第二章 鸽巢原理
组合数学第二章鸽巢原理
在[0,mn]内有唯一解. 证明: 下面的n个数(模m都是a)
a, m+a, 2m+a, …, (n-1)m+a, 模n的余数两两不同.
中国剩余定理(完全形式)
令m1,…,mr两两互素, a1,…,ar为整数, 则同余方程组
存在k<l使得rk=rl , 即m|(ak+1+ak+2+…+ al).
应用:国际象棋大师
一位国际象棋大师有11周的时间备战比赛, 他决定每天至少下1盘棋,但每周不超过12盘. 则存在连续若干天,他恰好下了21盘棋. 证明: 令ai为到第i天下的总盘数, (ai+21=aj?)
1 a1 < a2 < …< a77 1112=132, 22 a1+21 < a2+21 < …< a77+21 132+21=153
mk1 mk2 mkn1
若ak1 ak2则必有mk1 > mk2,于是:
ak1 ak2 akn1
ak 5 4 6 3 4 2 3 1 9 2 mk 3 3 2 3 2 3 2 2 1 1
Ramsey问题
命题: 6人中或者至少存在3人互相认识, 或者至少存在3人互相不认识.
例: K17K3, K3, K3. 作业: 第2章 ex1, ex5, ex8, ex15, ex20.
作业
第二章 P25： ex1, ex5, ex8, ex15, ex20. 编程题见网络教室。
射雕英雄传中的问题
黄蓉给瑛姑出题: 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何.
鸽巢原理
给下列每个格子涂上红色或者蓝色，观察每一列，你有什么发现，至少有几列的 涂法是相同的？
每列的涂法共有8中，把这巢原理（一）可知，至少有两列涂法相同。 9÷8=1......1 1+1=2 答：至少有两列的涂法相同。
鸽巢原理
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）也叫抽屉原理：把（n+1）个物体放在n个 鸟巢中，一定有一个鸽巢中至少放进了2两个物体。
1.把5个苹果放进4个篮子里，不管怎么放，总有一个篮子至少放进（）苹果。
鸽巢原理（二）
• 把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。
解决问题
盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个同色， 至少要摸出几个球？
分析：把红色和蓝色视为2个鸽巢，摸出的球数视为分放的物体，有鸽巢原理（一）可知道， 分放的物体比鸽巢多1，才能符合要求。 2+1=3 答：至少摸出3个球才可以一定有两个同色的。
解决问题
有红色，黄色，蓝色，黑色、的小球各6个，装在一个不透明的 袋子里，为了保证摸出的小球有3个颜色相同，至少摸出几个？
图书馆里有甲、乙、丙、丁、四类图书，规定每名同学最少借一 本书，最多可以借2本，至少有多少名同学借书，才能保证有两 人所借的图书类别相同？
分析：借书情况有甲、乙、丙、丁、甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁等共 10种情况，把这10种情况视为鸽巢，借书人数视为分发的物体，由鸽巢原理 （一）可知，
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密码学中的应用
密码学是研究如何保护信息安全的一门科学，而鸽巢原理在密码学中也 有一定的应用。例如，在分析某些加密算法的安全性时，可以利用鸽巢 原理来证明某些攻击方法的有效性或无效性。
05
鸽巢问题原理拓展与延伸
广义鸽巢原理
原理表述
如果n个物体放入m个容器，且n>m，则至少有一 个容器包含两个或两个以上的物体。
掌握鸽巢原理的证明方法是学习该原理的关键。 建议学习者多阅读相关教材或论文，了解不同证 明方法的思路和应用场景。
多做练习题
通过大量的练习题可以加深对鸽巢原理的理解和 掌握。建议学习者多做一些难度适中的练习题， 逐步提高自己的解题能力。
未来研究方向展望
拓展应用领域
随着计算机科学和信息技术的发展，鸽巢原理的应用领域也在不断拓展。未来可以进一步探索鸽巢原理在人工智能、 大数据等领域的应用。
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目录
