圆锥曲线中利用定义转化求距离

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圆锥曲线定1义及其应用

y
A
M
B
2
2
O
C
x
<
点；又点M(2,2) ,试在椭圆上找一点 A,使：又点试在椭圆上找一点使取得最小值; 取得最小值 5 分析：有何意义？分析：本题中的系数 3 有何意义？ y
D
x 已知椭圆 25
2
y 2 + = 1中B、C分别为其左、右焦分别为其 16
5 AM + AB 3
5 3 A( ,2) 2
6
N 由例2请大家在椭圆或双曲线由例请大家在椭圆或双曲线上设计一道题目？？？上设计一道题目？？？
M
o
F
x
注意：、涉及椭圆双曲线上的点与两个焦点椭圆双曲线上的点与两个焦点构成的三角注意：1、涉及椭圆双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用第一定义来解决; 第一定义来解决形问题，常用第一定义来解决 2、涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的、涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的焦点三者，常用统一定义解决问题. 统一定义解决问题三者，常用统一定义解决问题
2、利用圆锥曲线的定义解题时，要用数形结、利用圆锥曲线的定义解题时，要用数形结化归思想，合、化归思想，以得到解题的最佳途径
3.有些最值问题要灵活地利用圆锥曲线的定义将折有些最值问题要灵活地利用圆锥曲线的定义将折有些最值问题要灵活地利用圆锥曲线的定义将线段和的问题化归为平面几何中的直线段最短来解决的问题化归为平面几何中的直线段最短来解决。线段和的问题化归为平面几何中的直线段最短来解决。
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三、引申探究 3、求动点的轨迹问题。、求动点的轨迹问题。和圆B：内切，例3、已知动圆和圆：(x+3)2+y2=81内切，并和圆、已知动圆A和圆内切 C：(x-3)2+y2=1外切，求动圆圆心的轨迹方程。外切，的轨迹方程。：外切求动圆圆心A的轨迹方程分析：圆内外切时，圆心分析：圆内外切时，距与两半径什么关系？距与两半径什么关系？

圆锥曲线间的距离(高中全部8种方法详细例题)

圆锥曲线间的距离(高中全部8种方法详细例题)圆锥曲线间的距离圆锥曲线是高中数学中的重要概念，在几何学和物理学中有广泛的应用。

本文将详细介绍圆锥曲线间的距离计算方法，包括以下8种方法：1. 通过坐标计算：通过给定的圆锥曲线方程，可以计算出两条曲线上相应点的坐标，然后使用距离公式来计算它们之间的距离。

通过坐标计算：通过给定的圆锥曲线方程，可以计算出两条曲线上相应点的坐标，然后使用距离公式来计算它们之间的距离。

2. 通过直线的法线计算：对于椭圆、双曲线和抛物线，可以通过确定两条曲线在相交点处的法线，并计算法线之间的距离来得到曲线的距离。

通过直线的法线计算：对于椭圆、双曲线和抛物线，可以通过确定两条曲线在相交点处的法线，并计算法线之间的距离来得到曲线的距离。

3. 通过焦点和直线距离计算：对于椭圆和双曲线，可以使用两个焦点和两条曲线上的点构成的直线来计算曲线间的距离。

通过焦点和直线距离计算：对于椭圆和双曲线，可以使用两个焦点和两条曲线上的点构成的直线来计算曲线间的距离。

4. 通过参数方程计算：对于抛物线和双曲线，可以使用参数方程来表示曲线上的点，然后计算参数相等时的点之间的距离。

通过参数方程计算：对于抛物线和双曲线，可以使用参数方程来表示曲线上的点，然后计算参数相等时的点之间的距离。

5. 通过角度计算：对于双曲线和抛物线，可以通过计算两条曲线切线的夹角来得到曲线的距离。

通过角度计算：对于双曲线和抛物线，可以通过计算两条曲线切线的夹角来得到曲线的距离。

6. 通过曲线的切线计算：对于椭圆和双曲线，可以通过确定两条曲线在相交点处的切线，并计算切线之间的距离来得到曲线的距离。

通过曲线的切线计算：对于椭圆和双曲线，可以通过确定两条曲线在相交点处的切线，并计算切线之间的距离来得到曲线的距离。

7. 通过曲线上的点到焦点的距离计算：对于抛物线，可以通过计算曲线上的点到焦点的距离来得到曲线间的距离。

通过曲线上的点到焦点的距离计算：对于抛物线，可以通过计算曲线上的点到焦点的距离来得到曲线间的距离。

圆锥曲线问题的定义法

知识回顾
1、椭圆的定义
MF1 MF1 2a 2a F1 F2 0
2、双曲线的定义
MF1 MF1 2a 0 2a F1 F2

3、抛物线的定义
MF d F为焦点，d为动点M到准线l的距离
x y 练习1.设双曲线 1的两个焦点分别 4 5 为F1 , F2 , 点P在这双曲线上, 且PF1 PF2 , 则
2
Y Q P F1 F2 O X
练习 1.ABC中, BC长为a, 顶点A在移动过程中满 1 足条件 sin C sin B sin A, 求点A的轨迹方程. 2 BC的中垂线为y轴，解：以BC所在直线为x轴，
y
1 A 建立直角坐标系. sin C sin B sin A, 2 1 1 C x AB AC BC a，由双曲线定义 B 2 2 A的轨迹是以BC为焦点的双曲线的右支不含顶点 x2 y2 其方程为 2 2 1 x 0 . a 3a 16 16
F1 d -1 M
MF2
F
例1.一动圆与圆O1 : ( x 3) y 4外
2 2
切,同时与圆O2 : ( x 3) y 100
2 2
内切, 求动圆圆心的轨迹。y NhomakorabeaPO1 2 R
P
PO2 10 R
x
O1
O2
PO1 PO2 12 O1O2 6
探索提高
*
在解题中,有的同学能自觉地根据问题的特点应用公式, 定理, 法则; 但对数学定义往往未加重视,以至不能及时地发现一些促进问题迅速获解的隐含条件,造成舍近求远,舍简求繁的情况. 因此合理应用定义是寻求解题捷径的一种重要方法,灵活运用圆锥曲线的定义常常会给解题带来极大方便,产生一种 “山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的美好感觉.

如何利用定义法解答圆锥曲线最值问题

定义法是用圆锥曲线的定义解题的方法.圆锥曲线的定义是解题的重要依据.在解答圆锥曲线最值问题时，灵活运用椭圆、双曲线、抛物线的定义，可简化运算，有效提升解题的效率.下面结合实例，谈一谈运用圆锥曲线定义解答最值问题的一些技巧.一、利用椭圆的定义求最值若平面内一个动点M 与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a （大于|F 1F 2|），则该点的轨迹叫做椭圆，这两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距，常用|F 1F 2|或2c 表示.由椭圆的定义可得：|MF 1|＋|MF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ，其中c 2=a 2-b 2，a ＞0，c ＞0，且a 、c 为常数.运用椭圆的定义求最值，需先确定两个定点的位置；然后根据椭圆的定义，建立关于动点到定点的距离的关系式.例1.已知椭圆x 24+y 23=1上有一动点P ，圆()x -12+y 2=19上有一动点Q ，圆()x +12+y 2=49上有一动点R ，则||PQ +||PR 的最大值为（）.A.3 B.5C.8D.9解：由椭圆的方程x 24+y 23=1得a =2,b =3,c =1，所以其焦点为F 1()-1,0,F 2()1,0，由圆的方程()x -12+y 2=19可得其圆心为F 2()1,0，半径为r 1=13，由圆的方程()x +12+y 2=49可得其圆心为F 1()-1,0，半径为r 2=23，则P 点到圆F 1上动点R 的最大值为||PR max =||PF 1+r 2=||PF 1+23，P 点到圆F 2上动点Q 的最大值为||PQ max =||PF 2+r 1=||PF 2+13，所以()||PQ +||PR max=||PQ max +||PR max =||PF 1+||PF 2+1，由椭圆的定义知||PF 1+||PF 2=2a =4，得()||PQ +||PR max=5.故选B 项．此题中涉及了三个动点，需根据圆的性质：圆外一点M 到圆上一点的最大距离为圆心到M 的距离加上半径，求得P 点到圆F 1上动点R 的最大值||PR max =||PF 1+r 2，以及P 点到圆F 2上动点Q 的最大值||PQ max =||PF 2+r 1，进而得到()||PQ +||PR max =||PF 1+||PF 2+1.而F 1、F 2是两个定点，P 为动点，即可根据椭圆的定义，求得||PF 1+||PF 2的值，从而求得最值.解答本题的关键在于结合图形，明确两圆、椭圆、动点的位置关系，以根据圆的性质、椭圆的定义求得最值.例2.已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1,F 2，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E :()x -42+()y -32=1上任意一点，则||MN -||MF 1的最小值为______．解：因为N 为圆E :()x -42+()y -32=1上的任意一点，所以||MN min =||ME -r ，由圆E :()x -42+()y -32=1，得其圆心为E ()4,3，半径为r =1，所以()||MN -||MF 1min=()||MN min-||MF 1min =()||ME -r -||MF 1min=()||ME -||MF 1-1min，根据椭圆的定义知||MF 1+||MF 2=2a =4，由三角形的三边关系知()||ME -||MF 1-1min=()||ME +||MF 2-5min=||EF 2-5，由椭圆C :x 24+y 23=1得其焦点为F 2()1,0，则||EF 2=()4-12+()3-02=32，所以||MN -||MF 1的最小值为32-5.此最值问题中涉及了两个动点和一个定点，需根据圆的性质：圆外一点P 到圆上一点的最小距离为圆心到P 的距离减去半径，求得M 点到圆E 上的动点N 的最小值||MN min =||ME -r .然后根据椭圆的定义和三角形三边之间的关系，将求||MN -||MF 1的最小值转化为求焦半径||EF 2的值.解答此类题，需灵活运用数形结合思想和转化思想.二、利用双曲线的定义求最值平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|F 1F 2|）的点M 的轨迹叫做双曲线.这两个定46点之间的距离|F 1F 2|叫做双曲线的焦距.由双曲线的定义可得||MF 1|-|MF 2||=2a ，|F 1F 2|=2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0.在运用双曲线的定义求最值时，要注意：（1）明确动点与两定点距离之间的关系；（2）确保a ＜c .例3.已知点P 在曲线C 1:x 216-y 29=1上，点Q 在曲线C 2:()x +52+y 2=1上，点R 在曲线C 3:()x -52+y 2=1上，则||PQ -||PR 的最大值是（）.A.6B.8C.10D.12解：画出如图1所示的图形.由曲线C 2:()x +52+y 2=1，得其圆心为C 2()-5,0，半径为1，由曲线C 3:()x -52+y 2=1，得其圆心为C 3()5,0，半径为1，则||PQ max =||PC 2+1，||PR min =||PC 3-1，则()||PQ -||PR max =||PC 2-||PC 3+2，由曲线C 1:x 216-y 29=1可知其左右焦点分别为F 1()-5,0,F 2()5,0，根据双曲线的定义得||PF 1-||PF 2=2a =8，所以()||PQ -||PR max=||PC 2-||PC 3+2=||PF 1-||PF 2+2=8+2=10.故答案选C 项．此问题中的三个动点分别在两个圆和双曲线上，需先根据圆的性质确定||PQ max =||PC 2+1，||PR min =||PC 3-1，将求||PQ -||PR 的最大值转化为求||PC 2-||PC 3的值.而C 2()-5,0、C 3()5,0为定点，于是根据双曲线的定义建立关系式，求得||PC 2-||PC 3的值，即可求得最值.例4.已知A ()-4,0，B 是圆()x -12+()y -42=1上的一点，点P 在双曲线x 29-y27=1的右支上，则||PA +||PB 的最小值为（）.A.9B.25+6C.10D.12解：由题意画出如图2所示的图形，由圆()x -12+()y -42=1，得其圆心为C ()1,4，半径为1，所以||PB min =||PC -r =||PC -1，因此()||PA +||PB min =||PA +||PC -1，由双曲线x 29-y 27=1得其左右焦点为F 1()-4,0，F 2()4,0，根据双曲线定义可知||PF 1-||PF 2=2a =6，因为A ()-4,0，所以||PA -||PF 2=6，所以()||PA +||PB min =()||PA +||PC -1min=()6+||PF 2+||PC -1min=()5+||PF 2+||PC min，根据三角形三边之间的关系，()||PF 2+||PC min=||CF 2=()1-42+()4-02=5，所以()||PA +||PB min =10．故答案选C 项．我们根据题意画出图形，即可明确问题中两个动点和一个定点的位置，于是根据圆的性质，将求||PA +||PB 转化为求()5+||PF 2+||PC min.而F 1()-4,0、F 2()4,0为定点，便联想到双曲线的定义，得到||PF 1-||PF 2=2a =6，将问题转化为求焦半径||CF 2的值.为了确定最值，往往需根据P 、A 、B 三点的位置关系，利用圆的性质和三角形三边关系确定取得最值的临界情形.三、利用抛物线的定义求最值平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.直线l 叫作抛物线的准线.利用抛物线的定义解题时，应将抛物线上的点到焦点的距离与其到准线距离进行等价转化，以确定取得最值时的临界情形.例5.已知抛物线y 2=4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点.若点B ()3,2，则||PB +||PF 的最小值为_____．解：由抛物线C 2:y 2=4x 知其焦点为F ()1,0，准线为x =-1，由抛物线定义可知，||PF =||PA ，则()||PB +||PF min =()||PB +||PA min =||AB ，而B ()3,2,则||AB =3+1=4，所以()||PB +||PF min =4．故答案为4．本题中P 为动点，B 、F 为定点，要求||PB +||PF 的最小值，需先确定其临界的情形.因为F 为抛物线的焦点，由抛物线的定义，得||PF =||PA ，于是将||PB +||PF 转化为||PB +||PA .显然当P 、B 、F 三点共线时，||PB +||PA 最小，此时||PB +||PA =||AB ，求得||AB 的值，即可求得最值.总之，运用圆锥曲线的定义解题，需先确定动点与定点之间距离的关系：相等、和为定值、差为定值；然后根据椭圆、双曲线、抛物线的定义建立焦半径之间的关系式；再结合图形将最值问题进行转化，以快速确定取得最值的情形，求得最值.（作者单位：江苏省淮北中学）图1xy图247。

