专题(6)函数的奇偶性与周期性2
专题06 函数的奇偶性与周期性 复习资料(解析版)
小正周期．
3．函数的对称性常见的结论
a＋b (1)函数 y＝f(x)关于 x＝ 对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．
2
特殊：函数 y＝f(x)关于 x＝a 对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)； 函数 y＝f(x)关于 x＝0 对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)． (2)函数 y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b. 特殊：函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0； 函数 y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)． (3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称； y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称． [知识拓展]
数
f(x)就叫做奇函数
称
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，
那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最
综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(－x)＝－f(x)成立，∴函数 f(x)为奇函数.
【解法小结】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关
《高考真题》专题06 函数的奇偶性的应用-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
专题06 函数的奇偶性的应用【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x ---D ．e 1x --+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当0x <时，0x ->，则()e x f x --=-1()f x =-，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1),(3)(1)(1),4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=， 因此[](1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1),(4)(2)f f f f =-=-，所以(1)(2)0())(34f f f f +++=， 因为(2)(0)0f f ==，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==．故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =______________．【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=．【名师点睛】（1）已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式；（2）已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．【命题意图】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查分析问题、解决问题的能力和抽象转化的数学思想． 【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或中等上，热点是奇偶性、对称性、周期性之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”． 【答题模板】1．判断函数奇偶性的常用方法及思路 （1）定义法（2）图象法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断． 注意：①性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．②性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程． 2．与函数奇偶性有关的问题及解决方法 （1）已知函数的奇偶性，求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式．利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性． 【方法总结】1．函数奇偶性的定义及图象特点（1）偶函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称；（2）奇函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．2．判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果(()0)f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 3．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．（5）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）一些重要类型的奇偶函数 ①函数()xxf x a a-=+为偶函数，函数()x xf x a a-=-为奇函数．②函数221()1x x x x xxa a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数1()log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()log (a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 4．若()()f a x f a x +=-，则函数()f x 的图象关于x a =对称． 5．若()()f a x f a x +=--，则函数()f x 的图象关于(,0)a 对称．6．若函数()f x 关于直线x a =和()x b b a =>对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 7．若函数()f x 关于直线x a =和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为4()b a -． 8．若函数()f x 关于点(,0)a 和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 9．若函数()f x 是奇函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 10．若函数()f x 是偶函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 11．若函数()f x 是奇函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 12．若函数()f x 是偶函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 13．若函数()()f x x R ∈满足()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=均可以推出函数()f x 的周期为2a ．1．【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】下列函数为奇函数的是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可．【解析】A 选项中 ，故不是奇函数，B 选项中 ，故不是奇函数，C 选项中，故不是奇函数，D 选项中，是奇函数，故选D ．2．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】若函数2()22x a xx f x -=-是奇函数，则(1)f a -= A ．1- B ．23- C ．23D ．1【答案】B【分析】首先根据奇函数的定义，求得参数0a =，从而得到2(1)(1)3f a f -=-=-，求得结果． 【解析】由()()f x f x -=-可得22(2)22a x x x x--+=+，∴0a =，∴2(1)(1)3f a f -=-=-， 故选B ．【名师点睛】该题考查函数的奇偶性及函数求值等基础知识，属于基础题目，考查考生的运算求解能力． 3．【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则3(log 5)f -的值为A ．4B ．4-C ．6D ．6-【答案】B【分析】根据奇函数的性质 求出 ，再根据奇函数的定义求出3(log 5)f -．【解析】当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则03(0)0m f =+=，则 ， ， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴335log 35((log 5)()log )314f f -=-=--=-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的突破口是利用奇函数性质：如果函数是奇函数，且0在其定义域内，一定有 ．4．【甘青宁2019届高三3月联考】若函数3()1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．2B ．4C ．2-D ．4-【答案】A【分析】3()1f x x =+，可得()()2f x f x -+=，结合1lglg22=-，从而求得结果． 【解析】∵3()1f x x =+，∴()()2f x f x -+=，∵1lglg22=-，∴1(lg 2)(lg )22f f +=， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的性质，属于简单题目，注意整体思维的运用．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知函数2()e e 21xxxxf x -=-++，若(lg )3f m =，则1(lg )f m = A ．4- B ．3- C ．2-D ．1-【答案】C【分析】先由2()e e 21xxxx f x -=-++得到()()1f x f x -+=，进而可求出结果．【解析】因为2()e e 21x xxx f x -=-++，所以21()e e e e 2121x x xx x x xf x -----=-+=-+++， 因此()()1f x f x -+=； 又(lg )3f m =，所以(lg )1(lg 1(lg )132)f mf m f m =-=-=-=-． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型． 6．【山东省济宁市2019届高三二模】已知 是定义在 上的周期为4的奇函数，当 时， ，则 A ． B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意可得： ． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x = C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】B 【解析】易知1ln||y x =，||2x y =，cos y x =为偶函数， 在区间(0,)+∞上，1ln ||y x =单调递减，||2x y =单调递增，cos y x =有增有减． 故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】C【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =， 且0x <时，2()log ()f x x m =-+， ∴211()log 2144f m m -=+=-+=-， ∴1m =． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型．9．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则3()f -=C ．2D ．1【答案】A【分析】利用函数()f x 是奇函数，得到(3)(3)f f -=-，再根据对数的运算性质，即可求解． 【解析】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则22(3)(3)log (31)log 42f f -=-=-+=-=-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数的运算的性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及熟练应用对数的性质运算是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．10．【甘肃省甘谷县第一中学2019届高三上学期第一次检测】已知定义在 上的函数 ，若 是奇函数，是偶函数，当 时， ，则 A ． B ． C ．0D ．【答案】A【分析】根据题意和函数的奇偶性的性质通过化简、变形，求出函数的周期，利用函数的周期性和已知的解析式求出 的值．【解析】因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ，则 ，即 ， 所以 ， 则奇函数 是以4为周期的周期函数， 又当 时， ，所以 ， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的奇偶性的定义，正确转化题的条件是解题的关键．11．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则(2017)f +(2019)f =C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据题意，对33())22(f x f x +=-变形可得()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得(2017)(1)f f =，(2019)(0)f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出(0)f 与(1)f 的值，相加即可得答案．【解析】根据题意，函数()f x 满足任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-， 则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，所以(2017)(16723)(1)f f f =+⨯=，(2019)(6733)(0)f f f =⨯=， 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则(1)(1)1f f =--=，故(2017)(2019)(0)(1)1f f f f +=+=， 故选A ．12．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三9月月考】奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为 A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的特征，首先得到 ，进而根据奇函数可得 ，根据 可得 ，即可得到结论．【解析】∵ 为偶函数， 是奇函数，∴设 ， 则 ，即 ，∵ 是奇函数，∴ ，即 ， ， 则 ， ，∴ ， 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴以及周期性是解决本题的关键，属于中档题．13．【陕西省彬州市2019届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是A ．(,1)(2,3)-∞-B ．(1,0)(2,3)-C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-【答案】A【分析】根题设条件，分别求得，当0x >和0x <时，()0f x <的解集，由此可求解不等式(1)0f x -<的解集，得到答案．【解析】由题意，当0x >时，令()0f x >，即2log (1)0x -<，解得12x <<， 又由函数()y f x =是奇函数，函数()f x 的图象关于原点对称， 则当0x <时，令()0f x >，可得2x <-，又由不等式(1)0f x -<，可得112x <-<或12x -<-，解得23x <<或1x <-， 即不等式(1)0f x -<的解集为(,1)(2,3)-∞-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．【陕西省榆林市2019届高三第四次普通高等学校招生模拟考试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =A ．3B ．3-C ．2D ．2-【答案】C【分析】根据(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，即()f x 的周期为8，再根据[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+及()f x 为R 上的偶函数即可求出(766)(2)2f f ==．