11、5翻折与轴对称图形

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轴对称图形教案

轴对称图形教案作为一名优秀的教育工作者，通常需要准备好一份教案，教案是教学蓝图，可以有效提高教学效率。

那么应当如何写教案呢？以下是小编为大家整理的轴对称图形教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。

轴对称图形教案1【预习指导】：1观察、思考：议一议：观察图片揭示轴对称概念：像这样，把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,也称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点．2、动手操作：（1）演示操作（2）用一张正方形的纸片，折叠后，把下列图形剪出来，并与同学交流你的剪法.3、探索思考：观察图示轴对称图形概念：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.自学情况在黑板上反馈出来。

（每组4人上黑板）【典题选讲】：指出下列图形中的轴对称图形，画出它们的对称轴.是轴对称图形的是（填写序号）.【学习体会】；1、讨论、交流：轴对称与轴对称图形的区别与联系.2、说说生活中的轴对称和轴对称图形，与同学讨论、交流，同小组互相补充.【课堂练习】：1、课本第8页练习：1、2、32、判断题：（1）.轴对称图形只有一条对称轴.………（）（2）.两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形.………………（）（3）.全等的两个图形一定成轴对称. ……………（）（4）.轴对称图形指一个图形，而轴对称是指两个图形而言………（）轴对称图形教案2课题：复习圆、轴对称图形，数学教案－复习圆、轴对称图形。

教学目标：１、使学生进一步掌握相关图形的特征及运算。

２、使学生的空间观念和想象能力得到培养。

教学重点：公式及计算。

教学难点：技能技巧。

教具准备：小黑板幻灯机教学过程一、基本训练：１、口算：在听算本上听算《口算卡片》（３８）。

（１）统计３分钟以内做完的同学加以表扬，然后指名报答案。

【中考数学专题】10 与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析-

专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析专题导例如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．【分析】：先判断出Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），得出∠DAM＝∠CBN，进而判断出△DCE≌△BCE （SAS），得出∠CDE＝∠CBE，即可判断出∠AFD＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF＝AD＝3，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C 三点共线时，CF的长度最小．方法剖析轴对称的性质（1）对应线段相等，对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分；（2）轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，新旧图形具有对称性；（3）轴对称的两个图形，它们对应线段或延长线相交，交点在对称轴上.轴对称（折叠）的思考层次全等变换：对应边相等，对应角相等；对称轴性质：对应点所连线段被对称轴（折痕）垂直平分，对称轴（折痕）上的点到对应点的距离相等；指出：（1）在翻折下，前后的图形关于折痕成轴对称，注意前后的图形成镜面对称，即前后的图形的左右位置互换；（2）翻折或对称中建构勾股方程来求取线段长及对最值类问题进行探究；（3）轴对称常见的结构，折叠会产生垂直平分，等腰三形.导例答案：解：如图，在正方形ABC D中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF＝DO ＝AD＝3，在Rt△OD C中，OC ＝＝3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．故答案为：3﹣3．典型例题类型一：利用已知直线作对称图形进行证明例1、在等边△AB C中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）．（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．①依题意将图2补全；②证明：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．【分析】（1）先判断出∠BAD+∠CAD＝60°，进而得出∠BAD+∠E＝60°，即可得出结论；（2）①由对称性即可补全图形；②由对称性判断出DM＝DE，∠MDC＝∠EDC，再用三角形的外角的性质，判断出∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MDC，进而判断出△ADM是等边三角形，即可得出结论．类型二：对已知图形进行翻折进行证明例2．如图，矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）在线段AB上找一点P，连结FP使FP⊥AC，连结PC，试判定四边形APCF的形状，并说明理由，直接写出此时线段PF的大小．【分析】（1）根据矩形的性质、轴对称的性质可得到AD＝EC，AE＝DC，即可证到△DEC≌△EDA （SSS）；（2）易证AF＝CF，设DF＝x，则有AF＝4﹣x，然后在Rt△ADF中运用勾股定理就可求出DF的长．（3）根据三角形的内角和定理求得∠APF＝∠AFP根据等角对等边得出AF＝AP进而得出FC＝AP，从而证得四边形APCF是平行四边形，又因为FP⊥AC证得四边形APCF为菱形，然后根据菱形的面积S菱形＝PF•AC＝AP•AD，即可求得．专项突破1.如图，在Rt△AB C中，∠C＝90°，点D、E分别是BC、AB上一个动点，连接DE．将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC＝3，BC＝4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为．2．如图，正方形ABC D中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接F C．（1）求证：∠FBC＝∠CDF；（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论．3.已知矩形ABCD，其中AD＞AB，依题意先画出图形，然后解答问题．（1）F为DC边上一点，把△ADF沿AF折叠，使点D恰好落在BC上的点E处．在图1中先画出点E，再画出点F，若AB＝8，AD＝10，直接写出EF的长为；（2）把△ADC沿对角线AC折叠，点D落在点E处，在图2先画出点E，AE交CB于点F，连接BE．求证：△BEF是等腰三角形．4.如图，Rt△AB C中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上的一个动点（不与点A，B及A B中点重合），连接CD，点A关于直线CD的对称点为点E，直线BE，CD交于点F．（1）如图1，当∠ACD=15°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出∠BFC的度数；（2）如图2，当45°＜∠ACD＜90°时，用等式表示线段AC，EF，BF之间的数量关系，并加以证明．5．在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，CA＝C B．点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DE＝D A．作点E关于直线BC的对称点F，连接BF，DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠BDF；（3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明．6．如图①，在等腰三角形AB C中，AB＝AC＝8，BC＝14．如图②，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC＝∠AC D．如图③，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABE D．则BE的长是．7．在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP=α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E.（1）依据题意补全图形；（2）当α=20°时，∠ADC= ；∠AEC= ；（3）连接BE，求证：∠AEC=∠BEC；（4）当0°<α<60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．8.在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP与点E．（1）如图1，若∠P AB＝30°，则∠ACE＝；（2）如图2，若60°＜∠P AB＜120°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．9．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．10.【问题情境】如图①，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE＝CF．（不需要证明）【探索发现】如图②，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边△AB C中，AB＝4，点D是A B中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F．当CF＝2CE时，CE＝．11．在△AB C中，∠ACB＝90°，AC＜BC，点D在AC的延长线上，点E在BC边上，且BE＝AD，（1）如图1，连接AE，DE，当∠AEB＝110°时，求∠DAE的度数；（2）在图2中，点D是AC延长线上的一个动点，点E在BC边上（不与点C重合），且BE＝AD，连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF，DE．①依题意补全图形；②求证：BF＝DE．专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析例1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD+∠CAD＝60°，∵DE＝DA，∴∠CAD＝∠E，∴∠BAD+∠E＝60°，∵∠EDC+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠EDC；（2）①补全图形如图2所示；②∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，由对称性得，∠EDC＝∠MDC，由（1）知，∠EDC＝∠BAD，∴∠MDC＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MD C．∴∠ADM＝∠B＝60°，由对称性得，DM＝DE，∵DE＝DA，∴DA＝DM，∴△ADM是等边三角形，∴DA＝DM，即：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．例2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∵△AEC由△ABC翻折得到，∴AB＝AE，BC＝EC，∠CAE＝∠CAB，∴AD＝CE，DC＝EA，∠ACD＝∠CAE，在△ADE与△CE D中，，∴△DEC≌△EDA（SSS）；（2）解：如图1，∵∠ACD＝∠CAE，∴AF＝CF，设DF＝x，则AF＝CF＝4﹣x，在RT△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即32+x2＝（4﹣x）2，解得；x＝，即DF＝．（3）解：四边形APCF为菱形，设AC、FP相较于点O∵FP⊥AC∴∠AOF＝∠AOP又∵∠CAE＝∠CAB，∴∠APF＝∠AFP∴AF＝AP∴FC＝AP又∵AB∥CD∴四边形APCF是平行四边形又∵FP⊥AC∴四边形APCF为菱形，在矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，∴AC＝5，∵S菱形＝PF•AC＝AP•AD，∵AP＝AF＝4﹣＝∴PF＝＝．专项突破1.解：∵折叠∴BD＝DF，∵点F落在AC的三等分点上∴CF＝1或CF＝2，若CF＝1时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+1∴BD＝当CF＝2时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+4∴BD＝故答案为：或2．解：（1）∵ABCD为正方形，∴∠DCE＝90°．∴∠CDF+∠E＝90°，又∵BF⊥DE，∴∠FBC+∠E＝90°，∴∠FBC＝∠CDF（2）如图所示：在线段FB上截取FM，使得FM＝F D．∵∠BDC＝∠MDF＝45°，∴∠BDM＝∠CDF，∵＝＝，∴△BDM∽△CDF，∴＝＝，∠DBM＝∠DCF，∴BM＝CF，∴∠CFE＝∠FCD+∠CDF＝∠DBM+∠BDM＝∠DMF＝45°，∴∠EFG＝∠EFC＝45°，∴∠CFG＝90°，∵CF＝FG，∴CG＝CF，∴BM＝CG，∴BF＝BM+FM＝CG+DF．补充方法：连接GM，证明四边形BMGC是平行四边形即可．3.解：（1）如图1，在BC上截取AE＝AD得点E，作AF垂直DE交CD于点F（或作∠AED的平分线AF交CD于点F，或作EF垂直AE交CD于点F等等），∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝6，∴EC＝10﹣6＝4，设EF＝DF＝x，在Rt△EF C中，则有x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，∴EF＝5．故答案为：5；（2）证明：如图2，作DH垂直AC于点H，延长DH至点E，使HE＝DH．方法1：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，AB＝DC＝EC，在△ABE与△CE B中，，∴△ABE≌△CEB（SSS），∴∠AEB＝∠CBE，∴BF＝EF，∴△BEF是等腰三角形．方法2：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，∠DAC＝∠EAC，又∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，∴F A＝FC，∴FE＝FB，∴△BEF是等腰三角形．4.（1）如图1中，连接E C．∵A，E关于CD对称，∴∠DCA=∠DCE=15°，CA=CE=C B．∵∠ACB=90°，∴∠ECB=60°，∴△ECB是等边三角形，∴∠CEB=60°，∵∠CEB=∠BFC+∠DCE，∴∠BFC=60°-15°=45°．（2）结论：EF2+BF2=2AC2．理由：如图2，连接CE，AF，延长AC交FE的延长线于点G．∵A，E关于CD对称，∴AC=CE，AF=EF，又∵CF=CF，∴△ACF≌△ECF（SSS），∴∠CAF=∠1，∵AC=BC，∴BC=CE，∴∠1=∠2，∴∠CAF=∠2，∵∠ACB=90°，∴∠G+∠2=90°，∴∠CAF+∠G=90°，∴∠AFG=90°，在Rt△AF B中，AB2=AF2+BF2，在Rt△AB C中，AB2=AC2+BC2=2AC2，∴BF2+AF2=2AC2，∴BF2+EF2=2AC2．5．（1）如图所示：（2）∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠CBA＝45°，∴∠CAD+∠DAB＝45°，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEB，∵∠DBA是△DBE的一个外角，∴∠EDB+∠DEB＝∠DBA＝45°，∴∠EDB＝∠CAD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴∠EDB＝∠FDB，∴∠CAD＝∠FDB；（3）线段AB，BD，BF之间的数量关系是AB﹣BF=√2BD，证明：过点D作AC的平行线交AB于M点，∴∠C＝∠MDB＝90°，∠CAB＝∠DMB＝45°，∴∠DMB＝∠DBM，∴DM＝DB，∴MB=√2BD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴DE＝DF，∵AD＝DE，∴AD＝DF，∵AC∥MD，∴∠CAD＝∠ADM，∵∠CAD＝∠FDB，∴∠ADM＝∠FDB，∴△ADM≌△FDB（SAS），∴AM＝BF，∴AB﹣BF＝AB﹣AM＝MB，又∵MB=√2BD，∴AB﹣BF=√2B D．6.解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴＝，∴BE ＝＝＝．故答案为：．7．（1）如图；EDP（2）40°；60 °；（3）证明：∵点B关于射线AP的对称点为点D，∴△BAE≌△DAE．∴∠BAE=∠DAE=α．∵AD=AB=AC，∴∠ADC=()1806022α︒-︒+=60°－α．∴∠AEC=60°．∵∠ACB=60°，∠ACD=∠ADC=60°－α，∴∠BCE=α．∵∠ABC=60°，∠ABE=∠ADC=60°－α，∴∠BEC=60°．（4）证明：法一：在CD上截取AF=AE．F EDAB C P∵∠AEF =60°，∴△AEF 是等边三角形．∴∠AFC =∠AED =120°．∵∠ACD =∠ADC =60°－α，∴△ADE ≌△ACF ．∴DE =CF ．∴CD =2DE +EF ．∵AE =EF ，∴CD =2DE +AE ．法二：在CD 上截取BG =BE ．GEDAB C P∵∠BEC =60°，∴△BEG 是等边三角形．∴∠BGC =∠AED =120°．∵∠BCE =∠DAE =α，∴△BCG ≌△DAE ．∴AE =CG ．∵EG =BE =DE ，∴CD =2DE +CG ．∴CD =2DE +AE ．8.解：（1）连接AD ，如图1．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，∠DAP ＝∠BAP ＝30°，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝120°，∴2∠ACE +60°+60°＝180°，∴∠ACE ＝30°，故答案为：30°；（3）线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．证明：连接AD ，EB ，如图2．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，DE ＝BE ，∴∠EDA ＝∠EBA ，∵AB ＝AC ，AB ＝AD ，∴AD ＝AC ，∴∠ADE ＝∠ACE ，∴∠ABE ＝∠ACE ．设AC ，BE 交于点F ，又∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠BAC ＝∠BEC ＝60°，∴线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．9．(1)根据折叠，∠DBC ＝∠DBE ，又AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DF ＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形(2)①菱形，理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴FD ∥BG ，又∵FD ∥BG ，∴四边形BFDG 是平行四边形，∵DF ＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形②∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10.∴OB ＝12BD ＝5.设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x .∴在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254，即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝（254）2－52＝154，∴FG ＝2FO ＝152 10.解：【问题情境】证明：∵在Rt △AB C 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为A B 中点， ∴CD ⊥AB ，CD ＝BD ＝AD ＝AB ，∠BCD ＝∠B ＝45°，∴∠BDC ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF；【探索发现】成立，理由：∵在Rt△AB C中，D为A B中点，∴CD＝BD，又∵AC＝BC，∴DC⊥AB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠EDB+∠BDF＝∠CDF+∠BDF＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴∠ADF＝∠CDE，∴AF＝CE，∴CF＝BE；【类比迁移】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵∠FDE＝60°，∴∠BDF＝120°﹣∠ADE，∠AED＝120°﹣∠ADE，∴∠BDF＝∠AED，∴△ADE∽△BDF，∴，∵点D为A B中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2，AC＝BC＝4，∵CF＝2CE，∴设CE＝x，则CF＝2x，当点E在线段AC上时，∴AE＝4﹣x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝3﹣，x＝3+（不合题意，舍去），∴CE＝3﹣，如图④，当点E在AC的延长线上时，∵AE＝4+x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝﹣1+，（负值舍去），∴CE＝﹣1+．综上所述，CE＝3﹣或﹣1+，故答案为：3﹣或﹣1+．11.解：（1）∵∠AEB＝110°，∠ACB＝90°，∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ACB＝20°；（2）①补全图形，如图所示．②证明：由题意可知∠AEF＝90°，EF＝AE．∵∠ACB＝90°，∴∠AEC+∠BEF＝∠AEC+∠DAE＝90°．∴∠BEF＝∠DAE．∵在△EBF和△ADE中，，∴△EBF≌△ADE（SAS）．∴DE＝BF．。

