第十三章 拉普拉斯变换
《电路》第十三章 拉普拉斯变换
S
12
3.积分性质
设： [ f (t)] = F (s)
则：
∫t
[ 0−
f
(t)dt] =
1 F(s) s
证：令
∫t
[ 0−
f (t)dt] =
φ( s )
[ f (t)] =
⎡ ⎢⎣
d dt
∫t 0−
f
(t
)dt
⎤ ⎥⎦
F(s) =
sφ(s) −
∫t 0−
f (t)dt
t =0−
应用微分性质
∴ φ(s) = F (s) s
注 f (t − t0) = 0 当 t < t0
[ ] ∫ 证：
f(t - t0 )
=
∞ 0−
f (t − t0 )e−stdt
∫=
f (t − t )e e dt ∞
f (t) = δ (t)
∫ F (s) =
[δ (t)] =
∞ 0−
δ
(
t
)e
−
st
dt
∫=
δ0+
0−
(
t
)e − st dt
= e−s0 = 1
(3)指数函数的象函数
f ( t ) = eat
[ ] ∫ F( s ) =
e at
=
e e dt ∞ at −st
0−
= − 1 e−(s−a)t s−a
1
− jω
−
S
1⎤
+ jω ⎥⎦
=
ω S2 +ω2
9
2. 微分性质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若： [ f ( t ) ] = F ( S )
第十三章 拉普拉斯变换
拉普拉斯反变换的计算较复杂，一般多采用部分分式展开的 方法间接求得。 设F(s)可以表示为如下的有理分式，m 和n 为正整数，且 n ≥m 。
N ( s ) a0 s m + a1s m −1 + L + am F ( s) = = D( s ) b0 s n + b1s n −1 + L + bn
∞
−
F (s) f (ξ )dξ ] = s
e-stdt，
利用∫ udv = uv − ∫ vdu
则： 0 [(
1 − st ∴ du = f (t )dv，v = − e s
− st ∞
∫ ∫
= (∫
t
t
0−
f (ξ )dξ )e − st dt ] = ( ∫
t
0−
0−
e f (ξ )dξ ) −s
16
例：13-7
s+3 求：F(s) = 2 的原函数f (t ) s + 2s + 5
17
3、D(s)=0 具有q阶重根p1 ， 其余为单根p2、 p3、
K11 K2 则：F ( s ) = + +L+ +( + L) 2 q s − p1 ( s − p1 ) ( s − p1 ) s − p2
则 f(t)的拉氏变换F(s)总是存在。 本书涉及的f(t)均满足上述条件
1 c + j∞ 拉普拉斯反变换的定义： f (t ) = F ( s )e st ds 2πj ∫c − j∞
式中，M , c为正的有限常数
−1
用 [ ]表示对中括号中的时域函数作拉氏变换 用 [ ]表示对中括号中的复变函数作拉氏反变换 例如：F(s)= [f(t)]=
13-1拉普拉斯变换
j
F
(S
)e
st
ds
3
定义在 (0, ) 区域内的函数 f (t) ，如果满足下列两个 条件：
（1） t 0 的任一有限区间内， f (t) 分段连续； （2）在 t 充分大时， f (t) 满足不等式
| f (t) | Mect 其中 M、C 为实常数（即 f (t) 为一指数函数），则 f (t) 的拉氏变换 F (s) f (t)est dt ，在复平面上
f (t)est ，再在（0－，∞）内对 t 积分，该积分称为单边
拉普拉斯（Laplace）正变换，简称拉氏变换。 L[ f (t)] F (s) f (t)estdt
0
式中 s j 为复数（复频率变量） 上式对 t 求定积分后，变成了复变量 s 的函数，所以记作 F(s) 。
∴
|
0
f (t)e st dt |
M e ( c)t dt
0
当 c 0 ，即 c ，即 Re(s) c 时， M e( c)t dt 是
0
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
电路十拉普拉斯变换
（2）作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路（注意附加电源的值和方向）；
（3）应用线性网络一般分析方法（结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等）列写运算形式的电路方程，求出响应的象函数 或 等；
（4）用部分分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应 或 等。
