可求得a和b的值，求得双曲线方程．【解答】解：双曲线的渐近线的方程为y=±x，∴双曲线为等轴双曲线，且e==，∵双曲线的一个顶点为（2，0），c2=a2+b2，∴a=b=2，∴双曲线的标准方程为：．故答案为：．14．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为﹣8．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率k也是﹣2，∴解得：m=﹣8故答案为：﹣815．圆（x﹣1）2+y2=4的圆心到直线2x﹣y+3=0的距离是，该圆与直线的位置关系为相离．（填相交、相切、相离）【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【分析】圆（x﹣1）2+y2=4的圆心是（1，0），利用点到直线的距离能求出圆心到直线2x﹣y+3=0的距离，再由圆的半径能判断出该圆与直线的位置关系．【解答】解：∵圆（x﹣1）2+y2=4的圆心是（1，0），∴圆心（1，0）到直线2x﹣y+3=0的距离d==，∵圆（x﹣1）2+y2=4的半径r=2＜，∴该圆与直线相离．故答案为：，相离．16．圆x2+y2﹣4x+4y+6=0截直线x﹣y﹣5=0所得的弦长为．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心坐标，求出半径，利用圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，即可得到结果．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y+6=0的圆心坐标（2，﹣2），半径为；圆到直线的距离为：=，又因为半径是，所以半弦长为=；弦长为．故答案为．三、解答题17．已知直线l经过直线x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x+2y﹣1=0．（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ． 【考点】直线的一般式方程；三角形的面积公式． 【分析】（1）联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点P 的坐标，根据直线l 与x +2y ﹣1=0垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为﹣1，可设出直线l 的方程，把P 代入即可得到直线l 的方程；（2）分别令x=0和y=0求出直线l 与y 轴和x 轴的截距，然后根据三角形的面积函数间，即可求出直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：（1）由解得，由于点P 的坐标是（﹣，）．则所求直线l 与x +2y ﹣1=0垂直，可设直线l 的方程为2x ﹣y +m=0．把点P 的坐标代入得2×（﹣）﹣+m=0，即m=．所求直线l 的方程为2x ﹣y +=0．即14x ﹣7y +26=0．（2）由直线l 的方程知它在x 轴．y 轴上的截距分别是﹣．，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S=×=．18．已知三个点A （0，0），B （4，0），C （3，1），圆M 为△ABC 的外接圆． （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）设直线y=kx ﹣1与圆M 交于P ，Q 两点，且|PQ |=，求k 的值． 【考点】圆的一般方程． 【分析】（Ⅰ）设出圆的一般式方程，代入三个点的坐标联立方程组求得D ，E ，F 的值，则圆的方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆M 的圆心为（2，﹣1），半径为，结合弦长求得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式求得k 的值． 【解答】解：（Ⅰ）设圆M 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0． ∵点A （0，0），B （4，0），C （3，1）在圆M 上，则，解得：D=﹣4，E=2，F=0．∴△ABC 外接圆的方程为x 2+y 2﹣4x +2y=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）圆M 的圆心为（2，﹣1），半径为．又，∴圆M 的圆心到直线y=kx ﹣1的距离为．∴，解得：k2=15，k=．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F到直线l：x﹣y+1=0上．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣y+2=0与抛物线C相交于P，Q两点，求|PQ|以及线段PQ中点M的坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）根据抛物线的标准方程，将焦点F（0，p）代入直线l方程算出p=2，即可得到抛物线C的方程；（2）将直线l方程与抛物线C消去y，得x2﹣x﹣1=0．由根与系数的关系和中点坐标公式，即可算出线段PQ中点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，p）∴0﹣p+1=0，可得p=2，因此抛物线C的方程是x2=4y；（2）由，消去y得x2﹣x﹣1=0设P（x1，y1），Q（x2，y2）∴x1+x2=4，可得中点M的横坐标为（x1+x2）=2，代入直线l方程，得纵坐标为y M=x M+1=3．即线段PQ中点M的坐标（2，3）．B卷二、填空题20．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标为（0，﹣）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将抛物形式化简为标准形式，求出p的值，进而得到焦点坐标．【解答】解：抛物线的标准形式是，p=∴焦点坐标为：（0，﹣）故答案为（0，﹣）21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍，，可求椭圆的离心率．【解答】解：由题意，∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b∴∴=故答案为：22．若抛物线y2=4x上的一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则点M到y轴的距离为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求解即可．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标（1，0），抛物线y2=4x上的一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则M到准线的距离为5，则点M到y轴的距离为：4．故答案为：4．23．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点与椭圆+=1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据椭圆的标准方程求出c，利用双曲线的离心率建立方程求出a，b，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵椭圆的标准方程为+=1，∴椭圆中的a1=5，b1=3，则c=4，∵双曲线的焦点与椭圆+=1的焦点相同，∴双曲线中c=4，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e===2，则a=2．在双曲线中b====2，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x=±x，故答案为：y=±x ．24．已知椭圆+y 2=1的两个焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，且PF 1⊥F 1F 2，且|PF 2|= 3.5 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的性质分别求得|PF 1|+|PF 2|=4，|F 1F 2|=2，由PF 1⊥F 1F 2，根据勾股定理即可求得|PF 2|的值．【解答】解：由椭圆的性质可知：a=2，b=1，c=，|PF 1|+|PF 2|=2a=4，|F 1F 2|=2c=2，由勾股定理可知：|PF 1|2+|F 1F 2|2=|PF 2|2，∴（4﹣|PF 2|）2+12=|PF 2|2，解得：|PF 2|=3.5，故答案为：3.5．25．若椭圆x 2+=1的离心率为，则m 的值为 4或 ． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】当 m ＞1时，由离心率的定义可得=，当 m ＜1时，由离心率的定义知=，解方程求出m 的值．【解答】解：当 m ＞1时，由离心率的定义知=，∴m=4，当 m ＜1时，由离心率的定义知=，∴m=，故答案为：4 或．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）26．已知椭圆+=1与直线y=2x +m 交于A ，B 两个不同点． （1）求m 的取值范围；（2）若|AB |=，求m 的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）通过直线l 与椭圆交于A 、B 两不同点可知联立椭圆与直线方程后的一元二次方程中的根的判别式大于零，进而计算可得结论；（2）利用弦长公式列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵椭圆+=1，直线l ：y=2x +m ，代入椭圆方程化简得：24x 2+20mx +5m 2﹣20=0，∵直线l 与椭圆交于A 、B 两不同点，∴△=400m2﹣4×24×（5m2﹣20）＞0，解得：﹣2＜m＜2；（2）24x2+20mx+5m2﹣20=0，∴x A+x B=﹣=﹣，x A x B=，∴弦AB长为|x A﹣x B|===．解得：m=．27．已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．【解答】解：（1）∵椭圆C：x2+3y2=3，∴椭圆C的标准方程为： +y2=1，∴a=，b=1，c=，∴椭圆C的离心率e==；（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），令x=3，得M（3，2﹣y1），∴直线BM的斜率k BM==1；（3）结论：直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知k BM=1，又∵直线DE的斜率k DE==1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），令x=3，则点M（3，），∴直线BM的斜率k BM=，联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，∵k BM﹣1====0，∴k BM=1=k DE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．2016年9月14日。
2023-2024学年北京师大附属实验中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京师大附属实验中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．如图，E ，F 分别是长方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '的棱AB ，CD 的中点，则AB →+CF →等于（ ）A ．AD ′→B ．AC ′→C ．DE →D ．AE →2．直线x +√3y ﹣1＝0的倾斜角为（ ） A ．30°B ．150°C ．60°D ．120°3．抛物线x 2＝ay 的焦点坐标为（0，1），则其准线方程为（ ） A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝14．如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．则GF →⋅AC →与EF →⋅BC →分别等于（ ）A ．−a 22和a 24B ．a 22和−a 24C ．a 22和a 24D ．−a 22和a 225．设椭圆x 225+y 29=1的两个焦点为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，如果|AB |＝8，那么|AF 2|+|BF 2|的值为（ ） A ．2B ．10C ．12D ．146．抛物线y 2＝4x 上的点与其焦点的距离的最小值为（ ） A ．4 B ．2C ．1D ．127．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的焦点F （3，0）到其渐近线的距离为√5，则双曲线的方程为（ ）A ．x 24−y 25=1B ．x 25−y 24=1C ．x 23−y 26=1D ．x 26−y 23=18．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为棱DD 1的中点，点Q 为面ADD 1A 1内一点，B 1Q ⊥AP ，则（ ）A ．S △A 1D 1Q =2S △A 1AQB ．2S △A 1D 1Q =S △A 1AQC ．2S △A 1D 1Q =3S △A 1AQD ．3S △A 1D 1Q =2S △A 1AQ二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．经过点（3，a ），（﹣2，0）的直线与直线x ﹣2y +3＝0垂直，则a ＝ ．10．已知平面α的法向量为（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量为（﹣1，2，k ），若α∥β，则k ＝ ． 11．已知两圆C 1：x 2+y 2+2x +3y +1＝0和C 2：x 2+y 2+4x +3y +2＝0相交，则圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程为 ．12．设v 1→=(1，2，−2)，v 2→=(−2，3，2)分别是空间两直线l 1，l 2的方向向量，则直线l 1，l 2所成角的大小为 ．13．已知P （2，3）是直线l 上一点，且n →=(1，−2)是直线l 的一个法向量，则直线l 的方程为 ． 14．设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24+y 2=1的左，右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得PF 1→⋅PF 2→=m成立的点恰好是4个，则实数m 的一个取值可以为 ． 三、解答题（本大题共3小题，共30分）15．（10分）已知△ABC 的顶点A （8，5），B （4，﹣2），C （﹣6，3），求经过两边AB 和AC 中点的直线的方程．16．（10分）已知直线l ：x +my ﹣3＝0，圆C ：（x ﹣2）2+（y +3）2＝9． （1）若直线l 与圆相切，求m 的值；（2）当m ＝﹣2时，直线l 与圆C 交于点E 、F ，O 为原点，求△EOF 的面积．17．（10分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝1，AD ＝2，M 为BC的中点．（1）求证：AD ∥平面PBC ；（2）求平面P AM 与平面PCD 所成的角的余弦值．四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）18．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A （1，m ，1），B （﹣1，1，2），C （3，﹣2，1），D （1，﹣3，2），若A ，B ，C ，D 四点共面，则m ＝ ． 19．（4分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线l ，l 在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于A ，B 两点．若FA →=AB →，则双曲线的离心率为 ．20．（4分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，BC ＝1，点P 在侧面A 1ABB 1上．若点P 到直线AA 1和CD 的距离相等，则A 1P 的最小值是 ．21．（4分）在平面直角坐标系中，到两个点A （﹣2，0）和B （2，0）的距离之积等于4的轨迹记作曲线Ω，对于曲线Ω及其上一点P ，有下列四个结论： ①曲线Ω关于x 轴对称；②曲线上有且仅有一点P ，满足|P A |＝|PB |；③曲线Ω上所有的点的横坐标x ∈[−2√2，2√2]，纵坐标y ∈[﹣1，1]； ④|P A |+|PB |的取值范围是[2√2，5]． 其中，所有正确结论的序号是 ． 五、解答题（本大题共3小题，共34分）22．（12分）如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，点E 在棱BB 1上． （1）求证：A 1C 1⊥DB 1；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得DB 1⊥平面EA 1C 1，并给出证明．条件①：E 为BB 1的中点； 条件②：BD 1∥平面EA 1C 1； 条件③：DB 1⊥BD 1．（3）若E 为BB 1的中点，且点D 到平面EA 1C 1的距离为1，求BB 1的长度．23．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 2，B 1，|B 1B 2|=2√2，四边形A 1B 1A 2B 2的周长为8√2． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设点F 为椭圆Γ的左焦点，点T （﹣3，m ），过点F 作TF 的垂线交椭圆Γ于点P ，Q ，连接OT 与PQ 交于点H ．试判断|PH||HQ|是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．24．（10分）n 个有次序的实数a 1，a 2，…，a n 所组成的有序数组（a 1，a 2，…，a n ）称为一个n 维向量，其中a i （i ＝1，2，…，n ）称为该向量的第i 个分量．特别地，对一个n 维向量a →=(a 1，a 2，⋯，a n )，若|a i |＝1，i ＝1，2…n ，称a →为n 维信号向量．设a →=(a 1，a 2，⋯，a n )，b →=(b 1，b 2，⋯，b n )， 则a →和b →的内积定义为a →⋅b →=∑ n i=1a i b i =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n ，且a →⊥b →⇔a →⋅b →=0． （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量． （2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．（3）已知k 个两两垂直的2024维信号向量x 1，x 2，…，x k 满足它们的前m 个分量都是相同的，求证：√km ＜45．2023-2024学年北京师大附属实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．如图，E ，F 分别是长方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '的棱AB ，CD 的中点，则AB →+CF →等于（ ）A ．AD ′→B ．AC ′→C ．DE →D ．AE →解：如图，E ，F 分别是长方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '的棱AB ，CD 的中点，则AB →+CF →=AE →． 故选：D ．2．直线x +√3y ﹣1＝0的倾斜角为（ ） A ．30°B ．150°C ．60°D ．120°解：直线x +√3y ﹣1＝0可化为y =−√33x +√33， 所以直线的斜率为−√33，倾斜角为150°． 故选：B ．3．抛物线x 2＝ay 的焦点坐标为（0，1），则其准线方程为（ ） A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝1解：∵抛物线x 2＝ay 的焦点坐标为（0，1），∴准线方程为y ＝﹣1． 故选：C ．4．如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．则GF →⋅AC →与EF →⋅BC →分别等于（ ）A ．−a 22和a 24B ．a 22和−a 24C ．a 22和a 24D ．−a 22和a 22解：已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．故：GF →=12CA →，所以GF →⋅AC →=−12AC →2=−12a 2；EF →⋅BC →=12BD →⋅BC →=14a 2． 故选：A ． 5．设椭圆x 225+y 29=1的两个焦点为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，如果|AB |＝8，那么|AF 2|+|BF 2|的值为（ ） A ．2 B ．10C ．12D ．