16图形的翻折与轴对称(学生)

（3）只是中心对称图形的有：平行四边形等；
（4）既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等．
热身练习
1.下列图案中，既是中心对称又是轴对称的图案是()
ABCD
2.某校计划建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等边三角形、等腰梯形、菱形、正五边形等四种方案，你认为符合条件的是（）
5.下列说法正确的是（）
A．圆的直径是对称轴B．角的平分线是对称轴
C．角的平分线所在直线是对称轴D．长方形只有4条对称轴
二、填空题
6.图形在平移、翻折、旋转等运动过程中，图形的发生变化，但和
不变.
7.下列几张扑克牌中，中心对称图形的有张.
8.如图，观察下列用纸折叠成的图案，其中轴对称图形的个数为个.
（1）写出旋转角的度数及旋转方向.
（2）在图中经过旋转后能够重合的三角形共有哪几对？
（3）如果∠2=40°，那么∠BDE=.
A、等边三角形B、等腰梯形C、菱形D、正五边形
3.下列图案是中心对称图形，不是轴对称图形的是（）
ABCD
4.下列说法正确的是()
A、两个会重合的三角形一定成轴对称.
B、两个会重合的三角形一定成中心对称.
C、成轴对称的两个图形中,对称线段平行且相等.
D、成中心对称的两个图形中,对称线段平行（或在同一条直线上）且相等.
巩固练习
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A B C D
2.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
3.等边三角形的对称轴有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
4.下列图形中，是轴对称图形的有（）个
①角；②线段；③等腰三角形；④直角三角形；⑤圆；⑥锐角三角形.

轴对称图形性质及应用

轴对称图形的性质及应用假如把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完整重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．轴对称图形拥有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连结两个对称点的线段的垂直均分线．在几何证题、解题时，假如是轴对称图形，则常常要添设对称轴以便充足利用轴对称图形的性质．比如，等腰三角形常常添设顶角均分线；矩形和等腰梯形问题常常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题常常添设对角线等等．此外，假如碰到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形经过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．例 1 已知直线l外有必定点P ，试在 l 上求两点 A ， B ，使 AB m （定长），且PA PB 最短．剖析：当把 P 点沿 l 方向平移至 C （如图1），使 PC m ，那么问题就转变成在l 上求一点 B ，使 CB PB 为最短．作法：过 P 作 PC // l ，使 PC m ，作 P 对于 l 的对称点 P ，连结 CP 交 l 于B．在l 上作 AB m，点 A ， B 为所求之两点．证：在 l 上另任取 A B m ，连PA，PA ， PB ，CB ，A P ， B P ，则 PA P A ，PB PB ，又 PABC为平行四边形，∴CB PA ．∵CB ＋ BP ＞CP ，∴PA ＋ PB ＞PA＋PB．例 2 如图 2，△ ABC 中，P为∠ A 外角均分线上一点，求证：PB＋ PC＞ AB＋AC ．剖析：因为角均分线是角的对称轴，作AC对于AP的轴对称图形AD，连结 DP，CP，则 DP ＝ CP， BD ＝ AB＋ AC．这样，把 AB ＋AC， AC， PB， PC 集中到△ BDP 中，进而由PB＋ PD ＞BD，可得 PB ＋PC＞AB ＋AC．证：（略）．评论：经过变成轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用（如AB＋ AC 化直为 BD）．例 3 等腰梯形的对角线相互垂直，且它的中位线等于m ，求此梯形的高．解：如图 3．设等腰梯形AD∥ BC，AB＝ DC，对角线 AC 与 BD 订交于 O，且 AC⊥BD ，中位线 EF ＝ m.过 AD ， BC 的中点 M， N 作直线，由等腰梯形 ABCD 对于直线 MN 成轴对称图形，∴ O 点在 MN 上，且 OA＝ OD，OB＝ OC， AM＝ DM ，BN＝ CN．又 AC⊥ BD，故△ AOD 和△ BOC 均为等腰直角三角形． 2OM ＝ AD，2ON＝ BC．∵ AD＋ BC＝ 2EF＝ 2m，∴2OM ＋ 2ON＝ 2m．∴ OM ＋ ON＝m，即梯形高MN ＝m．例 4 凸四边形EFGH 的四个极点分别在边长为 a 的正方形ABCD的四条边上．求证：EFGH 的周长不小于22a ．证：如图 4，连结AA2， EE3．正方形ABCD 和正方形A1BCD 1对于 BC 对称； EFGH FG H对于 BC 对称； A BCD和ABCD对于CD对称；E FG H和 E F G H对于和E1 1111 2 11111 1 2 112CD1对称； A2B1CD 1和 A2B2C1D 1对于 A2D1对称，E2F1 G1H 2和 E3F2G2H2对于 A2D 1对称．AA2 2 2a ，又AE A2 E3EE3AA2 2 2aEF FG GH HE EF FG1 G1H 2H 2 E3≥ EE3AA2 2 2a 例 5假如一个四边形对于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．已知：如图5．四边形ABCD 中，M， F， N， E 分别为各边的中点，且MN ，EF 为它的对称轴．求证： ABCD 是矩形．剖析：欲证 ABCD 是矩形，第一证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．证：∵四边形ABCD 对于 EF 成轴对称，∴DC⊥ EF ，AB⊥ EF ，∴ AB∥ DC ．同理AD ∥BC．∴ ABCD 是平行四边形．∴DC＝ AB．DC， AF ABAD∥ EF，又∵ DE．∴ D E AF ，∴ ADEF 为平行四边形．∴22而 DE ⊥ EF，∴ DE ⊥AD ，∠ D＝90o．∴ ABCD 是矩形．轴对称应用举例山东徐传军生活中好多图形的形状都有一个共同的特征———轴对称．在平时生活中利用轴对称的性质能解决好多问题，下边举例说明．一、确立方向例 1如图1，四边形ABCD 是长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于E、 F 两点的地点，试问，如何撞击黑球E，才能使黑球先碰撞台边DC，反弹后再击中白球 F ？解：作 E 点对于直线CD 的对称点E′，连结 FE ′，与 CD 的交点 P 即为撞击点，点P 即为所求．例 2如图2，甲车从A处沿公路L 向右行驶，乙车从 B 处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度同样，乙车要在最短的时间追上甲车，请问乙车行驶的方向？解：作 AB 的垂直均分线 EF，交直线 L 于点 C，乙车沿着 BC 方向行驶即可．二、确立点的地点找最小值例 3 如图 3，AB ∥ CD ，AC⊥ CD ，在 AC 上找一点Ｅ ,使得 BE+DE 最小．解：作点 B 对于 AC 的对称点 B′,连结 DB ′，交 AC 于点 E，点 E 就是要找的点．例 4如图4，点A是总邮局，想在公路L1 上建一分局D，在公路 L2 上建一分局E，使 AD +DE +EA 的和最小．解：作点 A 对于 L1 和 L2 的对称点B、C．连结 BC，交 L1 于点 D，交 L2 于点 E．点D、 E 就是要找的点．三、与其余学科联合唐代某地建筑了一座十佛寺，完工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰到好处，你能对出下联来吗?春联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生经过，感觉庙前没有下联不像话，十分感触．一连几日在庙前冥思苦想，未能对出下联，有次在庙前漫步，看见一条大船由远而来，船夫正用力的摇橹，这时李生突发灵感，对出了下联———“一舟二橹四人摇过八仙桥”．太守再次经过此庙时，看到下联，连连夸赞“妙妙妙”．这副春联数字对数字，事物对事物，对称美这样的和睦．可见，对称美在文学方面也有生动深刻的表现．生活中的轴对称无处不在,只需你擅长察看,将会发现此间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的耐人回味的享受．用轴对称解本质问题山东于秀坤在我们本质生活中，很多问题设计到轴对称的应用，下边介绍几例.例 1要在河岸所在直线l 上修一水泵站，分别向河岸同侧的A、B 两村送水，请你设计水泵站应修在哪处，所用管道最短？剖析：设水泵站修在 C 点，本题的本质是求折线AC+BC 的最短长度，可作出 A 点关于直线 l 的对称点A′，如图 1，依据对称性， AC+BC=A′C+BC，因此连结BA′交直线 l 于点C，点 C 即是水泵站的地点，因为此时折线长AC+CB 化成线段A′B 的长，依据两点之间线段最短的道理即可确立点 C 是水泵的地点．图1图2例 2 如图 2，角形铁架∠ MON 小于 60°，A、 D 是 OM 、 ON 上的点，为本质应用的需要，须在 OM 和 ON 上各找点 B、 C，使 AB+BC+CD 最小，问应如何找？剖析：学习了轴对称，能够利用对称性化折为直的道理，分别作出点A、点 D 对于ON、 OM 的对称点A′、 D ′，连结 A′D′与 ON、 OM 交于 B、 C，则点 B、 C 即是所求的点．例 3如图3，EFGH是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于A、B 两点的地点．（ 1）试问：如何撞击黑球A，使黑球 A 先碰撞台边EF 反弹后再撞击白球B？（ 2）如何撞击黑球A，使黑球先碰撞台边GH 反弹后再击台边EF ，最后击白球B？图 3剖析：利用轴对称的性质，分别作出 B 点对于 EF 的对称点， A 点对于 HG 的对称点，问题得解．解：（ 1）①作点 B 对于 EF 的对称点 B′，②连结 AB ′交 EF 于 C 点，则沿 AC 撞击 A，球 A 必沿 BC 反弹击中白球 B（如图 4）．图4图5（ 2）如图 5，作法近似（ 1）．例 4如图5，小河畔有两个乡村，要在河对岸建一自来水厂向 A 村与 B 村供水，要切合条件：（1）若要使厂部到 A、B 的距离相等，则应选在哪儿？（2）若要使厂部到 A 村、 B 村的水管最省料，应建在什么地方？图5图6图7解：（ 1）如图 6，取线段 AB 的中点 G，过中点 G 作 AB 的垂线 ,交 EF 于 P，则 P 到 A、B的距离相等．（2）如图 7，作点 A 对于河岸 EF 的对称点 A′，连结 A′B 交 EF 于 P，则 P 到 A、 B 的距离和最短．用轴对称知识解决打台球一题山东于秀坤题目：小强和小勇利用课本上学过的知识来进行台球竞赛．（ 1）小强把白球放在如图 1 所示的地点，想经过击打白球撞击黑球，使黑球撞AC 边后反弹进 F 洞；想一想看小强这样击打，黑球能进 F 洞吗？请绘图的方法考证你的判断，并说明原因．图 1（ 2）小勇想经过击打白球撞击黑球，使黑球至多撞台球桌边一次后进 A 洞，请你猜想小勇有几种方案？并分别在下边的台球桌上画出表示图，解说你的原因．剖析：本题是一道操作型研究题，主要依据轴对称的知识的相关进行研究．第(1)题可以经过击打AC 边使球反弹进 F 洞．第 (2) 题有多种方法．击球入洞需要对每一杆的角度进行适合的估量，本质上等同于几何角度的计算，两者有着亲密的关系．要想至多撞台球桌边一次击黑球于 F 洞．方案能够有以下状况：(1)不击台球桌边，直接用白球撞击黑球;(2)经过白球击CF 边反弹再撞击黑球进 A 洞； (3) 用白球撞击DF 边反弹撞击黑球进 F 洞．要想正确撞击黑球，一定找准击球的方向角度，正确估量击球的方向．在数学上，能够借助轴对称的知识来解决问题．解 : (1)如图 2，将白球与黑球视为两点，过这两点画直线交台球桌边AC 于 M ，过点 M作法线 MN ⊥ AC，在 MN 右边∠ F′MN=∠ PMN ，因为射线 MF ′过 F 洞，知黑球经过一次反弹后必进入 F 洞．图 2（ 2）方案 1：如图 3，视白球、黑球为两点P， G，使 A、 G、 P 在同向来线上．方案 2：如图 4，延伸 AC 到 H 点，使 AC=CH ，连结 GH 交 FC 于点 K，依据轴对称的知识可知，用白球沿GK 方向撞击边CF 反弹后可进行 A 洞．方案 3：如图 5，延伸 AD 到 M 点，使 MD =AD，连结 GM 交 DF 于 N，依据轴对称知识可知，沿GN 方向用白球撞击黑球经反弹后可进入 A 洞．图3图4图5最短线路问题河北欧阳庆红吴立稳同学们，对于最短线路问题你必定很陌生吧 ?运动着的车、船、飞机，包含人们每日走路都要碰到这样的问题．古今中外的任何旅游者总希望追求最正确的旅游路线，尽量走近道，少走冤枉路．我们把这种求近道的问题统称最短线路问题．此外，从某种意义上说，一笔划问题也属于这种问题，这种问题在生产、科研、生活中应用宽泛．请同学们看下边几个生活中的最短线路问题．一、两点一线问题例 1 如图 1，某同学打台球时想绕过黑球，经过击黑球A，使主球 A 撞击桌边 MN后反弹，来击中白球 B．请在图中注明，黑球撞在 MN 上哪一点才能达到目的？(以球心 A、B 来代表两球 )?剖析：要撞击黑球 A，使黑球 A 先撞击台边 MN 上的 P 点后BA反弹击中白球 B，需∠ APN=∠BPM ，如图 2，可作点 A 对于 MN的对称点 A’，连结 A’B 交 MN 于点 P，则 P 点即为所求作的点．M P N图 1作法 : （图 2）：⑴作点 A 对于 MN 的对称点A’；⑵连结 A’B，交 MN 于 P．则经 AP 撞击台边 MN ，必沿 P B 反弹击中白球B．∴点 P 就是所要求的点．说明：本题黑球A，白球 B 在 MN 的同侧，直接确立撞A击点的地点不简单，但若A、 B 在 MN 的异侧，击球路线就BB简单确立了．本题可利用轴对称的特点将 A 点转变到 MN 的P NM另一侧，设为 A’，连结 A’B 即可确立撞击点．A’图 2二、一点两线问题例 2 在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图 3），岸与小岛有一桥相连．现准备在小岛的三边小上各建立一个水质取样点．水利部门在岸边建立了一个岛观察站，每日有专人从观察站步行去三个取样点取样，而后带回去化验．请问，三个取样点应分别设在什么位观察点置，才能使得每日取样所用时间最短(假定速度必定 )?图 3剖析：本题要求时间最短，而速度必定，因此可转变成求最短行程．如图4，小桥为必走之路，因此简单获得 D 为边上的取样点．重点是确立此外两边上的取样点，这BC是线段之和最小的问题，我们的想法是将三条线段拼起来，对于线段最短，我们有“两点之间，线段最短” ，利用对称即可使问题获得解决．分析：如图 4，作点 D 对于 AB 的对称点F；点 D 关AF MN于 AC 的对称点 G，连结 FG，交 AB 于 M，交 AC 于 N．∴ D 、M、N 即所求三个取样点．（请同学们试着证一证）．BD CE三、同类变式图 4DEG例 3某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图５中的AO，BO）， AO 桌面上摆满了糖果， BO 桌面上摆满了桔子，坐在C处的学生小亮先拿糖果再拿桔子，而后回到座位，请你帮他设一条行走路线，使其所走的总行程最短？剖析：本题是轴对称的特别应用，需分两种状况议论：①∠ AOB 小于 90°；②∠ AOB 等于 90°。

