西安电子科技大学考研复试科目-离散数学01谓词逻辑a
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西安电子科技大学考研复试科目-离散数学01命题逻辑a
若一个命题已不能分解成更简单的命题, 则这个命题叫原 子命题或本原命题。 例 1 中(a) , (b) , (d) , (e)都是本原命题, 但(c) 不是, 因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两个命题。 命题和本原命题常用大写字母P , Q , R表示。 如用P表示 “4 是质数”, 则记为 ; P: 4 是质数。 表示命题的符号称为命题标识符。一个命题标识符如果表示确 定的命题，就称为命题常元；如果表示任意命题，就称为命题 变元。命题变元不是命题。可以对命题变元进行指派。
4
……
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
lqmao@
课程信息
离散数学是现代数学的一个分支，以离散对象的结 构和相互关系为研究对象。 主要包括数理逻辑、集合论、代数结构和图论四部 分 通过学习本课程，掌握基本的离散信息的组织和管 理方法，了解计算机科学的部分理论基础。 强调逻辑性、抽象性，注重概念、方法与应用。
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
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lqmao@
在代数式x+3 中, x , 3 叫运算对象, +叫运算符, x+3 表示运算结果。在命题演算中, 也用同样术语。联 结词就是命题演算中的运算符, 叫逻辑运算符或叫逻 辑联结词（logic connective） 。常用的有以下 5 个：否定、合取、析取、条件、双条件
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3. 析取∨ 如果P和Q是命题，那么“P或Q”是一个复合命题，记做P∨Q， 称为P和Q的析取（disjunction）。当且仅当P、Q至少有一个为T 时，P∨Q为T，否则，P∨Q为F。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1
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P∨Q 0 1 1 1 西安电子科技大学计算机学院 毛立强
2011年西安电子科技大学考研复试-离散真题
2004—2005学年第1学期试卷一、判断题：（10分，在括号内划“√”或“×”）√√（）1．“如果太阳从西边出来，则2+2=4”，此命题值为假。
（）2．(1,3,3,3)可以成为无向简单图的度数序列。
（）3．有一个函数f：X→Y，若f具有反函数，则f一定是单射。
（）4．（P∧Q）→（P∨Q）是永真式。
（）5．在某集合上二元运算中，若某元素存在左右逆元，则该元素逆元唯一。
（）6．命题公式的主析取范式为0，则其主合取范式为1。
（）7．有向图的关联矩阵中所有元素之和为该图度之和。
（）8．初级回路一定是简单回路。
（）9．若关系R具有自反性，则一定不具有反自反性。
（）10．∀x(A(x) →∃yH(x,y))在具体的解释中其值是确定的。
二、填空（共30分）1．设A={1，2}，P(A)表示A的幂集，,则P(A) ⨯ A =_____________________。
2．在一阶逻辑中符号化命题:“所有的人都是要死的”（只能用存在量词）：_________________________________________________。
3．P(x)→∀y R(x,y)的前束范式是：_________________________。
4. n阶有向完全图中所有顶点的度数之和为________,则5.已知从A到A/R的函数g：A→A/R为自然映射，A={1,2,3 }，R=EA g(1)=____________________________。
6. 设函数f(x)=2x + 1,g(x)= x2-2,则f o g =____________________。
7. Klein四元群的运算表如下，其有__________________个子群。
e a b ce e a b ca a e c bb bc e ac c b a e8.〈R，+〉为代数系统，给定b∈Z，令函数f：R→R，且f(x)＝bx，当b满足 ______________时， f是〈R，+〉的自同构。
《离散数学》课件-第二章 谓词逻辑(A)
• 谓词是用来说明个体的性质或个体间的关系。
• 例如，小王是个大学生
•
谓词
•
个体词
3大于2
个体词
个体词
谓词
2
谓词
• 形如“b是A”类型的命题可表达为A(b)；
• 表示多个个体间关系的命题，可表达为B(a，b)，或P(a，b， c)
• 定义2.1.2 和一个个体相联系的谓词称为一元谓词，和二个 个体相联系的谓词称为二元谓词，和n个个体相联系的谓词 称为n元谓词。
• yxP(x，y)表示命题：“存在实数y，对每一个实数x，都 有x+y>10成立”，这是个假命题，真值为0。
• 注意：除非所有量词都是全称量词或存在量词，否则，多个 量词同时出现时，不能随意颠倒量词的顺序，颠倒后会改变 原命题的含义。
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2.2 谓词演算公式
• 一个谓词P和n个个体变元，如x1，x2，x3， xn，表示成P(x1，x2，x3，
都是谓词公式。 • 如果A是谓词公式，x是其中的任一变元，则xA和xA都是谓
词公式。 • 当且仅当有限次地应用上面的步骤得到的符号串才是谓词公式。
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量词的辖域及变元的约束
• 定义2.2.2 • 谓词公式xA和xA中出现在量词和后面的变元x称为量词的指导变元。 • 每个量词后面的最小的谓词子公式，称为该量词的辖域。 • 在量词的辖域中，x的所有出现都称为约束出现。约束出现的变元称为约束
• 一个谓词常项P和几个个体变元如x，y，z，表示成P(x，y，z， )的形式，称为命题函数，其中的个体变元可以代表任意一个个体。
• 注意：命题的谓词表达式是有真值的，命题函数的真值是不确定的。
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例题 • 写出下列命题的谓词表达式。
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
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谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
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谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
离散数学的谓词逻辑详解
两种量词: 全称量词和存在量词.
