高考数学 必考热点分类集中营9

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【命题意图猜想】

1.在2010年和2011年高考中，2010年没有考查二项式定理，但2011年考查一道，主要考查二项式定理系数和、通项公式的应用，且有一定的难度.在2012年本考点没有考查.故本热点具有隔年考查的特点，并且难度控制时高时低。猜想2013年高考题很有可能考查，考查估计难度应为中低档，与积分或复数计算相联系均有可能。为此，我们需全面掌握各种类型，以不变应万变.

2.从近几年的高考试题来看，考查的重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数；以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等；难度不大，属于中档题和容易题，题型为选择题或填空题．预测2013年高考，求二项展开式的特定项和特定项的系数仍然是考查的重点，同时应注意二项式系数性质的应用．

【最新考纲解读】 二项式定理

(1)能用计数原理证明二项式定理．

(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【回归课本整合】

1. 二项式定理的展开式

2. 011

()n n n r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++

++

+，其中组合数r n C 叫做第r +1项的二

项式系数；展开式共有n +1项.

注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，

系数就是二项式系数。如在()n

ax b +的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为r n C ，第ｒ＋１项的系数为r n r r n C a b -；而1

()n x x

+的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n 的数值不

大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是

第几项？求的是系数还是二项式系数？（4）特例：1(1)1n r r

n n n x C x C x x +=+++++ 2.二项式定理的通项

二项展开式中第r +l 项1(0,1,2,

r n r r

r n T C a b r -+==,)n 称为二项展开式的通项，二项展

开式通项的主要用途是求指定的项.主要用于求常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.

注意：()1通项公式是表示第1r +项，而不是第r 项.()2展开式中第1r +项的二项式系数r

n

C

与第1r +项的系数不同.()3通项公式中含有1,,,,r a b n r T +五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n . 3.项的系数和二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m

n n C C -=）． (2)增减性与最大值：

当12n r +≤

时，二项式系数C r n 的值逐渐增大，当1

2

n r +≥时,C r n 的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n 为偶数时，中间一项（第2

n

＋1项）的二项式系数2n

n C 取得最大值。当n 为奇数时，

中间两项（第21+n 和2

1

+n ＋1项）的二项式系数11

22n n n n C C -+=相等并同时取最大值.

(3)各二项式系数和：∵1

(1)1n r r

n n n x C x C x x +=++++

+，令1x =，则

0122n r

n

n n n n n

C C C C C =+++

++

+ ， 0213

n n n n C C C C ++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅12n -=

(4)用二项式定理进行近似运算，关键是恰当地舍取不影响精度的项，一般地：当α很小时，有()()21

1112

n

n n n ααα±≈±+

-. 【方法技巧提炼】

1. 如何把握转化类似二项式结构

二项式定理作为一个重要的知识点，几乎每年高考都要涉及一道.其中对于二项式结构的延伸和扩展是一个重点,丰富多彩的结构犹如“乱花”，迷住了不少同学的“眼”,如何把握？

（1）二项式展开式结构：根据给出的结构特征，通过拼凑使其满足二项式定理展开式的特点，然后合并，从而达到化简作用.

(2)()()n

m

a b c d ++结构:①若n 、m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个；②观察

()()a b c d ++是否可以合并；③分别得到()()n m a b c d ++、

的通项公式，综合考虑. （3）()n

a b c ++结构:①()(())n

n

a b c a b c ++=++,即把其中两项看作一项，然后展开求解；②()()n

m

a b c p q ++=+即利用公式把三项变成二项.

(4)()()n

m

a b c d ++++⋅⋅⋅结构:观察各项是否组成等比数列，若是可利用求和公式合并然后求解；若不能，就分别求解.

（5）n a 结构：(())n n a a b b =-+，然后展开分析求解. 2.赋值法的应用