一元一次不等式概念分析(1)
8年级-上册-数学-第3章《一元一次不等式》3.3一元一次不等式(1)一元一次不等式的概念
浙教版-8年级-上册-数学-第3章《一元一次不等式》3.3一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念--每日好题挑选【例1】一元一次不等式2x＋1≥3的最小整数解为。
【例2】若关于x 的一元一次方程x－m＋2＝0的解是负数，则m 的取值范围是。
【例3】将关于x 的不等式－x＋a≥2的解表示在数轴上如图所示，则a 的值是。
【例4】已知关于x 的不等式(a－1)x＞2的解为x＜2a－1a 的取值范围是。
【例5】已知不等式5x－2＜6x＋1的最小整数解是关于x 的方程2x－ax＝4的解，则a＝。
【例6】对一个实数x 按图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于88？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，那么x 的取值范围是。
【例7】设[x)表示大于x 的最小整数，如[3)＝4，[－1.2)＝－1，有下列结论：其中正确的是(填序号)。
①[0)＝0；②[x)－x 的最小值是0；③[x)－x 的最大值是1；④存在实数x，使[x)－x＝0.5成立．【例8】解不等式：7x－2≤9x＋3.圆圆同学的求解过程如下：解：移项，得7x－9x≤3－2，合并同类项，得－2x≤1，两边都除以－2，得x≤－12。
请你判断圆圆的求解过程是否正确，若不正确，请你写出正确的求解过程。
【例9】如果关于x 的方程x＋2m－3＝3x＋7的解是不大于2的实数，求m 的取值范围。
【例10】当a取何值时，关于x的方程2(x－2)＝4a＋6的解比关于x的方程13(x＋1)＝3－a的解小？【例11】当k取什么值时，关于x的方程3(x－2)＋6k＝0的解是正数？【例12】已知不等式x≤a的正整数解为1，2，3，4.（1）当a为整数时，求a的值；（2）当a为实数时，求a的取值范围。
【例13】已知关于x的方程x－x＋a3＝2的解是不等式2x＋a<2的一个解，求a的取值范围。
【例14】已知关于x，y的方程组当m为何值时，x>y？【例15】若关于x，y的解满足x＋y＞1，求k的取值范围.【例16】成都市某超市从生产基地购进200千克水果，每千克进价为2元，运输过程中质量损失5%，假设不计超市其他费用。
一元一次不等式的解集
一元一次不等式的一般形式是 ax + b > c、ax + b < c 或 ax + b ≥ c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
一元一次不等式的标准形式
总结词
一元一次不等式的标准形式是指将不 等式中的常数项移到右边，使左边只 包含未知数和其系数。
详细描述
一元一次不等式的标准形式是 ax > d、 ax < d 或 ax ≥ d，其中 a、d 是常数， a ≠ 0。
配问题等。
与一次函数的联系
01
02
03
定义
一次函数是形如y=kx+b 的函数，其中k、b为常数 且k≠0，x为自变量。
解法
在求解一次函数的值时， 常常需要利用一元一次不 等式的性质来求解，如求 解函数的定义域等。
应用
在实际问题中，一次函数 和一元一次不等式都可用 于解决实际问题，如最优 化问题、决策问题等。
02 将数轴上方的部分作为解集。
同样地，对于一元一次不等式 x 4 < 0，其解集可以通过区间表示 法表示为 (-∞, 4)，也可以通过数 轴表示法在数轴上标出临界点4， 并将数轴下方的部分作为解集。
04 一元一次不等式在实际问 题中的应用
最大值最小值问题
总结词
一元一次不等式在解决最大值和最小值问题中具有广泛应用。
05 一元一次不等式与其他数 学知识的联系
与一元一次方程的联系
定义
一元一次不等式和一元一次方程 都是只含有一个未知数，并且未
知数的次数为1的代数式。
解法
一元一次不等式和一元一次方程的 解法有许多相似之处，如去分母、 去括号、移项、合并同类项等。
应用
一元一次不等式组的概念及其解法
一元一次不等式组的概念及其解法在代数学中，不等式组是一种包含有两个或更多个不等式的数学表达式。
这些不等式之间可以通过逻辑连接诸如“且”或者“或者”等来关联起来，形成一个不等式组。
而一元一次不等式组则是其中一种特殊形式的不等式组，其中每个不等式均为一元一次不等式。
为了更清晰地理解一元一次不等式组的概念及其解法，让我们从简单的例子开始。
假设我们有一个一元一次不等式组：1. 2x + 3 > 72. x - 5 < 2在这个不等式组中，我们有两个一元一次不等式，分别为2x + 3 > 7和x - 5 < 2。
要解决这个不等式组，我们需要先单独解决每个不等式，然后将它们的解集合起来，以得出整个不等式组的解。
我们来解决第一个不等式2x + 3 > 7。
要解这个不等式，我们可以按照以下步骤进行：1. 将2x + 3 > 7化简为2x > 42. 再将2x > 4化简为x > 2第一个不等式2x + 3 > 7的解为x > 2。