2．正确地画出复频域等效电路模型。注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数的记忆。
3．正确地计算出响应的象函数。在求解象函数时，由于复频率 是以符号形式存在，在复频域求解响应的过程有时比较繁琐，这是该方法的不足之处。
13．3典型例题
13．3．1拉普拉斯变换的定义及性质
例13-1已知 如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。
本题中周期为 ，于是得到
例13-4求 的拉氏变换式。
解题指导：任意函数与 的乘积的象函数的求解可利用拉普拉斯变换的频移特性。
解应用频移特性，先求
所以：
13．3．2拉普拉斯反变换
例13-5已知下列象函数 。导：仅含有两个单实根的情况。
（2）解题指导：包含了两个重根的情况。
13．2重点、难点分析
13．2．1本章重点
拉普拉斯变换的核心问题是把以 为变量的时间函数 与以复频率 为变量的复变函数 联系起来，也就是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就得到待求的时间函数。所以，本章重点为：
为一对共轭复数，设 ， ，
则
13．1．4线性动态电路的拉氏变换分析法——运算法（即复频域分析法）
1．元件的伏安关系及运算电路如表13-2所示附表13-2。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020§13拉普拉斯变换重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤难点：1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。
预习知识：积分变换§13－1拉普拉斯变换的定义1.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
2.拉普拉斯变换的定义一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。
由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为式中c为正的有限常数。
注意：1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即：它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。
2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)。
3）象函数F(s)存在的条件：3.典型函数的拉氏变换1)单位阶跃函数的象函数2)单位冲激函数的象函数3)指数函数的象函数§13－2拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质列于表中。
表13-1拉氏变换的若干性质和定理特性和定理表达式条件和说明线性a、b为常数位移特性时域延迟为一非负实数频域延迟微分若所有初值为零，则有积分初值定理或存在终值定理或所有奇点均在s平面左半部卷积定理为与的卷积应用拉氏变换的性质，同时借助于表中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。
第十三章 拉普拉斯变换
t 1 1 1 – uc(t)=L–1[ C 1 ]= C e s+ RC
1 (sc+ )UC(s)=1 R 进行拉氏反变换
三、(时域)积分性质 设：L[f(t)]=F(s)
F(s) 则：L[ f()d()]= s 0–
t
积分性质的意义在于把时域中原函数的积分运算 转换为复频域中象函数除以s的代数运算。 d t f()d()=f(t) 证： dt 0–
s3+6s2+15s+11 ] 2+5s+6 s
4s+5 F(s)=s+1+ 2 s +5s+6
k1 k2 =s+1+ s+2 + s+3
7 –3 =s+1+ s+2 + s+3 L–1[F(s)]=(t)+(t)–3e–2t+7e–3t
二、F(s)有共轭复极点 k2 k1 N(s) = s––j + s–+j F(s)= (s––j)(s–+j)
例： (t) R C uC
求：uc(t)的冲击相应 duc 1 解： c + uc=(t) dt R 等式两边进行拉普拉斯变换
duc 1 L[c ]+L[ uc]=L[(t)] dt R 1 scUC(s) –Cuc(0–)+ UC(s)=1 R 1 1 1 UC(s)= 1 1 = C s+ sc+ R