轴对称图形中心对称图形的定义及性质

16章轴对称图形和中心对称图形轴对称1.如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。

2.如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。

（对于一个图形来说）3.把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称。

这条直线就是对称轴。

两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点。

（对于两个图形来说）4.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。

中心对称5.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

6.于中心对称的两个图形是全等形。

7.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

8.关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）垂直平分线9.经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。

垂直平分线，简称“中垂线”。

10.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

11.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

12.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

13.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

14.到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

1st17章特殊三角形等腰三角形及等边三角形1.有两边相等的三角形是等腰三角形。

2.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。

3.三边都相等的等腰三角形是等边三角形。

4.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都为60°，5.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

人教版八年级上册数学-13《轴对称》知识点及典型例题

⼈教版⼋年级上册数学-13《轴对称》知识点及典型例题第⼗三章《轴对称》⼀、知识点归纳（⼀）轴对称和轴对称图形1、有⼀个图形沿着某⼀条直线折叠，如果它能够与另⼀个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果⼀个图形沿⼀条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意⼀对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应⾓相等。

5．画⼀图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（⼆）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是⼀个具有特殊形状的图形，把⼀个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成⼀个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与⼀条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）所以线段的垂直平分线能够看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）⽤坐标表⽰轴对称2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹⾓平分线对称点P（x，y）关于第⼀、三象限坐标轴夹⾓平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第⼆、四象限坐标轴夹⾓平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平⾏于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三⾓形1、等腰三⾓形性质：性质1：等腰三⾓形的两个底⾓相等（简写成“等边对等⾓”）性质2：等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线、底边上的⾼相互重合。

第2章《轴对称图形》知识讲练(学生版)

2023-2024学年苏科版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够，这个图形就叫做，这条直线就是它的 .轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小，是；②如果两个图形关于，则对称轴是任何一对对应点所连线段的；③两个图形关于，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的．（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由组成的图形，只要作出图形中的一些的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的点（,）关于轴对称的点的坐标为；点（,）关于轴对称的点的坐标为；点（,）关于原点对称的点的坐标为知识点02：线段、角的轴对称性（1）线段是形，线段的垂直平分线是它的 .（2）线段垂直平分线的性质定理；（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：（1）角是图形，是它的对称轴.（2）角平分线上的相等.（3）角的内部到 .知识点03：等腰三角形x y x x y y x y（1）定义：有两边相等的三角形，叫做 .（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“”；②等腰三角形线互相重合（简称“”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于 .（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“”）.（1）定义：的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角，并且每个角都等 .（3）等边三角形的判定：①是等边三角形；②是等边三角形；③是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70°B．45°C．35°D．50°2．（2分）（2023春•仪征市期末）如图，M、N是△ABC边AB、AC上的点，△AMN沿MN翻折后得到△DMN，△BMD沿BD翻折后得到△BED，且点E在BC边上，△CND沿CD翻折后得到△CFD，且点F在边BC上，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝（）3．（2分）（2022秋•镇江期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠BED的度数为（）A．118°B．108°C．120°D．116°4．（2分）（2022秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，点P在线段AC上且不与A、C重合，则∠BPC的度数可能是（）A．60°B．65°C．80°D．130°5．（2分）（2022秋•鼓楼区期末）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2分）（2022秋•如东县期末）如图，∠BAC＝90°，△ABC面积为12，AD平分∠BAC交BC于D，BE⊥AD 交AD的延长线于E，连接CE，则△AEC的面积为（）7．（2分）（2022秋•丹徒区期末）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D，△ABC的面积为8，则△ACD的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（2分）（2022秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝54°，AD是斜边BC上的中线，将△ABD沿AD翻折，使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，则∠AED的度数为（）A．120°B．108°C．72°D．36°9．（2分）（2022秋•邳州市期末）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．910．（2分）（2022秋•锡山区期中）如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（）A．190°B．195°C．200°D．210°二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•沭阳县期末）如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线，分别交AB，AC于E，F，则△AEF的周长是．12．（2分）（2022秋•徐州期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AC＝5，DE＝2，△ACD面积为．13．（2分）（2022秋•海陵区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点B'处，则线段B'F的长为．14．（2分）（2023春•清江浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝3，则AB ＝．15．（2分）（2023春•大丰区期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝126°，∠B与∠ADC互为补角，点E在BC上，将△DCE沿DE翻折得到△DC′E，若AB∥C′E，DC′平分∠ADE，则∠A的度数为°．16．（2分）（2022秋•邗江区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为cm．17．（2分）（2022秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，若AB＝8，OD＝1，则△AOB的面积为．18．（2分）（2022秋•玄武区期末）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD．如果∠BAC＝40°，则∠CBD的度数是．19．（2分）（2022秋•亭湖区期末）如图所示，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝s时，△POQ是等腰三角形．20．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿着AC翻折，点B 落在点D处，连接BD．如果∠BAC＝35°，则∠CBD的度数是．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（8分）（2022秋•如东县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，直接写出点P的坐标．22．（8分）（2022秋•兴化市校级期末）如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形．23．（8分）（2023春•高邮市期末）已知：如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AC上，DE∥AB，EF平分∠DEC．（1）判断EF与BD的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝2AD，CE＝2BE，CF＝2DF，且△ABC的面积为27，求△DEF的面积．24．（8分）（2022秋•常州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点连接DF、EF．（1）求证：DF＝EF；（2）连接DE，若AC＝2，ED＝1．①判断△DEF的形状，并说明理由；②＝．25．（8分）（2022秋•江都区期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．26．（10分）（2022秋•工业园区校级月考）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r＝．若不存在，请说明理由．27．（10分）（2022秋•淮安区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）BP＝（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？。

自学初中数学资料折叠问题图形的翻折、轴对称(资料附答案)

