第二节 简谐振动的特征量

§ 8.2 简谐振动的特征量

一、振幅(amplitude)

作简谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值A ，称为振幅。振幅恒为正。

全振动：

在SI 中，振幅的单位是米，符号为m 。 二、周期 频率 角频率

利用周期、频率、角频率反映振动的快慢 1.周期

物体作一次完全振动所需的时间称为周期，用T 表示。

周期仅与振动系统本身的物理性质有关 在SI 中，周期的单位是秒，符号为s 。 2.频率

单位时间内物体所作完全振动的次数，称为频率，用ν表示。

在SI 中，频率的单位是赫兹，符号为Hz 。 3.角频率

在2π秒内物体作完全振动的次数，称为角频率。

角频率的单位是弧度每秒，符号为rad·s-1。

cos()

x A t ωϕ=+cos()x A t ωϕ=+cos[()]

A t

T ωϕ=++2π

2T ω

=

=1

2π

T ων=

=ω=

三、相位和初相

当振幅A 和角频率一定时，振动物体在任一时刻相对于平衡位置的位移x 和速度v 决定于量值(ω t +ϕ)。把量值ω t +ϕ称为相位。

称(ωt +ϕ )为t 时刻的相位(phase)，反映了t 时刻的物体的振动状态。

在SI 中，相位的单位是弧度，符号为rad 。 相位与x 、v 、a 的关系

初相位(initial phase)：常量ϕ 是t = 0时的相位，称为初相位，简称初相。 t =0称时间零点，是开始计时的时刻，不一定是开始运动的时刻。 初相位反映t = 0时刻的振动状态(x 0，υ0 )。 x 0 = A cos ϕ， υ0 = -ωA sin ϕ

例8-1 试比较简谐振动的位移、速度和加速度之间的相位关系。 解：

设简谐振动的运动学方程为 振动物体的速度则为

振动物体的加速度为

四、常量A 和ϕ 的确定 初始条件

2sin()cos()

A t a A t ωωϕωωϕ=-+=-+v cos()

x A t ωϕ=+cos()x A t ωϕ=+()d sin d x

A ω t t

υωϕ=

=-+πcos 2

A ω t υω⎛⎫

=+ ⎪

⎝

⎭

()ϕω+-==t ωA t

x

a cos d d 222()

πϕω++=t ωA a cos 200

0t x x ===v v

注意：对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定。 五、简谐振动曲线 取

0cos x A ϕ

=0sin A ωϕ

=-

v A =00

tan x ϕω-=

v cos()x A t ωϕ=+0

ϕ=sin()A t ωωϕ=-+v 2cos(π)

A t ωωϕ=++2cos()

a A t ωωϕ=-+π

cos()2

A t ωωϕ=++

x 、υ、a

简谐振动的位移、速度和加速度曲线

例8-2 一放置在水平桌面上的弹簧振子，周期为0.50s 。当t = 0时，物体的位

移 ,速度 。求振动方程。

已知：T=0.5s 求：振动方程 解：

（舍）

则：

例8-3 如图所示，一竖直放置的弹簧振子，其劲度系数为k ，物体的质量为m 。试证物体的振动是简谐振动，并求其振动周期。 取弹簧上未放物体时的自由端位置点O 为坐标原点，x 轴竖直

向下。

当物体放在弹簧上达到平衡时，弹簧缩短量为b

当物体在任一位置x 时

其动力学方程为

令 ，这相当于把坐标原点改放在平衡位置

则动力学方程为

此式表明竖直放置的弹簧振子，仍然作简谐振动。

m 100.120-⨯-=x 100.218m s v -=⋅m 100.120-⨯-=x 1

00.218m s v -=⋅1

-12π2πs 4π s 0.5

ω T -=

==A =

=

=2.0×10-2m

24

2.010cos(4ππ)m

3

x t -=⨯+0

2

00.218tan 1.734 3.1410v ω x ϕ--===⨯⨯4π

3

ϕ=

π

3 ϕ=

x F mg kx

=-kb

mg =2

2d d x

m

mg kx t

=-x b x '-=22

d d x m kx t

'

'=-22d d x m ω x t '

'

=-2k ω m

=令

x

x

六、简谐振动的描述方法

要熟记典型 ϕ 值所相应的振动情况和振动曲线(如图)。

2π2T ω=

=ω=

(a

-t

/2

x 0 = 0

(b )

弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线

(c )

-t

x x 0 = 0

(d )