高考数学热点问题：第2炼充分条件与必要条件

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高中数学充分条件与必要条件

高中数学充分条件与必要条件在高中数学里，充分条件和必要条件这两个概念就像两个好伙伴，一起帮我们解答各种数学问题。

要是你刚接触这些概念，可能觉得有点抽象，不用担心，我们今天就来聊聊这两个小伙伴，搞清楚它们到底是什么东西，它们怎么合作，给我们的数学学习带来了怎样的帮助。

1. 充分条件与必要条件的基本概念1.1 充分条件首先，什么是充分条件呢？简单来说，充分条件就是“如果这个条件成立，那么结果一定成立”。

换句话说，如果我们满足了这个条件，结果自然就会出现。

举个例子来说，如果你能买得起车票，那么你就能坐车。

这句话的意思是说，买得起车票是你坐车的充分条件，坐车的结果是买得起车票这一条件自动导致的。

1.2 必要条件接下来，必要条件就是“结果要成立，必须满足这个条件”。

这意味着，如果你想要得到某个结果，那么这个条件是必不可少的。

比如说，你想要通过考试，你必须得学过考试的内容。

这里，学习考试内容就是通过考试的必要条件。

如果你不学，那么即使其他条件都满足，也不能保证你能通过考试。

2. 如何判断2.1 判断充分条件判断一个条件是否充分，首先要看这个条件是否能导致结果的必然发生。

如果有一个条件，它的存在能够保证结果一定发生，那它就是充分条件。

比如，某数学题的充分条件可能是“x>2”，而“x>2”能保证方程有解。

这就是充分条件的经典用法。

2.2 判断必要条件判断必要条件则是看这个条件是否是结果发生的前提。

换句话说，没有这个条件，结果就无法出现。

如果你不能满足这个条件，那么结果就无从谈起。

比如，求解方程的必要条件是方程必须有未知数，否则问题就没有意义。

3. 实际应用3.1 解决问题在实际解题过程中，充分条件和必要条件能帮我们明确解题思路。

比如在几何题中，我们常常用到这两个概念。

一个几何图形是否具有某种性质，我们需要知道这个性质的充分条件是什么，以及必要条件是什么。

这能让我们更快、更准确地解决问题。

3.2 提高理解理解这些概念还能够帮助我们提高数学的理解能力。

数学新高考第2讲充分条件与必要条件

第2讲充分条件与必要条件充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的01充分条件，q是p的02必要条件p是q的03充分不必要条件p⇒q且q pp是q的04必要不充分条件p q且q⇒pp是q的05充要条件p⇔q p是q的06既不充分也不必要条件p q且q p1．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．1．(2020·海南省新高考诊断性测试)“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析因为三亚市是海南省的一个地级市，所以如果甲在三亚市，那么甲必在海南省，反之不成立，故选B ．2．(2020·济宁三模)设a ，b 是非零向量，则“a ·b ＝0”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析设非零向量a ，b 的夹角为θ，若a ·b ＝0，则cos θ＝0，又0≤θ≤π，所以θ＝π2，所以a ⊥b .若a ⊥b ，则θ＝π2，所以cos θ＝0，所以a ·b ＝0.因此“a ·b ＝0”是“a ⊥b ”的充要条件．故选C ．3．若集合A ＝{2,4}，B ＝{1，m 2}，则“A ∩B ＝{4}”是“m ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析当m ＝2时，有A ∩B ＝{4}；若A ∩B ＝{4}，则m 2＝4，解得m ＝±2，不能推出m ＝2.故选B ．4．(2020·天津高考)设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析求解二次不等式a 2＞a 可得a ＞1或a ＜0，据此可知，a ＞1是a 2＞a 的充分不必要条件．故选A ．5．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 的________条件．答案充分不必要解析由已知可得p ⇒r ⇒s ⇒q ，且r p ，所以p ⇒q ，而q p ，故p 是q 的充分不必要条件．6．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，2]解析由已知，得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以实数a的取值范围是(－∞，2]．多角度探究突破考向一充分、必要条件的判断角度1定义法判断充分、必要条件例1(2020·海南省普通高中高考调研测试)“ln m<ln n”是“m2<n2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若ln m<ln n，根据对数函数的定义域及单调性可知0<m<n，可得m2<n2，因而具有充分性；若m2<n2，则|m|<|n|，当m<0，n<0时对数函数无意义，因而不具有必要性，综上可知，“ln m<ln n”是“m2<n2”的充分不必要条件．故选A．角度2集合法判断充分、必要条件例2(2020·济南市高三上学期期末)设x∈R，则“2x＞4”是“lg (|x|－1)＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析设p：2x＞4，即p：2x＞22，整理得p：x＞2；设q：lg (|x|－1)＞0，即q：lg (|x|－1)＞lg 1，整理得q：x＜－2或x＞2，因为{x|x>2}{x|x<－2或x>2}，所以p⇒q，q p．故“2x＞4”是“lg (|x|－1)＞0”的充分不必要条件．故选A．充要条件的两种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．1.(2020·海南高三一模)设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则“A⊆B ”是“A ∩∁U B ＝∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析如图所示，A ⊆B ⇒A ∩∁U B ＝∅，同时A ∩∁U B ＝∅⇒A ⊆B ．故选C ．2．(2020·潍坊一模)“a <1”是“∀x >0，x 2＋1x ≥a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵∀x ＞0，x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2，∴a ≤2，∵a ＜1⇒a ≤2，a ≤2a ＜1，∴“a ＜1”是“∀x ＞0，x 2＋1x ≥a ”的充分不必要条件．故选A ．考向二充分、必要条件的探求与应用例3 (1)(2020·山东省第一次仿真联考)已知p ：|x －a |<1，q ：3x ＋1>1，若p是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[－1,2)D ．(－1,2)答案 A解析因为|x －a |<1，所以a －1<x <a ＋1，即p ：a －1<x <a ＋1.因为3x ＋1>1，所以－1<x <2，即q ：－1<x <2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧a －1≥－1，a ＋1≤2(等号不同时成立)，解得0≤a≤1.(2)(2020·青岛二中检测)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.答案－1<k<3解析直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|2<2，解得－1<k<3.1．条件、结论的相对性充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A是B的充分不必要条件”是指A⇒B但B A；“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A但A⇒/ B．以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆．2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．3.若a，b都是正整数，则a＋b>ab成立的充要条件是()A．a＝b＝1B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2D．a>1且b>1答案 B解析因为a＋b>ab，所以(a－1)(b－1)<1.因为a，b∈N*，所以(a－1)(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故选B．4．已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为()A．(－∞，－7)∪(1，＋∞)B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)C．(－7,1)D．[－7,1]答案 B解析由(x－m)2>3(x－m)得x<m或x>3＋m，所以p：x<m或x>3＋m；解x2＋3x－4<0得－4<x<1，所以q：－4<x<1.因为p是q的必要不充分条件，所以m≥1或m＋3≤－4，得m≥1或m≤－7.故选B．