=|k1|ej 1e(+j)t +|k1|e–j 1 e(–j)t =|k1|et[ej( 1+t)+e–j( 1+t)] =2|k1|etcos(t+1)
拉普拉斯变换
第十三章 拉普拉斯变换 —学习过渡过程的复频域分析方法本章内容:1．复习拉氏变换及拉氏变换的性质 ( 列写微分方程→求时域响应 2．拉氏变换的部分分式展开 列代数方程 → 求复频域响应 3．拉氏变换的运算电路 →积分变换→求时域响应) 4．拉氏变换的线性电路的分析 本章重点：1．拉氏变换的部分分式展开 2．拉氏变换的运算电路本章重点：应用运算电路求电路的频率响应§13-1 拉普拉斯变换的定义对于一个多个动态元件的电路，用直接求解微分方程的方法比较困难，麻烦；故通过积分变换法，把已知的时域函数（时间域）变换为频域（s 域）函数，从而将时域的微分方程化为频域函数的代数方程。
求出频域函数后，再作变换，返回时域，即可求出响应。
积分变换的方法有：拉普拉斯变换和傅里叶变换，拉普拉斯变换应用广，故采用。
一、拉普拉斯变换（拉氏变换）如果函数f(t)在t ≥0时有定义，且⎰∞--0)(dt e t f st 为有限值（收敛）则，f(t)的拉氏变换为：⎰∞--=0)()(dt e t f S st F式中：ωσj S +=为复数变量，称复频率，单位为HZ ； F （S ）是f(t)的象函数（F （S ）象函数） f(t)是 F （S ）的原函数（f(t)是原函数）。
二、拉普拉斯反变换（拉氏反变换）⎰∞+∞-=j c j c st dt e S F j)(21πf(t)三、举例例13-1求以下函数的象函数（1） 单位阶跃函数（2）单位冲激函数（3）指数函数。
解：（1）单位阶跃函数（2） 单位冲激函数（3）指数函数。
§13-2 拉普拉斯变换的性质一、线性（组合）性质设F1（S）、F2（S）是f1(t)和f2(t)的象函数，A1A2是两个任意实数则有：二、微分性质设F（S）是f(t)的象函数，则有三、积分性设F（S）是f(t)的象函数，则有四、延迟性质设F（S）是f(t)的象函数，则有应用拉普拉斯变换可求出原函数和象函数的对应关系，得出294页表，那么，如何利用表中函数对应的关系，由象函数求原函数呢，我们复习部分分式法。
第13章 拉普拉斯变换
k2 s2
k3 s5
0 .1 s
0 .5 s2
0 .6 s5
k 1 sF ( s )
s0
1 25
0 .1
k1
2s 1 3s 14s 10
2 s0
1 10
0 .1
k 2 ( s 2 ) F ( s ) s 2
2( 2) 1 2 ( 2 5)
I2(s) + sL2
+ i1
u1 –
u 1 L1
M
L1 L2
i2
+
u2 –
+ –
+ – + –
+
L2i2(0-)
U2(s)
–
Mi1(0-)
+
–
d i1 dt d i2 dt
M
d i2 dt
U 1 ( s ) sL 1 I 1 ( s ) L1 i 1 ( 0 ) sMI 2 ( s ) Mi 2 ( 0 ) U 2 ( s ) sL 2 I 2 ( s ) L 2 i 2 ( 0 ) sMI 1 ( s ) Mi 1 ( 0 )
本章重点：
1. 运算形式的电路定律和元件约束
2. 用运算法分析线性电路
§13－1 拉普拉斯变换的定义
一、定义
F 双边拉氏变换：( s ) F 单边拉氏变换：( s ) 1 f (t ) 拉氏反变换： 2 j
f (t ) e
0
c j
c j
把傅氏变换的 j s j F f ( t ) e dt 记作 ( s ) L [ f ( t )] 正变换 1 F ( s ) e ds 记作 f ( t ) L [ F ( s )] 反变换
13第十三章拉普拉斯变换
1 ( s 1)
2 t
3
( s 1)
t
2
f (t ) 3e
2 te
0 .5 t e
3t
小结： 1.由F(S)求f(t) 的步骤 1.) n =m 时将F(S)化成真分式
F (S ) C0 P(S ) D(S )
2.)求真分式分母的根，确定分解单元 3.)求各部分分式的系数 4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。
2 t
(t ) 7e
(t )
例
求 F (s) s
2s 1
3
7s
2
10 s
的 原 函 数 f ( t )。
解：令D(s)=0，则 s1 = 0，s2=－2，s3=－5
D ( s ) 3 s 14 s 10
2
K1
N (s) D ( s )
s s1
3
s p1
则： f (t ) K1e 当为n阶重根：
Kn
K 2te
d
( n 1) ( n 1)
p1t
1 2
K 3t e
n
2
p1t
1
(n 1)! ds
(s p )
1
F ( s)
s p1
