考研数学(二)题库(高等数学)-第五章 多元函数微分学【圣才出品】

6．已知函数 z＝ex＋3y，x＝cost，y＝t2，则 dz/dt 等于（
e A． 3t2 cost 6t sin t
）。
B．ex＋3y（3t2＋cost）
C．ex＋3yt2cost
D．ex＋3y（6t＋sint）
【百度文库案】A
【
解
析
】
由
题
得
dz z dx z dy ex3y sin t 3ex3y 2t e3t2cost 6t sin t 。
D．当点 P（x，y）沿无穷多条路径趋向定点 P0（x0，y0）时，有 f（x，y）趋于 A
【答案】C
【解析】f（x，y）在点（x0，y0）连续是 lim f x, y 存在的充分条件。 x x0 y y0
xy
9．二元函数
f
x,
y
x2
y2
x, y 0,0
在点（0，0）处（
）。
0 x, y 0,0
x,
y
f
0, 0
0
f x,0 f 0,0
f 0, y f 0,0
B． lim
0 ，且 lim
0
x0
x
y0
y
5 / 76
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
C．fx′（0，0）存在，fy′（0，0）不存在
D．fx′（0，0），fy′（0，0）都不存在
【答案】B
【解析】由 f x, y e 得 x2 y4
f
x
0,
0
lim
x0
f
x,0
x
f
0, 0
lim
x0
ex 1 x
ex 1
ex 1
ex 1
ex 1
又 lim
lim
1 ，lim
lim
1 ，故 fx′（0，0）不存在。
dt x dt y dt
3 / 76
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
7．设 f 有二阶偏导数，z＝f（xy），则∂2z/∂x∂y 等于（ ）。 A．yf″＋f′ B．xy2f″ C．xyf′f″ D．f′＋xyf″ 【答案】D 【解析】∂z/∂x＝yf′，∂2z/∂x∂y＝f′＋yf″·x＝f′＋xyf″。
x, y
x3 x3 lim
x0 x6 x3
2
1 2
，
lim f
y0 x0
x, y
lim
y0
0 06
y y
2
0
知
1 / 76
圣才电子书
www.100xuexi.com
lim f x, y 不存在。
x0 y0
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
3．设
f
x,
y
1 xy
sin
x2 y,
当xy 0
yx
lim f x, y 不存在，即函数 z＝f（x，y）在点（0，0）处不连续。
x0 y0
而
f
x
0,
0
lim x0
f
x,0
x
f
0, 0
lim 0 0 x0 x
0
，
f
y
0,
0
lim
y0
f
0,
y
y
f
0, 0
lim
y0
00 y
0 ，即函数的偏导数存在。
10．二元函数 z＝f（x，y）在点（x0，y0）处存在一阶连续偏导数是它在此点处可微 的（ ）。
，则 fx′（0，1）＝（
）。
0, 当xy 0
A．0
B．1
C．2
D．不存在
【答案】B
【解析】由题知，
f
x
0,1
lim
x0
1 sin x2 x
x
0
lim
x0
sin x2 x2
1。
4．已知 f x, y e x2 y4 ，则（ ）。
A．fx′（0，0），fy′（0，0）都存在
B．fx′（0，0）不存在，fy′（0，0）存在
x x0
x x0
x x0
x x0
2 / 76
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
又
f
y
0,
0
lim
y0
f
0, y
y
f
0, 0
ey2 1
lim
lim
y0 y
y0
y2 y
0 ，故 fy′（0，0）存在。
5．设方程 x＋z＝yf（x2－z2）（其中 f 可微）确定了 z＝z（x，y），则 z∂z/∂x＋y∂z/∂y ＝（ ）。
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．以上都不是 【答案】A 【解析】一阶偏导数在（x0，y0）点连续，则函数在（x0，y0）处可微；而函数在（x0， y0）处可微，其一阶偏导数不一定连续。
11．二元函数 f（x，y）在点（0，0）处可微的一个充分条件是（ ）。
A． lim
x, y0,0
f
A．连续，偏导数存在
B．连续，偏导数不存在
C．不连续，偏导数存在
4 / 76
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
D．不连续，偏导数不存在
【答案】C
【解析】由二元函数式可求得
lim
x0
f
x,
y
0
，
lim
x0
f
x,
y
lim
x0
x2 2x2
1 2
，则
y0
8．若有（
），则 lim f x, y 必存在。 x, y x0 , y0
A． lim lim f x, y lim lim f x, y
xx0 y y0
y y0 xx0
B． lim f xx0
x, k x x0 A ，A 为常数，k 为任意实数
C．函数 f（x，y）在点（x0，y0）连续
x3 y
2．设函数
f
x,
y
x6
y2
x, y 0,0
，则它在点（0，0）处是（
）。
0
x, y 0,0
A．连续的
B． lim f x, y f 0,0 x, y0,0
C．二重极限不存在
D． lim f x, y 存在，但 f（0，0）不存在 x, y0,0
【答案】C
【 解 析 】 由 lim f x0 y x3
A．x B．y C．z D．yf（x2－y2） 【答案】A 【解析】由 x＋z＝yf（x2－z2），可得∂z/∂x＝－（1－y·2xf′）/（1＋2yzf′），∂z/∂y ＝－（－f）/（1＋2yzf′），故有（z∂z/∂x）＋（y∂z/∂y）＝（x－yf＋2xyzf′＋yf）/（1＋ 2yzf′）＝x。
圣才电子书
www.100xuexi.com
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第五章 多元函数微分学
一、选择题 1．若 f（x－y，lnx）＝[1－（y/x）]ex/[eyln（xx）]，则 f（x，y）＝（ ）。 A．1/（yex） B．xex/y C．xex D．xex/（ye2y） 【答案】D 【解析】令 u＝x－y，v＝lnx，故 f（x－y，lnx）＝[（x－y）/x]·ex－y/[xln（x）]＝ueu/（ve2v）＝f（u，v）。将变量 u， v 变为 x，y，，得 f（x，y）＝xex－2y/y。