(完整版)解圆锥曲线问题常用方法及性质总结

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.椭圆与双曲线的对偶性质总结椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

圆锥曲线统一定义的应用

圆锥曲线统一定义的应用一、圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线，在解题过程中，我们经常用到它们的统一定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当01e <<时，轨迹是椭圆；当1e >时，轨迹是双曲线；当1e =时，轨迹是抛物线．其中，点F 是曲线的焦点，直线l 是对应于焦点F 的曲线的准线，e 为离心率．圆锥曲线的统一定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系起来，在解相关的题目时，巧妙运用统一定义，能起到化繁为简的作用，使问题简洁明快的得以解决．二、圆锥曲线统一定义的应用1．求距离问题例1 椭圆22110036x y +=上一点P 到左焦点的距离为6，则点P 到右准线的距离是多少？解：由第一定义，点P 到右焦点的距离为2614a -=，再由统一定义，得14810e d ==， ∴352d =，所以点P 到右准线的距离为352． 2．求最值问题例2 已知椭圆方程为2211612x y +=，右焦点为F ，(21)A ，为其内部一点，P 为椭圆上一动点，求P 点坐标，使2PA PF +最小．解：如图，由题意得4a =，b =，∴2c =，12c e a ==，由统一定义知2PF 即为P 到右准线的距离，因此，要使2PA PF +最小，P 点除了应在y 轴的右侧外，还要使AP 与过P 点且与准线垂直的线共线即可，由22111612y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，，解得P 点坐标为13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，． 3．求轨迹方程例3 点M 与点(02)F -，的距离比它到直线:30l y -=的距离小1，求点M 的轨迹方程．解：由题意可知，点M 与点(02)F -，的距离和它到直线2y =的距离相等，根据定义知，轨迹是抛物线．因此22p =，∴28p =，故点M 的轨迹方程是28x y =-．4．求参数范围问题例4 在平面直角坐标系中，若方程222(21)(23)m x y y x y +++=-+表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为（）．Ａ．(01)，Ｂ．(1)+∞，Ｃ．(05)，Ｄ．(5)+∞，=，此式可看成点()x y ，到定点(01)-，的距离与到直线230x y -+=由统一定义<，所以51m>，故答案为Ｄ．。

圆锥曲线距离公式

圆锥曲线距离公式
圆锥曲线距离公式是一种表示圆锥曲线的距离的数学方法，它可以用来测量两个相互垂直的圆锥曲线之间的距离。

这种方法对于分析物理结构或建筑物的复杂形状是很有用的，因为它可以在不同的位置上测量出距离。

圆锥曲线距离公式是一种求解圆锥曲线距离的简便方法，它可以帮助我们快速准确地计算出两个圆锥曲线之间的距离。

这种方法基于三角函数原理，也可以称为“三角距离公式”。

它是由英国数学家爱德华·德尔贝发明的，他以此来测量两个圆锥曲线之间的距离。

通常情况下，圆锥曲线距离公式使用两个变量h和θ来表示两个圆锥曲线之间的距离。

其中，h表示圆锥曲线所处的高度，而θ表示圆锥曲线的角度大小。

此外，这种方法还使用一个变量R来表示半径的大小。

具体而言，圆锥曲线距离公式如下：
d=√(h2+R2-2Rhcosθ)
其中，d表示两个圆锥曲线之间的距离，h表示圆锥曲线所处的高度，R表示圆锥曲线的半径，θ表示圆锥曲线的角度大小，cosθ表示圆锥曲线的余弦值。

使用这种方法计算出两个圆锥曲线之间的距离时，我们先需要计算出圆锥曲线所处的高度h和半径R，然后根据
圆锥曲线的角度大小θ来计算出余弦值cosθ，最后将这些参数带入到圆锥曲线距离公式中，就可以得出两个圆锥曲线之间的距离d了。

圆锥曲线距离公式使我们能够快速准确地计算出两个圆锥曲线之间的距离，它对于分析物理结构或建筑物的复杂形状是很有用的，它可以在不同的位置上测量出距离。

因此，圆锥曲线距离公式的使用已经被广泛应用于多种领域，比如飞机设计、工程制图、地图测绘等。

圆锥曲线基础知识技巧套路题型结论极点极线

圆锥曲线基础知识技巧套路题型结论极点极线圆锥曲线是解析几何中的重要组成部分，它包括椭圆、双曲线和抛物线。

掌握圆锥曲线的基本知识和解题技巧，对提高数学素养和解题能力具有重要意义。

本文将为您详细介绍圆锥曲线的基础知识、技巧套路、题型结论以及极点极线的应用。

一、基础知识1.定义：圆锥曲线是平面与圆锥面的交线。

根据平面与圆锥面的相对位置关系，可分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

2.标准方程：- 椭圆：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0）- 双曲线：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a > 0, b > 0）- 抛物线：y^2 = 2px（p > 0）或x^2 = 2py（p > 0）3.基本性质：- 椭圆：对称性、有界性、顶点、焦点、准线等；- 双曲线：对称性、无界性、顶点、焦点、准线等；- 抛物线：对称性、有界性、顶点、焦点、准线等。

二、技巧套路1.椭圆：- 求解椭圆上的点P(x, y)到焦点F1、F2的距离之和：|PF1| + |PF2| = 2a（椭圆的长轴）- 椭圆的切线方程：y = kx + m，代入椭圆方程，求解k和m。

2.双曲线：- 求解双曲线上的点P(x, y)到焦点F1、F2的距离之差：|PF1| - |PF2| = 2a（双曲线的实轴）- 双曲线的切线方程：y = kx + m，代入双曲线方程，求解k和m。

3.抛物线：- 抛物线的焦点：F(p/2, 0)（对于y^2 = 2px）或F(0, p/2)（对于x^2 = 2py）- 抛物线的切线方程：y = kx + m，代入抛物线方程，求解k和m。

三、题型结论1.椭圆：- 线段长度的最大值和最小值：与椭圆的长轴和短轴有关；- 面积的最大值和最小值：与椭圆的长轴和短轴有关。

2.双曲线：- 线段长度的最大值和最小值：与双曲线的实轴和虚轴有关；- 面积的最大值和最小值：与双曲线的实轴和虚轴有关。

高三数学：圆锥曲线中的新定义解析

“九省联考”新题型圆锥曲线中的新定义问题新定义题目简介题型特点“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。

解题策略求解“新定义”题目，主要分如下几步：（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；（3）对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。