• 鸽巢问题原理概述 • 鸽巢问题原理基本概念 • 鸽巢问题原理证明方法 • 鸽巢问题原理应用举例 • 鸽巢问题原理拓展与延伸 • 总结与回顾
01
鸽巢问题原理概述
定义与背景
鸽巢原理定义
如果 n 个鸽子要放进 m 个鸽巢，且 n > m，则至少有一个鸽巢里有多于一 个鸽子。
重要性
理论价值
鸽巢原理是数学中的基本 原理之一，对于理解更高 级的数学概念和证明具有 重要意义。
实际应用
在计算机科学、工程等领 域中，鸽巢原理为解决复 杂问题提供了有效的思路 和方法。
拓展思维
通过学习鸽巢原理，可以 培养逻辑思维和抽象思维 能力，提高分析问题和解 决问题的能力。
02
鸽巢问题原理基本概念
第二章 鸽笼原理
§是正整数，i=1,2,…,n, 且 q≥q1+q2 + … +qn-n+1。 如把q个物体放n个盒子中，则必存在i 使得第 i 个 盒子中至少有qi个物体。 推论1 推论 把n(r-1)+1个物体放入n个盒子中，则至少 有一个盒子至少有r物体。
例１ 367人中至少有２人的生日相同。 相当于把367个球放入365个盒子中。有鸽笼原理 可知 例２ 10双手套中任取11只，其中至少有两只是完 整配对的。 例３ 把5个顶点入到边长的为2的正方形中，则至 2 少存在两个顶点它们间的距离小于或等于 。 把2×2的正方形分割成四个1×1的小正方形，把5 个顶点放入这四个小正方形中，则至少有两个顶 点在同一个小正方形中。它们之间的距离必小于 或等于小正方形的对角线的长度
第二章 鸽巢原理
§2.1 鸽笼原理的简单形式
鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原 理，也叫抽屉原理, 即 有n个鸽子，飞进 个鸽笼时， 个鸽子，飞进m(n>m)个鸽笼时，至少有一个 个鸽笼时 笼内有两只或两只以上的鸽子。 笼内有两只或两只以上的鸽子。 定理 2.1.1 如果把n+1件物体放入n个盒子中去，则至少 有一个盒子放有两个或更多的物体。
例5 一棋手为参加比赛要进行77天的训练，如他每天至少下一盘棋， 且每周至多下12盘棋，则必存在相连续的若干天，在这段时间中他恰 好下21盘棋。 设ai表示他前i天下棋的总数，则 1≤a1 <a2 <… <a77 ≤11×12 把他们分别加上21得： 22≤a1+21 <a2 +21<… <a77+21 ≤11×12+21=153 a1，a2，…,a77,a1+21,…,a77+21,共有154个数且这些数介于1—153 之间,有鸽笼原理可知，至少存在两个相等的数。 有以上的分析可知，这两个数分别位于a1—a77(ai)和a1+21— a77+21(aj)之间。则aj=ai+21。即aj-ai=21.则有i+1—j天的时间共下了 21盘棋
六年级鸽巢原理知识点
六年级鸽巢原理知识点鸽巢原理，也被称为鸽洞原理，是一种用于数据通信的冲突检测与解决机制。
它模拟了鸽巢中繁殖鸽子的情况，通过对数据包进行编号，发送方根据接收方反馈的信息进行重传，以确保数据的可靠传输。
在六年级的学习中，我们将了解鸽巢原理以及它的相关知识点。
一、鸽巢原理的基本概念鸽巢原理是一种用于数据通信的技术原理，它确保了数据包的无碰撞传输。
在数据通信中，当多个设备同时发送数据时，可能会发生冲突，导致数据包丢失或损坏。
而鸽巢原理通过编号和重传机制，有效解决了这个问题。
二、鸽巢原理的工作原理1. 编号：发送方将每个数据包进行编号，接收方收到数据后会对编号进行确认。
2. 传输与接收：发送方将数据包通过信道发送给接收方，接收方收到数据后进行解码。
3. 确认与重传：接收方对数据包的编号进行确认，如果出现丢失或损坏，会要求发送方进行重传。
4. 顺序保证：接收方会根据编号对数据包进行排序，以保证数据的顺序正确。
三、鸽巢原理的应用场景1. 以太网中的冲突检测：在以太网中，多个计算机共享同一条通信线路，鸽巢原理被用于检测和解决数据冲突问题，保证数据的正常传输。
2. 无线传感器网络中的数据传输：无线传感器网络中的节点数量众多，节点之间需要进行数据的传输和接收，鸽巢原理保证了数据的可靠传输。
四、鸽巢原理的优缺点1. 优点：a. 解决了数据冲突问题，保证了数据的可靠传输。
b. 简单易懂，易于实现和应用。
c. 提高了数据传输的效率和吞吐量。
2. 缺点：a. 需要进行数据包的编号和确认，增加了通信开销。
