矩阵等价与向量组等价的关系

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矩阵合同的定义

矩阵合同的定义篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。

若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为AB。

2、矩阵等价的充要条件：AB{同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A BBPAPBT二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。

2、矩阵相似的性质：A~B,A~B,AA~BTTkk1~B(前提，A,B均可逆)1|E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)tr(A)tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：A~B(EA)(EB) 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A(1,2,,n)，B(1,2,,m)1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线性无关组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。

而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。

2、若m=n，两向量组（1,2,,n）（1,2,,m）则有矩阵A,B同型且r(A)r(B)A~B,AB,ABr(A)r(B)AB。

3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有AB(1,2,,n)(1,2,,n)综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。

线性代数疑难问题解答

线性代数疑难问题解答第一章行列式1. 排列21)1( -n n 的逆序数是2)1(-n n ，那么如何来确定它的奇偶性?解答：我们可以看一下这个排列的奇偶性随着n 的变化情况，然后找出规律。

,1=n 2)1(-n n ＝0，偶排列； ,2=n 12)1(=-n n ，奇排列； ,3=n 32)1(=-n n ，奇排列； ,4=n 62)1(=-n n ，偶排列； ,5=n 102)1(=-n n ，偶排列； ,6=n 152)1(=-n n ，奇排列可以看出，奇偶性的变化以4为周期，因此我们可以总结如下：当k n 4=或14+=k n 时, 2)1(-n n 是偶数，所以排列是偶排列,当24+=k n 或34+=k n 时, 2)1(-n n 是奇数，所以排列是奇排列.2．行列式定义最基本的有哪些？答：行列式定义最基本的有以下两种：第一种方式：用递推的方式给出，即当11)(⨯=a A 时，规定a =A ；当n n ij a ⨯=)(A 时，规定∑∑==+=-=nj ij ij ij ij nj ji A a M a 11)1(A其中ij M 为A 中去掉元素ij a 所在的行和列后得到的1-n 阶行列式，称为A 中元素ij a 的余子式，ij j i ij M A +-=)1(称为ij a 的代数余子式。

第二种方法：对n 阶行列式A 用所有!n 项的代数和给出，即∑-==n np p p t nnn n nna a a a a a a a a a a a A2121212222111211)1(其中n p p p ,,,21 为自然数n ,,2,1 的一个排列，t 为这个排列的逆序数第一种方式的思想是递推，其实质也是“降阶” ，在实际计算行列式中有着重要的应用。