【解析】由(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，所以(96(7682)6)(2)2f f f ⨯-===， 又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以2(2)(2)log 42f f -===． 故选C ．15．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试】已知定义域为R 的奇函数 ，当时， ，当 时， ，则 A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由当 时， ，可得，根据奇偶性求出 即可． 【解析】定义域为R 的奇函数 ，当 时， ，则， 则 ．．．， 又当 时， ， — ， 故． 故选B ．16．【重庆市2018-2019学年3月联考】定义在[7,7]-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x f x x =+-，则不等式()0f x >的解集为 A ．(2,7]B ．(2,0)(2,7]-C ．(2,0)(2,)-+∞D ．[7,2)(2,7]--【答案】B【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(2,7]，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．【解析】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤<时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<， 所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．17．【宁夏平罗中学2019届高三上学期期中考试】已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时，，则 ______________． 【答案】18-【分析】先求(4)f ，再利用函数的奇偶性求4()f -．【解析】由题得22(4)log 4418f =+=，所以(4)(4)18f f -=-=-．18．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，(3)f =则(1)f =______________．【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【解析】由题()()(4)f x f x f x =-=-，则函数的周期4T =，则()1f =(1)(1)(3)f f f =-==19．【辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时1()()2xf x =，则(3)f 的值是______________． 【答案】8-【分析】先求(3)f -，再根据奇函数性质得(3)f ． 【解析】因为31(3)()82f --==，函数()f x 是奇函数，所以(3)(3)8f f =--=-．20．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，则( 2.5)f -=______________． 【答案】0.25-【分析】根据函数的奇偶性和周期性，求出( 2.5)(0.5)f f -=-，求出函数值即可．【解析】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴( 2.5)( 2.52)(0.5)(0.5)f f f f -=-+=-=-，∵当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，∴(0.5)0.5(10.5)0.25f =⨯-=，∴( 2.5)0.25f -=-． 21．【陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三】已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，且(3)3f =，则(1)f -=______________．【答案】3【分析】先由函数关于(2，0)对称，求出(1)f ，然后由奇函数可求出(1)f -． 【解析】函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，所以(1)(3)3f f =-=-， 又函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)3f f =-=-．22．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模】若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=______________．【答案】3-【分析】利用解析式求出1()2f ，根据奇函数定义可求得结果．【解析】由题意知1212()23f === ()f x为奇函数，11()()22f f ∴-=-=．23．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1(())100f f 的值为______________． 【答案】2lg - 【分析】先求出1()100f 的值，设为a ，判断a 是否大于零，如果大于零，直接求出()f a 的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质()()f a f a =--，进行求解．【解析】10,100>∴1()100f =21lg()lg102100-==-， 20-<∵，函数()f x 是奇函数，(2)(2)lg 2f f ∴-=-=-，所以1(())100f f 的值为lg2-．24．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）】若函数 为偶函数，则______________．【答案】2-【解析】函数 为偶函数，则 ， 即 恒成立， ．则．【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．25．【甘肃省张掖市2019届高三上学期第一次联考】已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，2()()22xf xg x x x b -=+++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-=______________． 【答案】4-【分析】根据函数的奇偶性，先求b 的值，再代入1x =，求得(1)(1)4f g -=，进而求解(1)(1)f g -+-的值．【解析】由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，因为(0)0g =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，解得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1[(1)(1)](4)1)f g f g f g =-+=---+=--．【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间．26．【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】若函数2()e 1xf x a =--是奇函数，则常数 等于______________． 【答案】【分析】由奇函数满足，代入函数求值即可．【解析】对一切且恒成立．恒成立，恒成立．，．27．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末考试】已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则______________．【答案】【分析】根据是周期为4的奇函数即可得到＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，利用当0＜x＜2时，＝4x，求出，再求出，即可求得答案．【解析】∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，∵当x∈（0，2）时，，∴＝﹣2，∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝＝，同时＝﹣，∴＝0，∴﹣2．【名师点睛】考查周期函数的定义，奇函数的定义，关键是将自变量的值转化到函数解析式所在区间上，属于中档题．28．【新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第二次月考】下列函数：①；②，，；③；④．其中是偶函数的有______________．（填序号）【答案】①【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称可知②，，为非奇非偶函数；再利用偶函数的定义，分别检验①③④是否符合，从而得到结果．【解析】①，为偶函数；②定义域，关于原点不对称，为非奇非偶函数；③，为奇函数；④ ，为非奇非偶函数； 故答案为①．【名师点睛】该题考查的是有关偶函数的选择问题，涉及到的知识点有函数奇偶性的定义，注意判断函数奇偶性的步骤，首先确定函数的定义域是否关于原点对称，再者就是判断 与 的关系． 29．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知 ， ．若偶函数 满足 （其中 ， 为常数），且最小值为1，则 ______________． 【答案】【分析】利用函数是偶函数，确定 ，利用基本不等式求最值，确定 的值，即可得到结论． 【解析】由题意， ， ， 为偶函数， ， ， ， ， ， ，．30．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，当[0,1]x ∈时，3()1f x x =-，则29()2f =______________． 【答案】78-【分析】先由题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，利用函数的奇偶性推出()f x 的周期4T =，可得291()()22f f =-，然后带入求得结果． 【解析】因为(1)f x -为奇函数，所以(1)(1),(2)()f x f x f x f x --=--∴--=-， 又()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，所以()()f x f x -=，即(2)(),(2)()f x f x f x f x --=--∴-=-，所以()f x 的周期4T =，因为295551()(12)()(2)()22222f f f f f =+==--=-，2117()1()228f =-=， 所以297()28f =-．31．【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟】已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 ， 上单调递增，则不等式 的解集为______________．【答案】 ， ，【分析】利用偶函数关于 轴对称， 在 ， 上单调递增，将不等式 转化为 ，即可解得 的解集． 【解析】 函数 是定义域为 的偶函数，可转化为 ， 又 在 ， 上单调递增，，两边平方解得 ， ， ， 故 的解集为 ， ， ．32．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试】已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数，则20191()i f i ==∑______________．【答案】0【分析】根据函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数可得()(2)f x f x -=+和()(4)f x f x --=+，可得(4)()f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，结合函数的对称性可得(1)(3)0f f +=且(2)(0)(4)0f f f ===，从而可得结果．【解析】根据题意，(1)f x +为偶函数，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 则有()(2)f x f x -=+，若函数(2)f x +为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则有()(4)f x f x --=+，则有(4)(2)f x f x +=-+， 设2t x =+，则(2)()f t f t +=-， 变形可得(4)(2)()f t f t f t +=-+=， 则函数()f x 是周期为4的周期函数， 又由函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则(1)(3)0f f +=且(2)0f =， 则有(2)(0)0f f =-=，可得(4)0f=，则20191(1)(2)(019) )(2if i f f f ==+++∑[12(3)4][(2013)(2014()()(2015)(2016]))()f f f f f f f f=+++++++++[(2017)(2018)(201()9)]12((0)3)f f f f f f++=++=，故答案为0．33．【内蒙古呼和浩特市2019届高三上学期期中调研】已知函数与都是定义在上的奇函数，当时，，则的值为______________．【答案】2【分析】根据题意，由是定义在R上的奇函数可得，结合函数为奇函数，分析可得，则函数是周期为2的周期函数，据此可得，结合函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性与周期性可得的值，相加即可得答案．【解析】根据题意是定义在R上的奇函数，则的图象关于点（﹣1，0）对称，则有，又由是R上的奇函数，则，且，则有，即，则函数是周期为2的周期函数，则，又由＝log2＝﹣2，则＝2，，故＝2+0＝2．。
函数的奇偶性、单调性、周期性
一. 函数的奇偶性
2．对函数奇偶性的理解 ． （1）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是函 ）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质， 数的整体性质. 数的整体性质 （2）函数奇偶性中对定义域内任意一个 ，都有 (－x) = ）函数奇偶性中对定义域内任意一个x，都有f － f (x)，f (－x) = －f (x)的实质是：函数的定义域关于原点 的实质是： ， － 的实质是 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件. 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件 函数的奇偶性是 其相应图象特殊的对称性的反映. 其相应图象特殊的对称性的反映
A.关于原点对称 A.关于原点对称 C.关于y C.关于y轴对称 关于
B.关于直线y B.关于直线y=-x对称 关于直线 D.关于直线y D.关于直线y=x对称 关于直线
解析: 解析:
由于定义域为（ 由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又 关于原点对称，
f(x)=-f(-x),故函数为奇函数,图象关于原点对称. )=),故函数为奇函数,图象关于原点对称. 故函数为奇函数
例3：(2008·山东)函数y=ln cos x (2008·山东)函数y 山东
(−
π
2
<x<
π
2
)
的图象是 （A ）
解析: 解析:
为偶函数, y=ln cos x为偶函数,且函数图象在 [ 0 , π )上单
2
调递减. 调递减.
若函数f 的导函数 若函数 (x)的导函数 f ′(x) 在D上的函数 上的函数
值为正,则称 上为增函数； 值为正 则称y = f (x)在D上为增函数； 则称 在 上为增函数
四.函数的单调性
2. 函数单调性的等价定义
【高考四元聚焦】 2014届高三一轮数学(理)复习 第6讲 函数的性质(二)——奇偶性、周期性、对称性
f(x)＝x2＋1x，则 f(－1)＝( A )
A．－2
B．0
C．1
D．2
42
解析：因为函数 f(x)为奇函数， 所以 f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2，选 A.
43
3.(2012·山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足
f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1 时，f(x)＝－(x＋2)2；
33
分析：(1)用赋值法；(2)依题设构造 f(－x)与 f(x)的关系； (3)存在型问题，可由存在入手推导相关结论．
解析：(1)证明：令 x＝y＝0，则 2f(0)＝2f2(0)． 又 f(0)≠0，所以 f(0)＝1. (2)令 x＝0，则 f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)， 所以 f(y)＝f(－y)，即 f(x)＝f(－x)， 又 x∈R，所以 f(x)为偶函数．
7
3．(改编)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，
当 x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则 f(72)＝
.
8
解析：f(72)＝f(72－2)＝f(32)＝f(32－2)＝f(－12)＝f(12) ＝2×12－1＝0.