例： 2 S ( S 1)
S 4
K1 S
K 21 ( S 1)
L[ (t )]
0
(t )e
St
dt
0 0
(t )e
St
dt
0 0
电路分析第十三章-拉普拉斯变换
f (t) ≤ Me ct
其中M和c 都是实常数，即f(t)为指数级函数。
∫ 则 F (s) = ∞ f (t)e−st dt 0− 在σ > c 的范围内存在。
西南交通大学
证明条件⑵：
∫ 若 ∞ f (t)e−st dt 收敛， 则 L[ f (t)] 也收敛。 0−
)
−
Eε (t
−
t0
)
F (s)
=
L
[
f
(t)] =
E t0
⋅
1 s2
−
E t0
⋅
1 s2
e − st0
−
E
1 e−st0 s
=
E s 2t0
[1− (1+
st0 )e−st0 ]
西南交通大学
3、复频域位移 f (t) ↔ F (s)
f (t)e−αt ↔ F (s + α)
∫ 证明：L [ f (t)e−αt ] = ∞ f (t)e−αte−st dt 0− ∫= ∞ f (t)e−(s+α)t dt = F (s + α) 0−
同理
L[
cosω0t ⋅ε (t)
]=
s
s2 + ω02
5、幂函数tn ，n为正整数
L [ tn
]=
n! s n+1
L[
t
]=
1 s2
西南交通大学
4、幂指数信号 tn n为正整数
L ∫ [t n ] =
∞ 0−
t
en −st
dt
| ∫ =
− tn s
e − st
∞ 0−
邱关源《电路》第十三章拉普拉斯变换2
I1(s)
s(s 200)2
BUCT
14
(4)反变换求原函数
I1(s)
5( s 2
700s 40000) s(s 200)2
F2(s) 0有3个根s1 0，s2 s3 200
BUCT
I1(s)
K5 1 s
s
K021 200
(s
1K52020 200)2
类似地：
u(t) U (s)
运算形式KCL、KVL
i(t) I(s) U(s) Z(s) I(s) 元件 运算阻抗、运算导纳
运算形式 电路模型
2
1.电路定律的运算形式
BUCT
KCL i 0 KVL u 0
I(s) 0 U(s) 0
2.电路元件的运算形式
25 3.75s (s 12.5)s
2 1.75 s s 12.5
5 3.75
i1
i２
2
0
i1(0 ) i1(0 )
i2(0 ) i2(0 )
t
18
I 1(S)
1.5 0.3s – +
+
2
UL1(s)
I（2 s）I1(s)
2 s
s
1.75 12.5
0.1s
1 sC
BUCT
uC (0 ) 0 iL(0 ) 0
时域电路
运算电路
1. 电压、电流用象函数形式
2. 元件用运算阻抗或运算导纳
3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示
9
I C (s)
uC(0 -) /s
第十三章拉普拉斯变换
4、时域位移定理
L f t F S ,
L f t F S ,
L[ f (t t0 ) 1(t t0 )] F ( S )e St0
5、初值定理与终值定理
f (0 ) lim f (t ) lim SF ( S )
S j
f(t)：原函数；F(S)：f(t)在S域中的象函数。
拉普拉斯反变换：
f (t ) [ F ( S )]
1
1 2 j
j
j
F ( S )e St dS
13.2 拉氏变换的性质
13-2拉氏变换的性质
1、线性定理
L f1 t F1 S , L f 2 t F2 S : L af1 t bf 2 t aL f1 t bL f 2 t aF1 S bF2 S
2、微分定理
L f t F S
df SF ( S ) f (0 ) dt
3、积分定理
L f t F S ,
t F S L f t dt 0 S
13.2 拉氏变换的性质
]
0
e
t St
e
dt
0
e( S )t dt
0
1 ( S )t e S
0
1 S
2、常数
1 [1(t )] 1 t e st dt e st 0 S
1 S
3、正弦函数
[ 1 jt 1 1 1 (e e jt )] ( ) 2 2j 2 j S j S j S 2
第十三章 拉普拉斯变换
K 1 , K 2 为一对共轭复数，设 K 1 = K 1 | e jθ1 ， K 2 = K 1 | e − jθ1 ，
2
则
f (t ) = 2 | K 1 | eαt cos(ω t + θ 1 ) + ∑ K i e pit
i =3
n
13．1．4 线性动态电路的拉氏变换分析法——运算法（即复频域分析法） 1． 元件的伏安关系及运算电路如表 13-2 所示附表 13-2。 表 13-2 元件的伏安关系及运算电路 元 件 时域形式 频域形式 1 频域形式 2