第二种方式的思想是对二阶、三阶行列式形式的推广，更利于理解行列式的性质。

3．行列式的主要问题是什么？答：行列式的主要问题就是计算行列式的值，其基本方法是运用行列式性质，化简所给行列式而计算之。

线性代数笔记

线性代数序章线性代数基础知识1.单位矩阵：对角线上均为1，其余元素都是0的n 阶方阵，记作I在矩阵多项式f(A) 中单位阵I 对应代数多项式 f(x) 中的 1，纯量阵kI 对应常数k 2.零矩阵：元素全为0的矩阵，记作O3.矩阵的p 阶子式：设},min{n m L =，指以）（L p a a pp ≤-11的p 个元素为主对角线构成的，含2p 个元素的p 阶方阵的行列式第一篇线性空间第一章向量和向量组1.1 线性组合1.向量组和矩阵的对应关系：一个向量组A 对应一个矩阵的列（或行）向量组A’2.线性表示：如果存在一组数{}i x 使向量∑==ni ii i ax b 1，那么称b 能被向量组A （或记{}i a ）线性表示；也就是线性方程组Ax=b 有解（这也是求坐标表示的方法）3.等价：如果向量组B’中的任何向量b 都能被组A’线性表示，反之亦成立，称组B’和组A’等价；也就是矩阵方程AX=B 和BX -1=A 都有解，即)()(B r A r = 行向量组等价与矩阵等价的关系：（1）向量组的等价（不要求两个组同向量数）和矩阵的等价（要求两个阵同型）是不同的概念（2）当两个同型矩阵A ，B 的列向量组等价，A 与B 等价此时：方程Ax=0和Bx=0同解，r(A)=r(B)（3）当矩阵A 与B 等价，经行/列变换得到B ，则A 与B 的行/列向量组等价1.2 线性相关性和秩1.线性相关：对于向量n a a a ,...,,21，如果存在不全为零的实数n k k k ,...,,21使得01=∑=ni ii ak ，那么这些向量线性相关，也就是方程Ak=0有非零解线性无关：对于向量n a a a ,...,,21，如果当且仅当n k k k ,...,,21全为零时，才有01=∑=ni ii ak ，那么这些向量线性无关，也就是方程Ak=0只有零解2.判定方法：如果向量组A 对应的矩阵的秩<向量数，则组A 线性相关；如果向量组A 对应的矩阵的秩 = 向量数，则组A 线性无关；3.向量组的秩定义：向量组A 中线性无关向量的最大个数，记为r ，A 中任意r+1个向量都线性相关4.向量组与矩阵的秩：矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩1.3 基、维数和坐标1.基：如果向量空间V 中任一向量都可被V 中一线性无关向量组A 线性表示，称组A 为V 的一个基基变换：设A,B 为V 的两组基，记B A P 1-=为过渡矩阵，则A P B T=2.维数：基中的向量数r （也是基的秩）称为向量空间V 的维数，称V 为r 维向量空间3.坐标：如果向量空间V 中一向量∑==ni ii i ax b 1，且{}i a 是V 的基，则称{}i x 为b 在基A 中的坐标证明向量组A 是空间V 的基，就是要写出V 中任一向量{}i b 在基A 中的坐标表达式坐标变换：设A,B 为V 的两组基，对应坐标为x,y ，记B A P 1-=为过渡矩阵，则x P y 1-=1.4 范数、投影和正交性1.向量的范数：x x xx T ni i==∑=12，n 为向量维数2.广义的向量夹角：ba ba b a T = ,cos ；b 在a 上的投影：a a a b a p T T =3.向量的正交性：两个向量x,y 的点积（或y x T）为零，则两向量正交；零向量没有长度，和所有向量都正交正交和线性相关性：如果一组向量互正交，则它们线性无关4.规范正交基：两两正交的单位基向量组向量的坐标：设q 为规范正交基，若向量∑==n i i i q x b 1，则坐标b q x T i i =或写作b Q x T =5. 基向量的规范正交化：第二章向量空间2.1 向量空间和子空间1.向量空间：对加法和数乘封闭，包含所有n 维实向量的非空集合，记作nR 公理化定义：设V 是一非空集合，R 为实数域； Part1：运算的封闭性若对于任意两个元素V ∈βα,，总有唯一的元素V ∈γ 与之对应，称γ 为βα ,的和；若对于实数λ与任一元素V ∈α，总有唯一的元素V ∈δ与之对应，称δ 为λα,的积；Part2：运算的法则八条运算律分别为：（1）加法交换律（2）加法结合律（3）加法元为0 （4）元素的负元素唯一（5）乘法元为1 （6）乘法交换律（7）数乘结合律（8）乘法结合律若和与积运算具备封闭性且满足八条运算律，即称V 为实向量空间，V 中元素称为向量。