接下来，我们来解决第二个不等式x - 5 < 2。
解决这个不等式的步骤如下：1. 将x - 5 < 2化简为x < 7第二个不等式x - 5 < 2的解为x < 7。
现在，我们得到了每个不等式的解，即第一个不等式的解为x > 2，第二个不等式的解为x < 7。
要得到整个不等式组的解，我们需要将这两个不等式的解进行合并。
由于这是一个“且”的关系，所以整个不等式组的解为同时满足这两个不等式的解，即2 < x < 7。
通过以上例子，我们可以看到解决一元一次不等式组的关键步骤。
首先是单独解决每个不等式，然后根据逻辑连接的关系合并这些解来得到整个不等式组的解。
在实际应用中，一元一次不等式组常常出现在数学建模和实际问题的求解中。
比如在工程、经济学、物理学等领域，人们经常需要通过建立不等式组来描述某一问题的限制条件，然后利用不等式组的解来得出问题的答案。
一元一次不等式的解法和应用
一元一次不等式的解法和应用一、不等式的基本概念不等式是数学中用于表示两个数之间大小关系的符号表达式，常用的不等式符号包括小于（<）、大于（>）、小于等于（≤）和大于等于（≥）。
二、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指形如ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。
我们可以通过以下几种方法来求解一元一次不等式：1. 图解法图解法是通过在数轴上绘制相关的直线和点来找到不等式的解。
其中，大于（>）或小于（<）的不等式以虚线表示，大于等于（≥）或小于等于（≤）的不等式以实线表示。
例如，对于不等式2x+3>5，我们首先画出直线y=2x+3。
然后，我们要找到使得2x+3>5成立的x的取值范围，在数轴上标记点A(1, 5)。
由于不等式的符号是大于，所以我们需要找到大于点A的所有点，即x>1。
因此，不等式2x+3>5的解为x>1。
2. 代数法代数法通过代数运算的方式求解一元一次不等式。
我们可以按照下列步骤进行：步骤一：将不等式转化为简化形式，即将不等式中的系数化简为最简形式。
步骤二：根据不等式的符号，进行分析和变换。
当不等式为大于（>）或小于（<）时，不改变符号直接进行下一步；当不等式为大于等于（≥）或小于等于（≤）时，需要在两边同时加上或减去同一个数，然后不改变符号，进行下一步。
步骤三：根据最简形式确定解的范围，并写出解的形式。
例如，对于不等式2x+3>5，我们首先将系数化简为最简形式，即2x>2。
然后，通过减去3这一常数项，不改变符号，得到2x>2-3，即2x>-1。
最后，根据最简形式确定解的范围，即x>-1/2。
因此，不等式2x+3>5的解为x>-1/2。
三、一元一次不等式的应用一元一次不等式在实际生活中有许多应用，特别是在解决实际问题时。
一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析
一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
2.一元一次不等式的解集：使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。
一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。
注：其标准形式： ax+b ＜0或ax+b ≤0， ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a<(x a >或)x a x a ≥≤或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321≤---x x解不等式： 解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （（不要漏乘！x <a x >a x ≤a x ≥a五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <)①⎩⎨⎧>>b x a x 的解集是b x >，如下图： ②⎩⎨⎧<<b x a x 的解集是a x <，如下图：同大取大 同小取小③⎩⎨⎧<>b xa x 的解集是b x a <<，如下图：④⎩⎨⎧><bx a x 无解，如下图：大小交叉取中间 大小分离解为空六、解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．七、一元一次不等式的综合应用1.列不等式解决问题比列方程解决问题的应用更广泛、更实际。
有些问题用方程不能解决，而用不等式却能轻易解决。
一元一次不等式的基本概念
。 。
6+5 < 9+5
6+(-3)
< 9+(-3)Biblioteka 6*5< 9*5
6*(-5)
>
9*(-5)
1.不等式的两边都加上（或等于）同一个数或整式， 不等号的方向不变。 2.不等式的两边都乘（或除以）同一个正数不等号方 向不变。 3.不等式的两边都乘（或除以）同一个负数不等号方 向改变。
