第二章 鸽巢原理
组合数学第二章鸽巢原理课件PPT
目录
• 鸽巢原理的概述 • 鸽巢原理的证明 • 鸽巢原理的实例 • 鸽巢原理的扩展 • 鸽巢原理的应用练习
01
鸽巢原理的概述
鸽巢原理的定义
鸽巢原理，也称为抽屉原理，是一种基本的组合数学原理。它 指出，如果 n 个物体要放入 m 个容器中（n > m），且每个容 器至少有一个物体，那么至少有一个容器包含两个或两个以上 的物体。
THANKS
感谢观看
详细描述
整数划分问题是一个经典的数学问题，它探 讨了如何将一定数量的整数划分为若干个不 相交的子集。这个问题可以通过鸽巢原理进 行建模和解决，通过分析整数划分的可能性 和限制条件，我们可以找到最优的划分方案， 并理解其背后的数学原理。
04
鸽巢原理的扩展
有限制的鸽巢原理
总结词
在有限制的鸽巢原理中，除了满足鸽巢原理的基本条件 外，还对鸽巢和物品的数量或性质有一定的限制。
总结词
通过简单的实例，阐述了抽屉原理的基本概念和应用。
详细描述
抽屉原理是鸽巢原理的一种特殊情况，它指出如果n个物品要放到m个抽屉中（n > m），那么至少有一 个抽屉中会有两个或以上的物品。这个原理在组合数学中有着广泛的应用，例如在排列、组合和图论等领 域。
实例三：整数划分问题
总结词
通过整数划分问题，展示了鸽巢原理在解决 实际问题中的重要性和应用。
第二章 鸽笼原理
§2.2
ห้องสมุดไป่ตู้
鸽巢原理的一般形式
定理 2.2.1 设q及qi是正整数，i=1,2,…,n, 且 q≥q1+q2 + … +qn-n+1。 如把q个物体放n个盒子中，则必存在i 使得第 i 个 盒子中至少有qi个物体。 推论1 推论 把n(r-1)+1个物体放入n个盒子中，则至少 有一个盒子至少有r物体。
推论2 推论 对正整数mi，i = 1 , 2 , … , n有
n
∑m
i =1
i
n
> r − 1,
则至少存在i使得mi ≥r。 例1 在由每个包含n2+1个不同实数的序列中，存 在一个长为n+1的递增子序列或递减子序列。 例2 如将1,2,…,9,10随机地摆成一圈，则必存在某 相邻的三数之和到少为17。
例5 一棋手为参加比赛要进行77天的训练，如他每天至少下一盘棋， 且每周至多下12盘棋，则必存在相连续的若干天，在这段时间中他恰 好下21盘棋。 设ai表示他前i天下棋的总数，则 1≤a1 <a2 <… <a77 ≤11×12 把他们分别加上21得： 22≤a1+21 <a2 +21<… <a77+21 ≤11×12+21=153 a1，a2，…,a77,a1+21,…,a77+21,共有154个数且这些数介于1—153 之间,有鸽笼原理可知，至少存在两个相等的数。 有以上的分析可知，这两个数分别位于a1—a77(ai)和a1+21— a77+21(aj)之间。则aj=ai+21。即aj-ai=21.则有i+1—j天的时间共下了 21盘棋
六年级下数学广角-鸽巢问题知识点
第五单元：数学广角－鸽巢问题
【知识点一】“鸽巢原理”（一）
“鸽巢原理”（一）：把ｍ个物体任意分放进ｎ个鸽巢中（ｍ和ｎ是非０自然数，且
ｍ＞ｎ），那么一定有一个鸽巢中至少放进了２个物体。【知识点二】“鸽巢原理”（二）
“鸽巢原理”（二）：把多于ｋｎ个物体任意分进ｎ个鸽巢中（ｋ和ｎ是非０自然数），
那么一定有一个鸽巢中至少放进了（ｋ＋１）个物体。【知识点三】应用“鸽巢原理”解决简单的实际问题
应用“鸽巢原理”解题的一般步骤（１）分析题意，把实际问题转化成“鸽
巢问题”，即弄清楚“鸽巢”（“鸽巢”是什么，有几个鸽巢）
和分放的物体。（２）设计“鸽巢”的具体形式。（３）运用
原理得出某个“鸽巢”中至少分放的物体个数，最终解决问
题。
【误区警示】
误区一：判断：因为１１÷３＝３．．．．２，所以把１１本书放进３个抽屉中，总有一个
抽屉里至少放５本书。（√）
错解分析此题错在把这个抽屉至少放的书的本数用“３（商）＋２（余数）”
计算了，应该是“３（商）＋１”。
错解改正×
误区二：有红、绿、蓝三种颜色的小球各５个，至少取出几个能保证有２个同色的？
５×３÷３＝５（个）
错解分析此题错在把小球的总数作为要分放物体的数量了，求得的结果也是
与问题要求不符。本题属于已知鸽巢数量（３中颜色即３个