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
离散数学谓词逻辑
VS
复合命题
由原子命题通过逻辑运算符组合而成的命 题，如“John is a student and Mary is a teacher”
逻辑运算符和括号的使用
逻辑运算符
and（合取）、or（析取）、not（否定）、if...then（蕴含）等
括号的使用
对于复杂的命题，需要使用括号来表示逻辑运算的优先级
逻辑模型
通过建立合适的逻辑模型，将实际问题转 化为逻辑推理问题，从而得到最优解或可 行解。
06
总结与展望
离散数学谓词逻辑的重要性和应用价值
离散数学谓词逻辑是计算机科学、人 工智能、通信工程、应用数学等多个 学科领域的基础工具，对于解决这些 领域的问题具有重要的应用价值。
离散数学谓词逻辑提供了一种描述客 观世界中离散结构及其性质的方式， 可以用来刻画和解释计算机科学中的 数据结构和算法、人工智能中的知识 表示和推理等问题。
04
离散数学中的逻辑推理方法
演绎推理
定义
演绎推理是根据某些前提，通过推理得出结论的思维 方式。在离散数学中，演绎推理通常涉及逻辑推理、 集合推理、量词推理等。
形式化
演绎推理通常采用的形式是三段论，即大前提、小前 提和结论三个部分。例如，所有的偶数都是整数（大 前提），4是偶数（小前提），所以4是整数（结论） 。
蕴含
用if...then或者⇒表示，如“if John is a student, then Mary is a teacher”
逻辑量词：全称量词和存在量词
全称量词
用for all或者∀表示，如“for all x, x>0”
存在量词
用exists或者∃表示，如“exists x, x>0”
西安电子科技大学卓越工程师教育培养计划应用型
西安电子科技大学“卓越工程师教育培养计划"（应用型）电子信息与通信工程专业培养方案一、培养目标与能力要求电子信息与通信工程专业培养服务于社会主义现代化建设需要的德、智、体、美全面的、“基础厚、口径宽、能力强、素质高”的、从事电子信息工程、通信工程、网络工程等应用领域的研究、开发、生产、管理、维护和技术支持的高级工程技术人才．按照本方案培养的电子信息与通信工程专业本科工程型技术人才,可达到见习电子信息与通信工程师技术能力要求,可获得见习电子信息与通信工程师技术资格．具体能力要求如下：（一）掌握一般性和专门性的工程技术知识,使用现有技术，了解新兴技术。
1、具有从事工程工作所需的工程科学技术知识以及一定的人文和社会科学知识。
1.1 数学和相关自然科学基础知识:包括微积分、微分方程、线性代数、复变函数与场论、概率论与数理统计、离散数学和物理学中力学、热学、光学、电磁学、近现代物理等.1。
２电子信息与通信领域的工程理论和技术基础知识(1)电路分析与设计：包括电路分析基础、模拟电子线路设计、通信电子线路、数字逻辑与数字系统设计与系统等知识。
(2）计算机系统、微处理器原理与系统设计方面的知识。
(3)信号、系统与信号处理方面的知识：包括信号的分析,确定信号通过线性和非线性系统、随机信号特征及通过线性系统和非线性系统、数字信号处理、自动控制等方面的知识。
(４)电磁场与电磁波方面静态和时变电磁场、电磁场分析、电磁现象在现代通信和电子信息系统中应用的知识。
（5)计算机网络方面的基础知识．（6）工程制图方面的基础知识。
1。
3 人文和社会科学：具备较丰富的工程经济、管理、社会学、情报交流、法律、环境等人文与社会学的知识。
熟练掌握一门外语,可运用其进行技术相关的沟通和交流。
2、具有扎实的工程实践基础，掌握本专业的基本理论知识和解决工程技术问题的技能,了解本专业的现状和趋势。
２．1 工程实践基础（1)电路分析与模拟电子线路的初步设计能力.(２）数字逻辑与数字系统的初步设计能力.（3）微处理器与系统应用的初步设计能力.(4）信号、系统与信号处理的初步设计能力。
离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
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例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
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这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
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对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
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谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
04-L.01 谓词逻辑的基本概念
−离散数学基础2017-11-19•定义：个体和谓词−在原子命题中，描述的对象称为个体，用于描述个体的性质或个体之间的关系部分称为谓词。
−例：张三是个大学生。
»个体：张三；谓词：是个大学生−例：张三和李四是表兄弟。
»个体：张三、李四；谓词：是表兄弟（关系）−习惯上，用小写字母 a, b, c, … 表示个体，大写字母 P, Q, R, … 表示谓词。
−例：a：张三；b：李四；P(x)：x 是个大学生；Q(x, y)：x 和 y 是表兄弟。
则：P(a)：张三是个大学生；P(b)：李四是个大学生；Q(a, b)：张三和李四是表兄弟。
•定义：原子命题的谓词形式−一个原子命题用一个谓词常项（如 P）和 n 个有次序的个体常量（如 a1, a2, …,a n）表示成 P(a1, a2, …, a n)，称为该原子命题的谓词形式。
−例：Q(a, b)：张三和李四是表兄弟。
−当讨论的个体处于一个论述范围时，个体常量被个体变量取代。
如 Q(x, y)。
•定义：n 元原子谓词−由一个谓词（如 P）和 n 个个体变量（如 x1, x2, …, x n）组成的 P(x1, x2, …, x n)，称为 n 元原子谓词，或简称 n 元谓词，或 n 元命题函数。
−一个 n 元谓词 P(x1, …, x n) 只有 P 取谓词常项，且其中所有个体变量均取得个体常项时，该谓词才成为命题。
»特别地将命题看成是0元谓词。
•定义：个体论域−个体变量 x i 的论述范围（取值范围）称为 x i 的论域或变程。