b. 在大规模网络中，可能会导致网络拥塞。
c. 对延迟敏感的应用有一定影响。
五、总结鸽巢原理是一种用于数据通信的冲突检测与解决机制，通过编号、重传和确认等方式，实现了数据的可靠传输。
它在以太网和无线传感器网络等领域得到了广泛的应用。
但同时，我们也要认识到它的优缺点，合理地利用鸽巢原理，可以有效地提高数据通信的质量与效率。
通过学习鸽巢原理，我们能够更好地理解数据通信中的冲突与解决机制，为我们进一步学习网络通信和相关知识打下坚实基础。
《鸽巢原理》课件
破课题：解读《鸽巢原理》
鸽巢原理概述
1 什么是鸽巢原理
鸽巢原理是一种设计原则，灵感来自于鸽子筑巢的行为。它强调在有限空间内合理安排 和利用资源。
2 如何应用鸽巢原理
可以将鸽巢原理应用于各个领域，如产品设计、建筑规划和项目管理。它可以帮助我们 实现最优化的资源利用。
鸽巢原理的案例分析
成功案例一
某公司利用鸽巢原 理重新设计了工作 场所布局，提高了 员工工作效率和舒 适度。
成功案例二
一位建筑师运用鸽 巢原理创建了一座 垂直农场，大幅度 增加了农作物的产 量。
失败案例一
一家餐馆在设计就 餐区时没有充分考 虑空间利用效率， 导致排队时间过长， 影响顾客体验。
失败案例二
一个项目团队没有 合理安排资源，导 致项目延期并超出 预算。
鸽巢原理的启示与总结
启示一
鸽巢原理教导我们要善于利 用有限空间和资源，以达到 最佳效益。
启示二
鸽巢原理激发我们寻找创造 性解决问题的方法，尤其是 在资源紧缺的情况下。
Hale Waihona Puke 总结鸽巢原理是一个重要的设计 原则，可以帮助我们优化资 源利用并实现卓越的成果。
计算机组合数学—第二章鸽巢原理和Ramsey定理 PPT实用课件
2021年5月27日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
证明 如果每个盒子中至多有一 个物体，那么n个盒子中至多有 n个物体，而我们共有n+1个物 体，矛盾。 故定理成立。
2021年5月27日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
• 本例实际上是知道n个盒子，而找 n+1个物体的问题。
2021年5月27日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.3对任意给定的52个整数， 证明：其中必存在两个整数，要么 两者的和能被100整除，要么两者 的差能被100整除。
2021年5月27日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
分析：
1、已知52个整数，
根据定理2.1.1，这52个整数，必有两个整数 除以100的余数落入上面51组中的同一组中，
若是{0}或{50}则说明它们的和及差都能被100 整除；
若是剩下的49组的话，因为一组有两个余数 ，余数相同则它们的差能被100整除，余数不 同则它们的和能被100整除。
例2.1.4 一名象棋大师有11周时间准备 一场锦标赛，她决定每天至少下一盘 棋，为了不能太累一周中下棋的次数 不能多于12盘。证明她一定在此期 间的连续若干天中恰好下棋21盘。
这说明从第i+1天到第j天这连续j-i天中， 4、解题途径：构造下棋盘数的部分
她刚好下了21盘棋。 物品总数为(q1+q2+…+qn – n+1)相矛盾。
第二章 鸽巢原理和R章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.5 将一个矩形分成4行19列的网格，每 个单元格涂1种颜色，有3种颜色可以选择， 证明：无论怎样涂色，其中必有一个由单元 格构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一 种颜色。
第二章、鸽巢原理和Ramsey定理
组合数学讲义(内部资料，严禁商用) 第二章 鸽巢原理和Ramsey 定理 2008-2009学年第二学期第二章 鸽巢原理和Ramsey 定理一、鸽巢原理鸽巢原理是组合数学中的一个重要而又基本的原理，它可以用来解决很多日常生活和科学技术上的趣题，并且常能得到一些令人惊异的结果。
这个原理有各种称呼，最常用的名称是鸽巢原理、Dirichlet 抽屉原理和鞋盒原理。
1、问题的引入1) 366个人中必然有至少两个人生日相同。