一、单项选择题1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析由Venn图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，不妨取C＝∁U B，此时A⊆C，故必要性成立．故选C．2．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析f(x)是定义在R上的奇函数可以推出f(0)＝0，但f(0)＝0不能推出函数f(x)为奇函数，例如f(x)＝x2.故选B．3．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要而不充分条件．4．(2020·烟台一模)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋2x－3＞0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析|x－2|＜1，解得1＜x＜3；x2＋2x－3＞0，解得x＜－3或x＞1.因为“1＜x＜3”是“x＜－3或x＞1”的充分不必要条件，所以“|x－2|＜1”是“x2＋2x －3＞0”的充分不必要条件．5．“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A．m>14B．0<m<1C．m>0 D．m>1答案 C解析不等式x2－x＋m>0在R上恒成立⇔1－4m<0，得m>14，在选项中只有“m>0”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的必要不充分条件，故选C．6．(2020·德州二模)已知实数x，y满足x>1，y>0，则“x<y”是“log x y>1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析根据题意，可知实数x，y满足x>1，y>0，若x<y，即1<x<y，则log x y>log x x ＝1，则“x<y”是“log x y>1”的充分条件，反之，若log x y>1，即log x y>log x x＝1，由x >1，则必有x <y ，则“x <y ”是“log x y >1”的必要条件，故“x <y ”是“log x y >1”的充要条件．故选C ．7．(2020·青岛市高三上学期期末)设α∈R ，则“sin α＝cos α”是“sin2α＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析若sin α＝cos α，则tan α＝1，α＝k π＋π4(k ∈Z )，得sin2α＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4＝sin π2＝1成立；反之，若sin2α＝1，则2α＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴α＝k π＋π4(k ∈Z )，得sin α＝cos α.故“sin α＝cos α”是“sin2α＝1”的充分必要条件．故选C ．8．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若m ⊄α，n ⊂α，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α.若m ∥α，m ⊄α，n ⊂α，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．9．(2020·山东济南一中期中)在△ABC 中，“A <B ”是“sin A <sin B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析在△ABC 中，A <B ，因为三角形中大边对大角，则a <b ，由正弦定理可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以有2R sin A <2R sin B ，所以sin A <sin B ，充分性成立；因为sin A <sin B ，由正弦定理可得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，所以a 2R <b2R ，则a <b ，因为三角形中大边对大角，所以A <B ，必要性也成立．故选C ．10．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2<0；反之，m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇒cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件．二、多项选择题11．(2021·湖北宜昌高三模拟)设计如图所示的四个电路图，p ：“开关S 闭合”；q ：“灯泡L 亮”，则p 是q 的充要条件的电路图是( )答案 BD解析由题意知，电路图A 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，而灯泡L 亮开关S 不一定闭合，故A 中p 是q 的充分不必要条件；电路图B 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，且灯泡L 亮，则开关S 闭合，故B 中p 是q 的充要条件；电路图C 中，开关S 闭合，灯泡L 不一定亮，灯泡L 亮则开关S 一定闭合，故C 中p 是q 的必要不充分条件；电路图D 中，开关S 闭合则灯泡L 亮，灯泡L 亮则开关S 闭合，故D 中p 是q 的充要条件．故选BD ．12．(2020·山东德州模拟)下列叙述中正确的是( ) A ．“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．“a <1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．若a ，b ，c ∈R 且a ＞0，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0” 答案 ACD解析 a >1⇒1a <1，1a <1a >1，∴“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，A 正确；当b ＝0时，若“a >c ”成立，而ab 2＝0＝cb 2，充分性不成立，B 错误；令f (x )＝x 2＋x ＋a ，方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根，则f (0)<0，则有a <0，∴“a <1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，C 正确；当a >0时，ax 2＋bx ＋c ≥0可以推出b 2－4ac ≤0，而b 2－4ac ≤0也可以推出ax 2＋bx ＋c ≥0，D 正确．故选ACD ．三、填空题 13．下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为________. 答案 ②③④解析由于x 2<1即－1<x <1，①显然不能使－1<x <1一定成立，②③④满足题意．14．(2020·江苏省无锡市天一中学高三6月模拟)已知a ＝(1，2m )，b ＝(2，－m )，则“m ＝1”是“a ⊥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析当m ＝1时，a ·b ＝1×2＋2m ×(－m )＝2－2＝0，即a ⊥b .当a ⊥b 时，a ·b ＝1×2＋2m ×(－m )＝2－2m 2＝0，解得m ＝±1，即“m ＝1”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．15．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．16．(2019·华南师大附中月考)设p ：ln (2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是________.答案 0，12解析 p 对应的集合A ＝{x |ln (2x －1)≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x ≤1，q 对应的集合B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋1)]≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由q 是p 的必要而不充分条件，知A B ．所以a ≤12且a ＋1≥1，因此0≤a ≤12.四、解答题17．已知函数f (x )＝lg (x 2－2x －3)的定义域为集合A ，函数g (x )＝2x －a (x ≤2)的值域为集合B ．(1)求集合A ，B ；(2)已知p ：m ∈A ，q ：m ∈B ，若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 (1)A ＝{x |x 2－2x －3>0}＝{x |(x －3)(x ＋1)>0}＝{x |x <－1或x >3}，B ＝{y |y ＝2x －a ，x ≤2}＝{y |－a <y ≤4－a }．(2)因为q 是p 的充分不必要条件，所以B A ，所以4－a <－1或－a ≥3，所以a ≤－3或a >5，即实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪(5，＋∞)．。

2022年高考文数热点题型和提分秘籍专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件(解析版)