−全总论域：将一个 n 元谓词的各个个体论域综合在一起，称为该谓词的全总论域。
无特别声明时，谓词均在其全总论域下讨论。
−一元谓词 P(x) 更广泛的定义：从全总论域到 {1, 0} 的映射 P: D → {1, 0} •定义：个体函数−一个个体函数是个体域到个体域的映射。
−例：个体函数»father(x)： x 的父亲。
《离散数学》谓词逻辑
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
7
1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
3.1 自然语言的谓词符号化
第 3章 谓词逻辑
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命题是具有真假意义的陈述句，从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。
学习要求
重点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词公式的解释 3 特性谓词识别与翻译 4 基本等价规律 5 量词去掉/添加规则 6 谓词逻辑的推理
第 3章 谓词逻辑
6
难点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词逻辑与命题逻辑的联系与区别 3 谓词翻译的两条原则 4 合式公式的解释 5 量词去掉/添加规则的正确使用
历史人物
第 3章 谓词逻辑
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1848-1923，德国数学家、 逻辑学家和哲学家
1906-1978，美籍奥地利数学家、逻 辑学家和哲学家，二十世纪最伟大的 逻辑学家之一
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
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1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
(x)(P(x)∧C(x))
谓词符号
变量符号
提出问题
第 3章 谓词逻辑
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符号化“李兰的母亲是高级工程师”
设M(x,y)：x是y的母亲，
设g(x)：x的母亲；
P(x)：x是高级工程师；
P(x)：x是高级工程师；
离散数学-谓词逻辑
2-2.6 命题的符号化
在谓词演算中，命题的符号化比较复杂，命题的 符号表达式与论域有关系。例如 1.每个自然数都是整数。 (1).如果论域是自然数集合 N，令 I(x)：x 是整数，则命题的表达式为 xI(x) (2).如果论域扩大为全总个体域时，上述表达式xI(x)表示“所有客体都是整数”，显然这是假的命题，此 表达式已经不能表达原命题了。因此需要添加谓词 N(x)：x 是自然数，用于表明 x 的特性，于是命题的符 号表达式为: x(N(x)→I(x)) 4
则 E(a)∈{T,F}。
• 2-2.2 原子谓词公式
定义：称 n 元谓词 P(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式。例如 P、Q(x) 、 A(x,f(x))、B(x,y,a) 都是原子谓词 公式。
2-2.3 谓词合式公式 (WFF)(Well Formed Formulas)
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1.原子谓词公式是合式公式。 2.如果 A 是合式公式，则A 也是合式公式。 3.如果 A、B 是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(AB)都是合式公式。 4.如果 A 是合式公式，x 是Ａ中的任何客体变元，则xＡ和xＡ也是合式公式。 5.只有有限次地按规则(1)至(4)求得的公式才是合式公式。 谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式。 下面都是合式公式： P、(P→Q)、(Q(x)∧P)、x(A(x)→B(x))、xC(x) 而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x • • 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边有括号，则此括号不能省。 注意：公式x(A(x)→B(x))中x 后边的括号不是最外层括号，所以不可以省略。
2-2.4 量词的作用域(辖域)
定义：在谓词公式中，量词的作用范围称为量词的作用域，也叫量词的辖域。 • • 例如 xA(x)中x 的辖域为 A(x). x((P(x)∧Q(x))→yR(x,y))中 x 的辖域是((P(x)∧Q(x))→yR(x,y)) y 的辖域为 R(x,y)。 • 一般地， • • • 如果量词后边只是一个原子谓词公式时，该量词的辖域就是此原子谓词公式。 如果量词后边是括号，则此括号所表示的区域就是该量词的辖域。 如果多个量词紧挨着出现，则后边的量词及其辖域就是前边量词的辖域。 xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
西安电子科技大学考研复试科目-离散数学01命题逻辑d
(¬P ∧ Q ∧ R ) ∨ (Q ∧ ¬R ) ∨ R
是一个析取范式。
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lqmao@
定义 一个命题公式称为合取范式（conjunctive normal form）， 当且仅当它具有如下形式：
A1 ∧ A 2 ∧ ... ∧ A n
现以两个变元为例25西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn这样n个变元的大项可以很快写出来26西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn这里是将命题变元对应于0命题变元的否定对应于1小项记法相反例如3个变元的大项是这样对应的大项其目的是当且仅当将大项的对应指派代入该大项才使该大项的真值为0使今后许多运算得到方便
例如
( n ≥ 1)