一、单选题1已知曲线Γ的对称中心为O，若对于Γ上的任意一点A，都存在Γ上两点B，C，使得O为△ABC的重心，则称曲线Γ为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．则()A.①是假命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①②都是假命题D.①②都是真命题【答案】B【分析】设出椭圆、双曲线方程及点A,B,C的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点A的坐标求出直线BC 方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得.【详解】椭圆是“自稳定曲线”.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a2≠b2,a2>0,b2>0)，令A(x0,y0)，则b2x20+a2y20=a2b2，设B(x1,y1),C(x2,y2)，由O是△ABC的重心，知x1+x2=-x0y1+y2=-y0，直线BC过点M-x02,-y02，当y 0=0时，若A (a ,0)，直线y =-a2与椭圆有两个交点B ,C ，符合题意，若A (-a ,0)，直线y =a2与椭圆有两个交点B ,C ，符合题意，则当y 0=0，即A (±a ,0)时，存在两点B ,C ，使得△ABC 的重心为原点O ，同理，当x 0=0，即A (0,±b )时，存在两点B ,C ，使得△ABC 的重心为原点O ，当x 0y 0≠0时，b 2x 21+a 2y 21=a 2b 2b 2x 22+a 2y 22=a 2b 2 ，两式相减得b 2(x 1-x 2)(x 1+x 2)+a 2(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0，直线BC 的斜率y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 0a 2y 0，方程为y +y 02=-b 2x 0a 2y 0x +x 02 ，即y =-b 2x 0a 2y 0x -b 22y 0，由y =-b 2x 0a 2y 0x -b 22y 0b 2x 2+a 2y 2=a 2b2消去y 并整理得：x 2+x 0x +a 24-a 2b 2y 20=0，Δ=x 20-a 2+4a 2b 2y 20=-a 2b 2y 20+4a 22b 2y 20=3a 2b2y 20>0，即直线BC 与椭圆交于两点，且O 是△ABC 的重心，即当x 0y 0≠0时，对于点A ，在椭圆上都存在两点B ,C ，使得O 为△ABC 的重心，综上，椭圆上任意点A ，在椭圆上都存在两点B ,C ，使得O 为△ABC 重心，①为真命题；双曲线不是“自稳定曲线”.由对称性，不妨令双曲线方程为x 2m 2-y 2n2=1(m >0.n >0)，令A (t ,s )，则n 2t 2-m 2s 2=m 2n 2，设B (t 1,s 1),C(t 2,s 2)，假设O 是△ABC 的重心，则t 1+t 2=-t s 1+s 2=-s，直线BC 过点-t 2,-s2，当s =0时，直线x =-m 2或直线x =m 2与双曲线x 2m 2-y 2n2=1都不相交，因此s ≠0，n 2t 21-m 2s 21=m 2n 2n 2t 22-m 2s 22=m 2n2 ，两式相减得n 2(t 1-t 2)(t 1+t 2)-m 2(s 1-s 2)(s 1+s 2)=0，直线BC 的斜率s 1-s 2t 1-t 2=n 2t m 2s ，方程为y +s 2=n 2t m 2s x +t 2 ，即y =n 2t m 2s x +n 22s ，由y =n 2t m 2sx +n 22sn 2x 2-m 2y 2=m 2n2消去y 并整理得：x 2+tx +m 24+m 2n 2s 2=0，Δ =t 2-a 2-4m 2n 2s 2=m 2n 2s 2-4m 2n 2s 2=-3m 2n2s 2<0，即直线BC 与双曲线不相交，所以不存在双曲线，其上点A 及某两点B ,C ，O 为△ABC 的重心，②是假命题.故选：B【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证.2数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e =ω(其中ω=5-12)的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1，(a >b >0)，若以原点O 为圆心，短轴长为直径作⊙O ,P 为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ,B ，直线AB 与x ,y 轴分别交于M ,N 两点，则b 2|OM |2+a 2|ON |2=()A.1ωB.ωC.-ωD.-1ω【答案】A【分析】根据题意O 、A 、P 、B 四点在以OP 为直径的圆上，可设点P 坐标为P x 0,y 0 ，从而得出四点所在圆的方程为x x -x 0 +y y -y 0 =0，利用两圆方程之差求得切点A 、B 所在直线方程，进而求得M 、N 两点坐标即可解决本题.【详解】依题意有OAPB 四点共圆，设点P 坐标为P x 0,y 0 ，则该圆的方程为：x x -x 0 +y y -y 0 =0，将两圆方程：x 2+y 2=b 2与x 2-x 0x +y 2-y 0y =0相减，得切点所在直线方程为l AB :xx 0+yy 0=b 2，解得M b 2x 0,0 ，N 0,b 2y 0，因为x 20a 2+y 20b2=1，所以b 2|OM |2+a 2|ON |2=b 2b 4x 20+a 2b 4y 2=b 2x 20+a 2y 2b 4=a 2b 2b 4=a 2b 2=11-ω2=25-1=1ω.故选：A3小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设F 1-1,0 、F 21,0 是平面直角坐标系xOy 内的两个定点，满足PF 1 ⋅PF 2 =2的动点P 的轨迹为曲线C ，从而得到以下4个结论：①曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P 的横坐标的取值范围是-3,3 ；③OP 的取值范围是1,3 ；④△PF 1F 2的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为()A.1 B.2C.3D.4【答案】D【分析】设P (x ,y )，由题设可得曲线C 为(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入即可判断①；令t =y 2≥0，由f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4在[0,+∞)上有解，结合二次函数性质求P 的横坐标的取值范围判断②；由②分析可得OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，进而求范围判断③；由基本不等式、余弦定理确定∠F 1PF 2范围，再根据三角形面积公式求最值判断④.【详解】令P (x ,y )，则(x +1)2+y 2⋅(x -1)2+y 2=2，所以[(x +1)2+y 2][(x -1)2+y 2]=4，则(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入上述方程后，均有(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，所以曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形，①正确；令t =y 2≥0，则t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4=0，对于f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，对称轴为x =-(x 2+1)<0，所以f (t )在[0,+∞)上递增，要使f (t )=0在[0,+∞)上有解，只需f (0)=(x 2-1)2-4≤0，所以-1≤x 2-1≤2，即0≤x 2≤3，可得-3≤x ≤3，②正确；由OP 2=x 2+y 2，由f (t )=0中，Δ=4(x 2+1)2-4(x 2-1)2+16=16(x 2+1)，所以t =y 2=-2(x 2+1)+Δ2=2x 2+1-(x 2+1)>0，其中负值舍去，综上，OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，又0≤x 2≤3，即1≤x 2+1≤4，所以OP 2∈[1,3]，则OP ∈[1,3]，③正确；由PF 1 +PF 2 ≥2PF 1 ⋅PF 2 =22，仅当PF 1 =PF 2 =2时等号成立，△PF 1F 2的面积S =12PF 1 PF 2 sin ∠F 1PF 2=sin ∠F 1PF 2，而cos ∠F 1PF 2=PF 1 2+PF 2 2-F 1F 222PF 1 PF 2 ≥0，所以0°<∠F 1PF 2≤90°，所以△PF 1F 2的面积的最大值为1，④正确.综上，正确结论的个数为4个.故选：D【点睛】关键点点睛：②③通过换元t =y 2≥0，构造f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，利用根的分布求P 的横坐标、OP 的取值范围.4在平面直角坐标系中，定义d (A ,B )=max x 1-x 2 ,y 1-y 2 为两点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)的“切比雪夫距离”，并对于点P 与直线l 上任意一点Q ，称d P ,Q 的最小值为点P 与直线l 间的“切比雪夫距离”，记作d P ,l ，给定下列四个命题：p 1：对于任意的三点A ，B ，C ，总有d C ,A +d C ,B ≥d A ,B ；p 2：若点P 3,1 ，直线l :2x -y -1=0，则d P ,l =43；p 3：满足d (O ,M )=C C >0 的点M 的轨迹为正方形；p 4：若点F 1(-c ,0)，F 2c ,0 ，则满足d P ,F 1 -d P ,F 2 =2a 2c >2a >0 的点M 的轨迹与直线y =k (k 为常数)有且仅有2个公共点；则其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】①讨论A ，B ，C 三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；②设点Q 是直线y =2x -1上一点，且Q (x ,2x -1)，可得d (P ,Q )=max {|x -3|，|2-2x |}，讨论|x -3|，|2-2x |的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；④讨论P 在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．【详解】①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，如图，结合三角形的相似可得d (C ,A )，d (C ,B )，d (A ,B )为AN ，CM ，AK ，或CN ，BM ，BK ，则d (C ，A )+d (C ，B )=d (A ，B )；若B ，C 或A ，C 对调，可得d (C ，A )+d (C ，B )>d (A ，B )；若A ，B ，C 不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，由矩形CMNK 或矩形BMNK ，d (C ，A )+d (C ，B )≥d (A ，B )；则对任意的三点A ，B ，C ，都有d (C ，A )+d (C ，B )≥d (A ，B )；故①正确；设点Q 是直线y =2x -1上一点，且Q (x ,2x -1)，可得d (P ,Q )=max {|x -3|，|2-2x |}，由|x -3|≥|2-2x |，解得-1≤x ≤53，即有d (P ,Q )=|x -3|，当x =53时，取得最小值43；由|x -3|<|2-2x |，解得x >53或x <-1，即有d (P ,Q )=|2x -2|，d (P ,Q )的范围是3,+∞ ∪43,+∞ =43,+∞ ，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43．故②正确；③由题意，到原点的“切比雪夫距离”等于C 的点设为x ,y ，则max x ,y =C ，若y ≥x ，则|y |=C ；若|y |<|x |，则|x |=C ，故所求轨迹是正方形，则③正确；④定点F 1(-c ,0)、F 2(c ,0)，动点P (x ,y )满足|d (P ，F 1)-d (P ，F 2)|=2a (2c >2a >0)，可得P 不y 轴上，P 在线段F 1F 2间成立，可得x +c -(c -x )=2a ，解得x =a ，由对称性可得x =-a 也成立，即有两点P 满足条件；若P 在第一象限内，满足|d (P ，F 1)-d (P ，F 2)|=2a ，即为x +c -y =2a ，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点P 的轨迹与直线y =k (k 为常数)有且仅有2个公共点．故④正确；综上可得，真命题的个数为4个，故选：D .【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于对新定义“切比雪夫距离”的理解，“切比雪夫距离”即是两点横坐标之差绝对值与纵坐标之差绝对值中的最大值；理解新定义的基础上，结合曲线与方程的有关性质，即可求解.5定义：若直线l将多边形分为两部分，且使得多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a，b为常数)和其左右焦点F1,F2，P为C上的一动点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A，B，已知四边形AF1BF2与三角形PF1F2有相同的“等线”l．则对于下列四个结论：①PA=PB；②等线l必过多边形的重心；③l始终与3x2a2-3y2b2=1相切；④l的斜率为定值且与a，b有关．其中所有正确结论的编号是()A.①②B.①④C.②③④D.①②③【答案】D【分析】对于①，利用导数的几何意求出过点P x0,y0的切线方程，再与渐近线方程联立可求出A,B的横坐标，然后与x0比较可得答案，对于②，由“等线”的定义结合重心的定义分析判断，对于③④，由多边形重心的定义可知四边形AF1BF，其重心H必在△AF1F2与△BF1F2重心连线上，也必在△AF1B与△AF2B重心连线上，△PF1F2重心设为G，则l即为直线GH，然后由重心的性质可证得GH∥AB，从而可得结论.【详解】解：①：设P x0,y0，当y0>0时，设y>0，则由x2a2-y2b2=1，得y=bax2-a2，所以y =bxa x2-a2，所以切线的斜率为k=bx0a x20-a2，所以切线方程为y-y0=bx0a x20-a2(x-x0)，因为点P x0,y0在双曲线上，所以x20a2-y20b2=1，得x20-a2=aby0，b2x20-a2y20=a2b2，所以y-y0=bx0a⋅aby0(x-x0)=b2x0a2y0(x-x0)，所以a2y0y-a2y20=b2x0x-b2x20，所以b2x0x-a2y0y=b2x20-a2y20=a2b2，所以x0xa2-y0yb2=1，同理可求出当y0<0时的切线方程为x0xa2-y0yb2=1，当y0=0时，双曲线的切线方程为x=±a，满足x0xa2-y0yb2=1，所以过P点切线方程为x0xa2-y0yb2=1，渐近线方程为y=±b a x联立两直线方程得x A=ax0a-y0b，x B=ax0a+y0b故有x A+x B=2x0x02a2-y02b2=2x0，故PA=PB②：设多边形顶点坐标为x i,y i，其中i=1,2,3⋯n设“等线”方程为y -kx -b =0，则x i ,y i 到等线的距离为：d i =y i -kx i -b1+k 2又因为等线将顶点分为上下两部分，则有d 上部分=y i -kx i -b1+k 2d 下部分=-y i -kx i -b1+k 2d 上部分= d 下部分从而ni =1y i -kx i -b1+k2=0整理得1n ni =1y i =k ⋅1n ni =1x i +b即等线l 必过该多边形重心．