动量矩

d
drt
r M
O
r (mivi
)

0 d dt

r M
O
(mi
r vi
)

r dLO dt
得
dLO dt
rr M O (Fi(e) )
称为质点系的动量矩定理:质点系对某定点O
的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的
外力对于同一点的矩的矢量和.
投影式:
dLx dt
r M x (Fi(e) )
d2
dt 2
mga sin
微小摆动时， sin
JO
d 2
dt 2

mga
即：
d 2
dt 2

mga
JO

0
通解为 O sin(
mgat )
JO
O称角振幅， 称初相位，由初始条件确定.
周期 T 2 JO
mga
例12-7：已知：JO ,0 , FN , R ，动滑动摩擦系数 f ，
dt
由 v , dv a ， 得
R dt
a MR mgR2 sin
J mR2
例12-2：已知 m, JO , m1, m2 ,r1, r2 ,不计摩擦.
求:（1）
（2）O处约束力 FN
（3）绳索张力 FT1，FT2
解： (1) LO JO m1v1r1 m2v2r2
因此, dA 常量
dt
dA 称面积速度.
dt
面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒.
m 例12-4：两小球质量皆为 ,初始角速度0
求：剪断绳后, 角时的 .
解： 0 时,
Lz1 2ma0a 2ma20
0 时,
由
Lz2 2m(a Lz1 Lz2 ,
因
Ft

Ft
， 1
2
i12

R2 R1
，得
1

M1 J1

M2
i12 J2 i122
§12-4 刚体对轴的转动惯量
n
J z mi ri2 i 1
单位：kg·m2
1. 简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量
J z
l 0
l x2dx

ll 3
3
求：制动所需时间 t .
解：
JO
d
dt

FR

f
FN R
0
t
0 JOd 0 fFN Rdt
t JO0
fFN R
例12-8：已知
J1, J 2 , i12

R2 R1
, M1, M 2
求：1 .
解： J11 M1 FtR1 J 2 2 Ft R2 M 2
的动量矩为：
z
x' rC o x
z' c
vir
ri ' y'
ri mi y

rC mvC
r 'i
mi
vC

vir



rC mvC r 'imivir

rC

1 m
mi ri

mvC mivi
即：
LO

rC
mvC
第十二章 动量矩定理
§12-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
对点O的动量矩
r M
O
(mvr
)

rr

mvr
对 z 轴的动量矩
M z (mvr ) MO (mvr )xy
代数量,从 z 轴正向看, 逆时针为正,顺时针为 负.
r [M
O
(mvr
)]z

Mz (mvr )
单位:kg·m2/s
vC B
2
➢圆盘对AB 线上各点的动量矩都是相同的。
➢动量矩应按绝对速度来计算。
➢相对于质点系质心的动量矩可按（相对于质心的）相对 速度来计算。（指导220）
§12-2 动量矩定理
1．质点的动量矩定理
设O为定点,有
d dt
r MO r
(mvr )

d dt
(rr

mvr )
dr mvr rr d (mvr )
（1） 刚体平移.可将全部质量集中于质心,
作为一个质点来计算.

LO
Lr(Ori MrmO(ivm)vrC)
,
(miri )v mrc v rc mvc
Lz Mz (mvrC )
（2） 刚体绕定轴转动
Lz M z (mivi ) mivi ri
转动惯量 ml2
3
（3） 均质细直杆对中心轴
的转动惯量 ml2
12
4．组合法
例12-10： 已知杆长为 l 质量为m1，圆盘半径为 d ，
质量为 m2.
求：JO .
解： JO JO杆 JO盘
J O杆

1 3
ml2
J O盘

1 2
m2
(
d 2
)
2

m2 (l

d )2 2

m2
(
3 8
d
2
由 m ll ，得
Jz

1 ml2 3
（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量
J z mi R2 R2 mi mR2
（3）均质圆板对中心轴的转动惯量
mi 2 ri dri A
式中：
A

m
R2
JO
R 0
(2
r Adr
r2)

2
A
R4 4
或
JO

2．质点系的动量矩
对点的动量矩 对轴的动量矩
r LO

n

r M
O
(mivri
)
i 1
n
r
Lz M z (mivi )
i 1
对轴的动量矩等于各质点对对同一轴动量矩的代数和
r
r rrr
[LO ]z Lz 即 LO Lxi Ly j Lzk
质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的Z轴上的投影等于质点系 对该轴的动量矩
物体的 形状
简图
转动惯量 惯性半径 体积
细直杆
薄壁圆 筒
J zC
m l2 12
Jz

m 3
l2
zC

l 23
z
l 3
J z mR2
z R 2Rlh
圆柱
空心圆 柱
薄壁空 心球
JZ

1 mR2 2
Jx Jy
m (3R2 l 2 ) 12
z
R 2
x y
有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称力心.
由于
r M
O
(
r F
)

0,有
r M
(mvr )

rr

mvr

常矢量
（1）rr 与 vr 必在一固定平面内,即点M的运动
轨迹是平面曲线.
(2) rr mvr rr m drr b 常量 dt
即
rr drr 常量
dt
由图, rr d rr 2dA

l sin
得
)2

(a
a 2 0
l sin

)
2
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
rr
r
主动力: F1, F2,L L , Fn
rr
约束力:
d dt
(
J
z
)
FN1