4.4_非齐次线性方程组解的结构

第4.4节非齐次线性方程 4.4节组解的结构
(1)矩阵等价和向量组等价是不同的. 不同之处在于： (1)矩阵等价和向量组等价是不同的. 不同之处在于：矩阵等价和向量组等价是不同的首先，不是每个向量都可以表示成有限维行向量或者列向量，首先，不是每个向量都可以表示成有限维行向量或者列向量，所以，不是每个向量组都和有限阶矩阵相联系。所以，不是每个向量组都和有限阶矩阵相联系。其次，即使可以表示成矩阵的向量组，也是有区别的，例如：其次，即使可以表示成矩阵的向量组，也是有区别的，例如：）（2 这个向量组和向量组（），（0 （1，0）（2，0）这个向量组和向量组（0，1），（0，2）当然是不等价的，因为他们无法互相线性表示。可是作为矩阵，然是不等价的，因为他们无法互相线性表示。可是作为矩阵，这两个矩阵是等价的，因为秩相等。这两个矩阵是等价的，因为秩相等。（书上90页第2题）书上90页第2 90页第最后，我们可以归纳一下：矩阵等价，最后，我们可以归纳一下：矩阵等价，则无论是行向量组还是列向量组都未必等价；相同个数的向量组等价( 向量组都未必等价；相同个数的向量组等价(显然向量的维数相同) 则由它们组成的矩阵(显然是同型矩阵)等价。相同)，则由它们组成的矩阵(显然是同型矩阵)等价。
由R( A) = R( B ),知方程组有解 . 又R( A) = 2, n − r = 3, 知方程组有解
所以方程组有无穷多解. 所以方程组有无穷多解且原方程组等价于方程组
x1 + x2 = − x3 − x4 − x5 + 7 2 x2 = x3 + 2 x4 + 6 x5 − 23
.
故原方程组通解为
x=k1α1+ k2α2+α0 .

向量组等价的充分必要条件

向量组等价的充分必要条件
1、向量组等价的充分必要条件：两个向量组可以互相线性表示。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B）。

2、向量组等价的充要条件：两个向量组可以互相线性表示。

①两个矢量组具有相同的等阶。

有一组矢量，其每个矢量可以被线性地表示为其他矢量集。

②在代数中，矩阵等效与矢量组是不同的。

矩阵等值的充分必要条件是等秩，而矢量群等效的充分必要条件是它们可以被线性表示。

③广义上，矢量群的等值，是用另一种方式，称为“交互线性表达”。

具体情况如下所示：
向量组 A:a1、a2、…、 am与 B为b1、b2、…、 bk等效：
向量组A的每个矢量都可以用向量组 B来直线地表达，每个矢量组B也可以用向量组A来直线地表达。

矩阵等价与向量组等价的关系及应用

等价是描述两个对象之间的一种关系,当这种关系具有自身性、对称性和传递性时,这种关系可被称为“等价”[1-3]。

矩阵等价和向量组等价是两个不同的概念,前者是指一个矩阵可以经过有限次初等变换得到另一矩阵,后者是指两个向量组能够相互线性表示。

矩阵和向量组具有一一对应性,由于等价矩阵具有相同的行数和列数,从向量组的角度,两个向量组包含相同个数的向量;而当列(行)向量组等价时,从矩阵的角度,两个矩阵的列(行)数可以不同。

初等变换作为矩阵理论的重要工具,当两个向量组包含相同个数的向量时,项梁组等价和矩阵等价之间是否具有联系呢？如果能获得这种联系,则向量组的等价问题在某种程度上可以借助初等变换研究以简化其讨论步骤。

1 理论为方便起见,不妨设有两个矩阵A 和B 且A～B ,从而存在两个可逆阵P,Q ,满足:PAQ =B 。

可将A 和B 表示为列向量组的形式,则有:),,,(),,,(2121n n b b b Q a a a P ΛΛ= (1)如果P =E ,由初等变换理论可知,A 到B 只进行了初等列变换,且(1)式可改写为:),,,(),,,(2121n n b b b Q a a a ΛΛ= (2)两边同时右乘1-Q ,得:12121),,,(),,,(-=Q b b b a a a n n ΛΛ(3)由(2)式可知,向量组n b b b ,,,21Λ能由向量组n a a a ,,,21Λ线性表示,由（3)式可知,向量组n a a a ,,,21Λ能由n b b b ,,,21Λ线性表示,故n a a a ,,,21Λ与n b b b ,,,21Λ等价。