9
4．(改编)设函数 y＝f(x)(x∈R 的图象关于直线 x＝1 对称，
(2)因为 f(x)＝x3＋sin x，x∈(－1,1)是奇函数，且单调递增， 所以 f(a2－1)＋f(1－2a)<0，即 f(a2－1)<f(2a－1)．
－1<a2－1<1
所以－1<1－2a<1 a2－1<2a－1
－ 2<a<0或0<a< 2 ⇒0<a<1
0<a<2
函数奇偶性对称性周期性知识点总结
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
周期性和奇偶性的关系
周期性和奇偶性的关系周期性和奇偶性是两种与数学密切相关的概念，它们之间有着密不可分的联系。
本文将从不同角度探讨周期性和奇偶性的关系。
一、周期性与奇偶性的定义周期性是指某种规律性在一定时间内不断重复出现的现象，例如日出日落、季节交替等都是周期性现象。
在数学中，周期性指的是函数的某个输入值的变化与另一个输入值的变化具有相同的规律重复出现，称为函数的周期。
周期用T表示，若一个函数在取某个常数T的周期时，对于所有的x值，都有f(x+T)=f(x) 成立，则称f(x)是周期性函数，该常数T称为它的周期。
奇偶性是指函数在定义域上某些点的函数值与该点与定义域中心点之差的奇偶性相同的性质。
在数学中，奇偶性是针对函数而言的，如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)成立，则称f(x)是偶函数，否则若有f(-x)=-f(x)成立，则称f(x)是奇函数。
其中，偶函数的图像以y轴对称，奇函数的图像以原点对称。
二、周期函数的奇偶性对于周期函数而言，其周期T和奇偶性之间是有一定的关系的。
具体地说，若一个函数f(x)是偶函数，则有f(x+T)=f(x)，又有f(-x)=f(x)，则有f(-x+T)=f(x+T)=f(x)，因此f(x)同样是周期为T的周期函数；若f(x)是奇函数，则有f(x+T)=-f(-x)，又有f(-x)=-f(x)，则有f(-x+T)=-f(x+T)，因此f(x)同样是周期为T的周期函数。
从上述推导可以看出，偶函数和奇函数都具有周期性。
其中偶函数的周期与其对称轴有关，奇函数的周期与原点有关。
例如，f(x)=cos(x)是偶函数，周期为2π；f(x)=sin(x)是奇函数，周期为2π。
这两个函数是最基本的周期函数，它们在三角学中应用广泛。
在物理中，周期函数也有着重要的应用，例如在谐振子中，振动的运动规律就是遵循周期性函数的规律。
三、奇偶函数的周期性和周期函数可以具有奇偶性一样，奇偶函数也可以具有周期性。
函数的周期性与奇偶性
函数的周期性与奇偶性函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了一种规律性的映射关系。
函数的周期性和奇偶性是函数性质中的两个重要方面。
本文将就函数的周期性和奇偶性展开论述。
一、函数的周期性周期性是函数在某个区间内具有相似性质的重复性。
若对于函数f(x)存在一个正数T，使得对于任意的x∈R，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)是周期函数，T称为函数的周期。
周期函数是一类具有固定重复规律的函数。
常见的周期函数有三角函数和指数函数。
以三角函数为例，正弦函数和余弦函数就是周期为2π的函数。
它们的图像在每个周期内重复出现相同的形状。
在数学中，我们可以通过函数图像的观察或者计算来确定周期。
对于三角函数而言，周期往往是已知的，如正弦函数的周期为2π。
而对于其他函数，我们可以观察函数图像是否在一个特定区间内重复。
函数的周期性可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
很多实际问题中的规律性变化都可以用周期函数来描述，比如天体运动、电流的变化等。
二、函数的奇偶性奇偶性是函数在坐标系中对称性的一种表现。
若对于任意的x∈R，有f(-x) = f(x) 或者f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)是偶函数或奇函数。
偶函数的图像关于y轴对称，即在y轴上的每个点关于原点有对应的相等点。
典型的偶函数有多项式中的偶次幂函数，如x²、x⁴等。
奇函数的图像关于坐标原点对称，即在原点关于x轴和y轴的每个点有对应的相等点。
典型的奇函数有多项式中的奇次幂函数，如x³、x⁵等。
在数学中，我们可以通过对函数进行代数计算来判断函数的奇偶性。
比如，若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则可以判定f(x)是偶函数；若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则可以判定f(x)是奇函数。
同时，我们也可以通过观察函数图像来确定函数的奇偶性。
函数的奇偶性是函数图像的一种对称性，它在数学运算和函数性质研究中有重要的应用。
函数的周期性与奇偶性的判定
函数的周期性与奇偶性的判定函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种数值之间的关系。
函数的周期性与奇偶性是函数的重要特征之一，对于函数的分析和应用具有重要的意义。
本文将介绍函数的周期性和奇偶性的概念，并讨论判定函数周期性和奇偶性的方法。
一、函数的周期性周期函数在数学中起到了重要的作用，它们具有重复出现的性质。
一个函数f(x)被称为周期函数，如果存在一个正数T，使得对于任意的x，都有f(x+T) = f(x)成立。
这个正数T被称为函数f(x)的周期。
周期函数具有重复出现的形式，可以描述各种重复现象，如正弦函数、余弦函数等。
判定函数周期性的方法：1. 观察函数图像：通过观察函数的图像，可以发现函数是否重复出现。
如果函数的图像在一个特定的间隔内重复出现，并且没有其他额外的变化，那么函数很可能是周期函数。
2. 分析函数公式：有些函数的周期性可以通过函数的公式来判断。
例如，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而指数函数和对数函数则没有周期性。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是函数的对称性质，反映了函数的特定规律。
一个函数f(x)被称为奇函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)成立；一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)成立。
奇函数和偶函数是两类特殊的函数，它们具有对称性的特征。
判定函数奇偶性的方法：1. 观察函数图像：通过观察函数的图像，可以发现函数是否具有对称性。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
因此，通过观察函数的图像可以初步判定函数的奇偶性。
2. 分析函数公式：有些函数的奇偶性可以通过函数的公式来判断。
例如，幂函数的指数为奇数时，函数是奇函数；指数为偶数时，函数是偶函数。
综上所述，函数的周期性和奇偶性是函数的重要特征。
通过观察函数的图像和分析函数的公式，我们可以判定函数的周期性和奇偶性。
这些特征在函数的分析和应用中起着重要的作用，帮助我们理解和描述各种数值之间的关系。
函数的奇偶性和周期性
函数的奇偶性与周期性1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．(课本改编题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．答案13解析由f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)，即ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0.又f(x)的定义域应关于原点对称，即(a－1)＋2a＝0，∴a＝13，故a＋b＝13.2．(2011·广东)设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.答案－9解析令g(x)＝f(x)－1＝x3cos x，∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cos x＝－g(x)，∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.3． 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________． 答案 (－1,0)∪(1，＋∞)解析 画草图，由f (x )为奇函数知：f (x )>0的x 的取值范围为(－ 1,0)∪(1，＋∞)．4． 函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则 ( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数 答案 D解析 因为f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)， 即f (－x )＝－f (2＋x )，f (－x －1)＝－f (x －1)， 即f (－x )＝－f (－2＋x )，于是f (x ＋2)＝f (x －2)，即f (x )＝f (x ＋4)，所以函数f (x )是周期T ＝4的周期函数．所以f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数． 5． (2011·大纲全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52等 于 ( ) A ．－12 B ．－14 C.14 D.12答案 A 解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2 ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12.题型一 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1) 1－x1＋x； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.思维启迪：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称， 再验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．解 (1)由{9－x 2≥x 2－9≥0，得x ＝±3.∴f (x )的定义域为{－3,3}．又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0.即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．(2)由⎩⎨⎧1－x1＋x ≥＋x ≠0，得－1<x ≤1.∵f (x )的定义域(－1,1]不关于原点对称． ∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由{4－x 2≥x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称． ∴f (x )＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x.∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )是奇函数． 探究提高 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．下列函数：①f (x )＝1－x 2＋x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；④f (x )＝3x －3－x2；⑤f (x )＝lg1－x1＋x. 其中奇函数的个数是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 D 解析 ①f (x )＝1－x 2＋x 2－1的定义域为{－1,1}，又f (－x )＝±f (x )＝0，则f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数，也是偶函数；②f (x )＝x 3－x 的定义域为R ，又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－(x 3－x )＝－f (x )，则f (x )＝x 3－x 是奇函数； ③由x ＋x 2＋1>x ＋|x |≥0知f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)的定义域为R ，又f (－x )＝ln(－x ＋(－x )2＋1)＝ln1x ＋x 2＋1＝－ln(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，则f (x )为奇函数；④f (x )＝3x －3－x2的定义域为R ，又f (－x )＝3－x －3x 2＝－3x －3－x2＝－f (x )，则f (x )为奇函数；⑤由1－x 1＋x >0得－1<x <1，f (x )＝ln 1－x1＋x的定义域为(－1,1)，又f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x1＋x ＝－f (x )， 则f (x )为奇函数，∴奇函数的个数为5. 题型二 函数的奇偶性与周期性例2 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．思维启迪：(1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )，即可说明f (x )是周期函数；(2)由f (x )在[0,2]上的解析式求得f (x )在[－2,0]上的解析式，进而求f (x )在[2,4]上的解析式； (3)由周期性求和．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]， ∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8，又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]． (3)解 ∵f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7) ＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＝0. ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.探究提高 判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x ) (T ≠0)便可证明函数是周期函数，且 周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x ) ＝x ，则f (105.5)＝________. 答案 2.5解析 由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5. 题型三 函数性质的综合应用例3 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间．思维启迪：可以先确定函数的周期性，求f (π)；然后根据函数图象的对称性、周期性画 出函数图象，求图形面积、写单调区间．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得：f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )． 故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ， 则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4. (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1] (k ∈Z )， 单调递减区间为[4k ＋1,4k ＋3] (k ∈Z )．(1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则 ( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D解析 由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又 f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，f (－25)＝f (－1)，f (11) ＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)<f (80)<f (11)．