鸽巢）和分的结果（保证一个鸽巢里至少有２个同色的），
求要分放物体的数量，各种颜色小球的数量并与参与运算。
错解改正３＋１＝４（个）
【方法运用】运用逆推法解决鸽巢问题
典型例题把２５个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有５
个玻璃球？
思路分析由“鸽巢原理”（二）可知，用分放的物体总数除以鸽巢数量求出平均
《鸽巢原理》课件
鸽巢原理的启示与总结
启示一
鸽巢原理教导我们要善于利 用有限空间和资源，以达到 最佳效益。
启示二
鸽巢原理激发我们寻找创造 性解决问题的方法，尤其是 在资源紧缺的情况下。
总结
鸽巢原理是一个重要的设计 原则，可以帮助我们优化资 源利用并实现卓越的成果。
《鸽巢原理》PPT课件
破课题：解读《鸽巢原理》
鸽巢原理概述
1 什么是鸽巢原理
鸽巢原理是一种设计原则，灵感来自于鸽子筑巢的行为。它强调在有限空间内合理安排 和利用资源。
2 如何应用鸽巢原理
可以将鸽巢原理应用于各个领域，如产品设计、建筑规划和项目管理。它可以帮助我们 实现最优化的资源利用。
鸽巢来自百度文库理的案例分析
成功案例一
某公司利用鸽巢原 理重新设计了工作 场所布局，提高了 员工工作效率和舒 适度。
成功案例二
一位建筑师运用鸽 巢原理创建了一座 垂直农场，大幅度 增加了农作物的产 量。
失败案例一
一家餐馆在设计就 餐区时没有充分考 虑空间利用效率， 导致排队时间过长， 影响顾客体验。
失败案例二
一个项目团队没有 合理安排资源，导 致项目延期并超出 预算。
第二章、鸽巢原理和Ramsey定理
组合数学讲义(内部资料，严禁商用) 第二章 鸽巢原理和Ramsey 定理 2008-2009学年第二学期
第二章 鸽巢原理和Ramsey 定理
一、鸽巢原理
鸽巢原理是组合数学中的一个重要而又基本的原理，它可以用来解决很多日常生活和科学技术上的趣题，并且常能得到一些令人惊异的结果。这个原理有各种称呼，最常用的名称是鸽巢原理、Dirichlet 抽屉原理和鞋盒原理。
1、问题的引入
1) 366个人中必然有至少两个人生日相同。
2) 抽屉里散放着10双手套，从中任意抽取11只，其中至少有两只是成双的。
3) 某次会议有n 位代表参加，每位代表认识其他代表中某些人，则至少有两个人认识的人数是一样的。
4) 任给5个不同的整数，其中至少有3个数的和被3除尽。
这些例子的道理都很简单，以第一个例子为例，一年365天，366个人至少有一天是某两个人的生日。最后一例子也有类似的道理，5个数中至少有3个同为奇数或同为偶数，无论哪种情况，它们的和都能被3除尽。
2、鸽巢原理的简单形式
定理1、如果把1+n 只鸽子放入n 个鸽巢，则至少有一个鸽巢里含有两只或两只以上鸽子。
证明：反证法。假设每个鸽巢里至多包含一只鸽子，则n 个鸽巢里鸽子的总数小于等于n ，这与已知矛盾。
注：此原理不能用来寻找究竟是那个鸽巢里含有两只或两只以上鸽子。即此原理只能用来断定这种鸽巢的存在，并未指出怎样构造这种安排或怎样寻找出现这种现象的场合，除非检查所有的可能情况。
此原理的应用：
例1、 已知每个人的头发根数都小于20万，对20万人以上的城市就可以断定，至少有两个人头发根数相等。
六年级鸽巢原理知识点
六年级鸽巢原理知识点
鸽巢原理，也被称为鸽洞原理，是一种用于数据通信的冲突检测与解决机制。它模拟了鸽巢中繁殖鸽子的情况，通过对数据包进行编号，发送方根据接收方反馈的信息进行重传，以确保数据的可靠传输。在六年级的学习中，我们将了解鸽巢原理以及它的相关知识点。
一、鸽巢原理的基本概念
鸽巢原理是一种用于数据通信的技术原理，它确保了数据包的无碰撞传输。在数据通信中，当多个设备同时发送数据时，可能会发生冲突，导致数据包丢失或损坏。而鸽巢原理通过编号和重传机制，有效解决了这个问题。
二、鸽巢原理的工作原理
1. 编号：发送方将每个数据包进行编号，接收方收到数据后会对编号进行确认。
2. 传输与接收：发送方将数据包通过信道发送给接收方，接收方收到数据后进行解码。
3. 确认与重传：接收方对数据包的编号进行确认，如果出现丢失或损坏，会要求发送方进行重传。
4. 顺序保证：接收方会根据编号对数据包进行排序，以保证数据的顺序正确。
三、鸽巢原理的应用场景