14解：椭圆x 225+y 29=1可得长轴长为：10，椭圆x 225+y 29=1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|AB |＝8，则|AF 2|+|BF 2|＝4a ﹣|AB |＝20﹣8＝12． 故选：C ．6．抛物线y 2＝4x 上的点与其焦点的距离的最小值为（ ） A ．4B ．2C ．1D ．12解：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标（1，0），准线方程为：x ＝﹣1，由抛物线的性质和对于可得：抛物线y 2＝4x 上的点到其焦点的距离的最小值为：1． 故选：C ． 7．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的焦点F （3，0）到其渐近线的距离为√5，则双曲线的方程为（ ）A ．x 24−y 25=1 B ．x 25−y 24=1C ．x 23−y 26=1D ．x 26−y 23=1解：双曲线C 的标准方程x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），且其焦点F （3，0）到渐近线bx +ay ＝0的距离等于√5， 可得：√a 2+b 2=√5，可得b =√5，c ＝3，则a ＝2，所求的双曲线方程为：x 24−y 25=1．故选：A ．8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为棱DD 1的中点，点Q 为面ADD 1A 1内一点，B 1Q ⊥AP ，则（ ）A ．S △A 1D 1Q =2S △A 1AQB ．2S △A 1D 1Q =S △A 1AQC ．2S △A 1D 1Q =3S △A 1AQD ．3S △A 1D 1Q =2S △A 1AQ解：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则A （2，0，0），B 1（2，2，2），P （0，0，1），设Q （x ，0，z ）， 故AP →=(−2，0，1)，B 1Q →=(x −2，−2，z −2)， 因为B 1Q ⊥AP ，所以AP →⋅B 1Q →=−2(x −2)+(z −2)=0， 即z ＝2x ﹣2，所以Q （x ，0，2x ﹣2）， 则点Q 到直线AA 1的距离为|2﹣x |，点Q 到直线A 1D 1的距离为|2﹣（2x ﹣2）|＝2|2﹣x |， 所以x ≠2，故S △A 1D 1Q =12×2×2|2−x|=2|2−x|， S △A 1AQ =12×2×|2−x|=|2−x|， 所以S △A 1D 1Q =2S △A 1AQ ． 故选：A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．经过点（3，a ），（﹣2，0）的直线与直线x ﹣2y +3＝0垂直，则a ＝ ﹣10 ． 解：因为经过点（3，a ），（﹣2，0）的直线与直线x ﹣2y +3＝0垂直， 则a 3+2×12=−1，解得a ＝﹣10．故答案为：﹣10．10．已知平面α的法向量为（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量为（﹣1，2，k ），若α∥β，则k ＝ 1 ． 解：因为α∥β，所以两平面的法向量共线，所以存在唯一实数λ，使得（﹣1，2，k ）＝λ（2，﹣4，﹣2）， 所以{−1=2λ2=−4λk =−2λ，解得{λ=−12k =1，所以k ＝1． 故答案为：1．11．已知两圆C 1：x 2+y 2+2x +3y +1＝0和C 2：x 2+y 2+4x +3y +2＝0相交，则圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程为 2x +1＝0 ．解：将两圆的方程相减得2x +1＝0，即圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程为2x +1＝0． 故答案为：2x +1＝0．12．设v 1→=(1，2，−2)，v 2→=(−2，3，2)分别是空间两直线l 1，l 2的方向向量，则直线l 1，l 2所成角的大小为π2．解：cos ＜v 1→，v 2→＞=v 1→⋅v 2→|v 1→||v 2→|=√1+2+(−2)×√(−2)+3+2=0，∴v 1→，v 2→的夹角为π2，即直线l 1，l 2所成角的大小为π2．故答案为：π2．13．已知P （2，3）是直线l 上一点，且n →=(1，−2)是直线l 的一个法向量，则直线l 的方程为 x ﹣2y +4＝0 ．解：因为n →=(1，−2)是直线l 的法向量， 所以直线l 的斜率k =12，又点P （2，3）是直线l 上点，所以直线l 的方程为y −3=12(x −2)，整理得x ﹣2y +4＝0． 故答案为：x ﹣2y +4＝0． 14．设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24+y 2=1的左，右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得PF 1→⋅PF 2→=m成立的点恰好是4个，则实数m 的一个取值可以为 0（答案不唯一） ． 解：当m ＝0时，PF 1→⬚⬚⋅PF 2→=0，则PF 1→⊥PF 2→⬚，由椭圆方程可知，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，因为c ＞b ，所以以F 1F 2为直径的圆与椭圆有4个交点，使得PF 1→⋅PF 2→=0成立的点恰好有4个，所以实数m 的一个取值可以为0． 故答案为：0（答案不唯一）三、解答题（本大题共3小题，共30分）15．（10分）已知△ABC 的顶点A （8，5），B （4，﹣2），C （﹣6，3），求经过两边AB 和AC 中点的直线的方程．解：A （8，5），B （4，﹣2），C （﹣6，3）， 两边AB 和AC 中点分别为（6，32），（1，4）．∴经过两边AB 和AC 中点的直线的一般式方程为：y ﹣4=32−46−1（x ﹣1），化为：x +2y ﹣9＝0．16．（10分）已知直线l ：x +my ﹣3＝0，圆C ：（x ﹣2）2+（y +3）2＝9． （1）若直线l 与圆相切，求m 的值；（2）当m ＝﹣2时，直线l 与圆C 交于点E 、F ，O 为原点，求△EOF 的面积． 解 圆C 的圆心C （2，﹣3），r ＝3． （1）√1+m2=3，∴m =43．（2）当m ＝﹣2时，直线l ：x ﹣2y ﹣3＝0， C 到直线l 的距离d =|2+6−3|√12+22=√5，∴|EF |＝2√9−5=4． O 到直线l 的距离为h =3√5． ∴△EOF 的面积为S =12×4×35=6√55． 17．（10分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝1，AD ＝2，M 为BC的中点．（1）求证：AD ∥平面PBC ；（2）求平面P AM 与平面PCD 所成的角的余弦值．（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，又因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ；（2）解：因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则D （0，0，0）、P （0，0，1）、B （2，1，0）、M （1，1，0）、A （2，0，0）、C （0，1，0）， 所以PA →=（2，0，﹣1），AM →=（﹣1，1，0）， 设平面P AM 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），由{n →⋅AP →=2x −z =0n →⋅AM →=−x +y =0，取y ＝1，可得n →=（1，1，﹣2）， 易知平面PCD 的一个法向量为DA →=（2，0，0），设平面P AM 与平面PCD 所成的角为锐角θ，则cos θ＝|DA →⋅n→|DA →||n →|||2×√1+1+4|√66．所以平面P AM 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为√66．四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）18．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A （1，m ，1），B （﹣1，1，2），C （3，﹣2，1），D （1，﹣3，2），若A ，B ，C ，D 四点共面，则m ＝ 2 ．解：因为A （1，m ，1），B （﹣1，1，2），C （3，﹣2，1），D （1，﹣3，2），所以AB →=(−2，1−m ，1)，BC →=(4，−3，−1)，BD →=(2，−4，0)，因为24≠−4−3≠0−1，所以BC →与BD →不共线，因为A ，B ，C ，D 四点共面，所以存在实数a 、b 使得AB →=aBC →+bBD →，所以（﹣2，1﹣m ，1）＝a （4，﹣3，﹣1）+b （2，﹣4，0），所以{4a +2b =−2−3a −4b =1−m −a =1，解得{a =−1b =1m =2．故答案为：2．19．（4分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线l ，l 在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于A ，B 两点．若FA →=AB →，则双曲线的离心率为2√33 ． 解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ， 由{x 2a 2−y 2b 2=1x =c，解得A （c ，b 2a ）， 由{y =b a x x =c ，解得B （c ，bc a ）， ∵F （c ，0），FA →=AB →，∴FA →=（0，b 2a ）=AB →=（0，bc−b 2a ）， ∴b 2a =bc−b 2a ，∴c ＝2b ，∴a =√c 2−14c 2=√32c ，∴e =c a =2√33，故答案为：2√33． 20．（4分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，BC ＝1，点P 在侧面A 1ABB 1上．若点P 到直线AA 1和CD 的距离相等，则A 1P 的最小值是 √3 ．解：如图在面A1ABB1建立P面直角坐标系，设P（x，y）．（0≤x≤2，0≤y≤2）∵点P到直线AA1和CD的距离相等，x=√y2+1，即x2＝y2+1．∴A1P=√(x−0)2+(y−2)2=√2(y−1)2+3≥√3∴当P（√2，1）时，A1P最小为√3，故答案为：√3．21．（4分）在平面直角坐标系中，到两个点A（﹣2，0）和B（2，0）的距离之积等于4的轨迹记作曲线Ω，对于曲线Ω及其上一点P，有下列四个结论：①曲线Ω关于x轴对称；②曲线上有且仅有一点P，满足|P A|＝|PB|；③曲线Ω上所有的点的横坐标x∈[−2√2，2√2]，纵坐标y∈[﹣1，1]；④|P A|+|PB|的取值范围是[2√2，5]．其中，所有正确结论的序号是①②③．解：设曲线Ω上的点的坐标为（x，y），则√(x+2)2+y2⋅√(x−2)2+y2=4，即√x2+y2+4+4x⋅√x2+y2+4−4x=4，化简得（x2+y2+4）2﹣16x2＝16，所以曲线Ω的方程为（x2+y2+4）2﹣16x2＝16，对于①，在曲线Ω任取一点M（x，y），则点M关于x轴对称的点M1（x，﹣y），因为[x2+（﹣y）2+4]2﹣16x2＝（x2+y2+4）2﹣16x2＝16，所以点M1（x，﹣y）在曲线Ω上，所以曲线Ω关于x轴对称，故①正确；对于②，若|P A|＝|PB|，则点P在线段AB的中垂线上，即y轴上，在（x2+y2+4）2﹣16x2＝16中，令x＝0，则（y2+4）2＝16，解得y＝0，所以曲线Ω与y轴只有原点O（0，0）这一个交点，所以曲线上有且仅有一点P，满足|P A|＝|PB|，故②正确；对于③，由（x2+y2+4）2﹣16x2＝16≥（x2+4）2﹣16x2，即x4﹣8x2≤0，解得−2√2≤x≤2√2，所以曲线Ω上所有的点的横坐标x∈[−2√2，2√2]，由（x2+y2+4）2﹣16x2＝16，得x2+y2+4=4√x2+1，所以y2=4√x2+1−x2−4，令t=√x2+1，t∈[1，3]，则x2＝t2﹣1，故y2＝﹣t2+4t﹣3＝﹣（t﹣2）2+1∈[0，1]，所以﹣1≤y≤1，所以曲线Ω上所有的点的纵坐标y∈[﹣1，1]，故③正确；对于④，设P（x，y），则y2=4√x2+1−x2−4，故|PA|+|PB|=√(x+2)2+y2+√(x−2)2+y2=√x2+4x+4+4√x2+1−x2−4+√x2−4x+4+4√x2+1−x2−4=2√x+√x2+1+2√−x+√x2+1≥2√2√x+√x2+12√−x+√x2+1=4√−x2+x2+1=4，当且仅当2√x+√x2+1=2√−x+√x2+1，即x＝0时，取等号，所以当P点的坐标为（0，0）时，|P A|+|PB|取得最小值4，故④错误．故答案为：①②③．五、解答题（本大题共3小题，共34分）22．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，点E在棱BB1上．（1）求证：A1C1⊥DB1；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得DB1⊥平面EA1C1，并给出证明．条件①：E为BB1的中点；条件②：BD1∥平面EA1C1；条件③：DB1⊥BD1．（3）若E为BB1的中点，且点D到平面EA1C1的距离为1，求BB1的长度．（1）证明：由直四棱柱的性质知，BB1⊥平面A1B1C1D1，因为A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，连接B1D1，因为底面A1B1C1D1是正方形，所以B1D1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，BB1、B1D1⊂平面BDD1B1，所以A1C1⊥平面BDD1B1，因为DB1⊂平面BDD1B1，所以A1C1⊥DB1．（2）设A1C1∩B1D1＝O，连接OE，则O为B1D1的中点，若选择①②：因为E为BB1的中点，所以OE∥BD1，因为OE⊂平面EA1C1，BD1⊄平面EA1C1，所以BD1∥平面EA1C1，即条件①与②是等价命题，由于条件不足，故无法使得DB1⊥平面EA1C1．若选择①③：因为E为BB1的中点，所以OE∥BD1，又DB1⊥BD1，所以DB1⊥OE，由（1）知，A1C1⊥DB1，因为OE∩A1C1＝O，OE、A1C1⊂平面EA1C1，所以DB1⊥平面EA1C1．若选择②③：因为BD1∥平面EA1C1，BD1⊂平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面EA1C1＝OE，所以BD1∥OE，又DB1⊥BD1，所以DB1⊥OE，由（1）知，A 1C 1⊥DB 1，因为OE ∩A 1C 1＝O ，OE 、A 1C 1⊂平面EA 1C 1，所以DB 1⊥平面EA 1C 1．（3）以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设BB 1＝2m （m ＞0），则D （0，1，0），E （1，0，m ），A 1（0，0，2m ），C 1（1，1，2m ）， 所以EA 1→=（﹣1，0，m ），EC 1→=（0，1，m ），DE →=（1，﹣1，m ），设平面EA 1C 1的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅EA 1→=0n →⋅EC 1→=0，即{−x +mz =0y +mz =0， 令z ＝1，则x ＝m ，y ＝﹣m ，所以n →=（m ，﹣m ，1），因为点D 到平面EA 1C 1的距离为1，所以1=|DE →⋅n →||n →|=√m 2+m 2+1，解得m ＝±√77（舍负）， 所以BB 1的长度为2m =2√77． 23．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 2，B 1，|B 1B 2|=2√2，四边形A 1B 1A 2B 2的周长为8√2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点F 为椭圆Γ的左焦点，点T （﹣3，m ），过点F 作TF 的垂线交椭圆Γ于点P ，Q ，连接OT 与PQ 交于点H ．试判断|PH||HQ|是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．解：（1）易知A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），B 2（0，b ），B 1（0，﹣b ），因为|B 1B 2|=2√2，四边形A 1B 1A 2B 2的周长为8√2，所以{4√a 2+b 2=8√22b =2√2， 解得a 2＝6，b 2＝2，则椭圆Γ的方程为x 26+y 22=1；（2）由（1）知F （﹣2，0），当m ＝0时，H ，F 两点重合，由椭圆的对称性可知|PH |＝|QH |，所以|PH||HQ|=1；当m ≠0时，可得k TF =m−0−3−(−2)=−m ， 此时k PQ =1m， 因为T （﹣3，m ），所以直线OT 的方程为y =−m 3x ，不妨设my ＝x +2，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），易知y 1≠y 2≠y H ，联立{my =x +2x 2+3y 2−6=0，消去x 并整理得（m 2+3）y 2﹣4my ﹣2＝0， 由韦达定理得y 1+y 2=4m m 2+3， 联立{my =x +2y =−m 3x， 解得y =2m m 2+3， 即y H =2m m 2+3， 此时|PH||HQ|=y 1−y Hy H −y 2=4m m 2+3−y 2−2m m 2+32m m 2+3−y 2=1，综上，|PH||HQ|为定值，定值为1．24．（10分）n 个有次序的实数a 1，a 2，…，a n 所组成的有序数组（a 1，a 2，…，a n ）称为一个n 维向量，其中a i （i ＝1，2，…，n ）称为该向量的第i 个分量．特别地，对一个n 维向量a →=(a 1，a 2，⋯，a n )，若|a i |＝1，i ＝1，2…n ，称a →为n 维信号向量．设a →=(a 1，a 2，⋯，a n )，b →=(b 1，b 2，⋯，b n )， 则a →和b →的内积定义为a →⋅b →=∑ n i=1a i b i =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n ，且a →⊥b →⇔a →⋅b →=0． （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．（2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．（3）已知k 个两两垂直的2024维信号向量x 1，x 2，…，x k 满足它们的前m 个分量都是相同的，求证：√km ＜45．解：（1）依题意，可写出4个两两垂直的4维信号向量为：（1，1，1，1），（﹣1，﹣1，1，1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，1，1，﹣1）．（2）证明：假设存在14个两两垂直的14维信号向量y 1→，y 2→，⋯，y 14→，因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，所以不妨设y →1=(1，1，⋯，1)，y →2=(1，1，1，1，1，1，1，−1，−1，−1，−1，−1，−1，−1)，因为y →1⋅y →3=0，所以y →3有7个分量为﹣1，设y →3的前7个分量中有r 个﹣1，则后7个分量中有7﹣r 个﹣1，r ∈N *，则y →2⋅y →3=r ⋅(−1)+(7−r)+(7−r)+r ⋅(−1)=0，则r =72，矛盾，所以不存在14个两两垂直的14维信号向量．（3）证明：任取i ，j ∈{1，2，…，k }，计算内积x i →⋅x j →，将所有这些内积求和得到S ，则S =x 1→2+x 2→2+⋯+x k →2=2024k ， 设x 1→，x 2→，⋯，x k →的第k 个分量之和为c i ，则从每个分量的角度考虑，每个分量为S 的贡献为c i 2，所以S =c 12+c 22+⋯+c 20242≥c 12+c 22+⋯+c m 2=k 2m ，则2024k ≥k 2m ，所以km ≤2024＜2025，故√km ＜45．。
北京市中央民族大学附属中学新学年高二数学上学期期中试题(含解析)
北京市中央民族大学附属中学高二数学上学期期中试题（含解析）第I 卷（共40分）一、选择题（本大题共 8小题每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项） 1.已知数列｛a n ｝的通项公式为a n n 2n ，则印。