(2)函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集． 解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，且由f (1)＝0得f (－1)＝0. 若f [x (x －12)]<0＝f (1)，则⎩⎨⎧x (x －12)x (x －12)<1即0<x (x －12)<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.若f [x (x －12)]<0＝f (－1)，则⎩⎨⎧x (x －12)x (x －12)<－1由x (x －12)<－1，解得x ∈∅.∴原不等式的解集是{x |12<x <1＋174或1－174<x <0}．1.等价转换要规范典例：(12分)函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D .有f (x 1·x 2)＝f (x 1) ＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．审题视角 (1)从f (1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x 1＝x 2＝1.(2)判断f (x )的奇偶性， 就是研究f (x )、f (－x )的关系．从而想到赋值x 1＝－1，x 2＝x .即f (－x )＝f (－1)＋f (x )．(3) 就是要出现f (M )<f (N )的形式，再结合单调性转化为M <N 或M >N 的形式求解． 规范解答解 (1)令x 1＝x 2＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0.[2分] (2)f (x )为偶函数，证明如下：[4分]令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数．[7分] (3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3.[8分] 由f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3， 变形为f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64)．(*)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．[9分] 又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0. 解得－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5.∴x 的取值范围是{x |－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5}．[12分]温馨提醒 数学解题的过程就是一个转换的过程．解题质量的高低，取决于每步等价转 换的规范程度．如果每一步等价转换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是 规范的．等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示．如“M ”等价于“N ”，“M ”变形为“N ”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f (x )为偶函数，∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x － 6)|]≤f (64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)⇒|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.若漏掉(3x ＋1)(2x －6)≠0，则这个转化就不等价了.(时间：60分钟)A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·广东)下列函数为偶函数的是 ( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋1 答案 D解析 由函数奇偶性的定义知A 、B 项为奇函数，C 项为非奇非偶函数，D 项为偶函数． 2． (2012·天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 ( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R答案 B解析 选项A 中函数y ＝cos 2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，不满足题意； 选项C 中的函数为奇函数；选项D 中的函数为非奇非偶函数，故选B. 3．(2011·辽宁)若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( )A.12B.23C.34 D ．1 答案 A解析 ∵f (－x )＝－f (x )， ∴－x(－2x ＋1)(－x －a )＝－x (2x ＋1)(x －a )，∴(2a －1)x ＝0，∴a ＝12.4． (2012·福州质检)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于 ( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 答案 A解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数，∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)，又∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (－1)＝－f (1)， 而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．答案 －1解析 因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.6． 设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝______.答案 －3解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，因此f (－x )＋f (x )＝0.当x ＝0时，可得f (0)＝0， 可得b ＝－1，此时f (x )＝2x ＋2x －1，因此f (1)＝3.又f (－1)＝－f (1)，所以f (－1)＝－3. 7． (2012·江南十校联考)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为________． 答案 ①②③解析 由f (x )＝f (x ＋3)⇒f (x )为周期函数，且T ＝3，①为真命题；又y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34关于(0,0) 对称，y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34向左平移34个单位得y ＝f (x )的图象， 则y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，②为真命题； 又y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫x －34＝－f ⎝⎛⎭⎫－x ＋34，f ⎝⎛⎭⎫x －34－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34－x －34＝－f (－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫x －32＝－f (－x )，f (x )＝f (x －3)＝－f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f (－x )，∴f (x )为偶函数，不可能为R 上 的单调函数．所以③为真命题，④为假命题． 三、解答题(共25分)8． (12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x ) ，函数是偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x .任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21＋1x 1)－⎝⎛⎭⎫x 22＋1x 2 ＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，所以f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．9． (13分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．(1)证明 由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x . x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4. B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 A解析 ∵f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.2． 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2013)＋f (2 015)的值为 ( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算 答案 C解析 由题意，得g (－x )＝f (－x －1)，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )的周期为4，∴f (2 013)＝f (1)，f (2 015)＝f (3)＝f (－1)，又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0，∴f (2 013)＋f (2 015)＝0.3． (2012·淄博一模)设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1， 则a 的取值范围是 ( )A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23答案 C解析 函数f (x )为奇函数，则f (1)＝－f (－1)．由f (1)＝－f (－1)≥1，得f (－1)≤－1；函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1，解得－1<a ≤23. 二、填空题(每小题4分，共12分)4． (2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.答案 0解析 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |， ∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴a ＝0.5． 已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 015)＝________. 答案 14解析 方法一 令x ＝1，y ＝0时，4f (1)·f (0)＝f (1)＋f (1)，解得f (0)＝12，令x ＝1，y ＝1时，4f (1)·f (1)＝f (2)＋f (0)，解得f (2)＝－14， 令x ＝2，y ＝1时，4f (2)·f (1)＝f (3)＋f (1)，解得f (3)＝－12， 依次求得f (4)＝－14，f (5)＝14，f (6)＝12，f (7)＝14， f (8)＝－14，f (9)＝－12，… 可知f (x )是以6为周期的函数，∴f (2 015)＝f (335×6＋5)＝f (5)＝14. 方法二 ∵f (1)＝14，4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )， ∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π3x ， ∴f (2 015)＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3×2 015＝14. 6． 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x ，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．答案 ①②④解析 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝⎛⎭⎫12x －3，因此②④正确．③不正确．三、解答题(共13分)7．已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1) ＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．解(1)若y＝f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(2－(x＋2))＝f(2＋(x＋2))＝f(4＋x)＝f(x)，∴f(7)＝f(3)＝0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是偶函数．若y＝f(x)为奇函数，则f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，这些f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是奇函数．综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)∵f(x)＝f[2＋(x－2)]＝f[2－(x－2)]＝f(4－x)，f(x)＝f[7＋(x－7)]＝f(7－(x－7))＝f(14－x)，∴f(14－x)＝f(4－x)，即f[10＋(x－4)]＝f(4－x)∴f(x＋10)＝f(x)，即函数f(x)的周期为10.又∵f(1)＝f(3)＝0，∴f(1)＝f(1＋10n)＝0(n∈Z)，f(3)＝f(3＋10n)＝0(n∈Z)，即x＝1＋10n和x＝3＋10n(n∈Z)均是方程f(x)＝0的根．由－2 011≤1＋10n≤2 011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±201，共403个；由－2 011≤3＋10n≤2 011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±200，－201，共402 个；所以方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上的根共有805个．。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题06 函数的奇偶性与周期性(解析版)