自学资料一、图形的翻折、轴对称【知识探索】1．如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．【说明】（1）两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；（2）在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴．2．把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．【错题精练】第1页共26页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训第2页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训例1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP ，连接B′A ，则下列判断：①当AP=BP 时，AB′∥CP ；②当AP=BP 时，∠B′PC=2∠B′AC③当CP ⊥AB 时，AP=175；④B′A 长度的最小值是1．其中正确的判断是______ （填入正确结论的序号）【解答】解：①∵在△ABC 中，∠ACB=90°，AP=BP ，∴AP=BP=CP ，∠BPC=12（180°-∠APB′），由折叠的性质可得：CP=B′P ，∠CPB′=∠BPC=12（180°-∠APB′），∴AP=B′P ，∴∠AB′P=∠B′AP=12（180°-∠APB′），∴∠AB′P=∠CPB′，∴AB′∥CP ；故①正确；②∵AP=BP ，∴PA=PB′=PC=PB ，∴点A ，B′，C ，B 在以P 为圆心，PA 长为半径的圆上，∵由折叠的性质可得：BC=B′C ， ∴BC ̂=B′C ̂，∴∠B′PC=2∠B′AC ；故②正确；③当CP ⊥AB 时，∠APC=∠ACB ，∵∠PAC=∠CAB ，∴△ACP ∽△ABC ，∴APAC =ACAB ，∵在Rt △ABC 中，由勾股定理可知：AC=√AB 2−BC 2=√52−32=4，∴AP=AC 2AB =165；故③错误；④由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∵AB'≥AC-CB'∴AB′的长度有最小值．AB′有最小值=AC-B′C=4-3=1．故④正确．故答案为：①②④．【答案】①②④例2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．现给出以下四个命题（1）∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长不发生变化；（3）∠PBH=45°；（4）BP=BH．其中正确的命题是______．【解答】（1）证明：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．故（1）正确；（2））△PHD的周长不变为定值8．第3页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第4页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知∠APB=∠BPH ，在△ABP 和△QBP 中，{∠APB =∠BPH∠A =∠BQP BP =BP∴△ABP ≌△QBP （AAS ）．∴AP=QP ，AB=BQ ．又∵AB=BC ，∴BC=BQ ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH ≌△BQH ．∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．故（2）正确；（3）解：∵△ABP ≌△QBP （AAS ）、△BCH ≌△BQH ．∴∠QBH=∠HBC ，∠ABP=∠PBQ ，∴∠PBH=∠PBQ+∠QBH=12∠ABC=45°．故（3）正确；（4）解：∵∠PBH=45°固定不变，∴当点P 在AD 上移动时，∠BPH 的度数不断发生变化，∴∠BPH 的度数与∠BHP 不一定相等，故BP 与BH 不一定相等．故答案为：（1）（2）（3）．【答案】（1）（2）（3）例3．如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A′点，D 点的对称点为D′点，若∠FPG ＝90°，△A′EP 的面积为4，△D′PH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于【答案】例4．如图，在菱形紙片ABCD中，AB=2．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点B′处（不与A，D重合），点C落在C′处，线段B′C′与直线CD交于点G，折痕为EF，则下列说法①若∠A=90，B′为AD中点时，AE=34②若∠A=60°，B′为AD中点时，点E恰好是AB的中点③若∠A=60°，C′F⊥CD时，CFFD =√3−12其中正确的是（）第5页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第6页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【解答】解：①∵∠A=90°，四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∵B′为AD 中点时，∴AB'=1，设AE=x ，则B'E=BE=2-x ，在Rt △AB'E 中，由勾股定理得：12+x 2=（2-x ）2，解得：x=34，①正确； ②连接BD 、BE'，如图：∵∠A=60°，AB=AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵B′为AD 中点，∴∠AB'B=90°，∠ABB'=30°∵BE=B'E ，∴∠BB'E=∠ABB'=30°，∴∠AB'E=60°，∴△AB'E 是等边三角形，∴AE=B'E=BE ，∴点E 是AB 的中点，②正确；③设CF=x ，由折叠的性质得：C'F=CF=x ，∠C'=∠C=∠A=60°，∵C′F ⊥CD ，∴∠C'GF=30°，∴C'G=2C'F=2x ，GF=√3C'F=√3x ，∴DG=CD-GF-CF=2-√3x-x ，∵∠D=180°-∠A=120°，∠DGB'=∠C'GF=30°，∴∠DB'G=30°，∴DB'=DG ，设BD 交B'C'于H ，则B'H=GH=12B'G=12（2-2x ）=1-x ，∴DG=2（1−x ）√3，∴2（1−x ）√3=2-√3x-x ，解得：x=4-2√3，∴CF=4-2√3，FD=2-（4-2√3）=2√3-2，∴CF FD =√3−12，③正确；故选：D ．【答案】D例5．如图，以半圆的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD＝4，BD=8，则CB的长为__________【解答】第7页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】例6．如图，矩形ABCD中，BC=3，且BC＞AB，E为AB边上任意一点（不与A，B重合），设BE=t，将△BCE沿CE对折，得到△FCE，延长EF交CD的延长线于点G，则tan∠CGE= （用含t的代数式表示）．【解答】解：如图连接BF交EC于O，作EM⊥CD于M，∵∠EMC=∠EBC=∠BCM=90°，∴四边形EBCM是矩形，∴CM=EB=t，EM=BC=3，在RT△EBC中，∵EB=t，BC=3，∴EC=√t2+32=√t2+9，∵EB=EF，CB=CF，∴EC垂直平分BF，∵12•EC•BO=12•EB•BC，∴BO=3t√t2+9，BF=2BO=6t√t2+9∵∠AEF+∠BEF=180°，∠BEF+∠BCF=180°，∴∠AEF=∠BCF，∵AB∥CD，∴∠BEC=∠ECG=∠CEF，∠AEF=∠G=∠BCF ∴GE=GC，∴∠GCE=∠GEC=∠CFB=∠CBF，∴△CBF∽△GCE，∴GCBC =ECBF，第8页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴GC=t 2+92t，GM=GC-CM=9−t22t，∴tan∠CGE=EMGM =6t9−t2．故答案为6t9−t2．【答案】6t9−t2例7．阅读下面材料：在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？小明发现：若∠ABC=60°，①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为______；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长______（填“改变”或“不变”）．请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．（1）如图3，若∠ABC=120°，则六边形AEFCHG的周长为______；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，则六边形AEFCHG的周长可表示为______．【解答】解：①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6．故六边形AEFCHG的周长不变．（1）如图3，若∠ABC=120°，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长为2×2+2×sin60°×2=4+2√3；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长可表示为2×2+2×sinα×2=4+4sinα．故答案为：①6；②不变．（1）4+2√3；（2）4+4sinα．第9页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】6不变4+2√34+4sinα例8．已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；（2）求sin∠DAB1的值；（3）如果题设中“BE=2CE”改为“BECE=x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．【解答】（1）解：∵AB∥DF，∴ABCF =BECE，∵BE=2CE，AB=3，∴3CF =2CECE，∴CF=32；（2）解：①若点E在线段BC上，如图1，设直线AB1与DC相交于点M．由题意翻折得：∠1=∠2．∵AB∥DF，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AM=MF．设DM=x，则CM=3−x．又∵CF=1.5，∴AM=MF=92−x，在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2，∴32+x2=(92−x)2，∴x=54，∴DM=54，AM=134，第10页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴sin∠DAB1=DMAM =513；②若点E在边BC的延长线上，如图2，设直线AB1与CD延长线相交于点N．同理可得：AN=NF．∵BE=2CE，∴BC=CE=AD．∵AD∥BE，∴ADCE =DFFC，∴DF=FC=32，设DN=x，则AN=NF=x+32．在Rt△ADN中，AD2+DN2=AN2，∴32+x2=(x+32)2，∴x=94．∴DN=94，AN=154sin∠DAB1=DNAN=35；（3）解：若点E在线段BC上，y=9x2x+2，定义域为x>0；若点E在边BC的延长线上，y=9x−92x，定义域为x>1．【答案】（1）32；（2）①513，②35；（3）略．【举一反三】1．如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，E是AB的中点，F是AC边上一个，综上所述，EF的长为72或143．72或1432．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE=______，EF=______．【解答】解：如图过点E作EH⊥AD于H，EN⊥AB于N，过点A作AM⊥CD于M∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=AB=CD=AB=4∴∠ADM=∠BAD=∠HDE=60°∵E是CD中点∴DE=2在Rt△DHE，中，DE=2，HE⊥DH，∠HDE=60°∴DH=1，HE=√3∵折叠∴AG=GE，AF=EF在Rt△HGE中，GE2=GH2+HE 2∴GE2=（4-GE+1）2+3∴GE=2.8在Rt△AMD中，AD=4，AM⊥DM，∠ADM=60°∴MD=2，AM=2√3∵AB∥CD，AM∥EN∴AMEN是平行四边形且AM⊥CD∴AMEN是矩形∴AN=ME=2+2=4，（即N与B重合）AM=EN=2√3在Rt△FBE中，EF2=EN2+FB 2EF2=（4-EF）2+12EF=3.5【答案】2.83.53．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=______．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE-HE=x-1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x-1）2=（x+2）2，整理得x2-6x-3=0，解得x1=3+2√3，x2=3-2√3（舍去），即AD的长为3+2√3．故答案为3+2√3．【答案】3+2√34．小明尝试着将矩形纸片 ABCD （如图①， AD＞CD ）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE （如图②）；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处， E 点落在 AE 边上的点 M 处，折痕为 DG （如图③）．如果第二次折叠后， M 点正好在 ∠ NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为．【答案】√2：1 ．5．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连接OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O 的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A. CG=1B. 矩形ABCD的面积为6+4√3C. ∠ACB=30°D. AF=2√3【解答】解：如图，设⊙O 与BC 的切点为M ，连接MO 并延长MO 交AD 于点N ，∵将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，∴OG=DG ，∵OG ⊥DG ，∴∠MGO+∠DGC=90°，∵∠MOG+∠MGO=90°，∴∠MOG=∠DGC ，在△OMG 和△GCD 中，{∠OMG =∠DCG =90°∠MOG =∠DGC OG =DG，∴△OMG ≌△GCD ，∴OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．故A 正确，∵AB=CD ，∴BC-AB=2．设AB=a ，BC=b ，AC=c ，⊙O 的半径为r ，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆可得r=12（a+b-c ），∴c=a+b-2．在Rt △ABC 中，由勾股定理可得a 2+b 2=（a+b-2）2，整理得2ab-4a-4b+4=0，又∵BC-AB=2即b=2+a ，代入可得2a （2+a ）-4a-4（2+a ）+4=0，解得a 1=1+√3，a 2=1-√3（舍去），∴a=1+√3，b=3+√3，∴S 矩形ABCD =AB•BC=6+4√3，故B 正确，∴tan ∠ACB=AB BC =√33，∴∠ACB=30°，故C 正确，再设DF=x ，在Rt △ONF 中，FN=3+√3-1-x ，OF=x ，ON=1+√3-1=√3，由勾股定理可得（2+√3-x ）2+（√3）2=x 2，解得x=4-√3，∴AF=AD-DF=2√3-1，故D 错误，故选：D ．【答案】D6．如图，在⊙O 中，将AB̂沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⊙O 于点C ，AC 切ADB ̂所在的圆于点A ，则tan ∠C 的值是（）A. √3B. 43C. 2+√3D. 1+√2【解答】解：作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．根据对称性可知，ADB̂所在圆的圆心在直线AH上，∵AC切ADB̂所在的圆于点A，∴AC⊥AH，∴∠CAH=90°，∴CH是⊙O的直径，∴∠CBH=90°，∴∠ABD=∠ABH=45°，∴∠AHC=∠ABC=45°，∴∠ACH=∠AHC=45°，∴AC=AH，∵OC=OH，∴AD垂直平分线段CH，∴DC=DH，∴∠DCH=∠DHC，∵BD=BH，∴∠BDH=∠BHD=45°，∵∠BDH=∠DCH+∠DHC，∴∠DCH=22.5°，∴∠ACD=∠CHB=67.5°，设BD=BH=a，则CD=DH=√2a，∴tan∠ACB=tan∠CHB=BCBH =a+√2aa=1+√2，故选：D．【答案】D7．半径为2的圆弧形纸片按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是______．【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1，在Rt△AOC中，∵OA=2，OC=1，∴cos∠AOC=OCOA =12，AC=√OA2−OC2=√3∴∠AOC=60°，AB=2AC=2√3，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB=120π×22360-12×2√3×1=4π3-√3，S阴影=S半圆-2S弓形ABM=1 2π×22-2（4π3-√3）=2√3−23π．故答案为：2√3−23π．【答案】2√3−23π8．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．（1）求证：△BC1F∽△AGC1；（2）若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．1．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则BC= ．【解答】解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，当四边形ABCE为平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，则∠NAD=60°，∴∠AND=90°，∵四边形ABCE面积为2，∴设BT=x，则BC=EC=2x，故2x×x=2，解得：x=1（负数舍去），故BC=2；如图2，当四边形BEDF是平行四边形，∵BE=BF，∴平行四边形BEDF是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠ADB=∠BDC=15°，∵BE=DE，∴∠AEB=30°，∴设AB=y，则BE=2y，∵四边形BEDF面积为2，∴AB×DE=2y2=2，解得：y=1，故BC=1，综上所述：BC=2或1．故答案为：2或1．【答案】2或1̂沿BD翻折，点C的对称点C′恰好落在AB 2．如图，已知半圆的内接四边形ABCD，AB是直径，DCB上．若AC′=4，C′B=5，则BD的长是（）A. 4√3B. 3√7C. 7D. 8【解答】解：作DE⊥AB于E，连接DC′，由折叠的性质可知，CD=C′D，∠CBD=∠C′BD，∴DA=DC，∴AD=C′D，又DE⊥AB，∴AE=EC′=2，∴EB=7，由射影定理得，DE2=AE•EB=14，在Rt△DEB中，BD2=DE2+BE2=63，∴BD=3√7，故选：B．【答案】B3．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③与∠AGB相等的角有5个；④S△FGC=910．其中正确的是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【解答】解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，∴DE=13×3=1，CE=3-1=2，∵△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，∴AB=AF=AD，在Rt△ABG和Rt△AFG中，{AG=AGAB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=FG，设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3-x，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，即（1+x）2=（3-x）2+22，解得，x=32，∴CG=3-32=3 2，∴BG=CG=32，即点G是BC中点，故①正确；∵tan∠AGB=ABBG =332=2，∴∠AGB≠60°，∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°，又∵BG=CG=FG，∴△CGF不是等边三角形，∴FG≠FC，故②错误；由（1）知Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴∠AGB=∠AGF=12∠BGF ，根据三角形的外角性质，∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF ，∴∠GCF=∠GFC=∠AGB ，∵AD ∥BC ，∴∠AGB=∠GAD ，∴与∠AGB 相等的角有4个，故③错误；△CGE 的面积=12CG•CE=12×32×2=32， ∵EF ：FG=1：32=2：3，∴S △FGC =32+3×32=910，故④正确；综上所述，正确的结论有①④．故选：C ．【答案】C4．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=5，点P 在线段BC 上运动，现将纸片折叠，使点A 与点P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点），设BP=x ，当点E 落在线段AB 上，点F 落在线段AD 上时，x 的取值范围是______．【解答】解：如图；①当F 、D 重合时，BP 的值最小；根据折叠的性质知：AF=PF=5；在Rt △PFC 中，PF=5，FC=2，则PC=√21；∴BP 的最小值为5-√21；②当E 、B 重合时，BP 的值最大；由折叠的性质可得AB=BP=2，即BP的最大值为2．所以x的取值范围是5-√21≤x≤2．故答案为：5-√21≤x≤2．【答案】5-√21≤x≤25．如图，现有边长为5的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF连结BP，BH．当AP=2时，PH=______．【解答】解：设AE=x，则BE=5-x．由翻折的性质可知：BE=PE=x，∠APG=∠ABC=90°．∴∠APE+∠DPH=90°．∵∠AEP+∠APE=90°，∴∠AEP=∠DPH．又∵∠A=∠D=90°，∴△APE∽△DHP．在Rt△APE中，PE2=AE2+AP2，即（5-x）2=x2+22，解得x=2.1．则PE=5-2.1=2.9．∵△APE∽△DHP，∴EPPH =AEPD，即2.9PH=2.13，解得：PH=297．故答案为：297．【答案】2976．如图，矩形纸片ABCD中，AD=15cm，AB=10cm，点P、Q分别为AB、CD的中点，E、G分别为BC、PQ上的点，将这张纸片沿AE折叠，使点B与点G重合，则△AGE的外接圆的面积为______．【解答】解：由翻折的性质得，AG=AB，∠GAE=∠BAE，∵点P、Q分别为AB、CD的中点，∴AP=12AB，∴AP=12AG，∴∠AGP=30°，∴∠PAG=90°-∠AGP=90°-30°=60°，∴∠BAE=12∠PAG=12×60°=30°，在Rt△ABE中，AE=AB÷cos30°=10÷√32=20√33cm，∴△AGE的外接圆的面积=π（AE2）2=π（12×20√33）2=1003πcm2．故答案为：1003πcm2．【答案】1003πcm27．如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E为边DC上一动点，连接AE，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为______．【解答】解：∵△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，∴DE=D′E，AD=AD′=10，当∠DD′C=90°时，如图1，∵DE=D′E，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠4，∴ED′=EC，CD=4；∴DE=EC=12当∠DCD′=90°时，则点D′落在BC上，如图2，设DE=x，则ED′=x，CE=8-x，∵AD′=AD=10，∴在Rt△ABD′中，BD′=√102−82=6，∴CD′=4，在Rt△CED′中，（8-x）2+42=x2，解得x=5，即DE的长为5，综上所述，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5．故答案为4或5．【答案】4或5。

轴对称与轴对称图形--知识讲解(基础)

轴对称与轴对称图形--知识讲解（基础）【学习目标】1．通过具体实例了解两个图形成轴对称的概念，能找出对称轴和对称点．2．了解两个图形关于某直线成轴对称和轴对称图形的联系与区别，理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．3．欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应用和文化价值.4. 理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．5．通过学习，体验数学的对称美，激发学习数学的兴趣．【要点梳理】要点一、轴对称与轴对称图形1.轴对称的定义把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.要点诠释：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称图形的定义把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.3.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.要点二、轴对称的性质轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等.要点三、线段的垂直平分线定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．【典型例题】类型一、判断轴对称图形1、（2016•邵阳）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【思路点拨】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合则是轴对称图形，否则就不是.【答案】D；【解析】轴对称图形即能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合.【总结升华】找对称轴要注意从不同的角度去观察，做到不重复、不遗漏.举一反三：【变式】下列图形中，对称轴最少的对称图形是 ( )【答案】A；提示：A一条对称轴，B四条对称轴，C五条对称轴，D三条对称轴.类型二、轴对称的应用2、将一个正方形纸片依次按图,a b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图中的（）【答案】D；【解析】【总结升华】只需要根据对称轴补全图形就找能到答案.举一反三：【变式】将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）【答案】A；3、（2015春·启东市校级月考）如图，点P在∠AOB内，M、N分别是点P关于AO、BO 的对称点，MN分别交AO，BO于点E、F，若△PEF的周长等于20cm，求MN的长．【思路点拨】根据轴对称的性质可得ME=PE，NF=PF，然后求出MN=△PEF的周长．【答案与解析】解：∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，∴ME=PE，NF=PF，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，∵△PEF的周长等于20cm，∴MN=20cm．【总结升华】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．举一反三：【变式1】如图，△ABC中，AB＝BC，△ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的A'处，若点D为AB边的中点，∠A＝70°，求∠BD A'的度数．【答案】100°；∵AB＝BC，∴∠A＝∠C＝70°，∠B＝40°又∵ΔABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的A'处，点D为AB边的中点，∴BD＝D A'，∠B＝∠D A'B＝40°，∴∠BD A '＝180°－40°－40°＝100°.【变式2】将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示图形. 若'CED ∠＝56°,则∠AED 的大小是_______.【答案】62°；类型三、轴对称的作图4、如图，△ABC 和△'''A B C 关于直线MN 对称，△'''A B C 和△''''''A B C 关于直线EF 对称. （1）画出直线EF ；（2）直线MN 与EF 相交于点O ，试探究∠''BOB 与直线MN 、EF 所夹锐角α之间的数量关系.【答案与解析】（1）如图；（2）∠''BOB ＝2α；（2）∵△ABC 和△'''A B C 关于直线MN 对称，△'''A B C 和△''''''A B C 关于直线EF 对称. ∴∠BOM ＝∠'B OM ，∠'B OE ＝∠''B OE ， ∵∠'B OM ＋∠'B OE ＝α ∴∠''BOB ＝2α【总结升华】在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上. 举一反三：【变式】(2015· 聊城)在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点均在格点上，点A 的坐标是（﹣3，﹣1）．（1）将△ABC 沿y 轴正方向平移3个单位得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，并写出点B 1坐标；（2）画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标．【答案】解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；点B 1坐标为：（﹣2，﹣1）；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，点C 2的坐标为：（1，1）．。

第二章轴对称图形(知识归纳+题型突破)(解析版)