t
复频域
a1F1 (s ) + a2 F2 (s )
1 ⎛s⎞ F⎜ ⎟ a ⎝a⎠
F (s )e − st 0 F (s + α ) sF (s ) − f (0− ) F (s ) f −1 (0 ) + s s dF (s ) ds lim sF (s )
s →∞ s →0
∫
f (τ )dτ
−∞
第十三章 拉普拉斯变换
13．1 基本概念 13．1．1 拉普拉斯变换的定义 一个定义在 [0, ∞ ) 区间的函数 f (t ) ，它的拉普拉斯变换式 F (S ) 定义为
F (s ) = ∫ f (t )e − st dt
0−
∞
式中 s = σ + jω 为复数， F (S ) 称为 f (t ) 的象函数， f (t ) 称为 F (S ) 的原函数。式中积分下限取
式中： K 1q
1 d q −1 (s − p1 )m ⋅ F (s ) | s = pi = q −1 (q − 1)! ds
[
]
则
n K 12 m −1 ⎡ K ⎤ f (t ) = L−1 [F (s )] = ⎢ 11 t m −1 + t + ⋯ + K 1m ⎥ e p1t + ∑ K i e pi t (m − 2)! i =n−m ⎣ (m − 1)! ⎦
第十三章拉普拉斯变换
t f (ξ )dξ e − st dt 所以 ∫ ∫ 0− 0−
∞
t f (ξ )dξ e = ∫ 0− −s t f (ξ )dξ e = ∫ 0− −s
− st ∞
− ∫ f (t )e − st dt
0−
∞ ∞
其中，当t<t0时，f (t-t0)=0。令τ=t-t0
ℓ[ f (t − t 0 )] = ∫ f (t − t 0 )e dt = ∫ f (t − t 0 )e − st dt
0− ∞ t0 − st ∞
= ∫ f (τ )e
0−
− s (τ + t 0 )
dτ = e
− st 0
∫
0−
−t
( s − pi ) n 的因 3、如果D(s)=0具有重根，则应含 ( s − pi )3的因式，p1为 式。现设D(s)中含有
即
N (s) Ki = (i = 1、、 …、n) 2 3、 D′( s) s = pi
确定了各待定系数后，相应的原函数为
f (t ) = ℓ [ F ( s)] = ∑ K i e
−1 i =1 n pi t
N ( pi ) pit =∑ e i =1 D′( pi )
n
例13-6
解 因为
2s + 1 求 F ( s) = s 3 + 7 s 2 + 10s
ω = 2 s +ω2
(2)ℓ[ K (1 − e −αt )] = ℓ[ K ] − ℓ[ Ke −αt ] K K = − s s +α Kα = s( s + α )
由此可见，根据拉氏变换的线性性质， 求函数乘以常数的象函数以及求几个函数 相加减的结果的象函数时，可以先求各函 数的象函数再进行计算。
第十三章 拉氏变换分析线性电路
2 若D( s) 0有共轭复根
K1,K2也是一对共轭复根
设K1 K e
jθ
K2 K e
( α jω ) t
-jθ
f (t ) ( K1e( α jω) t K 2e( α jω) t ) f1 (t )
F (s)
sin(t )
1 j t j t 2 j ( e e )
1 1 1 S j S j 2 2j S 2
2. 微分性质
若： f (t ) F ( S )
则
例 解
df ( t ) dt sF ( s ) f (0 )
求 : f (t ) t ( t )的象函数
[tε( t )]
[ 0 ε( t )dt ]
ห้องสมุดไป่ตู้
11 ss
4.延迟性质
设：
注
例
[ f ( t )] F ( s )
则：
[ f ( t t0 )] e
st0
F ( s)
f ( t t0 ) 0 当 t t0
求矩形脉冲的象函数
方法2
求极限的方法
i
i 1、 、 、n 23
N ( s )( s pi ) ki lim s p D( s ) ' N ( s )( s pi ) N ( s ) N ( pi ) lim ' ' s p D ( pi ) D ( s)
i
i
4s 5 求F ( s ) 2 的原函数 例 s 5s 6 4s 5 K1 K2 解法1 F ( s) 2 s 5s 6 s2 s3 4s 5 4s 5 K2 7 K1 3 s 3 S 2 s2 s3 N ( p1 ) 4 s 5 解法2 K1 ' 3 s 2 D ( p1 ) 2 s 5
第十三章 拉普拉斯变换法
a和b为两个任意实常数， 为两个任意实常数，则
F ( s ),
2
2
L[ a
例1.