（ ）A. 100B. 110C. 120D. 130【答案】C 【解析】 【分析】在数列｛a n ｝的通项公式中，令 n 10 ,可得耳0的值. 【详解】Q 数列｛a .｝的通项公式为a n n 2n ,则 a 10 102 2 10 120 .故选：C.【点睛】本题考查已知数列通项公式，求数列的项，考查代入法求解，属于基础题.22.双曲线— 2因为双曲线的焦点在 x 轴上, 所以双曲线的焦点为（.6 , 0）, , 0）.故选：B.A. (0, ,6)和(0,6)B. ( . 6,0)和( .6,0)C. (0, 、、2）和(0, ,2)D. (2,0)和 G 2,0)【答案】 B【解析】【分析】求得双曲 1线 a , b , c ，可得双曲线的焦点坐标.1的焦点坐标为（育七 1可得：a 2，b 2，c6，【详解】双曲线方程【点睛】本题考查双曲线的焦点的坐标，考查方程思想和运算能力，属于基础题.3.抛物线y 2x的准线方程是（）A. XB. y21C. x2D.【答案】C【解析】试题分析：由抛物线方程可知，p 1，焦点在X轴正半轴，所以其准线方程为p 1x .故C正确.2 2考点：抛物线准线方程.4.已知不等式X2 bx c 0的解集是［1,2］，则b c的值为（）A. 1B. 1C. 2 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出b c.【详解】不等式x2 bx c 0的解集是［1,2］,D. 2b和c的值，再计算所以方程 2 x bx c 0的实数根为1和2,12b所以，解得： b 3, c 2 ;12c所以b c 3 2 1故选：A【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查一元二次不等式与一元二次方程根的关系.5.若a , b为正实数，且a b 2，则ab的最大值为（）A. -../3【答案】BB. 1C. 2.3D. 2【解析】【分析】a K由a , b为正实数，则ab (- b)2，再验证等号成立，从而得出结论.2【详解】a，b为正实数，且a b 2 2. ab ab ，当且仅当a b 1成立，因为a b 2，所以ab 1.故选：B.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查基本运算求解能力，求解时要注意验证等号成立的条件.6.下列结论正确的是()A.若ac be,贝U a bB 若a2 b2，则a bc.若a b, e 0,则a e b eD •若a v b，则a b【答案】D【解析】试题分析：对于A项，考查的是不等式的性质，当e大于零时才行，所以A不对，对于B项,结论应该为a b，故B项是错的，对于c项，应该是不等式的两边同时加上一个数，不等号的方向不变，故C错，对于D项涉及到的是不等式的乘方运算性质，只有D对，故选D.考点：不等式性质.【此处有视频，请去附件查看】{a .}中，a i 2且a 2, 2 , 成等差数列，记S n 是数列A. 60 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及等比数列的通项公式求出公比，然后代入等比数列的前 n 项和公式得答案.【详解】设各项均为正数的等比数列 {a .}的公比为q ，又a i 2，则 a 2 2q ，a 4 2 2q 3 2，2q 4，Q a 2，a 42， a 5成等差数列， 4q 3 4 2q 2q 4， 332(q1) q(q 1)，由q o ，解得q = 2，5S3 212262.1 2故选：C.【点睛】本题考查等比数列通项公式、前 n 项和公式、等差中项性质，考查方程思想和运算求解能力.2 28.已知直线h ：mx y 2m 0与直线J ：x my 20的交点为Q ,椭圆—壬1的94焦点为F 1 , F 2，则| QF 1 | | QF 21的取值范围是( )A. [4, )B. [4,6]C. [2 W )D.7.在各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，贝y S 5D. 64[25,6]【答案】D【解析】【分析】根据题意，由直线的方程分析可得直线h恒过点(2,0)，直线J恒过点(2,0)，且直线h与直线|2相互垂直，Q为两直线的交点，进而分析可得Q的轨迹，设Q(m,n)，求出椭圆的焦2 2点坐标，分析可得用m表示|QR |和IQh |的值，据此分析可得答案.【详解】由条件可知h恒过点M( 2,0) , l2恒过点N(2,0)，且l1, l2垂直，所以点Q在以O为圆心，MN为直径的圆上运动,设Q(m,n)，则m2 n2 4 ,根据椭圆方程可知焦点坐标分别为F1（、-5 , 0）, F2（、. 5 , 0）,则当Q与F i和F2共线时,|QF i | |QF2|最短为|F1F2| 25，又因为|QF1|2（m 、、5）2n29 2 5m，|QF212（m ,5）2n29 2.5m，而|QF i| |QF2 | ... 2（|QF|2|QF|2）^18 6，当且仅当m 0 , n=? 2时等号成立，故|QF i | |QF2 |的取值范围是[2，6].故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及轨迹方程的计算，分析出点Q的轨迹是关键，属于中档题.第II卷（共110分）二、填空题：（本大题共6小题每小题5分，共30分）29.双曲线—y2 1的渐近线方程______________________ .41【答案】y — x2【解析】【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程.【详解】. ••双曲线2xy21的a=2, b=1，焦点在x轴上4而双曲线2 2x y2 ,2a bb1的渐近线方程为y= ± xa•••双曲线2x 27 y11的渐近线方程为y= ± x22【点睛】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程, 解题时要注意先定位，再定量的解题思想2 210.椭圆 — —y 一 1的焦点在x 轴上，则实数 m 的取值范围是 ______________________m 13 m【答案】2 m 3 【解析】【分析】 利用椭圆的标准方程，结合焦点所在的轴，列出不等式求解即可.2y —1 焦点在x 轴上, 3 m解得：2 m 3, 故答案为：2 m 3.| PB | | PF |的最小值为 _________【详解】椭圆 12.已知抛物线y 2 4x 的焦点是F ,点P 是抛物线上的动点，又有点 B(3,2)，则【解析】【分析】过B作BA 准线，交准线于点A，则I PB| | PF |的最小值为| AB |，由此能求出I PB I I PF |的最小值.【详解】Q抛物线y 4x的焦点是F , 焦点F(1,0)，准线方程x 1 ,如图，过B作BA 准线，交准线于点A,|PB | | PF |的最小值为| AB| ,(I PB| |PF |)min I AB | 1 3 4.【点睛】本题考查两线段和的最小值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.c 1 313.若x 0 , y 0，且一一1，则x 3y的最小值是_______________________________x y【答案】16【解析】时取等号考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数) 、“定”(不等式的另一边必须为定值)“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误1 3试题分析：x 3y (x 3y)( )x y103y 3x103y 3x1 x y16，当且仅当x y2 214.设双曲线? 器1(a 0,b 0)的两个焦点分别是F i、F2，以线段F1F2为直径的圆交双曲线于A、B、C、D四点，若A、B、C、D、F1、F2恰为正六边形的六个顶点，则双曲线的离心率等于___________.【答案】,3 1【解析】【分析】由题意可得正六边形的边长为c ,由双曲线的定义可得| BF1 | | BF2 | 2a ,即3c c 2a，运用双曲线的离心率公式，即可得到所求值.【详解】如图所示：A、B、F2、D、C、F1恰为正六边形的六个顶点，厅1卩2丨2c,可得正六边形的边长为c , | BF1 | j c2 c2 2c c ( g) J3c ,由双曲线的定义可得| BR | | BF2 | 2a,即“./3c c 2a，即有e —. 3 1.a V3 1故答案为：.31.【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，圆与内接正六边形的关系，考查转化与化归思想的运用及运算求解能力.三、解答题：(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15.已知等差数列｛a n｝中，a4 2 , a8 10 .(1)求数列｛a n ｝的通项公式;知识，考查运算求解能力.1 2 f x -X 60x 800 . 2(1 )要使营运累计收入高于800元，求营运天数的取值范围;(2 )每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大? 【答案】(1 )要使营运累计收入高于 800元，营运天数应该在 40,80内取值；(2)每辆单车营运40天，可使每天的平均营运收入最大 【解析】f x 800即可求出结果(2)每天的平均营运收入表达式为【答案】(1) a n 2n 6 ； (2) S n n 25n .【解析】【分析】(1)由等差数列通项公式列出方程组，求出a 1 4 , d 2,公式.(2 )由 a 14 , d 2，直接代入数列｛ a n ｝的前n 项和公式. 【详解】(1)Q 等差数列｛a n ｝中，a 42 ,a 810 ,a 3d 2a 1 7d 10，解得 a 14, d 2 ,a n4 (n 1) 2 2n 6.(2) Q a 1 4 , d 2 ,(2)求数列｛a n ｝的前n 项和公式S n . 即可得到数列｛a n ｝的通项数列｛a n ｝的前n 项和公式S n4n【点睛】本题考查等差数列的通项公式、 n( n 1) 22 n 2 5n .2前n 项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础16.共享单车给市民出行带来了诸多便利, 某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用据市场分析，每辆单车的营运累计收入f X (单位：元)与营运天数 x x N 满足试题分析：⑴根据题意转化为y，利用基本不等式求出结果x解析：（1）要使营运累计收入高于 800元，则1 2f x 800x 2 60x 800 800 x 40 x 80 0 40 x 802所以要使营运累计收入高于800元，营运天数应该在(2)每辆单车每天的平均营运收入为1 800当且仅当一x时等号成立，解得 x 40，2 x即每辆单车营运 40天，可使每天的平均营运收入最大 点睛：本题是道二次函数的应用题，将实际问题转为数学模型，利用数学知识来解决问题, 结合二次函数的值域来求解范围问题， 在解答平均最值问题时先要给出表达式， 利用基本不 等式求出结果2 217.已知点F 1、F 2是椭圆— L 1的焦点，P 是椭圆上一点，直线l: y x m .4 2(1 )求厶PF 1F 2的周长；(2)若直线I 与椭圆相切，求m 的值；(3 )当m 1时，直线I 与椭圆相交于 A 、B 两点，求弦长|AB|.【答案】(1) 4 2 /2 ； (2) m 、、6 ； ( 3) ---------------- .3【解析】 【分析】(1) 根据题意可知△ PF 1F 2周长 IPF^ | PF 2 | | F 1F 2 | 2a 2c ； (2) 禾9用直线与椭圆相切，联立直线与椭圆方程，则△ 0,求得m 的值;(3)联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系，即可求出|AB|的值.【详解】(1)由题的a 2 , b 2，则c .2因为P 在椭圆上， 所以 |PF 1| |PF 2| 2a 4,厅汀2| 2c 2 2 ,40,80内取值.」X 260 x 8002800 6060 20所以△ PF 1F 2周长为4 2 . 2 .y x m(2)联立 x 2 y 2，整理得 3x 2 4mx 2m 2 4 0，则△ 16m 2 12(2m 2 4) 0,142解得m ... 6 ;(3)当 m 1 时，I 方程为：y x 1，设 A(x i , yj , BX , y 2),y x 1联立x 2 y 2，整理得3x 2 4x 2 0，142【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的周长、直线与椭圆相切、 解能力，属于中档题.18.已知数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足S n 2a . 1 , (n N *). (1 )求证：数列｛a n ｝为等比数列；(2)若数列｛b n ｝满足b n (2n 1)a n ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n . 【答案】(1)见解析；(2) T n 1 (n 1) ( 1)n .【解析】 【分析】(1) 由S n 2a n 1 ,推导出a 1 1 , a n 2a n 1,由此能证明｛a n ｝是首项为1 ,公比为2的 等比数列. (2) 由a n = 2n-1，得b n (2n 1总(2n 1)2n 1，由此利用错位相减法能求出｛b n ｝的前 n 项和. 【详解】(1) Q 数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且满足S n 2a n 1 , 当n 1时，3 2厲1 a 1，解得a 1 1 ,则％ x 2423，x 1 x 23所以 | AB |-2 | x 1X 2I \ 2、.,(X 1 X 2)24X 1X 24、5 3弦长计算等知识，考查运算求当n 2 时，由S n 2a n 1①，得S n ! 2a. 1 1 ②, ① ②，得：a n 2a n 2a n 1，整理，得a. 2a. 1, {a n}是首项为1,公比为2的等比数列.(2) Q{%}是首项为1，公比为2的等比数列,b n (2n 1)a n (2n 1)2n 1{b n}的前n项和:T n 3 20521 722(2n1) 2n 1①2T n 3 215227 23(2n1)2n②②，得：Tn3 2 [222232n1] (2n 1) 2n32 2[112n1]2(2n1)2n1(12n)2n,T n 1 (2n 1) 2n.【点睛】本题考查等比数列的证明、错位相减法求和，考查方程思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意求和后常数的准确性.2 219.已知椭圆冷每a b(1)求椭圆的标淮方程；(2)直线I过点A(1,0)且与椭圆相交于C、D两点，椭圆的右顶点为B，试判断CBD是否能为直角.若能为直角，求出直线l的方程，若不行，请说明理由.2【答案】(1) y? 1 ； (2)不能为直角，证明见解析4【解析】【分析】(1)可得b 1, e21 b2a 2b 2 •即可得椭圆的标淮方程.an = 2n- 11(a b 0)过点(O,1)，且椭圆的离心率e(2)对直线斜率分两种情况讨论：①当直线I垂直X轴时，易得CBD不能为直角;②当直线I不垂直x轴时，可设直线y k(x i)代入椭圆方程，消去y可得到关于x的一元二次方程，再利用反证法，假设uuuBCuuuBD，得到k 0与事实相矛盾，从而证明CBD不uuu uuu 3BC BD i -4②当直线I不垂直x轴时,CBD是不为直角.可设直线y k(x1)代入椭圆方程,消去y可得：(i 4k2)x2 2 28k x 4k 4设C(x , y i) , D(X2, y2),则有X i X28k22，X i X2i 4k2 i 24k2 44k2 'uuu ULLT又B(2,0), BC (X i 2, y i), BD 2, y2),若CBD是为直角:2则(X i 2)(X2 2) y°2 (i k )X i X2(k22))( X i X2) k2 4(i k2) (4k2 4) (k2i 4k28k22)b k2解得(i k2)(4k24) (k2 2 2 22) 8k (k 4)(i 4k ) 0 k 0,不符合题意.故CBD不能为直角.【点睛】本题考查椭圆的离心率与标准方程求解、直线与椭圆的置关系、向量数量积， 考查方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属 于中档题.20.已知数列｛a .｝满足 a n a n i a n 2 r(r 0).(1)右r 0,a11,a22，求a3, a 4 , a 2019 及 S n ；3为周期的周期数列，即可求出 a 2019及S n ；a 33 , a4 1 ； 数列｛a n｝是以3为周期的周期数列;a2019 a33 ；1,n & 3,n0,n 3k 13k 2, k N ； 3k 3(2) Q 数列｛a n ｝的前三项是等差数列,(2)数列｛a n ｝的前三项是等差数列，公差为 d , a 2，若数列｛b n｝满足b n1 n 1a n (-)n 1,对于任意的正整数 n ，均有b n b n 1，求d 的范围.【答案】(1) a 33, a 41,n 3k 13,n 3k 2 , k N ； (2) d 0,n 3k 3【解析】 【分析】(1 )当r 0时，利用a na n 1 a n 2 0可以直接求出a 3, a 4的值，发现数列｛a n ｝是以(2)利用数列｛a n ｝的前三项是等差数列,可以得出2a 2ai a 3，再利用已知条件求出a 2的值，依次用a 2表示出a i 与a 3代入数列 ｛b n ｝求解即可;【详解】(1) Q 当r 0时，a n a n 1an 2,aia2a30, a 2 a 3 a 4 0,1, a 20193, &Q a2r r ai d，a gr d，333Q b n a n(1)n 1(2)，r1、0r ,r 1r ,r ,、1r d b(-d) ( )0d，b2，a (d)-323 3 26412 4Q对于任意的正整数n，均有b n bn i，r d rb2即3a6b2 b r r d6124Q r 0， d -.6【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题.。
2023-2024学年北京市清华大学附中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市清华大学附中高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数z =1−3i1−i，则|z |等于（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√52．已知向量a →=(1，2)，a →−b →=(4，−2)，则cos〈a →，b →〉等于（ ） A ．15B ．25C ．√55D ．2√553．已知函数f(x)=3sin(4x +φ)(0＜φ＜π2)满足f(π12)=3，则f(π3)等于（ ） A ．3B ．32C ．0D ．﹣34．已知平面α与平面β间的距离为3，定点A ∈α，设集合S ＝{B ∈β|AB ＝5}，则S 表示的曲线的长度为（ ） A ．6πB ．8πC ．10πD ．12π5．已知函数f （x ）＝ln （x +1），则f(1)，f(2)2，f(3)3的大小关系为（ ） A ．f(1)＜f(2)2＜f(3)3 B ．f(3)3＜f(1)＜f(2)2 C ．f(3)3＜f(2)2＜f(1) D ．f(2)2＜f(1)＜f(3)36．已知直线l 恒过点（0，5），圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝9，则“直线l 的斜率为−815”是“直线l 与圆C 相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在△ABC 中，sinB =√2sinA ，∠C =105°，c =√3+1，则△ABC 的面积为（ ） A ．√3−12B ．√3−1C ．√3+12D ．√3+18．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣10n （n ＝1，2，3，…），下列判断中正确的是（ ） A ．a 5＞0B ．数列{a n }是单调递减数列C ．数列{a n }前n 项的乘积有最大值D ．数列{a n }前n 项的乘积有最小值9．已知椭圆C ：x 29+y 25=1，F 1，F 2分别为左右焦点，P 为椭圆上一点，满足cos ∠F 1PF 2=14，则|OP |的长为（ ） A ．√6B ．√7C ．2√2D ．√3+110．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，下列四个结论中，错误的是（ ）A ．存在点E ，EF ∥平面ABB 1A 1 B ．对任意点E ，EF ⊥DB 1C ．存在点E ，使得EF 与BD 所成的角是60°D ．不存在点E ，使得EF 与平面AA 1C 1C 所成的角是30° 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 225+y 29=1的两个焦点，横坐标为4的点M 在椭圆C 上，则△F 1MF 2的周长为 ．12．古代名著中的《营造法式》集中了当时的建筑设计与施工经验．如图1为《营造法式》中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分是底面为矩形的四棱锥S ﹣ABCD ，如图2所示，其侧面SAD 是边长为2√3cm 的等边三角形，AB ＝1cm ，且平面SAD ⊥底面ABCD ，则该四棱锥的体积为 cm 3．13．过原点且倾斜角为30°的直线被圆x 2+（y ﹣2）2＝4所截得的弦长为 ．14．已知点（2，1）在函数f(x)={x 2+2x ，x ≤a2x −3，x ＞a 的图像上，且f （x ）有最小值，则常数a 的一个取值为 ．15．已知函数f(x)=x +kx 的定义域为（0，+∞），其最小值为2．点M 是函数图象上的任意一点，过点M 分别作直线l ：y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ．其中O 为坐标原点．给出下列四个结论： ①k ＝1；②不存在点M ，使得|MA |＝2023； ③|MA |•|MB |的值恒为√22； ④四边形OAMB 面积的最小值为√22+1． 其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步验或证明过程． 16．（14分）已知函数f(x)=4cosxsin(x +π3)−√3． （1）求函数f （x ）的单调递增区间； （2）求函数f （x ）在区间[π4，2π3]上的值域． 17．