③④：考察△PF 1F 2重心，设P x 0,y 0 ，则重心G x 03,y 03．对于四边形AF 1BF ，其重心H 必在△AF 1F 2与△BF 1F 2重心连线上，也必在△AF 1B 与△AF 2B 重心连线上，则l 即为直线GH ．设△AF 1F 2与△BF 1F 2重心分别为E ,F ，则OE EA=OF FB =12，所以EF ∥AB ，因为G 为△PF 1F 2的重心，所以OE EA=OGGP ，所以EG ∥AB ，所以E ,F ,G 三点共线，因为H 在EF 上，所以GH ∥AB ，过G x 03,y 03，因为直线AB 为x 0x a 2-y 0y b 2=1，所以直线AB 的斜率为k =b 2a 2⋅x0y 0，所以直线GH 的方程为y -y 03=b 2a 2⋅x 0y 0x -x 03 ，整理得3x 0x a 2-3y 0y b 2=1，所以直线l 方程3x 0xa 2-3y 0yb 2=1，由①的求解过程可知该方程为3x 2a 2-3y 2b2=1切线方程，所以③正确，④错误，故①②③正确．故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的性质和导数的几何意义的应用，考查新定义，解题的关键是对“等线”定义的正确理解和重心的找法，考查计算能力，属于难题.二、多选题6古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．后经研究发现：当圆锥轴截面的顶角为2α时，用一个与旋转轴所成角为β的平面γ(不过圆锥顶点)去截该圆锥面，则截口曲线(圆锥曲线)的离心率为e =cos βcos α．比如，当α=β时，e =1，即截得的曲线是抛物线．如图，在空间直角坐标系Oxyz 中放置一个圆锥，顶点S (0,0,2),M (0,1,1)，底面圆O 的半径为2，直径AB ，CD 分别在x ，y 轴上，则下列说法中正确的是()A.已知点N (0,0,1)，则过点M ,N 的平面截该圆锥得的截口曲线为圆B.平面MAB 截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分C.若E (-2,-2,0),F (2,2,0)，则平面MEF 截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分D.若平面γ截该圆锥得的截口曲线为离心率是2的双曲线的一部分，则平面γ不经过原点O 【答案】BCD【分析】根据情境，由题可知cos α=cos π4，再对每个选项，求出过点M 的平面与旋转轴OS 所成角的余弦，即cos β的值，代入e =cos βcos α求值，从而利用离心率的范围判断截口曲线类型即可．【详解】对于A ：只有过点M ，N 且与底面平行的平面截该圆锥得的截口曲线才是圆，其他情况均不是圆，故A 不正确；对于B ：由题得底面圆O 的半径为2，则OD =2，OS =2，则M 为SD 中点，易知AB ⊥平面SCD ，SD ⊂平面SCD ，所以SD ⊥AB ，又SD ⊥OM ,OM ∩AB =O ,OM ⊂平面MAB ，AB ⊂平面MAB ，所以SD ⊥平面MAB ，又易知OM =SM =MD ，所以平面MAB 与旋转轴OS 所成角为∠SOM =π4，∠OSD =π4，即β=π4,α=π4，所以e =cos βcos α=1，所以平面MAB 截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分，故B 正确；对于C ：E (-2,-2,0),F (2,2,0),M (0,1,1)，则EF =22,22,0 ,MF=2,2-1,-1 ，设平面MEF 的一个法向量为m=x ,y ,z ，则EF ⋅m =22x +22y =0MF ⋅m=2x +2-1 y -z =0，取x =1，则y =-1,z =1，故m=(1,-1,1)，所以sin β=cos m ,OS =m ⋅OSm OS =23×2=33,∴cos β=63，故e =cos βcos α=63cos π4=6322=233∈(1,+∞)，所以平面MEF 截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分，故C 正确；对于D ：若平面γ截该圆锥得的截口曲线为离心率是2的双曲线的一部分，则cos βcos α=cos β22=2,∴cos β=1,∵β∈0,π2 ,∴β=0，所以平面γ⎳OS ，故平面γ不经过原点O ，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解截口曲线(圆锥曲线)的离心率的定义，结合空间向量法即可得解.7法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的“蒙日圆”的方程为x 2+y 2=a 2+b 2，已知椭圆C 的长轴长为4，离心率为e =12,P 为蒙日圆上任一点，则以下说法正确的是()A ．过点P 作椭圆C 的两条切线PA ,PB ，则有PA ⊥PB .B ．过点P 作椭圆的两条切线，交椭圆于点A ,B ,O 为原点，则OP ,AB 的斜率乘积为定值k OP ⋅k AB =-43.C ．过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ，则S △APB 的取值范围97,167.D ．过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ,O 为原点，则S △AOB 的最大值为3.【答案】ACD【分析】对于A ，由题意求出蒙日圆的方程，讨论切线斜率是否存在，结合联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系化简，即可判断；对于B ，求出切点弦AB 的方程即可得其斜率，化简即可判断；对于C ，D ，联立切点弦AB 的方程和椭圆方程，求出弦长|AB |，求出相应三角形的高，即可求得三角形面积的表达式，结合函数的单调性或者不等式知识即可求得最值或范围.【详解】由题意知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为e =12，故a =2,c a =12,∴c =1,b 2=a 2-c 2=3，则椭圆方程为x 24+y 23=1，“蒙日圆”的方程为x 2+y 2=7；对于A ，假设有一条切线斜率不存在，不妨假设PB 斜率不存在，则不妨设PB 过椭圆的右顶点，则PB 方程为x =2，则P 点坐标为P (2,±3)，显然此时A 点取椭圆的短轴顶点(0,±3)，则PA 方程为y =±3，此时满足PA 与椭圆相切，且PA ⊥PB ；当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为y =kx +m ,(k ≠0)，设P x 1,y 1 ，则m =y 1-kx 1,x 21+y 21=7，联立y =kx +mx 24+y 23=1，整理得4k 2+3 x 2+8kmx +4m 2-12=0，则Δ=64k 2m 2-44k 2+3 4m 2-12 =0，即m 2=4k 2+3，将m =y 1-kx 1代入上式，得关于k 的方程x 21-4 k 2-2x 1y 1k +y 21-3=0，则Δ=4(3x 21+4y 21-12)>0，(P 在椭圆x 24+y 23=1外)，k PA ,k PB 为该方程的两个根，故k PA ⋅k PB =y 21-3x 21-4=7-x 21-3x 21-4=-1，即PA ⊥PB ，A 正确；对于B ，设A (x 2,y 2),B (x 3,y 3)，则PA 的方程为x 2x4+y 2y 3=1，PB 的方程为x 3x4+y 3y 3=1，两切线过点P x 1,y 1 ，故x 2x 14+y 2y 13=1，x 3x14+y 3y 13=1，即点A ，B 在直线xx 14+yy 13=1上，因为两点确定一条直线，故直线AB 的方程为xx 14+yy 13=1，则k AB =-3x14y 1，而k OP =y 1x 1，故k OP ⋅k AB =-34，B 错误；对于C ，由于直线AB 的方程为xx 14+yy 13=1，联立x 24+y 23=1，得3x 21+4y 21 x 2-24x 1x +48-16y 21=0，Δ =24x 1 2-43x 21+4y 21 48-16y 21 =64y 213x 21+4y 21-12 >0，则x 2+x 3=24x 13x 21+4y 21,x 2x 3=48-16y 213x 21+4y 21，故|AB |=1+(k AB )2⋅(x 2+x 3)2-4x 2x 3=1+9x 2116y 21×8|y 1|3x 21+4y 21-123x 21+4y 21=29x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21，又点P 到直线AB 的距离为d =|3x 21+4y 21-12|9x 21+16y 21，故S △APB =12|AB |d =9x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21⋅|3x 21+4y 21-12|9x 21+16y 21=(3x 21+4y 21-12)3x 21+4y 21-123x 21+4y 21，又x 21+y 21=7，故令t =3x 21+4y 21-12=y 21+9，t ∈[3,4]，则S △APB =t 3t 2+12=11t+12t3，令f (t )=1t +12t 3，显然f (t )在[3,4]上单调递减，故y =11t+12t3在[3,4]上单调递增，则(S △APB )min =1f (3)=2721=97,(S △APB )max =1f (4)=6428=167，即S △APB 的取值范围97,167，C 正确；对于D ，由C 的分析可知|AB |=29x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21，而点O 到直线AB 的距离为d =|-12|9x 21+16y 21,故S △AOB =12|AB |d =9x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21⋅|-12|9x 21+16y 21=123x 21+4y 21-123x 21+4y 21，又x 21+y 21=7，故令t =3x 21+4y 21-12=y 21+9，t ∈[3,4]，则S △AOB =12t t 2+12=12t +12t，而t +12t ≥212=43，当且仅当t =12t，即t =23∈[3,4]时等号成立，故S △AOB =12t +12t ≤1243=3，即S △AOB 的最大值为3，D 正确，故选：ACD【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆的相关知识，涉及到蒙日圆的问题，综合性强，计算量大，难点在于计算相关三角形的面积，要注意切线方程的应用，计算需要十分细心.8小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”．在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设F 1-1,0 、F 21,0 是平面直角坐标系xOy 内的两个定点，满足PF 1 ⋅PF 2 =2的动点P 的轨迹为曲线C ，从而得到以下4个结论，其中正确结论的为()A.曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B.动点P 的横坐标的取值范围是-3,3C.OP 的取值范围是1,2D.△PF 1F 2的面积的最大值为1【答案】ABD【分析】设P (x ,y )，由题设可得曲线C 为(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入即可判断A ；令t =y 2≥0，由f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4在[0,+∞)上有解，结合二次函数性质求P 的横坐标的取值范围判断B ；由②分析可得OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，进而求范围判断C ；由基本不等式、余弦定理确定∠F1PF 2范围，再根据三角形面积公式求最值判断D .【详解】令P (x ,y )，则(x +1)2+y 2⋅(x -1)2+y 2=2，所以[(x +1)2+y 2][(x -1)2+y 2]=4，则(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入上述方程后，均有(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，所以曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形，A 正确；令t =y 2≥0，则t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4=0，对于f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，对称轴为x =-(x 2+1)<0，所以f (t )在[0,+∞)上递增，要使f (t )=0在[0,+∞)上有解，只需f (0)=(x 2-1)2-4≤0，所以-1≤x 2-1≤2，即0≤x 2≤3，可得-3≤x ≤3，B 正确；由OP 2=x 2+y 2，由f (t )=0中，Δ=4(x 2+1)2-4(x 2-1)2+16=16(x 2+1)，所以t =y 2=-2(x 2+1)+Δ2=2x 2+1-(x 2+1)>0，其中负值舍去，综上，OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，又0≤x 2≤3，即1≤x 2+1≤4，所以OP 2∈[1,3]，则OP ∈[1,3]，C 错误；由PF 1 +PF 2 ≥2PF 1 ⋅PF 2 =22，仅当PF 1 =PF 2 =2时等号成立，△PF 1F 2的面积S =12PF 1 PF 2 sin ∠F 1PF 2=sin ∠F 1PF 2，而cos ∠F 1PF 2=PF 1 2+PF 2 2-F 1F 222PF 1 PF 2 ≥0，所以0°<∠F 1PF 2≤90°，所以△PF 1F 2的面积的最大值为1，D 正确.故选：ABD .【点睛】关键点点睛：B ,C 通过换元t =y 2≥0，构造f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，利用根的分布求P 的横坐标、OP 的取值范围.9如图，已知圆锥PO 的轴PO 与母线所成的角为α，过A 1的平面与圆锥的轴所成的角为ββ>α ，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为A 1A 2,短轴为B 1B 2,长半轴长为a ，短半轴长为b ，椭圆的中心为N ,再以B 1B 2为弦且垂直于PO 的圆截面，记该圆与直线PA 1交于C 1，与直线PA 2交于C 2，则下列说法正确的是()A.当β<α时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆B.|NC 1|⋅|NC 2|=a 2sin β+α sin β-αcos 2αC.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =cos βcos αD.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =sin αsin β【答案】BC【分析】由截口曲线的含义可判断A ；过N 作NG ⊥PC 1于点G ，求出而|C 1N |=a sin (α+β)cos α，|C 2N |=a sin (β-α)cos α，即可判断B ；根据图形的几何性质求得椭圆的a ,c 之间的关系式，即可求得离心率，可判断C ，D .【详解】由截口曲线知，当β<α时，平面截这个圆锥所得截面为双曲线，A 错.