【高频考点解读】1．理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．【热点题型】题型一命题及其相互关系例1．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案：A【提分秘籍】(1)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．(2)要留意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”．(3)推断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接推断，也可使用特值进行排解．【举一反三】(1)有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．(2)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题题型二充分条件和必要条件的判定例2、设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析当a＝0，b＝－1时，a>b成立，但a2＝0，b2＝1，a2>b2不成立，所以“a>b”是“a2>b2”的不充分条件．反之，当a＝－1，b＝0时，a2＝1，b2＝0，即a2>b2成立，但a>b不成立，所以“a>b”是“a2>b2”的不必要条件．综上，“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，应选D.答案 D【提分秘籍】推断充要条件应留意：首先弄清条件p和结论q分别是什么？然后尝试p⇒q，q⇒p.对于带有否定性的命题或比较难推断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为推断它的等价命题．【举一反三】“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的()A．充分不必要条件B．既不充分也不必要条件C．充分必要条件D．必要不充分条件解析：由“a＋c>b＋d”不能得知“a>b且c>d”，反过来，由“a>b且c>d”可得知“a＋c>b＋d”，因此“a＋c>b＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件，选D.答案：D题型三充要条件的应用例3、已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．【提分秘籍】利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，精确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的包含、相等关系，肯定要留意区间端点值的检验．【举一反三】已知不等式x 2－5x ＋4≤0成立的充分不必要条件是－1≤x ＋2m ≤1，求实数m 的取值范围．解析：由x 2－5x ＋4≤0得1≤x ≤4，由－1≤x ＋2m ≤1得－1－2m ≤x ≤1－2m ，由题意知{x |－1－2m ≤x ≤1－2m }{x |1≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1－2m ≥1，1－2m ≤4解得－32≤m ≤－1，∴实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，－1. 【高考风向标】1.【2021高考浙江，文3】设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D2.【2021高考重庆，文2】“x 1”是“2x 210x ”的（） (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“x 1 ”明显能推出“2x 210x ”，故条件是充分的，又由“2x 210x ”可得10)1(2=⇒=-x x ，所以条件也是必要的，故选A.3.【2021高考天津，文4】设xR ,则“12x ”是“|2|1x ”的（）(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知“12x”是“|2|1x ”的充分而不必要条件,故选A.4.【2021高考四川，文4】设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( ) (A )充要条件 (B )充分不必要条件 (C )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之当log 2a ＞log 2b ＞0成立时，a ＞b ＞1也正确.选A 5.【2021高考湖南，文3】设x ∈R ，则“x >1”是“2x >1”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题易知“x >1”可以推得“2x >1”， “2x >1”不肯定得到“x >1”，所以“x >1”是“2x >1”的充分不必要条件，故选A.6.【2021高考安徽，文3】设p ：x <3，q ：-1<x <3，则p 是q 成立的（）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵3: x p ，31: x q -∴p q ⇒，但p ⇒/q ，∴p 是q 成立的必要不充分条件，故选C . 1．（2022·北京卷）设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】当ab <0时，由a >b 不肯定推出a 2>b 2，反之也不成立．2．（2022·广东卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件【答案】A【解析】设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.∵sin≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .3．（2022·江西卷）下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β 【答案】D【解析】对于选项A ，a >0，且b 2－4ac ≤0时，才可得到ax 2＋bx ＋c ≥0成立，所以A 错．对于选项B ，a >c ，且b ≠0时，才可得到ab 2>cb 2成立，所以B 错．对于选项C ，命题的否定为“存在x ∈R ，有x 2<0”，所以C 错．对于选项D ，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以D 正确．4．（2022·辽宁卷）设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(-p )∧(-q )D ．p ∨(-q ) 【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 肯定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．5．（2022·新课标全国卷Ⅱ）函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0，q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】C6．（2022·山东卷）用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根【答案】A【解析】方程“x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.7．（2022·陕西卷）原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的推断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】A【解析】由a n ＋a n ＋12<a n ，得a n ＋1<a n ，所以数列{a n }为递减数列，故原命题是真命题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．8．（2022·浙江卷）设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若四边形ABCD 为菱形，则AC ⊥BD ；反之，若AC ⊥BD ，则四边形ABCD 不肯定为平行四边形．故“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．故选A.9．（2022·重庆卷）已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧-qB ．-p ∧qC ．-p ∧-qD ．p ∧q 【答案】A【解析】由题意知 p 为真命题，q 为假命题，则-q 为真命题，所以p ∧-q 为真命题． 10.（2021·安徽卷） “(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】(2x －1)x ＝0x ＝12或x ＝0；x ＝0(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．11．（2021·山东卷）给定两个命题p ，q ，若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A12．（2021·湖南卷） “1<x<2”是“x<2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】1<x<2，肯定有x<2；反之，x<2，则不肯定有1<x<2，如x ＝0.故“1<x<2”是 “x<2”成立的充分不必要条件，选A.13．（2021·湖北卷）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q 【答案】A【解析】“至少一位学员没降落在指定区域”即为“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.14．（2021·福建卷）设点P(x ，y)，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当x ＝2，y ＝－1时，x ＋y －1＝0；但x ＋y －1＝0不能推出x ＝2，y ＝－1，故选A. 15．（2021·北京卷）双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m>12 B ．m≥1C ．m>1D ．m>2 【答案】C【解析】双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋m>2，解得m>1.故选C.16．（2021·天津卷）设a ，b ∈R ，则“(a －b)·a 2<0”是“a<b”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当(a －b)·a 2<0时，易得a<b ，反之当a ＝0，b ＝1时，(a －b)·a 2＝0，不成立．故选A. 17．（2021·四川卷）设x ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：x ∈A ，2x ∈B ，则( )（A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉ 【答案】C【解析】留意“全称命题”的否定为“特称命题”．18．（2021·陕西卷）设z 是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 【答案】C19．（2021·浙江卷）若α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若α＝0，则sin 0＝0<cos 0＝1，而sin α<cos α，则2sinα－π4<0，所以α＝0是sin α<cos α的充分不必要条件．所以选择A.【高考押题】1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题答案 A2．“假如x 、y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的否命题是( ) A ．若x 、y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x 、y 全不为0 B ．若x 、y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为0 C ．若x 、y ∈R 且x 、y 全为0，则x 2＋y 2＝0 D ．若x 、y ∈R 且x 、y 不全为0，则x 2＋y 2≠0 答案 B解析 “x 2＋y 2＝0”的否定是“x 2＋y 2≠0”，“x 、y 全为0”的否定是“x ，y 不全为0”． 3．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C.4．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当a ＝2时，由于B ＝{1,2，b }，所以A ⊆B ；反之，若A ⊆B ，则必有2∈B ，所以a ＝2或b ＝2，故“a ＝2”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．选A.5．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．“若x<y，则x2<y2” B．“若x>y，则x2>y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”答案 C解析依据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．6．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A7．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0答案 C解析原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，明显逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．8．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1答案 A解析已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．答案 2解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．10．“m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的____________条件．答案充分不必要解析x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14，由于m<14⇒m≤14，反之不成立．故“m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．11．若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．答案[0,2]12．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．13．若集合A＝{x|2<x<3}，B＝{x|(x＋2)(x－a)<0}，则“a＝1”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A解析当a ＝1时，B ＝{x |－2<x <1}，满足A ∩B ＝∅；反之，若A ∩B ＝∅，只需a ≤2即可，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件． 14．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A15．给定两个命题p 、q ，若-p 是q 的必要不充分条件，则p 是-q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案充分不必要条件解析若-p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒-p 但-p q ，其逆否命题为p ⇒-q 但-q p ，所以p 是-q 的充分不必要条件．16．已知“命题p ：(x －m )2>3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4<0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，－7]∪[1，＋∞)解析将两个命题化简得，命题p ：x >m ＋3或x <m ，命题q ：－4<x <1.由于p 是q 成立的必要不充分条件，所以m ＋3≤－4，或m ≥1，故m 的取值范围是(－∞，－7]∪[1，＋∞)．17．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.18．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件．正确的是________．答案 ①④。

