第二节 简谐振动的特征量
简谐振动的基本特征与计算
简谐振动的基本特征与计算简谐振动是一种重要的物理现象，广泛应用于机械、电子、光学等领域。
本文将介绍简谐振动的基本特征并讨论相关的计算方法。
一、简谐振动的定义与基本特征简谐振动是指一个体系在平衡位置附近，以固有频率在一个稳定状态下周期性地前后运动。
其基本特征包括：1. 振动的周期：简谐振动的周期T是指系统从一个极值点到相邻极值点所经历的时间。
周期的计算公式为T = 2π/ω，其中ω为角频率，定义为振动的频率f与2π的乘积，即ω = 2πf。
2. 振幅：振动的振幅A是指物体在振动过程中离开平衡位置的最大位移。
二、简谐振动的数学表达简谐振动可以用如下的数学表达式来描述：x(t) = A*sin(ωt + φ)其中，x(t)为时间t时刻的位移，A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。
这个表达式称为简谐振动的位移函数，它描述了振动物体位移随时间的变化规律。
三、简谐振动的计算方法1. 求解振动周期T：已知角频率ω或频率f时，可以通过计算T = 2π/ω或T = 1/f来得到振动周期T。
2. 求解振幅A：已知最大位移x_max时，振幅A等于最大位移x_max的绝对值。
3. 求解角频率ω：已知振动周期T或频率f时，可以通过计算ω = 2π/T或ω = 2πf来得到角频率ω。
4. 求解初相位φ：初相位φ通常需要通过已知初始条件的问题进行求解，例如已知初始位移和初始速度。
四、简谐振动的应用简谐振动在实际中有广泛的应用，包括：1. 机械振动：例如弹簧振子、摆锤等，广泛应用于钟表、车辆悬挂系统等。
2. 电子振动：例如电容器振荡电路中的交流振荡器，可以用于发射和接收无线电信号。
3. 光学振动：例如光波的传播和干涉现象都与简谐振动有关。
总结：简谐振动是一种重要的物理现象，它具有固有频率、周期性、线性回复等特征。
通过数学表达式和相关计算方法，我们可以精确地描述和计算简谐振动的各个特征。
简谐振动在机械、电子、光学等领域都有广泛的应用，对于理解和应用这些领域的相关技术和现象具有重要意义。
简谐振动的特征和表示方法
简谐振动的特征和表示方法简谐振动是物理学中一种重要的振动现象，广泛应用于各个领域。
本文将论述简谐振动的特征和表示方法，以帮助读者更好地理解和应用简谐振动。
一、简谐振动的特征简谐振动是指受力恢复力与物体偏离平衡位置成正比的振动过程。
简谐振动具有以下主要特征：1. 平衡位置：简谐振动存在一个平衡位置，该位置处物体不受力作用，相对于该位置发生振动。
2. 振动频率：简谐振动的频率是指单位时间内完成的振动周期数。
频率与弹性系数、质量有关，表征了振动快慢。
3. 振幅：简谐振动的振幅是指物体在振动过程中偏离平衡位置的最大距离，振幅与振动能量相关。
4. 相位：简谐振动的相位是指物体在振动过程中的状态，用来描述物体与平衡位置的关系。
相位角随时间变化而变化。
二、简谐振动的表示方法简谐振动可以用多种方式表示，常见的表示方法包括：1. 位移-时间表示：用物体的位移随时间的变化来描述简谐振动。
位移随时间变化呈正弦或余弦函数关系，可表示为x(t) = Acos(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角速度，φ为相位角。
2. 速度-时间表示：用物体的速度随时间的变化来描述简谐振动。
速度随时间变化呈正弦或余弦函数关系，可表示为v(t) = -Aωsin(ωt + φ)。
3. 加速度-时间表示：用物体的加速度随时间的变化来描述简谐振动。
加速度随时间变化呈正弦或余弦函数关系，可表示为a(t) = -Aω^2cos(ωt + φ)。
4. 质点运动轨迹表示：简谐振动的质点运动轨迹可以用二维坐标系中的曲线来表示。
常见的简谐振动运动轨迹有直线、椭圆和圆周等形状。
5. 动能-势能图表示：简谐振动的动能-势能图是一种图形表示方法，用来描述振动系统的能量变化。
动能-势能图呈现周期性交替变化的特点，体现了能量从动能到势能再到动能的转换。
三、简谐振动的应用简谐振动在物理学、工程学和生物学等领域有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 力学系统中的弹性振动：弹簧振子、单摆等力学系统中的振动往往可以近似看作简谐振动，通过振动频率和振幅等参数来描述振动特性。