对于B ，过N 作NG ⊥PC 1于点G ，而∠C 1A 1N =α+β,NA 1 =a ，所以|NG |=a sin α+β ，而∠C 1NG =α,∴|C 1N |=a sin (α+β)cos α，同理过N 向PC 2作垂线，可得|C 2N |=a sin (β-α)cos α，∴|NC 1|⋅|NC 2|=a 2sin (β+α)sin (β-α)cos 2α，B 正确；对于C ，D ，设圆锥上部球O 1与椭圆截面圆锥侧面均相切，轴截面的内切圆O 1，半径为r ，球O 1与A 1A 2的切点为椭圆左焦点F ，设∠O 1A 2F =θ,∠O 1A 1F =φ,∴θ=β-α2①，φ=π-(α+β)2,|A 1F |=a -c =r tan φ，|A 2F |=a +c =r tan θ,∴a +c a -c =tan φtan θ=1+e1-e ,解得e =tan φ-tan θtan φ+tan θ=sin (φ-θ)sin (φ+θ)，而φ-θ=π2-βφ+θ=π2-a，故e =sin π2-β sin π2-α =cos βcos α，故C 正确，D 错误，故选：BC【点睛】难点点睛：求解椭圆的离心率时，要能根据图示求得a ,c 之间的关系，这是解答的难点，也是关键之处，因此通过设∠O 1A 2F =θ,∠O 1A 1F =φ，结合图形的几何性质，得到|A 1F |=a -c =rtan φ，|A 2F |=a +c =r tan θ，即可求解.102021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新log o .设计师的灵感来源于曲线C ：x |n + y |n=1.其中星形线E ：x 23+y 23=1常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是()A.E 关于y 轴对称B.E 上的点到x 轴、y 轴的距离之积不超过18C.E 上的点到原点距离的最小值为14D.曲线E 所围成图形的面积小于2【答案】ABD【分析】A 由(x ,y )、(-x ,y )均在曲线上即可判断；B 应用基本不等式x 23+y 23≥2|xy |23即可判断；C 由x 2+y 2=x 23 3+y 23 3，结合立方和公式及B 的结论即可判断；D 根据x 23+y 23与|x |+|y |图形的位置关系判断.【详解】若(x ,y )在星形线E 上，则(-x ,y )也在E 上，故E 关于y 轴对称，A 正确；由x 23+y 23=1≥2|xy |23=2|xy |13，则|xy |≤18当且仅当|x |=|y |时等号成立，B 正确；由x 2+y 2=x 23 3+y 23 3=x 23+y 23 x 23+y 23 2-3(xy )23 =1-3(xy )23≥14，当且仅当|x |=|y |时等号成立，故E 上的点到原点距离的最小值为12，C 错误；曲线E 过(±1,0)，(0,±1)，由|x |+|y |≥x 23+y 23=1，则x 23+y 23在|x |+|y |所围成的区域内部，而|x |+|y |=1所围成的面积为2，故曲线E 所围成图形的面积小于2，D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：应用基本不等式有x 23+y 23≥2|xy |23，由x 2+y 2=x233+y 233及立方和公式求两点距离，利用x 23+y 23与|x |+|y |图形的位置判断面积大小.11曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 上点P x 0,y 0 处的曲率半径公式为R =a 2b 2x 2a 4+y 20b432，则下列说法正确的是()A.对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB.椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点处的曲率半径的最大值为aC.椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点处的曲率半径的最小值为b 2a D.对于椭圆x 2a 2+y 2=1a >1 上点12,y 0 处的曲率半径随着a 的增大而减小【答案】AC【分析】利用曲率半径公式的定义，A 中有圆上任一点R=R4R 2R 432=R ；B 、C 中由椭圆在(±a ,0)，(0,±b )处分别是最大、最小处，结合公式求得曲率半径的范围；D 中由公式得R =a -834+a 43-a-23432，构造f (a )=a -834+a 43-a-234，利用导数研究其单调性即可，进而可确定正确选项.【详解】A ：由题设知：圆的方程可写为x 2R 2+y 2R 2=1，所以圆上任一点P x 0,y 0 曲率半径为R =R4x 20+y 2R 432=R4R 2R 432=R ，正确；B 、C ：由x 2a 2+y 2b 2=1a >0,b >0 弯曲最大处为(±a ,0)，最小处为(0,±b )，所以在(±a ,0)处有R =a 2b 2a 2a 4+0b432=b 2a ，在(0,±b )处有R =a 2b20a 4+b 2b432=a 2b，即R ∈b 2a ,a 2b ，故B 错误，C 正确；D ：由题意，12,y 0 处的曲率半径R =a 214a 4+y 232，而y 20=1-14a 2，所以R =a 214a 4-14a 2+132=a -834+a 43-a -23432，令f (a )=a -834+a 43-a -234，则在a >1上有f (a )=a-1136(8a 4+a 2-4)>0恒成立，故R 在a >1上随着a 的增大而增大，错误；故选：AC .【点睛】关键点点睛：由曲率半径公式，结合曲线方程写出相应点的曲率半径，根据圆、椭圆的性质，构造函数并应用导数研究其单调性，判断各项的正误.三、填空题12在平面直角坐标系中，定义d (A ,B )=x 1-x 2 +y 1-y 2 为点A x 1,y 1 到点B x 2,y 2 的“折线距离”．点O 是坐标原点，点P 在圆x 2+y 2=1上，点Q 在直线2x +y -25=0上．在这个定义下，给出下列结论：①若点P 的横坐标为-35，则d (O ,P )=75； ②d (O ,P )的最大值是2③d (O ,Q )的最小值是2； ④d (Q ,P )的最小值是52其中，所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】对于①，求出点P 的纵坐标，利用“折线距离”的定义即可判断；对于②，结合基本不等式即可判断；对于③，设Q x ,25-2x ，表示出d (O ,Q )=x +2x -25 ，分段讨论，去掉绝对值，可求得最小值，即可判断；对于④，利用直线和圆的方程设出点的坐标，表示出d (Q ,P )，然后分类讨论，脱掉绝对值符号，结合三角函数的辅助角公式，即可判断.【详解】对于①，若点P 的横坐标为-35，点P 在圆x 2+y 2=1上，则点P 的纵坐标为±45，则d (O ,P )=0-35 +0±45 =75，①正确；对于②，设点P (x ,y )，则x 2+y 2=1，d (O ,P )=|x |+|y |，因为(|x |+|y |)2=x 2+y 2+2|xy |≤1+x 2+y 2=2，故d (O ,P )=|x |+|y |≤2，当且仅当|x |=|y |=22时等号成立，即d (O ,P )的最大值是2，②正确；对于③，设直线2x +y -25=0上的一点为Q x ,25-2x ，则d (O ,Q )=x +2x -25 ；当x ≤0时，d (O ,Q )=-3x +25，此时d min =25；当0<x ≤5时，d (O ,Q )=-x +25，此时dmin =5；当x>5时，d=3x-25，此时d(O,Q)>5；∴当x=5时，d取得最小值5，即d(O,Q)的最小值为5，故③错误；对于④，设P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π]，Q x,25-2x，则d(Q,P)=|x-cosθ|+|25-2x-sinθ|，当x≥5-12sinθ时，x>1>cosθ，d(Q,P)=x-cosθ-25+2x+sinθ=3x-cosθ-25+sinθ≥35-12sinθ-cosθ-25+sinθ=5-12sinθ+cosθ=5-52sinθ+α≥52，(α为辅助角，sinα=255,cosα=55)，当θ+α=π2时取得等号；当5-12sinθ>x>cosθ时，d(Q,P)=x-cosθ+25-2x-sinθ=-x-cosθ+25-sinθ≥-5-12sinθ-cosθ+25-sinθ=5-12sinθ+cosθ=5-52sinθ+α≥52，(α为辅助角，sinα=255,cosα=55)，当θ+α=π2时取得等号；当x≤cosθ时，d(Q,P)=cosθ-x+25-2x-sinθ=-3x+cosθ+25-sinθ≥-3cosθ+cosθ+25-sinθ=-2cosθ-sinθ+25=25-5sin(θ+β)≥5，(β为辅助角，sinβ=255,cosβ=55)，当θ+β=π2时取得等号；综上可知d(Q,P)的最小值是52，④正确，故答案为：①②④【点睛】难点点睛：本题考查直线和圆的关系中新定义问题，解答时要根据新的定义去解答，难点在于④的判断，解答时要利用直线和圆的方程设出点的坐标，表示出d(Q,P)，然后分类讨论，脱掉绝对值符号，结合三角函数的辅助角公式，即可求解.13卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C的方程为：x2x+2+y24=1x>-2，O为坐标原点，点A(1,0)，点P为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是.①卵圆C关于x轴对称②卵圆上不存在两点关于直线x =12对称③线段PO 长度的取值范围是[1,2]④△OAP 的面积最大值为1【答案】①③④【分析】利用点x ,y 和x ,-y 均满足方程，即可判断①；设x 0,y 0 和1-x 0,y 0 都在卵圆C 上，再解x 20x 0+2+y 204=11-x 0 1-x 0+2+y 204=1即可判断②；利用两点间的距离公式表示OP 2，然后利用导数研究其最值，即可判断③；利用三角形的面积公式表示出S △OAP ，然后利用导数研究其最值，即可判断④.【详解】对于①，设x ,y 是卵圆C 上的任意一个点，因为x 2x +2+-y 24=x 2x +2+y 24=1，所以点x ,-y 也在卵圆C 上，又点x ,y 和点x ,-y 关于x 轴对称，所以卵圆C 关于x 轴对称，故①正确；对于②，设x 0,y 0 在卵圆C 上，x 0,y 0 关于直线x =12对称的点1-x 0,y 0 也在卵圆C 上，则x 2x 0+2+y 204=11-x 0 1-x 0+2+y 204=1，解得x 0=-1y 0=0 或x 0=2y 0=0 ，所以卵圆上存在-1,0 ,2,0 两点关于直线x =12对称，故②错误；对于③，由x 2x +2+y 24=1，得x 2x +2=1-y 24，所以x2x +2≤1，又x >-2，所以-1≤x ≤2，设点P x ,y ,x ∈-1,2 ，则OP 2=x 2+y 2=x 2+41-x 2x +2 =x 3-2x 2x +2+4，令f x =x 3-2x 2x +2+4,x ∈-1,2 ，则fx =2x x 2+2x -4 x +2,x ∈-1,2 ，令f x =0，则x =0或-1±5，当-1<x <0或-1+5<x <2时，f x >0，当0<x <-1+5时，f x <0，所以函数f x 在-1,0 ,-1+5,2 上递增，在0,-1+5 上递减，又f -1 =1,f 0 =4,f -1+5 =26-105,f 2 =4，且26-105>1，所以f x min =1,f x max =4，即OP 2∈1,4 ，所以OP ∈1,2 ，故③正确；对于④，点P x ,y ,x ∈-1,2 ，S △OAP =12OA ⋅y =12×21-x 2x +2=1-x 2x +2，令g x =x 2x +2,-1≤x ≤2，则g x =x x +4 x +22,-1≤x ≤2，当-1<x <0时，g x <0，当0<x <2时，g x >0，所以g x 在-1,0 上递减，在0,2 上递增，所以g x min =g 0 =0，此时△OAP 的面积取得最大值1，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.14城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义d P ,Q =x 1-x 2 +y 1-y 2 为两点P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 之间的“出租车距离”.给出下列四个结论：①若点O 0,0 ，点A 1,2 ，则d O ,A =3；②到点O 0,0 的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是π；③若点A 1,2 ，点B 是抛物线y 2=x 上的动点，则d A ,B 的最小值是1；④若点A 1,2 ，点B 是圆x 2+y 2=1上的动点，则d A ,B 的最大值是3+2.其中，所有正确结论的序号是.【答案】①③④【分析】利用题中定义可判断①；作出平面区域并计算平面区域的面积可判断②；利用题中定义以及二次函数的性质可判断③；设点B cos θ,sin θ ，利用题中定义结合正弦型函数的有界性可判断④.【详解】对于①，d O ,A =1-0 +2-0 =3，①对；对于②，设点P x ,y 满足d O ,P ≤1，即x +y ≤1.对于方程x +y =1，当x ≥0，y ≥0时，x +y =1；当x ≤0，y ≥0时，-x +y =1；当x ≤0，y ≤0时，-x -y =1；当x ≥0，y ≤0时，x -y =1.作出集合x ,y x +y ≤1 所表示的平面区域如下图中的阴影部分区域所表示：平面区域是边长为2的正方形，该区域的面积为2 2=2，②错；对于③，设点B x ,y ，则d A ,B =x -1 +y -2 =y 2-1 +y -2 ，令f y =y 2-1 +y -2 .当y ≤-1时，f y =y 2-1+2-y =y 2-y +1=y -12 2+34≥3，当-1<y <1时，f y =1-y 2+2-y =-y 2-y +3=-y +12 2+134∈1,134 ；当1≤y <2时，f y =y 2-1+2-y =y 2-y +1=y -12 2+34∈1,3 ；当y ≥2时，f y =y 2-1+y -2=y 2+y -3=y +12 2-134≥3.综上所述，d A ,B ≥1，③对；对于④，设点B cos θ,sin θ ，则d A ,B =1-cos θ +2-sin θ =3-sin θ+cos θ =3-2sin θ+π4，所以，d A ,B 的最大值是3+2，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查曲线中的新定义，在判断③时，要注意去绝对值，结合二次函数的基本性质求解；在判断④时，在涉及圆或椭圆上的点相关的最值问题时，可充分将点的坐标利用三角函数的形式表示，利用三角函数的有界性与三角恒等变换求解，简化计算.15已知点A 1,-1 ．若曲线G 上存在两点B 、C ，使△ABC 为正三角形，则称G 为Ψ型曲线，给定下列四条曲线：①y =x +3-3≤x ≤0 ； ②y =x 2x ≥0 ；③y =2-x 20≤x ≤2 ； ④y =1xx <0 ．其中，属于Ψ型曲线的是(写出序号即可)【答案】①④【分析】线段y =x +3-3≤x ≤0 的端点为E -3,0 、F 0,3 ，计算出cos ∠EAF 的值可判断①；设过点A 且与曲线y =x 2x ≥0 相切时切点为M ，计算出tan ∠OAM 可判②；记曲线y =2-x 20≤x ≤2 的端点为P 0,2 、Q 2,0 ，计算出cos ∠PAQ 的值可判断③；数形结合可判断④.【详解】对于①，线段y =x +3-3≤x ≤0 的端点为E -3,0 、F 0,3 ，则EF =32，AE =AF =17，cos ∠EAF =AE2+AF 2-EF 22AE ⋅AF=817<12，故∠EAF >π3，所以，线段y =x +3-3≤x ≤0 上存在B 、C 使得△ABC 为正三角形，故y =x +3-3≤x ≤0 是Ψ型曲线；对于②，设过点A 且与曲线y =x 2x ≥0 相切的直线的方程为y +1=k x -1 ，联立y =x 2y =kx -k -1k >0，可得x 2-kx +k +1=0，Δ=k 2-4k -4=0，因为k >0，解得k =2+22，设切点为点M ，则tan ∠OAM =k AO -k AE 1+k AO k AE =-3-221-2+22 =3+2222+1<3，故0<∠OAM <π3，所以，曲线y =x 2x ≥0 上不存在点B 、C ，使得△ABC 为正三角形，曲线y =x 2x ≥0 不是Ψ型曲线；对于③，由y =2-x 20≤x ≤2 可得x 2+y 2=2，曲线y =2-x 20≤x ≤2 表示圆x 2+y 2=2在第一象限内的圆弧(包括端点)，曲线y =2-x 20≤x ≤2 的端点为P 0,2 、Q 2,0 ，。