一.选择题. 1 若a>b ,则下列不等式一定成立的是( D ) A.b/a<1 B.b/a>1 C.-a>-b D.a-b>0 2 由m>n，则下列各式正确的是（C ）。 A。ma的平方>na的平方 B。m/a的平方>n/a的平方 C。-（a的平方+1）m< -（a的平方+1） n D。m的平方>n的平方
方程的基本性质
1.等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的等式仍 然成立。 a=b，c表示任意的数或整式，那么a+c=b+c
2.等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不为零），所得的 等式仍然成立。 a=b，c表示任意的数 ，那么ac=bc c≠0。
例1： 1.如果a=3，那么a+5=b 2.如果3x=6,那么x=6
• 用">"或"<"填空. • 若x-5>y-5,则(1)x > y • (2)x+5 > y+5 • (3)5-2x < 5-2y •
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一元一次不等式概念
一元一次不等式的基本性质
1 加减法性质
对不等式的两边同时加减一个数，不等式的 关系不改变。
2 乘除法性质
对不等式的两边同时乘除一个正数，不等式 的关系不改变；对不等式的两边同时乘除一 个负数，不等式的关系改变。
3 倒置性质
如果改变不等式两边的位置，不等式的关系 将相反。
4 传递性质
如果 a > b 且 b > c，则 a > c。
一元一次不等式的绝对值不等式
定义
绝对值不等式是一种特殊的一 元一次不等式，其中包含一个 未知数的绝对值表达式。
Байду номын сангаас解法
通过分情况讨论和绝对值的性 质，我们可以求解绝对值不等 式并得到其解集。
示例
例如，|2x + 3| < 7 是一个绝对 值不等式。
一元一次不等式在生活中的应用
1 经济学
不等式可以用来描述资源分配、生产优化和供求平衡等经济学问题。
一元一次不等式的图形表示
数轴
数轴可以帮助我们直观地表示一 元一次不等式中未知数的取值区 间。
阴影区域
阴影区域表示满足一元一次不等 式的所有解的范围。
开圈与实心圈
不等式中使用的开圈和实心圈表 示边界是否包含在解集里。
一元一次不等式的解集概念
一元一次不等式的解集是满足不等式的所有实数的集合。解集可能是一个区 间、一个点或者空集。
一元一次不等式的等效变形
1
消去常数项
通过加减法，将常数项移到不等式的右边，变成0。
2
移项
通过加减法，将未知数的系数移到不等式的右边，变成0。
3
合并同类项
将不等式中同类项的系数相加合并。
一元一次不等式的加减法
一元一次不等式的特点-概述说明以及解释
一元一次不等式的特点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该是对一元一次不等式的特点进行简要介绍和概括。
下面是可能的概述内容：概述:一元一次不等式是数学中的基础概念之一，它描述了未知数在数轴上的取值范围。
不同于一元一次方程，不等式可以有无数个解，从而具有独特的特点和性质。
本文将重点探讨一元一次不等式的特点及其在数学和实际问题中的应用。
一元一次不等式的特点主要体现在以下几个方面：首先，一元一次不等式的解集通常是由一个区间或数轴上的一段区间表示。
这意味着我们可以通过图形表示法直观地看出解集的位置和范围，更方便地理解问题。
其次，一元一次不等式的解集可以用不等式符号表示。
这些符号包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)、小于等于(≤)等，用于表示不同类型的不等式。
不等式符号的选择取决于问题本身的条件和要求。
此外，一元一次不等式的解集可以用数集符号表示。
数集符号包括开区间、闭区间、半开半闭区间等，用于更精确地描述解集在数轴上的位置和范围。
数集符号的选择取决于不等式中的不等号类型和边界条件。
最后，一元一次不等式的解集可以通过代数方法求解。
我们可以利用不等式的性质和规律，运用加减乘除、移项合并等运算规则，将不等式转化为等价的形式，从而找到解集的具体表达式。
通过对一元一次不等式的特点的分析和理解，我们可以更好地应用它们解决数学问题，如解决问题的范围限制、找到满足特定条件的解等。
另外，在实际问题中，一元一次不等式也有着广泛的应用，如经济学中的供需关系、物理学中的速度限制等。
因此，深入了解和掌握一元一次不等式的特点对于建立数学思维和解决实际问题都具有重要意义。
这篇文章将通过分析一元一次不等式的特点，并进一步探讨其在数学研究和实际应用中的意义和未来研究方向，旨在帮助读者更全面地理解一元一次不等式并应用于实践。
文章结构部分的内容可以包含以下几个方面：1.2 文章结构：本文按照以下结构进行组织和呈现：引言：首先介绍一元一次不等式的概念和基本定义，并说明其在数学中的重要性和应用领域。
关于x的一元一次不等式组-概念解析以及定义