充分条件和必要条件高中数学知识点整理

充分条件和必要条件高中数学知识点整理1. 充分条件与必要条件的概念在高中数学中，我们经常会遇到充分条件和必要条件的概念。

它们是数学推理中非常重要的概念，用于描述事物之间的关系。

在这里，我们将详细介绍充分条件和必要条件以及它们在高中数学中的应用。

1.1 充分条件充分条件是指一个条件在成立时可以推出结论成立。

如果一个命题P能够推出另一个命题Q，那么P就是Q的充分条件。

充分条件的成立并不意味着结论一定成立，只能说明在满足充分条件的情况下，结论有可能成立。

例如，对于命题P：一个数是偶数。

命题Q：这个数可以被2整除。

那么命题P是命题Q的充分条件，因为一个数是偶数时，一定可以被2整除。

1.2 必要条件必要条件是指一个条件在成立时可以保证结论成立。

如果一个命题Q需要命题P的满足才能成立，那么P就是Q的必要条件。

必要条件的成立意味着结论一定成立，但不意味着充分条件成立。

继续上面的例子，命题Q：这个数可以被2整除，命题P：一个数是偶数。

那么命题P是命题Q的必要条件，因为一个数可以被2整除时，一定是偶数。

2.直观理解为了更好地理解充分条件和必要条件的概念，我们可以通过一个简单的实例来说明。

假设我们有一个条件P：如果下雨，那么地面湿润。

那么反过来说，地面湿润是否意味着下雨呢？在这个例子中，条件P是地面湿润的充分条件，而地面湿润是下雨的必要条件。

也就是说，如果地面湿润意味着下雨，但不一定下雨地面就湿润。

这个例子很好地诠释了充分条件和必要条件的概念。

充分条件可以看作是一个“充足条件”，如果满足了这个条件，则可以得出结论。

而必要条件则可以看作是一个“必须条件”，只有满足了这个条件，才能确保结论的成立。

3. 充分条件的证明方法在数学推理中，证明一个充分条件是成立的方法通常有以下几种：3.1 直接证明法直接证明法是最常见和直接的证明方法。

如果要证明一个充分条件P可以推出命题Q，我们可以从假设P开始，连续推导出Q。

而证明每一步的推导是正确的，最终得到Q。

充分条件与必要条件知识点

充分条件与必要条件知识点充分条件和必要条件是高中数学中的重要概念。

虽然这些概念比较抽象，但是它们的理解对于学生来说非常重要。

下面是关于高一数学中充分条件和必要条件的知识点。

1.充分条件、必要条件和充要条件充分条件指的是，如果条件A成立，那么结果B也成立。

也就是说，条件A是B成立的充分条件。

必要条件则是指，如果条件A成立，那么结果B也成立。

也就是说，结果B是条件A成立的必要条件。

充要条件则是指，如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B。

简单来说，如果满足条件A，那么结果B必然成立；如果不满足条件A，那么结果B必然不成立。

因此，条件A是结果B的充分必要条件。

反之，如果有事物情况B，则必然有事物情况A；如果没有事物情况B，则必然没有事物情况A。

因此，结果B是条件A的充分必要条件。

简单来说，如果满足结果B，那么条件A必然成立；如果不满足结果B，那么条件A必然不成立。

因此，结果B是条件A的充分必要条件。

也就是说，条件A可以推导出结果B，结果B也可以推导出条件A。

2.充分条件、必要条件和充要条件的判断对于命题“若…，则…”，其条件与结论之间的逻辑关系如下：如果条件A成立，那么结果B也成立，用符号表示为A B。

如果条件A成立，但结果B不一定成立，用符号表示为A B。

如果条件A和结果B互相成立，用符号表示为A B。

具体来说，如果XXX且B成立，则条件A是结果B成立的充分条件，结果B是条件A成立的必要条件。

如果XXX 且B成立，则条件A是结果B成立的充分且不必要条件，结果B是条件A成立的必要且非充分条件。

如果A和B互相成立，并且B能推导出A成立，则条件B是结果A成立的充分条件，结果A是条件B成立的必要条件。

如果A和B互相成立，那么它们互为充要条件。

要证明A是B的充要条件，需要分两步：①先证明A是B成立的充分条件；②再证明A是B成立的必要条件。

如果A和B互相成立，那么它们互为充要条件。

充分条件和必要条件

充分条件和必要条件充分条件和必要条件是推理中经常使用的两种概念。

在数学、逻辑以及其他科学领域中，我们常常需要根据已知条件推导出结论。

了解充分条件和必要条件的概念，可以帮助我们更好地进行推理和解决问题。

首先，我们先来了解一下充分条件。

充分条件是指一个条件，如果满足这个条件，那么结论一定成立。

也就是说，充分条件是保证结论发生的必要条件。

举个例子来说，我们要证明一个数是偶数的充分条件是能够被2整除。

如果一个数能够被2整除，那么它一定是偶数。

因此，能够被2整除是一个充分条件。

接下来，我们来了解一下必要条件。

必要条件是指一个条件，如果不满足这个条件，那么结论一定不成立。

换句话说，必要条件是导致结论发生的充分条件。

举个例子来说，一个数是素数的必要条件是该数不能被除了1和自身以外的其他数整除。

如果一个数能够被除了1和自身以外的其他数整除，那么它一定不是素数。

因此，不能被除了1和自身以外的其他数整除是一个必要条件。

在数学推理中，我们经常使用充分条件和必要条件来进行证明。

通过找到结论的充分条件和必要条件，我们可以建立起一个关于条件和结论之间的关系。

这样，我们就可以根据已知条件来推导出结论，或者根据结论来推导出条件。

当我们进行推理时，常常会遇到一些问题。

有时候，我们找到了结论的充分条件，但是并不能确定这个条件是否也是必要条件。

这时候就需要进一步的推理和证明来确定这个条件是否是必要条件。

同样地，有时候我们找到了结论的必要条件，但是并不能确定这个条件是否也是充分条件。

这时候也需要进一步的推理和证明来确定这个条件是否是充分条件。

在数学和逻辑中，充分条件和必要条件是非常重要的概念。

它们帮助我们进行严密的推理和证明，让我们能够理清条件和结论之间的关系。

通过深入理解充分条件和必要条件，我们可以提高自己的推理能力，解决各种复杂的问题。

总结起来，充分条件是保证结论发生的必要条件，而必要条件是导致结论发生的充分条件。

充分条件和必要条件在数学和逻辑中经常被使用，帮助我们进行推理和解决问题。

高考数学黄金考点精析精训考点02命题及其关系、充分条件与必要条件理(new)