圆锥曲线最短距离

圆锥曲线最短距离
圆锥曲线最短距离的问题，可以通过以下两种思路进行解答：
第一种，对于从该平面上的定点出发到椭圆上一点的最短距离的问题，可以采用仿射变换。

通过仿射变换将椭圆仿射为圆，并将仿射后的定点与圆心连线，再减去半径，即得到了该点到圆心的距离。

再将此距离按照仿射的规则转化为原来xOy坐标系的距离，即为所求。

第二种，对于从椭圆上的动点出发到定点最短距离的问题，可以将该点的坐标进行三角换元，得到P（acosθ，bsinθ），再利用两点间的距离公式求得最短距离。

如果该椭圆的焦点在坐标轴上，可以使用单独将椭圆方程中的x或y
配成完全平方，再使用三角换元的方式求解。

如果仍对圆锥曲线最短距离问题有疑问，可以请教数学老师或查阅相关数学书籍。

新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册

章末复习一、圆锥曲线的定义及标准方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|,则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对答案 C解析把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点,直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．(2)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ,设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时,动点M 满足PD →＝2MD →,动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．解方法一由PD →＝2MD →,知点M 为线段PD 的中点,设点M 的坐标为(x ,y ),则点P 的坐标为(x ,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 2＋(2y )2＝4,所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.方法二设点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标是(x 0,y 0), 由PD →＝2MD →,得x 0＝x ,y 0＝2y , 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 20＋y 20＝4,(*)把x 0＝x ,y 0＝2y 代入(*)式,得x 2＋4y 2＝4, 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决．跟踪训练1 (1)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为________．答案 x 2－y 23＝1解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3,因此双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点,F 是抛物线的焦点,点M 的坐标是(2,3),求|PM |＋|PF |的最小值,并求出此时点P 的坐标．解抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2,那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离,过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2,垂足为D ,那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示,根据平面几何知识,当M ,P ,D 三点共线时,|PM |＋|PF |的值最小, 且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4, 所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3,所以其横坐标为98,即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3. 二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质,其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程,基本方法是待定系数法,其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2 (1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4,|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形, 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12,所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4, 所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8, 所以|AF 2|－|AF 1|＝22,因此对于双曲线有a ＝2,c ＝3, 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.(2)已知a >b >0,椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1,双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1,C 1与C 2的离心率之积为32,则C 2的渐近线方程为________．答案 x ±2y ＝0解析设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2,则e 1＝a 2－b 2a ,e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32,所以a 4－b 4a 2＝32,即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14,所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x , 即x ±2y ＝0.反思感悟求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观．跟踪训练2 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ,A ,B 分别是长轴、短轴的一个端点,O 为原点,若△ABO 的面积是3c 2,则此椭圆的离心率是( ) A.12 B.32 C.22 D.33 答案 A解析 12ab ＝3c 2,即a 2(a 2－c 2)＝12c 4,所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0,所以a 2＝4c 2,a ＝2c ,故e ＝c a ＝12.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的焦距为2c ,右顶点为A ,抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ,且|FA |＝c ,则双曲线的渐近线方程为_________．答案 x ±y ＝0 解析 c 2＝a 2＋b 2,①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知, 双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫c ，－p 2,即c 2a 2－p 24b2＝1.② 由|FA |＝c ,得c 2＝a 2＋p 24,③由①③得p 2＝4b 2.④将④代入②,得c 2a 2＝2.∴a 2＋b 2a 2＝2,即ba＝1,故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ,即x ±y ＝0. 三、直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式．2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．例 3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F 1(－c ,0),F 2(c ,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足|AB ||CD |＝534,求直线l 的方程．解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2,b ＝3,c ＝1, ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1,∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5, 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0,由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ,x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4m 2－3]＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534,得 4－m25－4m2＝1, 解得m ＝±33,满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断． (2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．跟踪训练3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0),其焦点为F 1,F 2,离心率为22,直线l ：x ＋2y－2＝0与x 轴,y 轴分别交于点A ,B .(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点,求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,求a 的取值范围．解 (1)由椭圆的离心率为22,得a ＝2c , 由A (2,0),得a ＝2, ∴c ＝2,b ＝2, ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22,设椭圆方程为x 2a 2＋2y2a2＝1,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0,若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,则线段AB 与椭圆E 有公共点,等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解．设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4, 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤233，2. 四、圆锥曲线的综合问题1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题,解决的基本思路是利用代数法,通过直线与圆锥曲线的方程求解．2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．例4 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)经过点P (2,2),A ,B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点,其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程； (2)若OA ⊥OB ,求△AOB 面积的最小值．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (2,2)知4p ＝4,解得p ＝1. 则抛物线C 的方程为y 2＝2x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,准线方程为x ＝－12.(2)由题意知,直线AB 不与y 轴垂直,设直线AB ：x ＝ty ＋a ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝2x ，消去x ,得y 2－2ty －2a ＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝2t ,y 1y 2＝－2a . 因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即y 21y 224＋y 1y 2＝0,解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－4. 所以－2a ＝－4,解得a ＝2.所以直线AB ：x ＝ty ＋2. 所以直线AB 过定点(2,0)．S △AOB ＝12×2×||y 1－y 2＝y 21＋y 22－2y 1y 2＝y 21＋y 22＋8≥2||y 1y 2＋8＝4. 当且仅当y 1＝2,y 2＝－2或y 1＝－2,y 2＝2时,等号成立．所以△AOB 面积的最小值为4.反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型,可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手,利用直线系或曲线系方程或函数方程思想,通过联想与类比,使问题获解．跟踪训练4 已知动圆P 与圆O 1：x 2－x ＋y 2＝0内切,且与直线x ＝－1相切,设动圆圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上一点M (2,y 0)(y 0>0)作两条直线l 1,l 2与曲线C 分别交于不同的两点A ,B ,若直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,且k 1k 2＝1.证明：直线AB 过定点．(1)解由题意可知,动圆圆心P 到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与到直线x ＝－12的距离相等,所以点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点,直线x ＝－12为准线的抛物线,所以曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)证明易知M (2,2),设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为x ＝my ＋b ,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，得y 2－2my －2b ＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m 2＋2b ，x 1x 2＝b 2，因为k 1k 2＝y 1－2x 1－2·y 2－2x 2－2＝1, 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2), 所以b 2－2b －4m 2＋4m ＝0, 所以(b －1)2＝(2m －1)2, 所以b ＝2m 或b ＝－2m ＋2.当b ＝－2m ＋2时,直线AB 的方程为x ＝my －2m ＋2过定点(2,2)与M 重合,舍去；当b ＝2m 时,直线AB 的方程为x ＝my ＋2m 过定点(0,－2),所以直线AB 过定点(0,－2)．1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( ) A ．2sin 40° B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°答案 D解析由题意可得－b a＝tan 130°, 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130° ＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1cos 50°.2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点,则p 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．8 答案 D解析由题意知,抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0,椭圆的焦点坐标为(±2p ,0), 所以p2＝2p ,解得p ＝8,故选D.3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |,|AB |＝|BF 1|,则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),连接F 1A ,令|F 2B |＝m ,则|AF 2|＝2m ,|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知,4m ＝2a ,得m ＝a2,故|F 2A |＝a ＝|F 1A |,则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点),则sin θ＝c a＝1a.在等腰三角形ABF 1中,cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13,因为cos 2θ＝1－2sin 2θ,所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2,得a 2＝3.又c 2＝1,所以b 2＝a 2－c 2＝2,椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1,故选B.4．(2019·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为(1,0),且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点,直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2,求证：直线l 经过定点． (1)解由题意,得b 2＝1,c ＝1, 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0,得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1.又y 1＝kx 1＋t ,从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理,|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0,则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2,x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k t －1x 1＋x 2＋t －12＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t .又|OM |·|ON |＝2,所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0,所以直线l 经过定点(0,0)．。