第二章轴对称图形（知识归纳+题型突破）1、从生活中提炼轴对称模型，归纳轴对称的概念。

2、通过图形变换理解轴对称图形的性质，在生活中运用轴对称解决问题。

【知识点1】轴对称的概念把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形___关于这条直线对称___，也称这两个图形___成轴对称___，这条直线叫做___对称轴___，两个图形中的对应点叫做___对称点___．【知识点2】轴对称图形的概念把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够___互相重合___，那么称这个图形是___轴对称图形___，这条直线就是___对称轴___．【知识点3】轴对称与轴对称图形的区别与联系名称两个图形成轴对称轴对称图形图形图形个数针对两个图形而言，是两个图形的一种特殊位置关系针对一个图形而言，是某个图形的一种特殊几何性质对称轴只有一条对称轴可以有一条或多条、甚至无数条对称轴对称点在两个图形上在同一个图形上区别验证沿某条直线折叠后，两个图形能够沿某条直线折叠后，直线两旁的部重合分能够互相重合联系（1）沿对称轴折叠后能够重合；（2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形（1）沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分能够互相重合；（2）如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称【知识点4】线段的轴对称性线段___是___轴对称图形，线段的___垂直平分线___是它的对称轴．【知识点5】垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点___到线段两端的距离相等___．几何语言：∵MN 是线段AB 的垂直平分线（或MN ⊥AB 于点D ，且AD = BD ），∴CA = CB．【知识点6】垂直平分线的判定定理到线段两端距离相等的点在线段的___垂直平分线___上．几何语言：∵CA = CB ，∴点C 在线段AB 的垂直平分线上．【知识点7】角的轴对称性角___是___轴对称图形，___角平分线所在的直线___是它的对称轴．【知识点8】角平分线的性质角平分线上的点___到角两边的距离相等___．几何语言：∵PF平分∠APB（或∠APF=∠BPF），EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，∴EC=ED．【知识点9】角平分线的判定定理角的内部到___角两边距离___相等的点在角的平分线上．几何语言：∵EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，EC=ED，∴点E在∠APB的平分线上．【知识点10】等腰三角形的轴对称性等腰三角形___是___轴对称图形，对称轴是___顶角平分线所在直线___．【知识点11】等边对等角等边对等角：等腰三角形的两底角相等．几何语言：在△ABC中∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）【知识点12】三线合一三线合一：等腰三角形___底边上的高线___、___底边上的中线___、___顶角平分线___重合．几何语言：在△ABC中∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴AD⊥BC，BD=CD【知识点13】等腰三角形的判定等角对等边：有两个角___相等___的三角形是等腰三角形．几何语言：在△ABC中∵∠B=∠C∴AB=AC（等角对等边）题型一轴对称图形的识别【例1】作出下列各图形的一条对称轴【答案】见解析【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答．【详解】解：根据分析画各图的对称轴如下：【例2】如果正三角形有n条对称轴，那么n=．【答案】3【分析】根据轴对称的定义进行判断即可．巩固训练：1．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【详解】解：由图可知，该图形有6条对称轴；故选：C2．对称轴最多的图形是（）A．圆B．长方形C．正方形D．等边三角形【答案】A【分析】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此解答即可．【详解】解：圆有无数条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴；故选：A．3．某校学生为校运动会设计会标，在以下四个标志中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可解答．【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．题型二镜面对称问题【例3】如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是（）A．4:00B．8:00C．12:20D．12:40【答案】B【分析】镜子中的时间和实际时间关于钟表上过6和12的直线对称，作出相应图形，即可得到准确时间．【答案】3265巩固训练：4．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（）A．B．．D ．【答案】C “”题型三轴对称的性质【例6】如图，ABC V 与A B C ¢¢¢V 关于直线MN 对称，BB ¢交MN 于点O ，下列结论①AB A B ¢¢=；②OB OB ¢=；③AA BB ¢¢∥中，正确的有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A 【分析】根据轴对称的性质解答．【详解】解：∵ABC V 与A B C ¢¢¢V 关于直线MN 对称，BB ¢交MN 于点O ，∴AB A B ¢¢=，OB OB ¢=，AA BB ¢¢∥，综上，三个选项都正确，故选：A ．【例7】如图，已知点A 、B 是直线MN 同侧两点，点A ¢、A 关于直线MN 对称．连接A B ¢交直线MN 于点P ，连接AP ．若5cm A B ¢=，则AP BP +的长为（）A ．10cmB ．8cmC ．5cmD ．无法确定【答案】C 【分析】根据轴对称的性质得到A P AP ¢=，由AP BP A P BP A B ¢¢+=+=即可得到答案．【详解】解：∵点A ¢、A 关于直线MN 对称，连接A B ¢交直线MN 于点P ，连接AP ．∴A P AP ¢=，∴5cm AP BP A P BP A B ¢¢+=+==，即AP BP +的长为5cm ．故选：C【例8】如图，P 在AOB Ð内，点C 、D 分别是点P 关于AO 、BO 的对称点．如果PMN V 的周长为12，则CD 的长为（）A ．6B ．12C ．15D ．18【答案】B 【分析】先根据轴对称的性质得到CM PM DN PN ==，，再根据三角形周长公式得到12PM MN PN ++=，则12CD CM MN DN PM MN PN =++=++=．【详解】解：∵点C 、D 分别是点P 关于AO 、BO 的对称点，∴CM PM DN PN ==，，∵PMN V 的周长为12，∴12PM MN PN ++=，∴12CD CM MN DN PM MN PN =++=++=，故选B ．巩固训练：∴PMN V 的周长为121215PM PN MN MN PM P N PP ++++==＝．故答案为：15．8．如图，ABC V 和ADE V 关于直线l 对称，已知15AB =，10DE =，70D Ð=°．求B Ð的度数及BC 、AD 的长度．【答案】70B Ð=°，10BC =、15AD =【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．【详解】解：ABC QV 和ADE V 关于直线l 对称，AB AD \=，BC DE =，B D Ð=Ð，又15AB =Q ，10DE =，70D Ð=°．70B \Ð=°，10BC =，15AD =，题型四折叠问题【答案】90°【分析】根据折叠的性质得到Ð求解即可．【详解】∵将长方形纸片按如图方式折叠，A．17B．10【答案】A【分析】由折叠的性质可得AD=V沿直线DE 【详解】解：∵将ABC巩固训练：A ．角平分线B ．高线【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得：【详解】解：∵将ABC V 折叠，使点∴D 为BC 中点，∴AD 是ABC V 的中线；【答案】24°/24度【详解】解：∵将长方形纸片∴90,E B EAC Ð=Ð=°Ð∴180EAB EFC Ð=Ð=°-【答案】55°/55度【详解】解：如图，由翻折不变性可知：2ÐÐ=∵宽度相等的纸条边缘平行，∴13Ð=Ð，12\Ð=Ð，题型五垂直平分线的性质【例12】甲、乙、丙三家分别位于ABC V 的三个顶点处，现要建造一个核酸检测点，使得三家到核酸检测点的距离相等，则核酸检测点应建造在（）A ．三边垂直平分线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条中线的交点【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质即可解答．【详解】解：∵线段的垂直平分线的点到线段的两个端点的距离相等，∴这三家到核酸检测点距离相等，核酸检测点的建造位置是在ABC V 三边的垂直平分线上，故选A ．【例13】如图，在ABC V 中，AB AC ^，3AB =，5BC =，4AC =，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任意一点，则ABP V 周长的最小值是（）A．7B．6C．12D．8【答案】A【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小，∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A．【例14】如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（）A．2B．12C．5D．7【答案】B【分析】由于A，C关于直线DE为对称，所以F和D重合时，FC FB最小，最小值等于AB，即可求得BCF D 的周长的最小值．【详解】解：DE Q 是线段AC 的垂直平分线，A \，C 关于直线DE 为对称，F \和D 重合时，FC FB +最小，即BCF D 的周长的最小值，DE Q 是线段AC 的垂直平分线，DC DA \=，FC FB \+的最小值7DC DB AB =+==，BCF \D 的最小周长7512FC FB BC =++=+=，故选：B ．【例15】已知ABC V 中120BAC Ð=°，26BC =，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，与AB AC ，分别交于点D 、G ．求：(1)EAF Ð的度数．(2)求AEF △的周长．【答案】(1)60°(2)26【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到AE BE =，CF AF =，得出等腰三角形即可；（2）根据线段的垂直平分线的性质得到AE BE =，CF AF =，这样就将AEF △的周长转化为线段BC 的长．【详解】（1）AB Q 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、FAE BE \=、CF AF =，B EAB \Ð=Ð，C FACÐ=Ð()180B C BAC\Ð+Ð=°-Ð180120=°-°60=°EAF BAC EAB FAC\Ð=Ð-Ð-Ð120()B C =°-Ð+Ð12060=°-°60=°60EAF \Ð=°（2）AE BE =Q 、CF AF=AEF \V 的周长EA EF AF=++BE EF FC=++BC=26=AEF \V 的周长26=巩固训练：12．如图，A ，B ，C 表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（）A ．AC ，BC 两边高线的交点处B ．AC ，BC 两边中线的交点处C ．AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D ．A Ð，B Ð两内角平分线的交点处【答案】C【分析】根据垂直平分线的性质可知，到A ，B ，C 表示三个居民小区距离相等的点，是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，由此即可求解．【详解】解：如图所示，分别作AC ，BC 两边垂直平分线MN ，PQ 交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，∵MN ，PQ 是AC ，BC 两边垂直平分线，∴OA OB OC ==，∴点O 是到三个小区的距离相等的点，即点O 是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，故选：C ．13．如图，在ABC V 中，DM ，EN 分别垂直平分边AC 和边BC ，交边AB 于M ，N 两点，DM 与EN 相交于点F ．(1)若5AB =，则CMN V 的周长为 ______；(2)若70MFN Ð=°，求MCN Ð的度数．【答案】(1)5；(2)40°．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到MA MC =，NB NC =，再根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据三角形内角和定理求出FMN FNM Ð+Ð，根据对顶角相等求出AMD BNE Ð+Ð，根据等腰三角形的性质即可得到答案.【详解】（1）∵DM ，EN 分别垂直平分边AC 和边BC ，∴MA MC =，NB NC =，∴CMN V 的周长5MC MN NC MA MN NB AB =++=++==，∴CMN V 的周长5=，故答案为：5；（2）∵70MFN Ð=°，∴180110FMN FNM MFN Ð+Ð=°-Ð=°，∴110AMD BNE FMN FNM Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴()18070A B AMD BNE Ð+Ð=°-Ð+Ð=°，∵MA MC =，NB NC =，∴A MCA Ð=Ð，B NCB Ð=Ð，∴()18040MCN A B MCA NCB Ð=°-Ð+Ð+Ð+Ð=°．14．如图，在ABC V 中DE ，是AC 的垂直平分线，4cm AE =，ABC V 的周长为23cm ，求ABD △的周长．【答案】ABD △的周长为15cm ．【分析】根据垂直平分线的性质可得AD CD =，28cm AC AE ==，即可得出15cm AB AC +=，则ABD △的周长AB BD AD AB BD CD AB BC =++=++=+，即可求解．【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD CD =，()28cm AC AE ==．∵ABC V 的周长()23cm AB BC AC AB BD DC AC =++=+++=，∴()23815cm AB AC +=-=，∴ABD △的周长()23815cm AB BD AD AB BD CD AB BC =++=++=+=-=．即ABD △的周长为15cm ．【答案】13【分析】根据垂直平分线的性质，可得【详解】解：∵AB 的垂直平分线∴BE AE =，∵BCE V 的周长为BE BC EC ++题型六角平分线的性质【答案】6【分析】过O 点作OH BA ^于H 点，如图，先根据角平分线的性质得到解决问题．【详解】解：过O 点作OH BA ^于H 点，如图，BO Q 平分ABC OD BC OH BA Ð^^，，6OH OD \＝＝，∵点E 为射线BA 上一动点，∴OE 的最小值为OH 的长，即OE 的最小值为6．故答案为：6．【例17】如图，DE AB ^于E ，DF AC ^于F ，AD 平分BAC Ð，若BE CF =，探索+AB AC 与AE 的数量关系，并证明之．【答案】2AB AC AE +=，见解析【分析】先根据角平分线的性质得出DE DF =，再证明Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△，得出AE AF =，根据线段的和差即可得出答案．【详解】证明：∵DE AB ^于E ，DF AC ^于F ，AD 平分BAC Ð，∴DE DF =，在Rt ADE △和Rt ADF V 中，AD AD DE DF =ìí=î，∴Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△，∴AE AF =，∵BE AE AB =-，CF AC AF =-，∴AE AB AC AF -=-，∴2AB AC AE +=．Ð的度数；(1)求BOCÐ的周长．(2)求AMN【答案】(1)130°(2)12巩固训练：16．如图，四边形ABCD 中，90B C Ð=Ð=°，点E 为BC 的中点，且AE 平分BAD Ð．(1)求证：DE 平分ADC Ð；(2)求证：AB CD AD +=．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）过点E 作EF AD ^于F ，根据角平分线的性质得出BE EF =，再根据BE CE =，得出CE EF =，进而根据角平分线的判定定理可得出结论；（2）根据角平分线的性质得出BE EF =，CE EF =，再证明V V ≌ABE AFE ，CED FED V V ≌，根据全等三角形的性质得出AB AF =，DC DF =，进而得出结论．【详解】（1）证明：如图，过点E 作EF AD ^于F ，∵90B Ð=°，AE 平分BAD Ð，∴BE EF =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∴CE EF =，又∵90C Ð=°，EF AD ^，∴DE 是ADC Ð的平分线．(1)求证：DE 平分ADC Ð；(2)若3AD =，7CD =，278ABE S =V ，求ADC S △【答案】(1)见解析∵BE 平分ABC Ð，EF AB ^，∴EF EN =，∵AE 平分DAF Ð，A．110°B．120°【答案】C【分析】根据题意可得，点O数，再根据三角形的内角和等于V三边【详解】解：∵O到ABC．．．．【答案】D【分析】根据到角两边的距离相等的点在角平分线上进行判断即可．【详解】解：∵到角两边的距离相等的点在角平分线上，题型七作图【例21】如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求：①到两工厂的距离相等；Ð内，且到两条公路的距离相等．②在MON你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析Ð的平分线OC，则FG与OC的交点F就是仓【分析】连接DE，作线段DE的垂直平分线FG，作角MON库的位置．【详解】解：如图，点F为仓库的位置．【例22】如图，两公路AO与BO相交于点O，两公路内侧有两工厂C和D，现要修建一货站使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析Ð的角平分线和线段CD的垂直平分线，两线的交点即为所求．【分析】只要作出AOB【详解】解：如图所示：点P 即为所求．【例23】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，某小区绿化带ABC V 内部有两个喷水臂P 、Q ，现欲在ABC V 内部建一个水泵O ，使得水泵O 到BA ，BC 的距离相等，且到两个喷水管P 、Q 的距离也相等，请你在图中标出水泵O 的位置．【答案】作图见解析【分析】作BM 平分ABC Ð，作EF 垂直平分线段PQ 交BM 于点O 即可．【详解】解：如图，作BM 平分ABC Ð，作EF 垂直平分线段PQ 交BM 于点O ，∵BM 平分ABC Ð，点O 在射线BM 上，∴点O 到BA ，BC 的距离相等，∵EF 垂直平分线段PQ ，点O 在直线EF 上，∴点O 到P 、Q 的距离相等，∴O 到BA ，BC 的距离相等，且到点P 、Q 的距离也相等，则点O 即为所作．巩固训练：21．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置．【详解】解：作出线段AB的垂直平分线，与CODÐ的平分线交于P点，则如图，P点为所求．．22．如图，校园有两条路OA、OB，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（请保留作图痕迹）【答案】见解析Ð的角平分线，它们的交点即为点P．【分析】分别作线段CD的垂直平分线和AOB【详解】解；如图，点P为所作．23．如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路），现计划在∠AOB 内部修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．【答案】能，作图见解析Ð的角平分线OK，连接MN，作MN的垂直平分线RQ，OK和RQ相交于点【分析】根据题意，作AOBS，根据角平分线和垂直平分线的性质分析，即可得到答案．Ð的角平分线OK，连接MN，作MN的垂直平分线RQ，OK和RQ相交于点【详解】根据题意，作AOBS，如下图：∵OK 是AOB Ð的角平分线∴OK 上的点，到两条公路的距离也相等；∵RQ 是MN 的垂直平分线∴RQ 上的点，到两所大学的距离相等∵OK 和RQ 相交于点S ，∴仓库P 应该建在点S 的位置．题型八等腰三角形三线合一【例24】如图，AD 、CE 分别是ABC V 的中线和角平分线，若AB AC =，26CAD Ð=°，则ACE Ð的度数为（）A ．26°B ．32°C ．38°D ．48°【答案】B 【分析】先利用等腰三角形三线合一性质，得到90ADC Ð=°，再利用直角三角形的性质，得到64ACD Ð=°，结合CE 是ABC V 的角平分线，计算即可．【详解】∵AD 是ABC V 的中线，AB AC =，∴90ADC Ð=°，A．2.5【答案】B【分析】根据已知可得答．巩固训练：24．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．腰上的中线所在的直线(1)求证：OBC △为等腰三角形；(2)若25ACF Ð=°，求ÐBOE 【答案】(1)见解析．(2)15°题型九等腰三角形度数巩固训练：∵AB AC =，∴(11802ABC C Ð=Ð=°-②如图，当顶角为钝角三角形时：∵50ABD Ð=°，90D Ð=∴9050140BAC Ð=°+°=∵AB AC =，∴()1180140202C ABC Ð=Ð=°-°=°．故答案为：70°或20°．题型十等腰三角形外角问题【例27】如图，在第1个1A BC V 中，130B A B CB Ð°＝，＝；在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到A 2，使121A A A D ＝，得到第2个12A A D V ；在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到A 3，使232A A A E ＝，得到第3个23A A E △；……按此做法继续下去，则第n 个三角形中以n A 为顶点的内角度数是（）巩固训练：27．如图，30MON Ð=°，点123,,,A A A L 在射线ON 上，点123,,,B B B L 在射线OM 上，112A B A △，223334,A B A A B A L △△均为等边三角形．若11OA =，则1n n n A B A +△的边长为（）A ．2nB ．12n -C ．12n +D ．22n +【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得出，111130A OB A B O Ð=Ð=° ，01112112OA A B A B ====，利用同样的方法，122222A O A B ===，23332242A B A O A O ====，由此规律可得12n n n A B -=．【详解】112A B A QV 为等边三角形，30MON Ð=°111130A OB A B O \Ð=Ð=°1112112OA A B A B ====同理：122222A O AB ===23332242A B A O A O ====L由此类推可得1n n n A B A +△的边长12n n n A B -=．故选B ．28．如图，已知ABC V 是等边三角形，点B ，C ，D ，F 在同一条直线上，CD CE =，DF DG =，求F Ð的度数．【答案】15°【分析】根据等边三角形的性质，等边对等角性质，三角形外角性质计算即可．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，∴60ACB Ð=°，∵CD CE =，∴CDE CED Ð=Ð，∵260ACB CDE CED CDE Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴30Ð=°CDE ，∵DF DG =，∴DFG DGF Ð=Ð，∵230CDE DFG DGF F Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴15F Ð=°．题型十一等腰三角形个数和格点问题【例28】在如图所示的网格中，在格点上找一点P ，使ABP V 为等腰三角形，则点P 有（）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】C 【分析】分三种情况讨论：以AB 为腰，点A 为顶角顶点；以AB 为腰，点B 为顶角顶点；以AB 为底．【详解】解：如图：如图，以AB 为腰，点A 为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB 为腰，点B 为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB 为底的等腰ABP V ，所以合计8个．故选：C ．【例29】如图中的大长方形都是由边长为1的小正方形组成，其中每个正方形的顶点称之为格点，若A 、B 、C 三点均在格点上，且ABC V 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】C 【分析】分A Ð为顶角和B Ð为顶角判定即可．【详解】当A Ð为顶角时，符合的点有一个6C ；当B Ð为顶角时，符合的点有五个12345,,,,,C C C C C ；一共有6个．故选C ．【例30】如图，在ABC V 中，AB AC =，36A Ð=°，BD 是ABC V 的角平分线，则图中的等腰三角形共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由BD 是ABC V 的角平分线，可得272ABC ABD Ð=Ð=°，又可求72ABC C Ð=Ð=°，所以ABC V 是等腰三角形；又180218027236A ABC Ð=°-Ð=°-´°=°，故A ABD Ð=Ð，所以ABD V 是等腰三角形；由36DBC ABD Ð=Ð=°，得72C Ð=°，可求72BDC Ð=°，故BDC C Ð=Ð，所以BDC V 是等腰三角形．【详解】解：BD Q 是ABC V 的角平分线，272ABC ABD \Ð=Ð=°，72ABC C \Ð=Ð=°，ABC V \是等腰三角形①．180218027236A ABC Ð=°-Ð=°-´°=°，A ABD \Ð=Ð，ABD \V 是等腰三角形②．36DBC ABD Ð=Ð=°Q ，72C Ð=°，72BDC \Ð=°，BDC C \Ð=Ð，BDC \V 是等腰三角形③．故图中的等腰三角形有3个．故选：C ．巩固训练：29．如图，线段AC 、BD 互相垂直平分，则图中共有等腰三角形（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质得出AB AD DC BC ===，继而根据等腰三角形判定定理即可求解．【详解】解：∵线段AC 、BD 互相垂直平分，∴,AB AD CB CD ==,,DA DC BA BC ==，∴有等腰三角形,,,ABD CBD DAC BAC △△△△共4个，故选：C ．30．如图，BD 是ABC V 的平分线，3672A ABC Ð=Ð=°°，， DE BC ∥交AB 于E ，则图中等腰三角形的个数是（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理判定ABC V 为等腰三角形，然后由角平分线、平行线的性质、等角对等边来找图中的等腰三角形．【详解】解：∵在ABC V 中，=36°=72°A ABC ÐÐ，，∴°=C=72ABC ÐÐ，【答案】D【分析】逐个画出图形，即可得到答案．【详解】解：图①中，∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=72°，以B为顶点，在△ABC内作∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形，而∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∠ACB=72°，∴∠ACB=∠BDC=72°，∴△BDC是等腰三角形，故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，故①符合题意；图③中，∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，过A作AE⊥BC于E，如图：则△ABE和△ACE是等腰直角三角形，故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，故③符合题意；图④中，∠BAC=108°，AB=AC，则∠B=∠C=36°，以A为顶点，在△ABC内作∠BAF=72°，如图：则△ABF和△ACF都是等腰三角形，故④符合题意；图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形，故②不符合题意；故选：D．题型十十二直角三角形性质问题A．6B．【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得【答案】6△是直角三角形，可求【分析】可证ADCV中，【详解】解：Q在ABC\V是直角三角形，ADCQ是AC的中点，E巩固训练：33．在Rt ABC △中，Ð【答案】16【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，即可求解．【详解】解：∵90C Ð=。