简谐运动的特征和规律
加速度-时间关系
描述
简谐运动的加速度随时间呈现周期性 变化，其方向与位移方向相反。
公式
a(t) = - A * ω^2 * sin(ωt + φ)，其 中ω是角频率。
特性
加速度的最大值和最小值分别为-A * ω^2和A * ω^2，且在两个最大值或
最小值之间变化。
04
简谐运动的能量
振幅与能量的关系
02
简谐运动的特征
周期性
总结词
简谐运动是一种周期性运动，即运动过程中任意相同的时间内，通过的位移、速度和加速度等物理量 都会重复变化。
详细描述
简谐运动的周期是描述其重复运动快慢的物理量，表示运动完成一次所需的时间或长度。在简谐运动 中，位移、速度和加速度等物理量均随时间呈现周期性变化，且每个周期内各物理量的变化趋势相同 。
05
简谐运动的实例和应用
弹簧振荡器
弹簧振荡器是简谐运动的典型实例之一，它由弹簧和振荡器组成，通过弹簧的伸缩 实现振荡运动。
弹簧振荡器的振动周期和振幅等参数可以通过调节弹簧的刚度和质量等参数进行控 制。
弹簧振荡器在物理学、工程学和生物学等领域有广泛应用，如测量仪器、减震器和 生物组织振动等。
波动和干涉现象
详细描述
在理想情况下，没有能量损失或外部 力做功的情况下，简谐运动的能量是 守恒的。这意味着在振动过程中，动 能和势能之间可以相互转换，但总量 保持不变。
能量转换与耗散
总结词
在实际情况下，简谐运动过程中存在能量转换和耗散。
详细描述
在现实世界中，由于各种阻尼效应和外部力的作用，简谐运动过程中存在能量转换和耗散。例如，空气阻力、摩 擦力等会消耗振动体的能量，导致振幅逐渐减小，最终使振动停止。这种能量的损失可以通过阻尼系数来描述。
简谐振动 平面简谐波
答：初相是指 t = 0 时刻的位相，
初始时刻选择不同，初相值就不同； 另外，单摆作简谐振动是角位移。
因此，把一个单摆位开一个小角度 0
自由摆动，此 0 并不是初位相。
单摆绕悬点转动的角速度等于 d
dt
而简谐振动的圆频率
g
l
，然后放开让其
可见，单摆绕悬点转动的角速度是不是简谐振动的圆频率。
4.3 简谐振动的能量
E=Ek
+Ep
=1k 2
A2
（4.15）
w wj E k= T 10 TE kdt= T 10 T 1 2m2 A 2s2 i(n t+)d t= 1 4 k2A
wj E p= T 10 T E pd t= T 10 T 1 2 kA 2c2 o (ts+)d t= 1 4 k2A
(1/2)kA2
kx0 =mg
化简上式得
d2x dt 2
+
k m+
I
x=0
R2
可知：物体做简谐振动．且振动圆频率为
w=
k
m+ I
R2
另解： 静平衡时 物体 ( x 处 )
滑轮
mgT2 =mdd2t2x
T 2T 1R=I
d2 x dt2
=
R
T1=kxo+x
联立以上各式可得
dd2t2x+mkR2R2+I x=0
w =
o
v0
=
m m+M
u0
X
>0
A=
mu0 k(m+
M)
,
j
0
=
3
2
,
x= m0u cowst(+3)
简谐振动的规律和特点
简谐振动的规律和特点
简谐振动是一种特殊的振动，其规律和特点可以总结如下：
恢复力与位移成正比： 简谐振动的主要特点之一是恢复力与振动物体的位移成正比。
即，物体偏离平衡位置越远，恢复力越大。
速度和加速度的正弦关系：在简谐振动中，物体的速度和加速度是正弦函数关系。
速度达到最大值时，加速度为零，反之亦然。
振动周期恒定： 简谐振动的周期是物体完成一次完整振动所需的时间。
在简谐振动中，周期是恒定的，与振幅无关。
频率和周期的关系：频率是振动的周期的倒数，即频率 = 1 / 周期。
频率和周期之间存在反比关系。
能量转换：在简谐振动中，势能和动能之间存在周期性的转换。
当物体经过平衡位置时，动能最大，而势能为零；反之，当物体达到最大位移时，势能最大，动能为零。
振动方向和恢复力方向相反： 当物体偏离平衡位置时，恢复力的方向总是指向平衡位置。
这导致振动物体沿着恢复力的方向振动。
频率不受振幅影响： 简谐振动的频率不受振幅的影响。
无论振幅的大小如何，频率始终保持不变。
这些规律和特点使得简谐振动成为一个数学上非常可控和可预测的振动模型。
简谐振动在物理学、工程学和其他科学领域中都有广泛的应用。
简谐振动的特性