考点06 函数的奇偶性与周期性1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝e x C ．f (x )＝cos x D ．f (x )＝e x －e －x【答案】D【解析】对于A ，定义域不关于原点对称，故不是；对于B, f (－x )＝e －x ＝1e x ≠－f (x )，故不是；对于C ，f (－x )＝cos(－x )＝cos x ≠－f (x )，故不是；对于D ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，是奇函数，故选D.2．设函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R)，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )在R 上单调递增 C ．f (x )的值域为R D ．f (x )是周期函数【答案】D【解析】因为f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故A 正确；因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，故B 正确；f (x )的值域为R ，故C 正确；f (x )不是周期函数，故D 错误．3．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R)，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是( ) A ．2和1 B ．2和0 C ．2和－1 D ．2和－2【答案】B【解析】设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2.4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B ．13C ．－12D ．12【答案】B【解析】∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴b ＝0.又a －1＝－2a ，∴a ＝13，∴a ＋b ＝13.故选B.5．已知y ＝f (x )是偶函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝sin x ，而y ＝f (x ＋1)是奇函数，则a ＝f (－3.5)，b ＝f (7)，c ＝f (12)的大小关系是( ) A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜b D ．a ＜b ＜c【答案】B【解析】因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )， 因为y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以f (x )＝－f (2－x )， 所以f (－x )＝－f (2－x )，即f (x )＝f (x ＋4)． 所以函数f (x )的周期为4，又因为当0≤x ≤1时，f (x )＝sin x ，所以函数在[0，1]上单调递增， 因为a ＝f (－3.5)＝f (－3.5＋4)＝f (0.5)； b ＝f (7)＝f (7－8)＝f (－1)＝f (1)， c ＝f (12)＝f (12－12)＝f (0)， 又因为f (x )在[0，1]上为增函数， 所以f (0)＜f (0.5)＜f (1)，即c ＜a ＜b .6．已知函数f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98【答案】B【解析】由f (x ＋4)＝f (x )知，函数f (x )的周期为4，则f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， 又f (3)＝f (－1)，且f (－1)＝2，∴f (2 019)＝2.7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－2x ，∴－f (x )＝x 2－2x ，∴f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.8．设e 是自然对数的底数，函数f (x )是周期为4的奇函数，且当0<x <2时，f (x )＝－ln x ，则e f (73)的值为( )A.35 B ．34C ．43D ．53【答案】D【解析】因为函数以4为周期，所以f ⎝⎛⎭⎫73＝f ⎝⎛⎭⎫73－4＝f ⎝⎛⎭⎫－53＝－f ⎝⎛⎭⎫53＝ln 53，所以e f (73)＝eln 53＝53.故选D. 9．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 019)＋f (2 020)＝( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】∵y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则函数y ＝f (x )的图象关于x ＝0对称，即函数f (x )是偶函数． 令x ＝－1，则f (－1＋2)－f (－1)＝2f (1)， 即f (1)－f (1)＝2f (1)＝0，即f (1)＝0.则f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)＝0，即f (x ＋2)＝f (x )，即函数的周期是2，又f (0)＝2，则f (2 019)＋f (2 020)＝f (1)＋f (0)＝0＋2＝2，故选B.10．已知偶函数f (x )的定义域为R ，若f (x －1)为奇函数，且f (2)＝3，则f (5)＋f (6)的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3【答案】C【解析】依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且在R 上是奇函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以f (－2)＝－f (2)＝0，结合图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．故选C.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】B【解析】由题意，偶函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，即不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1,2]恒成立，即不等式f (|a |)≥f (|x |)对任意x ∈[1,2]恒成立，所以|a |≤|x |对任意x ∈[1,2]恒成立，所以|a |≤1，则－1≤a ≤1.故选B. 12．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( ) A ．0 B ．－4 C ．－8 D ．－16【答案】B【解析】由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12.把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2 014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4.故选B. 13．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，在区间⎣⎡⎦⎤0，32上是增函数，且函数y ＝f (x －3)为奇函数，则( )A ．f (－31)＜f (84)＜f (13)B ．f (84)＜f (13)＜f (－31)C ．f (13)＜f (84)＜f (－31)D ．f (－31)＜f (13)＜f (84) 【答案】A.【解析】根据题意，函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，则有f (x －6)＝－f (x －3)＝f (x )，则函数f (x )为周期为6的周期函数．若函数y ＝f (x －3)为奇函数，则f (x )的图象关于点(－3，0)成中心对称，则有f (x )＝－f (－6－x )，又由函数的周期为6，则有f (x )＝－f (－x )，函数f (x )为奇函数．又由函数在区间⎣⎡⎦⎤0，32上是增函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－32，32上为增函数，f (84)＝f (14×6＋0)＝f (0)，f (－31)＝f (－1－5×6)＝f (－1)，f (13)＝f (1＋2×6)＝f (1)，则有f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－31)＜f (84)＜f (13)，故选A.14．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当0<x <1时，f (x )＝9x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________. 【答案】－3【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当0<x <1时，f (x )＝9x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝－912＝－3. 又f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝－3. 15．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在[0，2]上为增函数，若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值为________． 【答案】－8【解析】因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，由f (x －4)＝－f (x )可得f (x ＋2)＝－f (x ＋6)＝－f (x －2)，因为f (x )是奇函数，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称，结合f (x )在[0，2]上为增函数，可得函数f (x )的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.16．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，则f (2a －b )＝________. 【答案】5【解析】∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，∴－1－a ＋2a ＝0，即a ＝1. ∵f (x )＝f (－x )，∴ax 2＋bx ＋1＝ax 2－bx ＋1，∴b ＝0，即f (x )＝x 2＋1. 则f (2a －b )＝f (2)＝5.17．已知函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时， f (x )＝x ＋1，则当x <0时， f (x )＝________. 【答案】－－x －1【解析】∵f (x )为奇函数，且x >0时， f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，即－x >0，有 f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时， f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.18．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x .若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－2,1)【解析】∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时， f (x )＝－x 2＋2x .做出函数f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数．由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1. 19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】【解析】(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时， f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．20．已知函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2, 且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 【答案】(1) 0 (2) f (x )为偶函数 (3) (－15,1)∪(1,17)【解析】(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题意有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，又由(2)知， f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． ∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．21．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1，2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)． 【答案】①②③④【解析】f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意x ，y ∈R 恒成立． 令x ＝y ＝0，所以f (0)＝0.令x ＋y ＝0，所以y ＝－x ， 所以f (0)＝f (x )＋f (－x )．所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．因为f (x )在x ∈[－1，0]上为增函数，又f (x )为奇函数，所以f (x )在[0，1]上为增函数． 由f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以周期T ＝4， 即f (x )为周期函数．f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (－x ＋2)＝－f (－x )． 又因为f (x )为奇函数，所以f (2－x )＝f (x )， 所以函数关于x ＝1对称．由f (x )在[0，1]上为增函数，又关于x ＝1对称，所以f(x)在[1，2]上为减函数．由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．。
函数的奇偶性和周期性
函数的奇偶性和周期性知识回顾1．函数的奇偶性的定义：① 对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-〔或0)()(=+-x f x f 〕，则称)(x f 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。
② 对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-〔或0)()(=--x f x f 〕，则称)(x f 为偶函数. 偶函数的图象关于y 轴对称。
③ 通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）1． 函数的周期性命定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
注：①若0)(=x f ,则)(x f 既是奇函数又是偶函数,若)0()(≠=m m x f ,则)(x f 是偶函数；②若)(x f 是奇函数且在0=x 处有定义，则0)0(=f ③若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f ≠-，则可以断定)(x f 不是偶函数，同样，若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f -≠-，则可以断定)(x f 不是奇函数。