, FN2 r
M z (Fi
)
r

M
z
(
r FNi
)
M z (Fi )
即:
Jz
d
dt
r M z (Fi )
或
r
Jz M z (F)
转动 微分
方程
或
Jz
d2
dt 2

r Mz(F)
例12-5:已知:
R,
J
,
r F1,
r F2，求
.
解:
J (F1 F2 )R
(F1 F2 )R
J
例12-6： 物理摆（复摆），已知 m, JO , a ， 求微小摆动的周期 .
解：
JO
1 (3R2 l 2 ) 12
R2l
Jz

m 2
(R2

r2)
z

1 (R2 r2) 2
l(R2 r2 )
Jz

2 3
mR2
z
2R 3
3 Rh
2
实心球 圆锥体
圆环
JZ

2 mR2 5
z
2R 5
3 R3
4
JZ
3 mr2 10
(JO m1r12 m2r22 )
r MO (F (e) ) (m1r1 m2r2 )g
由
dLO dt

r MO (F(e))
,得


d
dt

(m1r1 m2r2 )g JO m1r12 m2r22
（2）由质心运动定理
FN (m m1 m2 )g (m m1 m2 )aCy
证明：
JzC mi (x12 y12 )
Jz m i r2 m i (x2 y2)
mi[x12 ( y1 d )2 ] mi (x12 y12 ) 2d mi y1 d 2 mi
因为
yC

mi y1 mi
0
有 mi y1 0 ，得
dLy dt
r M y (Fi(e) )
dLz dt
r M z (Fi(e) )
内力不能改变质点系的动量矩.
例12-1 已知： R, J , M , , m ,小车不计摩擦. 求:小车的加速度a .
解: LO J m v R
M (e) O

M

mg sin


R
d [J mvR] M mg sin R
aCy

yC
mi yi mi
m1a1 m2a2 m m1 m2
(m1r1 m2r2 )
m m1 m2
FN (m m1 m2 )g (m1r1 m2r2 )
（3） 研究 m1
m1g FT1 m1a1 m1r1
mi ri ri mi ri2
转动惯量 J z mi ri2
Lz J z
质点系（刚体）动量矩的分解
质点系（刚体）对任意定O 点的动量矩等于质点系（刚体）随
质心平移的动量对定O 点之矩加上质点系（刚体）对质心的动量
矩：
LO

rC

mvC

LC
z' z
FT1 m1 (g r1 )
（4）研究 m2
FT2 m2 g m2a2 m2r2 FT2 m2 (g r2 )
3．动量矩守恒定律
若

r M
O
r (F
(
e)
)
0,
则
r LO
常矢量；
r
若 M z (F (e) ) 0 , 则 Lz 常量。
例：面积速度定理
1 2

l ( R12

R22 )(R12

R22 )
由 l(R12 R22 ) m，得
Jz

1 2
m(
R12
R22 )
5．实验法
例：求对 O轴的转动惯量.
解： 将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动.
由 T 2 J
mgl
其中m,l已知, T可测得，从而求得 J .
6. 查表法 均质物体的转动惯量
dt
dt
其中:
d
(mvr )

r F
ddrrt vr （O为定点）
vdrtmvr 0
因此
d dt
r MO
(mvr )

r MO
r (F)
称为质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对
时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩.
投影式:
d dt
M
x
(mvr
)

M
x
r (F
)
d dt
M
y
(mvr )
Jz JzC md 2
例12-9：均质细直杆，已知 m,l .
求：对过质心且垂直于杆的 zC 轴的转动惯量。
解： 对一端的 z 轴，有
Jz

1 ml2 3
则
J zC

Jz
m( l ) 2 2

ml 2 12
要求记住三个转动惯量
（1） 均质圆盘对盘心轴的
转动惯量 mR2
2
（2） 均质细直杆对一端的

M
y
r (F)
d dt
M
z
(mvr )

M
z
r (F
)
2. 质点系的动量矩定理
d dt
r M
O
(mivri
)

rr M O (Fi(i) )

rr MO (Fi(e) )

d dtr
r M
O (mi r
r vi
)


r M
O
(
r Fi
(i
)
)


r M
O
(
r Fi
(
e)
)
由于
MO (Fi(i) )
1 2
mR2
2. 回转半径（惯性半径）
z
Jz m
或
Jz

m
2 z
3．平行轴定理
Jz JzC md 2
式中 zC 轴为过质心且与 z 轴平行的轴， d为 z
与 zC 轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过 质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量 与两轴间距离平方的乘积.
vir
LZ MZ
mvC
LZC x'
c rC
o x
ri ' y
ri mi y
证明 质点系（刚体）对定点O
LO
MO
mi
vi

ri mivi
rC r 'i mivi
rC mivi r'imivi

LC
1
r 'C m miri ' 0
例：纯滚动均质圆盘，质量为m，半径为 r，角速度为 。
求：圆盘对盘心C及盘上A点的动量矩。
解：
LC

J
C

1 2
mr
2

LA M A mvC LC mvC
r 1 mr 2
22
2 1mr 2
A
C 45

l2

ld )
JO

1 3
m1l 2

3 m2 (8
d
2

l2

ld
)百度文库
例12-11：已知：m, R1 , R2，求 J z .
解： J z J1 J 2

1 2
m1 R12

1 2
m2 R22
其中
m1 R12l m2 R22l
Jz

1 2

l ( R14

R24 )