简谐振动的特性简谐振动是物体在受到一个恢复力作用下，沿着某一直线定点运动的一种运动形式。
它具有周期性、振幅恒定以及频率稳定等特点。
本文将从频率、周期和振幅等几个方面介绍简谐振动的特性。
一、频率简谐振动的频率是指单位时间内振动的次数，通常用赫兹（Hz）来表示。
频率与振动周期之间有如下关系：频率 = 1 / 周期频率的倒数就等于振动周期。
例如，一个物体的振动周期为0.1秒，则它的频率为1 / 0.1秒 = 10Hz。
二、周期简谐振动的周期是指一个完整的振动所经过的时间。
周期与频率之间的关系已在上一部分中提到。
简谐振动的周期与其运动物体的质量以及弹性系数密切相关。
当质量和弹性系数不变时，周期始终保持不变。
三、振幅振幅是简谐振动中物体在振动过程中离开平衡位置的最大偏移距离。
振幅大小与振动物体的能量有关，而能量的大小与振幅平方成正比。
振幅越大，物体具有的机械能越大。
四、受力特性在简谐振动中，物体受到的恢复力与其偏离平衡位置的距离成正比，且方向相反。
根据胡克定律，恢复力的大小与物体偏离平衡位置的距离呈线性关系。
五、相位简谐振动的相位是指振动物体相对于某一特定时刻的位置关系。
相位用角度或弧度来表示。
相位角正负号表示了物体相对于平衡位置的偏移方向。
相位的变化规律可由三角函数来表示。
六、谐振现象谐振现象指的是当外力的频率与物体自身振动频率相同时，物体表现出的振幅增大的现象。
这是由于外力与物体振动频率的共振效应所引起的。
当共振发生时，外力与物体发生能量传递，使振幅增大。
七、应用范围简谐振动在日常生活和工程领域中得到了广泛的应用。
例如钟表的摆线引入了简谐振动的原理，以实现精准的时间测量。
在机械振动工程中，简谐振动的特性被广泛应用于减振器的设计和振动分析中。
结语简谐振动具有周期性、振幅恒定和频率稳定等特点，在自然界和工程中都有广泛的应用。
通过对简谐振动特性的研究和理解，可以更好地掌握和应用振动学的相关知识。
拓宽对简谐振动的认识，有助于我们更深入地探索振动现象的奥秘。
简谐振动的特征
简谐振动的特征简谐振动是一种重要的物理现象，广泛应用于各个领域。
本文将探讨简谐振动的特征和相关概念。
一、简谐振动的定义简谐振动是指一个物体在恢复力作用下，沿一条直线或围绕一个平衡位置作周期性的往复运动。
简谐振动的周期与振动频率是一个常数，且振幅保持不变。
二、简谐振动的特征1. 平衡位置：简谐振动存在一个平衡位置，当物体位于该位置时，不受外力的作用，保持静止。
2. 振幅：振幅指的是简谐振动中物体运动的最大位移距离。
振幅越大，物体运动的幅度越大。
3. 周期：简谐振动完成一个往复运动所需要的时间称为周期。
周期与振动频率成反比，且周期保持不变。
4. 频率：简谐振动的频率是指单位时间内所完成的往复运动的次数。
频率与周期成反比，单位为赫兹。
5. 振动方向：简谐振动沿一条直线往复运动，振动的方向与物体运动的方向一致。
三、简谐振动的数学表达简谐振动可以使用函数来进行数学表达，常见的简谐振动方程为：x = A*cos(ωt+φ)，其中x表示位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
四、简谐振动的应用简谐振动在各个领域都有广泛应用，以下列举几个例子：1. 机械振动：机械钟摆、弹簧振子等都是简谐振动的典型例子。
利用简谐振动的特性可以设计制造出精确的计时设备和振动传感器。
2. 电路振荡：电路中的LC振荡器、RC振荡器等也是基于简谐振动原理工作的。
这些振荡器广泛应用于通信设备、无线电设备等。
3. 光学振动：光学领域中的激光器和光纤传感器等也利用了简谐振动的特性。
通过控制光学振动频率和振幅可以实现光学信号的调制和传输。
4. 环境监测：利用简谐振动的特性可以设计制造出各种传感器，用于环境监测、地震预警等领域，提供重要的科学数据支持。
五、简谐振动的影响因素简谐振动的特征受到几个重要因素的影响：1. 恢复力：恢复力的大小和方向决定了简谐振动的特征。
恢复力越大，振幅越小；恢复力方向不同，振动方向也不同。
2. 质量：物体的质量越大，简谐振动的周期越长。
1-简谐振动定义及特征量
f - k x m a (1)
m x0 = 0
2
f k x 2 k a m m m
d x 2 x a 2 dt
2
O xX
d x 2 x 0 —弹簧振子的振动方程 2 dt
4
当 5 rad , sin .