其中，A1，A2，…，An是由命题变元或其否定所组成的析取式。
( ¬ P ∨ Q ∨ R ) ∧ (Q ∨ ¬ R ) ∧ R
是一个合取范式。
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
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lqmao@
任何一个命题公式，都可以求得它的合取范式或者析取范 式，步骤如下： 将公式中的联结词都归约成¬、∨和∧。 利用德·摩根定律将否定符号¬直接移到各命题变元之前。 利用分配律、结合律将公式归约成合取范式或者析取范 式。
2n −1 i =0
∨ mi ⇔ T
定义 一个仅由小项的析取组成的公式, 如果与给定的命题公式 A等价, 则称它是A的主析取范式（principle disjunctive normal form）。
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定理：在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对应 的小项的析取，即为此公式的主析取范式。 例3 用构造真值表的方法求命题公式 ¬P ∧ (Q → R)的主析取范式。
离散数学(谓词逻辑)课后总结
第二章谓词逻辑2—1基本概念例题１. 所有的自然数都是整数。
设N(x)：x是自然数。
I(x)：x是整数。
此命题可以写成∀x(N(x)→I(x))例题２. 有些自然数是偶数。
设E(x)：x是偶数。
此命题可以写成∃x(N(x)∧E(x))例题3. 每个人都有一个生母。
设P(x):x是个人。
M(x,y):y是x的生母。
此命题可以写成：∀x(P(x)→∃y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化例题1. 如果x是奇数，则2x是偶数。
其中客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设客体函数g(x)=2x，谓词O(x)：x是奇数，E(x)：x是偶数，则此命题可以表示为：∀x(O(x)→E(g(x)))例题2 小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命题可以表示为D(f(a))。
例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。
设h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为:∀x∀y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))命题的符号表达式与论域有关系两个公式：一般地，设论域为{a1,a2,....,an}，则有(1). ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)(2). ∃xB(x)⇔B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)1.每个自然数都是整数。
该命题的真值是真的。
表达式∀x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,因∀x(N(x)→I(x))⇔(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an))式中的x不论用自然数客体代入，还是用非自然数客体代入均为真。
例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。
而∀x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
∀x(N(x)∧I(x))⇔(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an))比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。
谓词逻辑 离散数学
11
实例3
例3 在谓词逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y)) (2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y)) 可见：命题符号化在谓词逻辑中不是唯一的。
12
实例4
例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 没有不呼吸的人 (2) 不是所有的人都喜欢吃糖 解 (1) F(x): x是人, G(x): x呼吸
x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
(2) F(x): x是人, G(x): x喜欢吃糖 x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
21
约束变元换名（2/2）
例 对(x)(P(x)R(x,y))Q(x,y)换名。 解：可换名为：(z)(P(z)R(z,y))Q(x,y)。 但是不能换名为：(y)(P(y)R(y,y))Q(x,y)、 (z)(P(z)R(x,y))Q(x,y)。
22
自由变元代入（1/2）
10
实例2
例 2 在谓词逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解 (a) (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字 (b) F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (3) x(F(x)G(x)) （对 ，特性谓词做蕴含的前件） (4) x(F(x)G(x)) （对 ，特性谓词做合取项） 1. 引入特性谓词F(x) ，用于限制全总个体域的范围； 2. (3),(4)是谓词逻辑中两个“基本”公式。
实例3
例3 在谓词逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y)) (2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y)) 可见：命题符号化在谓词逻辑中不是唯一的。