（14分）已知直线l ：x ﹣ay ﹣2＝0，圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝2． （1）若a ＞1，求证：直线l 与圆C 相交；（2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．若△ABC 的面积为1，求a 的值．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥AB ，P A ＝AB ＝1，AD ＝2，E ，F 分别是BC ，P A 的中点． （1）求证：EF ∥平面PCD ；（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面EFD 与平面P AB 夹角的余弦值． 条件①：平面P AB ⊥平面ABCD ； 条件②：PC =√6．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．（14分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，离心率为√22．直线l ：x ＝ty +2与椭圆交于P ，Q 两点，点A （3，2）不在直线l 上，直线P A 与x ＝4交于点B ． （1）求椭圆E 的方程； （2）求直线QB 的斜率．20．（14分）已知函数f （x ）＝ax +bx +2ln(1−x)，曲线y ＝f （x ）在（﹣1，f （﹣1））处的切线方程为y +3﹣2ln 2＝0．（1）求a ，b 的值；（2）求函数f （x ）的定义域及单调区间； （3）求函数f （x ）的零点的个数．21．（15分）设k ，m 是正整数，如果存在非负整数a 1，a 2，⋯，a k ，c 1，c 2，⋯，c k 使得m =∑(−1)a i ki=12c i ，则称m 是k ﹣好数，否则称m 是k ﹣坏数．例如：2＝（﹣1）0•20+（﹣1）0•20，所以2是2﹣好数． （1）分别判断22，23，24是否为3﹣好数；（2）若m 是偶数且是k ﹣好数，求证：m 是（k +1）﹣好数，且m2是k ﹣好数；（3）求最少的2023﹣坏数．2023-2024学年北京市清华大学附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数z =1−3i1−i，则|z |等于（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√5解：由题意可得：z =1−3i1−i =(1−3i)(1+i)(1−i)(1+i)=2−i ，所以|z|=√22+(−1)2=√5． 故选：D ．2．已知向量a →=(1，2)，a →−b →=(4，−2)，则cos〈a →，b →〉等于（ ） A ．15B ．25C ．√55D ．2√55解：因为a →=(1，2)，a →−b →=(4，−2)，所以b →=(−3，4)， 则cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →||b →|=1×(−3)+2×4√1+2⋅√(−3)2+4=√55．故选：C ．3．已知函数f(x)=3sin(4x +φ)(0＜φ＜π2)满足f(π12)=3，则f(π3)等于（ ） A ．3B ．32C ．0D ．﹣3解：因为f(π12)=3，所以3sin(4×π12+φ)=3，整理得sin(π3+φ)=1， 所以π3+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，解得φ=π6+2kπ，k ∈Z ， 因为0＜φ＜π2，所以φ=π6，f(x)=3sin(4x +π6)， 所以f(π3)=3sin(4×π3+π6)=3sin 3π2=−3． 故选：D ．4．已知平面α与平面β间的距离为3，定点A ∈α，设集合S ＝{B ∈β|AB ＝5}，则S 表示的曲线的长度为（ ） A ．6πB ．8πC ．10πD ．12π解：在空间中，集合T ＝{B |AB ＝5}表示以点A 为球心，半径R ＝5的球面， 记M ＝{B |B ∈β}表示平面β，可知S ＝M ∩T ，所以S 表示：球A 与平面β所截得的圆周，设其圆心为O ，半径为r ，可知OA ＝3，则r =√R 2−OA 2=4， 所以S 表示的曲线的长度为2πr ＝8π． 故选：B ．5．已知函数f （x ）＝ln （x +1），则f(1)，f(2)2，f(3)3的大小关系为（ ） A ．f(1)＜f(2)2＜f(3)3 B ．f(3)3＜f(1)＜f(2)2 C ．f(3)3＜f(2)2＜f(1) D ．f(2)2＜f(1)＜f(3)3解：作出函数f （x ）＝ln （x +1）的图象，如图所示．由图可知，曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着x 的增大而减小． 因为1＜2＜3，所以f(1)−01−0＞f(2)−02−0＞f(3)−03−0，所以f(1)1＞f(2)2＞f(3)3．故选：C ．6．已知直线l 恒过点（0，5），圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝9，则“直线l 的斜率为−815”是“直线l 与圆C 相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由题意可知：圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝9的圆心C （3，0），半径r ＝3， 若直线l 与圆C 相切，则有：当直线l 的斜率不存在，则直线l ：x ＝0，符合题意； 当直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx +5，即kx ﹣y +5＝0， 则圆心C （3，0）到线l 的距离√k 2=3，解得k =−815；综上所述：当且仅当直线l 的斜率不存在或直线l 的斜率为−815时，线l 与圆C 相切． 可知“直线l 的斜率为−815”可以推出“直线l 与圆C 相切”，即充分性成立； “直线l 与圆C 相切”不可以推出“直线l 的斜率为−815”，即必要性不成立； 所以“直线l 的斜率为−815”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件． 故选：A ．7．在△ABC 中，sinB =√2sinA ，∠C =105°，c =√3+1，则△ABC 的面积为（ ）A ．√3−12B ．√3−1C ．√3+12D ．√3+1解：因为sinB =√2sinA ， 所以由正弦定理得：b =√2a ， 因为∠C =105°，c =√3+1，所以cos C ＝cos105°＝cos （60°+45°）＝cos60°cos45°﹣sin60°sin45°=√2−√64，sin C ＝sin105°＝sin （45°+60°）＝sin45°cos60°+cos45°sin60°=√2+√64，由余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ， 即(√3+1)2=a 2+(√2a)2−2a ×√2a ×√2−√64， 解得a 2＝2，所以S =12absinC =12√2a 2×√2+√64=√3+12．故选：C ．8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣10n （n ＝1，2，3，…），下列判断中正确的是（ ） A ．a 5＞0B ．数列{a n }是单调递减数列C ．数列{a n }前n 项的乘积有最大值D ．数列{a n }前n 项的乘积有最小值解：根据题意，数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣10n ， 当n ＝1时，a 1＝﹣9，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ﹣11，a 1＝﹣9也符合该式，则a n ＝2n ﹣11，故数列{a n }是公差为2的等差数列， 由此分析选项：对于A ，a 5＝10﹣11＝﹣1＜0，A 错误；对于B ，数列{a n }是公差为2的等差数列，是递增数列，B 错误；对于C 和D ，a n ＝2n ﹣11，则a 1＝﹣9，a 2＝﹣7，a 3＝﹣5，a 4＝﹣3，a 5＝﹣1， 即当1≤n ≤5时，有a n ＜0，当n ＞5时，a n ＞0，则当n ＝4时，数列{a n }前n 项的乘积有最大值，没有最小值，C 正确，D 错误． 故选：C ． 9．已知椭圆C ：x 29+y 25=1，F 1，F 2分别为左右焦点，P 为椭圆上一点，满足cos ∠F 1PF 2=14，则|OP |的长为（ ） A ．√6B ．√7C ．2√2D ．√3+1解；由椭圆方程可得a ＝3，b =√5，故c =√9−5=2， |PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝2c ＝4，在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝（|PF 1|+|PF 2|）2﹣2|PF 1||PF 2|﹣2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2，即16＝36﹣2|PF 1||PF 2|−12|PF 1||PF 2|， 可得|PF 1||PF 2|＝8，因为O 为线段F 1F 2的中点，则OP →=12（PF 1→+PF 2→），可得OP →2=14（PF 1→+PF 2→）2=14（PF 1→2+PF 2→2+2PF 1→•PF 2→）=14[（|PF 1|+|PF 2|）2﹣2|PF 1||PF 2|+2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2]=14×24＝6， 故|OP |=√6． 故选：A ．10．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，下列四个结论中，错误的是（ ）A ．存在点E ，EF ∥平面ABB 1A 1B ．对任意点E ，EF ⊥DB 1C ．存在点E ，使得EF 与BD 所成的角是60°D ．不存在点E ，使得EF 与平面AA 1C 1C 所成的角是30° 解：设正方体的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），A 1（1，0，1），B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），F(12，1，12)， 设E （x ，y ，1），C 1E →=λC 1A 1→(0≤λ≤1)，则（x ，y ﹣1，0）＝λ（1，﹣1，0）， ∴x ＝λ，y ＝1﹣λ，即E （λ，1﹣λ，1）， ∴EF →=（12−λ，λ，−12），选项A ，取平面ABB 1A 1的一个法向量为DA →=(1，0，0)， 令EF →⋅DA →=12−λ=0，解得λ=12，此时EF →⊥DA →， ∴当λ=12时，EF ⊥DA ，∵EF ⊄平面ABB 1A 1，∴EF ∥平面ABB 1A 1，即选项A 正确； 选项B ，DB 1→=(1，1，1)， ∵EF →⋅DB 1→=12−λ+λ−12=0，∴对任意点E ，EF ⊥DB 1，即选项B 正确；选项C ，由BD →=(−1，−1，0)，知EF →⋅BD →=λ−12−λ=−12， ∵EF 与BD 所成的角是60°， ∴|cos〈EF →，BD →〉|=|EF →⋅BD →||EF →||BD →|=|−12|√2⋅√(12−λ)+λ2+(−12)=12，化简得2λ2﹣λ＝0，解得λ=12或λ＝0，故存在点E ，使得EF 与BD 所成的角是60°，即选项C 正确； 选项D ，连接BD ，由底面ABCD 是正方形，知AC ⊥BD ，∵AA 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥BD ， 又AA 1，AC ⊂平面AA 1C 1C ，AA 1∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面AA 1C 1C ，即BD →是平面AA 1C 1C 的一个法向量， 由选项C 可知，存在点E ，使得EF 与BD 所成的角是60°，∴存在点E ，使得EF 与平面AA 1C 1C 所成的角是30°，即选项D 错误． 故选：D ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 225+y 29=1的两个焦点，横坐标为4的点M 在椭圆C 上，则△F 1MF 2的周长为 18 ．解：因为椭圆C ：x 225+y 29=1，由椭圆定义可得|MF 1|+|MF 2|＝10，|F 1F 2|＝8， 所以△F 1MF 2的周长为|MF 1|+|MF 2|+|F 1F 2|＝18． 故答案为：18．12．古代名著中的《营造法式》集中了当时的建筑设计与施工经验．如图1为《营造法式》中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分是底面为矩形的四棱锥S ﹣ABCD ，如图2所示，其侧面SAD 是边长为2√3cm 的等边三角形，AB ＝1cm ，且平面SAD ⊥底面ABCD ，则该四棱锥的体积为 2√3 cm 3．解：取AD 的中点E ，连接SE ，由侧面SAD 是边长为2√3cm 的等边三角形，得SE ⊥AD ， 已知平面SAD ⊥底面ABCD ，又SE ⊂平面SAD ，平面SAD ∩底面ABCD ＝AD ， 所以SE ⊥底面ABCD ，即四棱锥S ﹣ABCD 的高为SE ，且SE =√32×2√3=3cm ， 又底面矩形ABCD 的面积为2√3cm 2， 则四棱锥S ﹣ABCD 的体积V =13×2√3×3=2√3cm 3． 故答案为：2√3．13．过原点且倾斜角为30°的直线被圆x 2+（y ﹣2）2＝4所截得的弦长为 2 ． 解：过原点且倾斜角为30°的直线方程为y =√33x ，圆x 2+（y ﹣2）2＝4的圆心为（0，2），半径r ＝2， 圆心到直线的距离为d =2√1+13=√3，则截得的弦长为2√r 2−d 2=2√4−3=2． 故答案为：2．14．已知点（2，1）在函数f(x)={x 2+2x ，x ≤a 2x−3，x ＞a 的图像上，且f （x ）有最小值，则常数a 的一个取值为1（不唯一） ．解：设g （x ）＝x 2+2x ，h （x ）＝2x ﹣3，分别绘制g （x ），h （x ）函数的大致图像如下图：其中g （x ）＝x 2+2x 有最小值，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣1，h （x ）＝2x ﹣3没有最小值，y ＝﹣3是它的渐近线，点（2，1）在h （x ）上，∴a ＜2，h （1）＝﹣1，如上图，当a ＜1时，f （x ）不存在最小值， ∴1≤a ＜2；故答案为：a ＝1（不唯一）．15．已知函数f(x)=x +kx 的定义域为（0，+∞），其最小值为2．点M 是函数图象上的任意一点，过点M 分别作直线l ：y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ．其中O 为坐标原点．给出下列四个结论： ①k ＝1；②不存在点M ，使得|MA |＝2023； ③|MA |•|MB |的值恒为√22； ④四边形OAMB 面积的最小值为√22+1． 其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：函数f(x)=x +kx 的定义域为（0，+∞），其最小值为2，当k ≤0时，f(x)=x +k x 在（0，+∞）上单调递增，没有最小值，不合题意，则有k ＞0， f(x)=x +k x ≥2√x ⋅k x =2√k ，当且仅当x =kx，即x =√k 时等号成立， ∴f （x ）在（0，+∞）上有最小值2√k ，得2√k =2，解得k ＝1，故结论①成立； f(x)=x +1x ，设M(x 0，x 0+1x 0)(x 0＞0)，则|MB |＝x 0，|OB|=x 0+1x 0，由点M 到直线y ＝x 的距离可得：|MA|=|x 0−(x 0+1x 0)|√1+(−1)=1√2x 0=√22x 0， 当√22x 0=2023时，解得x 0=√24046，此时|MA |＝2023，故结论②错误； |MA|⋅|MB|=√22x 0⋅x 0=√22，故结论③成立；MA 所在直线方程为y −(x 0+1x 0)=−(x −x 0)，与方程y ＝x 联立，解得y =x =x 0+12x 0，则有A(x 0+12x 0，x 0+12x 0)，则|OA|=√2(x 0+12x 0)，四边形OAMB 面积S =S △MAO +S △MBO =12|MB|⋅|OB|+12|OA|⋅|MA| =12x 0(x 0+1x 0)+12⋅√22x 0⋅√2(x 0+12x 0) ＝1+12x 02+14x 02≥1+2√12x 02⋅14x 02=1+√22，当且仅当12x 02=14x 02，即x 0=√842时等号成立，∴四边形OAMB 面积的最小值为√22+1，故结论④正确． 故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步验或证明过程． 16．（14分）已知函数f(x)=4cosxsin(x +π3)−√3． （1）求函数f （x ）的单调递增区间； （2）求函数f （x ）在区间[π4，2π3]上的值域． 解：（1）f(x)=4cosxsin(x +π3)−√3=4cosx(12sinx +√32cosx)−√3 =2sinxcosx +2√3cos 2x −√3=sin2x +2√3×1+cos2x2−√3 =sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)， 令−π2+2kπ≤2x +π3≤π2+2kπ（k ∈Z ）， 解得−5π12+kπ≤x ≤π12+kπ（k ∈Z ）， 所以f （x ）的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]（k ∈Z ）；（2）当x ∈[π4，2π3]时2x +π3∈[5π6，5π3]，所以sin(2x +π3)∈[−1，12]， 如图所示，所以f(x)=2sin(2x +π3)∈[−2，1]，所以f （x ）在区间[π4，2π3]上的值域为[﹣2，1]．17．（14分）已知直线l ：x ﹣ay ﹣2＝0，圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝2． （1）若a ＞1，求证：直线l 与圆C 相交；（2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．若△ABC 的面积为1，求a 的值． 解：（1）证明：圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝2，圆的圆心（a ，1），半径为√2，圆心到直线的距离为d =√1+a 2=√1+a 2，因为a ＞1，所以√1+a 2√2，所以a ＞1时，直线l 与圆C 相交．（2）由直线l ：x ﹣ay ﹣2＝0，恒过（2，0）点，圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝2，圆的圆心（a ，1），半径为√2，△ABC 的面积为1，12×√2×√2sin∠ACB =1，可得∠ACB =π2， 圆心到直线的距离为d =2√1+a 2=1，解得a =±√3．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥AB ，P A ＝AB ＝1，AD ＝2，E ，F 分别是BC ，P A 的中点． （1）求证：EF ∥平面PCD ；（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面EFD 与平面P AB 夹角的余弦值． 条件①：平面P AB ⊥平面ABCD ； 条件②：PC =√6．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．解：（1）证明：取PD 的中点G ，连接GF ，CG ，因为G ，F 分别为PD ，P A 的中点，则GF ∥AD ，且GF =12AD ， 又因为ABCD 为矩形，且E 分别为BC 的中点，则CE ∥AD ，且CE =12AD ，可得GF ∥CE ，且GF ＝CE ，即CEFG 为平行四边形， 则EF ∥CG ，且EF ⊄平面PCD ，CG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ． （2）若选条件①：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， P A ⊥AB ，P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥平面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，2，0），D （0，2，0）， P （0，0，1），E （1，1，0），F(0，0，12)， 可得DE →=（1，﹣1，0），DF →=（0，﹣2，12），设平面EFD 的法向量n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅DE →=x −y =0n →⋅DF →=−2y +12z =0， 令x ＝1，则y ＝1，z ＝4，可得n →=(1，1，4)， 由题意可知：平面P AB 的法向量m →=(0，1，0)， 可得cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=1√1+1+16×1=√26． 所以平面EFD 与平面P AB 夹角的余弦值为√26． 若选条件②：PC =√6．连接AC ，底面ABCD 为矩形，AB ＝1，AD ＝2， 则可得AC =√5，又AP ＝1，则P A 2+AC 2＝1+5＝6＝PC 2，所以P A ⊥AC ， 又P A ⊥AB ，AB ∩AC ＝A ，所以P A ⊥平面ABCD ， 下同选条件①． 