考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件【考点剖析】1。

最新考试说明:（1）了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系．（2)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.命题方向预测:(1）四种命题的概念及其相互关系、四种命题真假的判断、充分要条件的判定及其应用是高考的热点.(2)题型主要以选择题、填空题的形式出现．(3）本节知识常与集合、函数、不等式、数列、立体几何中的直线、平面间的位置关系、复数、平面解析几何等知识结合，复习中在理解命题及其关系、充分条件与必要条件等基础知识的同时，重在掌握其它相关数学知识。

3.课本结论总结：(1）命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判定真假的陈述句叫做命题.其中,判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题.（2)四种命题及其关系①四种命题及其关系②四种命题的真假关系逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假，互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系。

(3)充分条件与必要条件①若p q ⇒，则p 是q 充分条件,q 是p 的必要条件。

②若p q ⇒，且q p ⇒,则p 是q 充要条件 4。

名师二级结论：（1）常见结论的否定形式（2）充要条件判定方法 ①定义法：若p q ⇒，则p 是q 充分条件；若q p ⇒,则p 是q 必要条件；若p q ⇒，且q p ⇒,则p 是q 充要条件。

②集合法：若满足条件p 的集合为A,满足条件q 的集合为B ，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若B A ，则p 是q 必要不充分条件；若A=B 则，p 是 q 充要条件。

对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件,谁是结论,若条件、结论满足的条件易求，常用集合法。

结论是都是大于小于至少一个至多一个至少n个至多有n 个对所有x ，成立 p 或qp且q对任何x ，不成立否定不是不都是不大于不小于一个也没有至少两个至多有（1n -)个至少有（1n +）个存在某x ,不成立p ⌝且q ⌝ p⌝或q ⌝存在某x ，成立③利用原命题与逆命题的真假判断若原命题为“若p则q"，则有如下结论：(1)若原命题为真逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；(2)若原命题为假逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；（3）若原命题与逆命题都为真,则p是q的充要条件；(4）若原命题与逆命题都为假，则p是q的既不充分也不必要条件5。

2020高考数学第一章第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词突破点一充分条件与必要条件[基本知识]1．充分条件与必要条件的概念qq2.A BB A[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(3)“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件．()答案：(1)√(2)√(3)×二、填空题1．“x＝3”是“x2＝9”的________条件(填“充分不必要”或“必要不充分”)．答案：充分不必要2．“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件．答案：必要不充分3．xy＝1是lg x＋lg y＝0的________条件．解析：lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必成立，反之无法得到x >0，y >0.因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．设p ，r 都是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么p 是t 的________条件，r 是t 的________条件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空)．解析：由题知p ⇒q ⇔s ⇒t ，又t ⇒r ，r ⇒q ，故p 是t 的充分不必要条件，r 是t 的充要条件．答案：充分不必要充要[全析考法]考法一充分条件与必要条件的判断[例1] (1)(2018·北京高考)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)a ，b ，c ，d 是非零实数，若a <0，d <0，b >0，c >0，且ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．若a ，b ，c ，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．(2)由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． [答案] (1)B (2)A[方法技巧] 充分、必要条件的判断方法考法二根据充分、必要条件求参数范围[例2] (2019·大庆质检)已知p ：x ≤1＋m ，q ：|x －4|≤6.若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，9]C ．[1,9]D ．[9，＋∞)[解析] 由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，因为p 是q 的必要不充分条件，所以m ＋1≥10，解得m ≥9.故选D.[答案] D [方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的思路方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[集训冲关]1.[考法一]已知m ，n 为两个非零向量，则“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若π2<θ<π，则cos θ<0，所以m ·n <0；若θ＝π，则m ·n＝－|m |·|n |<0.故“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B.2.[考法一]已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D α＝7π3，β＝π3均为第一象限角，满足α>β，但sin α＝sin β，因此不满足充分性；α＝－5π3，β＝π6均为第一象限角，满足sin α>sin β，但α<β，因此不满足必要性．故选D.3.[考法二]设M 为实数区间，a >0且a ≠1，若“a ∈M ”是“函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上单调递增”的充分不必要条件，则区间M 可以是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(0,1)D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选D 由函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上单调递增可知0<a <1，由题意及选项知区间M 可以是⎝⎛⎭⎫0，12.故选D. 突破点二全称量词与存在量词[基本知识]1．全称量词和存在量词[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略．( ) (2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题．( ) (3)“三角形内角和是180°”是全称命题．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题1．(2019·东北育才检测)已知命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1>0，则命题p 的否定是________________________．答案：∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤02．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是____________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为：________________________.答案：特称命题假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥03．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于sin x ≤m 在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上恒成立，即y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为22，所以m ≥22，即m 的最小值为22. 答案：22[全析考法]考法一全(特)称命题的否定[例1] (1)(2019·陕西部分学校摸底)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( ) A ．∃x 0≥0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1 C ．∀x >0，xx －1≤0 D ．∀x <0,0≤x ≤1(2)(2019·丹东期末)命题“∃x >0，使得ln x >0”的否定为( ) A ．∀x >0，均有ln x ≤0 B ．∀x ≤0，均有ln x ≤0 C ．∀x >0，均有ln x <0 D ．∃x >0，均有ln x ≤0 [解析] (1)∵xx －1>0，∴x <0或x >1， ∴xx －1>0的否定是0≤x ≤1， ∴命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”．故选B.(2)根据特称命题的否定是全称命题，则命题“∃x >0，使得ln x >0”的否定为：∀x >0，均有ln x ≤0.故选A.[答案] (1)B (2)A [方法技巧]全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．[提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．考法二全(特)称命题的真假判断[例2] (2019·西安质检)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，sin 2⎝⎛⎭⎫x 03＋cos 2⎝⎛⎭⎫x 03＝13 B ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x C ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－2 D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1[解析] ∀x ∈R ，均有sin 2⎝⎛⎭⎫x 3＋cos 2⎝⎛⎭⎫x 3＝1，故A 是假命题；当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4时，sin x ≤cos x ，故B 是假命题； ∵方程x 2＋x ＋2＝0对应的判别式Δ＝1－8<0， ∴x 2＋x ＋2＝0无解，所以∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－2是假命题，故C 是假命题；令f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0恒成立，则f(x)为增函数，故f(x)>f(0)＝0，即∀x∈(0，＋∞)，e x>x＋1.故选D.[答案] D[方法技巧]全(特)称命题真假的判断方法考法三根据全(特)称命题的真假求参数[例3](2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞) B．(0,4]C．(－∞，4] D．[0,4)[解析]当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.[答案] C[方法技巧]根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．[集训冲关]1.[考法一]命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是()A．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2C．∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2D．∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2解析：选C根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2”．故选C.2.[考法二]下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝0C．∀x∈R,3x>0 D．∀x∈R，x2>0解析：选D当x0＝1时，lg x0＝0，当x0＝0时，tan x0＝0，因此∃x0＝1，lg x0＝0；∃x0＝0，tan x0＝0；∀x∈R,3x>0；∀x∈R，x2≥0，所以D为假命题．故选D.3.[考法一、二]已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则()A．p是假命题；命题p的否定为：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；命题p的否定为：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；命题p的否定为：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；命题p的否定为：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：选B∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.故应选B.4.[考法三]已知命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0) B．[0,4] C．[4，＋∞) D．(0,4)解析：选D因为命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，所以其否定为“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋14>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×14＝a2－4a<0，解得0<a<4，故选D.。