2．奇偶函数图象的对称性（1） 若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x=对称； （2） 若)(x b f y +=是奇函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；3．函数的周期性（1）函数值之和等于零型，即函数)(0)()(b a x b f x a f ≠=+++ 对于定义域中任意x 满足)(0)()(b a x b f x a f ≠=+++，则有)()]22([x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期是)(2a b T -=（2）函数图象有a x =，)(b a b x ≠=两条对称轴型函数图象有a x =，)(b a b x ≠=两条对称轴，即)()(x a f x a f -=+，)()(x b f x b f -=+，得)()]22([x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期是)(2a b T -=（3） 两个函数值之积等于1±，即函数值互为倒数或负倒数型若)(1)()(b a b x f a x f ≠=+⋅+，则得)]22()2[()2(a b a x f a x f -++=+，函数)(x f 的周期是a b T 22-=；同理若)(1)()(b a b x f a x f ≠-=+⋅+，则)(x f 的周期是)(2a b T -=（4） 分式递推型，即函数)(x f 满足)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=+ 由)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=+得)2(1)2(b x f a x f +-=+，进而得 1)2()2(-=+⋅+b x f a x f ，由前面的结论得)(x f 的周期是)(4a b T -=考点一 判断函数的奇偶性及其应用 题型1：判断有解析式的函数的奇偶性[例1] 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx -+11； （3）2|2|1)(2-+-=x x x f ；（4）⎩⎨⎧>+<-=).0()1(),0()1()(x x x x x x x f[解析] （1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f （－x ）=|－x +1|－|－x －1|=|x －1|－|x +1|=－（|x +1|－|x －1|）=－f （x ），∴f （x ）=|x +1|－|x －1|是奇函数.（2）由xx -+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域关于原点不对称，f （x ）不是奇函数不是偶函数. （3）f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x +2＞0.从而有f （x ）= 2212-+-x x =x x 21-，∴f （－x ）=x x ---2)(1=－xx 21-=－f （x ） 故f （x ）为奇函数.（4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0，∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）.当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）.故函数f （x ）为奇函数.注：○1定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则D x ∈时D x ∈-) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件○2分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.题型2：证明抽象函数的奇偶性[例2] 定义在区间)1,1(-上的函数f (x )满足：对任意的)1,1(,-∈y x ，都有)1()()(xyy x f y f x f ++=+. 求证f (x )为奇函数； [解析]令x = y = 0，则f (0) + f (0) = )0()0100(f f =++ ∴ f (0) = 0 令x ∈(－1, 1) ∴－x ∈(－1, 1) ∴ f (x ) + f (－x ) = f (21x xx --) = f (0) = 0∴ f (－x ) =－f (x )∴ f (x ) 在(－1，1)上为奇函数[练习] 1．设函数()()()a x x x f ++=12为奇函数，则=a ___________。
专题二 考点06 函数的奇偶性与周期性(C卷)-2023届高考数学二轮复习重点基础练习
专题二 考点06 函数的奇偶性与周期性（C 卷）1.已知()f x 在R 上为奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为( ) A.0B.-1C.1D.22.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是( ) A.(1)1f x -- B.(1)1f x -+ C.(1)1f x +-D.(1)1f x ++3.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,221()1x f x x +=+,则()2020f =（ ）A.12 B. 12-C.1D.20204.已知定义在R 上的函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，且函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，30.2a =，0.23b =，0.2log 3c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为( ) A.()()()f a f b f c >> B.()()()f c f a f b >> C.()()()f b f a f c >>D.()()()f c f b f a >>5.设函数()()y f x x =∈R 为偶函数,且x ∀∈R ,满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当[2,3]x ∈时,()f x x =,则当[2,0]x ∈-时,()f x =( )A.4x +B.2x -C.21x ++D.31x -+6.已知()3()2()F x x x f x =-，且()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x 不恒等于零，则()F x 为( ) A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数7.已知()f x 是定义在区间(,0)(0,)-∞⋃+∞上的奇函数，对任意不相等实数12,(0,)x x ∈+∞，满足()()1221210x f x x f x x x ->-，且(2)4f =，则不等式()20f x x ->的解集为( ) A.(2,0)(2,)-⋃+∞B.(2,0)(0,2)-⋃C.(,0)(0,4)-∞⋃D.(,2)(2,)-∞-⋃+∞8.函数()f x 对任意x ∈R 满足1(4)()f x f x +=及()()0f x f x --=，且在(2,0)-上有()2f x x =-，则(2021)f =( ) A.13-B.13C.-3D.39.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.()()()251180f f f -<< B.()()()801125f f f <<- C.()()()118025f f f <<- D.()()()258011f f f -<<10.历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet ），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数:1,,()0,c x f x x ∈⎧=⎨∈⎩Q Q （其中Q 为有理数集，c Q 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：,,(),c a x D x b x ∈⎧=⎨∈⎩Q Q （其中,a b ∈R ，且a b ≠）以下对()D x 的说法错误的是( )A.()D x 的定义域为RB.当a b >时，()D x 的值域为[,]b a ；当a b <时，()D x 的值域为[,]a bC.()D x 偶函数D.()D x 为在实数集的任何区间上都不具有单调性11.已知定义在R 上的偶函数() f x 满足(1)(3)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()31x f x =-，则(2021)f -=________;当[2,4]x ∈时，()f x =________.12.已知定义在R 上的奇函数()f x ,对任意x 都满足()()24x x f f +=-,且当[0,3]x ∈时,()()2log 1f x x =+,则()2019f =________________.13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+，则(1)f -=__________.14.已知函数()y f x =，()y g x =的定义域为R ，且()()y f x g x =+为偶函数，()()y f x g x =-为奇函数，若(2)2f =，则(2)g -=_________.15.设函数()f x 的定义域为(1,1)-，且满足： ①(1,0)x ∈-时，()0f x >；②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，,(1,1)x y ∈-.则()f x 是________函数（填“奇”或“偶”），且()f x 在定义域上是__________函数（填“增”或“减”）.答案以及解析1.答案：A 解析：(2)(),()f x f x f x +=-∴为周期函数，且4T =.又()f x 为奇函数，(0)0.(6)(2)(0)0f f f f ∴=∴==-=. 2.答案：B解析：本题考查函数的性质.由1()1xf x x-=+，得1(1)2(1)1(1)x x f x x x ----==+-，1(1)(1)1(1)2x x f x x x -+-+==+++，所以22(1)112x f x x x ---=-=-，显然不是奇函数；22(1)11x f x x x --+=+=是奇函数；22(1)12xf x x --+-=+显然不是奇函数；2(1)12f x x++=+，显然不是奇函数. 3.答案：A解析：∵函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()33f x f x -=--，∴由题意得()()()33f x f f x x -==--，∴()()()333f x f x f x +=+-=，∴()f x 的周期为3，∴(2020)(36731)(1)(1)f f f f =⨯+==--.又3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，221()1x f x x +=+，∴1(1)2f -=-，∴1(2020)2f =.4.答案：C解析：函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，∴函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称，∴函数()y f x =为奇函数.函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，∴函数()y f x =在R 上单调递增，0.230.2310.20log 3b a c ∴=>>=>>=，()()()f b f a f c ∴>>，故选C. 5.答案：D 解析：x ∀∈R ,满足31,(2)()22f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故()()y f x x =∈R 是周期为2的函数.①当[2,1]x ∈--时,4[2,3],()(4)4x f x f x x +∈=+=+;②当(1,0]x ∈-时,[0,1),2[2,3)x x -∈-+∈,又函数()()y f x x =∈R 为偶函数,()()(2) 2f x f x f x x ∴=-=-+=-+.综合①②可知,当[2,0]x ∈-时,()3|1|f x x =-+.故选D.6.答案：B解析：依题意得()F x 的定义域为R ，且()()33()2()2()()F x x x f x x x f x F x -=-+-=-=，所以()F x 为偶函数，故选B. 7.答案：A解析：令210x x >>，则210x x ->，依题意可得()()1221x f x x f x -0>，即()()21210f x f x x x ->，令()()f x F x x=，则()F x 在(0,)+∞上是增函数， 易知()F x 为偶函数且在(,0)-∞上单调递减， 当0x >时，()20f x x ->等价于()20f x x ->，即()(2)22f x f x >=，即()F x (2)F >，则2.x >当0x <时，()20f x x ->等价于()20f x x-<，即()(2)F x F <-，则2x -<<0.综上，不等式()20f x x ->的解集为(2,0)(2,)-⋃+∞，故选A.8.答案：B 解析：由1(4)()f x f x +=得1(8)()(4)f x f x f x +==+，所以函数()f x 的周期为8因为()()0f x f x --=，所以函数()f x 为偶函数，其图像关于y 轴对称又在(2,0)-上有()2f x x =-，所以1111(2021)(82525)(5)(1)(1)2(1)3f f f f f =⨯+=====---. 故选B. 9.答案：D解析：因为()f x 满足()()4f x f x -=-,所以()()8f x f x -=,所以函数()f x 是以8为周期的周期函数,则()()()()()()251,80013,1f f f f f f -=-==.由()f x 是定义在R 上的奇函数,且满足()()4f x f x -=-,得()()()()11311f f f f ==--=.因为()f x 在区间[]0,2是增函数,()f x 在R 上是奇函数,所以()f x 在区间[2,2]-上是增函数,所以()()()101f f f -<<,即()()()258011f f f -<<.故选D. 10.答案：B解析：显然无理数集和有理数集的并集是实数集，故A 正确； ()D x 的函数值只有两个，所以()D x 的值域为{,}b a ，故B 错误；若x ∈Q ,则x -∈Q ,()()D x D x a =-=,若x ∈Q ,则c x -∈Q ,()()D x D x b =-=,所以()D x 为偶函数，故C 正确；由于任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有有理数，()D x 的函数值在a ,b 之间无限转换，所以()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性，故D 正确. 11.答案：2;43x -解析：由(1)(3)f x f x +=-，得(4)()f x f x +=，所以()f x 是以4为周期的周期函数.所以(2021)(2021)(45051)(1)312f f f f -==⨯+==-=.设[2,0]x ∈-，则[0,2]x -∈.因为()f x 是R 上的偶函数，所以当[2,0)x ∈-时，()()31x f x f x -=-=-.当[2,4]x ∈时，4[2,0]x -∈-，所以(4)4()(4)3131x x f x f x ---=-=-=-. 12.答案：2解析：由()()24f x f x +=-可得()()6f x f x =-,又()f x 在R 上为奇函数,即()()()00,f x f x f -=-=,所以()()()()612f x f x f x f x =--=-+=+,则()f x 是周期为12的周期函数,所以()()()()220191681233log 312f f f =⨯+==+=. 13.答案：-3解析：因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+， 所以()2(1)(1)1213f f -=-=-+⨯=-. 14.答案：2解析：因为()()y f x g x =+为偶函数，()()y f x g x =-为奇函数， 所以(2)(2)(2)(2)f g f g -+-=+①， (2)(2)(2)(2)f g g f ---=-②，由①②可得，(2)(2)f g =-，若(2)2f =，则(2)2g -=.故答案为2. 15.答案：奇；减解析：()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，令0x y ==，则(0)(0)(0)f f f +=，所以(0)0f =， 令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，又因为(1,1)x ∈-， 所以()f x 为奇函数.任取12,(1,0)x x ∈-，且12x x <，则()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭，因为1210x x -<<<，所以120x x -<，1201x x <<， 所以1210x x ->， 所以121201x x x x -<-，因为()()12121212111011x x x x x x x x +--+=>--，所以121211x xx x ->--， 所以1212101x x x x --<<-，由条件①得121201x x f x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，所以()()120f x f x ->， 所以()f x 在(1,0)-上是减函数， 又()f x 为奇函数， 在(1,0)-上()0f x >， 所以()f x 在(1,1)-上是减函数.。