(轻绳, m ,小球线度<<绳长 l .) 2. 单摆 选⊙为正, 单摆受合外力矩: M f t l mg sin l l
M mgl , 又M J g lmg d 2 2 2 ml dt l
g 2 令 l
d 2 0 2 ——单摆振动方程 dt
2
5
3. 简谐振动的特征
①动力学特征（定义1）：
f kx
6
3. 简谐振动的特征
② 动力学方程（定义2）：
2
d x 2x 0 2 dt 3. 运动方程： x A cos( t )
14
例1：一轻弹簧的倔强系数为k，其下悬有一 质量为m的盘子。现有一质量为M的物体从 离盘h高度处自由下落到盘子中并和盘子粘 在一起，于是盘子开始振动，证明物体和盘 子一起做简谐振动。 mg 证明： k1 1 (m M ) g k2 2 O y k( y 2 ) (m M ) g (m M ) y ky (m M ) y k 即：y y0 证毕 (m M )
4. 谐振动物体的速度和加速度 位移： x A cos( t )
2
2 x a d 2 2 A cos( t ) 加速度：
dt
速度： v A cos( t )
am A
2
2 A cos( t ) 2 x
简谐振动的特征与公式
简谐振动的特征与公式简谐振动是指振动系统在没有任何摩擦和阻力的情况下，受到恢复力作用而产生的一种特殊形式的振动。
它具有一些独特的特征和公式。
一、特征1. 平衡位置：简谐振动系统具有一个平衡位置，当没有外力作用时，质点处于该位置静止。
2. 恢复力：简谐振动系统中，质点偏离平衡位置时会受到一个与质点偏离方向相反、大小与偏离量成正比的恢复力。
3. 周期性：简谐振动的运动是周期性的，即振动系统在一个完整的周期内，重复地经历相同的过程。
4. 同频振动：简谐振动系统中的所有质点都以相同的频率振动，即它们的振动角频率相等。
5. 最大速度与最大加速度：在简谐振动过程中，质点通过平衡位置时速度最大，而偏离平衡位置最远时加速度最大。
二、公式1. 位移公式：简谐振动的质点位移与时间的关系可以用如下的正弦函数来表示：x(t) = Acos(ωt + φ)其中，x(t) 表示质点在时间 t 时的位移，A 表示振幅，ω 表示角频率，φ 表示相位。
振幅表示位移的最大值，角频率表示单位时间内振动的周期数，相位表示相对于某一时间点的位移相位差。
2. 速度公式：质点的速度与时间的关系可以通过对位移公式求导得到：v(t) = -Aωsin(ωt + φ)其中，v(t) 表示质点在时间 t 时的速度。
3. 加速度公式：质点的加速度与时间的关系可以通过对速度公式再次求导得到：a(t) = -Aω^2cos(ωt + φ)其中，a(t) 表示质点在时间 t 时的加速度。
上述三个公式是简谐振动的基本公式，它们描述了质点在简谐振动过程中的位移、速度和加速度与时间的关系。
简谐振动不仅在物理学中具有重要的地位，而且在其他领域也有广泛的应用。
比如，机械振动中的弹簧振子、电路中的谐振电路等都可以看作简谐振动系统。
理解简谐振动的特征和公式对于研究这些系统的行为和性质具有重要意义。
总结：简谐振动是一种无阻力且受恢复力作用的特殊振动形式，具有平衡位置、恢复力、周期性、同频振动、最大速度和最大加速度等特征。
简谐振动知识点精解
简谐振动·知识点精解1．简谐振动的特征(1)简谐振动的定义在跟对平衡位置的位移成正比而方向相反的回复力作用下的振动，叫简谐振动。
①做简谐振动的回复力是由物体所受的合外力或某个力的分力提供。
②简谐振动物体回复力的表达式为：F=-kx(2)简谐振动的动力学特征F=-kx式中的k为回复力与位移的比例常数(未必是弹簧的劲度系数)，x是相对平衡位置的位移，负号表示回复力的方向始终与位移方向相反。
(3)简谐振动的运动学特征振动的位移随时间接正弦或余弦规律变化。
2．弹簧振子的振动过程具体情况见下表：3．单摆的周期公式(1)单摆做简谐振动①在物理学里，单摆是实际摆的理想化，是指在一根不能伸长，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置。
②单摆做简谐振动的条件：振动过程中的最大编角不超过5°。
③单摆做简谐振动的回复力是重力mg沿圆弧切线的分力F=mgsinα提供(不要误认为是摆球所受的合外力)。
当α很小时(5°以下)，圆弧可以近似地看成直线，分力F可以近似地看作沿这条直线作用，OP就是摆锤偏离平衡位置的位移。
如图7-3所示。
设摆长是l，因为sin式中负号表示力F跟位移x的方向相反。
由于m、g、l都有一定的数值，mg/l可以用一个常数k来代替，所以上式可以写成F=-kx可见，在摆角很小情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐振动。