历年高考数学个热点问题一：第炼充分条件与必要条件含解析

（ 2）理解“充分” ，“必要”词语的含义并定性的判断关系
① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”
，
何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。在逻辑中充
分也是类似的含义，是指仅由 p 就可以得到结论 q ，而不需要再添加任何说明与补充。以上
（ 2） p 推不出 q ，但 q 能推出 p ，则称 p 是 q 的必要不充分条件
（ 3） p 能推出 q ，且 q 能推出 p ，记为 p q ，则称 p 是 q 的充要条件，也称 p, q 等价
（ 4） p 推不出 q ，且 q 推不出 p ，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件
4、如何判断两个条件的充分必要关系
2 x 4 ，即 P x |2 x 4 ； x2 x 6 0 x所以 P Q ，进而 p 是 q 的充分不必要条件
答案： C
例 2：已知 a, b R ，那么 log 1 a log 1 b 是 3a 3b 的（
）
2
2
A. 充要条件
B.
必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D.
既不充分也不必要条件
思路：本题若觉得不方便从条件中直接找到联系，可先从一个条件入手推出其等价条件，再
进行判断，比如“ 3a 3b ”等价于 a b ，所以只需判断 log 1 a log 1 b 与 a b 的关系即可。
2
2
根据 y log 1 x 的单调性可得：如果 log 1 a log 1 b ，则 a b ，但是若 a b ，在 a, b 大于
2
2
2
零的前提下，才有 log 1 a log 1 b ，而题目中仅说明 a, b R 。所以不能推出。综上可判断

充分条件,必要条件,充要条件题型解析文章

充分条件,必要条件,充要条件题型解析文章充分条件、必要条件、充要条件是数学和逻辑学中非常重要的概念，对于解题、证明和推理都有着重要的作用。

在解题中，对于这些条件的理解可以帮助我们更好地找到解题的关键点，进行有效的推理，从而得出正确的结论。

下面我将就这些条件的概念、特点、解题技巧和例题进行解析，希望能为你对这些条件的理解提供一些帮助和启发。

一、充分条件、必要条件、充要条件的概念1. 充分条件：如果A是B的充分条件，那么表示A是B发生的一个足够的条件，即如果B发生，则A一定发生。

充分条件通常用“若……则……”表示。

2. 必要条件：如果A是B的必要条件，那么表示A是B发生的一个必需条件，即只有当A发生时，B才能发生。

必要条件通常用“只有……才……”表示。

3. 充要条件：A是B的充要条件，表示A不仅是B发生的充分条件，也是B发生的必要条件，即当且仅当A发生时，B才能发生。

二、充分条件、必要条件、充要条件的特点1. 充分条件和必要条件是对偶关系，即A是B的充分条件，等价于B 是A的必要条件，反之亦然。

2. 充要条件是充分条件和必要条件的结合，即A是B的充要条件，表示A既是B发生的充分条件，又是B发生的必要条件。

3. 在数学证明中，常常用“充要条件”的推理方式来进行证明，因为它包含了充分条件和必要条件的双重性质，能够更准确地得出结论。

三、解题技巧与例题解析充分条件、必要条件、充要条件在数学中有着广泛的应用，特别是在逻辑推理、证明方法和解题技巧中。

在解题时，我们可以根据充分条件和必要条件的特点，灵活运用以下几种方法来进行推理和证明：1. 分情况讨论法：对于充分条件和必要条件，我们可以分别讨论条件成立和不成立的情况，从而得出结论。

2. 双向推理法：对于充要条件，我们可以采用双向推理的方法，即从A推出B，再从B推出A，从而证明A是B的充要条件。

下面通过一个例题来进行解析：例题：已知命题P：若x > 3，则x^2 > 9。

2025高考数学一轮复习-第2讲-充分条件与必要条件【课件】

1．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的
(B)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】由a2＝b2，得a＝±b，当a＝－b≠0时，a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立；由a2＋b2＝2ab，得(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．
【解析】A＝
x12＜2x＜பைடு நூலகம்，x∈R＝{x|－1＜x＜3}，因为
x∈B
成立的一个充分不必要
条件是 x∈A，所以 A B，所以 m＋1＞3，即 m＞2.
第一章集合与常用逻辑用语、不等式
第2讲充分条件与必要条件
激活思维
1．“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的 (
C) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．“x∈A”是“x∈A∩B”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
结合充要条件确定参数
2 (1) 已知集合 A＝ [ － 2 ， 5] ， B＝ [m ＋ 1 ， 2m－ 1]. 若 “x∈ B” 是 “x∈A”的充分不必要条件，则m的取值范围是( B )
A．(－∞，3]
B．(2，3]
C．∅
D．[2，3]
【解析】若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则 B
能够判断真假的语句
原命题：若p，则q
命题
逆命题：若q，则p
否命题：若¬p，则¬q
逆否命题：若¬q，则¬p
充要条件的判断