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实例4
例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 没有不呼吸的人 (2) 不是所有的人都喜欢吃糖 解 (1) F(x): x是人, G(x): x呼吸
x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
(2) F(x): x是人, G(x): x喜欢吃糖 x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
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约束变元换名（2/2）
例 对(x)(P(x)R(x,y))Q(x,y)换名。 解：可换名为：(z)(P(z)R(z,y))Q(x,y)。 但是不能换名为：(y)(P(y)R(y,y))Q(x,y)、 (z)(P(z)R(x,y))Q(x,y)。
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自由变元代入（1/2）
10
实例2
例 2 在谓词逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解 (a) (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字 (b) F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (3) x(F(x)G(x)) （对 ，特性谓词做蕴含的前件） (4) x(F(x)G(x)) （对 ，特性谓词做合取项） 1. 引入特性谓词F(x) ，用于限制全总个体域的范围； 2. (3),(4)是谓词逻辑中两个“基本”公式。
离散件1
例： 构造公式G=（R Q） （P Q）的真值表。 解：公式中含 3 个原子，故有 8 种可能的解释，见下表。 P Q R | R Q P Q | （R Q） （P Q） 0 0 0 | |
0
0 0 1 1 1 1
0
1 1 0 0 1 1
1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
代 数 系 统
概念 工具 方法
证 明 技 术 基 本 逻 辑
基础
与离散数学关联的主要后续课程
数据结构与算法设计 数据库系统原理 编译原理 人工智能
学习方法和要求 • 课堂听讲、课后仔细阅读教材、完成作业 • 学习中要持之以恒 • 总成绩：平时15%+期中15%+期末70%
第一章 命题逻辑
引例:
2) ①
常用的几个逻辑联结词 否定联结词：“不是”、“非”、英文“not”，用于 表达对另一判断的否定。
例如：不是人人都能成为艺术家的。
②
合取联结词：“和”、“与”、“并且”、“既... 又”、英文“and”，用于表达两个判断的同时性。例 如：他既长于数学又精通音律。 析取联结词：“或”、“要么...要么”、“不是...就 是”、英文“or”，用于表达对两个判断的选择。
例:下列各判断句都满足命题的定义。 1) 中国是最大的发展中国家。 2) 孔子是中国古代最伟大的教育家和思想家。 3) 银行利率上升，股价随之下降。
4) 两个三角形相似的充分必要条件是对应角相等并且对 应边成比例。
5）在定义域上可导的一元函数一定是连续函数。
6) 微软是世界上最大的软件厂商.
7) 2020年前人类将登上火星。 注：命题的值遵循时效原则。
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离散数学一阶谓词逻辑
例
刻划个体的性质
Ｐ1：小张是大学生 Ｐ2：小李是大学生
Q1：2大于3 Q2：6大于4
刻划两个个体的关系
不同原子命题之间是有内在联系的，但命题逻 辑无法研究这种内在联系
解决问题的方法
分析原子命题，分离其主语和谓语 考虑一般和个别，全称和存在
谓词和量词
4.1 谓词
以命题逻辑为三基个础要件
4.2 量词
例
“所有的正整数都是素数” P(a)∧ P(b)
“有些正整数是素数”
假设
P(a)∨ P(b)
只有两个正整数a和b
个体域为{a,b}
P(x)：x是素数
全称量词
记作 表示“每个”、“任何一个”、“一切”、“所
有的”、“凡是”、“任意的”等 x读作“任意x”， “所有x”， “对一切x ” 量词后边的个体变元，指明对哪个个体变元量化
括号省略规则
例
P，(Q(x)∧P)，x(A(x)→B(x))，xC(x)， xZ(y)
命题符号化
谓词逻辑中比较复杂 命题的符号表达式与论域有关系
例：每个自然数都是整数 论域D=N
I(x)：x是整数 x I (x)
论域为全总个体域
特性谓词N(x)：x是自然数 x(N(x)→I(x))
(9) x(W(x)∧C(x)∧H(x))
(10) x(W(x)∧J(x)∧C(x))
(11) x(L(x)→y(J(y)∧A(x,y)))
(12) x(S(x)∧y(L(y)→A(x,y)))
几个特别的例子
(1) 如果明天下雨，则某些人将被淋湿
不是个体
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义命题词P：明天下雨， M(x)：x是人，W(x)：x将被淋湿
西安电子科技大学考研复试科目-离散数学01命题逻辑b
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单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式 (合式公式): ; (1) 单个原子公式是命题公式。 (2) 如果A和B是命题公式, 则(¬A) , (A∧B) , (A∨B) , (A→B) , (A↔B)是命题公式。 (3) 只有有限步应用条款(1)和(2)生成的公式才是命题公式。 这种定义叫归纳定义, 也叫递归定义。由这种定义产生的公 式叫合式公式 。
•运算符结合力的强弱顺序为:
¬、∧,∨,→,↔
凡符合此顺序的, 括号均可省去。 •相同的运算符, 按从左至右次序计算时, 括号可省去。 •最外层的圆括号可以省去。 例如: ( ¬((P∧¬Q)∨R)→((R∨P)∨Q)) 可写成 ： ¬(P∧¬Q∨R)→R∨P∨Q
但有时为了看起来清楚醒目, 也可以保留某些原可省去的括号。
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
4
lqmao@