函数的周期性与奇偶性判断
函数的周期性与奇偶性判断在数学中，函数的周期性和奇偶性是两个重要的性质，它们可以帮助我们更好地理解和分析函数的行为。
本文将详细介绍函数的周期性和奇偶性，以及如何判断一个函数是否具有这些性质。
一、函数的周期性周期性是指函数在一定的区间内，以相同的规律不断重复。
如果函数f(x)满足以下条件，则称其具有周期性：f(x + T) = f(x)，其中T为正实数。
换句话说，如果对于函数f(x)的任意x值，都有f(x + T) = f(x)，那么函数f(x)就是周期函数，其中T称为函数的周期。
常见的周期函数有正弦函数、余弦函数等。
例如，正弦函数sin(x)的周期是2π，即对于任意x，都有sin(x + 2π) = sin(x)。
而余弦函数cos(x)的周期也是2π。
判断一个函数是否具有周期性，可以通过观察函数的图像或使用数学方法来确定。
例如，对于三角函数来说，我们可以观察函数的波形是否在一定区间内不断重复。
对于其他类型的函数，我们可以使用数学方法来求解函数的周期。
二、函数的奇偶性奇偶性是指函数在坐标系中关于原点对称。
具体而言，如果函数f(x)满足以下条件，则称其具有奇偶性：奇函数：f(-x) = -f(x)，即函数关于原点对称。
偶函数：f(-x) = f(x)，即函数关于y轴对称。
对于奇函数来说，当x取正值时，函数值与对应的负值相等但符号相反。
而对于偶函数来说，无论x为正值还是负值，函数值都相等。
常见的奇函数有正弦函数sin(x)，而常见的偶函数有余弦函数cos(x)。
例如，对于正弦函数sin(x)，我们可以观察函数的图像是否关于原点对称，即是否在y轴上下对称。
而对于余弦函数cos(x)，我们可以观察函数的图像是否关于y轴对称。
判断一个函数是否具有奇偶性，可以使用函数的性质来进行推导。
例如，对于三角函数来说，我们可以根据函数的定义和性质来判断其奇偶性。
对于其他类型的函数，我们可以使用函数的表达式进行分析。
三、函数周期性和奇偶性的应用函数的周期性和奇偶性在数学和物理中有广泛的应用。
函数的奇偶性与周期性知识点总结
函数的奇偶性与周期性知识点总结函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在学习函数的过程中，我们会遇到一些特殊的函数类型，包括奇函数、偶函数和周期函数。
本文将对这些函数类型的特点进行总结，并介绍函数的奇偶性和周期性的相关知识点。
一、奇函数和偶函数1. 奇函数：奇函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。
奇函数以原点对称，图像在坐标系的左右两侧关于原点对称。
例如，f(x) = x^3 和 f(x) = sin(x) 都是奇函数。
2. 偶函数：偶函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = f(x)，则函数f(x)为偶函数。
偶函数以y轴对称，图像在坐标系的左右两侧关于y轴对称。
例如，f(x) = x^2 和 f(x) = cos(x) 都是偶函数。
二、奇偶性的性质1. 奇函数的性质：（1）奇函数的图像关于原点对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, -y）也在图像上。
（2）奇函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）奇函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为奇函数。
2. 偶函数的性质：（1）偶函数的图像关于y轴对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, y）也在图像上。
（2）偶函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）偶函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为偶函数。
三、周期函数周期函数是指在一定范围内，函数值呈现重复的规律性变化。
具体来说，对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)。
T称为函数的周期，一个周期内的函数值是相同的。
例如，f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x) 都是周期函数。
周期函数的性质：1. 周期函数的图像以某个区间为一个完整的重复单位。
2. 周期函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
3. 周期函数的一个重要性质是：周期函数与周期函数的乘积仍为周期函数。
课时作业(六) 函数的奇偶性与周期性 (2)
课时作业(六) 函数的奇偶性与周期性基础过关组一、单项选择题1．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析 对于A ，y ＝x ＋1为非奇非偶函数，不满足条件。
对于B ，y ＝－x 2是偶函数，不满足条件。
对于C ，y ＝1x 是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件。
对于D ，设f (x )＝x |x |，则f (－x )＝－x |x |＝－f (x )，则函数为奇函数，当x >0时，y ＝x |x |＝x 2，此时为增函数，当x ≤0时，y ＝x |x |＝－x 2，此时为增函数，综上，y ＝x |x |在R 上为增函数。
故选D 。
答案 D2．设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减解析 由条件可知，f (－x )＝(－x )(e －x ＋e x )＝－x (e x ＋e －x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数。
f ′(x )＝e x ＋e －x ＋x (e x－e －x )，当x >0时，e x >e －x ，所以x (e x －e －x )>0，又e x ＋e －x >0，所以f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增。
故选A 。
答案 A3．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )。
若f (m )＝2，则f (－m )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1D ．－2解析 把f (x )＝x 3＋sin x ＋1变形为f (x )－1＝x 3＋sin x 。
令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，则g (x )为奇函数，有g (－m )＝－g (m )，所以f (－m )－1＝－[f (m )－1]，得到f (－m )＝－(2－1)＋1＝0。
函数的奇偶性和周期性教案
函数的奇偶性和周期性教案教案：函数的奇偶性和周期性教学目标：1.理解函数的奇偶性和周期性的概念；2.掌握判断函数的奇偶性和周期性的方法；3.能够应用奇偶性和周期性的性质解决实际问题。
教学内容：1.函数的奇偶性1.1奇函数的定义：如果对于函数f(x)，当x属于定义域时，有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
1.2判断函数的奇偶性方法：1.2.1通过函数的解析式判断，如果函数解析式中只包含奇数次幂的项，则函数为奇函数。
1.2.2通过函数的图像判断，如果函数关于原点对称，则函数为奇函数。
2.函数的周期性2.1周期函数的定义：如果存在正数T，使得对于函数f(x)，当x属于定义域时，有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T称为函数的周期。
2.2周期函数的性质：2.2.1周期函数的图像在一个周期内具有相同的性质，如极值点、零点等。
2.2.2 如果函数f(x)是周期为T的周期函数，则f(ax)是周期为T/，a，的周期函数，其中a是非零常数。
教学过程：1.引入函数的奇偶性和周期性的概念，通过例子说明函数的奇偶性和周期性的特点。
2.讲解奇函数的定义，通过例题让学生判断函数的奇偶性。
3.讲解周期函数的定义，通过例题让学生判断函数的周期性。
4.教师带领学生进行小组合作，给定一些函数，要求学生判断其奇偶性和周期性，并给出相应的理由。
5.学生展示自己的判断过程，教师进行点评和指导。
6.学生独立进行练习，通过解答问题和绘制函数图像等方式应用奇偶性和周期性的性质解决实际问题。
7.教师进行总结，概括函数的奇偶性和周期性的判断方法和应用技巧。
教学资源：1.函数的奇偶性和周期性的教学PPT；2.例题和练习题。
评估与反馈：1.课堂练习：提供一些函数，要求学生判断其奇偶性和周期性，并给出相应的理由。
2.课后作业：布置一些与奇偶性和周期性相关的练习题，要求学生独立完成，并在下节课上进行讲解和答疑。
拓展延伸：2.进一步应用函数的奇偶性和周期性解决实际问题，如求解方程、优化问题等；。
函数的奇偶性与周期性的应用
函数的奇偶性与周期性的应用函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数的奇偶性和周期性的情况。
本文将讨论函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中的应用。
一、函数的奇偶性奇函数和偶函数是指具有特定对称性质的函数。
1. 奇函数奇函数是指满足以下条件的函数：对任意实数 x，有 f(-x) = -f(x)。
奇函数具有关于原点对称的性质，即图像关于原点对称。
例如，常见的奇函数有正弦函数 sin(x) 和三角函数 tan(x)。
在实际问题中，奇函数的应用很广泛。
比如，当我们研究对称材料的性质时，可以使用奇函数来描述。
此外，奇函数在信号处理和电路设计中也有很多应用，可以用于滤波和调制等方面。
2. 偶函数偶函数是指满足以下条件的函数：对任意实数 x，有 f(-x) = f(x)。
偶函数具有关于 y 轴对称的性质，即图像关于 y 轴对称。
例如，常见的偶函数有余弦函数 cos(x) 和绝对值函数 |x|。
在实际问题中，偶函数也有许多应用。
比如，在对称图形的研究中，可以使用偶函数来描述图形的特性。
此外，偶函数在信号处理和图像处理中也有广泛应用，可以用于图像增强和去噪等方面。
二、函数的周期性周期函数是指在一定区间内具有重复性质的函数。
1. 周期函数的定义周期函数是指满足以下条件的函数：存在一个正数 T，对任意实数x，有 f(x+T) = f(x)。
周期函数的图像在一定区间内重复出现，具有明显的周期性。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
2. 周期函数的应用周期函数在实际问题中的应用非常广泛。
比如，当我们研究震动问题时，可以使用周期函数来描述物体的运动轨迹。
此外，在电路设计和信号处理中，周期函数也有很多应用，例如音乐信号的合成和调节。
总结：函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中起着重要作用。
通过研究函数的奇偶性，我们可以揭示问题中的对称性质，从而更好地理解问题。
而函数的周期性则描述了重复出现的模式，使我们能够分析问题的重复特征。
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专题六函数的奇偶性及周期性[知识能否忆起]一、函数的奇偶性 奇偶性 定 义图象特点 偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称二、周期性 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[小题能否全取]1．(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3 C ．y ＝e xD ．y ＝lnx 2＋1解析：选D 四个选项中的函数的定义域都是R.y ＝sin x 为奇函数．幂函数y ＝x 3也为奇函数．指数函数y ＝e x 为非奇非偶函数．令f (x )＝ln x 2＋1，得f (－x )＝ln(－x )2＋1＝lnx 2＋1＝f (x )．所以y ＝ln x 2＋1为偶函数．2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.3．(教材习题改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵f (x )为奇函数且f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (0)＝0，T ＝4. ∴f (8)＝f (0)＝0.4．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析：法一：∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0，对于x ∈R 恒成立，故a ＝0.法二：由f (－1)＝f (1)， 得|a －1|＝|a ＋1|，故a ＝0. 答案：05．(2011·广东高考)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.解析：观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.答案：－91.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然； (3)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y 轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．2．若函数满足f (x ＋T )＝f (x )，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；应注意nT (n ∈Z 且n ≠0)也是函数的周期．函数奇偶性的判断典题导入[例1] (2012·福州质检)设Q 为有理数集，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，－1，x ∈∁RQ ，g (x )＝e x －1e x ＋1，则函数h (x )＝f (x )·g (x )( )A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是偶函数也不是奇函数[自主解答] ∵当x ∈Q 时，－x ∈Q ，∴f (－x )＝f (x )＝1；当x ∈∁R Q 时，－x ∈∁R Q ，∴f (－x )＝f (x )＝－1.综上，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．∵g (－x )＝e －x －1e －x＋1＝1－e x 1＋e x ＝－e x －11＋e x ＝－g (x )，∴函数g (x )为奇函数．∴h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝f (x )·[－g (x )]＝－f (x )g (x )＝－h (x )，∴函数h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数．∴h (1)＝f (1)·g (1)＝e －1e ＋1，h (－1)＝f (－1)·g (－1)＝1×e －1－1e －1＋1＝1－e1＋e，h (－1)≠h (1)，∴函数h (x )不是偶函数．