二一般形式的柯西不等式
课件2：二 一般形式的柯西不等式
方法二：令 m＝( 4a＋1, 4b＋1, 4c＋1)．n＝(1,1,1)， 则|m|＝ 4a＋1＋4b＋1＋4c＋1＝ 4(a＋b＋c)＋3＝ 7， |n|＝ 12＋12＋12＝ 3. m·n＝ 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1, 由|m·n|≤|m||n|,得 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1≤ 21. 故 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1的最大值为 21,当且仅当 a＝ b＝c＝13时,取等号.
证法二：(利用柯西不等式) (x＋y＋z)1x＋4y＋9z ≥ x· 1x＋ y· 4y＋ z· 9z2＝(1＋2＋3)2＝36， 当且仅当 x2＝14y2＝19z2， 即 x＝16，y＝13，z＝12时等号成立．
【例 2】设 a,b,c 为正实数,且 a＋b＋c＝3，求证： 2a＋1＋ 2b＋1＋ 2c＋1≤3 3.
典例剖析
【例 1】 已知 a，b，c∈R＋， 求证：ab＋bc＋acba＋bc＋ac≥9. 【分析】利用柯西不等式证明其他不等式时,关键是构造两
组数,向着柯西不等式的形式转化.本例中对应三维柯西不等式,
记 a1＝
ab,a2＝
bc,a3＝
ac,b1＝
b a,
b2＝ bc,b3＝ ac,而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．
思考探究
三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成
ab11＝ba22＝
a3 b3
可以吗？
提示 不可以．因为若出现 bi＝0(i＝1,2,3)的情况，则分式
不成立了，但是，可以利用分式的形式来形象地记忆.
名师点拨 1.三维形式的柯西不等式 三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来 理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯 西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构特征，对 不等式等号成立的条件加深理解．
6. 一般形式的柯西不等式
即：14(x2 y2 z2 ) 1
x2 y2 z2 1 14
∴
x2
y2
z2
的最小值是
1 14
例4：设a、b、c为正数且各不相等.
求证： 2 2 2 9 ab bc ca abc
证明： 2(a b c)( 1 1 1 ) ab bc ca
[(a b) (b c) (c a)]( 1 1 1 ) ab bc ca
当且仅当 ai 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数
t使得 bi tai (i=1,2,…,n) 时等号成立。
以上不等式称为一般形式的柯西不等式。
推论：（三维形式的柯西不等式）
设 a1, a2 , a3, b1, b2 , b3 是两组实数，则有：
(a12 a22 a32 ) (b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2
当向量（a1, a2 , a3）与向量（b1, b2 , b3）共线
时，“=” 号成立。
例1 已知 a1, a2 , a3 ,..., an 都是实数，
求证：1
n
(a1
a2
...
an )2
a12
a22Байду номын сангаас
...
an2 .
证明：由一般形式的柯西不等式，得：
n个 1
（a12 a22 an2 ) (12 12 12 ) （a1 a2 an )2
即：（a1 a2 an )2 n(a12 a22 an2 )
1 n
(a1
a2
an )2 (a12 a22
an2 )
例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：
a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(柯西不等式的一般形式)
作业:P41
2、 4、 5、 6
问题:已知A、B都是锐角, 且cosA+cosB-cos(A+B)=
2 3
,
求A、B的值
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,
等号成立.
a1 a 2 = = b1 b2
an = bb
问题：已知a1 ,a 2 , a n ∈ R +，求证 n 1 1 + + a1 a 2 a1 + a 2 + ≤ 1 n + an + an
使得ai=kbi(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,等号成立.