19．（14分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，离心率为√22．直线l ：x ＝ty +2与椭圆交于P ，Q 两点，点A （3，2）不在直线l 上，直线P A 与x ＝4交于点B ． （1）求椭圆E 的方程； （2）求直线QB 的斜率． 解：（1）因为椭圆的短轴长为4， 所以2b ＝4，b ＝2，因为离心率为√22， 所以e =c a =√22， 又a 2＝b 2+c 2， 所以c ＝2，a =2√2， 所以椭圆E 的方程x 28+y 24=1．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立{x 28+y 24=1x =ty +2，化简可得（t 2+2）y 2+4ty ﹣4＝0，令Δ＝（4t ）2﹣4（t 2+2）•（﹣4）＝32t 2+32＞0，即t 2+1＞0， y 1+y 2=−4t t 2+2，y 1y 2=−4t 2+2， 因为A （3，2）不在直线l 上， 所以3≠2t +2，即t ≠12，则直线P A 方程为：y −2=y 1−2x 1−3(x −3)，令x ＝4，则y =y 1−2x 1−3+2=y 1+2x 1−8x 1−3， 因为直线P A 与x ＝4交于点B ， 所以B(4，y 1+2x 1−8x 1−3)，所以k QB =y 1+2x 1−8x 1−3−y 24−x 2=2ty 1−4−ty 1y 2+(y 1+y 1)ty 1+t(y 1+y 1)−t 2y 1y 2−2，将y 1+y 2=−4t t 2+2，y 1y 2=−4t 2+2代入，可得k QB =2ty 1−4ty 1−2=2， 所以直线QB 的斜率为2．20．（14分）已知函数f （x ）＝ax +bx +2ln(1−x)，曲线y ＝f （x ）在（﹣1，f （﹣1））处的切线方程为y +3﹣2ln 2＝0．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的定义域及单调区间；（3）求函数f（x）的零点的个数．解：（1）由f(x)=ax+bx+2ln(1−x)，得f′(x)=a−bx2−21−x（x＜1，且x≠0），则f′（﹣1）＝a﹣b﹣1，f（﹣1）＝﹣a﹣b+2ln2，因为曲线y＝f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y+3﹣2ln2＝0，所以f′（﹣1）＝a﹣b﹣1＝0，f（﹣1）＝﹣a﹣b+2ln2＝﹣3+2ln2，解得a＝2，b＝1；（2）由（1）可知，f(x)=2x+1x+2ln(1−x)，需满足{x≠01−x＞0，则其定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）；而f′(x)=2−1x2−21−x=−2x3+x−1x2(1−x)=−(x+1)(2x2−2x+1)x2(1−x)，因为2x2−2x+1=2(x−12)2+12＞0，1−x＞0，所以令f′（x）＞0，解得x＜﹣1；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜1且x≠0，所以f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣1），单调递减区间为（﹣1，0），（0，1）；（3）由（2）可知，当x＝﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）＝﹣3+2ln2＜0，当x＜0且x无限趋近于0时，f(x)=x+2x+2ln(1−x)的值趋向于负无穷大，即f（x）在区间（﹣∞，0）内无零点；当x＞0且x无限趋近于0时，f(x)=x+2x+2ln(1−x)的值趋向于正无穷大，当x＜1且x无限趋近于1时，f(x)=x+2x+2ln(1−x)的值趋向于负无穷大，由此可作出函数f（x）的图象，如图所示．结合f(1e)=1e+2e+2ln(1−1e)=1e+2e+2ln(e−1e)＞1e+2e+2ln e−1e2＞1e +2e +2ln1e2=1e +2e −4＞0， f(1−1e 2)=1−1e 2+21−1e 2+2ln 1e 2=e 2−1e 2+2e 2e 2−1−4=e 2−1e 2+2e 2−1−2＜0，所以f （x ）在（﹣∞，0）∪（0，1）内的零点个数为1．21．（15分）设k ，m 是正整数，如果存在非负整数a 1，a 2，⋯，a k ，c 1，c 2，⋯，c k 使得m =∑(−1)a i ki=12c i ，则称m 是k ﹣好数，否则称m 是k ﹣坏数．例如：2＝（﹣1）0•20+（﹣1）0•20，所以2是2﹣好数． （1）分别判断22，23，24是否为3﹣好数；（2）若m 是偶数且是k ﹣好数，求证：m 是（k +1）﹣好数，且m2是k ﹣好数；（3）求最少的2023﹣坏数．解：（1）因为22＝（﹣1）0•24+（﹣1）0•22+（﹣1）0•21，所以22是3﹣好数， 因为23＝（﹣1）0•24+（﹣1）0•23+（﹣1）1•20，所以23是3﹣好数， 因为24＝（﹣1）0•24+（﹣1）0•22+（﹣1）0•22，所以24是3﹣好数；（2）由题意m 是k ﹣好数当且仅当m =∑(−1)a i ki=12c i ，a 1，a 2，⋯，a k ，c 1，c 2，⋯，c k 是非负整数，分以下两种情形来说明m 是（k +1）﹣好数，①若存在c i ＝0，不妨设为c 1=0，2c 1=1，此时(−1)a 1=1或(−1)a 1=−1， 则当k ≥2时，m =1+∑(−1)a i k i=22c i ，或m =−1+∑(−1)a i ki=22c i ，因此m =(−1)0⋅21+(−1)1⋅20+∑(−1)a i k i=22c i ，或m =(−1)1⋅21+(−1)0⋅20+∑(−1)a i ki=22c i ， 即此时m 是（k +1）﹣好数；当k ＝1时，m =(−1)a 1⋅2c 1，由题意m ＞0，因此不妨取a 1=0，(−1)a 1=1，即m =2c 1， 因为m 是偶数，所以c 1≥1，c 1﹣1≥0，从而m =(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1是（k +1）﹣好数； ②若不存在c i ＝0，则任取c i ，均有c i ≥1，当然也有c 1≥1，而此时(−1)a 1=1或(−1)a 1=−1， 则当k ≥2时，m =2c 1+∑(−1)a i k i=22c i ，或m =−2c 1+∑(−1)a i ki=22c i ， 由①可知，当c 1≥1，c 1﹣1≥0时，2c 1=(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1，因此m =(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1+∑(−1)a i ki=22c i ，或m =(−1)1⋅2c 1−1+(−1)1⋅2c 1−1+∑(−1)a i ki=22c i ，即此时m 是（k +1）﹣好数；当k ＝1时，m =(−1)a 1⋅2c 1，由题意m ＞0，因此不妨取a 1=0，(−1)a 1=1，即m =2c 1， 因为c 1≥1，c 1﹣1≥0，从而m =(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1是（k +1）﹣好数；综上所述：若m 是偶数且是k ﹣好数，则m 是（k +1）﹣好数． 若m 是偶数且是k ﹣好数，接下来我们说明m2是k ﹣好数，即已知m =∑(−1)a i ki=12c i 是偶数，a 1，a 2，⋯，a k ，c 1，c 2，⋯，c k 是非负整数， 由以上分析可知(−1)a i =1或(−1)a i =−1，2c i =1，(c i =0)或2c i ≥2，(c i ≥1)是偶数，且（﹣1）0•21+（﹣1）1•20＝1，2c i =(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1，−2c i =(−1)1⋅2c 1−1+(−1)1⋅2c 1−1，不妨设(−1)a i ⋅2c i =1，(a i =0，c i =0，1≤i ≤p)，(−1)a i ⋅2c i =−1，(a i =1，c i =0，p +1≤i ≤p +q)，m i =(−1)a i ⋅2c i =2c i ，(a i =0，c i ≥1，p +q +1≤i ≤p +q +r)，n i =(−1)a i ⋅2c i =−2c i ，(a i =1，c i ≥1，p +q +r +1≤i ≤p +q +r +s)，所以m =∑(−1)a i ki=12c i =p −q +∑ p+q+ri=p+q+1m i +∑ p+q+r+si=p+q+r+1n i ， 因为m ，m i =2c i ，n i =−2c i ，c i ≥1均是偶数，所以∑ p+q+r i=p+q+1m i +∑ p+q+r+s i=p+q+r+1n i 是偶数，p −q =m −(∑ p+q+r i=p+q+1m i +∑ p+q+r+si=p+q+r+1n i )是偶数，所以m 2=p−q 2+12∑ p+q+r i=p+q+1m i +12∑ p+q+r+si=p+q+r+1n i=p−q 2[(−1)0⋅21+(−1)1⋅20]+12∑[(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1]p+q+r i=p+q+1+12∑[(−1)1⋅2c 1−1+(−1)1⋅2c 1−1]p+q+r+s i=p+q+r+1， 综上所述，若m 是偶数且是k ﹣好数，则m 2也是k ﹣好数；（3）记n ＝1+2+23+25+⋯+22k ﹣1，k ≥1，设m ＜n ：①若m 的二进制表示中只有至多有k 个1，那么m 显然是k ﹣好数；②若m 的二进制表示中有至少有（k +1）个1，那么m 的二进制表示至多有（2k ﹣1）位， 此时，m 的二进制表示中的那些0隔出了若干个1串， 如果一个1串的长度为1，它一定能表示为2t ， 如果一个1串的长度大于1，它一定能表示为2u ﹣2v ，假设m 是k ﹣坏数，长度为1的1串的数量为p ，长度大于1的1串的数量为q ， 那么就意味着p +2q ＞k ， 记K ＝p +2q ，如果我们标出每个1串最左边和最右边的1，那么这些1两两不相邻，且总数目为K ， 但事实上，由于一共至多有（2k ﹣1）位，所以K ≤k ，产生矛盾， 这就意味着m 一定是k ﹣好数， 所以小于n 的正整数都是k ﹣好数，接下来我们用反证法来证明n 是k ﹣坏数， 假设n 是k ﹣好数，由于n 的二进制表示中，1的个数是大于k 的， 所以n 的那个表示里，肯定存在负号项，也就是说n 可以表示成两个正整数P ，Q 之差，不妨设n ＝P ﹣Q ， 且P ，Q 的二进制中1的个数之和不超过k ，而且我们还可以同时去掉P ，Q 的那些位数相同的1，全都变成0，所以n 可以表示成两个正整数P ，Q 的差，P ，Q 的二进制中1的个数之和不超过k ，且没有相同位置的1，那么就设P ，Q 的二进制表示中，1的数量分别是u ，v ， 则u +v ≤k ，那么：（1）P 的二进制表示中，最左最右两个1之间的0段的数目至多有（u ﹣1）个；（2）每给P 减掉一个2t （且P 的2t 位为0），最左最右两个1之间的0段的数目至多增加1个， 增加1个当且仅当减掉的这个位置左边最近的1的左边还是1，且这个位置的右边是0； （3）n 的二进制表示中，最左最右两个1之间有（k ﹣1）个0段，由（1）（2）我们知道，n 的二进制表示中，最左最右两个1之间的0段的数目至多有（u +v ﹣1）个， 结合（3）就可以知道（u +v ）必须等于k ，且（1），（2），（3）的每个不等关系都取等， 由于（1）的不等关系取等， 所以P 的最后一位必须是0， 但n 的最后一位是1， 所以Q 的最后一位是1， 但是由于（2）的不等关系取等，所以最后在减掉20＝1这步时，右边还有0， 而这不可能，因为已经是最后一位了， 所以假设不成立， 从而n 是k ﹣坏数，所以最小的k ﹣坏数是n =1+2+23+25+⋯+22k−1=1+2×(1−22k )1−22=2×4k+13，k ≥1， 因此最小的2023﹣坏数是2×42023+13=24047+13．。
2024北京北师大附中高二(上)期中数学
北京师大附中2024-2025学年（上）高二期中考试数 学 试 卷班级： 姓名： 学号：一、选择题共10小题，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1350y --=的倾斜角为（A ）6π（B ）3π （C ）32π（D ）56π （2）已知(1,,2)k =-a ，(2,2,4)k =b ，若//a b ，则实数k =（A ）2- （B ） 1- （C ）2（D ）1（3）已知直线l 的方程为210x y ++=，则过点(1,3)A 且与l 垂直的直线方程为（A ）270x y +-= （B ）210x y -+= （C ）250x y +-=（D ）250x y --=（4）已知平面α的一个法向量(2,1,1)=n ，直线l 的一个方向向量(1,0,2)=v ，则（A ）l α∥ （B ）l α⊥（C ）l α⊂（D ）l 与α相交且不垂直（5）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段D 1B 上一点，且BP =2D 1P ， 若1AP xAB yAD z AA =++(,,)x y z ∈R ，则x y z ++=（A ）23（B ）43（C ）53（D ）1（6）在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，则直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值为（A 2（B 3（C 6（D 10 （7）如图，在三棱锥D -ABC 中，平面ABC ⊥平面DAC ,,AB BC ⊥AD CD ⊥,AB BC CD AD ===，则二面角A BC D --的余弦值为 （A 3（B ）12（C 3（D 5（8）设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，已知//m α，n β⊥， 则“//m n ”是“αβ⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，点M 是PC 的中点，3AB =，4PA =，60PAD PAB ∠=∠=，则AM =（A ）582（B 58（C ）292（D ）4DACMDAB（10）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为BC 的中点，点P 在线段CC 1上，则△D 1EP 面积的最小值为（A（B（C（D）5二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京化院附中上学期高二数学期考AqnKnU
北京化院附中上学期高二数学期考一、选择：每小题4分（1）已知：a>b>c 则：一定成立的不等式是（ ）A 、ac>bc B|ac|>|bc| C 、ac 2>bc 2 D 、b(a-b)>c(a-b)（2）不等式的解集是1)(312>x tog tog （ ）21|{20|{<<<<x x C x x A 、、3121|{3120|{<<<<x x D x x B 、、（3）A 、B 、C 三点共线，点C 分AB 所成比是-3，则点B 分AC 所成的比是（） A 、2 B 、21C 、-21D 、-2（4）点(a,b)关于直线y=x+1的对称点是（ ）A 、（b+1，a ）B 、（b ，a+1）C 、（b+1，a-1）D 、（b-1，a+1）（5）过点B （2，3），且在两标上有相等截距的直线方程是（ ）A 、x+y-5=0B 、x+y+5=0C 、x+y-5=0或x+y+5=0D 、x+y-5=0或3x-2y=0（6）已知：a<0,则：不等式x 2-ax-12a 2〈0的解集（ ）A 、{x|4a<x<-3a} B{x|-3a<x<4a}C 、{x|3a<x<-4a}D 、{x|-4a<x<3a}(7)直线2x+y+a=0与直线x+2y+b=0的位置关系（ ）A 、平行B 、重直C 、相次不垂直D 、不能确定与a ，b 取值无关（8）已知：直线643+=x y ，一直线l 平行于此直线且相距4个单位，则：直线l 可能的方程式是（ ） A 、143+=x y B 、x y 43= C 、143-=x y D 、243+=x y （9）不等式4x-1-3.2x+1+32>0的解集是（ ）A 、（-x,2）∪ (3,+x) B、（2，3）C 、（-x,3）∪(4,+x)D 、（3，4）（10）不等式|x+2|+|x-1|<5的解集是（ ）A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-2<x<1}C 、{x|-23<x<21} D 、{x|-3<x<π} (11)直线x ∙cosx+y+1=0(x∈R)的倾斜解的取值范围（ ）]43[]40[]44[πππππ，，、，、⋃-C A ]430[]434[πππ，、，、D B （12）无论a 、b 为何值，直线（2a+b ）x+(a+b)y+a-b=0都通过定点（ ）A 、（3，-2）B 、（-2，3）C 、（-2，-3）D （-3，-2）二、填空每小题4分（13）不等式解集1103122222≤----x x x x （14）已知：A （-1，1），B （x ，5），C （2，x ）三点共线，则x=（15）若：函数2)1()1011()(22+--+--=x a x a a x f 对于x ∈R 恒为正值，则：a 的取值范围是（16）点M （a ，b ）在直线3x+4y=15上运动，则a 2+b 2的最小值三、解答题：（17）设：}13|{-≥-=x x x A B={x| |x-1|<a}若：A ∩B=B求：a 的范围（7分）（18）已知：直线l ，Ax-2y+Z=0,l 2:2x+6y+c=0,相交于点（1，m ），且从l 2到l 1的角为450. 求：A 、C 、m 的值（7分）（19） 已知：a 、b∈R + 且a≠b(a 4+b 4)(a 2+b 2)>(a 3+b 3)2 (7分)（20）已知：xyz∈R + 且 x+y+z=1求证：(1-x)(1-y)(1-z)≥8xyz (7分)（21）已知：∆ABC中，A（3，1），∠B的平分线BE所在直线的方程是x-4y+10=0 AB 边上的中线CD所在的直线方程为6x+10y-59=0求：BC边所在直线的方程（8分）答案。
北京教院附中初三数学期中试卷2011-2012上.doc
北京教育学院附属中学2011-2012学年度 第一学期初三年级数学期中试卷 2011.11试卷共五道大题，33道小题，满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题（本题共30分，每小题3分。
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．）1．二次函数223y x x =-+的对称轴为 （ ）A ． 2x =-B ．2x =C ．1x =D ．1x =-2．如图，ABC △内接于O ⊙，若30OAB ∠=°， 则C ∠的大小为 （ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60° D ．︒903. 下列说法正确的个数有 ( )① 平分弦的直径垂直于弦; ② 三点确定一个圆; ③ 等腰三角形的外心一定在它的内部; ④ 同圆中等弦对等弧A.0个B. 1个C. 2个D. 3个4．某汽车销售公司2007年盈利1500万元， 2009年盈利2160万元，且从2007 年到2009年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）．A ．21500(1)2160x += B ． 2150015002160x x += C ．215002160x = D ． 21500(1)1500(1)2160x x +++=5．如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ． 相交D ．内切6．在△ABC 中，O 为外心，∠A=92°，则∠BOC 的度数为： （ ） A ．88° B. 92° C. 184° D. 176°7.将二次函数22y x =的图像先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的图像的解析式为（ ）A ．22(1)3y x =--B ．22(1)3y x =-+C ．22(1)3y x =+-D ．22(1)3y x =++8．抛物线1C ：21y x =+与抛物线2C 关于x 轴对称，则抛物线2C 的解析式为（ ） A. 2y x =- B. 21y x =-+ C. 21y x =- D. 21y x =-- 9．已知二次函数22(21)1y m x m x =+++ 的图像与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是 （ ） A ．14m >-B ．14m ≥-C ．14m >-且0m ≠D ．14m ≥-且0m ≠ 10. 如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为（1,0-）、（3，0）.下列说法正确的个数是（ ）①0ac < ②0a b c ++>③方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =④当1x >时，y 随着x 的增大而增大A.1B. 2C.3D.4二、 填空题（本题每空2分，共26分） 11．一元二次方程220x x -=的解是 。
北京化工学院附中上学期期中考试