f ( t ) + b f ( t )] = a F ( s ) + b F ( s )
1 2 1
f ( t ) = A (1 −
j 26 . 6
× e (− 1 −
j 2 )t
= 0 . 559 e − t ⋅ e j (2 t − 26 . 6 ) + 0 . 559 e − t ⋅ e − j (2 t − 26 . 6 ) = 2 × 0 . 559 e − t cos 2 t − 26 . 6 = 1 . 118 e − t cos 2 t − 26 . 6
t ε
L[ f (t − t0 )] = e
F (S )
页
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13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时， 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法： 由象函数求原函数的方法： (1)利用公式
三﹑积分性质： 积分性质：
1 若 L [ f ( t )] = F ( s ), 则有 L [ ∫0 f ( t ) dt ] = F ( s ) s
t
说明： 说明：拉普拉斯变换将时域中的积分运算变成了复频域中 算子s与象函数的除法运算。 与象函数的除法运算。 华东理工大学 上 页 下
页
证明： 证明：
t
第十三章拉普拉斯变换
第十三章拉普拉斯变换经典法——依照电路列出微分方程然后进行求解来求解动．．．（求解时刻函数方程）。
态电路响应的方式。
也叫时域解法．．．．优势：物理概念清楚，便于明白得。
可是这种方式关于求解二阶以上的复杂电路，很困难。
即便是一阶电路，当鼓励为常数、正弦函数与冲击函数时，应用三要素法进行时域分析是方便的，但当鼓励为指数函数、斜坡函数、专门是任意函数式，时域分析也是很麻烦的。
在正弦稳态分析中，采纳向量法后，将时域中的微积分运算转化成了频域中的代数运算，使运算十分简单。
向量分析是一种变换。
在暂态分析中，可否也成立这种类似的变换?拉普拉斯变换（简称拉氏变换）线性定常电路的拉氏变换分析与向量分析十分相似，用拉氏变换求解动态电路，先将时域函数通过拉氏变换变成复频域（S域）函数，并画出S域电路，在S域电路中确信响应后，通过拉氏反变换取得时域响应。
这种分析法不用求特解、通解、及确信积分常数，所得结果确实是全响应。
拉氏变换将时域中的微积分方程变成S域中的代数方程。
因为拉氏变换分析要通过求拉氏变换和反变换两次运算（变换），因此也称为运算法．．．。
运算法是一种通过数学变换间接求解动态电路的简捷方式。
应当指出，拉氏变换求解动态电路，只适用于线性，非时变的电路，不适用于时变及非线性电路。
§15-1 拉普拉斯变换的概念一、 拉氏变换的概念先概念一个复数 ωδj s +=其中δ是使函数)(t f 在区间（0－，∞）内积分收敛而选定的一个常数；ω是角频率，是变量；s 是复变量。
δ、ω、s 的单位都是1/秒。
复变量s 也称为广义频率，或复频率。
1、 拉氏正变换的概念概念在（0－，∞）内的时刻函数)(t f （)(t f 代表电路中的鼓励，或响应），与因子ste -相乘，组成一个新的函数st e t f -)(，再在（0－，∞）内对t 积分，该积分称为单边拉普拉斯（Laplace ）正变换，简称拉氏变换。
⎰∞--== 0 )()()]([dt e t f s F t f L st式中 ωδj s +=为复数（复频率变量）上式对t 求定积分后，变成了复变量s 的函数，因此记作)(s F 。
第13章拉氏变换
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT§13拉普拉斯变换重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤难点：1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。
预习知识：积分变换§13－1拉普拉斯变换的定义1.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
2.拉普拉斯变换的定义一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。
由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为式中c为正的有限常数。
注意：1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即：它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。
2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)。
3）象函数F(s)存在的条件：3.典型函数的拉氏变换1)单位阶跃函数的象函数2)单位冲激函数的象函数3)指数函数的象函数§13－2拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质列于表中。
表13-1拉氏变换的若干性质和定理特性和定理表达式条件和说明线性a、b为常数位移特性时域延迟为一非负实数频域延迟微分若所有初值为零，则有积分初值定理或存在终值定理或所有奇点均在s平面左半部卷积定理为与的卷积应用拉氏变换的性质，同时借助于表中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。
电路ch13拉氏变换
[(
s2 (
2s 2 ) s 1 )3 (
s
1 )3
]
S 2
1 2
d ds
[2s
2]
S 2
1
1
2
2
F(s) (s 2)
(s 2)2 (s 2)3
f (t) e2t 2te2t t 2e2t t 0
28
§4 复频域中的电路元件与模型、电路定律
i I u U U Z I
2j c j
简
写
F(s)
f
(t
)
L f (t) L1 F ( s)
4
二. 常用函数的拉氏变换
F ( S ) f (t )estdt 0
1. f (t) (t)
L[ (t)]
(t )estdt
0
e st dt
0
1 e st
1
s
s 0
2. f (t) eat (a为实数)
27
例2 解：
F(s)
s2 2s 2 (s 2)3
F s K13
(s2)
(
K 12 s2
)2
(
K 11 s2
)3
K 11
s2 (
2s s2
)3
4
(
s
2
)3
S 2
2
K 12
d ds
[
s2 2s 2 ( s 2 )3 (
s
2 )3
]
S 2
( 2s
2)
s 2
2
K 13
1 2
d2 ds 2
)3
s
K2 p2
...