关于x的一元一次不等式组-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以按照以下思路进行撰写：一元一次不等式组是数学中常见的一个概念，它由一组含有一个未知数的一次不等式组成。
在解决实际问题中，我们经常会遭遇到多个不等式关系同时存在的情况，此时就需要用到一元一次不等式组的求解方法。
一元一次不等式组有其独特的特点，首先它涉及到的未知数只有一个，这使得问题的解决过程相对较为简单和直接。
其次，该类型的不等式组中的每个不等式均为一次函数，即未知数的次数均为一次。
这种特点使得我们可以运用常见的数学方法和技巧进行解题。
对于求解一元一次不等式组的方法，我们可以采用代入法、消元法等不同的策略。
通过将不等式组的不等式进行变换和合并，我们可以逐步简化问题，并最终得出解集。
当然，在实际应用中，我们也需要根据具体问题的特点，选择合适的解法和技巧，以提高解题效率。
一元一次不等式组在数学中拥有广泛的应用。
它可以被用于描述各类实际问题，如经济学中的成本收益分析、优化问题等。
通过建立合适的一元一次不等式组，我们能够对问题进行定性和定量的分析，并得出相应的结论和解决方案。
综上所述，一元一次不等式组是数学中一个重要且常见的概念。
它有其独特的特点和求解方法，应用广泛，并能够帮助我们解决各类实际问题。
在后续的文章中，我们将深入探讨一元一次不等式组的定义、求解方法以及应用领域，以期加深对该概念的理解和掌握。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下顺序来展开对关于x的一元一次不等式组的内容进行讨论和分析：第一部分：引言在引言部分，我们将对本文所要讨论的话题进行概述，简要介绍关于x的一元一次不等式组的定义和特点，以及本文的目的和总结。
第二部分：正文在正文的第一小节，我们将详细定义一元一次不等式组，并介绍其特点和基本性质。
我们将探讨一元一次不等式组的形式和结构，以及它们与方程组的关系。
此外，我们还将介绍一元一次不等式组的解集的特点和性质。
一元一次不等式
一元一次不等式一元一次不等式是高中数学中常见的题型，也是学习代数的基础内容之一。
它是由一个一次式与一个数的关系构成的，其中包含了未知数x的不等式。
本文将介绍一元一次不等式的基本概念、解法和应用。
一、一元一次不等式的基本概念一元一次不等式的一般形式为ax + b < c（或ax + b > c），其中a、b、c为给定的实数，且a ≠ 0。
在解一元一次不等式时，需要找出使不等式成立的x的取值范围。
二、一元一次不等式的解法1. 移项法通过移项可以将一元一次不等式转化为形如x < d（或x > d）的不等式，其中d为一个实数。
移项的过程如下：（1）如果不等式中含有加法或减法运算，可以通过加减法逆元的变换，将不等式转化为x < d或x > d的形式。
（2）如果不等式中含有乘法或除法运算，可以通过乘除法的变换，将不等式转化为形如ax < b（或ax > b）的形式。
注意乘除的时候需要考虑a的正负性。
2. 分情况讨论法当一元一次不等式中存在绝对值、分数等特殊情况时，可以采用分情况讨论法来求解。
需要根据不同情况的实际意义，分别列出对应的不等式并求解。
三、一元一次不等式的应用一元一次不等式在实际问题中有着广泛的应用。
下面以两个典型问题为例，介绍一元一次不等式的应用。
1. 生活中的应用假设某市公交车票价为2元，同时发行了一种优惠卡，每次乘车只需支付1元。
现假设一人每月乘坐公交车次数不少于12次，求这人每月乘坐公交车所需的费用范围。
解：设这人每月乘坐公交车的次数为x次，则有不等式x ≥ 12。
因为每次乘车需支付的费用范围为1元至2元，所以还可得出不等式1 ≤ x ≤ 2。
因此，这人每月乘坐公交车的费用范围为12元至24元。
2. 经济学中的应用某的家庭年收入I万元，每年花费C万元。
已知为了正常生活，家庭应至少储蓄S万元。
写出家庭年收入与花费的不等关系，并求解I的范围。
解：根据题目可以得出不等式 I - C ≥ S。
一元一次不等式
一元一次不等式一元一次不等式是初中数学中的一个重要概念。
它是一种用来描述数之间大小关系的数学式子，由一个未知数和一个或多个常数构成。
本文将从基本概念、求解方法和应用场景三个方面介绍一元一次不等式的相关知识。
1. 基本概念一元一次不等式是指由一个未知数和一个或多个常数构成的不等式。
一元一次不等式的一般形式为Ax + B > 0（或< 0），其中A和B为实数，且A ≠ 0。
在求解一元一次不等式时，需要注意以下几个基本规则：- 若A > 0，则不等式两端同时乘以正数（或正数的等价形式）不改变不等式的方向。
- 若A < 0，则不等式两端同时乘以负数（或负数的等价形式）会改变不等式的方向。
- 不等式两端同时加（或减）同一个数值，不等式的方向不变。
2. 求解方法对于一元一次不等式的求解，我们可以采用图像法、试值法或代数法等不同方法。
2.1 图像法图像法是一种直观的方法，通过绘制函数图像来确定不等式的解。
对于一元一次不等式Ax + B > 0（或< 0），我们可以绘制出函数y = Ax + B 的图像，并根据图像在数轴上的位置来确定不等式的解集。
2.2 试值法试值法是一种简单有效的方法，在不等式两边选择一些特定的数值进行代入，然后判断不等式的成立情况。