2) 抽屉里散放着10双手套，从中任意抽取11只，其中至少有两只是成双的。
3) 某次会议有n 位代表参加，每位代表认识其他代表中某些人，则至少有两个人认识的人数是一样的。
4) 任给5个不同的整数，其中至少有3个数的和被3除尽。
这些例子的道理都很简单，以第一个例子为例，一年365天，366个人至少有一天是某两个人的生日。
最后一例子也有类似的道理，5个数中至少有3个同为奇数或同为偶数，无论哪种情况，它们的和都能被3除尽。
2、鸽巢原理的简单形式定理1、如果把1+n 只鸽子放入n 个鸽巢，则至少有一个鸽巢里含有两只或两只以上鸽子。
证明：反证法。
假设每个鸽巢里至多包含一只鸽子，则n 个鸽巢里鸽子的总数小于等于n ，这与已知矛盾。
注：此原理不能用来寻找究竟是那个鸽巢里含有两只或两只以上鸽子。
即此原理只能用来断定这种鸽巢的存在，并未指出怎样构造这种安排或怎样寻找出现这种现象的场合，除非检查所有的可能情况。
此原理的应用：例1、 已知每个人的头发根数都小于20万，对20万人以上的城市就可以断定，至少有两个人头发根数相等。
例2、在边长为1的正三角形中任意放5个点，证明至少有两个点之间的距离不大于21。
证明：构造鸽巢原理如图1,将5个点放在4个边长为21的小正三角形内，根据鸽巢原理，组合数学讲义(涉外学院数学本科用) 2008-2009学年第二学期 制作人 陈勇 必有一个小三角形内至少有两个点，这两个点的距离就小于或等于21。
六年级鸽巢问题知识点
六年级鸽巢问题知识点【引言】鸽巢问题是数学中的一个经典问题，在六年级的学习中经常会涉及到。
通过学习鸽巢问题，我们可以培养学生的观察力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文将介绍鸽巢问题的基本概念、解题方法和相关知识点。
【鸽巢问题的基本概念】鸽巢问题是指当多个物体放置到少于物体个数的容器中时，至少会有一个容器中放置多个物体的问题。
这个问题源自于鸽子进巢时的现象：如果有n只鸽子，而只有m个巢穴（n＞m），那么至少有一个巢穴里会有两只或两只以上的鸽子。
【鸽巢问题的解题方法】1. 鸽笼原理鸽笼原理是鸽巢问题的核心思想，它指出：当n+1个物体放置到n个容器中时，至少有一个容器中会放置两个或两个以上的物体。
换句话说，如果要将n+1个物体放置到n个容器中，那么必然会有一个容器中的物体个数不小于2。
2. 式子设立法在具体解题时，我们可以通过设立合适的式子来表示鸽巢问题。
例如，设n表示容器的个数，m表示物体的个数，那么根据鸽笼原理可以得到：m ≥ n+1。
3. 实际问题应用鸽巢问题不仅仅是一个抽象的数学问题，它也可以应用于实际生活中的一些场景。
比如，在班级里进行座位安排时，如果学生的人数大于座位的数量，那么必然会有两个或两个以上的学生坐在同一个座位上。
【鸽巢问题的相关知识点】1. 鸽巢原理的证明鸽巢原理可通过反证法来证明。
假设每个容器只能放置不超过一个物体，但实际上放置的物体个数为n+1。
那么根据鸽笼原理，至少会有一个容器中放置了两个物体，与前提矛盾，因此假设不成立，即证明了鸽巢原理的正确性。
2. 鸽巢问题的扩展鸽巢问题还可以进行扩展，如何在一些特殊条件下进行放置物体使得符合给定的要求。
这就需要学生进一步研究和探索鸽巢问题的变形和应用。
3. 与其他数学问题的联系鸽巢问题与其他数学问题之间存在一定的联系，例如排列组合、概率等。
在解决这些问题时，学生可以借助鸽巢问题的思维方式，提高问题解决的效率和准确性。
【总结】通过学习鸽巢问题，我们可以锻炼学生的观察力、逻辑思维和问题解决能力。
鸽巢问题知识点总结
鸽巢问题知识点总结一、概述鸽巢问题是一类经典的组合数学问题，它通常涉及到将若干个物体放入若干个容器中，保证容器内物体数量不超过规定值的情况下，求出最多可以放置多少个物体。
鸽巢问题有着广泛的应用，例如在密码学、计算机科学、图论等领域都有着重要的应用。
二、基本概念1. 鸽巢原理：若将n+1个或更多的物体放入n个盒子中，则至少有一个盒子内有两个或以上的物体。
2. 抽屉原理：如果有m个物品放进n个抽屉里，且m>n，则至少有一个抽屉里面至少有两个物品。
3. 完全背包问题：在给定的一组物品和一个容量为V的背包中，每种物品都有无限件可用。
装入背包中的物品总价值最大是多少？4. 01背包问题：在给定的一组物品和一个容量为V的背包中，每种物品只能选择一件。