[答案] A由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件； (2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是否对定义域内的每一个x 恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．[注意] 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．以题试法1．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3x －3－x ； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x >0，0，x ＝0，－x 2－2，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(3)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)f (x )的定义域为R ，关于原点对称，当x >0时，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )； 当x <0时，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )； 当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )． 故该函数为奇函数．函数奇偶性的应用典题导入[例2] (1)(2012·上海高考)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.(2)(2012·烟台调研)设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f (x )＋f (－x )x>0的解集为( ) A ．(－2,0)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)[自主解答] (1)∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，∴当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. (2)∵f (x )为偶函数， ∴f (x )＋f (－x )x ＝2f (x )x >0.∴xf (x )>0.∴⎩⎨⎧ x >0，f (x )>0或⎩⎨⎧x <0，f (x )<0.又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数， 故x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)． [答案] (1)－1 (2)B本例(2)的条件不变，若n ≥2且n ∈N *，试比较f (－n )，f (1－n )，f (n －1)，f (n ＋1)的大小． 解：∵f (x )为偶函数，所以f (－n )＝f (n )， f (1－n )＝f (n －1)．又∵函数y ＝f (x )在(0，＋∞)为减函数，且0<n －1<n <n ＋1， ∴f (n ＋1)<f (n )<f (n －1)．∴f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)＝f (1－n )．由题悟法函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．利用奇偶性构造关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．以题试法2．(1)(2012·徐州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.(2)已知定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)>f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)当x <0时，则－x >0，所以f (x )＝x 2＋x ，f (－x )＝ax 2－bx ，而f (－x )＝－f (x )，即－x 2－x ＝ax 2－bx ，所以a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0.(2)因为f (x )＝x 2＋2x 在[0，＋∞)上是增函数，又因为f (x )是R 上的奇函数，所以函数f (x )是R 上的增函数，要使f (3－a 2)>f (2a )，只需3－a 2>2a ，解得－3<a <1.答案：(1)0 (2)(－3,1)函数的周期性及其应用典题导入[例3] (2012·浙江高考)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________.[自主解答] 依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋1＝32. [答案] 32由题悟法1．周期性常用的结论：对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .2．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．以题试法3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． 解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. 又∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．1．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝sin x C ．y ＝xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x答案：A2．(2012·考感统考)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.12解析：选A 由题意得f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫52－2＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－⎣⎡⎦⎤2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 3．(2012·北京海淀区期末)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．4．(2013·吉林模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |－|x －a |(a ≠0)，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，x 2＋x ，x ≤0，则f (x )，h (x )的奇偶性依次为( )A ．偶函数，奇函数B ．奇函数，偶函数C ．偶函数，偶函数D ．奇函数，奇函数解析：选D f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－f (x )，故f (x )为奇函数． 画出h (x )的图象可观察到它关于原点对称或当x >0时，－x <0，则h (－x )＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－h (x )，当x <0时－x >0，则h (－x )＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－h (x )．x ＝0时，h (0)＝0，故h (x )为奇函数．5．(2013·杭州月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A 函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x ＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3. 6．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12 B.23 C.34D ．1解析：选A ∵f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，∴－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a )， ∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.7．(2013·孝感模拟)已知f (x )是偶函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，f (x )＝________. 解析：x >0，－x <0，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ，故x >0时，f (x )＝x 2－x . 答案：x 2－x8.(2012·“江南十校”联考)定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在(0,2]上的图象如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________．解析：依题意，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象，如图所示，注意到y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 的交点坐标是⎝⎛⎭⎫23，23和⎝⎛⎭⎫－23，－23，结合图象可知，f (x )>x 的解集为⎣⎡⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫0，23. 答案：⎣⎡⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫0，23 9．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且x ∈⎝⎛⎭⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 011)＝________.解析：f (2 011)＝f (3×670＋1) ＝f (1)＝－f (－1) ＝－log 2(3＋1)＝－2. 答案：－210．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2， f (－x )＝f (x )，函数是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， 即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1， 这时f (x )＝x 2＋1x.任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 21＋1x 1－⎝⎛⎭⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2. 故x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，得f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x ，又f (0)＝0，故x ∈[－1,0]时， f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.1．设f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是() A ．{x |－3<x <0，或x >3}B ．{x |x <－3，或0<x <3}C ．{x |x <－3，或x >3}D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}解析：选D 由x ·f (x )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f (x )<0，而f (－3)＝0，f (3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f (x )>f (－3)或⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f (x )<f (3)，所以x ·f (x )<0的解集是{x |－3<x <0，或0<x <3}．2．(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.答案：－103．(2012·烟台模拟)已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝⎛⎭⎫12＝1，如果对于0<x <y ，都有f (x )>f (y )，(1)求f (1)；(2)解不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2.解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，f (1)＝0.(2)f (－x )＋f (3－x )≥－2f ⎝⎛⎭⎫12，f (－x )＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3－x )＋f ⎝⎛⎭⎫12≥0＝f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2≥f (1)， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2·3－x 2≥f (1)， 则⎩⎨⎧ －x >0，3－x >0，－x 2·3－x 2≤1，解得－1≤x <0. 故不等式的解集为[－1,0)．1．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.于是解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)2．关于y ＝f (x )，给出下列五个命题：①若f (－1＋x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )是周期函数；②若f (1－x )＝－f (1＋x )，则y ＝f (x )为奇函数；③若函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则y ＝f (x )为偶函数；④函数y ＝f (1＋x )与函数y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称；⑤若f (1－x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称．填写所有正确命题的序号________．解析：由f (－1＋x )＝f (1＋x )可知，函数周期为2，①正确；由f (1－x )＝－f (1＋x )可知，y ＝f (x )的对称中心为(1,0)，②错；y ＝f (x －1)向左平移1个单位得y ＝f (x )，故y ＝f (x )关于y 轴对称，③正确；两个函数对称时，令1＋x ＝1－x 得x ＝0，故应关于y 轴对称，④错；由f (1－x )＝f (1＋x )得y ＝f (x )关于x ＝1对称，⑤错，故正确的应是①③.答案：①③3．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立，求实数a 的取值范围．解：由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，则在(－∞，0]上为减函数，由f (ax＋1)≤f (x －2)，则|ax ＋1|≤|x －2|，又x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，故|x －2|＝2－x ，即x －2≤ax ＋1≤2－x .故x －3≤ax ≤1－x,1－3x ≤a ≤1x－1，在⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立． 由于⎝⎛⎭⎫1x －1min ＝0，⎝⎛⎭⎫1－3x max ＝－2，故－2≤a ≤0.。