1. 以太网中的冲突检测：在以太网中，多个计算机共享同一条通信线路，鸽巢原理被用于检测和解决数据冲突问题，保证数据的正常传输。
2. 无线传感器网络中的数据传输：无线传感器网络中的节点数量众多，节点之间需要进行数据的传输和接收，鸽巢原理保证了数据的可靠传输。
四、鸽巢原理的优缺点
1. 优点：
a. 解决了数据冲突问题，保证了数据的可靠传输。
b. 简单易懂，易于实现和应用。
c. 提高了数据传输的效率和吞吐量。
2. 缺点：
a. 需要进行数据包的编号和确认，增加了通信开销。
b. 在大规模网络中，可能会导致网络拥塞。
《鸽巢原理》教学设计
《鸽巢原理》教学设计
一、教学目标：
1.了解鸽巢原理的概念和意义。
2.掌握鸽巢原理的应用方法。
3.培养学生良好的观察和思维能力。
4.激发学生对科学原理的兴趣和探索精神。
二、教学内容：
1.什么是鸽巢原理？
2.鸽巢原理的应用领域。
3.鸽巢原理的实例分析。
三、教学过程：
1.导入（5分钟）
教师通过提问让学生思考一个问题：“你们小时候有没有让家人帮忙照看自己的宠物？你们的家人是怎么安排的呢？”引出鸽巢原理的概念。
2.讲解（20分钟）
教师通过幻灯片或者板书介绍鸽巢原理的概念和意义。解释鸽巢原理是在分配有限资源时，出现了两种极端情况：一种是资源不足，导致无法完成分配；另一种是资源过剩，导致浪费。鸽巢原理的目的就是通过合理的分配，既能达到效用最大化，又能避免资源的浪费。
3.探究（30分钟）
教师准备了几个小实验和材料：十个相同大小的木块、一把尺子。
（1）实验一：直线排列
教师将十个木块摆成一排，让学生测量总长度。然后再根据鸽巢原理
进行排列，让学生再次测量总长度。通过对比两次测量，让学生发现鸽巢
原理的应用。
（2）实验二：竖线排列
教师将十个木块摆成两列，让学生测量总高度。然后再根据鸽巢原理
进行排列，让学生再次测量总高度。通过对比两次测量，让学生发现鸽巢
原理的应用。
（3）实验三：三维排列
教师将十个木块摆成一个长方体，让学生测量长、宽、高的大小。然
后再根据鸽巢原理进行排列，让学生再次测量长、宽、高的大小。通过对
比两次测量，让学生发现鸽巢原理的应用。
4.拓展（15分钟）
教师给学生展示一些其他的鸽巢原理的实例，例如：编程的优化算法、物流配送中的最优路径规划等。让学生观察和思考这些实例中鸽巢原理的
组合数学第二章鸽巢原理
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例2.任意
个实数
组成的序列中，
必有一个长为n +1的递增子序列， 或必有一个长为 n +1的递降子序列。 例3. 将1到16这16个正整数任意分成三部分， 其中必 有一部分中的一个元素是该部分某两个元素之差 （三个元素不一定互不相同）。
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例6： （中国余数定理）设m,n为两个互素的正整数， a,b是满足 的整数。 证明：
存在正整数x,使得x除以m的余数为a，除以n的余数 为b，即存在p, q，使得
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2.2 鸽巢原理的加强形式
定理2.2.1: 设 都是正整数，如果把 个物品放入n个盒子，那么或者 第1个盒子中至少有q1个物品， 或者第2个盒子中至少 有q2个物品， ……, 或者第n个盒子中至少有qn个物品. 推论2.2.1: 若将n(r-1)+1个物品放入n个盒子中， 则至少有一个盒子中有r个物品。
《鸽巢原理》课件
做一做： 45只鸽子飞回8个鸽舍，至少有多少 只鸽子要飞进同一个鸽舍？为什么？
鸽巢原理：
m÷n=a… …b ( m>n>1)
把m个物体放进n个鸽巢里
a （ m>n>1），不管怎么放总有
一个鸽巢至少放进（ +1）个
物体。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
狄利克雷 （1805～1859）
“鸽巢原理”又称“抽屉原理”，
最先是由19世纪的德国数学家
小学数学六年级下册
把3本书放进两个抽屉，有几种放法？试试看。
方法一
(3,0)
方法二
(2,1)
例1、把4枝笔放进3个笔筒里，总有一