2019数学(文)通用版二轮精准提分练习第二篇第20练圆锥曲线的定义、方程与性质

第20练圆锥曲线的定义、方程与性质［小题提速练］［明晰考情]1。

命题角度：圆锥曲线的定义、方程与几何性质是高考考查的热点.2.题目难度：中等偏难.考点一圆锥曲线的定义及标准方程方法技巧（1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件。

(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化.(3）求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”。

1.已知A（0，7），B（0，－7)，C（12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(）A.y2－错误!＝1B.x2－错误!＝1C.y2－错误!＝1(y≤－1) D。

x2－错误!＝1(x≥1)答案C解析由两点间距离公式，可得|AC｜＝13,｜BC|＝15，｜AB|＝14，因为A，B都在椭圆上，所以|AF|＋｜AC｜＝|BF|＋|BC｜,|AF｜－｜BF｜＝|BC|－｜AC|＝2〈14，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支。

由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以F的轨迹方程是y2－错误!＝1（y≤－1)，故选C。

2.已知双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b>0）的焦距为2错误!，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为（)A.错误!－y 2＝1B 。

x 2－错误!＝1 C.错误!－错误!＝1D 。

圆锥曲线解题技巧之焦点定理如何利用焦点到直线的距离关系解决圆锥曲线问题

圆锥曲线解题技巧之焦点定理如何利用焦点到直线的距离关系解决圆锥曲线问题圆锥曲线是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学和物理学领域。

而在解决圆锥曲线问题中，焦点定理是一种常用的解题技巧。

本文将介绍焦点定理的定义，详细说明焦点与直线的距离关系，并用实例说明如何利用这个关系解决圆锥曲线问题。

一、焦点定理的定义焦点定理是圆锥曲线研究中的一个重要定理，用来描述焦点与直线之间的距离关系。

根据焦点定理，对于给定的焦点和一条直线，如果该直线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离比相等，那么这条直线必定是圆锥曲线的一条切线。

二、焦点与直线的距离关系在圆锥曲线问题中，焦点与直线之间的距离关系可以通过几何方法求解。

首先，我们假设给定的焦点为F，直线为l，圆锥曲线为C。

根据焦点定理的定义，我们可以得出以下结论：1. 对于焦点F和直线l上的任意一点P，如果焦点F到点P的距离PF与直线l的距离d的比等于一个常数e，即PF/d = e，那么直线l必定是圆锥曲线C的一条切线。

2. 如果e = 1，那么直线l与圆锥曲线C的交点个数为1，即直线l 与圆锥曲线C相切。

3. 如果e > 1，那么直线l与圆锥曲线C没有交点，即直线l与圆锥曲线C没有交点。

4. 如果e < 1，那么直线l与圆锥曲线C有两个交点，即直线l与圆锥曲线C相交于两个点。

三、利用焦点定理解决圆锥曲线问题的实例为了更好地理解焦点定理的应用，我们来看一个具体的例子。

假设有一个椭圆，其长轴长度为2a，短轴长度为2b，焦点在椭圆的纵轴上，离中心点的距离为c。

现在我们想要求解椭圆上到直线y = mx + n的距离为d的点的坐标。

我们可以根据焦点定理来解决这个问题。

首先，我们知道椭圆的焦点到直线的距离为d，也就是PF/d = e。

根据椭圆的性质，椭圆上的任意一点与焦点之间的距离满足焦距定理，即PF = 2a - c。

将这两个条件带入PF/d = e中，我们可以得到(2a - c)/d = e。

高中数学圆锥曲线秒杀技巧

高中数学圆锥曲线秒杀技巧1.充分利用几何图形的策略解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，往往能减少计算量。

基准：设立直线3x+4y+m=0与圆x+y+x-2y=0平行于p、q两点，o为座标原点，若op⊥oq，谋m的值。

2.充分利用韦达定理的策略我们经常短果弦的端点座标但不图它，而是融合韦达定理解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常使用。

例：已知中心在原点o，焦点在y轴上的椭圆与直线y=x+1相交于p、q两点，且op⊥oq，|pq|=，求此椭圆方程。

3.充分利用曲线方程的策略例：求经过两已知圆c:x+y-4x+2y=0和c:x+y-2y-4=0的交点，且圆心在直线l：2x+4y-1=0上的圆的方程。

4.充分利用椭圆的参数方程的策略椭圆的参数方程涉及正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题。

这也就是我们常说的三角代换法。

基准：p为椭圆+=1上一动点，a为长轴的右端点，b为长轴的上时端点，谋四边形oapb面积的最大值及此时点p的座标。

5.线段长的几种简便计算策略(1)充分利用非常简单结果，增加运算过程。

例：求直线x-y+1=0被椭圆x+4y=16所截得的线段ab的长。

(2)融合图形的特定边线关系，增加运算。

在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

基准：f、f就是椭圆+=1的两个焦点，ab就是经过f的弦，若|ab|=8，谋|fa|+|fb|的值。

(3)利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离。

基准：点a(3，2)为定点，点f就是抛物线y=4x的焦点，点p在抛物线y=4x上移动，若|pa|+|pf|获得最小值，谋点p的座标。

1.中点弦问题具备斜率的弦中点问题，常用设而不带发修行(点差法)：设立曲线上两点为(x，y)，(x，y)，代入方程，然后两方程相乘，再应用领域中点关系及斜率公式，解出四个参数。