通过不断尝试，最终找到满足不等式的解集。
2.3 代数法代数法是一种更为精确的方法，它基于等价变形和性质运算对不等式进行求解。
通过将一元一次不等式进行等价变形，将未知数的系数化为1，从而得到不等式的解集。
3. 应用场景一元一次不等式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是两个常见的应用场景：3.1 财务管理在财务管理中，一元一次不等式可以用来描述投资、贷款或收入等方面的问题。
例如，假设一个人每月的收入为x元，他将其中的40%用于生活费，那么可以通过不等式0.4x > 1000 来计算他每月的最低收入。
3.2 生产与销售在生产与销售中，一元一次不等式可以用来描述成本、销售量和利润等关系。
一元一次不等式及其解法-概述说明以及解释
一元一次不等式及其解法-概述说明以及解释1.引言在文章1.1 概述部分中，我们可以简要介绍一元一次不等式的基本概念和其在数学中的重要性。
以下是一个可能的内容：一元一次不等式是数学中的一种重要概念，它是由一个未知数和常数构成的不等式。
具体而言，一元一次不等式通常可以写为类似于ax + b > c的形式，其中a、b和c分别表示已知系数和常数。
不同于等式，不等式描述了一个不同解集的范围，这使得一元一次不等式的研究在数学中具有广泛的应用。
在解决一元一次不等式时，我们经常需要利用数学推理和算术法则来确定未知数的取值范围。
通过将未知数从不等式的一侧移动到另一侧，并对不等式进行简化和整理，我们可以得到不等式的解集。
这些解集可以用图形方式表示在数轴上的位置，从而帮助我们更直观地理解不等式的含义和解的范围。
了解和掌握一元一次不等式的解法对于解决实际问题中的数学推理和分析至关重要。
通过研究一元一次不等式，我们可以根据特定的条件来确定未知数的取值范围，从而找到满足不等式的解。
这在数理逻辑、经济学、工程学等领域中都有广泛的应用。
例如，在供求关系的分析中，我们可以利用一元一次不等式来确定某种商品的价格范围，从而帮助企业做出合理的定价策略；在工程领域，一元一次不等式可以帮助工程师确定材料的强度要求，从而确保工程的安全性。
本文将详细探讨一元一次不等式的定义、解法以及应用，通过理论分析和具体案例的介绍，希望能够帮助读者更好地理解和应用一元一次不等式。
同时，对于一元一次不等式解法的思考和其未来的发展进行探讨，有助于进一步推动数学研究和应用的发展。
1.2 文章结构本文主要介绍一元一次不等式及其解法。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要对文章进行概述，说明文章的研究背景和意义。
首先，我们会简要介绍一元一次不等式的定义，引出本文的主题。
接着，我们将说明文章的结构，包括各部分的内容和安排。
最后，我们会明确文章的目的，即通过深入研究一元一次不等式及其解法，探索其重要性和应用。
一元一次不等式的解法(基础)知识讲解
一元一次不等式的解法（基础）知识讲解撰稿：孙景艳 责编：吴婷婷【学习目标】1．理解一元一次不等式的概念；2.会解一元一次不等式．【要点梳理】【高清课堂：一元一次不等式 370042 一元一次不等式 】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x >是一个一元一次不等式． 要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为ax b >（或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左．【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些?(1)3x+5＝0 (2)2x+3＞5 (3)384x < (4)1x≥2 (5)2x+y ≤8 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断，(1)是等式；(4)不等式的左边不是整式；(5)含有两个未知数．【答案与解析】解：(2)、(3)是一元一次不等式．【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可． 类型二、解一元一次不等式2.解不等式：2)1x (3)1x (2-+<-，并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．【答案与解析】解：去括号，得：23x 32x 2-+<-移项、合并同类项，得：3x <-系数化1得：3x ->这个不等式的解集在数轴上表示如图：【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向． 举一反三：【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为 ( )【答案】C3.