装入背包中的物品总价值最大是多少？三、解题思路1. 鸽巢原理解题思路：（1）确定鸽子和鸽巢：将物体视为鸽子，容器视为鸽巢。
（2）确定限制条件：设每个鸽巢最多可以放置k个鸽子。
（3）确定问题：求出最多可以放置多少个物体。
（4）应用鸽巢原理：根据鸽巢原理，当物体数量大于nk时，至少有一个容器内放置了两个或以上的物体。
因此，最多可以放置的物体数量为nk。
2. 抽屉原理解题思路：（1）确定抽屉和物品：将容器视为抽屉，将物体视为物品。
（2）确定限制条件：设每个抽屉最多可以放置k个物品。
（3）确定问题：求出最多可以放置多少个物品。
（4）应用抽屉原理：根据抽屉原理，当物品数量大于nk时，至少有一个抽屉内放置了两个或以上的物品。
因此，最多可以放置的物品数量为nk。
3. 完全背包问题解题思路：（1）初始化状态：设f[i]表示前i件物品恰好装满容量为j的背包所能获得的最大价值，则f[0]=0。
（2）状态转移方程：f[i][j]=max{f[i-1][j-k*V[i]]+k*W[i]|0<=k*V[i]<=j}。
（3）求解最优解：最终的最大价值为f[n][V]。
4. 01背包问题解题思路：（1）初始化状态：设f[i][j]表示前i件物品恰好装满容量为j的背包所能获得的最大价值，则f[0][0]=0。
组合数学第二章鸽巢原理
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2.3 Ramsey问题与Ramsey数
命题2.3.1:对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两色 边着色，都存在一个红色三角形或一个蓝色三角形。 命题2.3.2:对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两色 边着色，都至少存在两个同色三角形。
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2.3 Ramsey问题与Ramsey数
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例6： （中国余数定理）设m,n为两个互素的正整数， a,b是满足 的整数。 证明：
存在正整数x,使得x除以m的余数为a，除以n的余数 为b，即存在p, q，使得
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2.2 鸽巢原理的加强形式
定理2.2.1: 设 都是正整数，如果把 个物品放入n个盒子，那么或者 第1个盒子中至少有q1个物品， 或者第2个盒子中至少 有q2个物品， ……, 或者第n个盒子中至少有qn个物品. 推论2.2.1: 若将n(r-1)+1个物品放入n个盒子中， 则至少有一个盒子中有r个物品。
第二章 鸽巢原理
一、鸽巢原理的简单形式 二、鸽巢原理的加强形式 三、Ramsey问题与Ramsey数 四、Ramsey数的推广
2.1 鸽巢原理的简单形式
定理2.1.1:如果把n +1个物品放入n个盒子中， 那么至少 有一个盒子中有两个或更多的物品。 例1. 13个人中必有两人的属相相同。 例2. 在边长为1的正方形内任取5点，则其中至少有两 点，它们之间的距离不超过
注:
定理2.4.5:
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第二章 鸽巢原理
第二章 鸽巢原理我们在本章考虑一个重要而又初等的组合学原理，它能够用来解决各种有趣的问题，常常得出一些令人惊奇的结论。
这个原理有许多的名字，但最普通的名字叫鸽巢原理，也叫做鞋盒原理。
有关于鸽巢的原理阐释，粗略地说就是如果有许多鸽子飞进不足够多的鸽子巢内，那么至少要有一个鸽巢被两个或多个鸽子占据。
更精确的叙述在下面给出。
2.1 鸽巢原理的简单形式鸽巢原理的简单的形式可以描述如下：定理2.1.1 如果n+1个物体被放进n 个盒子，那么至少有一个盒子包合两个或更多的物体。
证明：如果这n 个盒子中的每一个都至多含有一个物体，那么物体的总数最多是n 。
既然我们有n ＋1个物体，于是某个盒子就必然包含至少两个物体。
注意，无论是鸽巢原理，还是它的证明，对于找出含有两个或更多物体的盒子都没有任何帮助。