(2)单摆的周期公式①在摆角很小情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆锤的质量和振幅无关。
②单摆周期的表达式③上式只适于小摆角(＜5°)的情况。
根据周期公式算出的T值与实际测定值间的误差，随摆角增大而增大。
摆角为7°时，误差为0.1％；15°时，0.5％；23°时，1％。
单摆的最大摆角应小于5°。
④单摆的周期在振幅较小时，与单摆的振幅无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是伽利略首先发现的。
简谐振动特征
三、简谐振动微分方程
例1：弹簧振子
弹簧—物体系统 物体—可看作质点 轻弹簧—质量忽略不计，形变满足胡克定律
k O
m
受力分析
F kx
x
运用牛顿定律 改写方程
d x kx m 2 dt 2 d x k x0 2 dt m
2
令
简谐振动微分方程
2 k m
d2x 2 x0 2 dt
[ 例2] 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高 度为a,水面以下高度为b。水密度为 ρ ´ 木快密度为ρ 不计水的阻力。现用外力将木块压入水中，使木快上 表面与水面平齐。
[ 例2] 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高 度为a,水面以下高度为b。水密度为 ρ ´ 木快密度为ρ 不计水的阻力。现用外力将木块压入水中，使木快上 表面与水面平齐。 求证：木块将作谐振动，并写出谐振动方程。
a b
ρ
ρ´
平 衡 位 置
a
ρ s ρ´ b
. c
0 y
x
任 意 位 置
s a b
. c
0
x
y
x
平衡时： (a b )sg bs g 0 任意位置木块受到的合外力为：
F (a b )sg (b x )s g
s gx
合外力和位移成正比,方向和位移相反,木块作谐振动。
振动分类 线性振动 非线性振动
自由振动
受迫振动
机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。
二、简谐振动模型： 物理学研究问题是从最基本的模式入手， 最简单的振动形式是简谐振动。研究表明，一 切复杂的振动，都可以看成是由许多简谐振动 的迭加构成。作简谐振动的系统，我们用一个 专门的术语称呼，叫谐振系统。
简谐振动的特征与公式推导
简谐振动的特征与公式推导简谐振动是一种重要的振动现象，在物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍简谐振动的特征以及其公式的推导。
一、简谐振动的特征简谐振动具有以下几个特征：1.周期性：简谐振动是周期性的，即物体在振动过程中以同样的时间间隔重复相同的运动。
2.恢复力与位移成正比：简谐振动的恢复力与物体的位移成正比。
当物体离开平衡位置时，它会受到一个与位移方向相反的恢复力，使得物体向平衡位置回归。
3.运动轨迹：简谐振动的运动轨迹通常是一条曲线，称为正弦曲线或者余弦曲线。
4.能量转换：在简谐振动中，动能和势能会相互转换。
当物体通过平衡位置时，动能最大，而势能最小；当物体达到极点位置时，动能最小，而势能最大。
二、简谐振动的公式推导简谐振动的公式可以通过牛顿第二定律推导得到。
假设一个质点的质量为m，受到的恢复力为F，位移为x，则可以得到以下关系：F = -kx其中，k为弹簧的劲度系数。
根据牛顿第二定律，可以得到以下方程：ma = -kx将加速度表达为位移的二阶导数，则可以得到简谐振动的微分方程：m(d^2x/dt^2) = -kx化简上式，得到：d^2x/dt^2 + (k/m)x = 0该微分方程描述了简谐振动的运动规律。
我们可以假设解为：x = A*cos(ωt + φ)其中，A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。
将上述解代入微分方程，得到：-d^2(A*cos(ωt + φ))/dt^2 + (k/m)*A*cos(ωt + φ) = 0整理化简上式，得到：-A*ω^2*cos(ωt + φ) + (k/m)*A*cos(ωt + φ) = 0根据三角函数的性质，可以得到以下等式：ω^2 = k/m以上等式即为简谐振动的角频率与劲度系数和质量的关系。
通过将解代入初始条件，即可确定简谐振动的具体形式。
初相位φ的取值范围为0到2π之间。
结论：简谐振动是一种周期性的振动，恢复力与位移成正比，运动轨迹为正弦曲线或余弦曲线。
简谐振动的规律和特点
