《工程力学》教学课件第二章平面力系和平面力偶系

2.平面力偶系的合成与平衡 平面力偶系的合成与平衡
M 1 ( F1 , F1 ) → M 1 ( P , P ) M 1 = F1d1 1 1
' '
' '
M1 = P d 1
M 2 ( F2 , F2 ) → M 2 ( P2 , P2 ) M 2 = − F2 d 2 M 2 = − P2′d ' ' ∴合力矩 M = FA ⋅ d = ( P − P2 )d = P d − P2 d = M 1 + M 2 1 1
第二章 平面力系和平面力偶系
第一节 力在坐标轴上的投影 第二节 平面汇交力系的合成与平衡 第三节 力矩、平面力偶系的合成与平衡 力矩、 第四节 力线的平移定理 第五节 平面任意力系的简化 第六节 平面任意力系的平衡方程及应用 第七节 静定与静不定问题及物系的平衡
教学目的和要求
本章主要研究平面汇交力系和平面力偶系的合成及 其平衡条件。对于平面力系要掌握其平衡条件， 其平衡条件。对于平面力系要掌握其平衡条件，掌 握用几何法和解析法解决平衡问题。 握用几何法和解析法解决平衡问题。对于平面力偶 系在力线平移定理的基础上将平面任意力系简化为 一个平面汇交力系和平面力偶系， 一个平面汇交力系和平面力偶系，并能通过平衡条 件解决问题确定：以使物体作逆时针转动为正（ 方向用右手法则确定：以使物体作逆时针转动为正（图示 为正），作顺时针转动为负， ），作顺时针转动为负 点到力O的作用线的垂 为正），作顺时针转动为负，将O点到力 的作用线的垂 点到力 直距离h称为力臂 称为力臂。 直距离 称为力臂。
主矢 主矩
FR ' = F1 + F2 + F3 = ∑ F
L0 = M 1 + M 2 + M 3 = M 0 ( F1 ) + M 0 ( F2 ) + M 0 ( F3 ) = ∑ M 0 ( F )
∑M
i =1
n
i
=0
例2-3 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔, 每个钻头的力偶矩为M1 = M2 = M3 = M4=25N·m ，如图所示。求工 件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解：各力偶的合力偶距为
M = M 1 + M 2 + M 3 + M 4 = 4 × ( −25) = −100 N ⋅ m
第一节
力在坐标轴上的投影
研究平面汇交力系的前提是力在坐标轴上的投影
X=Fx=F cosα=F sinβ Y=Fy=F cosβ = F sinα
F = X +Y = F + Fy
2 2 2 x
2
X Fx cosα= = F F
Y Fy cosβ = = F F
合力投影定理： 合力投影定理： 合力在任一轴上的投影， 合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数 和。
合力方向由正弦定理：
F F R 1 = sinϕ sin( 8 ° −α −ϕ) 1 0
2）任意个共点力的合成 ( 力多边形法） ） 力多边形法） 推广至 n 个力 结论： 结论：FR = F + F + F + ⋯+ F
1 2 3 n
即 FR = ∑F 先作力多边形
c b a d e
再将R 平移 至A点
M = M ( F , F ) = Fd
''
M B ( F ) = Fd
M = M B ( F ) = Fd
由证明过程可以归纳出： 由证明过程可以归纳出：
（1）力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力等效与 ）力线平移定理揭示了力与力偶的关系： 力和力偶的共同作用； 力和力偶的共同作用； 有关， （2）力平移的条件是附加一个力偶 ，且M与d有关， ）力平移的条件是附加一个力偶M， 与 有关 M=Fd； ； （3）力线平移定理是力系简化的理论基础。 ）力线平移定理是力系简化的理论基础。
力矩的性质： (1)力沿力的作用线移动，不改变它对某点的矩； 力沿力的作用线移动， 力沿力的作用线移动 不改变它对某点的矩； (2) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零； 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零； (3)当力的作用线通过矩心，则力矩为零。 当力的作用线通过矩心，则力矩为零。 当力的作用线通过矩心
2
2
tanθ =
FR y FR x
∑Y = ∑X
二、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是：
FR = ∑F = 0
在上面几何法求力系的合力中，合力为 零意味着力多边形自行封闭。所以平面 汇交力系平衡的必要与充分的几何条件 是： 力多边形自行封闭或力系中各力的矢量 和等于零。 和等于零。