它们只是简单地断言，如果人们检查每一个盒子，那么他们会发现有的盒子里面放有多于一个的物体：鸽巢原理只是保证这样的盒子存在。
因此，无论何时鸽巢原理被用来证明一个排列或某种现象的存在性，除了考察所有可能性之外，它都不能对任何构造排列或寻找现象的例证给出任何指示。
我们可以把将物体放入盒子改为用n 种颜色中的一种颜色对每一个物体涂色：此时，鸽巢原理断言，如果n ＋1个物体用n 种颜色涂色，那么必然有两个物体被涂成相同的颜色。
下面是两个简单的应用。
应用1 在13个人中存在两个人，他们的生日在同一个月份里。
应用2 设有n 对已婚夫妇。
为保证能够有一对夫妇被选出，至少要从这2n 个人中选出多少人?为了在这种情形下应用鸽巢原理，考虑n 个盒子，其中一个盒子对应一对夫妇。
如果我们选择n ＋1个人并把他们中的每一个人放到他们对偶所在的那个盒子中去，那么就有同一个盒子含有两个人；也就是说，我们已经选择了一对已婚夫妇。
选择n 个人使他们当中一对夫妻也不没有的两种方法是选择所有的丈夫或选择所有的妻子。
因此，n ＋1是保证能有一对夫妇被选中的最小的人数。
六年级鸽巢原理范文
鸽巢原理是一个物理原理，也称为“上升空气核心的位置稳定问题”或“穹隆”问题。
该原理解释了为什么鸽巢的形状可以保护鸽子不受外界环境的干扰，使之能够在巢里安全地孵蛋和照顾幼鸟。
鸽巢的形状是呈碗状或穹隆状的，它可以把鸽子和蛋放在一个相对稳定的位置上，不受外界干扰的影响。
这种形状的巢能够提供一个稳定的环境，使鸽子和蛋不易受到外界风力的影响，保持平衡。
那么，鸽巢原理是如何运作的呢？首先，我们需要了解一些基础的物理原理。
空气是一种气体，它具有质量并且可以流动。
当空气受到加热，温度升高，分子活动加剧，空气会变得轻盈，密度降低，形成一个上升的气流。
接下来，我们来看看为什么鸽巢的形状可以让鸽子和蛋在巢里保持相对稳定的位置。
当鸽子在巢内孵蛋时，鸽子的身体温暖，释放的热量会使空气温度升高。
由于温暖的空气比周围的冷空气密度小，于是鸽巢内部的空气开始上升。
这形成了一个上升的热气流，类似于热气球升空的原理。
由于巢的形状是一个碗状或穹隆状，其底部比顶部宽，使得上升的热气流在碗的中心聚集并向上升。
此时，鸽子和蛋位于热气流的中心位置，不受外界空气流动的干扰，保持相对平衡的状态。
同时，巢的外部形状也起到了限制热气流散失的作用，使热气流能够集中在巢内。
此外，巢的材料也会对鸽巢的形状和功能产生影响。
鸽子通常使用软绒绒的材料，如绒毛、草和羽毛来建造巢。
这些材料具有保暖的作用，能够有效地储存热量，提供一个温暖的环境给鸽子和蛋。
总结起来，鸽巢原理是通过利用上升的热气流和特殊的巢的形状，使鸽子和蛋能够在巢内保持相对稳定的位置。
这种形状能够限制外界空气流动的干扰，并提供温暖的环境，使鸽子能够安全地孵蛋和照顾幼鸟。
鸽巢原理不仅在鸽子的巢上得到应用，也可以在其他领域中发挥作用。
例如，建筑物和工厂的结构设计可以借鉴这个原理，以提供一个稳定的环境和减少外界环境的干扰。
希望通过以上的解释，你对鸽巢原理有了更深入的理解。
组合数学第二章[鸽巢原理]
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Ramsey
定理
3. Ramsey数的简单性质 [定理] r (a ,b)= r(b, a)；r(a,2)=a。
[证] K r(a, b )的边红蓝２着色，有 红Ka或蓝Kb。将红蓝２色对换，就 有红Kb或蓝Ka。 第二个等式是指存在一个a个顶 点的红色完全图，或者存在一条兰 色边。
Ramsey
鸽巢原理 加强形式
[例1] 如图所示的大小盘子，都被均匀地分成200 个扇形。大盘中任选100个扇形图红色，余下 100个图兰色。小盘中的扇形可任意涂成兰色 或红色。证明，能够将两盘子的扇形对齐使得 小盘子和大盘子上相同颜色重合的扇形数目超 过100个。 [证] 可考虑大盘固定，小盘转动，每转动一个 扇形时匹配的扇形数mi，1≤i≤200。 当小盘转过一圈时，每个小盘上的扇形无论红 或兰，都会与大盘上100个扇形匹配，故总匹 配扇形数为200*100=20000，平均数为 20000/200=100。故必有某mi≥100。
第二章 鸽巢原理
§2.1 鸽巢原理基本形式
§2.2 鸽巢原理的加强形式
§2.3 Ramsey 定理
鸽巢原理 基本形式
§2.1 鸽巢原理基本形式