个笔筒里至少放进几枝笔？
至少放进2枝
如果我们先让每个笔筒里放1枝笔，最 多放3枝。剩下的1枝还要放进其中的一
个笔筒。所以不管怎么放，总有一个笔
筒里至少放进2枝笔。
想一想：
总有一枪至少打中（ ）环。
5 4、咱们班上有58个同学，至少有（ ）人在同一个
月出生。
2 5、从街上人群中任意找来20个人，可以确定，至少
有（ ）个人属相相同。
从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张扑克 牌任意抽牌。 （1）从中抽出18张牌，至少有几张是同花色？
18÷4=4（张）… …2 （张） 4+1=5（张） 答：至少有5张是同花色。 （2）从中抽出20张牌，至少有几张数字相同？
组合数学：3-2 鸽巢原理
2. Ramsey数
1928年，年仅24岁的英国杰出数学家Ramsey发表 了著名论文《论形式逻辑中的一个问题》。他在 这篇论文中提出并证明了关于集合论的一个重大 研究成果，现称为Ramsey定理。尽管两年后他不 幸去世， 但是他开拓的这一新领域至今仍十分活 跃，而且近年来在科技领域获得了成功的应用。
(v4v5) (v4v6) 为红边 △v1v5v6是蓝△?
设 (v5v6)为红边 √
N Y
设 (v4v5)为蓝边 △v2v3v5是红△?
N
设 (v2v5)为蓝边
Y
△v4v5v6是红△
√ △v2v4v5是蓝△
命题2 对6个顶点的完全图任意进行红、蓝两着色， 都至少存在两个同色三角形。
命题3 对10个顶点的完全图K10任意进行红、蓝两着 色，都或者存在一个红色K4，或者存在一个蓝色K3 。 命题4 对9个顶点的完全图K9任意进行红蓝两着色， 都或者存在一个红色K4，或者存在一个蓝色K3。
3.2 鸽巢原理
1. 鸽巢原理
2. Ramsey数
1. 鸽巢原理
鸽巢原理，又叫抽屉原则，结论非常简单。 n+1只鸽子放入n个鸽巢，则至少有一个鸽巢中至 少有两只鸽子。 例1 13个人中至少有2个人在同一个月过生日。 例2 从1到2n的正整数中任取n+1个，则至少存在 两个数，其中一个是另一个的倍数。
组合数学第二章鸽巢原理课件
直接证明法
总结词
通过直接逻辑推理，从已知条件出发，逐步推导结论。
详细描述
直接证明法是数学中最常用的证明方法之一。它基于已知条件和数学公理、定理等，通过逻辑推理逐步推导出结 论。在证明鸽巢原理时，可以从已知条件出发，按照逻辑顺序推导出结论，无需引入其他假设或反证。
反证法
总结词
通过假设与已知条件相矛盾的结论，推导出矛盾，从而证明原命题。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，尤其适用于证明否定形式的命题。在证明鸽巢原理时，可以先假设存 在不符合鸽巢原理的情况，然后推导出矛盾，从而证明原命题。这种方法的关键在于找到合适的反证 假设，并从中推导出矛盾。
构造证明法
总结词
通过构造具体的实例或反例来证明命题。
详细描述
构造证明法是一种直观、具体的证明方法。 在证明鸽巢原理时，可以通过构造具体的实 例或反例来证明命题。例如，可以构造一个 具体的鸽巢和物品的例子，通过实例来证明 鸽巢原理的正确性。这种方法可以直观地展 示命题的正确性，但需要注意构造的实例或 反例是否具有一般性。
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当有n+1个元素需要放入n个容器中时，根据鸽巢原理，至少有一个容器必须包 含至少两个元素。这是鸽巢原理最基本的形式，也被称为鸽巢原理的强形式。
第二鸽巢原理
总结词
在m个元素中放入n个容器，如果 m>n，那么至少有一个容器包含两 个或以上的元素。
Chapter2鸽巢原理ThePigeonholePrinciple课件
⑶鸽巢原理加强形式的直接表述：m只鸽子，n个 鸽 超只巢过鸽，m子则。1 至的（少最其有大中一整，个数mn鸽）1巢表里示有的不m 少n 1于取整m，n1即 不1
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
2、Ramsey（拉蒙赛）数有关性质： 性质一：r(m,n) = r(n,m)， r(m,2) = m .