解不等式：2121312+-≤-x x ,并把它的解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】按基本步骤进行，注意避免漏乘、移项变号，特别注意当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变．．【答案与解析】解：2121312+-≤-x x 去分母，得2（2x-1）≤6-3（2x+1）去括号，得4x-2≤6-6x-3移项， 得4x+6x ≤6-3+2合并同类项，得10x ≤5系数化为1，得x ≤21 这个不等式的解集在数轴上表示如图： 【总结升华】去分母时，不要漏乘没有分母的项． 举一反三： 【变式】若3511+-=x y ,14522--=x y ,问x 取何值时，21y y >． 【答案】解：∵3511+-=x y ,14522--=x y , 若21y y >，则有1452351-->+-x x 即 6101<x ∴当6101<x 时，21y y >． 4.关于x 的不等式2x -a ≤-1的解集为x ≤-1，则a 的值是_________．【思路点拨】首先把a 作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为x≤-1即可得到关于a 的方程，解方程即可求解．【答案】－１【解析】由已知得：12a x -≤，由112a -=-，得1a =-． 【总结升华】解不等式要依据不等式的基本性质，注意移项要改变符号．举一反三：【变式1】如果关于x 的不等式(a+1)x ＜a+1的解集是x ＞l ，则a 的取值范围是________．【答案】1a -<【高清课堂：一元一次不等式 370042 例6】【变式2】已知关于x 的方程2233x m x x ---=的解是非负数，m 是正整数，求m 的值． 【答案】解：由2233x m x x ---=，得x ＝22m -， 因为x 为非负数，所以22m -≥0，即m ≤2， 又m 是正整数，所以m 的值为1或2．。
一元一次不等式知识点总结
一元一次不等式知识点一：不等式的概念1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。
3．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程叫做解不等式。
如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。
要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。
知识点二：不等式的基本性质基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
一元一次不等式知识点及典型例题
一元一次不等式 考点一、不等式的概念 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
例 判断如下各式是否是一元一次不等式？ word-x≥5 2x-y＜02x 34x 5x22 x532、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数二 不等式的解 ：的值，都叫做这个不等式的解。
三 不等式的解集：3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简 例 判断如下说法是否正确，为什么？称这个不等式的解集。
X=2 是不等式 x+3＜2 的解。
X=2 是不等式 3x＜7 的解。
不等式 3x＜7 的4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
解是 x＜2。
X=3 是不等式 3x≥9 的解5、用数轴表示不等式的方法四 一元一次不等式：考点二、不等式根本性质例 判断如下各式是否是一元一次不等式1、不等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变。
－ｘ＜５ ２ｘ－ｙ＜０2x 3x22 x 5 ≥３ｘ3、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变。
例 五．不等式的根本性质问题4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运 例 1 指出如下各题中不等式的变形依据算改变。
②如果不等式乘以 0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的 数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的1〕由 3a>2 得 a> 2 32) 由 3+7>0 得 a>-7数就不等为 0，否如此不等式不成立； 考点三、一元一次不等式3〕由-5a<1 得 a>- 1 54)由 4a>3a+1 得 a>11、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1， 例 2 用>〞或<〞填空，并说明理由且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