市北资优七年级分册第13章 13.5 翻折与轴对称图形+林经武

13.5翻折与轴对称图形观察下列图形有什么共同特征？把一个图形沿着某条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．例1下图是个轴对称图形，请分别写出对应的、对应角、对应线段．B'C'A'AC解对应点有：A与A′，B与B′，C与C′；对应线段有：AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′；对应角有：∠B与∠B′，∠A与∠A′，∠C与∠C′．例2线段、角、长方形、平行四边形、正方形、菱形、等腰梯形、圆是否是轴对称图形？如果是，它们分别有几条对称轴？分别是什么？解如下图线段角长方形平行四边形正方形菱形等腰梯形圆线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰梯形、圆都是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形．角、等腰梯形分别有一条对称轴，线段、长方形、菱形分别有两条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴．线段的对称轴为其垂直平分线及其所在的直线，角的对称轴为其角平分线所在的直线，长方形的对称轴为过其两组对边中点的直线，正方形的对称轴为过其两组对边中点的直线和两条对角线所在的直线，菱形的对称轴为两条对角线所在的直线，等腰梯形的对称轴为过上下底中点的直线，圆的对称轴为过圆心的直线．练习13.51．英文26个字母中，哪些是轴对称图形（不考虑字母的字体）？2．正三角形、正四边形、正五边形、正六边形是否是轴对称图形？如果是，它们分别有几条对称轴？哪些是中心对称图形？3．为了美化环境，需要将一块正方形空地分割成四块分別种植4种不同的花草，要求如下：①分割后的整个图形是轴对称图形；②四块图形形状相同；③四块图形面积相等．4．请以1个等腰三角形、1个长方形、3个等圆为条件，制作出一个轴对称图形．练习13.5练习答案1．A、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y．2．正三角形是轴对称图形，有三条对称轴．正四边形即正方形是轴对称图形，有四条对称轴．正五边形是轴对称图形，有五条对称轴．正六边形是轴对称图形，有六条对称轴．正四边形与正六边形是中心对称图形．3．略．4．略13.5《翻折与轴对称图形》练习练习13.51．以下9个汉字：上、下、目、王、田、天、玉、显、吕，其中不是轴对称图形的是；有一条对称轴的是；有两条对称轴的是；有四条对称轴的是．2．下列四个图形分别是正三角形、等腰梯形、正方形、圆，它们全部是对称图形，其中对称轴的条数最少的图形是（）．（A）正三角形（B）等腰梯形（C）正方形（D）圆3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）．（A）（B）（C）（D）4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．（A）（B）（C）（D）5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．（A）（B）（C）（D）6．在平行四边形、矩形、正方形、等腰梯形四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是．7．若三角形ABC只有一条对称轴，则其形状为；若三角形ABC有三条对称轴，则其形状为．8．画出每个图的所有对称轴：9．画出下列图形中轴对称图形的所有对称轴：10．如图，EFGH为长方形的台球台面，有黑、白两球分别位于A、B两点的位置上，怎样撞击黑球A，使黑球先碰撞台边FG，反弹后再撞击台边GH，再反弹后击中白球B？做出FG、GH上的撞击点的位置和黑球的运行路线．FE11．如图，在方格图1中的图形中选取其中两个图形组成一个新的图形，使它成为轴对称图形，画在方格2中，并画出它的对称轴．（方格图1）（方格图2）。

人教2011版小学数学四年级图形的运动——轴对称

图形的运动——轴对称教学内容：人教版小学数学四年级下册第82页“轴对称”教材分析：小学阶段对“轴对称”的学习共安排了两次。

第一次在二年级下册，侧重于借助生活中的对称现象，整体感知轴对称图形。

第二次在四年级下册，侧重于认识轴对称是一种运动，认识它的特征，进而利用运动特征来画轴对称图形。

本节课是对“轴对称”的第二阶段的学习，是学生在初步认识轴对称图形的基础上，用“对称点到对称轴的距离”等定量刻画的方法来进一步分析图形的特点。

教材将方格背景和对称轴直接呈现，引导学生通过“数一数”，发现轴对称图形的特征。

然后基于此，学习“补全轴对称图形”的方法，更深刻地认识轴对称图形。

学生分析：在二年级的时候，学生已经有了对轴对称图形的直观认知，知道能对折重合的图形是轴对称图形，能够判断一个简单的图形是不是轴对称图形，这是学生已有的学习经验。

但是学生头脑中的轴对称是一个具有特殊性质的图案，是静止的，不能从运动的角度理解轴对称。

另外，在探究轴对称图形的特征时，对于对称点到对称轴的距离容易察觉，但是对称点连线与对称轴垂直这一隐形特征学生较难发现。

在画轴对称图形的另一半时，学生一般采用“对边”的方法，只有极少数孩子能想到“找点连线”的方法。

设计理念：1.从“轴对称图形”到“轴对称运动”“轴对称”有两种理解方式：一种是轴对称图形。

即具有对折重合特质的图案。

另一种是轴对称运动。

最直观的理解方式是“翻折”。

从某种意义上说：轴对称图形指的是运动的结果，侧重于空间认知，轴对称运动指的是运动的过程，更利于学生的空间想象。

因此，把轴对称理解为图形的运动方式才是本质。

第一阶段学习轴对称图形侧重于对图形的整体感知，是对轴对称第一种内涵的理解。

本节课，笔者试图从轴对称图形过渡到轴对称运动，对轴对称的内涵做进一步的拓展，体会轴对称也和平移旋转一样是图形的一种运动方式，使学生在图形的运动变化中理解轴对称现象，感悟轴对称运动的特征。

2.在运动中发现特征，掌握画法。

轴对称图形典型习题解析

ABCDP轴对称图形考点1：轴对称及轴对称图形的意义一、考点讲解：1．轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段．2．如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．轴对称的性质：如果两个图形关于某广条直线对称，那以对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应点的连线互相平行或在同一条直线上，对应的线段（或其延长线）相交，交点在对称轴上。

4．简单的轴对称图形：线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线．角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线．等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线．等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线．等腰梯形：过两底中点的直线正n 边形有n 条对称轴圆有无数条对称轴。

二、基本图形：1．已知：点A 、B 分别在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最短。

变形1：正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，在对角线AC 上找一点P ，使PA+PB 最短。

变形2：已知点A （1，6）、点B （6，4），在x 轴和y 轴上各找一点C 、D ，使四边形ACDB 的周长最短。

三、经典考题剖析：1．在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（）2 ABBlCD3．下列图形中，是轴对称图形的有（）Ａ．4个Ｂ．3个Ｃ．2个Ｄ．1个4．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )(A) (B) (C) (D)5．如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=1300，∠B=1100．那么∠BCD的度数等于（）A. 400B.500 C．600 D.7006．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（）7．如图5，请你画出方格纸中的图形关于点O的中心对称图形，并写出整个图形的对称轴的条数．四、针对性训练：1．从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是，该车的后5位号码实际是。

图形的轴对称

图形的轴对称知识导引1、轴对称的概念：把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做对称点。

2、轴对称图形：把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴，一个图形的对称轴可以有1条，也可以有多条。

3、轴对称与轴对称图形的区别与联系：联系区别轴对称轴对称是指两个图形的对称关把轴对称的两个图形看成一个“整体”系（一个图形），则称为轴对称图形；把轴轴对称图形轴对称图形是指具有某种对称对称图形的互相对称的两个部分看成特性的图形“两个图形”，则它们成轴对称。

4、轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形全等；（2）对称点的，连线段被对称轴垂直平分；（3）对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上；（4）轴对称图形的重心在对称轴上。

典例精析例1：下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A B C D例2：张晓丽从平面镜中看到一个英语单词，如图所示，这个英语单词是，它的中文意思是。

例3：现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑，如图中（1）、（2）所示，观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案，它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形，请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征。

例4：如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？‘例5：（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，试探索∠1＋∠2与∠A的关系（不必证明）。

（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1＋∠2＝130°，求∠BIC的度数。

（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF，CG交于点H，把△ABC 折叠，使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1＋∠2的关系并证明你的结论。