式中
K11 s p1 q F ( s ) s p1
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第十三章拉普拉斯变换一、教学基本要求1、了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯变换基本性质求象函数。
2、掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法，.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路。
3、掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。
二、教学重点与难点教学重点：1. 拉普拉斯反变换部分分式展开；2. 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路；3. 应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。
教学难点：1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法；2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。
三、本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。
四、学时安排总学时：6教学内容学时1．拉普拉斯变换的定义及基本性质 2 2．拉普拉斯反变换的部分分式展开 2 3．基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 2 4．应用拉普拉斯变换分析线性电路，习题 2 五、教学内容§13－1 拉普拉斯变换的定义1. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t) 与复变函数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
2. 拉普拉斯变换的定义一个定义在 [0,+∞] 区间的函数f(t) ，它的拉普拉斯变换式F(s) 定义为式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。
由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为式中c 为正的有限常数。
注意：（1）定义中拉氏变换的积分从t=0- 开始，即：它计及t=0- 至 0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。
（2）象函数F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t),u(t)。
（3）象函数F(s) 存在的条件：3.典型函数的拉氏变换（1）单位阶跃函数的象函数（2）单位冲激函数的象函数（3）指数函数的象函数§13－2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质列于表13.1中。
表 13-1拉氏变换的若干性质和定理特性和定理 表 达 式条 件 和 说 明线性a 、b 为常数位移特性时域延迟为一非负实数频域延迟微分若所有初值为零，则有积分初值定理或存在终值定理或所有奇点均在 s 平面左半部卷积定理为 与的卷积应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。
表 13-2 拉氏变换简表1Cos at Sin( at )Cosh at Sinh( at ) 例13-1已知，求函数的像函数。
解：例13-2已知，求f(t)= 的象函数。
解：根据积分性质和时域延迟性质例13-3求函数的像函数。
解：例13-4求函数的像函数。
解：根据微分性质，因为，所以例13-5 求函数的像函数。
解：根据频域导数性质有：例13-6求函数的像函数。
解：根据频域导数性质有：例13-7求函数的像函数。
解：根据频域导数性质有：§13－3 拉普拉斯反变换的部分分式展开1．拉普拉斯反变换法用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。
由象函数求原函数的方法有：（1）利用公式（2）对简单形式的 F(S) 可以查拉氏变换表得原函数（3）把 F(S) 分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。
则2．部分分式展开法用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理)，即将展开成部分分式，成为可在拉氏变换表中查到的的简单函数，然后通过反查拉氏变换表求取原函数。
设，的阶次不高于的阶次，否则，用除，以得到一个的多项式与一个余式（真分式）之和。
部分分式为真分式时，需对为分母多项式作因式分解，求出=0的根。
设象函数的一般形式：即F（s）为真分式。
下面讨论=0 的根的情况。
（1）若=0 有 n 个不同的单根p1、p2……p n。
利用部分分式可将F(s)分解为：待定常数的确定：方法一：按，i =1, 2, 3, … , n 来确定。
方法二：用求极限方法确定a的值i得原函数的一般形式为：（2）若=0有共轭复根和，可将F(s)分解为：则，因为F(s)为实系数多项式之比，故和为共轭复数。
设，（3）=0 的具有重根时，因含有的因式。