因此获得下面结论:结论1：只经初等列变换由一个矩阵到另一矩阵,相应的列向量组等价。

对上面的(2)式,两边同取转置,得:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T T n T T T b b b a a a Q M M 2121 (4)两边同时左乘1)(-T Q ,得:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T T T T n T Tb b b Q a a a M M 21121)( (5)同理,(4)式和(5)式表明行向量组T nT T b b b ,,,21Λ与Tn T T a a a ,,,21Λ等价,由此获得下面结论:结论2：只经初等行变换由一个矩阵到另一矩阵,相应的行向量组等价。

问：两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联...

1、问：“两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联系？”答：矩阵A与B等价指的是A可以通过有限次初等变换变成B。

因此，两个不同型的矩阵是不可能等价的；两向量组的等价指的是它们能够相互线性表示，于是，它们各自所含向量的个数可能是不一样的．例如二维向量组A：1 1α⎛⎫= ⎪⎝⎭与二维向量组B：1:1k k Rβ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭是等价的。

但前者只含一个向量；而后者含有无穷多个向量。

两矩阵的等价与两向量组的等价，两者的联系在于：(1) 若矩阵A经初等行变换变成B，即A与B行等价，则A与B的行向量组等价；若A经初等列变换变成C，即A与C列等价，则A与C的列向量组等价；若A既经初等行变换又经初等列变换变成D，那么矩阵A与D等价，但A与D的行向量组与列向量组未必等价。

(2) 反过来，设两列向量组等价。

若它们所含向量个数不相同，则它们对应的两个矩阵是不同型的，因而不等价；若它们所含向量个数相同（例如都含有m 个）．那么它们对应的两个n x m矩阵（这里n为向量的维数）列等价，从而一定等价，但不一定行等价．例如向量组A：12 , 24⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与向量组B：10,20⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价，它们对应的矩阵1224A⎛⎫= ⎪⎝⎭，1020B⎛⎫= ⎪⎝⎭列等价，从而A与B等价，但非行等价。

类似地，若两个含向量个数相同的行向量组等价，则它们对应的两矩阵行等价，从而一定等价，但不一定列等价。

2、问：为什么“初等行变换保持矩阵的行向量组等价，而列向量组不等价？”和“初等行变换保持矩阵的列向量组中对应向量的线性相关性不变，而行向量组中对应向量的线性相关性可能改变”。

答：先说明“初等行变换保持矩阵的行向量组等价，而列向量组不等价”。

设,A B为m n⨯矩阵，且A经过行变换变成B。

把A分别按行分块，设1T T i T j T m A αααα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭分三种情况：（1）若i jr r A B ↔→，则1T T j T i T m B αααα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭显然向量组1,,,,,T T T T i j m αααα 与向量组1,,,,,T T T T j i m αααα 等价；（2）若ikr A B →，则1T T i T j T m k B αααα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭显然向量组1,,,,,T T T T i j m αααα 与向量组1,,,,,T T T T i j m k αααα 等价；（3）若i jr kr A B +→，则1T T T i j T jT m k B ααααα⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭显然向量组1,,,,,T T T T i j m αααα 与向量组1,,,,,T T T T Ti j j m k ααααα+ 等价。

[荐]矩阵分解在考研线代中的应用

矩阵分解在考研线代中的应用一、矩阵分解是什么？在此仅谈考研数学中常用的矩阵分解的构思C=AB，将一个矩阵C拆分为两个矩阵的乘积AB，有时候方便研究问题，在求行列式，讨论秩，相似等均有应用和考察。

二、什么时候想矩阵分解？矩阵分解：若一个矩阵B的每一列向量都可以由另一个矩阵A的列向量组线性表示（特征），则可对B进行矩阵分解为：B=AC，其中C 是对应的表示系数矩阵（构思）。