圆锥曲线的统一定义复习

圆锥曲线的统一定义班级：姓名：组内评价：教师评价：【学习目标】1、掌握圆锥曲线的统一定义，并能进行简单应用2、会写出圆锥曲线的准线方程．【重难点】圆锥曲线统一定义的应用【自主预习案】知识梳理：1、圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于e 的点的轨迹，当10<<e 时，它表示椭圆；当1>e 时，它表示双曲线；当1=e 时，它表示抛物线．2、对于椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 和双曲线)00(2222>>=-b a by a x ，中，与)0,(c F 对应的准线方程是l ：c a x 2=，与)0,(c F -')对应的准线方程是l '：ca x 2-=；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为：ca y 2±=3、圆锥曲线的焦半径定义：连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径 ①椭圆：点P 到右焦点2F 焦半径：a cx c aPF e d PF =-==222⇒ex a PF -=2，],[a a x -∈⇒],[2c a c a PF +-∈ 点P 到右焦点1F 焦半径：a ccax PF e d PF =+==211⇒ex a PF +=2，],[a a x -∈⇒],[1c a c a PF +-∈②双曲线：点),(y x P 在右支上：a ca caPF e d PF =-==222⇒a ex PF -=2，）+∞∈,[a x ⇒）+∞-∈,[2a c PF【合作探究案】探究问题一：圆锥曲线统一定义求基本量1、中心在原点，准线方程为y ＝±4，离心率为12的椭圆的标准方程是_______．2、双曲线x 215－y 2＝1的准线方程为________．3、焦点坐标为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则准线方程为x ＝±52的椭圆的标准方程为______.4、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，右准线为x ＝12，则右焦点的坐标为________．探究问题二：利用圆锥曲线的统一定义求距离问题1、已知抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为2、已知双曲线252x －92y =1的左支上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜等于（）A ．4B ．2C ．1D ．32 3、椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若PF 1＝3PF 2，则P 点到左准线的距离是________．4、椭圆x 225＋y 29＝1上点P 到右焦点的距离的最大值、最小值分别为________．5、已知椭圆192522=+y x 上一点到左准线的距离为5，则它到左焦点的距离为 6、已知双曲线14922=-y x 上一点P 到右焦点距离为3，则P 到左准线的距离为探究问题三：利用圆锥曲线统一定义转换求最值1、已知P 为双曲线2213x y -=右支上的一个动点，F 为双曲线的右焦点，若点A 的坐标为(3,1)，则2|||PA PF 的最小值是__2、已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点．(1)求MA ＋MB 的最大值和最小值；(2)求MB ＋54MA 的最小值及此时点M 的坐标．3、已知双曲线x 24－y 212＝1和点A (4,1)，F 是双曲线的右焦点，P 是双曲线上任意一点，求P A ＋12PF 的最小值．探究问题四：利用圆锥曲线的统一定义求离心率1、已知椭圆)0(2222>>=+b a by a x 的焦点到相应准线距离等于a ，则椭圆的离心率为2、已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的一条准线方程为x ＝32，则a ＝______，该双曲线的离心率为______．3、椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是4、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，则该离心率e 的取值范围是．圆锥曲线的统一定义班级：姓名：组内评价：教师评价：【学习目标】1、掌握圆锥曲线的统一定义，并能进行简单应用2、会写出圆锥曲线的准线方程．【重难点】圆锥曲线统一定义的应用【自主预习案】知识梳理：1、圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于e 的点的轨迹，当10<<e 时，它表示椭圆；当1>e 时，它表示双曲线；当1=e 时，它表示抛物线．2、对于椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 和双曲线)00(2222>>=-b a by a x ，中，与)0,(c F 对应的准线方程是l ：c a x 2=，与)0,(c F -')对应的准线方程是l '：ca x 2-=；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为：ca y 2±=3、圆锥曲线的焦半径定义：连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径 ①椭圆：点P 到右焦点2F 焦半径：a cx c aPF e d PF =-==222⇒ex a PF -=2，],[a a x -∈⇒],[2c a c a PF +-∈ 点P 到右焦点1F 焦半径：a ccax PF e d PF =+==211⇒ex a PF +=2，],[a a x -∈⇒],[1c a c a PF +-∈②双曲线：点),(y x P 在右支上：a ca caPF e d PF =-==222⇒a ex PF -=2，）+∞∈,[a x ⇒）+∞-∈,[2a c PF【合作探究案】探究问题一：圆锥曲线统一定义求基本量1、中心在原点，准线方程为y ＝±4，离心率为12的椭圆的标准方程是_______．x 23＋y 24＝12、双曲线x 215－y 2＝1的准线方程为________．解易知a 2＝15，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝16，即c ＝4，则双曲线的准线方程为x ＝±154.3、焦点坐标为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则准线方程为x ＝±52的椭圆的标准方程为______.解由题意知c ＝2，则a 2c ＝a 22＝52，故a 2＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆的方程为x 25＋y 2＝1.4、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，右准线为x ＝12，则右焦点的坐标为________．解据题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2c ＝12，解得a ＝1，c ＝2，则右焦点的坐标为(2,0)．探究问题二：利用圆锥曲线的统一定义求距离问题1、已知抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为 22、已知双曲线252x －92y =1的左支上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜等于（ A ）A ．4B ．2C ．1D ．32 3、椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若PF 1＝3PF 2，则P 点到左准线的距离是________．解析 a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴准线x ＝a 2c ＝41＝4，两准线间距离为8，设P 到左准线的距离为d 1，P 到右准线的距离为d 2. ∵PF 1∶PF 2＝3∶1.又∵PF 1d 1＝e ，PF 2d 2＝e ，∴d 1∶d 2＝3∶1.又d 1＋d 2＝8，∴d 1＝8×34＝6.4、椭圆x 225＋y 29＝1上点P 到右焦点的距离的最大值、最小值分别为________．9,1解析由PFa2c－x 0＝e 推得PF ＝a －ex 0，又－a ≤x 0≤a ，故PF 最大值为a ＋c ，最小值为a －c .5、已知椭圆192522=+y x 上一点到左准线的距离为5，则它到左焦点的距离为 4 6、已知双曲线14922=-y x 上一点P 到右焦点距离为3，则P 到左准线的距离为 131327探究问题三：利用圆锥曲线统一定义转换求最值1、已知P 为双曲线2213x y -=右支上的一个动点，F 为双曲线的右焦点，若点A 的坐标为(3,1)，则2|||PA PF 的最小值是__32、已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点．(1)求MA ＋MB 的最大值和最小值；(2)求MB ＋54MA 的最小值及此时点M 的坐标．解： (1)如图所示，由x 225＋y 29＝1，得a ＝5，b ＝3，c ＝4. 所以A (4,0)为椭圆的右焦点，F (－4，0)为椭圆的左焦点．因为MA ＋MF ＝2a ＝10，所以MA ＋MB ＝10－MF ＋MB .因为|MB －MF |≤BF ＝(－4－2)2＋(0－2)2＝210，所以－210≤MB －MF ≤210. 故10－210≤MA ＋MB ≤10＋210，即MA ＋MB 的最大值为10＋210，最小值为10－210.(2)由题意得，椭圆的右准线l 的方程为x ＝254.由图可知，点M 到右准线的距离为MM ′，由圆锥曲线的统一定义，得MA MM ′＝e ＝45，所以54MA ＝MM ′. 所以MB ＋54MA ＝MB ＋MM ′.由图可知，当B ，M ，M ′三点共线时，MB ＋MM ′最小，即BM ′＝254－2＝174.当y ＝2时，有x 225＋229＝1，解得x ＝553(舍去负值)，即点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫553，2. 故MB ＋54MA 的最小值为174，此时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫553，2.3、已知双曲线x 24－y 212＝1和点A (4,1)，F 是双曲线的右焦点，P 是双曲线上任意一点，求P A ＋12PF 的最小值．【解】由双曲线的方程，知a ＝2，b ＝23，∴c ＝4，离心率e ＝ca ＝2，右准线的方程为x ＝1，设点P 到右准线的距离为d ，由圆锥曲线的定义，有PF d ＝2，即12PF ＝d ，如图所示，过P 作右准线的垂线，垂足为D ，则P A ＋12PF ＝P A ＋d ＝P A ＋PD ，所以当P ，A ，D 三点共线时，P A ＋PD 的值最小，为4－1＝3.探究问题四：利用圆锥曲线的统一定义求离心率1、已知椭圆)0(2222>>=+babyax的焦点到相应准线距离等于a，则椭圆的离心率为215-2、已知双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的一条准线方程为x＝32，则a＝______，该双曲线的离心率为______．3233解析由已知得a2a2＋1＝32，化简得4a4－9a2－9＝0，解得a2＝3.又∵a>0，∴a＝3，离心率e＝ca＝3＋13＝233.3、椭圆22221()x ya ba b+=>>0的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|＝22a bcc c-=， |PF|∈[a－c,a＋c] 于是2bc∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c21112cac ca a⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或，又e∈(0,1) 故e∈1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭4、已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得12PFePF=，则该离心率e的取值范围是．)1,12[-。

回归本源用定义求解圆锥曲线问题

已３）求拿Ｉ最知（，．ｌｌｌ１Ｐ＋Ｐ的ＡＦ
小值．网３
２．求面积
２
例如１ＦＦ是圆２图，－椭去没，
分析根据题设条件画出图３这是发现解题思路的前，
提， √ ，。＝３ｂ＝１．ｃ２ｅ，．＝，＝｛． ‘
中运用余弦定理，ｃｓ０＝ — ＝。６。１
（１＋ｒ）ｒ２一２ｌ２一（ｃｒｒ２）
２２ｌ
＋；（ｃｒ一２）
２２ｌ
点Ｐ的轨迹．
（若双曲线的两个分支分别过Ａ，两点，以ｃ为２）口且
一
１０—２ｌ２—６０ｒｒ４
２１２
个焦点，另一个焦点９的轨迹．求
故Ｓｍ，＝ √ ．，３３
３．求最值
例３（０９年四川卷－第９题）２０如图２，知直线ｆ４已：ｘ一３＋６＝０和ｙ直线Ｚ＝一ｌ抛物线Ｙ：，＝４上一动ｘ
义，ｌＰＩＩＣＩＩＰｌＩ得Ｊ＋Ａ＝＋ＢＣＩ，
即ＩＢＰＩ— ｌＩ＝【ＡＰＡＣＩ— １日ＣＩ．
’ ．
点Ｐ到直线ｚ直线Ｚ距离之和的和，的
最小值是（分析）．
图２
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ＩＣＩ— ＩＡＢＣＩ＝２．
ｃｓ０。：—１。６
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２１２
利用给

圆锥曲线的定义、概念与定理

圆锥曲线的定义、概念与定理圆锥曲线包括椭圆，抛物线，双曲线。

那么你对圆锥曲线的定义了解多少呢?以下是由店铺整理关于圆锥曲线的定义的内容，希望⼤家喜欢! 圆锥曲线的定义⼏何观点⽤⼀个平⾯去截⼀个⼆次锥⾯，得到的交线就称为圆锥曲线(conic sections)。

通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括⼀些退化情形。

具体⽽⾔： 1) 当平⾯与⼆次锥⾯的母线平⾏，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2) 当平⾯与⼆次锥⾯的母线平⾏，且过圆锥顶点，结果退化为⼀条直线。

3) 当平⾯只与⼆次锥⾯⼀侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4) 当平⾯只与⼆次锥⾯⼀侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。

5) 当平⾯只与⼆次锥⾯⼀侧相交，且过圆锥顶点，结果为⼀点。

6) 当平⾯与⼆次锥⾯两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线(每⼀⽀为此⼆次锥⾯中的⼀个圆锥⾯与平⾯的交线)。

7) 当平⾯与⼆次锥⾯两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

代数观点在笛卡尔平⾯上，⼆元⼆次⽅程的图像是圆锥曲线。

根据判别式的不同，也包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。

焦点--准线观点 (严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的⼏种主要情形，因⽽不能算是圆锥曲线的定义。

但因其使⽤⼴泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的⼏何概念和性质)。

给定⼀点P，⼀直线L以及⼀⾮负实常数e，则到P的距离与L距离之⽐为e的点的轨迹是圆锥曲线。

根据e的范围不同，曲线也各不相同。

具体如下： 1) e=0，轨迹为圆(椭圆的特例); 2) e=1(即到P与到L距离相同)，轨迹为抛物线 ; 3) 0<e<1，轨迹为椭圆; 4) e>1，轨迹为双曲线的⼀⽀。

圆锥曲线的概念 (以下以纯⼏何⽅式叙述主要的圆锥曲线通⽤的概念和性质，由于⼤部分性质是在焦点-准线观点下定义的，对于更⼀般的退化情形，有些概念可能不适⽤。

巧用圆锥曲线定义妙解最值题(数学)

巧用圆锥曲线定义,妙求最值问题四川省阆中市水观中学李葆春邮码:637423圆锥曲线许多性质都是由其定义派生出来的,如果能从它的定义出发,挖掘其性质,把定量的计算与定性的分析有机地结合起来,则可达到事半功倍的效果.下面举例说明：例1,如图的示,定长为5的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=4x 上移动,试求线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离。

For personal use only in study and research; not for commercial use分析：可结合抛物线的定义及平面几何中的梯形,三角形知识来综合处理, 解：取AB 的中点M,分别过A 、B 作抛物线准线的垂线, 垂足为P 、Q 在直角梯形APQB 中, ∵|AM|=|MB|,∴|MN|=12(|PA|+|QB|),又|PA|=|AF|, |QB|=|FB|,∴|MN|=12(|AF|+|BF|), 由几何性质知道:|AF|+|BF|≥|AB|=5, 当且仅当AB 过过焦点F 时取等号,|MN|≥52,即当|AB|为焦点弦时,|MN|有最小值52,此时M 到y 轴的最短距离为52-1=32例2已知1F 、2F 是双曲线221169x y -=的左、右焦点,A 是双曲线右支上的动点 ①若点M(5,1)求|AM|+|A 2F |的最小值;②若点M(5,n)求|AM|+|A 2F |的最小值。

解：如图示,由双曲线的定义知,|AM|+|A 2F |=|AM|+|A 1F |-2a,而点M 在双曲线右支的内部,当点A 在线段M 1F 上时, |AM|+|A 1F |最小,故所求的最小值为|M 1F 。

类似于(1)可知,当点M 在双曲线右支的内部,即|n|<94时,|AM|+|A 2F |=|AM|+|A 1F |-2a ≥|M 1F 当点M 在双曲线右支的外部或其上,即|n|≥94,|AM|+|A 2F |≥|M 2F |=|n|故当|n|<94时, |AM|+|A 2F |当|n|≥94时, |AM|+|A 2F |的最小值为|n|。