在日常生活中用条件式来断言前提和结论之间的因果或实 质关系, 如上例(a)和(b), 这样的条件式叫形式条件, 然而, 在命题 演算中, 一个条件式的前提和结论并不需要有因果和实质联系, 这样的条件式叫实质条件, 如上例(c)中, 桔子的颜色和大地的外 形之间没有因果和实质关系存在, 但条件式W→V是真, 因为前 提是假而结论是真。 采用实质条件作定义, 是因为在讨论逻辑 和数学问题中, 这不仅是正确的, 且方便应用。 －“善意推定”
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lqmao@
逻辑等价
给定两个命题公式A和B，当且仅当A↔B是重言式，则称A和B是等价的或 者逻辑相等(logically equivalent)的，记做A⇔B，读做“A等价于B”。 例如：¬(P∧Q)↔(¬P∨¬Q)是一个重言式，所以有 ¬(P∧Q) ⇔ (¬P∨¬Q) 可见，给定两个命题公式A和B，设P1、P2、…、Pn为所有出现在A和B 中的原子变元，但Pi（i=1,2,…,n）不一定在A和B中同时出现。若给P1、 P2、…、Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，则A↔B是一个重言 式，所以A和B是等价的。这也可以作为两个命题公式等价的定义。 注意 ⇔ 和 ↔ 的区别 证明命题公式A和B等价可以采用真值表的方法。
lqmao@
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式 (合式公式): ; (1) 单个原子公式是命题公式。 (2) 如果A和B是命题公式, 则(¬A) , (A∧B) , (A∨B) , (A→B) , (A↔B)是命题公式。 (3) 只有有限步应用条款(1)和(2)生成的公式才是命题公式。 这种定义叫归纳定义, 也叫递归定义。由这种定义产生的公 式叫合式公式 。
•运算符结合力的强弱顺序为:
¬、∧,∨,→,↔
凡符合此顺序的, 括号均可省去。 •相同的运算符, 按从左至右次序计算时, 括号可省去。 •最外层的圆括号可以省去。 例如: ( ¬((P∧¬Q)∨R)→((R∨P)∨Q)) 可写成 ： ¬(P∧¬Q∨R)→R∨P∨Q
但有时为了看起来清楚醒目, 也可以保留某些原可省去的括号。
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在日常生活中用条件式来断言前提和结论之间的因果或实 质关系, 如上例(a)和(b), 这样的条件式叫形式条件, 然而, 在命题 演算中, 一个条件式的前提和结论并不需要有因果和实质联系, 这样的条件式叫实质条件, 如上例(c)中, 桔子的颜色和大地的外 形之间没有因果和实质关系存在, 但条件式W→V是真, 因为前 提是假而结论是真。 采用实质条件作定义, 是因为在讨论逻辑 和数学问题中, 这不仅是正确的, 且方便应用。 －“善意推定”
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逻辑等价
给定两个命题公式A和B，当且仅当A↔B是重言式，则称A和B是等价的或 者逻辑相等(logically equivalent)的，记做A⇔B，读做“A等价于B”。 例如：¬(P∧Q)↔(¬P∨¬Q)是一个重言式，所以有 ¬(P∧Q) ⇔ (¬P∨¬Q) 可见，给定两个命题公式A和B，设P1、P2、…、Pn为所有出现在A和B 中的原子变元，但Pi（i=1,2,…,n）不一定在A和B中同时出现。若给P1、 P2、…、Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，则A↔B是一个重言 式，所以A和B是等价的。这也可以作为两个命题公式等价的定义。 注意 ⇔ 和 ↔ 的区别 证明命题公式A和B等价可以采用真值表的方法。
西安电子科技大学考研复试科目-离散数学05无限集合b-08图论a
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小结
明确有限集、可数无限集、不可数无限集及其基 数的概念 基数的比较
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15
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作业
• 5-1 （3） • 5-2 （2） （10）
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基数的比较
如果A是无限集，那么s\s0 ≤|A|（ s\s0是最小的无限集基数） 证明：如果A是无限集合, 那么A包含一可数无限子集B。因 为映射f: B→A, f(x)=x, x∈B是从B到A的单射函数, 这得出 |B|≤|A|, 而|B|= s\s0 ，所以s\s0 ≤|A|。 虽然有上述两个结论，但目前为止，还没有人能够证明是否 有一无限集，其基数严格介于s\s0和c之间。于是，假定c是大 于s\s0的最小基数，即不存在任何基数|S|，使s\s0 <|S|< c成立。 （连续统假设） Cantor定理：设M是一个集合，T为M的幂集，则 |M|<|T|。 说明没有最大的基数，没有最大的集合
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基数的比较
例：证明 [ 0 ,1]和 ( 0 ,1)具有相同的基数。 证明：作单射函数： x 1 f : [ 0 ,1] → ( 0 ,1), f ( x ) = + 2 4 g : ( 0 ,1) → [ 0 ,1], g ( x ) = x
说明没有最大的基数没有最大的集合15西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn小结?明确有限集可数无限集不可数无限集及其基数的概念?基数的比较16西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn作业?513?5221017西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn图论?图的基本概念?路径与回路?图的矩阵表示?二部图?平面图?树和有向树18西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn图的基本概念?一个图graphg是一个三重组vgegg其中vg是一个非空的结点顶点vertices集合eg是边edge的集合g是从边集e到结点偶对集合上的函数