《一元一次不等式与不等式组》知识讲解(1)
3
初一实验班——荣伟伟
一元一次不等式的解法
要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，
2 x 50 是一个一元一次不等式． 3
要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为 1． (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一 元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
移项、合并同类项得： − 3 x 6 4
系数化 1，得 x −8 故原不等式的解集是 x −8
例 3.m 为何值时，关于 x 的方程： x − 6m −1 = x − 5m −1 的解大于 1？
63
2
【答案与解析】
解： x-12m+2=6x-15m+3
5x=3m-1
x = 3m −1 5
要点二、一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为： x a （或 x a ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：
(1)去分母； (2)去括号； (3)移项；
(4)化为 ax b （或 ax b ）的形式（其中 a 0 ）；
例
4.若关于
x、y
的二元一次方程组
3x + y x + 3y
=1+ =3
一元一次不等式
一元一次不等式一元一次不等式的概念只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。
要点诠释：(1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)。
一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。
2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.注意事项:（1）在解一元一次不等式时，每个步调其实不肯定都要用到，可按照具体问题灵活运用（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘统一个数，尤其不要漏乘常数②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。
3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有没有限多个解，它对当前正确确定一元一次不等式组的解集有很大匡助。
留意事项：在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和偏向：（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）偏向：大向右，小向左1、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。
2、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为或的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。
一元一次不等式概念
一元一次不等式概念一元一次不等式一、定义：一元一次不等式（First-Degree Inequality）是指形如ax+b>0或ax+b<0，其中a≠0，b∈R的不等式，它可以是大于、小于也可以是大于等于或小于等于的不等式。
二、图示：一元一次不等式主要以图示形式显示，即一条直线将不等式的等式线两边划分开，用虚线或实线表示不等式约束，一边为等式约束的大区域，另一边为等式约束的小区域。
三、特点：1、它具有足够的灵活性，可用于约束系统基本参数值（不会超出或低于一定限定值）；2、可用于衡量某一变量的变化幅度及其在某一范围内的活动范围；3、可用于描述数据的分布规律及其范围分布及某一变量的取值范围；4、可用于表达某一变量与另一变量的线性关系；5、可用于阐明某一系统的操作范围及其边界表达。
四、运算：1、一元一次不等式的运算，主要以求解等式解、移项法求出唯一解、求出取值范围等形式进行运算。
2、求解等式解：首先根据一元一次不等式ax+b>0或 ax+b<0 将不等式化为等式，其次通过移项法求出不等式的唯一解。
3、求出取值范围：可以根据一元一次不等式求出取值范围，在一元一次不等式ax+b<0的情况下，可以通过移项法将不等式转化为x<-b/a，其中-b/a即为该一元一次不等式的取值范围。
五、应用：一元一次不等式可以应用在实际生活及工程分析中，1、实际生活中，一元一次不等式可以用于表示某一特征或条件可接受的取值范围，比如温度小于等于37℃，代表了最大温度上限，或者重量大于等于2kg，代表了最小重量下限；2、工程分析中，一元一次不等式可以用于分析压力、温度、压力与力矩的关系等物理行为，也可以用于研究变量关系及问题解决，也可以用于衡量某一变量的变化幅度及其在某一范围内的活动范围。