轴对称图形(第一课时)教学设计及点评

轴对称图形(第一课时)教学目标：一、知识技能目标：1.通过欣赏现实生活中的轴对称图形，抽象、概括轴对称图形的概念，能找出轴对称图形的对称轴；2.能够利用轴对称图形的特点，进行简单图案的设计.二、过程方法目标：经历欣赏生活中的轴对称图形的美，探索、发现它们的共同特征，发展学生的形象思维和空间观念，积累数学活动的经验，培养学生的动手能力、总结归纳能力、想象力和创造力。

三、情感态度目标：欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称图形在现实生活中的广泛应用和它的丰富的文化价值，培养学生审美情趣和动手能力，增强鉴赏美的能力和分享美的情怀。

重点难点：重点：轴对称图形的概念难点：轴对称图形概念的获得过程学情分析：这节课的教学对象是八年级的学生，他们虽然在小学已学过简单的轴对称图形，但对什么是轴对称图形还停留在直观的表象认识上，对轴对称图形概念缺乏理性的认识，八年级学生的思维已开始由形象思维向抽象思维过渡，这为本节课教学提供了条件。

教学准备：剪刀、纸张、剪好的一些几何图形、多媒体课件教学流程：教学过程:一、欣赏图片，引入新课欣赏一组图片：建筑之美、文化之美、自然之美二、观察发现，探索概念(一)发现：活动1：多媒体展示图案时，演示对折重合的过程。

活动2：折一折把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形，想一想，展开后会是一个什么样的图形？位于折痕两侧图案有什么关系？让学生思考、讨论。

引导学生得出:轴对称图形的定义(二)探究：活动3：说一说下面这些图形是不是轴对称图形？活动4：找一找看看下面的轴对称图形，各有几条对称轴？三、动手创造、体验成功活动5：看一看活动6：猜一猜活动7：试一试你能用纸剪一个双喜图吗？看谁剪得快？四、小组交流、整理归纳活动8：理一理：本节课你有哪些体会呢？师生共同总结活动9：晒一晒五、分享美丽分享快乐活动10：亲爱的同学，2014年即将过去了，新的一年就要来到，请大家一起行动起来，用你灵巧的双手,运用剪纸艺术，手工制作一张贺年卡，把最美的祝福分享给你的亲人、朋友、老师、同学！《轴对称图形》教学设想与反思马鞍山外国语学校杨庆九本节课的内容是沪科版版八年级数学（上）第十五章第一节《轴对称图形》第一课时。

2019年八年级数学——图形的对称-翻折变换(折叠问题)附答案

图形的对称-翻折变换（折叠问题）一．选择题（共30小题）1．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）A．1 B．2 C．2D．122．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：213．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）A．B．C．D．4．图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：85．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）①∠2=90°；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=40°，则∠EFB等于（）A．70°B．65°C．80°D．35°7．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长（）A．3 B．4 C．3.5 D．68．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B 落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（）A．B．C．D．9．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM 即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）A．小平的作法正确，张萌的作法不正确B．两人的作法都不正确C．张萌的作法正确，小平的作法不正确D．两人的作法都正确10．如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A．12 B．16 C．18 D．2411．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE 沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A．B．C．D．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD 沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（）A．cm B．cm C．2cm D．cm13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（3，0），连接AB，将△AOB 沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣x+C．y=﹣D．y=﹣2x+14．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，点O落在BC边上的点E处．则直线DE的解析式为（）A．y=x+5 B．y=x+5 C．y=x+5 D．y=x+515．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，当DE=2时，BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．616．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（）A．AF=B．四边形ACDE是矩形C．图中与△ABC全等的三角形有4个D．图中有4个等腰三角形17．如图，有一张直角三角形纸片ABC，边AB=6，AC=10，∠ABC=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，则四边形ABDE的周长为（）A．16 B．17 C．18 D．1918．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．19．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）A．5 B．4 C．3 D．220．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）21．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC 边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（）A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm22．如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF=，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．623．如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠使点A落在DC′延长线上的点A′处，若图中，∠A=30°，BC=5cm，则折痕DE的长为（）A．B．2C．2D．24．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．1226．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．1227．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．B．C．1 D．28．如图所示，折叠平行四边形的一边AD，使点A落在DC边上的点E处，已知AB=6，BC=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．1.529．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③S△DGF=120；④S△BEF=．其中所有正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．130．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合，若BC=8，CD=6，则CF的长为（）A．B．C．2 D．1图形的对称-翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）A．1 B．2C．2D．12【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的应用；菱形的性质；矩形的性质．【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求解．【解答】解：∵菱形AECF，AB=6，∴假设BE=x，∴AE=6﹣x，∴CE=6﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，∴CE=2x，∴2x=6﹣x，解得：x=2，∴CE=4，利用勾股定理得出：BC2+BE2=EC2，BC===2，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．2．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：21【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在Rt△BEC中利用勾股定理计算出AB=10，根据折叠的性质得到AD=BD=5，EA=EB，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中根据勾股定理计算出x=，则EC=8﹣=，利用三角形面积公式计算出S△BCE=BC•CE=×6×=，在Rt△BED中利用勾股定理计算出ED==，利用三角形面积公式计算出S△BDE=BD•DE=×5×=，然后求出两面积的比．【解答】解：在Rt△BAC中，BC=6，AC=8，∴AB==10，∵把△ABC沿DE使A与B重合，∴AD=BD，EA=EB，∴BD=AB=5，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中，∵BE2=EC2+BC2，即x2=（8﹣x）2+62，∴x=，∴EC=8﹣x=8﹣=，∴S△BCE=BC•CE=×6×=，在Rt△BED中，∵BE2=ED2+BD2，∴ED==，∴S△BDE=BD•DE=×5×=，∴S△BCE：S△BDE=：=14：25．故选B．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了勾股定理．3．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在Rt△ABC中，设AB=2a，已知∠ACB=90°，∠CAB=30°，即可求得AB、AC的值，由折叠的性质知：DE=CE，可设出DE、CE的长，然后表示出AE的长，进而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可求∠ACE 的正弦值．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，设AB=2a，∴AC=a，BC=a；∵△ABD是等边三角形，∴AD=AB=2a；设DE=EC=x，则AE=2a﹣x；在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2a﹣x）2+3a2=x2，解得x=；∴AE=，EC=，∴sin∠ACE==．故选：B．【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．4．图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：8【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，作辅助线；首先求出△BDP的面积，进而求出△DPC的面积；借助三角形的面积公式求出的值；由旋转变换的性质得到AB=PB，即可解决问题．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E；由题意得：S△ABD=S△PBD=30，∴S△DPC=80﹣30﹣30=20，∴=，由题意得：AB=BP，∴AB：PC=3：2，故选A．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的方法是作高线，表示出三角形的面积；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质来分析、判断、推理或解答．5．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）①∠2=90°；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质．【分析】根据翻折变换的性质、相似三角形的判定定理解答即可．【解答】解：由翻折变换的性质可知，∠AEB+∠FEC=×180°=90°，则∠AEF=90°，即∠2=90°，①正确；由图形可知，∠1＜∠AEC，②错误；∵∠2=90°，∴∠1+∠3=90°，又∠1+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠3，④正确；∵∠BAE=∠3，∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，③正确．故选：C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=40°，则∠EFB等于（）A．70°B．65°C．80°D．35°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据平角的知识可求出∠DED′的度数，再由折叠的性质可得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，从而根据平行线的性质可得出∠EFB的度数．【解答】解：∵∠AED′=40°，∴∠DED′=180°﹣40°=140°，又由折叠的性质可得，∠D′EF=∠DEF=∠DED′，∴∠DEF=70°，又∵AD∥BC，∴∠EFB=70°．故选：A．【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是根据折叠的性质得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，难度一般．7．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长（）A．3 B．4 C．3.5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由矩形的性质得到∠1=∠CFE=60°，由折叠可得∠2=60°，从而求得∠4的度数，得到AE=EC，在Rt△CDE中利用勾股定理可求得EC的长度，即可得到答案．【解答】解：∵矩形ABCD，∴BC∥AD，∴∠1=∠CFE=60°，∵EF为折痕，∴∠2=∠1=60°，AE=EC，∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°，Rt△CDE中，∠4=90°﹣60°=30°，∴EC=2×DE=2×1=2，∴BC=AE+ED=EC+ED=2+1=3．故选：A．【点评】本题考查了翻折问题；由折叠得到角相等，得到AE=EC利用勾股定理求解是正确解答本题的关键．8．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B 落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由四边形ABCD是矩形与△AEC由△ABC翻折得到，AD=CE，∠ADF=∠CEF，由AAS证得△ADF≌△CEF，的长FA=FC，设DF=x，则FA=4﹣x，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，即可求出DF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC=4，∠ADF=90°，∵△AEC由△ABC翻折得到，∴BC=EC，∠CEF=∠ABC=90°，∴AD=CE，∠ADF=∠CEF，在△ADF与△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（AAS），∴FA=FC，设DF=x，则FA=FC=DC﹣DF=4﹣x，在Rt△DFA中，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，即32+x2=（4﹣x）2，解得：x=，即DF的长是．故选C．【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质，得到相等的线段与角是解决问题的关键．9．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM 即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）A．小平的作法正确，张萌的作法不正确B．两人的作法都不正确C．张萌的作法正确，小平的作法不正确D．两人的作法都正确【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在图1中，由BM=2BF推出∠BMF=30°，所以∠MBF=60°，再根据等边三角形的判定方法即可证明．在图2中，证明方法类似．【解答】解：图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC∵AE=ED=BF=FC，AB=BM，∴BM=2BF，∵∠MFB=90°，∴∠BMF=30°，∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，∵MB=MC，∴△MBC是等边三角形，∴张萌的作法正确．在图2中，∵BM=BC=2BF，∠MFB=90°，∴∠BMF=30°，∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，∵MB=MC∴△MBC是等边三角形，∴小平的作法正确．故选D．【点评】本题考查正方形的性质、翻折不变性、直角三角形的性质，解题的关键是在一个直角三角形中如果斜边是直角边的两倍那么这条直角边所对的锐角是30度．10．如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A．12 B．16 C．18 D．24【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=10，AB=CD=8，再根据折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC ﹣BF=4，易得△CEF的周长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF==6，∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4，∴△CEF的周长为：CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=8+4=12．故选A．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，利用勾股定理得CF的长是解答此题的关键．11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE 沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF中根据勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题．【解答】解：设CE=x．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=52﹣32=16，∴AF=4，DF=5﹣4=1．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2，即x2=（3﹣x）2+12，解得：x=．故选B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD 沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（）A．cm B．cm C．2cm D．cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先由勾股定理求出BC，由折叠的性质可得∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，得出AE=AB﹣BE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，∴BC==3cm，∵将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，∴△BED≌△BCD，∴∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，∴AE=AB﹣BE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得：AE2+DE2=AD2，即22+x2=（4﹣x）2，解得：x=．故选：B．【点评】本题主要考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（3，0），连接AB，将△AOB 沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣x+C．y=﹣D．y=﹣2x+【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．【分析】由点A（0，4）、B（3，0），可求得AB的长，然后由折叠的性质，求得OA′的长，且△A′OC∽△AOB，再由相似三角形的性质，求得OC的长，继而利用待定系数法求得直线BC的解析式．【解答】解：∵点A（0，4）、B（3，0），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，由折叠的性质可得：A′B=AB=5，∠OA′C=∠OAB，∴OA′=A′B﹣OB=2，∵∠A′OC=∠AOB=90°，∴△A′OC∽△AOB，∴，即，解得：OC=，∴点C的坐标为：（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+．故选C．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．注意求得点C的坐标是解此题的关键．14．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，点O落在BC边上的点E处．则直线DE的解析式为（）A．y=x+5 B．y=x+5 C．y=x+5 D．y=x+5【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．【分析】首先在RT△ABE中，求出EB，再在RT△CDE中利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵△ADE是由△ADO翻折，∴DE=DO，AO=AE=10，∵四边形OABC是矩形，∴OC=AB=8，AO=BC=10，∠B=∠BCO=∠BAO=90°，在RT△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴EB===6，∴EC=4，设DO=DE=x，在RT△DCE中，∵CD2+CE2=DE2，∴（8﹣a）2+42=a2，∴a=5，∴点D（0，5），点E（4，8），设直线DE为y=kx+b，∴解得，∴直线DE为：y=+5．故选A．【点评】本题考查翻折变换、待定系数法确定一次函数的解析式，解题的关键是巧妙利用勾股定理，用方程的思想去思考问题，属于中考常考题型．15．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，当DE=2时，BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先由DE∥BC与折叠的性质，可证得DE是△ABC的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠EDF=∠BFD，由折叠的性质可得：∠ADE=∠EDF，AD=DF，∴∠B=∠BFD，∴BD=DF，∴AD=BD，同理：AE=EC，∴DE=BC，即BC=2DE=4．故选B．【点评】此题考查了折叠的性质以及三角形中位线的性质．注意证得DE是△ABC的中位线是关键．16．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（）A．AF=B．四边形ACDE是矩形C．图中与△ABC全等的三角形有4个D．图中有4个等腰三角形【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD，AB∥CD，AD=BC，由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE，等量代换得到AE=CD，AD=CE，推出四边形ACDE是平行四边形，于是得到AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B 正确；根据平行四边形和矩形的性质得到△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC，于是得到图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确；推出△BCE是等腰三角形，△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形，于是得到图中有5个等腰三角形，故D错误．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE，∴AE=CD，AD=CE，∵点B、A、E在同一条直线上，∴AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B正确；∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACDE是矩形，∴△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC，∴图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确；∵BC=CE，∴△BCE是等腰三角形，∵四边形ACDE是矩形，∴AF=EF=CF=DF，∴△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形，∴图中有5个等腰三角形，故D错误；故选D．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等腰三角形和矩形的判定方法．17．如图，有一张直角三角形纸片ABC，边AB=6，AC=10，∠ABC=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，则四边形ABDE的周长为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据勾股定理得到BC=8，由折叠的性质得到BD=CD=BC=4，DE⊥BC，根据三角形的中位线的性质得到DE=AB=3，AE=AC=5，于是得到结论．【解答】解：∵AB=6，AC=10，∠ABC=90°，∴BC=8，∵将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，∴BD=CD=BC=4，DE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴DE∥AB，∴DE=AB=3，AE=AC=5，∴四边形ABDE的周长=AB+AE+DE+BD=6+5+3+4=18，故选C．【点评】此题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系．18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据对称的性质得到△BFE≌△DFE，得到DE=BE．根据已知条件得到∠DEB=90°，设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，根据矩形的性质得到GE=AD=1，根据全等三角形的性质得到BG=EC=1.5，根据勾股定理得到AB=CD==5，通过△BDC∽△DEF，得到，求出BF=，于是得到结论．【解答】解：∵EF是点B、D的对称轴，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°．∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．在等腰梯形ABCD中，∵，∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，∴四边形AGED是矩形．∴GE=AD=1，∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，∴AG=DE=BE=2.5∴AB=CD==5，∵∠ABC=∠C=∠FDE，∵∠CDE+∠C=90°，∴∠FDE+∠CDE=90°∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，∴，∴DF=，∴BF=，∴AF=AB﹣BF=，∴=．故选B．【点评】此题考查等腰梯形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，注意结合图形，作出常用辅助线解决问题．19．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG 即可；【解答】解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=GF，∵E是边CD的中点，∴DE=CE=6，设BG=x，则CG=12﹣x，GE=x+6，∵GE2=CG2+CE2∴（x+6）2=（12﹣x）2+62，解得x=4∴BG=4．故选B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．【分析】根据关于y轴对称的点的特点找到B'，结合直角坐标系可得出点B′的坐标．【解答】解：∵将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，∴点B与点B′关于y轴对称，∴B′（2，3），故选B．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，坐标与图形的关系，熟记关于y轴对称的点的特点是解答本题的关键．21．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC 边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（）A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据翻折变换的性质可得AE=EC，AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，代入数据计算即可得解．【解答】解：∵△ABC的边AC对折顶点C和点A重合，∴AE=EC，AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=6cm，∴AC=AE+EC=6+6=12，∵△ABC的周长为36cm，∴AB+BC=36﹣12=24cm，∴△ABD的周长是24cm．故选A．【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边是解题的关键．22．如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF=，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据平行线的性质和翻转变换的性质得到FD=FE，FA=FC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵DC∥AB，∴∠FCA=∠CAB，又∠FAC=∠CAB，∴∠FAC=∠FCA，∴FA=FC=，∴FD=FE，∵DC=AB=8，AF=，∴FD=FE=8﹣=，∴AD=BC=EC==6，故选：D．【点评】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．23．如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠使点A落在DC′延长线上的点A′处，若图中，∠A=30°，BC=5cm，则折痕DE的长为（）A．B．2C．2D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，∵将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE=∠A′DE，∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE=×180°=90°，在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=5÷=cm，在Rt△BDE中，DE=BD•tan30°=×=cm．故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键．24．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先根据题意得到：△AED≌△ACD；进而得到AE=AC=6，DE=CD；根据勾股定理求出AB=10；再次利用勾股定理列出关于线段CD的方程，问题即可解决．【解答】解：由勾股定理得：==10，由题意得：△AED≌△ACD，∴AE=AC=6，DE=CD（设为x）；∠AED=∠C=90°，∴BE=10﹣6=4，BD=8﹣x；由勾股定理得：（8﹣x）2=42+x2，解得：x=3（cm），故选B．【点评】该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是借助翻折变换的性质，灵活运用勾股定理、全等三角形的性质等几何知识来分析、判断、推理或解答．25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB﹣BF，即可得到结果．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=•AF•BC=10．故选C．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．26．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=AE+DE=AE+BE=9．∴BE=9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选：A．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．27．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．B．C．1 D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，利用勾股定理即可求得AB的长，然后由折叠的性质，求得AE的长，继而求得答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=，∴AB==，由折叠的性质可得：AE=AB=，∴CE=AE﹣AC=．故选A．【点评】此题考查了折叠的性质以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．28．如图所示，折叠平行四边形的一边AD，使点A落在DC边上的点E处，已知AB=6，BC=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．1.5【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用平行四边形的对边相等得到AD=BC=4，DC=AB=6，再由折叠的性质得到DE=AD，由DC﹣DE求出EC的长即可．【解答】解：由折叠及平行四边形的性质得：AE=AD=BC=4，DC=AB=6，则EC=DC﹣DE=6﹣4=2，故选B．【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及平行四边形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．29．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：。