例：如上图B的每一个列向量均可由A的列向量线性表示。

特征：回答了什么时候用的问题，构思：回答了怎么用的问题。

[相关知识链接]：向量β，α1，α2，···αn,若存在一组数k1,k2,···kn,使得β=k1α1+k2α2+···+knαn,则称β可以被α1，α2，···αn向量组表示。

α+2β=α+2β+0γ，向量α+2β可被向量组：α、β、γ表示请仔细观察下面例题，为什么想到想到用矩阵分解？（一）、矩阵分解在行列式中的应用例.设3阶矩阵A=（α1，α2，α3），|A|=1，B=（α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3），求|B|=？分析：抽象行列式，主要利用行列式、矩阵，相似的性质及结论来求解。

一眼可见B的每一列向量，都可以由A的列向量组表示，立马想到矩阵分解B=AC关于C=AB的理解：表示与秩的构思理解角度1：C=AB表示角度结论.矩阵C=AB的列向量可由A的列向量线性表出；.矩阵C=AB的行向量可由B的行向量线性表出。

[对比记忆]：C=AB····即AB=C，对比向量方程：AX=C，C的列向量可以由A的列向量表示。

亦可结合具体的例题来理解抽象的理论文字语言，如上题B的每一列向量都可由A的列向量线性表示。

一个具体的解决解决几个问题。

同理：对B, C按行分块，可见：C的行向量可以由B的行向量组表示。

浅谈高等代数中的等价思想及其应用

浅谈高等代数中的等价思想及其应用蒋红梅高等代数是数学专业学生必修的一门基础课程，该课程概念多，定理多，教学内容抽象。

对于大学一年级学生来说，基本上是介绍新的代数理论，利用新的定义、定理、方法解决代数问题，缺少数学模型，学生总感到难学，遇到新的问题就不知如何下手。

究其原因在于学生不了解高等代数与初等代数的区别，用中学生的思想观念和学习方法来学习，未领会高等代数中蕴含的数学方法和思想，对概念和定理的理解不足，缺少对数学方法的理解和总结。

高等代数涉及的数学思想有很多，比如等价、类比、化归、结构、分类等思想，了解和应用这些数学思想可以更好地了解和掌握高代中的数学知识。

等价思想是高等代数中比较重要的一种思想方法，是学生从计算解题到学习代数结构的结合点，为后续课程的学习起到了铺垫的作用。

在教学中，教师应深刻理解和把握课程内容，澄清教学体系，学科思想，把握重点，化解难点，解决疑点，达到帮助学生更好地学习和掌握高等代数知识的目的，也有助于我系高等代数精品课程的建设。

本文就高等代数中的等价思想及其应用作了一些探究。

1、高等代数中的等价关系1.1关于矩阵的等价关系高等代数中关于矩阵的等价关系有矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同，弄清它们的联系与区别是十分必要的。

首先，这三者的研究对象不同，矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同的研究对象分别是mn A ，n A ，n A ；其次，满足的条件不一样，但n 阶实对称矩阵既相似又合同，相似或合同的矩阵是等价的，等价矩阵不一定相似或合同。

在()F M mn 中矩阵等价是等价关系，由于初等变换法不改变矩阵的秩，因此矩阵的秩是等价关系的完全不变量，每一类的代表元是⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rI ，r 为矩阵的秩，按等价关系可以分为{}1,m in +n m 类。

用消元法求解线性方程组时，运用矩阵的初等变换法将线性方程组化为同解线性方程组的问题转化为增广矩阵的等价问题。

在()F M n 中矩阵的相似是等价关系，由于相似矩阵有相同的行列式因子、不变因子、初等因子和Jordan 标准形，因而行列式因子、不变因子、初等因子和Jordan 标准形是()F M n 上矩阵相似的完全不变量，而特征多项式、秩、迹只是矩阵相似的不变量。