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小结
明确有限集、可数无限集、不可数无限集及其基 数的概念 基数的比较
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作业
• 5-1 （3） • 5-2 （2） （10）
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基数的比较
如果A是无限集，那么s\s0 ≤|A|（ s\s0是最小的无限集基数） 证明：如果A是无限集合, 那么A包含一可数无限子集B。因 为映射f: B→A, f(x)=x, x∈B是从B到A的单射函数, 这得出 |B|≤|A|, 而|B|= s\s0 ，所以s\s0 ≤|A|。 虽然有上述两个结论，但目前为止，还没有人能够证明是否 有一无限集，其基数严格介于s\s0和c之间。于是，假定c是大 于s\s0的最小基数，即不存在任何基数|S|，使s\s0 <|S|< c成立。 （连续统假设） Cantor定理：设M是一个集合，T为M的幂集，则 |M|<|T|。 说明没有最大的基数，没有最大的集合
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基数的比较
例：证明 [ 0 ,1]和 ( 0 ,1)具有相同的基数。 证明：作单射函数： x 1 f : [ 0 ,1] → ( 0 ,1), f ( x ) = + 2 4 g : ( 0 ,1) → [ 0 ,1], g ( x ) = x
说明没有最大的基数没有最大的集合15西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn小结?明确有限集可数无限集不可数无限集及其基数的概念?基数的比较16西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn作业?513?5221017西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn图论?图的基本概念?路径与回路?图的矩阵表示?二部图?平面图?树和有向树18西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn图的基本概念?一个图graphg是一个三重组vgegg其中vg是一个非空的结点顶点vertices集合eg是边edge的集合g是从边集e到结点偶对集合上的函数
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变元的约束
例： ∃xP( x) ∧ Q ( x) ⇔ ∃yP( y ) ∧ Q ( x)
∀x( P ( x) → R( x, y )) ∧ Q( x, y ) ⇔ ∀z ( P ( z ) → R( z , y )) ∧ Q( x, y )
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量词
例1：R(x)：x是大学生。 X3 看过《夜宴》的人 X1 西电学生 人 X2 西电附中学生
R(X1)为：T R(X2)为：F R(X3)为：T或F，不确定
结论：需要引入新的方法，刻画“所有的”和“存在一 些”的不同，来确定真值。
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作业 1.6 2b、3d、14、18、21、22
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谓词
一个字母代表一特定谓词，则称此字母为谓词常 元；若字母代表任意谓词，则称此字母为谓词变 元。 说明： 一元谓词刻画性质，多元谓词刻画关系。 多元谓词中注意个体变元的次序。 命题可以认为是0元谓词，所以谓词是命题的扩 充，命题是谓的一种特殊情况。
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不同个体域谓词与命题关系
如果论述域是有限的，设为{a1,a2,…,an}，则
∀xA( x) ⇔ A(a1) ∧ A(a 2) ∧ K ∧ A(an) ∃xA( x) ⇔ A(a1) ∨ A(a 2) ∨ K ∨ A(an)
谓词
苏格拉底三段论
“所有的人都是要死的” “苏格拉底是人” “所以苏格拉底是要死的”
如何用命题逻辑证明？
无法实现！
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谓词
命题是反映判断的句子，一般由主语和谓语两部分组成。如 小刘是老师。 老王是老师。 小刘、老王是主语，一般称为个体，可以用小写字母表示； “是老师”是谓语，刻画个体的性质，一般称为谓词，用大写 字母表示。于是 H(x): x是老师 则上述例句可表示为 H(i) H(j)
谓词公式与翻译
翻译： 没有不犯错误的人。 (H，F)
¬(∃x( H ( x) ∧ ¬F ( x )))
每个人都有些缺点。(H,G,F)
∀x ( H ( x ) → F ( x ))
∀x ( H ( x ) → ∃y (G ( y ) ∧ F ( x, y ))) ¬(∃x ( H ( x ) ∧ ∀y (G ( y ) → ¬F ( x, y )))
变元的约束
紧接于量词之后最小的子公式叫量词的辖域（scope），如
∀xP( x) → Q( x) ∃x( P( x, y ) → Q( x, y )) ∨ P( y, z )
∀x的辖域是 P(x)， ∃x 的辖域是 P( x, y ) → Q( x, y ) 注意：辖域不是原子公式，两边要有括号，否则， 不应有括号。
∃x( R( x) ∧ ¬Q( x))
没有最大的实数。 (R,G)
∀x ( R ( x ) → ∃y ( R ( y ) ∧ G ( y , x ))) ¬(∃x ( R ( x ) ∧ ∀y ( R ( y ) → G ( x, y )))
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因为论述域是全总个体域，域中除了人外，还有不是 人的x，上述的意义是“所有的x，都是人，并且是要死 的”，显然不对，而这恰好表达了存在量词的意义。
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谓词公式与翻译