人教版初中八年级上册数学精品课件第十三章轴对称画轴对称图形画轴对称图形

练一练
1.点P(–5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__(_–_5__, _–_6__). 2.点M(a, –5)与点N(–2, b)关于x轴对称，则a=__–_2__, b =___5__.
探究新知
问题3：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于y轴的对称点吗?
y
A′(–2,3)
A (2,3)
巩固练习连接中考
1.如图，点A的坐标（–1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为（ A）
A．（1，2） B．（–1，–2） C．（1，–2） D．（2，–1）
巩固练习
连接中考
2.在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，–1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（ A ）
A．（4，1）
B．（–1，4）
O
你能说出点A 与点A'坐标的关系吗？
x
探究新知
做一做: 在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点.
y
(x , y)
关于 y轴对称
( –x, y )
B(–4,2) O
C '(3,4)
B '(–4,–2)
x
C (3,–4)
探究新知归纳总结
关于y轴对称的点的坐标的特点是: 横坐标互为相反数,纵坐标相等. （简称：横反纵同）
导入新知
如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系. 根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？
素养目标
2.掌握在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形的方法．
1. 理解在平面直角坐标系中，已知点关于x 轴或y 轴对称的点的坐标的变化规律．

沪教版数学(上海)七年级第一学期 11.5翻折与轴对称图形(作业设计)

这里在题目中增加了平面这一条件，主要是考虑到第（1）个容易给人一种立体图形的错觉
二．课后作业
试题
解答
设计意图
A组：
1、画出3个轴对称图形.（练习册P65/1）
熟悉一些常见的轴对称图形，如：线段、角、等腰三角形、等边三角形、正方形、矩形、圆、等腰梯形等.
要画出比较准确的图形的话，建议学生画线段、角、正方形、矩形、圆、等.
115翻折与轴对称图形作业设计上海市九年义务教育课本七年级第一学期课后作业b组2如图是由4个同样大小的正方形所组成的请再补上一个同样的小正方形使由5个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形
作业设计
教材上海市九年义务教育课本七年级第一学期（试用本）
课题11.5翻折与轴对称图形
一．课堂练习
试题
解答
设计意图
是轴对称图形，共有5条对称轴，学生只需根据题目要求求画出其中任意一条.
是轴对称图形，共有8条对称轴，学生只需根据题目要求画出其中任意一条.
深入理解轴对称图形的概念，会正确判断一个图形是不是轴对称图形，并能正确画出对称轴，知道对称轴是一条直线.
2、举出两个生活中轴对称图形的例子（课本P107/1）
汽车品牌标志：
交通标识：
银行标志：
等.
数学与生活息息相关，巩固对轴对称图形这一概念的理解，同时培养学生学习数学的兴趣.
3、把一张A4纸对折，
（1）任意剪出一个图形，然后展开，所得到的图形是一个轴对称图形吗？
（2）剪出一个图形，然后展开，使它成为一个等腰三角形.（课本P107/2、3）
A组：
1.填空题：（补充）
把一个图形沿________________过来，直线两旁的部分能够____________，这个图形叫做轴对称图形._____________就是它的对称轴.

轴对称、轴对称图形与轴对称的性质

Day1：轴对称与轴对称图形、轴对称的性质【知识梳理】知识点1：轴对称与轴对称图形如图所示，左边的三角形如果沿着中间的直线翻折，它将可以和右边的三角形完全重合．也就是说将一个图形沿着某条直线翻折，它能和另一个图形完全重合，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫做对称点；重合的角是对应角；重合的线段是对应线段．轴对称描述了两个图形之间的关系．如图所示，这些都是目前世界上著名品牌的商标．通过观察我们不难发现，第一行和第二行的第四个商标与前三个不一样，前三个似乎都有着一种奇特的样貌．如果一个图形沿着某条直线翻折，直线两旁的部分能完全重合，我们把这样的图形称为轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果把轴对称图形沿对称轴分成两个图形来看，那么这两个图形关于这条直线成轴对称．如果把成轴对称的两个图形看作一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形．知识点2：轴对称的性质1、成轴对称的两个图形全等．2、成轴对称的两个图形，如果对应线段所在直线有交点，交点必在对称轴上．3、成轴对称的两个图形，对称点连线被对称轴垂直且平分．【典型例题】1.下列四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（）A．1B．2C．3D．42.已知线段AB和''A B轴对称，求画出对称轴l．3.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A．150°B．210°C．105°D．75°4.如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴（保留作图痕迹）．5.点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF=80°，则∠CGE=．参考答案1、【答案】C【解析】第一个是轴对称图形，有2条对称轴；第二个是轴对称图形，有2条对称轴；第三个是轴对称图形，有2条对称轴；第四个是轴对称图形，有3条对称轴；∴对称轴的条数为2的图形的个数是3.2、【答案】见解析【解析】连接'AA，画出'AA的垂直平分线即为对称轴l．3、【答案】A【解析】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°．故选A．4、【答案】如图所示，直线AK即为所求的一条对称轴（解答不唯一）．5、【答案】80°。

专题03《轴对称》(学生版)

专题03 轴对称1．轴对称图形与轴对称的相关概念（1）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．（2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．2．轴对称的性质（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形．（2）轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等．（3）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（4）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（5）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上．3．轴对称与轴对称图形的区别与联系区别：（1）轴对称是指两个图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；（2）轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形而言的．联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合；（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分（即看成两个图形），那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．4．线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤先找到关键点，画出关键点的对应点，然后按照原图顺序依次连接各点．6．关于坐标轴对称的点的坐标的关系（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）．（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．（3）点（x，y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x，-y）．7．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（简写成等边对等角）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，（简写成三线合一）．8．等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成等角对等边）．9．等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60度．10．等边三角形的判定（1）三个角都相等的三角形是等腰三角形．（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．11．含30度角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．12．最短路径问题利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题．考点一、轴对称图形例1 （2020永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【名师点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．考点二、轴对称的性质例2（2020哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】解：∵∠BAC=90°，∠B=50°，∴∠C=40°，∵△ADB与△ADB/关于直线AD对称，点B的对称点是B/，∴∠AB/B=∠B=50°，∴∠ACB/=∠AB/B-∠C=10°，故选：A.【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，轴对称图形的两个部分也是全等图形，轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等．考点三、利用轴对称设计图案的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格例3 （2020吉林）图①、图②、图③都是33点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB 重合的线段MN ，使MN 与AB 关于某条直线对称，且M ，N 为格点．（2）在图②中，画一条不与AC 重合的线段PQ ，使PQ 与AC 关于某条直线对称，且P ，Q 为格点．（3）在图③中，画一个DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆关于某条直线对称，且D ，E ，F 为格点．【答案】（1）（2）（3）见解析．【解析】（1）如图①，MN 即为所求；（2）如图②，PQ 即为所求；（3）如图③，△DEF 即为所求．【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解本题的关键．考点四、图形的剪拼例4 （2020武汉一模）小明将一张正方形纸片按如图所示的顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），AOB ∠的度数是．【答案】22.5︒【解析】在解本题的过程中，可以找一张正方形的纸片进行如题操作，通过测量，来得到答案，也可以利用图形的轴对称的性质，直接得到AOB ∠的度数是22.5︒．【名师点睛】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，能够通过折叠理解角之间的对称关系是解题的关键．考点五、轴对称与最小值例5 （2020荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD （点D 在点C 右侧）在x 轴上移动()0,2A ，()0,4B ，连接AC 、BD ，则AC BD +的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设C（m，0），∵CD=2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（-2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴P/，连接MP/，此时P/M+P/N的值最小.∵N（-2，4），Q（0，-2）P/M+P/N的值最小值=P/N+P/=∴AC+BD的最小值为故选：B.【名师点睛】本题考查对称轴—最短问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题.考点六、线段垂直平分线的性质例6 （2020枣庄）如图，在ABCBC=，5AC=，∆中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，若6则ACE∆的周长为()A．8B．11C．16D．17【答案】B【解析】DE 垂直平分AB ，AE BE ∴=，ACE ∴∆的周长AC CE AE =++AC CE BE =++AC BC =+56=+11=，故选B ．【名师点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．考点七、坐标与图形变化--对称例7 （2020济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在格点上如果将△ABC 先沿y 轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B 的对应点B'的坐标为（）A ．（1，7）B ．（0，5）C ．（3，4）D ．（-1，2）【答案】C 【解析】由坐标系可得B （-1，1），将△ABC 先沿y 轴翻折得到B 点对应点（3，1）再向上平移3个单位长度，点B 的对应点/的坐标为（3，1+3），即（3，4），故选：C.【名师点睛】本题考查了坐标与图形变化--对称和平移，熟练掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．考点八、等腰三角形的性质例8 （2020齐齐哈尔）等腰三角形的两边长分别为3，4，其这个等腰三角形周长是．【答案】10或11．【解析】由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3时，三角形三边长为3，3，4，334+>，能构成三角形；周长=3+3+4=10，（2）当腰长为4时，三角形三边长为3，4，4，周长=3+4+4=11，故答案为：10或11．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．考点九、等腰三角形的判定例9 （2020黄冈模拟）如图，已知∠C ＝∠D ＝90°，BC 与AD 交于点E ，AC ＝BD ，求证：AE ＝BE ．【答案】见解析【解析】证明：∵∠C ＝∠D ＝90°，∴△ACB 和△BDA 是直角三角形，在Rt △ACB 和Rt △BDA 中，{AB =BA AC =BD， ∴Rt △ACB ≌Rt △BDA （HL ），∴∠ABC ＝∠BAD ，∴AE ＝BE ．【名师点睛】本题考查了全等的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．考点十、等边三角形的性质例10 （2020常州）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若△AFC 是等边三角形，则∠B= °．【答案】30【解析】∵EF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠B=∠BCF ，∴△ACF 为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°，故答案为：30.【名师点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，利用垂直平分线的性质求出∠B=∠BCF 是解本题的关键．考点十一、等边三角形的性质与判定例11 （2020宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B ，C 为小路端点）和一棵小树（A 为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=48米，则AC= 米．【答案】48【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，∴∠BAC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵BC=48米，∴AC=48米.故答案为：48.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABC 是等边三角形．考点十二、含30度角的直角三角形例12 （2020黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°点D在线段BC上，且∠B=30°，∠ADC=60°，，则BD的长度为．【答案】．【解析】∵∠C=90°，∠ADC=60°，∴∠DAC=30°，∴CD=12 AD，∵∠B=30°，∠ADC=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=AD，∴BD=2CD，∵∴，∴∴故答案为：【名师点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，直角三角形30°所对的直角边等于斜边一半的性质，属于基础题，速记性质是解题的关键.1.（2020宜昌）下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片．从对称美的角度看，拍得最成功的是（）A．B．C．D．2．将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是（）A．100°B．104°C．108°D．112°3.（2020潜江模拟）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°4.（2019·广西北部湾）如图，在△ABC中AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹可知∠BCG的度数为（）A. 40°B. 45°C.50°D.60°5．（2020大连）平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴的对称的点的坐标是（）A．（3，1）B．（3，−1）C．（−3，1）D．（−3，−1）6.（2020毕节）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长（）A．13 B. 17 C. 13或17 D.13或107．（2020聊城）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（）A．120° B. 130° C. 145° D.150°8.（2020武汉东西湖模拟）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条9．（2020成都一模）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（）A．10 B．16 C．8 D．410．如图，在△ABC 中，AB =AC =11，∠BAC =120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 的延长线于点E ，则DF 的长为（）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．611.（2020温州模拟）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。