高三期中数学试卷一、选择题（有且仅有一个答案）（1）集合M={0，1，2}的所有非空真子集的个数是（ ）（A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个（2）对于函数f(x)=1g xx -+11的右奇偶数性，下列判断中正确的是（ ） （A ）是奇函数 （B ）是偶函数 （C ）赤奇赤偶函数（D ）非奇非偶函数（3）函数f(x)=4x 2=mx+5，当x ∈（-2，+∞）时是增函数，当x ∈(-∞,-2)时是减函数，则f(1)的值等于（A ）-7 （B ）1 （C ）17 （D ）25（4）函数y=1og 2(x 2+2)(x ≤)的反函数是（ ）（A ）y=22+x (x ≥0) （B ）y=-22+x (x ≥0)（C ）y=22-x (x ≥1) （D ）y=-22-x (x ≥1)（5）与方程1og a f （x ）=1og a g(x)(a ＞0，a ≠1)的解集相同的方程是（ ）（A ）)()(x g x f = （B ）a f(x)=a g(x) （C ）)(1)(1x g x f = （D ）f 2(x)=g 2(x)（6）在P 1P 2的延长线上有一点P 使|211p p p p |=5，则P 分有向线段P 1P 2的比21pp p p 为：（ ） （A ）45 （B ）-45 （C ）±45 （D ）-45或-65 （7）直线x+3y+2=0与直线4x+2y-1=0所成的角是（ ）（A ）6π （B ）4π （C ）656ππ或 （D ）ππ434或 （8）抛物线y=2px 2(p ＞0)上一点M 到焦点的距离是p 1，则该点的纵坐标是（ ） （A ）p 87 （B ）p 1 （C ）2p （D ）p81 （9）已知比曲线mx 2+ny 2=1的焦点在y 轴上，则它的两个焦点坐标为（ ）（A ）（±m n 11-，0） （B ）（0，±mn 11- （C ）（±m n 11+，0） （D ）（0，±m n 11+） （10）若实数x,y 满足2x 2-6x+y 2=0，则x 2+y 2+2x 的最大值为（ ）（A ）14 （B ）15 （C ）16 （D ）无法确定（11）曲线x=-21y -与曲线x+|ay|=0，（a ∈R ）的公共点个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）0或2或4（12）双曲线2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （4，0），过双曲线的右顶点作垂直于x 轴的垂线交双曲线的渐近线于A ，B 两点，O 为为坐标原点，则△AOB 面积的最大值为（ ）（A ）8 （B ）16 （C ）20 （D ）24二、填空题：本大题共4小题把答案填在题中横线上。
北京教院附中初三数学期中试卷2011-2012上
②abc 0
③方程 ax2 bx c 0 的根为 x1 1 ， x2 3
-1 O
3x
④当 x 1 时， y 随着 x 的增大而增大
A.1
B. 2 C.3
D.4
二、 填空题（本题每空 2 分，共 26 分）
11．一元二次方程 x2 2x 0 的解是
。
12 ． 圆内接四边形 ABCD 中，∠A ，∠B ，∠C 的度数比为 3 ：2 ：7 ，则∠D 的度数
（ ）．
A．1500(1 x)2 2160 B． 1500x 1500x2 2160
C．1500x2 2160 D． 1500(1 x) 1500(1 x)2 2160
5．如果两圆半径分别为 5 和 8，圆心距为 3，那么这两个圆的位置关系是（
）
A．外离
B．外切
C． 相交
D．内切
)
① 平分弦的直径垂直于弦;
② 三点确定一个圆;
③ 等腰三角形的外心一定在它的内部;
④ 同圆中等弦对等弧
A.0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
4．某汽车销售公司 2007 年盈利 1500 万元， 2009 年盈利 2160 万元，且从 2007 年到 2009 年，每
年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为 x ，根据题意，下面所列方程正确的是
为
。
13 ． 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 (a 1)x2 x a2 1 0 的 一 个 根 是 0 ， 则 a 的 值
为
．
1
密
学号：
封
装
14．圆锥的母线长为 3，底面半径为 2，则它的侧面积为
．
15. 半 径 为 5cm 的 圆 中 有 两 条 平 行 弦 ， 长 度 分 别 为 6cm 和 8cm ， 则 这 两 条 弦 的 距 离
2023-2024学年北京理工大学附中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京理工大学附中高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ）A ．16B ．12C ．4+8√2D ．4+4√22．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β⇒α∥β B ．n ∥m ，n ⊥α⇒m ⊥α C ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥αD ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n3．如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为12，圆柱部分的高为2，底面圆的半径为1，则该组合体的体积为（ ）A ．π3B ．2πC ．13π6D ．5π24．已知a →，b →，c →是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A ．3a →，a →−b →，a →+2b →B ．2b →，b →−2a →，b →+2a →C ．a →，2b →，b →−c →D ．c →，a →+c →，a →−c →5．已知x ，y ∈R ，向量a →=(x ，1，1)，b →=(1，y ，1)，c →=(3，−6，3)，且a →⊥c →，b →∥c →，则|a →+b →|=（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4D ．36．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线AB 1与平面ACC 1A 1所成的角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．已知点P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱A 1D 1上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是（ ） A ．√33B ．23C ．2√55D ．√558．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．CC 1与B 1E 是异面直线B ．AC ⊥平面ABB 1A 1C ．AE 与B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E9．在正三棱锥P ﹣ABC 中，O 是△ABC 的中心，P A ＝AB ＝2，则PO →⋅PA →=（ ） A ．59B ．√63C ．4√23D ．8310．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．4√55B ．2C ．2√2D ．3二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11．设向量AB →=(1，2，4)，CD →=(m ，1，1)，AB →⊥CD →，则实数m ＝ ． 12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为3，则C 1到平面A 1BD 的距离为 ．13．已知直线m ，n 的方向向量分别为a →=(1，−2，2)，b →=(1，3，0)，则直线m ，n 夹角的余弦值为 ．14．在古代数学中，把正四棱台叫做方亭，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了方亭的体积公式V =13(a 2+ab +b 2)ℎ，a 为方亭的下底面边长，b 为上底面边长，h 为高．某地计划在一片平原地带挖一条笔直的沟渠，渠的横截面为等腰梯形，上底为10米，下底为6米，深2米，长为837.5米，并把挖出的土堆成一个方亭，设计方亭的下底面边长为70米，高为6米，则其侧面与下底面所成的二面角的正切值为 ．15．已知圆锥的底面半径为2√3，高为2，S 为顶点，A ，B 为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是 ． ①圆锥的体积为8π；②圆锥侧面展开图的圆心角大小为√3π； ③圆锥截面SAB 面积的最大值为4√3；④若圆锥的顶点和底面上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为2563π．三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16．（10分）设x ，y ∈R ，向量a →=（x ，1，1），b →=（1，y ，1），c →=（2，﹣4，2），且a →⊥b →，b →∥c →， （1）求|a →+b →|；（2）求向量a →+b →与2a →+b →−c →夹角．17．（10分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，M 、N 分别为A 1B 、AC 的中点． （1）证明：MN ∥平面BCC 1B 1；（2）求A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的大小．18．（10分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝CC 1，M 为AB 的中点，D 在A 1B 1上且A 1D ＝3DB 1．（1）求证：平面CMD ⊥平面ABB 1A 1； （2）求直线CM 与平面CBD 所成角的正弦值； （3）求二面角B ﹣CD ﹣M 的余弦值．19．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且AB ＝2，∠ABC ＝2∠BAD ，∠PDC =π2，点M 为棱DP 的中点．（1）在棱BC 上是否存在一点N ，使得CM ∥平面P AN ，并说明理由； （2）若PB ⊥AC ，二面角B ﹣CM ﹣D 的余弦值为√66时，求点A 到平面BCM 的距离．2023-2024学年北京理工大学附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ）A ．16B ．12C ．4+8√2D ．4+4√2解：设原图形的四边形为OABC ， 则根据斜二测法规则及题意可知： 原图形中|OB |＝4√2，|OA |＝2， 又原图形中OB ⊥OA ，∴原图形中|AB |=√(4√2)2+22=6， ∴原图形的周长是2×（2+6）＝16． 故选：A ．2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β⇒α∥β B ．n ∥m ，n ⊥α⇒m ⊥α C ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥αD ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n解：m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于A ，m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β⇒α与β相交或平行，故A 错误； 对于B ，n ∥m ，由线面垂直的判定定理得到：n ⊥α⇒m ⊥α，故B 正确； 对于C ，m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α或n ⊂α，故C 错误；对于D ，α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 平行或异面，故D 错误． 故选：B ．3．如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为12，圆柱部分的高为2，底面圆的半径为1，则该组合体的体积为（ ）A ．π3B ．2πC ．13π6D ．5π2解：依题意可知，底面圆的半径为r ＝1，圆柱部分的高为h 1＝2，圆锥部分的高为ℎ2=12， 所以圆柱部分的体积为V 1=πr 2ℎ1=π×12×2=2π， 圆锥部分的体积为V 2=13πr 2ℎ2=13×π×12×12=16π， 所以该组合体的体积为V =V 1+V 2=2π+16π=136π． 故选：C ．4．已知a →，b →，c →是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A ．3a →，a →−b →，a →+2b →B ．2b →，b →−2a →，b →+2a →C ．a →，2b →，b →−c →D ．c →，a →+c →，a →−c →解：对于选项A ，由3a →=2（a →−b →）+（a →+2b →），即3a →，a →−b →，a →+2b →共面，不能构成空间的一个基底；对于选项B ，由2b →=(b →−2a →)+(b →+2a →)，即2b →，b →−2a →，b →+2a →共面，不能构成空间的一个基底； 对于选项C ，设a →=x （2b →）+y(b →−c →)，又a →，b →，c →是不共面的三个向量，则x 、y 无解，即a →，2b →，b →−c →不共面，能构成空间的一个基底；对于选项D ，由c →=12(a →+c →)−12(a →−c →)，则c →，a →+c →，a →−c →共面，不能构成空间的一个基底， 故选：C ．5．已知x ，y ∈R ，向量a →=(x ，1，1)，b →=(1，y ，1)，c →=(3，−6，3)，且a →⊥c →，b →∥c →，则|a →+b →|=（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4D ．3解：∵x ，y ∈R ，向量a →=(x ，1，1)，b →=(1，y ，1)，c →=(3，−6，3)，且a →⊥c →，b →∥c →， ∴{3x −6+3=0y −6=13，解得x ＝1，y ＝﹣2，故a →=(1，1，1)，b →=(1，−2，1)， 故|a →+b →|＝|（2，﹣1，2）|＝3． 故选：D ．6．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线AB 1与平面ACC 1A 1所成的角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解：正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，连接B 1D 1∩A 1C 1＝O ，连接AO ，如图，则有B 1O ⊥A 1C 1，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1O ⊂平面A 1B 1C 1D 1，即有B 1O ⊥AA 1， 又AA 1∩A 1C 1＝A 1，AA 1，A 1C 1⊂平面ACC 1A 1，因此B 1O ⊥平面ACC 1A 1， 则∠B 1AO 是直线AB 1与平面ACC 1A 1所成的角，在Rt △AB 1O 中，∠AOB 1＝90°，B 1O =12B 1D 1=12AB 1，则有∠B 1AO ＝30°， 所以直线AB 1与平面ACC 1A 1所成的角为30°． 故选：A ．7．已知点P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱A 1D 1上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是（ ） A ．√33B ．23C ．2√55D ．√55解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则A （1，0，0），B （1，1，0）， C （0，1，0），P （x ，0，1），其中0≤x ≤1， 所以AB →=（0，1，0），CP →=（x ，﹣1，1）， 则cos α＝|cos ＜AB →，CP →＞|=√x 2+2，可知当x ＝1，即P 与A 1重合时，cos α=1√x 2+2取得最小值√33． 故选：A ．8．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．CC 1与B 1E 是异面直线B ．AC ⊥平面ABB 1A 1C ．AE 与B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E 解：A 不正确，因为CC 1与B 1E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B 不正确，由题意知，上底面ABC 是一个正三角形，故不可能存在AC ⊥平面ABB 1A 1； C 正确，因为AE ，B 1C 1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D 不正确，因为A 1C 1所在的平面与平面AB 1E 相交，且A 1C 1与交线有公共点，故A 1C 1∥平面AB 1E 不正确； 故选：C ．9．在正三棱锥P ﹣ABC 中，O 是△ABC 的中心，P A ＝AB ＝2，则PO →⋅PA →=（ ） A ．59B ．√63C ．4√23D ．83解：∵P ﹣ABC 为正三棱锥，O 为△ABC 的中心， ∴PO ⊥平面ABC ，△ABC 是等边三角形，∴PO ⊥AO ， ∴PO →⋅OA →=0，|AO|=23⋅|AB|⋅sin60°=2√33，故PO →⋅PA →=PO →⋅(PO →+OA →)=|PO →|2=|AP|2−|AO|2=4−43=83． 故选：D ．10．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．4√55B ．2C ．2√2D ．3解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设P （a ，b ，0），则D 1（0，0，2），E （1，2，0），B 1（2，2，2）， B 1P →=（a ﹣2，b ﹣2，﹣2），D 1E →=（1，2，﹣2）， ∵B 1P ⊥D 1E ，∴B 1P →⋅D 1E →=a ﹣2+2（b ﹣2）+4＝0， ∴a +2b ﹣2＝0，∴点P 的轨迹是一条线段，当a ＝0时，b ＝1；当b ＝0时，a ＝2， 设CD 中点F ，则点P 在线段AF 上，当A 与P 重合时，线段B 1P 的长度为：|AB 1|=√4+4=2√2；当P 与F 重合时，P （0，1，0），B 1P →=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B 1P 的长度|B 1P →|=√4+4+1=3，当P 在线段AF 的中点时，P （1，12，0），B 1P →=（﹣1，−32，﹣2），线段B 1P 的长度|B 1P →|=√1+94+4=√292．∴线段B 1P 的长度的最大值为3． 故选：D ．二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11．设向量AB →=(1，2，4)，CD →=(m ，1，1)，AB →⊥CD →，则实数m ＝ ﹣6 ． 解：∵向量AB →=(1，2，4)，CD →=(m ，1，1)，AB →⊥CD →， ∴AB →•CD →=m +2+4＝0，解得m ＝﹣6， 故答案为：﹣6．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为3，则C 1到平面A 1BD 的距离为 2√3 ． 解：连接AC 1，AD 1，∵A 1D ⊥AD 1，又D 1C 1⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1， ∴A 1D ⊥D 1C 1，又AD 1∩D 1C 1＝D 1， ∴A 1D ⊥平面AC 1D 1，又AC 1⊂平面AC 1D 1， ∴AC 1⊥A 1D ，同理可得AC 1⊥A 1B ，故AC 1⊥平面A 1BD ． 连接AC 交BD 于O ，连接A 1O 交AC 1于点E ， 可以证明△AOE ∽△C 1A 1E ，则AE C 1E=AO A 1C 1=12，所以C 1E =23AC 1=2√3，即C 1到平面A 1BD 的距离为2√3． 故答案为：2√3．13．已知直线m ，n 的方向向量分别为a →=(1，−2，2)，b →=(1，3，0)，则直线m ，n 夹角的余弦值为 √106 ． 解：设直线m ，n 夹角为θ，则cosθ=|a →⋅b →||a →|⋅|b →|=|1−6|√1+4+4√1+9=√106． 故答案为：√106． 14．在古代数学中，把正四棱台叫做方亭，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了方亭的体积公式V =13(a 2+ab +b 2)ℎ，a 为方亭的下底面边长，b 为上底面边长，h 为高．某地计划在一片平原地带挖一条笔直的沟渠，渠的横截面为等腰梯形，上底为10米，下底为6米，深2米，长为837.5米，并把挖出的土堆成一个方亭，设计方亭的下底面边长为70米，高为6米，则其侧面与下底面所成的二面角的正切值为 625 ． 解：由题意知挖出的土的体积V =837.5×12×(10+6)×2=13400，则由13×(702+70b +b 2)×6=13400，整理得b 2+70b ﹣1800＝0， 解得b ＝20或b ＝﹣90（舍去）．