不出现命题联结词和量词的谓词P(x1,x2,…,xn)称为谓词逻辑的 原子公式。如果n＝0，则变成原子命题公式P。 谓词逻辑的合式公式： 谓词逻辑的原子公式是谓词公式； 若A，B是谓词公式，则
这里，M(x)是特性谓词。一般，对全称量词，特性谓 词通常作为条件式的前件；对存在量词，特性谓词通常作 为合取项。
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量词
我们举例说明第一条规则，“所有的人都是要死的”如 果表示为
∀x ( M ( x ) ∧ D ( x ))
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量词
全称量词（universal quantifier） ： ∀ ∀x 读作“对一切x”，“对所有x” ∀x P(x)表示“对一切x，P(x)为真” ¬∀x P(x)表示“并非对一切x，P(x)为真” 存在量词（existential quantifier） ： ∃ ∃x 读作“存在一些x”，“至少有一x” ∃x P(x)表示“存在一些x使P(x)为真” ¬∃x P(x)表示“至少存在一x使P(x)为真，并非这样”
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数 学 离 散
毛立强 主讲
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谓词逻辑
谓词 量词 谓词公式与翻译 自由变元与约束变元 不同个体域谓词与命题关系
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2
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谓词
谓词也可以用前面介绍的联结词进行组合 如：S(x)表示“x学习好”，W(x)表示“x身体好”，则 S(x) ∧ W(x)表示“x学习好并且身体好”。 这里，逻辑联结词的意义与命题逻辑中的解释完全相 同。
个体变元的取值范围称为论述域（domain of discourse）或 者个体域。
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变元的约束
在量词∀x ，∃x的辖域内变元x的一切出现称为约束出现，这 样的x为约束变元（bound variable）。 在一公式中，变元的非约束出现称为变元的自由出现，这样 的变元为自由变元（free variable）。 自由出现
（b） （d）
∃x( x < x + 1) ∀x ( x = 3)
如果论述域是整数，则（a）（b）（c）是真，（d）是假。 这里x被全称量化或存在量化。
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量词
谓词中各个个体变元的所有个体域，称为全总个体域。 在全总个体域上，对每一个体变元的变化范围，需用特性 谓词加以限制。 如F(x)表示“x是不怕死的”，D(x)表示“x是要死的”，M(x) 表示“x是人”，如果论述域是人，则 “人总是要死的”，应为∀x D(x) “有些人不怕死”，应为∃x F(x)
∃x( P( y ) ∧ R( x, y )) ⇔ ∃x( P ( z ) ∧ R ( x, z ))
∃x( P( x) ∧ R( x, x))
∃x( P( z ) ∧ R( x, y ))
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变元的约束
注意：量词对变元的约束，往往与量词的次序有关。 ∀y ∃x(x<(y-2))表示对于任意y均有x，使得x<y-2； ∃x ∀y (x<(y-2))表示存在x对于任意的y，使得x<y-2。 约定从左到右的次序读出，次序不能颠倒。
∀xP( x) → Q( x)
约束出现 自由出现
∃x( P( x, y ) → Q( x, y )) ∨ P( y, z )
约束出现
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变元的约束
从约束变元的概念可以看出， P(x1,x2,…,xn)是n元谓词，它 有n个相互独立的自由变元，若对其中k个变元进行约束则成 为一个n－k元谓词，如∀xP(x,y,z)，是二元谓词。 因此，如果谓词中没有自由变元出现，就成为了一个命题。
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量词
全称量词和存在量词统称为量词（quantifier） 。 在谓词前面加上全称量词或存在量词，说成是变元被全称量 化或存在量化。量化（quantification）用来约束变元。 例2（a）
（c）
∀x ( x < x + 1) ∃x ( x = 3)
⇔ ∀y ( P( y ) → R( y, y )) ∧ Q( x, y )
⇔ ∀z ( P ( z ) → R ( x, y )) ∧ Q( x, y )
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变元的约束
自由变元的改名规则（又称为代入）如下 对于谓词公式中的自由变元，可以作代入，代入时需 对公式中出现该自由变元的每一处进行。 用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不能相 同。
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变元的约束
如前面看到的，一个公式中一个变元既以约束出现，又以自 由出现，这样容易引起混淆，于是引入改名规则，使得一个 公式中一个变元仅以一种形式出现。 约束变元的改名规则如下 若要改名，则该变元在量词及其辖域中的所有出现都 需一起更改，其余部分不变。 改名时所选用的符号，必须是量词辖域内未出现的符 号，最好是公式中未出现的符号。
( ¬ A)、A ∧ B )、A ∨ B )、A → B )、A ↔ B )、 ( ( ( ( (∀ xA )、 xA ) (∃
是谓词公式 只有有限次应用上述步骤构成的公式才是谓词公式 括号省略规则与命题公式相同，但量词后的括号不能省略。
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尽管有人聪明，但未必所有人都聪明。(H,F)
∃x( H ( x) ∧ F ( x)) ∧ ¬(∀x( H ( x) → F ( x)))