注:简记;积和方不大于方和积
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或存在一个数k
+a
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式讲义含解析新人教A版选修4_5
二 一般形式的柯西不等式与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．[例1] 设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：x 1＋x 2＋…＋x n ≥x 1＋x 2＋…＋x n.[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．[证明] ∵(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n＝[(x 1)2＋(x 2)2＋…＋(x n )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n 2≥ ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2＝n 2，∴1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.柯西不等式的结构特征可以记为：(a 1＋a 2＋…＋a n )·(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.其中a i ，b i ∈R ＋(i ＝1,2，…，n )，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．设a ，b ，c 为正数，且不全相等． 求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c. 证明：构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；1a ＋b，1b ＋c，1c ＋a，则由柯西不等式得(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，①即2(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c. 由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b1a ＋b＝b ＋c1b ＋c＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a ＝b ＝c .因为a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立， 于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c.[例2] (1)＋求 1x ＋ 4y ＋ 9z的最小值；(2)设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． [思路点拨] (1)利用1x ＋4y ＋9z＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋98(x ＋y ＋z )． (2)利用(2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6)2＝ (1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2. [解] (1)∵x ＋y ＋z ＝1， ∴1x ＋4y ＋9z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z (x ＋y ＋z )；≥⎝⎛⎭⎪⎫1x·x ＋2y·y ＋3z·z 2＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时取等号．所以1x ＋4y ＋9z的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(2x ＋1×1＋3y ＋4×1＋5z ＋6×1)2≤[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax＝230.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．2．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y ＋2z ＝5，则(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是( ) A ．20 B ．25 C ．36D ．47解析：选C ∵[(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x ＋5)＋(－2)(y －1)＋2(z ＋3)]2＝324，当且仅当x ＋51＝y －1－2＝z ＋32，即x ＝－3，y ＝－3，z ＝1时取等号．故(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是36.3．若2x ＋3y ＋4z ＝11，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________． 解析：∵2x ＋3y ＋4z ＝11，∴由柯西不等式，得 (x 2＋y 2＋z 2)(4＋9＋16)≥(2x ＋3y ＋4z )2， 故x 2＋y 2＋z 2≥12129，当且仅当x 2＝y 3＝z 4，即x ＝2229，y ＝3329，z ＝4429时取等号．答案：121294．把一根长为12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S 最小，并求此最小值．解：设三段绳子的长分别为x ，y ，z ，则x ＋y ＋z ＝12，三个正方形的边长分别为x 4，y4，z4均为正数，三个正方形面积之和：S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 42＝116(x 2＋y 2＋z 2)． ∵(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝122， 即x 2＋y 2＋z 2≥48.从而S ≥116×48＝3. 当且仅当x 1＝y 1＝z1时取等号，又x ＋y ＋z ＝12， ∴x ＝y ＝z ＝4时，S min ＝3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m 2.1．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( ) A ．5 B ．－5 C ．25D ．－25解析：选B (ab ＋bc ＋cd ＋ad )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)·(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)＝25，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝±52时，等号成立． ∴ab ＋bc ＋cd ＋bd 的最小值为－5.2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x n a n＝1时取等号．∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.3．已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9解析：选 D x ＋y 2＋z 3＝1x ＋2y ＋3z ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥1x·x ＋2y·y2＋3z·z 32＝9，当且仅当1x ＝2y ＝3z ＝13时等号成立．4．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.34解析：选C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.5．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________. 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥327. 当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8， 解得x ＝87，y ＝127，z ＝47，故所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 6．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值是________．解析：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k 为正实数)时，等号成立．答案：1217．已知实数x ，y ，z 满足3x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋(3z )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(3x ＋2y ＋z )2＝1，所以x 2＋2y 2＋3z 2≥334，当且仅当x 3＝2y 2＝3z 13，即x ＝934，y ＝334，z ＝134时，等号成立，所以x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为334.答案：3348．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C≥⎝⎛⎭⎪⎫a sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.9．在直线5x ＋3y ＝2上求一点，使(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2取得最小值． 解：由柯西不等式得(22＋12)[(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2]≥[2(x ＋2y －1)＋(3x －y ＋3)]2＝(5x ＋3y ＋1)2＝9.∴(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2≥95.当且仅当x ＋2y －1＝2(3x －y ＋3) 即5x －4y ＋7＝0时取等号．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝2，5x －4y ＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1335，y ＝97.故所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1335，97.10．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |， 所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }， 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。
第3讲2一般形式的柯西不等式课件人教新课标
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以改变式子的结构，从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以添项.