在正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝70，A 1B 1＝20，设点B 1在底面ABCD 内的射影为点E ，点C 1在底面ABCD 内的射影为点N ，设直线EN 分别交AB 、CD 于点F 、M ，连接B 1F 、C 1M ，∵B 1E ⊥平面ABCD ，C 1N ⊥平面ABCD ，∴B 1E ∥C 1N ，又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴B 1E ＝C 1N ，故四边形B 1C 1NE 为矩形，∴FM ∥B 1C 1，∵AB ⊥BC ，B 1C 1∥BC ，则FM ∥BC ，∴AB ⊥FM ，∵B 1E ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则AB ⊥B 1E ，∵FM ∩B 1E ＝E ，FM 、B 1E ⊂平面B 1C 1MF ，∴AB ⊥平面B 1C 1MF ，∵B 1F ⊂平面B 1C 1MF ，∴B 1F ⊥AB ，∴侧面AA 1B 1B 与底面ABCD 所成二面角的平面角为∠B 1FE ，易知四边形AA 1B 1B 、CC 1D 1D 是全等的等腰梯形，且BB 1＝CC 1，∠ABB 1＝∠DCC 1，∴B 1F ＝BB 1sin ∠ABB 1＝CC 1sin ∠DCC 1＝C 1M ，∵FM ∥BC ，BF ∥CM 且FB ⊥BC ，则四边形BCMF 为矩形，故FM ＝BC ，则FM ≠B 1C 1， 故四边形B 1C 1MF 为等腰梯形，∵B 1F ＝C 1M ，B 1E ＝C 1N ，∠B 1EF ＝∠C 1NM ＝90°，故△B 1EF ≌△C 1NM ，∴EF ＝MN ，又∵EN ＝B 1C 1＝20，FM ＝BC ＝70，故EF =FM−EN 2=70−202=25， 在Rt △B 1EF 中，tan ∠B 1FE =B 1E EF =625． 故答案为：625．15．已知圆锥的底面半径为2√3，高为2，S 为顶点，A ，B 为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是 ①②④ ．①圆锥的体积为8π；②圆锥侧面展开图的圆心角大小为√3π；③圆锥截面SAB 面积的最大值为4√3；④若圆锥的顶点和底面上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为2563π． 解：因为圆锥的底面半径r =2√3，高为h ＝2，所以圆锥的母线长SA =SB =√r 2+ℎ2=√(2√3)2+22=4，所以圆锥的体积V =13πr 2ℎ=13π×(2√3)2×2=8π，①正确；设圆锥侧面展开图的圆心角大小为α，则2π×2√3=α×4，α=√3π，②正确；当圆锥截面SAB 为圆锥的轴截面时，此时SA =SB =4，AB =4√3，则cos ∠ASB =SA 2+SB 2−AB 22SA⋅SB =−12，又∠ASB ∈（0，π），∴∠ASB =2π3， 由S △ASB =12AS •BS sin ∠ASB ，所以当∠ASB =π2时，圆锥截面SAB 面积的最大，此时S △ASB =12⋅SA ⋅SA ⋅sin∠ASB =12×4×4×1=8，故③错误；设圆锥的外接球半径为R ，由球的性质可知R 2＝（h ﹣R ）2+r 2，即R 2=(2−R)2+(2√3)2，解得R ＝4，所以外接球体积V =43πR 3=43π×43=256π3，④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16．（10分）设x ，y ∈R ，向量a →=（x ，1，1），b →=（1，y ，1），c →=（2，﹣4，2），且a →⊥b →，b →∥c →，（1）求|a →+b →|；（2）求向量a →+b →与2a →+b →−c →夹角．解：（1）x ，y ∈R ，向量a →=（x ，1，1），b →=（1，y ，1），c →=（2，﹣4，2），且a →⊥b →，b →∥c →， 可得x +y +1＝0，12=y −4=12，解得x ＝1，y ＝﹣2， 则a →+b →=（2，﹣1，2），则|a →+b →|=√22+(−1)2+22=3．（2）因为2a →+b →−c →=（1，4，1），所以(a →+b →)•(2a →+b →−c →)=2×1+（﹣1）×4+2×1＝0向量(a →+b →)与(2a →+b →−c →)夹角为π2． 17．（10分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，M 、N 分别为A 1B 、AC 的中点．（1）证明：MN ∥平面BCC 1B 1；（2）求A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的大小．（1）证明：如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，则A （2，0，0），C （0，2，0），A 1（2，0，2），B （2，2，0），B 1（2，2，2），M （2，1，1），N （1，1，0），所以MN →=(−1，0，−1)，因为DC ⊥平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1的一个法向量为DC →=(0，2，0)，因为MN →⋅DC →=0，所以MN →⊥DC →，因为MN 不在平面BCC 1B 1内，所以MN ∥平面BCC 1B 1．（2）DC →=(0，2，0)，DA 1→=(2，0，2)，A 1B →=(0，2，−2)，设平面A 1B 1CD 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)则{n →⋅DA 1→=2x +2z =0n →⋅DC →=2y =0，令z ＝1，则x ＝﹣1，y ＝0，所以n →=(−1，0，1)，设A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角为θ，则sinθ=|cos〈A 1B →，n →〉|=|A 1B →⋅n →||A 1B →|⋅|n →|=|−2|2√2⋅√2=12， 因为0°≤θ＜180°，所以A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角为30°．18．（10分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝CC 1，M 为AB 的中点，D 在A 1B 1上且A 1D ＝3DB 1．（1）求证：平面CMD ⊥平面ABB 1A 1；（2）求直线CM 与平面CBD 所成角的正弦值；（3）求二面角B ﹣CD ﹣M 的余弦值．解：（1）证明：∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1，M 为AB 的中点，∴CM ⊥AB ，AA 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，∴CM ⊥AA 1，又AA 1∩AB ＝A ，AA 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，∴CM ⊥平面ABB 1A 1，又CM ⊂平面CMD ，∴平面CMD ⊥平面ABB 1A 1；（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝CC 1＝4a ，则C （0，0，0），B （0，4a ，0），D （a ，3a ，4a ），M （2a ，2a ，0），BD →=(a ，−a ，4a)，BC →=(0，−4a ，0)，CM →=(2a ，2a ，0)，设面BDC 的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BD →=xa −ya +4za =0n →⋅BC →=−4ya =0，取z ＝1，得n →=(−4，0，1)，设直线CM 与平面CBD 所成角为θ，则sinα=|cos ＜CM →，n →＞|=−8a 8a⋅√17=2√3417； （3）设面CDM 的法向量为m →=(x′，y′，z′)，又CD →=(a ，3a ，4a)，CM →=(2a ，2a ，0)，则{m →⋅CD →=x′a +3y′a +4z′a =0m →⋅CM →=2x′a +2y′a =0，取x ′＝2，得m →=(2，−2，1)，故cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−8+1√16+1⋅√4+4+1=−7√1751， 由图可知，二面角B ﹣CD ﹣M 的平面角为锐角，所以二面角B ﹣CD ﹣M 的余弦值为7√1751．19．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且AB ＝2，∠ABC ＝2∠BAD ，∠PDC =π2，点M 为棱DP 的中点．（1）在棱BC 上是否存在一点N ，使得CM ∥平面P AN ，并说明理由；（2）若PB ⊥AC ，二面角B ﹣CM ﹣D 的余弦值为√66时，求点A 到平面BCM 的距离．解：（1）在棱BC 上存在点N ，使得CM ∥平面P AN ，点N 为棱BC 的中点．证明如下： 取P A 的中点Q ，连结NQ 、MQ ，由题意，MQ ∥AD 且MQ =12AD ，CN ∥AD 且CN =12AD ，故CN ∥MQ 且CN ＝MQ ．∴四边形CNQM 为平行四边形．∴CM ∥NQ ，又CM ⊄平面P AN ，NQ ⊂平面P AN ，∴CM ∥平面P AN ．（2）取AB 中点E ，因为底面ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，又PB ⊥AC ，且PB ∩BD ＝B ，所以AC ⊥平面PBD ，即PD ⊥AC ．又∠PDC =π2，即PD ⊥DC ，而DC ∩AC ＝C ，所以PD ⊥平面ABCD ．又∠ABC ＝2∠BAD ，所以△ABD 为正三角形，即DE ⊥AB ，也即DE ⊥DC ，所以DE ，DC ，DP 两两互相垂直．以D 为坐标原点，分别以DE ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 设MD ＝a ，则D （0，0，0），M （0，0，a ），C （0，2，0），B(√3，1，0)，A(√3，−1，0)． 所以MC →=(0，2，−a)，CB →=(√3，−1，0)．设平面MBC 的一个法向量为m →=(x →，y →，z →)．由{m →⋅AC →=2y −az =0m →⋅CB →=√3x −y =0，取x ＝1，得m →=(1，√3，2√3a )； 取平面DMC 的一个法向量为n →=(1，0，0)．由题意，√66=|cos〈m →，n →〉|=√1+3+a 2，解得a =√6． ∴MA →=(√3，−1，−√6)．设点A 到平面BCM 的距离为d ，则d =|m →⋅MA →||m →|=√36=√2． 即点A 到平面BCM 的距离为√2．。
北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知向量()3,2,4m =-，()1,3,2n =-- ，则m n += （）A ．B ．8C ．3D ．92．直线y ＝－2x －7在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是()A ．a ＝－7，b ＝－7B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－73．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若1123AC aAB bAD cA A =++，则abc 的值等于（）A ．16B ．56C ．76D ．16-4．方程x 2+y 2+ax ﹣2by +c ＝0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为（）A ．4、2、4B ．﹣4、2、4C ．﹣4、2、﹣4D ．4、﹣2、﹣45．已知,a b 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是A ．若a α，∥，则b αB ．若a α，a β∥，则αβ∥C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥D ．若a α⊥，b α⊥，则∥6．若直线1:310l ax y ++=与直线()2:2110l x a y +++=互相平行，则a 的值是（）A ．3-B ．2C ．3-或2D ．3或2-7．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点11,,,E F F E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（）A ．32B ．74C ．2D ．948．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()2,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A1B ．1C ．D 9．已知动直线l 与圆22:16O x y +=交于A 、B 两点，且120AOB ∠=o .若l 与圆()22225x y -+=相交所得的弦长为t ，则t 的最大值与最小值之差为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，曲线W 1y +=，P 为W 上的任意一点，给出下面四个命题：①曲线W 上的点关于x 轴、y 轴对称；②曲线W 上两点间的最大距离为③O 的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④曲线W 围成的图形的面积小于23.则以上命题中正确命题为（）A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④二、填空题11．直线:10l x +-=的倾斜角为，经过点(且与直线l 垂直的直线方程为.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则在正方体的顶点中，满足到平面1A DB 的距的一个顶点为.13．直线l 过点()4,0-且与圆22(1)(2)9x y ++-=相切，那么直线l 的方程为.14．设m ∈R ，过定点M 的直线1:310l x my m +--=与过定点N 的直线2:310l mx y m --+=相交于点P ，则点M 坐标为，PM PN +的最大值为.15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别是棱1111A B A D ，的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形；②直线11B D 到平面CMN ；③存在点P ，使得11=90B PD ∠︒；④△1PDD 面积的最小值是6．其中所有正确结论的序号是．三、解答题16．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱111ABCD A B C D '-中，AD BC ∥，AD AB ⊥，AB =，2AD =，4BC =，12AA =，点E 是1DD 的中点，点F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点.(1)证明：11//EF A D ；(2)求直线1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值.17．已知圆C 过原点O 和点()1,3A ，圆心在x 轴上.(1)求圆C 的方程；(2)直线l 经过点()1,1，且l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程；(3)过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON=+ ，求动点Q 的轨迹方程.18．图1的正方形ABCD ，将ACD 沿AC 折起得到如图2所示的三棱锥P ABC -，且PB =(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)棱PA 上是否存在一点M ，使得二面角M BC A --的余弦值为539，若存在，求出AM AP 的值；若不存在，请说明理由.。
2024学年北京理工大学附中高二数学上学期期中练习试卷附答案解析
2024学年北京理工大学附中高二数学上学期期中练习试卷一、单选题（本大题共10小题）1．直线30y --=的倾斜角是（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则棱1BB 到面11AAC C 的距离为（）A ．3a B ．a C ．2a D ．3．如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1111AA D C BB +-=（）A ．1AB B ．DC C ．AD D ．BA4．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若21l l //，则a =（）A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．已知l m ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列结论正确的是()A ．若l m αβαβ⊂⊂∥，，，则lmB ．若l m l m αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥C ．若l m m l αββ⋂=⊂⊥，，，则αβ⊥D ．若n l l n αβαβα⊥⋂=⊂⊥，，，，则l β⊥6．如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（）A ．716π+B ．7566π+C ．718π+D ．1π+7．已知直线:l y kx b =+，22:1O x y +=e ，则“||1b <”是“直线l 与O 相交”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知直线l ：20ax y --=和点(2,1)P ，(3,2)Q -，若l 与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是（）A ．3243a -≤≤B ．34a ≤-或23a ≥C ．4332a -≤≤D ．43a ≤-或32a ≥9．当曲线1y =330kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是A ．120,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,25⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．122,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设()11,A x y ，()22,B x y ，则欧几里得距离(),D A B =；曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-，余弦距离()(),1cos ,e A B A B =-，其中()cos ,cos ,A B OA OB =（O 为坐标原点）．若点()2,1M ，(),1d M N =，则(),e M N 的最大值为（）A ．1-B ．110-C ．2515-D ．1-二、填空题（本大题共5小题）11．两平行直线12:3420:3410l x y l x y ++=+-=，之间的距离是12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为DB ，11AC 的中点，则直线1A M 和BN 的夹角的余弦值为13．已知圆22:(1)4C x y +-=，过点P 作圆的切线，则切线方程为.14．已知直线l 过点()4,1P 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当三角形OAB 面积取最小值时直线l 的斜率为．15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1AC 的中点，1AQ t AB =，[]0,1t ∈，则下列说法正确的（请把正确的序号写在横线上）①1PQ A B⊥②当12t =时，//PQ 平面11BCC B③当13t =时，PQ 与CD 所成角的余弦值为11④当14t =时，1A Q ⊥平面1PAB 三、解答题（本大题共4小题）16．已知ABC V 的顶点(1,5)A -，(2,1)B --，(4,7)C .(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AD 所在直线的方程；(3)求ABC V 的面积.17．已知四边形ABCD 为正方形，O 为AC ，BD 的交点，现将三角形BCD 沿BD 折起到PBD 位置，使得PA AB =，得到三棱锥P ABD -.(1)求证：平面PBD ⊥平面ABD ；(2)棱PB 上是否存在点G ，使平面ADG 与平面ABD 夹角的余弦值为PG PB；若不存在，说明理由.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，Q 为棱PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面ACQ ；(2)若BA PD ⊥，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥P ABCD -唯一确定，并求：（i ）直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值；（ii ）点P 到平面ACQ 的距离．条件①：二面角P CD A --的大小为45 ；条件②：2PD =条件③：AQ PC ⊥．19．设二次函数23y x =-的图象与两坐标轴的交点分别记为M ，N ，G ，曲线C 是经过这三点的圆．