证明： 性质二：对任意整数 m，n≥2，r(m,n) 一定存在.
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
[注]： 1）Ramsey（拉蒙赛）数 r(m,n) 即为使得 K p → K m ，K n 成立的最小整数 p ，Ramsey （拉蒙赛）定理给出了 r(m,n) 存在性的说明。 2）现已探明的拉蒙赛数或它的界列如下表：
n
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
⑷在初等数学中，鸽巢原理加强形式常用于 q1,q2,,qn 都等于同一个整数的特殊情况。此时，
第二章鸽巢原理
应用之一
一篮子水果有：苹果、香蕉、橘子，为 保证篮子中或者至少8个苹果，或者至少 6个香蕉，或者至少9个橘子，问放入篮 子的水果的最小数目是多少？
第二章鸽巢原理
一篮子水果有：苹果、香蕉、橘子，为 保证篮子中存在某种水果，它的数目至 少为8个，问放入篮子的水果的最小数目 是多少？
Ramsey数：rt(m1,……,mk)
第二章鸽巢原理
命题推广
存在一个集合S，如果将集合的每一个t 子集分为c1,…,ck等k类中的一种，那么只 要|S| ≥ rt(m1,……,mk) ，就满足：或者存 在m1个元素，这些元素的t子集都是c1类， 或者,……,或者存在mk个元素，这些元素 的t子集都是ck类.
第二章鸽巢原理
简单形式
在6个（或更多的）人中，或者有3个人， 他们中的每两个人都互相认识；或者有3 个人，他们中的每两个人都互相不认识
证明：1.穷举法 2.一个巧妙的方法！
K6K3, K3
第二章鸽巢原理
Kห้องสมุดไป่ตู้的定义
K1 K2 K3
K4
K5
Kn:由n个物体配成的全部 无序对的集合 平面上n个点的全连接图， 且任意三点不共线
第二章鸽巢原理
存在性证明
令m和n为两个互素的正整数，并令a和b 为两整数，且0 ≤ a ≤ m-1，0 ≤ b ≤ n-1， 于是存在一个正整数x，使得x除以m的余 数为a，并且x除以n的余数为b，即x可以 写成x=pm+a同时又可以写成x=qn+b的形 式，这里p和q是两个整数
组合数学(2)
根据鸽巢原理：n个数，0,1,2,3,…n-1中的每 个数作为余数都要出现；其中特殊的数b也是
如此。令p为整数，满足0≤p≤n-1 ，且使数
x = pm + a除以n余数为b。 则对于某个适当的q，有x = qn +b成立 因此x = pm + a且x = qn +b ，证毕
25
中国余数定理是说明：
0i k
a
2i 1
1 j k 1
a2 j 1 a2i 1 a2 j 1
i 0 j 0
k
k 1
2. 偶数做下标
a0 a2 a4 a2 k
0i k
a a
2i j 0
k
2j
4
3. 双下标
(a11 a12 a1n ) (a21 a22 a2 n ) (am1 am 2 amn )
Βιβλιοθήκη Baidu
h i 1
a
j
h
( p j m r j ) ( pi m ri ) ( p j pi )m
这时
m|
h i 1
a
j
h
例 6 设a1, a2, a3为任意三个整数,(b1, b2, b3)为
(a1, a2, a3)的一个任意置换排列，则: (ai - bi)(i=1, 2, 3) 中至少有一个是偶数。
第2章 鸽巢原理
内容提要
• 鸽巢原理：简单形式 • 鸽巢原理：加强形式 • Ramsey 定理
鸽巢原理又称抽屉原理或鞋盒原理, 这
个原理最早是由Dirichlet提出的. 鸽巢原理是解决组合论中一些存在性 问题的基本而又有力的工具. 它是组合 数学中最简单也是最基本的原理之一, 从这个原理出发, 可以导出许多有趣结 果,而这些结果常常是令人惊奇的. Ramsey理论对组合数学发展产生过重 要的影响.