∴a＋2b＋3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a，b，c，d 均为正实数，则(a＋b＋c＋d)1a＋b1＋1c ＋1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a＋b＋c＋d)1a＋1b＋1c＋1d
＝[(
a)2＋(
b)2＋(
c)2＋(
d)2]·
1a2＋
1b2＋
1c2＋
1
2
d
≥
a·1a＋
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21 ＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b＋
c·1c＋
d·1d2
一般形式的柯西不等式知识点梳理
一般形式的柯西不等式1、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法．2、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式．3、学生必须掌握的内容：1．三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是实数，则(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，3)或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，3)时，等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．注意：1．对柯西不等式一般形式的说明：一般形式的柯西不等式是二维形式 、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．2．关于柯西不等式的证明：对于函数f (x )＝(a 1x －b 1)2＋(a 2x －b 2)2 ＋…＋(a n x －b n )2，显然f (x )≥0时x ∈R 恒成立，即f (x )＝(a 21＋a 22＋…＋a 2n )x 2－2(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )x ＋(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥0对x ∈R 恒成立，∴Δ＝ 4(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2－4(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≤0，除以4得(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥ (a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.3．一般形式柯西不等式成立的条件：由柯西不等式的证明过程可知Δ＝0⇔f (x )min ＝0⇔a 1x －b 1＝a 2x －b 2＝…＝a n x －b n ＝0⇔b 1＝b 2＝…＝b n ＝0，或a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n. 4．柯西不等式的几种常见变形：(1)设a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝1，则－1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤1；(2)设a i ∈R(i ＝1，2，3，…，n )，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≤ a 21＋a 22＋…＋a 2n n； (3)设a i ∈R ，b i >0(i ＝1，2，3，…，n )，则a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2n b n≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2b 1＋b 2＋…＋b n ； (4)设a i b i >0(i ＝1，2，3，…，n )，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥（a 1＋a 2＋…＋a n ）2a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n. 4、容易出现的问题：对柯西不等式中，各个式子取等号的条件容易忽略且把握不准，对柯西不等式的灵活应用存在对应之间的易混淆之处.5、解决方法：针对柯西不等式的特点，结合学生的课堂反应，课堂多注重基础，多找出有代表性的典例适时强化学生理解记忆，及时纠正学生的易错之处.。
二一般形式的柯西不等式
柯西不等式教学设计曾辉三角形式√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示根向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。
一般形式(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。
（应为之积的几何平均之和)概率论形式√E(X) √E(Y)≥∣E(XY)∣二维形式的证明(a²+b²)(c²+d²)(a,b,c,d∈R)=a²·c²+b²·d²+a²·d²+b²·c²=a²·c² +2abcd+b²·d²+a²·d²－2abcd+b²·c²=(ac+bd)²+(ad－bc)²≥(ac+bd)²，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
三角形式的证明√(a²+b²)+√(c²+d²)≥√[(a+c)²+(b+d)²]证明：[√(a²+b²)+√(c²+d²)]²=a²+b²+c²+d²+2·√(a²+b²)·√(c²+d²)≥a²+b²+c²+d²+2|ac+bd|≥a²+b²+c²+d²+2(ac+bd)=a²+2ac+c²+b²+2bd+d²=(a+c)²+(b+d)²两边开根号即得√(a²+b²)+√(c²+d²)≥√[(a+c)²+(b+d)²]注：| |表示绝对值。
人教版高中数学选修4-5《3.2一般形式的柯西不等式》
题型探究
证 明
复习引入
学习目标
探索新知
题型探究
小结反思
随堂训练
根据柯西不等式，有 (12+12+…+12)(a12+a22+…+an2)
≥(1×a1+ 1×a2+…+ 1×an)2,
所以n(a12+a22+…+an2) ≥(a1+a2+…+an)2
1 即 a1 a2 ... an 2 a12 a2 2 ... an 2 . n
探索新知 问题3.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能 猜想出一般形式的柯西不等式吗？ 柯西不等式的一般形式为 (a12+a22+…+an2)(b12+b22+… +bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2 (2)
猜 想
探索新知 问题3、如何证明你的猜想? 分 析 如果设 A=a12+a22+…+an2,
题型探究题型探究
小结反思
随堂训练
探究一 利用柯西不等式证明不等式
例2.已知a1 , a2，. . . , an为实数，
1 2 试证： a1 a2 ... an a12 a2 2 ... an 2 . n
分析
用n乘要证的式子两边，能使 式子变成明显符合柯西不等式的形 式.
探索新知 若x=0，则b1=b2=…=bn=0,(2)式成立；若x≠0， 则有
x bi ai
，总之，当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)
或ai=kbi(i=1,2,…,n)时，等号成立.
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式
故( －3t＋12＋ t)max＝4.(10分)
归纳升华 根据题设条件的结构特点，恰当选择柯西不等式的 某个形式，获得某个最值，再结合其他数学知识，解决 参数的范围、不等式恒成立等综合问题．
[类题尝试] 把一根长为12 m的细绳截成三段，各
围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正
方形面积之和S最小，并求此最小值．
小，最小面积为3 m2.
1．理解并记忆三种形式取“＝”的条件． (1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号． (2)向量形式中当α＝kβ或β＝0时取等号． (3)三角形式中当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三 点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号．
2．二维形式的柯西不等式的变式． (1) a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|. (2) a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3) a2＋b2· c2＋d2≥ac＋bd. 3．对柯西不等式一般形式的说明． 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式的柯西 不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等 式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运 用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．
即x＝
37 6
，y＝
28 9
，z＝
22 15
时等号成立，此时umax＝
2 30.