简谐振动的规律和特点简谐振动是物体在外力作用下以固有频率振动的一种运动形式。
它具有以下的规律和特点：1. 规律性：简谐振动的运动规律是非常规律的，它可以用简单的正弦函数来描述。
物体在振动过程中，位置、速度和加速度都是随时间变化的，且呈正弦函数的关系。
2. 周期性：简谐振动的运动是周期性的，即物体在一个周期内的运动是重复的。
一个周期是指物体从某一固定位置出发，经过一段时间后重新回到相同的位置。
3. 固有频率：每个物体都有自己的固有频率，即物体在没有外力作用下的振动频率。
固有频率取决于物体的质量、弹性系数和几何形状。
当外力的频率等于物体的固有频率时，简谐振动达到共振状态，振幅达到最大值。
4. 振幅和周期的关系：简谐振动的振幅和周期之间存在着关系，即振幅越大，周期越长。
振幅是指物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离。
5. 能量守恒：简谐振动过程中，物体的机械能守恒。
当物体从最大位移回到平衡位置时，动能最大，势能最小；而当物体到达最大位移时，势能最大，动能最小。
二者之和始终保持不变。
6. 相位差：简谐振动中，相位差描述了两个振动物体之间的时间关系。
相位差的变化可以影响振动的合成结果，当相位差为0时，两个振动物体达到最大振幅；当相位差为180度时，两个振动物体达到最小振幅。
7. 可加性：简谐振动具有可加性，即多个简谐振动叠加后仍然是简谐振动。
这是因为简谐振动的运动方程是线性的，满足叠加原理。
总结起来，简谐振动具有规律性、周期性、固有频率、振幅和周期的关系、能量守恒、相位差和可加性等特点。
这些特点使得简谐振动在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如弹簧振子、摆钟等。
对于科学研究和工程设计来说，了解简谐振动的规律和特点是非常重要的。
17-1(1)简谐振动的特征量
2E 1 2 E = kA ⇒ A = k 2
1 2 Ekmax = kA 2
k ω= m
Ekmin = 0
1 2 1 2 2 (2) 势能 Ep = kx = kA cos (ωt +ϕ) 2 2 Epmax , Epmin , Ep 情况同动能
1 2 简谐振动系统机械 (3) 机械能 E = Ek + Ep = kA 能守恒 2
由能量求振幅
17章 振动—— 波动与光学 第17章 振动
以水平弹簧振子为例) 2、简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例 简谐振动的能量 以水平弹簧振子为例
1 2 1 2 2 2 (1) 动能 Ek = m = m A sin (ωt +ϕ) υ ω 2 2
1 t +T 1 2 Ek = ∫ Ekdt = kA T t 417章 ຫໍສະໝຸດ 动—— 波动与光学 第17章 振动
二、描述简谐振动的特征量 描述简谐振动 简谐振动的特征量
x = Acos(ωt +ϕ)
1、振幅 A (位移最大值的绝对值) 位移最大值的绝对值) 2、振动角频率ω 振动角频率ω 1 2π ω = 2πν ν = 周期T 周期T 和振动频率 v T = T ω 4、相位 (1) (ω t +ϕ )是 t 时刻的相位 (2) ϕ 是t =0时刻的相位 — 初相
υ(t ) = A cos(ω t + ϕυ ) υ
d2x 2 2 2、加速度 a = 2 = ω Acos(ωt +ϕ +π ) = −ω x 、 dt
a(t ) = Aa cos(ω t + ϕa )
加速度也是简谐振动，比速度超前π 加速度也是简谐振动，比速度超前π/2 加速度和位移成正比而反向
简谐振动的特征及应用
简谐振动的特征及应用简谐振动是一种物理现象，具有独特的特征和广泛的应用。
本文将介绍简谐振动的特征，分析其在不同领域的应用，并探讨其在科学研究和工程实践中的重要性。
一、简谐振动的特征简谐振动是指一个物体在一个恢复力作用下，沿着一条直线或在平面内围绕平衡位置做周期性的往复运动。
它具有以下特征：1. 振动频率恒定：简谐振动的频率是恒定的，不受振幅的影响。
振动频率与系统的固有特性有关，例如弹簧的刚度和质量等。
2. 振动幅度有限：简谐振动的振幅是有限的，取决于振动系统的能量大小和频率。
当能量增加或频率增加时，振幅可能会增加。
3. 相位差一致：简谐振动的不同物体或不同点之间的相位差是一致的，即它们的振动状态完全一致。
二、简谐振动的应用1. 物理学应用：简谐振动在物理学中有着广泛的应用。
例如，原子核和电子的振动对于了解原子和分子结构非常重要。
此外，通过将物体连接到弹簧或线圈上，可以制造一系列的简谐振动实验装置，用于教学和研究。