(1)求圆C 的方程；(2)过(1,0)P -作直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．（i ）||||PA PB ⋅是否是定值？如果是，请求出这个定值；（ii ）设(0,2)Q -，求22||||QA QB +的最大值．参考答案1．【答案】B【详解】解：由直线30y --=得直线的斜率k =又直线的倾斜角为α，且[)0,180α∈︒︒，所以tan α=60α=︒故选：B.2．【答案】C【详解】如图，连接1111,A C B D ，它们交于点O ，正方形中1111AC B D ⊥，又1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111AA B D ⊥，1111111,,AA A C A AA A C ⋂=⊂平面11AAC C ，所以11B D ⊥平面11AAC C ，所以1B O 的长即为棱1BB 到面11AAC C 的距离，而122B O a =，所以所求距离为2a ．故选：C ．3．【答案】B【详解】由题中所给平行六面体1111ABCD A B C D -可知，11AA BB →→=，11D C DC →→=，故111111AA D C BB D C DC →→→→→+-==．故选：B 4．【答案】B【分析】由条件结合直线平行结论列方程求a ，并对所得结果进行检验.【详解】因为1l ∥2l ，()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，所以()112a a +=⨯，所以220a a +-=，解得2a =-或1a =，当2a =-时，1:220l x y -+=，2:220l x y -+=，直线12,l l 重合，不满足要求，当1a =时，1:20+-=l x y ，2:10l x y ++=，直线12,l l 平行，满足要求，故选B.5．【答案】D【详解】A ，若l m αβαβ⊂⊂∥，，，则lm 或异面，故该选项错误；B ，若l m l m αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥或相交，故该选项错误；C ，若l m m l αββ⋂=⊂⊥，，，则α，β不一定垂直，故该选项错误；D ，若n l l n αβαβα⊥⋂=⊂⊥，，，，则利用面面垂直的性质可得l β⊥，故该选项正确.故选：D.6．【答案】A【分析】该组合体可视作一个正方体和78个球体的组合体，进而求出体积.【详解】由题意，该组合体是一个正方体和78个球体的组合体，其体积为33747111836+⨯π⨯=+π.故选：A.7．【答案】A【详解】由题意可得直线:l y kx b =+与22:1O x y +=e 相交，则2211b k <⇒<+当||1b <时，满足221b k <+，即“||1b <”是“直线l 与O 相交”的充分条件；当直线:l y kx b =+与22:1O x y +=e 相交时，不一定有||1b <，比如2,3b k ==也满足，所以“||1b <”是“直线l 与O 相交”的充分不必要条件.故选:A.8．【答案】D【详解】由直线l ：20ax y --=可知直线l 必过定点A (0,2)-，且直线l 的斜率为a ，如下图所示：由斜率公式可知，直线AP 的斜率为213022AP k --==-，直线AQ 的斜率为2240(3)3AQ k --==---，若l 与线段PQ 相交，只需要32AP a k ≥=或43AQ a k ≤=-，故实数a 的取值范围是43a ≤-或32a ≥.故选：D.9．【答案】D 【详解】如图所示：∵曲线1y =，直线330kx y k --+=，∴()2214x y +-=，1y ≤，()33y k x =-+，圆心()0,1O ，直线过定点()3,3，直线过()2,1时，有两个交点，此时13k =-+，2k =，直线与下半圆相切时，2=，125k =，∴1225k ≤<.故答案选D ．10．【答案】C【详解】设(),N x y ，则(),211d M N x y =-+-=，即211x y -+-=，可知211x y -+-=表示正方形ABCD ，其中()()()()2,0,3,1,2,2,1,1A B C D ，即点N 在正方形ABCD 的边上运动，因为()()2,1,,OM ON x y ==，由图可知：当()cos ,cos ,M N OM ON = 取到最小值，即,OM ON最大，点N 有如下两种可能：①点N 为点A ，则()2,0ON = ，可得()cos ,cos ,M N OM ON ==②点N 在线段CD 上运动时，此时ON 与DC同向，不妨取()1,1ON = ，则()cos ,cos ,M N OM ON ==；因为>(),e M N 的最大值为2515-.故选：C.11．【答案】35【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式计算即可.【详解】两条平行直线1l ：3420x y ++=与2l ：3410x y +-=之间的距离为35=.故答案为：35.12．【答案】23【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()12,0,2,1,1,0,2,2,0,1,1,2A M B N ，故1A M 和BN 的夹角的余弦值为114263A M BN A M BN⋅===⋅.故答案为：2313．【答案】5y =+【详解】因为22(21)4+-=，所以点P 在圆上，设切线的斜率为k ，则1CP k k ⋅=-，,3PC k k ==∴=.则切线方程为25y x x =+=+.故答案为：5y =+14．【答案】14-/0.25-【详解】设s 0，()0,B b ，其中,0a b >，设直线l 的方程为1x ya b+=，因为直线l 过点()4,1P ，所以411a b+=，由基本不等式可得411a b =+≥所以4≥，16ab ≥，当且仅当41a b=，即8a =，2b =时取等号，所以ab 的最小值为16，此时OAB △的面积取最小值8，直线l 的斜率为201084-=--.故答案为：14-.15．【答案】①②③【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(),0,Q t t ，所以111,,222QP t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()11,0,1A B =- ，所以10QP A B ⋅=，所以1PQ A B ⊥，①正确；当12t =时，110,,022QP BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以//PQ BC ，又⊂BC 平面11BCC B ，PQ ⊄平面11BCC B ，从而//PQ 平面11BCC B ，②正确；当13t =时，111,,626QP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D=1,0,0，所以PQ 与CD所成角的余弦值为16cos ,11DC QP DC QP DC QP ⋅==，③正确；当14t =时，113,0,44A Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()11,0,1AB = ，111310442A Q AB ⋅=-=-≠ ，所以1AQ 不垂直于1AB ，所以1AQ 不垂直于平面1PAB ，④错误．故答案为：①②③.16．【答案】(1)34170x y +-=(2)40x y +-=(3)14【详解】（1）因为(1,5)A -，(2,1)B --，(4,7)C ，所以7(1)44(2)3BC k --==--，所以34AD k =-，则边BC 上的高AD 所在直线的方程为()3514y x -=-+，即34170x y +-=；（2）由题意可知M 是BC 的中点，所以()1,3M ，从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即40x y +-=；（3）由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()127142y x ----=----，即4350x y -+=，所以点A 到直线BC 的距离145h =，又10BC ==，所以ABC V 的面积为11141014225BC h ⋅=⨯⨯=.17．【答案】(1)证明见解析(2)存在，12PGPB =【详解】（1）因为四边形ABCD 为正方形，所以OA OB OC OD ===，,OC OB OA OB ⊥⊥，所以折起后，OA OB OP OD ===，OP OB ⊥，由于折起前有222OA OB AB +=，且折起后PA AB =，所以折起后有222OA OP PA +=，即OP OA ⊥，又OP OB ⊥，OA OB O = ，,OA OB ⊂平面ABD ，所以OP ⊥平面ABD ，又OP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD .（2）存在，理由如下：由（1）知OP OB ⊥，OP OA ⊥，OA OB ⊥，所以以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z轴建立空间直角坐标系，设1OA =，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1P ，则()1,1,0AD =-- ，()0,1,1PB =- ，()1,0,1AP =- ，假设存在满足题意的点G ，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤≤ ，则()1,,1AG AP PG λλ=+=-- ，设平面ADG 的法向量为(),,n x y z = ，则·0·0AD nAG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即()010x y x y z λλ--=⎧⎨-++-=⎩，令1x =，得1y =-，11z λλ+=-，即11,1,1n λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ ，易知平面ABD 的一个法向量为()0,0,1m = ，因为平面ADG 与平面ABD夹角的余弦值为，所以·cos ,n m n m n m 〈〉=整理得22520λλ-+=解得12λ=或2λ=（舍），所以在棱PB 上存在点G ，使平面ADG 与平面ABD夹角的余弦值为12PG PB =.18．【答案】(1)证明见解析(2)（i ）13；（ii）3【详解】（1）（1）连接BD ，交AC 于O ，连接OQ ，底面ABCD 是正方形，故O 是BD 的中点，又因为Q 为棱PD 的中点，所以，在PBD △中OQ ∥PB ，而OQ ⊂平面,ACQ PB ⊄平面ACQ ，所以PB ∥平面ACQ ．（2）选①②：因为四边形ABCD 是正方形，所以,,BA AD AD CD BA ⊥⊥∥CD ，又因为BA PD ⊥，所以CD PD ⊥，因为二面角P CD A --的大小为45 ，平面PAD ⋂平面,,ABCD CD AD CD PD CD =⊥⊥，所以45ADP ∠= ，在PAD △中，2222cos 1PA AD PD AD PD ADP ∠=+-⋅⋅=，所以222PA AD PD +=，故PA AD ⊥，又因为,,,BA AD BA PD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选①③：因为四边形ABCD 是正方形，所以,,BA AD AD CD BA ⊥⊥∥CD ，又因为BA PD ⊥，所以CD PD ⊥，因为二面角P CD A --的大小为45 ，平面PAD ⋂平面,,ABCD CD AD CD PD CD =⊥⊥，所以45ADP ∠= ，因为,,,CD PD CD AD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AQ ⊂平面PAD ，所以CD AQ ⊥，又因为,,AQ PC PC CD C PC CD ⊥⋂=⊂､平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以AQ PD ⊥，又因为Q 为PD 中点，所以PA AD =，所以45APD ADP ∠∠== ，所以90PAD ∠= ，即PA AD ⊥，因为BA ∥,CD CD ⊥平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选②③：因为四边形ABCD 是正方形，所以,AD CD BA ⊥∥CD ，因为,,,CD PD CD AD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AQ ⊂平面PAD ，所以CD AQ ⊥，又因为,,AQ PC PC CD C PC CD ⊥⋂=⊂､平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以AQ PD ⊥，又因为Q 为PD 中点，所以1PA AD ==，在PAD △中，222PA AD PD +=，故PA AD ⊥，因为BA ∥,CD CD ⊥平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选①②③同上．以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,0,0,,,0,0,122A C D Q P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()110,,,1,1,0,1,1,122AQ AC PC ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，令(),,m x y z = 为面ACQ 的一个法向量，则110,220.m AQ y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩令1x =，则()1,1,1m =- ，（i）因为1cos ,3m PC m PC m PC⋅=== ，所以直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为13，（ii ）由（i ）知点P 到平面ACQ的距离133PC =．19．【答案】(1)()2214x y ++=(2)（i ）||||PA PB ⋅是定值，定值为2；（ii）12+【详解】（1）设二次函数23y x =-与x 轴分别交于,M N ，与y 轴交于点G ，令0y =，则x =即)(),M N ，令0x =，则=3y -，则()0.3G -，设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将点M 、N 、G的坐标代入可得3030930F F E F ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪-+=⎪⎩，解得023D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，则22230x y y ++-=，化为标准式为()2214x y ++=.（2）||||PA PB ⋅是定值.（i ）当直线l 的斜率不存在时，则l 方程为1x =-，联立()22141x y x ⎧++=⎪⎨=-⎪⎩，可得11x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩或11x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即()()1,1,1A B --，则1PA =，1PB =，则2PA PB ⋅=；当直线l 的斜率存在时，设l 方程为()1y k x =+，设1,1,2,2，联立直线与圆的方程()()22114y k x x y ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩，消去y 可得()()()222212230k x k k x k k +++++-=，由韦达定理可得()22121222223,11k k k k x x x x k k -++-+==++，且PA =PB =，则()()()212111PA PB k x x ⋅==+++()()()()222221212222311111k k k k k k x x x x k k -+++-++=++++=++()222121k k -=+⨯=+；综上所述，2PA PB ⋅=是定值.（ii ）由（i ）可知，当直线l的斜率不存在时，()()1,1,1A B --，且()0,2Q -，则())222115QA =-++=+()()222115QB =-+=-，则2210QA QB +=；当直线l 的斜率存在时，设l 方程为()1y k x =+，则()()222222112222QA QB x kx k x kx k +=+++++++()()()()222221212124288k x x k k x x k k =++++++++()()()()()2222222222242231224288111k k k kk k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤+-++-⎢⎥⎢⎥=+-⨯++⨯+++⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦⎣⎦()()2222222244(2)2(23)28811k k k k k k k k k k k k +-++=-+-++++++()22414141k k k k -+=+++()241141k k k -=++224(1)44141k k k -+++=++24(1)101k k +=++令1t k =+，则1k t =-222224(1)4410101011(1)22k t tQA QB k t t t ++=+=+=+++--+令24()1022tf t t t =+-+当0t =，即1k =-时，(0)10f =；当0t ≠，即1k ≠-时，244()10102222tf t t t t t =+=+-++-；2+(,)t t ∈-∞-⋃+∞当2+t t =t =，11k t =-=时，()f t取最大值12+所以()22max 12QA QB +=+。
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北京化院附中2012年上学期高二数学期中考试
一、选择：每小题4分
（1）已知：a>b>c 则：一定成立的不等式是（ ）
A 、ac>bc B|ac|>|bc| C 、ac 2>bc 2 D 、b(a-b)>c(a-b)
（2）不等式的解集是1)(31
2>x tog tog （ ）
21|{20|{<<<<x x C x x A 、、3
1
21|{3
1
20|{<<<<x x D x x B 、、
（3）A 、B 、C 三点共线，点C 分AB 所成比是-3，则点B 分AC 所成的比是（
）
A 、2
B 、21
C 、-21
D 、-2
（4）点(a,b)关于直线y=x+1的对称点是（ ）
A 、（b+1，a ）
B 、（b ，a+1）
C 、（b+1，a-1）
D 、（b-1，a+1）
（5）过点B （2，3），且在两标上有相等截距的直线方程是（ ）
A 、x+y-5=0
B 、x+y+5=0
C 、x+y-5=0或x+y+5=0
D 、x+y-5=0或3x-2y=0
（6）已知：a<0,则：不等式x 2-ax-12a 2〈0的解集（ ）
A 、{x|4a<x<-3a} B{x|-3a<x<4a}
C 、{x|3a<x<-4a}
D 、{x|-4a<x<3a}
(7)直线2x+y+a=0与直线x+2y+b=0的位置关系（ ）
A 、平行
B 、重直
C 、相次不垂直
D 、不能确定与a ，b 取值无关
（8）已知：直线64
3+=
x y ，一直线l 平行于此直线且相距4个单位，则：直线l 可能的方程式是（ ） A 、143+=
x y B 、x y 43= C 、14
3-=x y D 、243+=x y （9）不等式4x-1-3.2x+1+32>0的解集是（ ）
A 、（-x,2）∪ (3,+x) B、（2，3）
C 、（-x,3）∪(4,+x)
D 、（3，4）
（10）不等式|x+2|+|x-1|<5的解集是（ ）
A 、{x|-1<x<2}
B 、{x|-2<x<1}
C 、{x|-23<x<2
1} D 、{x|-3<x<π} (11)直线x ∙cosx+y+1=0(x∈R)的倾斜解的取值范围（ ）
]43[]40[]44[ππππ
π，，、，、⋃-C A ]4
30[]434[πππ，、，、D B （12）无论a 、b 为何值，直线（2a+b ）x+(a+b)y+a-b=0都通过定点（ ）
A 、（3，-2）
B 、（-2，3）
C 、（-2，-3）
D （-3，-2）
二、填空每小题4分
（13）不等式解集110
3122222≤----x x x x （14）已知：A （-1，1），B （x ，5），C （2，x ）三点共线，则x=
（15）若：函数2)1()1011()(2
2+--+--=x a x a a x f 对于x ∈R 恒为正值，则：a 的取值范围是
（16）点M （a ，b ）在直线3x+4y=15上运动，则a 2+b 2的最小值
三、解答题：
（17）设：}13|{-≥
-=x x x A B={x| |x-1|<a}
若：A ∩B=B
求：a 的范围（7分）
（18）已知：直线l ，Ax-2y+Z=0,l 2:2x+6y+c=0,相交于点（1，m ），且从l 2到l 1的角为450. 求：A 、C 、m 的值（7分）
（19） 已知：a 、b∈R + 且a≠b
(a 4+b 4)(a 2+b 2)>(a 3+b 3)2 (7分)
（20）已知：xyz∈R + 且 x+y+z=1
求证：(1-x)(1-y)(1-z)≥8xyz (7分)
（21）已知：∆ABC中，A（3，1），∠B的平分线BE所在直线的方程是x-4y+10=0 AB 边上的中线CD所在的直线方程为6x+10y-59=0
求：BC边所在直线的方程（8分）。