归纳升华 1．先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯 西不等式求解的先决条件； 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安 排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而 达到运用柯西不等式求最值的目的． 3．有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才 能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立 的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多 次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．
2一般形式的柯西不等式
【证明】 构造两组数 ab，bc，ca；ca，ab，bc，则由柯 西不等式得 a2b2＋b2c2＋c2a2· c2a2＋a2b2＋b2c2 ≥ab· ca＋bc· ab＋ca· bc， 即 b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)． b2c2＋c2a2＋a2b2 于是 ≥abc. a＋b＋c
【名师点评】
通过寻找整体a＋b＋c＋d＝s与部
分a＋b＋c，b＋c＋d，c＋d＋a，d＋a＋b的关 系．先进行等价转化，使要证明的不等式简单化， 易于构造柯西不等式形式．
变式训练 2 设 a，b，c 为正数，且不全相等， 求证： 2 2 2 9 ＋ ＋ > . a＋b b＋c c＋a a＋b＋c 1 证明： 构造两组数 a＋b， b＋c， c＋a； ， a＋b 1 1 ， ，则由柯西不等式得 b＋c c＋a 1 1 1 (a＋b＋b＋c＋c＋a)( ＋ ＋ ) a＋b b＋c c＋a ≥(1＋1＋1)2，
【名师点评】
实际把原不等式转化为：
b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)，再构造柯西不等 式的特征，也可以用重要不等式证明．
变式训练 1 设 a，b，c 为正数，求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
证明：由柯西不等式得 a2＋b2· 12＋12≥a＋b. 即 a2＋b2· 2≥a＋b. 同理 b2＋c2· 2≥b＋c. c2＋a2· 2≥c＋a. 以上三式相加得： 2( a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2)≥2(a＋b＋c)， ∴ a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
二
一般形式的柯西不等式
二 学习目标
一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式
课前自主学案
(高中数学4-5)二 一般形式的柯西不等式
5
例2
已知x,
y,
z
R , 且x
y
z
1,求证
1 x
4 y
9 z
36
证法一: 用柯西不等式
1 4 9 ( x y z)( 1 4 9)
从平面向量的几何背景能得到 ，
将平面向量的坐标代入， 化简后得二维形式
的柯西不等式: (a12 a22 ) (b12 b22 ) (a1b1 a2b2 )2
当 且 仅 当a1b2 a2b1时, 等 号 成 立.
类似地,从空间向量的几何背景也能得到 ,
通过以上证明，得知猜想成立，于是有
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式) 设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
a2
an )2
a12
a22
an2
证明: (12 12 12 )(a12 a22 an2 )
(1 a1 1 a2 1 an )2 n(a12 a22 an2 ) (a1 a2 an )2
1 n
a,b, c, d是不全相等的正数, a b c d 不成立 bcd a
(a2 b2 c2 d 2 )2 (ab bc cd da)2 即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1 a1 1 a2 1 an )2
n(a12 a22 an2 ) (a1 a2 an )2
1 n
(a1
a2
an )2
a12
a22
an2
例2 已知a, b, c, d是不全相等的正数, 证明 a 2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
证明: (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 ) (ab bc cd da)2
a,b,c,d是不全相等的正数, a b c d 不成立 bcd a
(a2 b2 c2 d 2 )2 (ab bc cd da)2 即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式
教学要求：认识一般形式的柯西不等式， 会用函数思想方法证明一般形式的柯西 不等式，并应用其解决一些不等式的问 题.
教学重点：会证明一般形式的柯西不等 式，并能应用.
教学难点：理解证明中的函数思想.
一、复习准备： 提问：1、二维形式的柯西不等式？ 提问：2、柯西不等式的向量形式？
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
P41 6. 设x1, x2,xn R , 且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
证 xn2 )
1 x1 1 x2
提问：3、(2)式如何得到(1)式？
二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式：
2. 教学柯西不等式的应用：
例1 已知a1 , a2 ,, an都是实数, 求证
1 n
(a1
a2
an )2
a12
a22
a
2 n
证明: (12 12 12 )(a12 a22 an2 )
1 xn
(1
x1
1
x2
1
xn
)
( 1
x12 x1
x22 1 x2
xn2 ) ( 1 xn
1 x1
x1 1 x1
1 x2
x2 1 x2
1 xn
xn 1 xn
)2
( x1
x2
xn )2
1
x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
三、巩固练习 1. 练习：教材P41 4题 2. 2. 作业：教材P41 5、6题