2. 工程学应用：简谐振动在工程学中也有重要的应用。
例如，振动传感器可以用于检测结构的振动情况，从而判断其稳定性和安全性。
简谐振动的理论也广泛应用于设计和优化机械系统，如汽车悬挂系统和桥梁的抗震设计等。
3. 医学应用：简谐振动在医学诊断和治疗中起着重要作用。
例如，超声波和心电图等医学仪器利用简谐振动原理来检测人体内部的病变和异常情况。
并且，在物理治疗中，简谐振动被用于放松肌肉和促进组织修复。
4. 音乐艺术应用：简谐振动在音乐领域有着广泛的应用。
乐器的演奏和声音的产生都是基于物体的简谐振动原理。
了解简谐振动有助于理解音乐的音高、音色和音响效果，从而提高音乐的演奏和创作水平。
三、简谐振动的重要性简谐振动在科学研究和工程实践中具有重要的地位和作用。
它帮助我们更好地理解和解释自然现象，并为我们提供了有效的工具和方法来研究和应用这些现象。
对于物理学、工程学、医学等领域的研究和实践来说，简谐振动是一个基础和关键的概念，为我们解决各种问题提供了理论和实践的依据。
简谐运动的三个特征量
简谐运动的三个特征量简谐运动是物理学中一种重要的运动形式，它具有周期性、振幅恒定、振动方向与加速度方向相反三个特征量。
下面将从定义、特征量的含义和物理意义等方面进行详细阐述。
一、简谐运动的定义简谐运动是指物体在一个固定平衡位置附近做周期性振动的运动形式。
在简谐运动中，物体沿着一条直线或者绕着一个固定轴旋转，且振幅大小恒定。
简谐运动是许多自然现象和技术应用中常见的一种基本形式。
二、简谐运动的三个特征量1. 周期性周期性是指简谐运动在一个完整周期内所经历的时间是相同的。
这意味着在每个周期内，物体会从其最大位移到达其最小位移，再回到最大位移，并重复这个过程。
因此，在简谐运动中，一个完整的周期所需时间是一个常数。
2. 振幅恒定振幅指物体从平衡位置偏离的最大距离，也就是在振荡过程中物体离开平衡位置时能达到的最大距离。
在简谐运动中，振幅大小是恒定的，即物体在振动过程中始终保持相同的振幅大小。
3. 振动方向与加速度方向相反在简谐运动中，物体的振动方向始终与其加速度方向相反。
这意味着当物体离开平衡位置时，它会受到一个指向平衡位置的加速度；当物体回到平衡位置时，它会受到一个指向平衡位置的减速度。
这种特征量也被称为“恢复力”。
三、简谐运动特征量的物理意义1. 周期性周期性是简谐运动最基本的特征量之一。
周期性可以帮助我们计算出简谐运动所需时间，并且可以用来描述许多自然现象和技术应用中的周期性变化。
2. 振幅恒定振幅恒定意味着在简谐运动过程中，物体始终保持相同的振幅大小。
这个特征量可以帮助我们计算出物体在振荡过程中所具有的最大能量，并且可以用来描述许多技术应用中需要保持稳定状态的情况。
3. 振动方向与加速度方向相反振动方向与加速度方向相反的特征量也称为“恢复力”。
恢复力是简谐运动中非常重要的一个特征量，它可以帮助我们计算出物体在振荡过程中所受到的力，并且可以用来描述许多自然现象和技术应用中需要保持平衡状态的情况。
总之，简谐运动是物理学中一种基本的运动形式，具有周期性、振幅恒定、振动方向与加速度方向相反三个特征量。
简谐振动的运动学特征
简谐振动的运动学特征
嘿，朋友们！今天咱来聊聊简谐振动这玩意儿。
你说啥是简谐振动呢？咱可以想象一下哈，就好像一个小球在那来回晃悠，晃过去再晃回来，有规律得很呢！它可不像有些东西乱动一气，那叫一个没头绪。
简谐振动啊，它有几个特别有意思的特点。
首先呢，它的位移随时间的变化就像是一条优美的曲线，起起伏伏的，多有节奏感呀！这就好比音乐里的旋律，高低起伏，让人听着就觉得特别带劲。
然后呢，它的加速度和位移之间还有着一种特别的关系。
就好像是一对好朋友，一个变了，另一个也跟着有反应。
你说神奇不神奇？
还有啊，它的周期和频率也是很重要的呢！周期就是它晃悠一圈所用的时间，频率呢就是单位时间里晃悠的次数。
这就跟咱跑步似的，有的人跑得快，频率高，有的人跑得慢，周期长。
你想想看，生活中其实也有很多类似简谐振动的东西呢！比如说钟摆，滴答滴答地晃悠，多有规律呀！还有琴弦的振动，弹出美妙的音乐。
简谐振动这东西，看似简单，实则蕴含着无穷的奥秘。
它让我们看到了自然界中那些有规律的美，让我们感受到了万物运行的奇妙。
咱再深入想想，这世界不也像是一个巨大的简谐振动吗？有起有落，有高有低。
我们在这其中经历着各种变化，就如同那小球一样来回晃悠。
但正是这种有规律的变化，才让生活变得丰富多彩呀！
所以啊，可别小瞧了这简谐振动，它可是自然界的一大奇妙之处呢！它让我们对世界有了更深的理解，也让我们更加敬畏大自然的神奇。
这不就是科学的魅力所在吗？让我们从这些看似普通的现象中发现无尽的宝藏！
原创不易，请尊重原创，谢谢!。