两个矩阵等价的条件

两个矩阵等价的条件
摘要：
1.矩阵等价的定义与重要性
2.矩阵等价的条件
3.矩阵等价条件的应用
4.总结
正文：
矩阵等价是线性代数中一个重要的概念，它对于理解和解决许多实际问题具有重要的意义。

矩阵等价是指两个矩阵在某种意义上相等，这种相等不仅包括元素的相等，还包括矩阵的行和列的变换。

矩阵等价的条件有很多，下面我们将详细介绍。

首先，我们来看矩阵等价的定义。

设矩阵A 和矩阵B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，那么我们就说矩阵A 与矩阵B 是等价的。

这个定义告诉我们，如果两个矩阵可以通过可逆矩阵的变换相互转化，那么这两个矩阵就是等价的。

接下来，我们来看矩阵等价的条件。

矩阵等价的条件主要有以下几点：
1.行列式相等：如果两个矩阵的行列式相等，那么这两个矩阵就是等价的。

这是因为行列式是矩阵的一种度量，它反映了矩阵的性质。

2.秩相等：如果两个矩阵的秩相等，那么这两个矩阵就是等价的。

秩是矩阵的一个重要性质，它表示矩阵的行向量组的最大无关组数。

3.行向量组和列向量组等价：如果两个矩阵的行向量组和列向量组等价，
那么这两个矩阵就是等价的。

这是因为行向量组和列向量组是矩阵的重要组成部分，它们决定了矩阵的性质。

矩阵等价条件的应用非常广泛，它不仅可以用于解决矩阵的变换问题，还可以用于解决线性方程组等问题。

例如，在求解线性方程组时，我们可以通过矩阵等价的变换，将方程组转化为易于求解的形式。

总的来说，矩阵等价是一个非常重要的概念，它对于理解和解决线性代数中的问题具有重要的意义。

向量组等价和同解

两个向量组可以互相线性表出，即是第一个向量组中的每个向量都能表示成第二个向量组的向量的线性组合，且第二个向量组中的每个向量都能表示成第一二个向量组的向量的线性组合。

向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。

需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），
其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

向量组等价和矩阵等价是两个不同的概念。

前者是从能够互相线性表出的角度给出定义；后者是从初等变换的角度给出定义。

向量组（必须包含向量个数相同）等价能够推出矩阵等价。

但是矩阵等价不一定能推出向量组等价。

向量组等价，是两向量组中的各向量，都可以用另一个向量组中的向量线性表示。

矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得一个矩阵之间可以相互转化。

如果是行变换，相当于两矩阵的列向量组是等价的。

如果是列变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的。

由于矩阵的行秩，与列秩相等，就是矩阵的秩，在行列数都相等的情况下，两矩阵等价实际上就是秩相等，反过来，在这种行列数都相等情况下，秩相等，就说明两矩阵等价。

矩阵等价和向量组等价的区别与联系

矩阵等价和向量组等价的区别与联系摘要：探讨等价矩阵和等价向量组之间的区别与联系，并给出等价矩阵的行向量组（或列向量组）等价的充要条件。

关键词：矩阵等价、向量组等价、初等行变换中图法分类号：O 151. 24一、引言矩阵和向量组是线性代数这门课程中两个基本的概念，两者之间有着紧密的联系：一方面，一个矩阵对应着唯一一组列（行）向量组；另一方面，列（行）向量组以给定的顺序排列得到唯一的矩阵。