鸽巢原理是组合数学中最简单也是 最基本的原理，也叫抽屉原理。即： 若有n个鸽子巢，n+1个鸽子，则至 少有一个巢内有至少有两个鸽子。 [例1]13人中至少有２人的生日在同一月 份。 [例2]参加一会议的人中每人至少和其他 一人相识，则至少有２人认识的别的参 加者的人数相等。
鸽巢原理 基本形式
[例5] 设 a1 , a2 , · , am是正整数序列， · · 则至少存在k和l , 1≤k≤l≤m，使得和 ak+ak+1+·+al是m的倍数。 · · [证] 记Sk= a1+a2+·+ak，且记Sk≡ rk · · mod m，其中0≤rk<m，k=1,2,·,m。 · · 若存在l，使Sl≡0 mod m则命题成立。 否则，1≤rk≤m-1，即m个余数置于 m-1个盒子里，故存在 rk = rh，即 Sk≡ Sh。不妨设 h＞k，则Sh-Sk= ak+1+ak+2+… +ah ≡0 mod m 。
应用数学_第一章绪论第二章鸽巢原理
§2.2
鸽巢原理（加强形式）
习题（P25）： 1，5，7，11，14，15，19、
鸽巢原理（简单形式）
设有n对夫妇，从这2n个人中至少选出多少人， 才能保证有一对夫妇被选出？ 答：至少选择 n+1 人。
应用3
给定m个整数 a1 , a2 , , am . 证明: 存在整数 k 和 l， k l m , 0 使得ak 1 ak 2 al能够被m整除。
例2：构造幻方
古老的数学游戏——出土于洛图 填数字，使行和、
8 3
1 5 9
6 7 2
列和、对角线和都 等于s (幻和）。
n 阶幻方：
4
16
3
2
13
ns 1 2 n 2 n 2 ( n 2 1) 2 n( n 2 1) s 2
如何构造 ？
5
9 4
10
6 15
考虑 a1 , a2 ,, a77 , a1 21, a2 21,, a77 21
由严格单调性，知有ai a j 21, a i a j 21 这说明：在第j 1天到第i天内下了 盘棋。 21
根据鸽巢原理，这 54个数中 至少有两个数相等。 1 ,
应用5 从1至200中选出101个整数。证明：其中存在两个 整数，一个可以被另一个整除。 证明：
§2.2 应用1
鸽巢原理（加强形式）
为保证某导弹部队至少有8枚飞毛腿、或 至少有6枚爱国者、或至少有9枚响尾蛇， 该部队应至少配备多少枚导弹？ 答：7+5+8+1=21
第二章鸽巢原理
第二章鸽巢原理
推广
如果q1, q2, ……, qn都等于同一个整数r， 则
如果n(r-1)+1个物体放入n个盒子中，那 么至少有一个盒子含有r个或更多的物体
第二章鸽巢原理
平均原理之一、二
如果n个非负整数m1, m2, ……, mn的平均 数大于r-1,那么至少有一个整数大于或等 于r
如果n个非负整数m1, m2, ……, mn的平均 数小于r+1,那么至少有一个整数小于r+1
第二章鸽巢原理
存在性证明
令m和n为两个互素的正整数，并令a和b 为两整数，且0 ≤ a ≤ m-1，0 ≤ b ≤ n-1， 于是存在一个正整数x，使得x除以m的余 数为a，并且x除以n的余数为b，即x可以 写成x=pm+a同时又可以写成x=qn+b的形 式，这里p和q是两个整数
第二章鸽巢原理
问题
第二章鸽巢原理
鸽巢原理的抽象描述
令X和Y为两个有限集合，并有函数f: XY 如果|X||Y|，则f就不是一对一的；
如果|X|＝|Y|，且f是映上的，则f就是一对 一的；
如果|X|＝|Y|，且f是一对一的，则f就是映 上的
第二章鸽巢原理
复杂应用
给定m个整数a1, a2, ……am，则存在 整数k和l，满足0≤k<l≤m，使得 ak+1+……+al能够被m整除
第2章 鸽巢原理
1
2
n1
a k a k ... a k
1 2
它们构成一长为 n 1的递减子序列。否则，若有某个 j , (1 j n ) 使得 a k a k ，那么以 a k 为首项的最长递增子序列加上 a k ， 就得到一个以 a k 为首项的递增子序列，由 m k 定义知，
j Байду номын сангаас1 j1 j
鸽巢原理
定理1 若有n+1只鸽子飞回n个鸽巢,则至 少有两只鸽子飞入了同一个鸽巢. 这个原理的证明非常容易, 只要使用 反证法马上就可以得到结论. 这个原理也可以表述为: 如果把n+1件东西放入n个盒子中, 则至少有一个盒子里面有不少于两件 的东西.