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§ 8.2 简谐振动的特征量
一、振幅(amplitude)
作简谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值A ，称为振幅。
振幅恒为正。
全振动：
在SI 中，振幅的单位是米，符号为m 。
二、周期 频率 角频率
利用周期、频率、角频率反映振动的快慢 1.周期
物体作一次完全振动所需的时间称为周期，用T 表示。
周期仅与振动系统本身的物理性质有关 在SI 中，周期的单位是秒，符号为s 。
2.频率
单位时间内物体所作完全振动的次数，称为频率，用ν表示。
在SI 中，频率的单位是赫兹，符号为Hz 。
3.角频率
在2π秒内物体作完全振动的次数，称为角频率。
角频率的单位是弧度每秒，符号为rad·s-1。
cos()
x A t ωϕ=+cos()x A t ωϕ=+cos[()]
A t
T ωϕ=++2π
2T ω
=
=1
2π
T ων=
=ω=
三、相位和初相
当振幅A 和角频率一定时，振动物体在任一时刻相对于平衡位置的位移x 和速度v 决定于量值(ω t +ϕ)。
把量值ω t +ϕ称为相位。
称(ωt +ϕ )为t 时刻的相位(phase)，反映了t 时刻的物体的振动状态。
在SI 中，相位的单位是弧度，符号为rad 。
相位与x 、v 、a 的关系
初相位(initial phase)：常量ϕ 是t = 0时的相位，称为初相位，简称初相。
t =0称时间零点，是开始计时的时刻，不一定是开始运动的时刻。
初相位反映t = 0时刻的振动状态(x 0，υ0 )。
x 0 = A cos ϕ， υ0 = -ωA sin ϕ
例8-1 试比较简谐振动的位移、速度和加速度之间的相位关系。
解：
设简谐振动的运动学方程为 振动物体的速度则为
振动物体的加速度为
四、常量A 和ϕ 的确定 初始条件
2sin()cos()
A t a A t ωωϕωωϕ=-+=-+v cos()
x A t ωϕ=+cos()x A t ωϕ=+()d sin d x
A ω t t
υωϕ=
=-+πcos 2
A ω t υω⎛⎫
=+ ⎪
⎝
⎭
()ϕω+-==t ωA t
x
a cos d d 222()
πϕω++=t ωA a cos 200
0t x x ===v v
注意：对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定。
五、简谐振动曲线 取
0cos x A ϕ
=0sin A ωϕ
=-
v A =00
tan x ϕω-=
v cos()x A t ωϕ=+0
ϕ=sin()A t ωωϕ=-+v 2cos(π)
A t ωωϕ=++2cos()
a A t ωωϕ=-+π
cos()2
A t ωωϕ=++
x 、υ、a
简谐振动的位移、速度和加速度曲线
例8-2 一放置在水平桌面上的弹簧振子，周期为0.50s 。
当t = 0时，物体的位
移 ,速度 。
求振动方程。
已知：T=0.5s 求：振动方程 解：
（舍）
则：
例8-3 如图所示，一竖直放置的弹簧振子，其劲度系数为k ，物体的质量为m 。
试证物体的振动是简谐振动，并求其振动周期。
取弹簧上未放物体时的自由端位置点O 为坐标原点，x 轴竖直
向下。
当物体放在弹簧上达到平衡时，弹簧缩短量为b
当物体在任一位置x 时
其动力学方程为
令 ，这相当于把坐标原点改放在平衡位置
则动力学方程为
此式表明竖直放置的弹簧振子，仍然作简谐振动。
m 100.120-⨯-=x 100.218m s v -=⋅m 100.120-⨯-=x 1
00.218m s v -=⋅1
-12π2πs 4π s 0.5
ω T -=
==A =
=
=2.0×10-2m
24
2.010cos(4ππ)m
3
x t -=⨯+0
2
00.218tan 1.734 3.1410v ω x ϕ--===⨯⨯4π
3
ϕ=
π
3 ϕ=
x F mg kx
=-kb
mg =2
2d d x
m
mg kx t
=-x b x '-=22
d d x m kx t
'
'=-22d d x m ω x t '
'
=-2k ω m
=令
x
x
六、简谐振动的描述方法
要熟记典型 ϕ 值所相应的振动情况和振动曲线(如图)。
2π2T ω=
=ω=
(a
-t
/2
x 0 = 0
(b )
弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线
(c )
-t
x x 0 = 0
(d )。