则，；；……；总结上述得由F(s) 求f( t) 的步骤：（1）n = m 时将F(s) 化成真分式和多项式之和；（2）求真分式分母的根，确定分解单元；（3）将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数；（4）对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。
例13-8已知求原函数解法一：设其中所以解法二：例13-9已知求原函数。
解：因为的根为：所以例13-10已知求原函数解：；；；则，例13-11已知求原函数。
解：原式所以§13－4 运算电路应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。
运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出R 、L 、C 单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。
显然运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。
1. 电路定律的运算形式基尔霍夫定律的时域表示：把时间函数变换为对应的象函数：得基尔霍夫定律的运算形式：2.电路元件的运算形式根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式。
（1）电阻 R 的运算形式图 13.1（a）所示电阻元件的电压电流关系为：u=Ri，两边取拉普拉斯变换，得电阻元件 VCR 的运算形式：或根据上式得电阻R 的运算电路如图（b）所示。
图 13.1（a）（b）（2）电感L 的运算形式图13.2（a）所示电感元件的电压电流关系为：图 13.2（a）两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电感元件 VCR 的运算形式：或：根据上式得电感L的运算电路如图(b)和图(c)所示。
图中表示附加电压源的电压，表示附加电流源的电流。
式中分别称为电感的运算阻抗和运算导纳。
图 13.2（b）图 13.2（c）（3）电容C 的运算形式图13.3(a)所示电容元件的电压电流关系为：图 13.3（a）两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件 VCR 的运算形式：或：根据上式得电容C 的运算电路如图(b)和图(c)所示。
图中表示附加电流源的电流，表示附加电压源的电压。
式中分别为电容的运算阻抗和运算导纳。
图 13.3（b）图 13.3（c）（4）耦合电感的运算形式图13.4（a）所示耦合电感的电压电流关系为：图13.4（a）两边取拉普拉斯变换，得耦合电感 VCR的运算形式：根据上式得耦合电感的运算电路如图（b）所示。
图13.4（b）图中和都是附加电压源。
式中分别称为互感运算阻抗和互感运算导纳。
（5) 受控源的运算形式图13.5（a）所示 VCVS 的电压电流关系为：两边取拉普拉斯变换，得运算形式为：根据上式得 VCVS 的运算电路如图（b）所示。
图13.5（a）图13.5（b）3. 运算电路模型图 13.6 为RLC 串联电路，设电容电压的初值为，电感电流的初值为，其时域方程为：图13.6（a）图13.6（b）取拉普拉斯变换，得运算方程或写为即：上式称运算形式的欧姆定律，式中称运算阻抗。
根据上式得图（b）所示的运算电路。
因此，运算电路实际是：（1）电压、电流用象函数形式（2）元件用运算阻抗或运算导纳表示；（3）电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。
例13-12给出图（a）所示电路的运算电路模型。
已知例 13-12 图（a）解：运算电路如图（b）所示。
例 13-12 图（b）例13-13给出图（a）所示电路的运算电路模型，已知t=0 时打开开关。
例 13-13 图（a）解：由图（a）可知：uc(0-)=25V，iL(0-)=5A，则运算电路模型如图（b）所示。
例 13-13 图（b）注意图中的附加电源。
§13－5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路计算步骤为：1. 由换路前的电路计算u c(0-) , i L(0-) 。
2. 画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用。
3. 应用电路分析方法求象函数。
4. 反变换求原函数。
注意：（1）运算法直接求得全响应；（2）用 0- 初始条件，跃变情况自动包含在响应中；例13-14电路如图（a）所示，开关 S 原来闭合，求 S 在 0 时刻打开后电路中的电流及电感元件上的电压。
其中，R1=2Ω，R2=2Ω，L1=0.3H，L2=0.1H，U s=10V 。
例 13-14 图（a）例 13-14 图（b）解：图（b）是开关 S 打开后的运算电路图。
L1中的初始电流为U s/R1=5A 。
则故A所以VV例13-15电路如图（a）所示，t=0 时刻开关 S 闭合，用运算法求 S 闭合后电路中感元件上的电压及电流。
已知。
例 13-15 图（a）例 13-15 图（b）解：(1) 首先计算初值由已知条件和图（a）得：(2) 画运算电路如图（b）所示。
其中(3)应用回路法，回路电流方向如图示，得回路方程：从中解得：(4) 反变换求原函数有三个根：令所以注意：例13-16 电路如图（a）所示，已知，用运算法求电路中电容元件上的电压及电流。
例 13-16 图（a）例 13-16 图（（b）解：由已知条件知：，运算电路如图（b）所示。
有：所以例13-17 电路如图（a）所示，t=0 时打开开关 k , 求电流i1,i2。
已知：例 13-17 图（a）例 13-17 图（b）解：由图（b）所示的运算电路得：所以。