高考数学二轮复习知识点充分条件和必要条件

高考数学二轮复习知识点充分条件和必要条件高考二轮复习差不多接近尾声，下面是查字典数学网整理的高考数学二轮复习知识点：充分条件和必要条件，期望能够关心到同学们。

一、充分条件和必要条件当命题若A 则B为真时，A 称为B 的充分条件，B 称为 A 的必要条件。

二、充分条件、必要条件的常用判定法1.定义法：判定B是A的条件，实际上确实是判定B=A或者A=B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判定即可2.转换法：当所给命题的充要条件不易判定时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判定。

3.集合法在命题的条件和结论间的关系判定有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若A? B，则p是q的充分条件。

若A?B，则p是q的必要条件。

若A=B，则p是q的充要条件。

若A ?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件。

三、知识扩展1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，明白得其关系(专门是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也能够叙述为：(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题确实是原先命题的逆命题;(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题确实是原先的否命题;(3)交换命题的条件和结论，同时同时否定，所得的新命题确实是原命题的逆否命题。

一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

这儿的“师资”，事实上确实是先秦而后历代对教师的别称之一。

《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”因此也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副事实上的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

2.由于充分条件与必要条件是四种命题的关系的深化，他们之间存在这紧密的联系，故在判定命题的条件的充要性时，可考虑正难则反的原则，即在正面判定较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判定。

充分条件和必要条件的推导关系

充分条件和必要条件的推导关系1. 引言：什么是充分条件和必要条件？嘿，朋友们，今天咱们来聊聊“充分条件”和“必要条件”这两个词。

听起来是不是有点像数学课上老师说的那些术语？不过别担心，我不会让你陷入深渊的！其实，充分条件和必要条件就像生活中的那些小插曲，有时候你会发现，两个看似不相干的事物，竟然有着千丝万缕的联系。

就像“天上掉下个林妹妹”，一不小心就成了大家茶余饭后的话题。

那么，什么是充分条件呢？简单说，充分条件就是如果这个条件成立了，那么结果必定成立。

打个比方，比如说“如果下雨，那么我就带伞”。

这里的“下雨”就是“带伞”的充分条件。

说白了，只要一有雨，我的伞就得登场，完美的配合，真是一对儿好搭档！再来看看必要条件。

必要条件则有点儿不同，换句话说，如果结果要成立，这个条件必须得满足。

比如说“如果我想通过考试，那么我必须学习”。

在这里，“学习”就是通过考试的必要条件。

要是我不学习，那可就别想拿到好成绩了，真是想得美！2. 充分条件和必要条件的关系2.1 相互依存那么，充分条件和必要条件之间又是怎样的关系呢？其实，两者就像老夫老妻，分不开的。

充分条件可以是必要条件，但必要条件不一定是充分条件。

就拿上面那个例子来说，“学习”是通过考试的必要条件，但“学习”不一定能保证我一定通过考试，因为我可能学习得不够好，或者考试遇到个奇葩题目。

哎，考试就像一场赌博，有时候你真不知道自己能不能顺利过关。

所以说，充分条件和必要条件就像是两条河，虽然各自流淌，但它们却能在某个地方汇合。

这个汇合点，就是它们共同的目标——达成某种结果。

2.2 举个例子让我们来个生动的例子，假设你想去参加一个派对。

首先，你得有邀请函，这就是“参加派对”的必要条件。

没有邀请函，你就别想进去。

但是，要是你只有邀请函，却没有合适的衣服，那么能不能顺利进入派对呢？当然不行！这时候，穿上合适的衣服就是一个充分条件。

可以说，拥有邀请函是你踏入派对的必要条件，而穿得漂漂亮亮，才能让你尽情享受派对的乐趣。

充分条件与必要条件的讲解

充分条件与必要条件的讲解1. 引言说到“充分条件”和“必要条件”，大家是不是觉得头大？别急，今天咱们就来聊聊这两个看似高深的概念。

就像吃火锅，调料虽然多，但只要掌握了搭配，味道就会好得不得了！所以，咱们也来一步一步解锁这些条件的“调料”吧。

2. 充分条件2.1 什么是充分条件？好，首先我们来说说“充分条件”。

简单来说，A是B的充分条件，就是说只要A成立，B就一定成立。

打个比方，咱们想要在外面吃好吃的，想要吃火锅，充分条件就是你得有钱。

没钱就算你心里再想吃，也没办法实现啊！所以，A（有钱）是B（能吃火锅）的充分条件。

2.2 生活中的例子再举个例子，想要考试通过，充分条件是你得好好复习。

复习得当，自然考试能过；但如果你根本不复习，想考得好，那可真是天方夜谭。

也就是说，复习好是通过考试的一个重要因素，缺了它，想通过就得拼人品了。

看吧，充分条件其实就是生活中那些必不可少的小细节，只要做到了，事情就会变得顺理成章。

3. 必要条件3.1 什么是必要条件？接下来，我们来聊聊“必要条件”。

A是B的必要条件，意味着如果B想要成立，A就必须成立。

换句话说，没有A，B就无法实现。

举个简单的例子，想要学会游泳，必要条件就是你得会浮在水面上。

如果你连浮都浮不起来，那就别想游泳了，对吧？3.2 生活中的例子再比如，想要开车，必要条件就是你得有驾驶证。

没有驾驶证，就算你会开车，也不合法呀！开车上路可不是说说而已，得有个合法的身份支持你，才能开得安心。

这个就好比打麻将，没有牌你就别想参与，想要胡牌还得先有牌在手嘛！因此，必要条件就像是一些硬性要求，没有它们，事情就无法顺利进行。

4. 充分条件与必要条件的关系4.1 二者的区别那么，充分条件和必要条件到底有什么区别呢？简单来说，充分条件是“有了就行”，而必要条件则是“没了就不行”。

就像打游戏，角色升级需要经验值，经验值就是必要条件；而有了神装就是充分条件。

要是你角色没有经验值，想升级就没戏；但如果你有了经验值，升级的速度就能快上许多。

充分条件和必要条件(含区分和例题)

充分条件和必要条件解释：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A就是B的充分必要条件（简称：充要条件）。

简单地说，满足A，必然B；不满足A，必然不B，则A是B的充分必要条件。

（A可以推导出B，且B也可以推导出A）例如： 1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”。

2. A=“某人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”。

3. A=“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”。

例子中A都是B的充分必要条件：其一、A必然导致B；其二，A是B发生必需的。

区分：假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且必要条件）由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的不充分不必要条件简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论。