三、平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的充要条件是：
FR = 0 ⇒ FR = FR x + FR y = 0
2 2
FR x = ∑ X = 0 FR y = ∑ Y = 0
注意：对力的方向判定不准的，一般用解析法。利用 平衡方程通过解析法解题时，力的方向可以任意假设， 如果求出负值，说明力的方向与假设相反。
说明： 说明：
① M0（F）是代数量； ）是代数量； 随着力F和垂直距离 的增大，物体转动效应明显； 和垂直距离h的增大 ②随着力 和垂直距离 的增大，物体转动效应明显； ③ M0（F）是影响转动的独立因素，当F=0或h=0时， M0 ）是影响转动的独立因素， 或 时 （F） =0； ） ； ④ M0（F）的国际单位 ）的国际单位N·m，或者 ，或者kN·m ； 的面积。 ⑤ M0（F） =±2S△AOB=±Fh， S△AOB为△AOB的面积。 ） 的面积
例2-2 已知：某物体铰接于点O ，物体上 点作用有力 F和Q ，力 F的作用线垂直于AO，AO与力Q的作用线夹角为α，O点到力Q作 用线的垂直距离为h ，如图所示。求：M0（F）和M0（Q） 。 解（1）由力对点之矩定义，得
M O (F ) = F ⋅
h sin α
M O (Q) = −Q ⋅ h
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力FA与FB组成一力偶。
∑M
i =1
n
i
=0
N B × 0.2 − M 1 − M 2 − M 3 − M 4 = 0
100 ∴ NB = = 500 N 0. 2
∴ N A = N B = 500 N
第四节
一、力线平移定理
力线的平移定理
作用在刚体上某点的力，可以平移至刚体上任意一点， 作用在刚体上某点的力，可以平移至刚体上任意一点， 附加力偶， 但同时必须增加一个附加力偶 但同时必须增加一个附加力偶，该力偶的力偶矩等于原 力对该点之矩。 力对该点之矩。
FRx = X1 + X2 − X4 = ∑X
FRy = −Y +Y2 +Y3 +Y4 = ∑Y 1
FRx = ∑X
FRy = ∑ Y
根据矢量代数知识，矢量在平面直角坐标系下的的解析表达 式为：
F = Xi +Yj
FR = ∑F
FR = ∑F = (∑X)i + (∑ ) j Y
FR = FR x + FR y =
∑Y = 0
− P + FAC ⋅ sin 45° + FBC ⋅ sin 45° = 0
（4）解平衡方程，得
FAC = FBC P 15 2 = = kN 0 2 sin 45 2
第三节
一、力对点的矩
力矩、平面力偶系的合成与平衡 力矩、
1.力矩的概念和性质 力矩的概念和性质 将力F对点O的矩定义为：力F的大 小与从O 点到力F的作用线的垂直 距离的乘积，即
二、固定端约束 在工程实际中， 在工程实际中，有很多构件的一部分嵌固于另一物体 上而受到约束作用，这样的约束称为固定端约束。 上而受到约束作用，这样的约束称为固定端约束。 这种约束不但限制物体在约 束处沿任意方向的线位移 线位移， 束处沿任意方向的线位移， 也限制物体在约束处的角位 也限制物体在约束处的角位 即物体在A端没有移动 移，即物体在 端没有移动 和转动。 和转动。
（2）应用合力矩定理，得
M O ( F ) = Fx ⋅ h + Fy ⋅ h ⋅ ctgα = F sin α ⋅ h + F cos α ⋅ h ctg α = F h sin α
M O (Q) = −Q ⋅ h
二、力偶 1、力偶及其性质 、 力偶：两力大小相等、作用线不重合的反向平行力叫力偶。 力偶 力偶使物体转动效应一般通过力偶 矩来衡量 力偶矩的大小为Fd， 矩来衡量，力偶矩的大小为 ， 方向由右手法则确定， 方向由右手法则确定，平面力偶矩 也为代数量， 也为代数量，用M（F，F′）来表 （ ， ） 示，即 M（F，F′）=±2S△ABC
例2-1 如图所示机构，已知：力P=15kN, 杆件BC=AC=1m，AC 与BC相互垂直且铰接于C。求：在力P的作用下杆件AC与BC所 受力的大小。 解法一：几何法 (1)选铰C为研究对象，进行分析。 （2）画出力多边形 ，通过测 量得：
FAC = FBC = 10.61kN
解法二：平衡方程法 （1）选铰C为研究对象； （2）取分离体画受力图，如图所示； （3）列平衡方程为 ∑ X = 0 FAC ⋅ cos 45° − FBC ⋅ cos 45° = 0
2、合力矩定理 、 平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩等于力系 中所有各分力对同一点之矩的代数和， 中所有各分力对同一点之矩的代数和，即
M O ( F ) = ∑ M O ( Fi )
i =1 n
3、力矩与合力矩的解析表达式 、
M O ( F ) = M O (Fy ) + M O (Fx ) = xF sin α − yF cos α = xFy − yFx