此外，两个向量组的等价的问题可以将其转化成两个矩阵等价的问题来判定。

正由于矩阵和向量组之间特殊的关系，使得许多同学混淆了矩阵等价和向量组等价这两个不同的概念。

为了使学生们更好地分辨矩阵等价和向量组等价，我们深入探讨等价向量组和等价矩阵的区别与联系，并给出两个矩阵在等价时其行向量组（或列向量组）等价的充要条件。

二、已知结论为了更好地探讨等价矩阵和等价向量组之间的区别和联系，下面给出一些已知的结论。

首先给出矩阵的初等变化的定义。

矩阵的初等变换分为三类：交换矩阵两行（或列）；矩阵某一行（或列）的所有元素同乘以非零数；矩阵某一行（或列）的所有元素乘以数后加到另一行（或列）的对应元素上。

这三类初等变换都是可逆变换。

1、矩阵等价定义1：若矩阵可由矩阵经过有限次初等变换得到，则称矩阵与矩阵等价，记为。

由等价矩阵的定义可知：等价矩阵必须为同型矩阵，即两个矩阵的行数和列数对应相等。

定义2：在矩阵中任意取其行列，则位于这些行和列交叉的个元素，按照其在的位置顺序排列得到的阶行列式，成为矩阵的阶子式。

定义3：矩阵最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，记作。

下面给出等价矩阵的相关结论。

定理4：矩阵等价于矩阵的充要条件为。

由初等变换和初等矩阵之间的关系以及初等矩阵和可逆矩阵之间的关系可得两个等价矩阵之间的等式。

定理5：矩阵等价于矩阵等且仅当存在阶可逆方阵和阶可逆方阵满足。

此时，可逆方阵、的选择不是唯一的。

2、向量组等价定义6：设有两个维向量组若存在矩阵，使得成立，则称向量组可以由向量组线性表示。

两矩阵等价模

两矩阵等价模
矩阵等价是存在可逆矩阵，即A经过有限次的初等变换得到B。

1、矩阵A和B等价，那么B和A也等价。

矩阵等价的要求是：同一维度就可以了。

比如三维你只要映射都映射到二维，我们就说矩阵等价。

向量组等价的要求是：必须是同一维度的同一空间。

比如三维映射到二维就必须映射到同一个平面上。

2、矩阵A和B等价，矩阵B和C等价，那么A和C等价。

A，B 等价不是互表，而是互表对方的“投影”。

把等式挪一下，就有PB=AQ。

AQ是A空间里的一组向量，若A不满秩，则它就是A张成的子空间里的一组向量。

以3维为例，若A秩为2，A就张成一个平面，则AQ 就是A面上的一组向量。

3、矩阵等价其中对角线上的1的数目等于k。

例如这一列有比较多的0，这一列里头有一个1或1，等等。

然后利用列变换，把这一列换到第一列，然后利用行变换，注意只能用行变换把第一列的第一个数变为1，剩下的数变为0.然后把第一行的其他数都改成0.
矩阵等价：在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。

也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。

矩阵等价：当A和B为同型矩阵，且r（A）=r（B）时，A，B一定等价。

矩阵等价和向量组不等价的例子

矩阵等价和向量组不等价的例子
摘要：
一、矩阵等价和向量组不等价的定义
二、矩阵等价和向量组不等价的例子
1.矩阵等价的例子
2.向量组不等价的例子
正文：
矩阵等价和向量组不等价是线性代数中的重要概念，它们描述了矩阵和向量组之间的关系。

下面我们通过一些例子来理解这两个概念。

一、矩阵等价和向量组不等价的定义
1.矩阵等价：设A 和B 是两个n 阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1，那么我们就说矩阵A 与矩阵B 是等价的。

2.向量组不等价：设向量组A 和B 是两个n 维向量空间中的向量组，如果A 中的向量不能由B 中的向量线性表示，反之亦然，那么我们就说向量组A 与向量组B 是不等价的。

二、矩阵等价和向量组不等价的例子
1.矩阵等价的例子
假设我们有两个矩阵A 和B：
A = [[1, 2],
[3, 4]]
B = [[2, 3],
[4, 5]]
我们可以找到一个可逆矩阵P：
P = [[0, 1],
[1, 0]]
使得：
A = P *
B * P^-1 = [[2, 3],
[3, 4]]
因此，矩阵A 与矩阵B 是等价的。