此条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。

此条件为充要条件例子：1.充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b并不一定能推出条件a，天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的。

2.必要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件。

我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了。

我这里在简单说下哲学上的充分条件和必要条件1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果。

充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的哲学内涵。

如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答必然属于。

2. 必要性条件。

事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行。

如亲情关系和父子关系，亲情关系符合父子关系的一种现象表达，但不能推倒出亲情关系属于父子关系。

充分条件与必要条件(基础知识+基本题型)(含解析)

1.4充分条件与必要条件（基础知识+基本题型）知识点一充分条件与必要条件 1．命题“若p ，则q ”经过推理证明，当断定是真命题时，就说由p 可以推出q ，记作p q ⇒，读作“p 推出q ”；当断定是假命题时，就说p 由推不出q ，记作p q ⇒，读作“p 推不出q ”．2．充分条件与必要条件的定义拓展（1）p 是q 的充分条件是指“p 成立可充分保证q 成立”，但是没有p 成立，q 也可能成立．（2）q 是p 的必要条件是指“要使p 成立，必须要有q 成立”，或者说“若q 不成立，则p 一定不成立”，但即使有q 成立，p 也未必会成立．（3）从集合与集合之间的关系看充分条件、必要条件p ：(){}A x p x =成立q ：(){}B x q x =成立若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 的必要不充分条件若A B =，则p ，q 互为充分条件和必要条件若A B ⊄，且B A ⊄，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件（4）在根据集合之间的关系判断充分条件和必要条件时，要注意A B ⊆与AB 对结果的影响是不一样的．若，则为真命题是充分条件是必要条件知识点二充要条件1．充要条件的定义一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔．此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．2．互为充要条件的定义若p 是q 的充要条件，则q 也是p 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同，因为这两个命题的条件与结论不同． 3．充要条件的等价说法“p 是q 的充要条件”又常说成“q 当且仅当p ”或“p 与q 等价”提示（1）判断充分条件与必要条件时，要与原命题和其逆命题的关系结合起来，具体判断方法如下：条件p 与结论的关系结论p q ⇒，但q p ⇒ p 是q 的充分不必要条件q p ⇒，但p q ⇒p 是q 的必要不充分条件 p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔p 是q 的充要条件 p q ⇒，且q p ⇒ p 是q 的既不充分也不必要条件（2）灵活利用集合关系判断充分条件与必要条件，可使问题变得易于理解．知识点三充要条件的探求与证明证明p 是q 的充要条件，分两步：（1）充分性：把p 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q ；（2）必要性：把q 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p ．综上可得，p 是q 的充要条件．提示（1）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，那么也可以直接求出充要条件．（2）充要条件的证明充分性的证明和必要性的证明两个步骤，在证明时要注意两种叙述方式的区别：①若p 是q 的充要条件，则由p q ⇒证的是充分性，由q p ⇒证的是必要性．②若p 的充要条件是q ，则由p q ⇒证的是必要性，由q p ⇒证的是充分性．考点一充分条件与必要条件的判断例1．下列各题中，p 是q 的什么条件？（在“充分条件不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）（1）p ：A B A =，q ：U U B A ⊆；（2）对于实数x ，y ，p ：8x y +≠，q ：2x ≠或6y ≠；解：（1）A B A =U U A B A B ⇒⊆⇔⊇．①所以p 是q 的充要条件．（2）8x y +≠⇒2x ≠或6y ≠，但是，2x ≠或6y ≠ 8x y +≠．②所以p 是q 的充分不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法（1）定义法：（2）等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．（3）逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若p q ⌝⇒⌝，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；若p q ⌝⇒⌝，且q ⌝ p ⌝，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⌝⇔⌝，则p 与q 互为充要条件；若p ⌝ q ⌝，且q ⌝ p ⌝，则p 是q 的既不充分也不必要条件．（4）集合法：写出集合{|()}A x p x =，及{|()}B x q x =，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度．考点二充分、必要条件的传递性例2．已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么：（1）s 是q 的什么条件？（2）r 是q 的什么条件？（3）p 是q 的什么条件？分析：按p ，q ，r ，s 的关系画出用“⇒”与“⇐”表示的关系图，并根据推出符号的流向判断关系．解：p ，q ，r ，s 的关系如图1．2-2所示．（1）由关系图，知q s ⇒，且s r q ⇒⇒，所以s 是q 的充要条件．（2）因为r q ⇒，q s r ⇒⇒，所以r 是q 的充要条件．（3）由关系图，知q r p ⇔⇒，但p q ，所以p 是q 的必要不充分条件．总结：（1）充分条件、充要条件具有传递性：若A B ⇒，B C ⇒；若A B ⇔，B C ⇔，则A C ⇔．（2）对于较复杂的关系，常用“⇒，⇐， ”等符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．考点三充要条件的证明例3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=．证明：必要性：因为1a b +=，即1b a =-，所以 33223322(1)(1)(1)a b ab a b a a a a a a ++--=+-+----323222133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=．所以必要性成立．充分性：因为33220a b ab a b ++--=，即2222()()()0a b a ab b a ab b +-+--+=，所以22(1)()0a b a ab b +--+=．又因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，从而220a ab b -+≠．所以10a b +-=，即1a b +=．所以充分性成立．故原命题成立．考点四充要条件的探求例4．已知关于x 的方程22(21)0x k x k +-+=，求使方程有两个大于的实数根的充要条件．分析：一元二次方程有两个实数根等价于判别式0∆≥，从相应的二次函数的图象上看，两根均大于等价于对称轴在的右侧，并且(1)0f >．解：令22()(21)f x x k x k =+-+，由()f x 的图象（如图1．2-3），知方程原方程有两个大于的实数根等价于22(21)402112(1)0k k k f ⎧∆=--≥⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，即241021020k k k k -≤⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得2k <-．因为以上过程每一步都是等价的，所以2k <-是使方程22(21)0x k x k +-+=有两个大于的实数根的充要条件．考点五充分条件、必要条件及充要条件的综合考例5．已知p ：关于x 的不等式|23|x m -<，q ：(3)0x x -<．若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．分析：可借助集合间的关系进行判断，设不等式|23|x m -<，(3)0x x -<的解集分别为A ，B ，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ．解析：由题意，知{|03}B x x =<<．当0m ≤时，A =∅，符号题意；当0m >时，33{}22m m A x -+=<<．因为当302m +=，即3m =时，332m +=，A B =，所以要使A B ，应有 3023320m m m -⎧>⎪⎪+⎪<⎨⎪>⎪⎪⎩，解得03m <<．综上知，实数m的取值范围是(,3)。