例9、将两个大小不一的圆盘分别分成200个相等的扇形。在大圆盘上任 取100个扇形染成红色，另外的100个扇形染成蓝色，并将小圆盘上的扇 例 题 形任意染成红色或蓝色，然后将小圆盘放在大圆盘上且中心重合时，转 动小圆盘可使其每一扇形都叠放于大圆盘的某一扇形内。 证明：当适当转动小圆盘可使叠放的扇形对中，同色者至少100对。 证明：设使大小两盘中心重合，固定大盘，转动小盘，则有200个不同 的位置使小盘上的每个小扇形含在大盘上的小扇形中， （将这200种可 能的位置看作200个不同的盒子）。由于大盘上的200个小扇形中有100 个染成红色，100个染成蓝色，所以小盘上的每个小扇形在转动过程中， 无论染成红色或蓝色，在200个可能的重合位置上恰好有100次与大盘上 的小扇形同色（将同色的扇形看作放入盒子的物体）。因而小盘上的 200个小扇形在200个重合位置上共同色100200=20000次。而20000＞ 200(100-1)+1，由推论2.2.2知，存在着某个位置，使同色的小扇形数大 于等于100个。
全面的计算机2014组合数学—第二章鸽巢原理和Ramsey定理 - 副本
由（2.1.1）式知a1,a2,…，a77这77项互不相等， 从而a1+21,a2+21,…，a77+21这77项也互不相等 ，所以一定存在1≤i<j≤77，使得 aj=ai+21.
因此 21= aj-ai =(b1+b2+…+bi+bi+1+…+bj)-(b1+b2+…+bi) = bi+1+bi+2+…+bj. 这说明从第i+1天到第j天这连续j-i天中， 她刚好下了21盘棋。
2015年6月11日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
定理2.2.1的推论
推论2.2.1 若 n(r－1) + 1个物品放入n个盒 子。则至少有一个盒子里含有r个或者更多 的物品。
证明 在定理2.2.1中取q1=q2=…=qn=r即可。
2015年6月11日
第ຫໍສະໝຸດ Baidu章 鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.2 若设有n个正整数m1 , m2 , … , mn满足下面的不等式 (m1 + … +mn)/n > r－1, 则 m1,…, mn中至少有一个数≥ r 证明 由上面的不等式得 m1 + … +mn≥ (r－1)n+1， 由推论2.2.1， 存在mi，使得mi≥r。 另一个 平均原理？
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所以不能换成更小的数。
15.证明：任何一个整数被n除的余数是以下n个数之一：0,1,2,3，……n-1,由鸽巢原理，对于任意n+1个整数a1,a2,a3,……，an+1,它们除以n的余数至少有两个相同，设ai=q1*n+r,aj=q2*n+r,则ai-aj=q1*n+r-q2*n-r=(q1-q2)*n
第二章鸽巢原理
3.证明：集合中的每个元素都可写成2^5*a的形式，其中k>=0,并且a是奇数。对于1和2n之间的一个整数，a是n个数1,3,5，……2n-1中的一个，因此在所选的n,n+1,n+2……2n这n+1个整数中存在两个整数，当写成上述形式时，这两个数具有相同的a值。令这两个数是2^r*a,和2^s*a.如果r<s,那么第二个数就能被第一个数整除，如果r>s,那么第一个数就能被第二个数整除。
所以对任意n+1个整数，a1,a2,……,an+1存在两个整数ai和aj, i！=j,使得ai-aj能被n整除。
16.证明：在一群n>1个人中，他们的熟人数可为0,1,2，……，n-2共n-1种情况，根据鸽巢原理，存在两个人，他们在这群人中有相同数的熟人。
4.证明：将集合{1,2,……2n}划分成数对{1,2}，{3,4}，……{2n-1,2n},共n对，每组中的两个数相差为1，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ据鸽巢原理，有n个盒子，从1,2,3，……，2n中选出n+1个数放入n个盒子中，则必有一个盒子中有两个数，所以总存在两个整数，它们之间相差为1.
9．解：分的组数的总数为
与年龄之和相等，1<=年龄之和<=600;因为1023>600,所以根据鸽巢原理，得只能够找出两组人，各组人的年龄和是相同的。