2.向量组不等价的例子
假设我们有两个向量组A 和B：
A = {[1, 2],
[3, 4]}
B = {[2, 3],
[4, 5]}
我们发现，向量组A 中的向量[1, 2] 和[3, 4] 不能由向量组B 中的向量线性表示，反之亦然。

因此，向量组A 与向量组B 是不等价的。

通过以上例子，我们可以更好地理解矩阵等价和向量组不等价的概念。

向量组等价和矩阵等价的区别

向量组等价和矩阵等价的区别1 向量组的等价是两个向量组能够互相线性表示，也就是两个向量组的维数相同，但向量个数并不一定相同，他们拼成的矩阵的列数也并不一定相同。

2 矩阵的等价是可用初等变换把一个矩阵化为另一个矩阵，这要求两个矩阵的行数与列数都相同。

3 两个矩阵等价，并不能说明它们的列向量组等价。

例如矩阵A的第一列是(1,0)^T,第二列是(0,0)^T，矩阵B的第一列是(0,1)^T,第二列是(0,0)^T，则矩阵A与B等价，但A的列向量组与B的列向量组不等价。

扩展资料：在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。

也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。

性质：1 矩阵A和A等价(反身性）；2 矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；3 矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；4 矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。

(K为非零常数)5 具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解6 对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

（注意区分粗体字与普通字母所表示的不同意义）或者说：两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

注：1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。

但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

矩阵的合同-等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。

若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。

2、矩阵等价的充要条件：3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。

2、矩阵相似的性质：3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。

而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。

2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）≅（12,,,m βββ）则有矩阵A,B同型且()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅r()()A r B A B =⇒≅。

3、若r()()A B A r B ≅⇒=⇒两向量组秩相同，⇐两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ≅≠>≅综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。

线性代数-第4章

第4章《线性代数》习题解读1、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形，基本运算的练习，实际上也可以化为阶梯行而不一定非要最简，这类计算要多加练习，需纯熟掌握。

2、3表面上是要求一个能使已知矩阵化为行最简形的可逆阵，实际上是考察初等矩阵，因为化为行最简形的过程就是初等变换过程，对应的是一系列初等矩阵的乘积，把这一过程搞清楚了，要求的矩阵也就相应清楚了。

要知道一个初等矩阵对应一个初等变换，其逆阵也是，从这个意义上去理解可以有效解决很多问题。

4、求矩阵的逆阵的第二种方法（第一种是伴随阵），基本题，同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清楚（书上相应章节有解释），即为什么可以通过这两种方法求逆阵。

5、6是解矩阵方程，关键还是求逆，复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了，选择自己习惯的做法即可。

7、考察矩阵秩的概念，所以矩阵的秩一定要搞清楚：是不为零的子式的最高阶数。

所以秩为r的话只需要有一个不为零的r阶子式，但所有的r+1阶子式都为零；至于r-1阶子式，也是有可能为零的，但不可能所有的都为零，否则秩就是r-1而不是r了。

8、还是涉及矩阵的秩，矩阵减少一行，秩最多减1，也可能不减，不难理解，但自己一定要在头脑中把这个过程想清楚。

9、主要考查矩阵的秩和行（列）向量组的秩的关系，实际上它们是一致的，因为已经知道的两个向量是线性无关的，这样此题就转化为一个简单问题：在找两个行向量，与条件中的两个行向量组成的向量组线性无关，最后由于要求方阵，所以还要找一个向量，与前面四个向量组和在一起则线性相关，最容易想到的就是0向量了。

10、矩阵的秩是一个重要而深刻的概念，它能够反映一个矩阵的最主要信息，所以如何求矩阵的秩也就相应的是一类重要问题。

矩阵的初等行（列）变换都不会改变其秩，所以可以混用行、列变化把矩阵化为最简形来求出秩。

11题是一个重要命题，经常可以直接拿来用，至于它本身的证明，可以从等价的定义出发：等价是指两个矩阵可以经过初等变换互相得到，而初等变换是不改变矩阵的秩的，所以等价则秩必相等。