鸽巢原理不能用来寻找究竟是哪个盒 子含有两件或更多件东西. 该原理只能证明某种安排或某种现象 存在,而并未指出怎样构造这种安排或 怎样寻找这种现象出现的场合. 从鸽巢原理出发, 对于许多实际问题, 我们可以导出非常有趣的结果. 利用鸽巢原理解决实际问题的关键是 要看出这是一个鸽巢问题, 建立“鸽 巢”，寻找“鸽子”.
n1
这与 m k m k 矛盾。因此，a k a k ... a k 成立。 这是一个长度为n+1的递减子序列，故结论成立。
j j1
mk mk
j
j
j1
1
1 2 n1
j
例12、将1, 2, …, 10随机地摆成一圆，则必有某相邻三数之 和至少是17。 证明：设 m i ( i 1, 2 , ..., 1 0表示该圆上相邻三个数之和（i居中）。 ) 这样的和共有10个。而1,2,…,10中的每一个都出现在这十个和的 三个之中，故
1928年, 年仅24岁的英国杰出数学家 Ramsey发表了著名论文《论形式逻辑 中的一个问题》, 他在这篇论文中, 提 出并证明了关于集合论的一个重大研 究成果, 现称为Ramsey定理. 尽管两年后他不幸去世, 但是他开拓的 这一新领域至今仍十分活跃, 而且近年 来在科技领域获得了成功的应用. 本讲主要介绍鸽巢原理、Ramsey数及 性质、 Ramsey定理及应用.
组合数学—第二章鸽巢原理和Ramsey定理(2)
定理推广（2） 将T 划分成E1, E2, … , Ek
设r,k≥1, qi≥r, i=1, 2, … , k, 是给定正整数，则存 在一个最小的正整数R(q1, q2, … , qk; r)，使得当 n≥R(q1,q2,…,qk;r) 时, 当n元集S 的所有r 元子集 划分成k 个子集族T1, T2, … , Tk，那么存在S 的q1 元子集A1, 其所有的r元子集属于T1, 或者存在S 的 q2元子集A2，A2的所有r 元子集属于T2, … ,或者 存在S 的qk 元子集Ak, 其所有的r元子集属于Tk .
2013年7月9日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.1 若 n(r－1) + 1个物品放入n个盒 子。则至少有一个盒子里含有r个或者更多 的物品。 推论2.2.2 若设有n个正整数m1 , m2 , … , mn 满足下面的不等式 (m1 + … +mn)/n > r－1, 则 m1,…, mn中至少有一个数≥ r 推论2.2.3 设m和n都是正整数且m>n，若将 m个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒 m 子中有大于等于 n 个物体
8 28 56 84 101 216 127 495 216 1031 282 1870
9 36 69 115 121 316 169 780 232 1713 317 3583 565 6588
10 40 43 92 149 141 442 178 1171 2826
6090
580 12677 798 23556
2013年7月9日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.3 设m和n都是正整数且m>n，若将 m个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒 m 子中有大于等于 n 个物体
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3.证明：集合中的每个元素都可写成2^5*a的形式，其中k>=0,并且a是奇数。对于1和2n之间的一个整数，a是n个数1,3,5，……2n-1中的一个，因此在所选的n,n+1,n+2……2n这n+1个整数中存在两个整数，当写成上述形式时，这两个数具有相同的a值。令这两个数是2^r*a,和2^s*a.如果r<s,那么第二个数就能被第一个数整除，如果r>s,那么第一个数就能被第二个数整除。
所以对任意n+1个整数，a1,a2,……,an+1存在两个整数ai和aj, i！=j,使得ai-aj能被n整除。
16.证明：在一群n>1个人中，他们的熟人数可为0,1,2，……，n-2共n-1种情况，根据鸽巢原理，存在两个人，他们在这群人中有相同数的熟人。
4.证明：将集合{1,2,……2n}划分成数对{1,2}，{3,4}，……{2n-1,2n},共n对，每组中的两个数相差为1，根据鸽巢原理，有n个盒子，从1,2,3，……，2n中选出n+1个数放入n个盒子中，则必有一个盒子中有两个数，所以总存在两等，1<=年龄之和<=600;因为1023>600,所以根据鸽巢原理，得只能够找出两组人，各组人的年龄和是相同的。
假设10能换成9，则
所以不能换成更小的数。
15.证明：任何一个整数被n除的余数是以下n个数之一：0,1,2,3，……n-1,由鸽巢原理，对于任意n+1个整数a1,a2,a3,……，an+1,它们除以n的余数至少有两个相同，设ai=q1*n+r,aj=q2*n+r,则ai-aj=q1*n+r-q2*n-r=(q1-q2)*n