商品定价的数学模型

商品定价的数学模型

071财务管理

摘 要：本文主要综合性地给出关于商品定价的数学模型，商品的浮动价格与二次需求函数模型 ，与多种价格并存的优化模型，。将模型应用于分析春运中客运票价的政府调控政策，提出了一些建议。 关键词：商品定价模型，二次需求函数，利润最大价，调控政策

1. 引言

自从我国实行社会主义市场经济以来，经济发展蒸蒸日上，成绩喜人。但是，在发展的同时，出现许多热点经济问题为社会所关注，比如春运，旅游黄金周，房地产，金融证券与投资，教育的投资与商品化等。事实上，经济的过热和过冷发展都是不可取的，尤其是那些关系国计民生的公共商品经济。通过制定合理的宏观调控政策去解决热点经济问题是政府的重要工作。数学建模在解决热点商品经济问题和引导政府制定调控政策方面是大有可为的。 近年来，我们以热点商品经济问题为背景，围绕商品的定价问题，建立了几个新的数学模型，并应用它们分析有关商品的经济问题。本文主要介绍商品的浮动价格与二次需求函数模型，侧重地应用它们分析商品的定价，有利于政府的宏观调控政策。

2. 商品的浮动价格与二次需求函数模型

人们普遍认为，商品的高折扣价带来销售量的增加，低折扣价格则带来销售量的减少，从而商品的需求函数是一个单调减少的函数[4]。实际上，由于缺乏数学上的分析，故销售商在制定商品的折扣价格时人为的因素很大，而制定出的高低两极的价格往往不是最优价格，也难以得到消费者的认可。同时，大多数消费者对于折扣定价机制也是知之甚少的，他们在购买商品时常常处于被动的地位。从社会现象来说，一种商品在其供求矛盾十分突出时，其销售价格往往也需要考虑适当地向上浮动，但是这种涨价对于有些社会公共商品而言就是一个很敏感的社会问题，如在春运经济活动中的客运票价格，生活中的水电气价格等，此时就需要正确处理好相关的社会问题。为此，我们建立商品的浮动价格模型和二次需求函数模型，给出商品价格上浮和保持的条件，一种商品价格折扣定价策略。 现设商品的批发价为q ，在供求正常时，零售价格(标准价格)定为 p>q 。在零售时，需求函数为θ( p )，非批发成本为c ，销售纯润为w ，则有： ()()w p q p c θ=-- (1) 考虑商品购销中供求矛盾突出时的浮动价格。我们假设要确定的价格浮动率记为∂，相应的需求量记为θ∂ ，非批发成本记为c ∂，而产生的纯利润w ，则有：

()w p q c θ∂∂∂

=∂-- (2)在保证商品销售利润的前提下，在商品供大于求时，要下调α 使需求量增加，薄利多销；在供小于求时，又要上调∂使得需求量减少，少销多利，或者采取其他相应的措施保价供应。因此总的要求是θθ∂>和w w ∂≥ 。于是，我们就有价格浮动率满足：

m c 1p c q q p p θθθ∂∂∂⎛⎫-∂≥+-+=∂ ⎪⎝⎭

()3

如果在商品供求矛盾十分突出时采取的某些相应措施得当(比如增加销售网点，人员，运营车辆等)，那么应有c c ∂≥。于是，我们有价格上浮的充分条件和价格保持的必要条件：当

()()

c c p q θθ∂∂-≥--时，有1m ∂≥，即价格必须上调，上调的最小浮动率为m ∂ ；反之，对于任何∂ ，都有

()()()1c c p q θθθ∂∂∂-≤--+∂- 。特别地，要保持价格不变()1∂=，必须要求满足： ()()c c p q θθ∂∂-≤--。 ①、折扣定价策略

对于商品价格下调的情况，称为折扣定价，∂ 称为折扣率。现考虑折扣定价策略问题。注意到对于薄利多销的实际情况，我们可设c c ∂= 。以q p δ=

表示价格比。在折扣价格下，销售

商需要多付出销售量为： ()()1p p q p q θθθ∂-∂--=

∂-，由此而造成了销售的收益损失为： ()()()()1l p p q w p p q p q θθθ∂-∂-=--=∂- ()4通过选取标准价p 和折扣率∂ ，并使得销售的收益损失达到极小值，我们得到关系式：2221(1)δδδ∂=-=-- (5) 该式表明，存在与商品的销售量无关，而只与价格比δ 有关的最大折扣率。通过进一步分析，还可知存在使商品需求最大的价格，记为1p ，可称为商品的标准价。 ②、二次需求函数模型与利润最大价 商品的销售至少可以定三个基本价格：最低价

0p (接近于批发价)，最高价m p (新批发商品的价格，政府指导价)和标准价1p (如使销售量达到最大的价格)。由于需求量满足条件：当1p p > 时，有'()0p θ<；当1p p < 时，有'()0p θ>，故我们有： ()'1()p k p p θ=- (6)

其中0k >是待定系数。在给定()00p θθ=，()m m p θθ= 之后，积分(6)后便得到：

()()00001

2()2p k p p p p p θθ=+--- (7)

其中 ()()()010022m m m k p p p p p θθ-=

---。式(7)就是一个二次需求函数模型。由(7)可见，当012m

p p p +→ 时，有()p θ→∞，这表明：采用最低价和最高价的平均价销售商品时，需求量将会增大。在二次需求函数模型下，由()'0w p =可得利润最大价格为：

*123p p =+()8 在春运中，乘客多，运力有限是实际情况，我们可利用上述得到的价格上浮的充分条件、价格保持的必要条件和折扣价所带来的商品销售收益损失

l w 来分析客运票价的政府宏观调控政策。为此提出建议：如果l c c w ∂-≥ ，即在春运中客运企业投入的各种成本差超过了客运票价收入，面临亏损，那么政府就必须允许上调客运票价；相反，要保持客运票价不变，前提条件是在春运中客运企业投入的各种成本差低于客运票价收入。根据这一结论，可提供客运票价的稳定性建议，一定程度上抑制经济过热，实现经济效益与社会效益的最大化。 参考文献： 化存才.商品购销中的浮动价格与二次需求函数模型[J].南京师范大学学报:工程技术版, 2006, 6

(1):33-38 姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学模型(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社,2003

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