总之，一元一次不等式之所以广泛应用在实际生活及工程分析中，在于它可以清楚地表达变量间的约束性关系，显示出变量间的上下界限，以及变量可接受的取值范围等，是一种非常方便、实用的数学工具。
一元一次不等式知识点总结
一元一次不等式知识点总结一元一次不等式的解法一元一次不等式是指未知数的最高次数为1的不等式。
解一元一次不等式的方法有两种：代数法和图像法。
代数法：通过运用不等式的基本性质，将不等式中的未知数移到一边，常数移到另一边，得到未知数的取值范围，即解集。
图像法：将一元一次不等式表示在数轴上，通过数轴上的点的位置判断不等式的解集。
一元一次不等式的解决在现实情景下的实际问题一元一次不等式可以用来解决现实情景中的实际问题，例如：问题1：某公司的年利润不少于100万元，设年利润为x 万元，写出不等式并求解。
解法：根据题意，得到不等式x≥100.因为年利润是一个非负数，所以解集为x≥100.问题2：某物品的重量不超过5千克，设物品的重量为x 千克，写出不等式并求解。
解法：根据题意，得到不等式x≤5.因为物品的重量是一个非负数，所以解集为0≤x≤5.通过以上两个例子可以看出，一元一次不等式可以用来解决现实情景中的实际问题，需要根据题意确定未知数的含义和范围，然后通过解不等式得到解集。
基本性质3：如果一个不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，那么不等号的方向会改变。
要点解释：1) 研究不等式的基本性质1与研究等式的性质类似，可以对比掌握。
2) 不等式的基本性质1中的“同一个整式”指的不仅是相同的数，还包括相同的单项式或多项式。
3) “不等号的方向不变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”。
4) 在运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。
知识点三：一元一次不等式的概念只含有一个未知数，且未知数的次数为1，系数不为0的不等式，叫做一元一次不等式。
要点解释：1) 一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.2) 一元一次不等式和一元一次方程相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)。
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2、解一元一次不等式
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同。应用上面的性质（2）和性质（3）解题时，要注意不等号的方向。
3、不等式组解集的确定方法（设a<b）
（1） 的解集是 ，即“小小取小”，如图1。
图1
（2） 的解集为 ，即“大大取大”，如图2。
一元一次不等式概念分析
1、不等式的三条性质
不等式的性质是对不等式进行变形的重要依据，是学好不等式的基础和关键。
（1）不等式两边加上（或减去）同一个数（或式），不等号方向不变，如果a>b，那么 。
（2）不等式两边乘（或除）以同一个正数，不等号的方向不变。如果a>b，c>0，那么 或 。
（3）不等式两边乘（或除）以同一个负数，不等号的方向改变。如果 ，那么 或 。
图2
（3） 的解集为 ，即“小大大小中间找”，如图3。
图3
（4） 无解，即“大大小小解不了”，如图4。
图4
有等号的情况类似。
例1实数a、b、c在数轴上的位置如图5，则下列式子成立的是（）
A、ab>bcB、ac>bcC、ac>abD、ab>ac
图5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分析：从a、b、c在数轴上的位置可知，a>0，b<0，c<0。由a>c，不等式两边都乘以b，不等号改变方向，ab<bc，所以A不正确。由a>b，不等式两边都乘以c，不等号改变方向，ac<bc，所以B不正确。由b>c，不等式两边都乘以a，不等号不改变方向，ab>ac，所以C不正确，D正确。
（2）利用不等式的三条性质进行不等式变形，注意不等号的方向。
解：（1）① ；② 。
（2）① ；② 。
例3如图6，对a、b、c三种物体的质量判断正确的是（）。
A、a<cB、a<bC、a>cD、b<c
图6
分析：由图6可知，2b=3c，即6b=9c；2a=3b，即4a=6b。
所以4a=6b=9c，即a>b>c
解：选D。
例2（1）用不等式表示：①x的一半与4的差是负数；②x、y两数的平方和不大于2。
（2）①若a>b，则 _______ ；②若a>0，b<0，c<0，则 _______0。（填“>”或“<”）
分析：（1）列不等式时要注意：“非负数”就是正数或零；“不大于”就是小于或等于，用符号“≤”表示；“正数”即大于0的数，可用“>0”表示；“负数”即小于0的数，可用“<0”表示。
解：选C。